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fs2 u unihttp://fiee.uni.edu.pe
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DEDICADO A:
MI ALMA MATER
LA UNIVERSIDAD
NACIONAL DE INGENIERA
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PRLOGO
El presente texto desarrolla el syllabus completo de la
asignatura de MquinasElctricas que se ofrece en la UNI para la
especialidad de IngenieraElctronica, pero su contenido es tal que
puede ser perfectamente asimiladotambin por los alumnos de las
especialidades de Ingeniera Elctrica yMecnica Elctrica que deseen
obtener un buen conocimiento de las mquinaselctricas .
Los primeros tres captulos son introductorios al estudio de las
mquinaselctricas y en ellos se representan las caractersticas
generales de lasmquinas elctricas estticas y rotativas y los
materiales empleados para suconstruccin. En captulos siguientes se
ve en forma amplia la teora yaplicaciones de los transformadores
monofsicos, trifsicos yautotransformadores.
El texto desarrolla la teora de las mquinas elctricas rotativas
en rgimenpermanente, utilizando los mtodos convencionales que han
demostrado ser msdidcticos para los estudiantes que se inician en
el estudio de las mquinaselctricas. Estos mtodos permiten dar un
conocimiento real de la mquina apartir del cual se obtienen
fcilmente los circuitos equivalentes y las expresionesmatemticas
que permiten el anlisis riguroso en estado estable. En los
ltimoscaptulos se hace un resumen de los mtodos de control de
velocidad de lasmquinas rotativas de corriente contnua y corriente
alterna que se estn usandoactualmente.
Se complementa la elaboracin de ste libro con la presentacin de
un softwareinteractivo de simulacin digital de obtencin de curvas
caractersticas internasy externas de los tipos de mquinas de
corriente contnua y alterna tratadas en elcontenido del libro.
Expreso mi ms sincero agradecimiento a la Universidad Nacional
de Ingenieraque a travs del Instituto de Investigacin de la
Facultad de Ingeniera Elctrica,Electrnica y Telecomunicaciones, ha
permitido el desarrollo del contenido deesta publicacin; as como
tambin a mis alumnos Sr. Walter Aguilar, Sr.Christian Aguilar por
su apoyo, y a mis colegas profesores de la especialidadpor su
incentivo y recomendacin. Finalmente mi agradecimiento a las
Srtas.Jully Saldaa y Blanca F. Cortez De La Cruz por el tipeo,
diagramacin y suexpertez en el diseo y presentacin de sta obra ,
que esperamos puedacontribuir a dar slida formacin a nuestros
estudiantes.
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EL AUTOR
Ingeniero Electricista, se desempea como
Profesor Titular del curso de Mquinas
Elctricas y laboratorio de Mquinas
Elctricas, en las Facultades de Ingeniera
Elctrica y Electrnica, Industrial y de
Sistemas de diversas Universidades
Nacionales del Per, como la Universidad
Nacional de Ingeniera y Universidades
Privadas como la Universidad Tecnolgica
del Per.
Durante los ltimos quince aos ha alternadola actividad docente
en diversasUniversidades e Institutos de InstruccinSuperior, con la
prctica profesional comoIngeniero Electricista desarrollando
susactividades en Entidades Supervisoras deProyectos y Ejecutores
de Obras de granimportancia en su pas, el Per.
Sus actividades se han desarrollado en el reade Mquinas
Elctricas Estticas y Rotativas,sistemas de Distribucin Elctrica
yutilizacin. Actualmente est designado comoPerito Judicial en la
Especialidad deIngeniera Elctrica por el Registro de
PeritosJudiciales del Poder Judicial (REPEJ) CorteSuperior de
Justicia de Lima. Posee diversostrabajos de Investigacin y es
miembro deInstituciones Cientficas del Pas.
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1NDICE
I.- CIRCUITO MAGNTICO
1.1
Introduccin.....................................................................................................41.2
Algunas leyes bsicas de
Electrosttica..........................................................51.3
Algunas leyes bsicas de
Magnetosttica.......................................................91.4
Otras conclusiones tiles en
Magnetosttica................................................121.5
Campo Magntico de un
toroide...................................................................141.6
Analoga entre circuitos elctricos y
magnticos.........................................161.7 Unidades y
factores de
conversin...............................................................171.8
Ley de circuitos de Ampere aplicada a un ncleo
ferromagntico..............181.9 Materiales
ferromagnticos.........................................................................20
II.- EXCITACIN DE ESTRUCTURAS FERROMAGNTICAS CON
CORRIENTEDIRECTA
2.1
Introduccin..................................................................................................222.2
Propiedades de los materiales
ferromagnticos...........................................222.3
Circuitos aproximados de aparatos
electromagnticos...............................252.4 Mtodos de
anlisis de circuitos
ferromagnticos.......................................272.5
Entrehierros en circuitos
ferromagnticos..................................................28
III.- EXCITACIN DE ESTRUCTURAS FERROMAGNTICAS CON
CORRIENTEALTERNA
3.1
Introduccin.................................................................................................553.2
Ley de Faraday de Induccin
Electromagntica.........................................553.3
Relacin entre voltaje aplicada peridico, voltaje inducido y flujo
en un
ncleo magntico excitado por una sola
fuente..........................................573.4 Forma de onda
de la corriente de excitacin en un sistema ferromagntico
con flujo
senoidal.........................................................................................593.5
Energa almacenada en un ncleo magntico excitado por una
sola
fuente....................................................................................................613.6
Representacin matemtica de la corriente de excitacin no
senoidal
(i(t))............................................................................................................643.7
Circuito equivalente aproximado de un reactor con ncleo de
hierro.......673.8 Determinacin de los parmetros del circuito
equivalente de un reactor con
ncleo de
hierro...........................................................................................683.9
Prdidas en los materiales
ferromagnticos...............................................70
-
23.10 Prdidas totales en el
hierro........................................................................733.11
Separacin de
prdidas................................................................................733.12
Determinacin experimental de las prdidas
totales...................................753.13 Reactores con
ncleo de
hierro...................................................................763.14
Importancia de la Curva de
Magnetizacin................................................763.15
Modelos de representacin de Curvas de
Magnetizacin...........................77
IV.- ANLISIS DEL CIRCUITO DE TRANSFORMADOR CON NCLEO DEAIRE
4.1 El Transformador
Ideal...............................................................................1094.2
Relaciones bsicas en un Transformador
Ideal.......................................1104.3 Anlisis del
transformador de Potencia con ncleo de
hierro...................1124.4 Circuito equivalente
exacto.......................................................................1144.5
Ecuaciones y diagrama
vectorial..............................................................1164.6
Los circuitos equivalentes
aproximados...................................................1184.7
Determinacin de los parmetros por medicin de un transformador
de
ncleo de
hierro.........................................................................................1194.8
Rendimiento...............................................................................................1234.9
Eficiencia o rendimiento de un
transformador.........................................1234.10
Variacin de la eficiencia con la carga y eficiencia
mxima...................1244.11 La Regulacin de un
transformador.........................................................1254.12
Determinacin analtica de la
regulacin................................................1264.13
Empleo de valores unitarios y
porcentuales............................................1284.14
Autotransformadores................................................................................1314.15
Transformadores
Trifsicos.....................................................................1384.16
Transformadores de Audio a Frecuencia
variable...............................1434.17 Preguntas y
respuestas sobre
transformadores......................................146
V.- CONVERSIN DE ENERGA ELECTROMAGNTICA
5.1 Proceso de conversin de
energa...........................................................2005.2
Energa de
campo....................................................................................2015.3
Fuerza mecnica en los Sistemas
Electromagnticos.............................2075.4 Mquinas
Rotativas.................................................................................214
VI.- ASPECTO CONSTRUCTIVOS DE LA MQUINA DE CORRIENTECONTNUA
6.1 Aspectos constructivos de la mquina de corriente
contnua..................2366.2 Principios de funcionamiento de la
maquina de corriente continua.......2376.3 Campo magntico producido
por el rotor y reaccin de armadura.......239
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36.4
Conmutacin...........................................................................................2436.5
El Motor de corriente contnua en rgimen
permanente........................2446.6 El Generador de corriente
contnua en rgimen estable........................2546.7 Control de
velocidad de mquinas de corriente
continua......................261
VII.- MOTORES POLIFSICOS DE INVERSIN
7.1 Motores
Trifsicos....................................................................................3067.2
Mquina Asncrona
Trifsica...................................................................3217.3
Control de velocidad en Maquinas
Asncronas.......................................3477.4 Arranque de
Motores de
Induccin.........................................................3647.5
Principios de funcionamiento de la Mquina
Sncrona..........................3657.6 Control de velocidad de
Motores Sncronos...........................................389
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4 CAPTULO ICIRCUITO MAGNTICO
1.1 INTRODUCCIN
El objetivo del curso es exponer los principios de la conversin
de energaelectromecnica y del desarrollo de mtodos para obtener
modelosparamtricos de transductores.
Los Transductores son aparatos que convierten energa de una
forma a otra.Muchos de ellos son electromecnicos. Ejemplo:Los
motores elctricos usados en los aparatos domsticos, tales
como:ventiladores, refrigeradores, etc. convierten energa elctrica
en energamecnica.
Todos los transductores electromecnicos pueden considerarse como
formadosde partes que son elctricas y de partes que pueden ser
clasificadas comomecnicas. La energa es recibida o suministrada por
stas partes dependiendode la naturaleza y aplicacin de cada
transductor particular. Los Camposmagnticos y/o elctricos sirven
como medio de acoplamiento. Veamos larepresentacin de una
transductor en un diagrama de bloques: transductor enun diagrama de
bloques:
ENERGA ELCTRICA O ENERGA MECNICA
Figura 1.1.1
Los campos magnticos y elctricos juegan un papel importante en
los procesosde almacenamiento y transferencia de energa elctrica.
Se requiere elconocimiento de las relaciones de entrada y salida
que existen en los tresbloques componentes.
Es necesario desarrollar mtodos para la obtencin de modelos para
cadabloque componente. Es necesario calcular la fuerza de stos
medios deacoplamiento en estructuras lineales y no lineales y
establecer la relacin entrestos campos y los parmetros de la parte
elctrica de los transductores,llamados voltaje y corriente. Tales
relaciones sern derivadas para los camposmagnticos en este
libro.
-
5q1 q2
La determinacin de la relacin entre la intensidad de campo
magntico y losvoltajes y corrientes en este medio, utiliza en
general clculos en tresdimensiones; generalmente se realizan
suposiciones y aproximacionesapropiadas y el problema de clculo
tridimensional puede ser reducida a unproblema de redes o circuitos
de una dimensin por muy difciles que puedanser considerados los
transductores electromecnicos, y resuelto por el uso detcnicas
similares a las usadas en la teora de redes elctricas, para tal
efecto seintroduce el concepto de circuito magntico, sern repasadas
algunas leyesbsicas referidas a campos estticos (invariantes en el
tiempo), elctricos ymagnticos. Luego sern introducidas algunas
leyes bsicas y conceptosadicionales, referidos a campos magnticos
variables en el tiempo.
1.2 ALGUNAS LEYES BSICAS DE ELECTROSTTICA
a) Ley de Coulomb: La electricidad es una caracterstica de la
materia, ycarga es una medida de esta caracterstica. Dos clases de
carga sonconocidas, positiva y negativa.
Ley de la conservacin de la carga: Algebraica de todas las
cargas en un sistema aislado es constante.
Sean:q1 y q2 las magnitudes de las cargasd es la distancia entre
ellasK es la constante de proporcionalidad que depende del
medio
donde el experimento es realizado y del sistema de
unidadesusado.
La fuerza elctrica entre ambas es:
Figura 1.2.1
)11(........d
qqKF 221
=
Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo contrario se
atraen.
En el sistema de unidades MKS racionalizado, las unidades son:
metro (longitud)m Kilogramo (masa)t segundo (tiempo)c coulomb
(carga)La constante K tiene un valor de 1/4Donde = constante
dielctrica llamada capacidad o permitividad delmedio.
d
-
6q j
+
roe
En el vaco 90 10361
==
Es conveniente escribir la ecuacin (1-1) en forma vectorial
suponiendoque el medio es el vaco y usando el sistema MKS
racionalizado.
Se supone que los cuerpos cargados son estacionarios en el
espacio ypueden ser considerados como cargas puntuales.
es el vector unitario en la direccin de la lnea de fuerza ro
.
En forma general la fuerza total ejercida por ellas sobre una
carga deprueba colocada en su vecindad puede ser obtenida por una
superposicinlineal.
La fuegrupo
b) Campcomoinfluecargapequeintens
)21(........ed4
qqF ro2o
21
=q
d1
d2q2
+ +
Fig
rza total es el vector suma, sobre la carga de prueba
o Elctrico: Cada carg medio para ejercer su funcia. El centro
del camp. Si es asumido sto y a para no distorsionar eidad de ste
puede ser rep
F2
F1
q1
4=
qFq
djdN
qN
d j+1
ura 1.2.2
de las fuerzas.
a qj produce uerza sobre otro est en el la carga de l campo
produresentada por
F
....1
2=
rj
N
j j
j
o
edqF j+1
j+1
++
ejercidas por cada carga del
n campo elctrico que actaas cargas colocadas bajo sulugar donde
se encuentra laprueba q es suficientementecido por las otras
cargas, lael vector definido por:
N
)31(....
-
7En forma general diremos que:
Unidades:[F] = Newtons[q] = Coulombs[d] = metros[E] =
Volts/mt.
En el caso de un cuerpo cargado en el vaco, la intensidad de
campoelctrico es:
Donde: , Es la densidad volumtrica de la cargaV , Volumen del
cuerpo sobre el cual se realiza la integracin.
c) Potencial Elctrico:
Figura 1.2.3
Consideremos el campo elctrico debido a un carga qj. Supongamos
quedeseamos mover una carga positiva unitaria del punto A al punto
B, a lolargo de la trayectoria A-B. Como el campo elctrico debido a
qj ejerce unafuerza en la carga de prueba unitaria, se debe
efectuar un trabajo yconsumir energa para mover la unidad de carga
de A a B.En el punto P de la trayectoria AB, la intensidad de campo
elctrico Edebida a qj es :
Donde:
)51(........edq
41E rj
N
1j2j
j
o
=
=
)41(........qFE =
)61(........dVed4
1E rjV
2o
=
)71(........ed4
qE r2
o
j
=
jprp qdesdeppuntoaldistancialaesd
unitariovectorelese
-
8dEdV =
El trabajo hecho sobre la unidad de carga para moverla una
distancia d alo largo de la trayectoria AB es :
Donde:
El signo negativo significa que el trabajo es hecho sobre la
carga en contradel campo elctrico debido a qj.
El trabajo hecho para mover la unidad de carga de A a B es :
Si hay N cargas en un conjunto, el trabajo total realizado en la
unidad decarga es:
En la ecuacin (1-10), W es definido como la diferencia de
potencial entreA y B, esto es:
El potencial absoluto en el punto B dentro un campo elctrico es
obtenidoal colocar el punto A en el .
Como dA . En la ecuacin (1-11) se tendra:
El potencial V es una magnitud escalar, a diferencia del campo
elctricoE .
La relacin diferencial puede ser descrita por:
)81(........4
4 20
2 === drdq
ded
qdEdW jr
o
jj
drddede rr === coscos
9)(1........d1
d1
4q
drd4
qdEW
ABo
jdB
dA2o
jB
Aj
=
==
)101(........d1
d1
4q
WAB
N
1j o
j
=
=
)111(........d1
d1
4q
VVAB
N
1j o
jAB
=
=
=
=
N
1j Bo
j )121(........d4
qV
)131(........cosEddV =
-
9La componente del vector en la direccin de la tangente de la
trayectoria
AB en el punto P es dado por:
1.3 ALGUNAS LEYES BSICAS DE MAGNETOSTTICA
a) Fuerzas en cargas en movimiento: Campo Magnetosttico
Al tener cargas elctricas en movimiento estas experimentan
fuerzas debidoa la velocidad de las cargas llamadas fuerzas
magnticas y la regin en lacual existen es llamado como CAMPO
MAGNTICO. Se define un campomagntico en trminos de campos elctricos
en movimiento. Se define lacorriente elctrica como la rapidez de la
transferencia o de transporte decargas elctricas en un medio (por
ejemplo, una bobina o un alambre). Sedice entonces que un campo
magntico esta asociado a la bobina.Un campo magntico es usualmente
considerado compuesto de lneas defuerza llamadas lneas de flujo o
lneas de induccin. (representadas por ).
Figura 1.3.1
El Nmero de lneas de fuerza por unidad de rea, es una medida de
lafuerza del campo magntico. (y es llamada densidad de flujo) (B)
B=/SUnidades: (sistema MKS racionalizado)
[] = Weber o Volt-seg[ ]=B Weber/(mt)2[ ]=E Volt/mt
Ecuacin de la Fuerza de Lorentz:
Una carga q1 elctrica en movimiento a una velocidad uniforme v1
en unaregin de campo magntico B experimenta una fuerza adicional
llamadafuerza de Lorentz.
Si B es generado por otra carga q2 en movimiento a una
velocidaduniforme v2 entonces:
)151(........BvqF 11 =
)141(........ddVEt =
E
-
10
o o
Donde:E 2 es la Intensidad de campo elctrico debido a q2
es la velocidad de la luz (en el vaco =3108 m/seg).
b) Campo Magntico de un elemento de corriente en el vaco: Ley de
Biot-Savart.
Sabemos que I=dq/dt, la carga en la longitud elemental dl es
dq=ldt. Luegola intensidad de campo elctrico debido a esta carga en
el punto P es:
r es el vector unitario en la direccin r
La velocidad de carga es
Donde:
es el vector unitario en la direccin del flujo de la carga en
elconductor, esto es:
Este movimiento de carga origina un campo magntico, luego el
vectorelemental de la densidad de flujo esta dado aplicando la
ecuacin (1 16).
En la prctica, la corriente fluye en trayectorias cerradas. Si
la trayectoriadel flujo de la corriente es representada por C,
entonces el campomagntico total en cualquier punto del vaco debido
a la totalidad de lacorriente se obtiene al integrar la ecuacin (1
- 19) a lo largo de C.
Tambin expresado como:
)161(........Ev1B 222o
=
)171(........ed4
Idted4
dqE r2o
r2o
=
=
2udtd
2u
)181(........dtdu
dtd
2 ==
)191(........d
ed4
Ied4
dqudtdIBd 2
r2o
r2o
22o
=
=
)201(........d
ed4
IBC
2r
2oo
=
)211(........d
ed4I
BC
2ro
=
-
11
Conocida como Ley de BIOT-SAVART, donde0 =Permeabilidad del
vaco;
En el sistema MKS racionalizado metrovueltaAmp
weberxo
=7104
c) Campo Magntico en el centro de un anillo circular de
corriente en elvaco.
Consideremos un anillo circular de radio R por el que circula
unacorriente I. Es conveniente el uso del siguiente sistema de
coordenadas ,r, z donde:
Es el vector unitario en la direccin tangente al anillo circular
en elplano del papel.
r Es el vector unitario en la direccin radial en el plano del
anillo.z Es el vector unitario perpendicular al plano del
anillo.
rz
z
zr
eexeeexeeexe
)))))))))
=
=
=
r
Figura 1.3.2
De la figura:
La densidad de flujo B en el punto P puede ser obtenida de la
ecuacin(1-21):
Si en lugar de una sola vuelta de alambre, la bobina tiene N
vueltas muyjuntas y todas esencialmente del mismo radio, c/u
contribuye de maneraigual al campo magntico.El campo magntico en P
es igual a:
ooo
ooo
11 2 ==
eRdd =
)221(........eR2I
Ree(Rd
4I
B zo
2
02
roP
=
=
23)(1........e2RNIB zoP =
-
12
d) Campo Magntico de un solenoide largo:
Consideremos un solenoide de longitud L, donde L >>RI es
la corriente que circula en la bobina.La densidad de flujo en un
punto que est en el eje del solenoide o cerca del, pero no muy
cerca de los extremos, estar dado por:
Figura 1.3.3
1.4 OTRAS CONCLUSIONES TILES EN MAGNETOSTTICA
a) Continuidad de lneas de Induccin: El flujo o lnea de induccin
producidas por las corrientes siempre formanun circuito
cerrado.
Figura 1.4.1
El nmero de lneas que entra es igual al nmero de lneas que
sale,matemticamente se expresa:
Otra forma de expresar es: Divergencia de B = 0, esto es:
)241(........eLNIB zo
=
)251(........0dAnBAdBAA
==
-
13
)261........(0B =
0dB
J
[Ley de Gauss para Campos Magnticos]
b) Ley de circuitos de Ampere: Consideremos un anillo por el que
circula una corriente. Tenemos lneas de induccin originadas por sta
La integral de lnea del vector densidad de flujo, alrededor de
unatrayectoria cerrada en la misma direccin de las lneas de
induccin, estrelacionada con la ecuacin (suponiendo que se
encuentra en el vaco).
Figura 1.4.2
=
=
2
1
)(0
)(
2
10
C
C
corrientelaaenlazanoCatrayectorilaSidB
corrientelaaenlazaCatrayectorilasiIdB
.... (1-27)
Siempre se busca que , es decir que la trayectoria escogida
queenlaza a la corriente no es normal a la direccin de B. Si es el
vector densidad de corriente en el anillo por el que circula
staentonces: ==
A A
dAnJAdJI ........ (1 - 28)
Luego: =C A
o dAnJdB ........ (1 - 29)
Esta integral tambin se puede escribir en forma diferencial:
)301(........JB o =
-
14
Se define un vector Intensidad Magntica )311(........HB,H 0 = La
ley de circuitos de Ampere en trminos de H puede ser escrita:
)321(........dAnJAdJdHC A A
== En forma diferencial tenemos: Rotacional JH = esto es:
c) Caracterstica de Magnetizacin para el vaco:
Figura 1.4.3
1.5 CAMPO MAGNTICO DE UN TOROIDE
Se muestra el esquema de un Toroide.
Figura 1.5.1
Se deduce que las lneas de induccin dentro de un Toroide son
circulares.Consideremos una trayectoria circular dentro de un
Toroide.
Por simetra B es constante en todos los puntos de esta
trayectoria y sudireccin es a lo largo de la tangente de la
trayectoria en cada punto.
)331(........JH =
-
15
B
Luego haciendo uso de la Ley de circuito de Ampere:
)341(........NIld.BC
0 =C es la trayectoria circular de radio Rm
Esta trayectoria enlaza la corriente I, N veces, adems
tenemos:
edRdyeBB m ==
vara inversamente con el radio de la trayectoria, entonces no es
constante entodos los puntos de la seccin transversal del
Toroide.
Si suponemos que Rm>>d podemos decir sin perder precisin
que B es constanteen dicha seccin transversal. Si Rm es el radio
medio entonces la circunferenciamedia es m = 2Rm y la densidad de
flujo es :
Como B es el flujo por unidad de rea de la seccin transversal,
el flujo totaldentro del Toroide esta dado por:
Esta ecuacin se conoce como la LEY DE OHM para circuitos
magnticos.
La cantidad NI es llamada fuerza magnetomotriz (f.m.m.) m/0A
esdenominado la reluctancia de la estructura magntica ().Existe una
analoga con el circuito elctrico mostrado.
Figura 1.5.2
)361(........eR2NI
Bm
o
=
)371(........NIBm
o
=
)381(........
A
NINIABA
o
mm
o
=
==
)391(........A
VRVI
==
)351(........NI)2(BRdBRedReB om2
om
Cm ===
-
16
)441(........
)451(........
Donde: es la conductividad del material usado para fabricar el
resistor. es la longitud.A es el rea de la seccin transversal del
resistor.
Como B=oH de la ecuacin (1-35) tenemos que:
Se ha pretendido hacer una aproximacin de una estructura
magnticatridimensional en un circuito magntico de una dimensin.
Esto debido a laconfiguracin geomtrica y simtrica del Toroide.El
concepto de circuito magntico se ha desarrollado para una
estructuraparticular, conteniendo aire vaco.
1.6 ANALOGA ENTRE CIRCUITOS ELCTRICOS Y MAGNTICOSTABLA 1-1
RESUMEN
Ecuaciones de Maxwell en forma integral:
==A V
)411(........)GaussdeLey(dVQAdD
)421(........0AdBA
=A es una superficie cerrada.
====C A
AdJdH (Ley de Ampere, caso esttico) (1-43)
====C
0dE (Caso esttico)
C es la trayectoria en la cual es verificada la integral de
lnea.
====C A AdtBdE Ley de Faraday
Ecuaciones de Maxwell en forma Diferencial o Puntual:
Divergencia de un vector AA = Luego:
)401(........NIHm
=
-
17
)461(........ )471(........
)481(........
= D Ley de Gauss0B =
Rotacional de un vector cualquiera AA = , luego:JH = Ley de
Ampere (caso esttico)
tBE
= Ley de Faraday )491(..........
1.7 UNIDADES Y FACTORES DE CONVERSIN
ALGUNOS FACTORES DE CONVERSIN TILES
TABLA 1-3
Multiplicando Por Para obtener en pulgadasF en librasfmm en
gilbertsH en oersterds en lneas maxwellsB en lneas/pulg2B en
lneas/pulg2B en gauss
2.54x10-24.4480.79679.610-8
15.50x10-60.15510-4
en metrosF en nwetonsfmm en amp-vueltaH en amp-vuelt/m en
webersB en weber/m2B en gaussB en weber/m2
-
18
or
====
1.8 LEY DE CIRCUITOS DE AMPERE APLICADO A UN
NCLEOFERROMAGNTICO
)501(........AdJdHC A
= Relaciona corrientes elctricas y campos magnticos
- J es la densidad de corriente- H es la excitacin especfica o
intensidad de campo
Figura 1.8.1
- La integral de lnea de H a lo largo del contorno de una
superficie a travsde la cual pasa la densidad de corriente J es
igual a la corriente total atravs de ella.
- Los Amper-vuelta N i pueden proceder de uno o varios
bobinados, siendo Ni
el total de todos ellos.
[B]=Wb/m2 1 weber=108 lneas
- En el sistema MKS: 0=4x10-7 web/amp-vuelt-mt; permeabilidad
del vaco
permeabilidad del material ferromagntico es la permeabilidad
relativa r =[2,000 ; 6,000]
- La densidad de flujo B producida por H ser sumamente pequea en
todaspartes excepto en el hierro del ncleo.
51)(1........HiN mm =
)521(........HB o =
-
19
58)(1........
57)(1........
)621(........
Figura 1.8.2
- Las mquinas dispositivos de conversin de energa provistos de
una partemvil tienen necesariamente entrehierros en sus ncleos.
- Aplicando la frmula: Ni = Hm m + Hg gEl flujo es continuo a lo
largo del circuito magntico:
53)(1........HB mmm = 54)(1........HB gog = 55)(1........AB mmm
= 56)(1........AB ggg =
)(,gB
BiN gm
o
gm
m
m +=
gAAiN
ogmm
m +=
El trmino Ni se representa por y se denomina fuerza
magnetomotriz f.m.m.Los coeficientes del segundo miembro se
denominan reluctancia .
+++
===
m
gm
m
o
g
gm
g
gm
AA
g11
FFF
59)(1........A mmm
m =
60)(1........A
g0g
g =
( ) 61)(1........FiN gm +==
-
20
1.9 MATERIALES FERROMAGNTICOS
Los elementos ferromagnticos que se encuentran en la naturaleza
sonsolamente tres: el hierro, el niquel y el cobalto.
Entre stos naturalmente el de mayor uso es el hierro y sus
aleaciones con lostros dos y con tros metales (Al, Cu, etc.).
Algunas Aleaciones:
I) El Acero-Silicio: Es la aleacin ms importante el
hierro-silicio, tambinllamado acero-silicio, contiene un porcentaje
variable de -5% de silicio.Esta aleacin recibe adems un tratamiento
trmico y con ello se obtiene unmaterial que tiene mejor
permeabilidad y al mismo tiempo mayorresistencia elctrica y sto
implica una disminucin de las prdidas porcorrientes parsitas. El
acero silicio se fabrica en lminas de 8.5mm a9.35mm de espesor y de
acuerdo con el porcentaje de silicio se obtienendiferentes tipos de
aleaciones:i) Field Grade: % de silicio con una resistencia
especfica de 10-cm.
Se emplea en la construccin de pequeos motores.ii) Armadura
Grade : % de silicio con una resistencia especfica de
19-cm. Se emplea en pequeos motores generadores y en general
enlos dispositivos donde se desea tener altas densidades de flujo
sin queinteresen mayormente las prdidas en el ncleo.
iii) Electrical Grade: 1% de silicio con una resistencia
especfica de 26-cm. Se emplea en motores y generadores de potencias
medias, entransformadores, relays y otros aparatos diseados para
operacinintermitente.
iv) Motor Grade: 2.5% de silicio con una resistencia especfica
de 42-cm. Se emplea en motores y generadores medianos de buena
eficienciaen aparatos de control y en transformadores para
radios.
v) Dnamo Grade: 3.5% de silicio con una resistencia especfica
de50-cm. Se emplea en motores y generadores de alta
eficiencia,pequeos transformadores de potencia y transformadores de
radio.
vi) Transformador Grade: 5% de silicio con una resistencia
especfica de56-cm. Se emplea en los grandes transformadores de
potencia, engrandes alternadores de alta eficiencia y en
generadores sncronos.
Como se observa la resistencia especfica de las lminas aumenta
con elporcentaje de silicio y sigue aproximadamente la siguiente
ecuacinemprica:
= 12.5 + 11Si
resistencia especfica de la aleacin en -cm.Si porcentaje de
silicio.Un aumento de la resistencia se traduce en una notable
disminucin dedichas prdidas.
-
21
OTROS MATERIALES FERROMAGNTICOS:
Surgieron otros tipos de aleaciones que se dividen en materiales
blandos quepierden fcilmente su magnetismo y materiales duros que
pierden difcilmentesu magnetismo y que se emplean especialmente en
imanes permanentes. Entrestos materiales destaca el Alnico, una
aleacin de aluminio, nquel y cobalto.El permalloy y el numetal
tienen una permeabilidad muy elevada.
En diferentes equipos de comunicaciones en cambio se requieren
materiales depermeabilidad sumamente constante: se obtuvieron
entonces las aleacionesperminvar y conpernik.
Finalmente los materiales magnticos se emplean para imanes
permanentes eninstrumentos y estn sujetos frecuentemente a campos
alternos, cambios detemperatura y esfuerzos mecnicos que no deben
desde luego modificar suscaractersticas magnticas.
La propiedad principal que deben tener es un alto magnetismo
remanente y unaalta fuerza coercitiva. Tambin el producto (BH)mx
conviene que sea alto.
LAS FERRITAS
Las ferritas son materiales no metlicos que responden a la
frmula generalMeFe2O4, donde Me representa un metal bivalente.Con
las ferritas puede hacerse polvo, que luego mediante procesos
metalrgicosse forman los ncleos de la forma requerida.Estos
materiales se emplean para altas frecuencias porque tienen muy
altaresistividad y por consiguiente sus prdidas por corrientes
parsitas sonpracticamente nulas; tambin sus prdidas por histresis
son sumamente bajas.Tienen por lo tanto gran aplicacin en
electrnica.Se fabrican bajo diferentes nombres, como por ejemplo:
Ferroxcube, Ferramic,Ceramag, Crolite, etc.
LOS MATERIALES ANTIMAGNTICOS:
Estos materiales en realidad poseen un ferromagnetismo muy
pequeo(r=1.1-1.4) por esa razn se les puede emplear como Aislantes
Magnticos,cuando se desea aislar un circuito magntico de otras
piezas metlicas. Este esel caso por ejemplo de los pernos de amarre
de los ncleos de lostransformadores. Las aleaciones antimagnticas
empleadas en la prctica sondos:El acero al manganeso (12% de
manganeso) y el acero nquel. En ciertos casosse le aade un poco de
cadmio (3.8%) para mejorar las caractersticasmecnicas del
acero.
-
22
-
22
CAPTULO IIEXCITACIN DE ESTRUCTURAS
FERROMAGNTICAS CON CORRIENTEDIRECTA
2.1 INTRODUCCIN
Experimentalmente se ha comprobado que ciertos materiales al ser
colocadosen un campo magntico, stos reaccionan con el campo y lo
modifican. Estefenmeno es llamado magnetizacin y los materiales que
exhiben stacaracterstica son llamados materiales magnticos. Estos
materiales seclasifican en tres grupos: diamagnticos, paramagnticos
y ferromagnticos. Lamayora de los aparatos electromagnticos se
construyen de materialesferromagnticos. Estos materiales son
aleaciones de hierro y de algunos otrosmetales.Se supondr que la
corriente en la bobina de excitacin es invariante con eltiempo,
excepto durante el perodo de conexin desconexin de la excitacin.Si
como ncleo tenemos al vaco u otro material no magntico es posible
unclculo directo de la reluctancia (o=cte).En estructuras hechas de
material ferromagntico no puede hacerse un clculodirecto, ya que la
permeabilidad es una funcin de la densidad de flujo (empleode
mtodos grficos).
2.2 PROPIEDADES DE LOS MATERIALES FERROMAGNETICOS
1) Llegan a magnetizarse fuertemente en la misma direccin del
campomagntico donde estn colocados.
2) La densidad de flujo en los materiales ferromagnticos vara en
forma nolineal con la intensidad magntica, con excepcin de pequeos
rangos dondela variacin es lineal.
3) Los materiales ferromagnticos presentan saturacin, histresis
yretentividad.
Considerando un Toroide: Figura 2.2.1 El espacio encerrado est
lleno de algn material ferromagntico y la mismacorriente pasa a
travs del embobinado.
-
23
Suponiendo que el espacio encerrado es el vaco (o), la densidad
del flujodentro del Toroide, est dado por la expresin:
es la densidad de flujo intrnseco. Tambin:
Para materiales ferromagnticos X es una cantidad variable y
X>>1. Entoncesen forma general:
Donde: = 0+X, llamada permeabilidad [ ]
mvueltaampWebers
= , es mucho + grande que 0
Definimos una cantidad sin dimensin r llamado permeabilidad
relativa
La variacin de con respecto a H para un material ferromagntico
tpico escomo se muestra en la figura.
Figura 2.2.2
a) Saturacin:
B vara linealmente con H para valores pequeos de H, si H tiende
aincrementarse la variacin de B gradualmente decrecer. Para
valoresgrandes de H la curva caer es decir aunque H crezca
rpidamente Bprcticamente se mantendr sin incrementarse. Esta
caracterstica esconocida como saturacin.
)22(........NIB
)12(........XHNI
B
m
o
m
o
+=
+=
)42(........NIH
)32(........XH
m
=
=
)52(........HXHHB o =+=
)62(........o
r =
-
24
Figura 2.2.3 Figura 2.2.4
b) Histresis: Supongamos un medio lleno de material
ferromagntico sujeto a una magnetizacin cclica. Supondremos que el
material est en un estado neutro sto es que no est magnetizado. La
corriente en el embobinado es cero y sta condicin es representada
por el punto o.Aumentamos la intensidad magntica Hal incrementar la
corriente en elembobinado de excitacin, la densidad Figura 2.2.5de
flujo B se encuentra a lo largo dela curva ob, entonces para:
Luego disminuimos gradualmente la corriente magnetizante (H),
ladensidad de flujo a lo largo de la curva bd es diferente, vemos
que para unvalor especfico de H el valor de B es grande, cuando H
se disminuye quecuando se incrementa. Se dice entonces que el flujo
se retrasa con respectoa la intensidad magntica. Esta caracterstica
de los materialesferromagnticos es conocida como HISTRESIS. Si se
hace circular la corriente en direccin opuesta y es
incrementadagradualmente, el material magntico se magnetizar en
direccin opuesta. La df B vara a lo largo de la curva de dcb. La
intensidad magntica oces llamada fuerza coercitiva o coercitividad
para este valor de H ladensidad de flujo es cero. En el punto b
para -Hmax -Bmax. Si gradualmente se disminuye la H la densidad de
flujo varia a lo largode la curva bdb debido a la histresis. El
punto b difiere de b por unapequea diferencia. Si el material es
sujeto a ciclos repetidos de magnetizacin la curva B vs Hformar
finalmente un anillo cerrado, ste anillo es conocido como el anillo
ciclo de histresis. La amplitud de B depende de la amplitud de H y
laforma del anillo depende del material ferromagntico usado. El rea
delanillo de histresis es una medida del calor disipado en el
material debidoal ciclo de magnetizacin e histresis.
mxmx BH
Od
Od
Oc
ObOb
OOmOn
+Bmax
Densidad de Flujo B
OcIntensidad
Magnetica H
-Hmax
-BmaxOb
-
25
c) Retentividad:
Es la tendencia del material magntico de retener algo de
magnetismo andespus de quitar la excitacin. La ordenada od es la
densidad de flujoresidual. ! Remanencia: es la densidad de flujo
que permanece en un material
magntico despus de haber suprimido a la fuerza de
magnetizacinexterna.
! Retentividad: puede ser considerada como el valor mximo de
laremanencia.
! Anillos secundarios o auxiliares: se origina cuando se decrece
lacorriente ligeramente y regresa posteriormente a su valor
original.
2.3 CIRCUITOS APROXIMADOS DE APARATOS ELECTROMAGNTICOS
La tcnica de reemplazar los aparatos por circuitos est basada en
lassiguientes suposiciones:a) La configuracin geomtrica del aparato
es simtrico a ciertos ejes o planos
de tal forma que puede ser representado por un diagrama
esquemtico.b) Debido a la alta permeabilidad del material
ferromagntico el flujo
magntico se limita casi totalmente a las trayectorias de alta
permeabilidad. Los circuitos ferromagnticos no son lineales porque
la permeabilidad delmedio es una variable y es funcin de la
densidad de flujo magntico en laestructura. Generalmente el de
materiales ferromagnticos es de 103 a 104veces 0. Ejemplo de
circuitos aproximados de aparatos electromagnticos.
(B)
Mm
Ml Flujo de Dispersion
Flujo principal
Bobina deexcitacin
I
Nucleo ferromagnetico
(A)
I
M l
M m
-
26
MmFlujoFfmm
F=NI
(C)
Figura 2.3.1
(A) Estructura magntica de un reactor o transformador de ncleo
de
hierro. (B)Diagrama esquemtico de la estructura representada en
(A).
(C)Representacin del dispositivo de un circuito magntico.
(A)
(B)
(C)
Figura 2.3.2
(A) Estructura magntica de un relevador electromagntico. (B)
Diagramaesquemtico de la estructura representada en (A). (C)
Representacin deldispositivo de un circuito magntico
Mm
Ml
Pivote
Bobina de excitacin
(A)
Ncleo ferromagnetico
Entrehierro
Armadura (ferromagnetico)
I
Entrehierro1
Ncleo
Ml
Mm
Entrehierro2
Armadura Pivote
MmFlujo
Ffmm
F=NI
-
27
2.4 MTODOS DE ANLISIS DE CIRCUITOS FERROMAGNTICOS
Los siguientes principios forman las bases de los diferentes
mtodos de anlisisde circuitos ferromagnticos:a) Las dimensiones de
la estructura son tales que la B en cualquier seccin
transversal de la estructura puede ser considerada uniforme.
b) La longitud media de la trayectoria magntica puede ser usada
en todos losclculos.
c) En un circuito magntico alrededor de una trayectoria cerrada
la algebraica de las elevaciones de potencial magntico es igual a
la sumatoriade las cadas de potencial. En general tenemos:
Donde: jm = es la longitud media de la trayectoria magntica de
la seccin j en el circuito serie. Hj = es la intensidad magntica en
la misma seccin.
d) En una superficie cerrada que envuelve al punto P, la de los
flujosdirigidos hacia P es igual a la de los flujos saliendo de
P.
Figura 2.4.1
Factor de Apilamiento: los flujos variables en el tiempo inducen
corrientesen el ncleo ferromagntico y ocasionan prdidas de energa
debido alcalentamiento. Esta prdida de energa se reduce al mnimo al
construir elncleo en forma laminar, y aislando cada lmina por
tratamiento de sussuperficies revistindolas de papel impregnado en
aceite.
La relacin del rea efectiva al rea total de la seccin
transversal esllamada factor de apilamiento.(f.a.)
0.75 f.a. 0.95 generalmente
)72(........BA =
)82(........HNIFmmj
jmj ==
-
28
2.5 ENTREHIERROS EN CIRCUITOS FERROMAGNTICOS
Los entrehierros pueden ser inherentes o introducidos
intencionalmente.Ejm:
Figura 2.5.1
g1 Es necesario y es introducido intencionalmenteg2 Es inherente
en la construccin del relevador y es ocasionado por la
presencia de un pivote.
Es necesario un ncleo ferromagntico para obtener una gran
inductancia, peropara que sta sea menos sensitiva a los cambios de
corriente en la bobina deexcitacin, se introduce intencionalmente
un entrehierro.En todos los casos la labor de los entrehierros es
introducir trayectorias de otrareluctancia.
a) Efectos Marginales y de Dispersin de los Entrehierros
Figura 2.5.2
Al tener la gran reluctancia del entrehierro, la diferencia de
potencialmagntico entre los puntos P2 y P1 puede ser lo
suficientemente grande (ansi es pequeo) para que se esparzan las
lneas de flujo que estncruzndolo, esto es llamado efecto
marginal.El salto de flujo de P4 a P3 recibe el nombre de flujo de
dispersin. El efectomarginal hace que la B en el entrehierro sea
menor que la B en laporcin ferromagntica del ncleo, porque el rea
efectiva de la seccintransversal del entrehierro es ms grande que
el rea de la seccintransversal de la porcin ferromagntica del
ncleo.
-
29
2g1
g 22d
A
+
=
En la prctica se usan frmulas empricas para el clculo del
entrehierroefectivo:
a.1) Caso I: Los lados opuestos del entrehierro son paralelos y
tienenlas mismas dimensiones en su seccin transversal ademslg
-
30
PROBLEMAS RESUELTOSCAPITULO II
EXCITACIN DE CIRCUITOSMAGNTICOS CON DC
PROBLEMA N 2.1: Se debe disear un inductor que usa el ncleo
magnticode la figura. El ncleo tiene un rea uniforme de la seccin
transversalAc = 0,75pulg2 y su longitud promedio lc = 8 pulg. Tiene
un entrehierroajustable de longitud g y tendr un devanado de N
vueltas.
a) Calcular g y N tales que la inductancia sea 15 mH y de modo
que el inductorpueda trabajar con corrientes mximas de 5A sin
saturarse. Suponga que sepresenta la saturacin cuando la densidad
mxima del flujo en el ncleo esmayor que 1,7 T y que dicho ncleo
tiene permeabidad = 3000o .
b) Para una corriente en la inductancia de 5A, calcule: i) La
energamagntica almacenada en el entrehierro y ii) La energa
magnticaalmacenada en el ncleo.
Lg
AcLlc
Figura P2.1.1
SOLUCIN:
a) Calculando:
( ) g10645,11054,275,0104g
Ag 9
227co
g =
=
=
( )Wb/vueltaamp10395,111
1054,275,010430001054,28
Al
3c
227
2
c
cc
=
=
=
cgeq
NNL+
=
=
22
; cc AN
ILAN
B
=
=
-
31
( )
.m10694,210645,110101,443g
Wb/vueltaamp10101,44310395,11110152,91
LN
vueltas17665,911054,275,07,1
51015ABILN
49
3
333
2
c
2
g
22
3
c
=
=
=
==
=
=
=
b) i)
ii)
PROBLEMA N 2.2: El circuito magntico de la figura , consiste de
anillos dematerial magntico en un pila cuya altura es D . Si el
hierro tiene unapermeabilidad = 750o y omitiendo los efectos de
dispersin magntica yabombamiento.
Calcule:a) La longitud media lc del ncleo y el rea de la seccin
transversal.b) La reluctancia del ncleo y del entrehierro.
Para N = 75 vueltas, calcule:c) La inductancia.d) La corriente
necesaria para obtener un B en el entrehierro igual a 1,2 T.e) La
encadenamiento del flujo en la bobina.
Figura P2.2.1
SOLUCIN:
( )joules15,0W
10694,21054,275,02
7,1gA2
BW
gap
422
o
2
co
2
gap
=
=
=
( )
joules188,0WWW
joules1875,02
51015LI21
:oComproband
joules038,0W
1054,281054,275,06000
7,1lA2
BW
nucleogaptotal
232
nucleo
222
o
2
cc
2
nucleo
=+=
=
=
=
=
=
-
32
a)
b)
c) N=75 mNLI = entonces eqmNI =
Por lo tanto:eq
NL
=
2
Donde
d)
Por lo tanto: ( )A31,67I
75100344,211022,1
NAB
I64
gcc
=
=
+=
e) Wb018,01022,175ABNN 4cm ====
PROBLEMA N 2.3: Se propone un mecanismo de almacenamiento de
energaque consiste de una bobina arrollada a un cuerpo toroidal
grande no magntico( =o ). Tiene N vueltas, cada uno de seccin
circular de radio a. El radio deltoroide es r, medido al centro de
cada espira circular. La geometra de estedispositivo es tal que se
puede considerar que el campo magntico es cero encualquier lugar
fuera del toroide. Suponiendo que a
-
33
calcule el voltaje terminal necesario para lograr la densidad de
flujonecesaria en 25 seg. Suponga que la resistencia de la bobina
esdespreciable.
Figura P2.3.1
SOLUCIN:
a) 2oc ar.2iNAB ==
pero r
aNi
NL o2
22 =
=
Entonces:
mH707,15102
5,01000104L227
=
=
b) Para B=2T : A1010001042102
NBr2i 57
o
=
=
=
De esto tenemos:
joules10535,781010707,1521IL
21W 61032 ===
c) V8,622510107,15
dtdi.Lv
53
===
PROBLEMA N 2.4: El circuito magntico simtrico de la figura tiene
3devanados. Los devanados A y B tienen cada uno N vueltas y estn
devanadosen las 2 piernas inferiores del ncleo.
a) Calcule la inductancia propia de cada uno de los
devanados.
b) Calcule las inductancias mutuas entre los 3 pares de
devanados.
c) Calcule el voltaje inducido en el devanado 1 por corrientes
variables en eltiempo iA (t) e iB (t) en los devanados A y B.
Muestre que se puede usar estevoltaje para medir el desequilibrio
entre dos corrientes senoidales de lamisma frecuencia.
-
34
Figura P2.4.1
SOLUCIN:
Figura P2.4.2
a) eq
BBAANLL
==
2
donde )//( 21 gAAeq +++=
.Entonces:
+++
+++
=
+++==
o21A
o21A
A
c2
g21AA
2
BBAA g222
gAN
)//(NLL
o
A21
c2
1
Ag21
21
11 g2
AN
2
NL
+++
=
+++=
-
35
b)
( )[ ]
+++
=
+++
====
+++
++
=
+++++
==
oA
c
gABBAA
oA
o
A
c
gAA
gBAAB
gANNNNLLLL
g
gANNLL
21
1
21
11111
21
212
21
212
2)(2
2)(2
c) dt
iidLdt
iLiLdv BAABBAA)()..(
111
1+
=+
=
PROBLEMA N 2.5 : El circuito magntico de la figura , tiene dos
devanadasy dos entrehierros. Se puede suponer que el ncleo tiene
permeabilidad infinita:
a) Suponiendo que por la bobina 1 pasa una corriente I1 y por la
bobina 2 lacorriente es cero, calcule i) la densidad de flujo
magntico en cada uno delos entrehierros, ii) los encadenamientos de
flujo del devanado 1, y iii) losencadenamientos de flujo del
devanado 2.
b) Repita a) suponiendo que en el devanado 1 la corriente es
cero y en eldevanado 2 es I2.
c) Repita a) suponiendo que la corriente en el devanado 1 es I1
y la deldevanado 2 es I2.
d) Calcule las inductancias propias de los devanados 1 y 2, y la
inductanciamutua entre devanados.
Figura P2.5.1
SOLUCION:
Por ser considerado , entonces solo consideraremos las
reluctancias delentrehierro:
-
36
Figura P2.5.2
a)
i) 2
11o
2
22
1
11o
1
11 g
INAgBg;
gIN
AgBg ==
==
ii)
+=+=2
2
1
1o1
212111 g
AgAIN)gg(N
iii) 2
211o2222 g
AINNgN ==
b) 2
2211
Fg0g:Entonces0F
===
i)2
o22
2
221 g
INAgBg;0Bg
===
ii) 2
2o221211 g
AINNgN ==
iii) 2
2o22
2222 g
AINgN ==
c) Usando superposicin:
i) ( )22112
o2
1
11o1 ININg
Bg;g
INBg +=
=
ii) 22
221o1
2
2
1
121o1 Ig
ANNI
gA
gAN
+
+=
222111
2o
22
1o
11
2211
INFINFAg
gAg
gAAgAAg
==
=
=
==
2
12
1
112
FgFg:Entonces0F
=
==
-
37
iii) 22
22
2o1
2
221o2 Ig
ANIg
ANN
+
=
d)
2
22
2o22
2
22102112
2
2
1
121o11
gAN
L
gANNLL
gA
gANL
=
==
+=
PROBLEMA N 2.6 : Para el circuito suponga que la permeabilidad
del ncleoes 02000 = y que N = 100 vueltas . Se especifican las
dimensionessiguientes.:
R1= 1 cm R2 = 3 cm. =2,5 cm
H = 1 cm g =0,2 cm
a) Calcule los valores de h y R3 de modo que la densidad de
flujo dentro delncleo sea uniforme.
b) Calcule la inductancia del devanadoc) El ncleo va a trabajar
a una densidad mxima de flujo igual a 1,5 T y a una
frecuencia de 60 Hz. Calcule los valores correspondientes mximo
y en rmsdel voltaje inducido en el devanado.
d) Repetir c) para una frecuencia de 50 Hz.
Figura P2.6.1
SOLUCIN:
a) Para que la densidad de flujo dentro del ncleo sea uniforme,
se debe tenerla mxima rea de seccin transversal.
SECCIN TRANSVERSAL DE UN CIRCUITO MAGNTICODE SISTEMA
CIRCULAR
-
38
cm1623,3RRR
)RR(RAA
22
213
22
23
21
31
=+=
=
=
Figura P2.6.2
Se toma 2
21 RRR += para mantener el uniforme en la pierna superior y
en
la pierna inferior:
cm25,0RR
RR2
Rh
RRh2AA
21
21
21
21
12
=
+=
=
=
=
b)
Wb/vueltaamp100653,5)03,0031623,0(104
10x2,0g
)RR(g
Aggg
6227
2
22
23oo
=
=
=
=
En la pierna central:
Wb/vueltaamp10x26925,601,02000
10x95,4R2000
hg2A
42
0
2
21oc
cc =
=
+=
=
En la pierna superior e inferior:
Wb/vueltaamp10x9,3)RR(h2
RRhR22
RRA2
RRA2
RRR
4BT
21
3232
2
32
2
232
BT
==+
+=
+=
+=
+==
En la pierna extrema:
-
39
mH753,3eq
100eq
NL
Wb/vueltaamp1044175,26622
eq
Wb/vueltaamp10015,6)RR(
10x75,4)RR(
h2
22
4ogBC
ogTBC
422
23
2
22
23
o
=
=
=
=+
++=+++
+=
=
=
=
c)Wb107124,401,05,1RBAB 42211pico
====
dtdNVindFaradayporqueyaNVpico pico == :
Donde tsenpico =
4107124,4100602Vpico =
V562,12
2VpicoVrms
V765,17Vpico
==
=
d)
V468,10Vrms
V8,14107124,4100502Vpico 4
=
==
PROBLEMA N 2.7 : En la estructura magntica mostrada el flujo en
la ramaC es 101,25 10 6 Wb. El ncleo est hecho de hojas H-23 (0,5
mm) con f.a. =0,90.Encuentre la corriente en la bobina de excitacin
y la inductancia?(hacer correccin por entrehierro y desprecie el
flujo de dispersin)
B= 1mm C = 2mm N = 500 espiras
Figura P2.7.1
SOLUCIN:
-
40
Figura P2.7.2 Figura P2.7.3
24CBA
B
CA
CA
CCCAAAA
BBBCCC
BBBAAAA
CBA
6c
m10025,29,0100
5,1100
5,1a.fbatnaAAA
m045,0cm5,4)5,16(m15,0cm15:Entonces
)5,16(2)5,175,3()3.(..........HHHIN
)2.(..........HHHH)1.(..........HHHIN
Wb1025,101
C
BC
B
======
===
===
=++=
++=+=+++=
+==
AbAa
a.ftnbgeom
=
-
41
BBB
B
B
BC
C
C
CC
C
C
C
B
ABAB:dondede54,570H045,0H001,0
H1000
1H045,01000
2107852,215,090
HHHH:)2(enemplazandoRe
m/vueltaamp107852,210435,0BH
m/Wb35,01089,2
10025,25,0B:entonces)(;AA
BB
:cualloConm/vueltaamp90H:)23H(HBcurvaladeLuego
m/Wb5,010025,21025,101
AB
m1089,2100
2,05,1100
2,05,1A
m1056,2100
1,05,1100
1,05,1)b()a(A
BBB
B
B5
BBBCCC
57
o
24
4
CC
C
C
24
6
C
CC
24
24gg
==
=+
+=+
+=+
=
==
=
===
=
==
=
+
+=
=
+
+=++=
BBB2642,1B
025,256,2BB ==
BH
310B
H BB BBBB 264,1= BH BB H
570,5 3105,570 0,7169 0,9062 135 6,075
564,5 3105,564 0,7094 0,8967 132,5 5,9625
Donde .104 7BB
HB = HB se obtiene de la curva B-H del material una vez
obtenido BB
-
42
.mH10,10929,1
1081475,2500I
NL:Entonces
A29,1500
4625,645I
vueltaamp4625,64510105,564045,05,13215,0500IN:)1(En
m/vueltaamp500H:obtenemosHBcurvaladeym/Wb39,1A
B
Wb1081475,2Wb1080225,1ABym/Wb89,0B
4
A
AA
A
33AA
A2
A
AA
4CBA
4BBB
2B
=
=
=
==
=++=
===
=+=
===
PROBLEMA N 2.8 : La estructura ferromagntica de la figura,
estcompuesta de 30 lminas (H-23 ) de 0,35 mm de espesor con un
factor deapilamiento de 0,92 posee 2 bobinas de igual nmero de
vueltas y alimentadascon corriente continua .a) Calcular el
entrehierro necesario para tener un flujo de 1,21 x 10 4 Wb en
el ncleo, sabiendo que la pendiente de la recta del entrehierro
es 0,5.(despreciar el efecto de borde ).
b) La corriente necesaria para que su inductancia sea 0,5Hc)
Calcular el entrehierro necesario para aumentar L en un 12,5 %
(despreciar efecto de borde)
Figura P2.8.1
SOLUCIN:
Podemos considerar elsiguiente circuito:
Figura P2.8.2
De donde obtenemos las siguientes relaciones:
2NI
2 g ma
-
43
gmgm
ggmm
mgm
m
gmm
gmmmm
BBAAreaeldondeABAB:doConsideran
HA2A
INB
AB2HIN2
==
=
=
+=
24
4
m
2433m
3mmm
m/Wb795,0105225,1
1021,1B
m105225,11035,030105,14tnaAm319,0m105,1422a22)a6a5(2AB
=
=
===
===+==
Si Hm=0 entonces: Bm=Bmo
I6,21417892,0105225,1
I30ABIN
AINB 4
mmog
gmmo =
=
=
=
Figura P2.8.3
a)
mm1939,0m10939,1
105225,110442,1013450AA
:Pero
Wb/vueltaamp42,1013450:)1(EnA7318,430955,141I
vueltaamp955,141IN
4g
47gogg
go
gg
g
==
==
=
===
=
b)
2319,0890ININ2H
HH0B:Si
mmo
momm
=
=
==
-
44
2314,41321021,15,0
IN2:cuallocon1021,1
:anterioresresultadoslosTomandoLIN2
IN2L
44
=
==
=
=
y tambin:
A26212,02314,4132
955,1412I:aquDe
I955,14122314,4132
IIN2entonces955,141IN 22
=
=
==
=
Vemos que para las mismas condiciones de a), tenemos que variar
N.
vueltas54226212,0
955,141N
:Entonces
=
c)
( )m
cm
mmc
gmmmmgm
gmbc
AN2ILB
IABN2
IN2L
AB2H2IN2:luegoAA;H5625,0L125,1L
=
=
=
+=+====
Del resultado anterior: 2
4m m/Wb8934,0105225,1542226212,05625,0B =
=
De la curva: Hm=135 amp-vuelta/m
.mm1694,0m10694,1
105225,1104387,885328AA
Wb/vueltaamp387,885328105225,18934,02319,0135955,1412
AB2HIN2
AB2HIN2
4g
47gogg
go
gg
4g
mm
mmggmmmm
==
==
=
=
=
=+=
PROBLEMA N 2.9 : Se pide disear una bobina de inductancia
variable conncleo de hierro normalizado, empleando lminas de acero
silicoso H-23 de0,5mm de espesor y que tenga las siguientes
especificaciones tcnicas:
d=2 fw=0,30 f.a.=0,95
-
45
Bmax=1Wb/m2=constante L=variable entre 1 y 5HCalibre del
conductor=#17AWG Entrehierro inicial=g1=5mm
Se desea saber:a) El rango de variacin de la corriente de
Excitacin.b) El nmero de espiras a utilizarsec) El nmero de
lminas requeridad)El entrehierro final (g2)
Figura P2.9.1
SOLUCIN:
Tenemos: 4d3
2d
2d3A;)1(..........
hdBIL
SBILN
2
wefmmm
==
=
=
Mientras que para el factor:
( )
4436,1ILmm038,1S:entonces,AWG17#calibredeesconductorelComo
S41008,513,01008,53ILcm08,52dh
:hacemosDonde
ShBfd
43IL
Sfd
43
hdBIL
:)2(y)1(De
)2(..........S
fd43N
4d3SN
ASNf
2cu
cu
232
ef
cu
efmw3
cu
w2
efm
cu
w2
2cu
w
cuw
=
=
====
=
=
=
=
=
a) Para L variable: Cuando L=1H entonces I1=1,4436 A
Cuando L=5H entonces I2=0,28872 A
c)
1005,08,50ntnhef ==
n =nmero de lminas
b)
-
46
espiras560n)1008,5(1
4436,1dBIL
dhBILn
IdhBN
INL 222
mefm
efm
=
=
=
=
=
d)
.ctegm
IN
eqeq
=
+
= Figura P2.9.2
Entonces:)0();( = eqeq mosconsideramqueyaoentrehierrggIN
.mm1g
54436,128872,0
Iigg:cuallopor
gg
II:Entonces
2
1
212
2
1
2
1
=
=
==
PROBLEMA N 2.10: Utilizando la estructura, se ha creado un
entrehierroadicional en la columna A de valor 5 veces el
entrehierro en C . Sabiendo que lanueva FMM es de 50 amp-vuelta en
la columna central B, determinar el flujototal del sistema.
(Despreciar efecto de Borde)
Figura P2.10.1
SOLUCIN:
Calculando el gC con NxI inicial:
Figura P2.10.2
geqa
meqa
NI
).......(..........HHH)(..........HH88IN
)(..........
CggCCAA
AABBAABB
CAB
+=+==+=
+=
ga
A
ca
NI
Ba
A C
B
-
47
( )
6CC
CCg
CCAAC
ogoggC
C2
C
2BB
A2
A
AA
4A
2633g
24AB
24C
33A
B
CA
10)g40()g20(SB
B
HHg
HB
m/vueltaamp152H:HBcurvam/Wb94,0B:)(Dem/Wb15,1B:HBcurva216H:)(De
m/vueltaamp375H:HBCurvam/Wb36,1S
B
Wb1079,9Como
m10)g40()g20()g1040()g1020(Sm104,14S2S
m102,7S9,010401020Sm06,0mm60
m2,0mm20060702
++
=
===
==
==
===
=
++=++=
==
===
==
===+=
mm06625,0gC =
Por lo tanto, el nuevo entrehierro: mm33125,0g5g CgA A ===
Con la nueva FMM =50, tenemos:
.Wb10184,5SB:Entoncesm/Wb36,0B:HBgrficalade
m/Wb57,06,61018104,14
50Y
Wb/vueltaamp6,61018S
g65//
104,1450
SINY
m/vueltaamp3,19210260
50INX
4Bmm
2m
24o
Co
Cggg
g4
gBo
3m
o
CAeq
eqeq
==
=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
PROBLEMA N 2.11 : En la estructura ferromagntica mostrada,
calcular lalongitud del entrehierro g de tal manera que el flujo en
la columna A sea de9,79x10-4Wb. Se sabe que la FMM es de 88 AV y el
circuito magntico esthecho de lminas de acero silicio H-23 de 0,5
mm de espesor, con un factor deapilamiento de 0,90 (Considerar
efecto de Borde).
-
48
Figura P2.11.1
SOLUCION:Tenemos el siguiente circuito equivalente:
Figura P2.11.2
4C
44CCAABBCAB
2B
BB
A2
24
4
A
4A
2633g
24AB
24C
33A
B
CA
ggCCAA
AABBAABB
CAB
102,7B102,736,1104,1415,1SBSBSB
m/Wb15,1B:curva216H:aqude88H06,02,0375:Entonces
m/vueltaamp375H:curvam/Wb36,1m102,7Wb1079,9B
Wb1079,9Como
m10)g40()g20()g1040()g1020(Sm104,14S2S
m102,7S9,010401020Sm06,0mm60
m2,0mm20060702HHH
HH88IN
+=
+=+==
==+
==
=
=++=++=
==
===
==
===+=
+=
+==+=+=
gca
A
ca
NI
Ba
A C
B
-
49
)1020316,0()10204445,0(104101,0
)g2a.ftn()g2d(
g
2S
gS2
g2
m1033,1105,0601054,247tndA;
AINY
m/vueltaamp33,4151054,2
475,6
3,0400INX
447
3
o
gb
gbggbBoAo
ga
2332m
gm
2m
eq
eq
++
=
+
+=
==
=
=
===
=
=
=
=
mm06625,0g
)HH(g
H10)g4()g2(
102,794,0B
m/vueltaamp152H:obtenemoscurvaladeym/Wb94,0B
CCAAo
go4
4
ggC
C2
C
=
==++
==
==
PROBLEMA N 2.12 : Se tiene un circuito magntico compuesto de 60
lminasde acero silicoso H-23 de 0,5 mm de espesor tipo E-I
normalizado ensambladocon un factor de apilamiento f.a = 0,95 y un
bobinado de 400 espiras ubicado ensu columna central. Considerar
efecto de borde. Se pide:a) Calcular la inductancia del bobinado
cuando sta se excita con una
corriente continua de I = 0,3 A.b) Calcular la corriente
necesaria para incrementar en 27 % el flujo B
manteniendo constante el entrehierro.
mmg
d
1,0
431
=
=
Figura P2.12.1
SOLUCIN:
a) I
NL B=Tenemos el siguiente circuito equivalente: d5,6m =
Figura P2.12.2Por el mtodo grfico:
gaa
A Ba
NI2_
-
50
253
5g
5gb
m/Wb806,01012,11033,1
3,0400Y:Entonces
Wb/vueltaamp1012,1
Wb/vueltaamp1056,0
eq
=
=
==
De la curva B-H:
2Bm m/Wb63,0BB ==
Figura P2.12.3
H1172,13,0
400L
Wb10379,81033,163,0AB
B
43mmB
=
=
===
b) T8,0B27,1B27,1 BBBB ===
Trazando una recta paralela a la anterior en la curva B-H, que
pase por: BB=0,8Wb/m2
A404,0400
5,61054,247560
I
m/vueltaamp560INX
2
m
=
=
=
=
PROBLEMA N 2.13 : Disear una bobina (Inductancia ) con ncleo de
hierrode espesor 0,5mm y que cumpla las siguientes especificaciones
tcnicas :Inductancia (L) = 15 mHCorriente D.C. (I) = 4 AmpDensidad
de Corriente (J) = 4 Amp / mm2Induccin mxima : 0,8 Bm 1,0 tesla.Fa
tor de ventana: (fw) = 0,32FaSe
a)b)c) d)c
ctor de Apilamiento(f.a) = 0,92 pide determinar:
El calibre del conductor (AWG) y el nmero de espiras (N) de la
bobina. El nmero de lminas ( n ) a emplearse.
La longitud del entrehierro ( g ). Evaluar la nueva inductancia
para un entrehierro 0g = .
-
51
Figura P2.13.1
SOLUCIN:
a)
mm4,251d:tomarPodemos.mm57,22d
10595,232,01
101510038,1434
fBLSI
34d
:Entonces.dh:diseoPor
hdAdondeABIL
Sfd
43N
ASN
f:queYa
)AWG17(#mm038,1S
:tomamoscuallopormm144
JIS
SIJ
736
wm
cu4
ef
efmmmcu
w2
w
cuw
2cu
2cu
cu
==
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
====
b)50ndmm25tn5,050hef ==== lminas
Tenemos:
T995,0B:tenemos95NConespiras95N
488,941035,61
41015AB
ILN:Entonces
m1035,61054,21025dhA
m
4
3
mm
2423efm
==
=
=
=
=
===
c)Teniendo la siguiente expresin deducida:
m1651,01054,25,6d5,6d5,2d4;donde
BIN
AAg
21g
2m
r
m
m
o
m
i1i
===+=
=
+
-
52
[ ]
mm252,0
mm252,01035,6
1675,7234,2g
m101675,7Ag
)1025,0292,01025()1025,021054,2(Ag
mm25,01035,6
139,7234,2g
:maneraigualDe
m101390,7Ag
)102234,0292,01025()102234,021054,2(Ag
)g2a.f
h()g2d(Agmm2234,0g
AAg:Haciendo
mAAg
10234,2g
497300625,0
;m/vueltaamp165H:HBcurvaladeT995,0BunPara
g
43
242
33
322
42
241
33
321
1ef
111
mo
m
i41i
rr
mm
=
==
=
+
+=
==
=
+
+=
++==
=
=
===
==
+
d)Por ser el ncleo simtrico:
Figura P2.13.2
H217,01651,0
1035,600625,095L
00625,0eldoconsideran;ANL
:EntoncesAS
SS2:PeroSS22
42m
m2
m
m
B
BA
BAB
B
A
AB
A
=
=
=
=
=
+=
=
+
=+=
Ba
NI
A2
-
53
PROBLEMA N 2.14 : Se desea disear una inductancia con un ncleo
dehierro normalizado EI H-23 con lminas de 0,5 mm de espesor y
dimetrod=1, bajo las siguientes especificaciones:
Inductancia (L) : 2mHCorriente D.C (I) : 10 Amp.Densidad de
Corriente (J) : 5.0 Amp/mm2.Induccin mxima (Bm) : 1 Tesla.Factor de
ventana (fw) : 0,30 f.a : 0,95
Calcular :a) El nmero de lminas a emplearse ( n )b) El nmero de
espiras (N) y el calibre del conductorc) La longitud del
entrehierro ( g )
Figura P2.14.1
SOLUCIN:
a)50nAsumiendo = lminas (adecuado)
2423m m1035,61054,2105,050dtnA
===
b)
De la curva B-H del material: 00625,0
m/vueltaamp160H,T1B mm=
==
2m
4
3
mm
2cu
2cu
24222w
mo
r
m/Wb98425,0:ser32NparaB.espiras32N
496,311035,61
10102ABILN
AWG14#:conductordelCalibremm08,2Smm25/10J/IS
m108387,4)1054,2(43d
43A
m1651,0d5,62d5d44973
=
=
=
=
=
=
===
===
==+===
-
54
c)
=+r
m
m
o
m
i1i B
INAAg
21g
Reemplazando valores:
[ ]
( ) 24333211mo
m
i41i
m1088,6)101877,0295,0
105,050(101877,021054,2Ag
mm1877,0gAAg:Tomando
mAAg
10877,1g
+
=+
+=
==
=
De igual manera:
mm2,0
mm2,0100375,235,6893,610877,1g
m10893,6)102,0295,0
105,050()102,021054,2(Ag
m10034,235,688,610877,1g
g
443
2433
322
442
=
==
=+
+=
==
PROBLEMA N 2.15 : La estructura ferromagntica mostrada en la
figuraest compuesta de 50 lminas de hierro silicioso H-23
normalizado de 0,5 mmde espesor y 2 bobinas idnticas de 120 espiras
cada una y un f.a= 0,95.Considerar efecto de borde.Se pide
calcular:a) Los flujos en las columnas para una corriente continua
de excitacin de 2 Amp.b) La inductancia del sistema.c) El nuevo
entrehierro para disminuir la densidad del campo en el entrehierro
en un 12 % manteniendo la I = constante.
Figura P2.15.1
SOLUCIN:
-
55
254
gBgB
m
537
3
gog
m
2333
32g
24AB
C2453
A
m/Wb344,110812,2107,12
2240S
INS
INY
m/vueltaamp5,145433,0
2240INX
Wb/vueltaamp10812,210415,1104
105,0S
gm33,0d5,6
m10415,1)1095,01025()101008,5()g2
a.ftn()g2d(S
m107,12S2S
Sm1035,6105,05054,2105,0502dtn
2dS
Beq
B
B
B
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
==
=+
+=+
+=
==
=====
Figura P2.15.2
a)
Wb103,72
Wb1046,115,1107,12BS
4BCA
34mBB
===
===
b)
H1752,02
1046,1240I
240I
)(240I
NL3
BCA=
=
=
+=
=
c)
mm684,1g:tenemosvaloresreemplazarAl
m10608,1)g2a.ftn()g2d(S
m10608,190816,0
1046,1B
S
m/Wb90816,0B%88B:problemaelPara
m/Wb032,110415,11046,1
SB:Tomando
23g
233
g
Bg
2gg
23
3
g
gggB
B
B
=
=+
+=
=
==
==
=
===
-
55
CAPTULO III EXCITACIN DE ESTRUCTURAS
FERROMAGNTICAS CON CORRIENTEALTERNA
3.1 INTRODUCCIN
Los campos magnticos varan con el tiempo cuando estn
relacionados conmuchos aparatos magnticos prcticos, tales como:
transformadores, motores ygeneradores. En general dicha variacin es
peridica.
Si la estructura magntica est hecha de un material
ferromagntico, esnecesario examinar la prdida de energa en el ncleo
debido al campomagntico y las formas de onda de flujo y de la
corriente de excitacin.
Supondremos que la frecuencia de las seales peridicas usadas
essufi ra no considerar la radiacin de ene
3.2 LEY DE FARADAY DE INDUCCIN ELECTROMAGN
Tenemos un conductor en forma de anillo, y algunas lneas magneto
a otra bobina portadora de corriente que no este
Las lneas de flujo se cierran sobre s mismas y estas enlaza
Si se mueve un magneto en la vecindad del conductor se ielctrica
en la trayectoria conductora cerrada cuando el relativamente al
magneto.
Lneas de flujo enlazando una bobina de unaFigura 3.2.1
Lneas de induccinrga.cientemente baja paTICA
de flujo debidas a undibujada.
n el conductor.
nduce una corrienteconductor es movido
vuelta.
Conductor
-
56
Ley de Faraday
Una fuerza electromotriz (f.e.m.) es inducida en un medio cuando
se cambia elenlazamiento de flujo magntico asociado con el medio.
Si el medio es unconductor de electricidad y forma una trayectoria
cerrada, una corriente fluyeen l debido a la f.e.m. inducida. La
magnitud de la f.e.m. inducida esproporcional a la rapidez de
cambio en el tiempo de los enlazamientos delflujo.
La Ley de Lenz nos ayuda a determinar el sentido de la f.e.m.
inducida y por lotanto de la corriente.
El sentido de la f.e.m. inducida es tal que ocasiona el flujo y
una corriente enuna trayectoria cerrada con una direccin tal que la
corriente tiende acontrarrestar el cambio de los enlazamientos de
flujo.
Ejemplo: Si las lneas de flujo estn disminuyendo, entonces la
corrienteinducida circular en la direccin de las manecillas del
reloj, de tal manera queel flujo establecido por la corriente,
tiende a cancelar la disminucin del flujooriginal.
Ambas leyes se comprueban y se expresarn por:
( ) 1)(3........dtd
t dNde(t) ==
Donde:
e(t) es la f.e.m. inducida en volts (MKS) es el flujo inducido
en Webers (MKS)N es el nmero de vueltas del conductor son los
enlazamientos del flujo en Webers vueltat es el tiempo en segundos
(MKS)
Si e(t) es negativo, entonces e(t) es considerado como una
elevacin de voltaje(fuente) y se opone al voltaje aplicado en cada
instante de tiempo.
Si e(t) es positivo, entonces e(t) es considerado como una cada
de voltaje.
La ecuacin (3-1) puede ser escrita en otras formas
diferentes:
)2(3.........dAA ndtBdldE
C = )
En forma diferencial:
3)(3........dtBdE =
-
57
3.3 RELACIN ENTRE VOLTAJE APLICADO PERIDICO, VOLTAJEINDUCIDO Y
FLUJO EN UN NCLEO MAGNTICO EXCITADO PORUNA SOLA FUENTE
Tenemos un ncleo que puede ser o no ferromagntico, con una
bobina deexcitacin. Un voltaje peridico v(t) (no necesariamente
senoidal), se aplica a labobina de excitacin.
V(t)
Rg
R
Ri (t)
R (t)
Una corriente i(t) fluye y un flujo (t) se establece en el
ncleo. El flujo variablecon el tiempo induce una tensin en la
bobina de excitacin e(t). Aplicando laley de Kirchoff y tratando a
e(t) como una cada de voltaje, tendremos:
( ) ( ) )4(3........t d
dNRRgi(t)e(t)RRgi(t)v(t) ++=++=
Suponiendo que: ( ) e(t)RRgi(t)
-
58
Donde: T es el perodo de la onda
6)(3........2
f1T ==
es la frecuencia angular en rad/seg
De la ecuacin (3-5), tenemos que:
7)(3........v(t)N1
t dd
=
Estamos suponiendo que el sistema se encuentra en estado estable
y que lostransitorios de la conexin inicial han expirado, por lo
tando las ondas delvoltaje inducido y de flujo son peridicas y
simtricas con respecto al eje deltiempo.
En el punto A, v(t) es cero y tiende a crecer, t d
d en A es cero y tambin tiende a
crecer, 22
t dd en A es positiva, entonces (t) tiene un mnimo relativo en A
igual
a mx. Analizando de forma anloga, en B, (t) tiene un mximo
relativo mx..
Integrando ambos lados de la ecuacin (3-7) de A a B y aplicando
los lmitesapropiados, tendremos:
t dv(t)N1d
B
A
B
A
t
t = ] [ ]v(t)deciclomediobajoArea
N1mx
mx =
prompromABprommx V2Nf
12TV
N1)t(tV
N12 ===
8)(3........4fN
Vprommx =
9)(3........ N f 4V mxprom =
Definimos el factor de forma para configuraciones de ondas
peridicas:
10)(3........promedioValor
eficazValorformadeFactor =
= T
0
T
0
2
v(t)dtT1
(t)dtvT1
f.f
-
59
Factores de forma para algunas configuraciones:
Tabla 3-1Forma de
OndaValor
MximoValorEficaz
ValorPromedio
Factor deForma
Senoidal Vmax 0.707 Vmax 0.636 Vmax 1.11Triangular Vmax
0.578Vmax 0.500 Vmax 1.16Cuadrada Vmax Vmax Vmax 1.00
De las ecuaciones (3-9) y (3-10), tenemos:
( ) 11)(3 f Nf.f4V mxeficaz = ........En el caso de voltajes no
senoidales:
12)(3........2N
v(t)deciclomediobajoreamx =
En el caso de las ondas senoidales:
! En el caso de estructuras magnticas, excitadas con corriente
directa, el valormx no es afectado por la naturaleza del material
ni por las dimensiones delncleo.
! La magnitud, como la forma de onda de la corriente de
excitacin depender dela naturaleza del ncleo as como de sus
dimensiones.
3.4 FORMA DE ONDA DE LA CORRIENTE DE EXCITACIN EN UNSISTEMA
FERROMAGNTICO CON FLUJO SENOIDAL
Se describir ahora un procedimiento grfico para obtener la forma
de onda dela corriente de excitacin.
a) Se considera i(t)(Rg+R)0 y v(t) se supone senoidal v(t)=Vmax
sen t y
14)(3........t senEe(t) mx =
Considerando e(t) como una cada de voltaje, Vmax=EmaxDe la
ecuacin (3.5):
15)(3........t cos(t) mx =
La siguiente figura muestra v(t) y (t), pero no a e(t). Tambin
se muestran (t)vs i(t) para el ncleo, obtenida de la curva B-H.
13)(3........ N 4.44fV mxeficaz =
-
60
Flujo 3 3
2 2 4 4
3 2
4
3 2
4
5
5
1
1 1
0
Mostrando las formas de onda de la corrientede excitacin para el
flujo senoidal en un ncleo
ferromagnetico.
Figura 3.4.1
Como el anillo de histresis es no lineal y tiene dos valores
para una mismaabscisa, la forma de onda de la corriente de
excitacin no es senoidal, ancuando el flujo lo sea.
b) Se considera e(t)
-
61
c) Si e(t)i(t)[R+Rg] y v(t) se supone senoidal, la determinacin
de las formasde onda de i(t), e(t) y (t) cuando v(t) es senoidal es
extremadamente difcilya que (t)=f(v(t), i(t)) en magnitud y forma.
Pero pueden ser obtenidas porel mtodo de prueba y error.
3.5 ENERGA ALMACENADA EN UN NCLEO MAGNTICO EXCITADOPOR UNA SOLA
FUENTE
Tenemos las siguientes suposiciones:
1. El espesor del ncleo es relativamente pequeo comparado con
sus demsdimensiones, de modo que la densidad de flujo es uniforme a
travs de laseccin transversal del ncleo. Se usa la longitud media
m.
2. Aunque la resistencia de la bobina de excitacin es
efectivamentedistribuido a lo largo de la bobina, se representar
como un parmetroconcentrado por la R externa y se supondr que la
bobina en s no tieneresistencia.
3. El flujo establecido por la corriente es confinado a la
seccin transversal delncleo.
Tenemos un ncleo magntico sometido a una fuente de energa
elctrica y seincrementa la corriente i(t) estableciendo un flujo.
Una f.e.m. se induce en labobina.
( ) 20)(3t d
dt d
Ndt d de(t) === ........ N
La energa elctrica suministrada por la fuente en un tiempo dt
(excluyendo laprdida hmica en la resistencia R) es:
21)(3........dt i edW =
La ecuacin (3-20) en (3-21)
22)(3d F d id i Nt d iddNdW ==== ........
t
Suponiendo que el ncleo tiene flujo y corriente cero inicial; si
luego esincrementado a un valor i1 se tendr que la energa total
suministrada al ncleopor la fuente es:
23)(3 == ........ 1010 Fd d iW
Donde 1 y 1 son el flujo y los enlazamientos de flujo,
correspondientes a la i1.W se llama energa almacenada porque la
energa fluye de la fuente al campo yes frecuentemente representada
por W W campo.
24)(3........d F d iW 10
1
0
==
-
62
La ecuacin (3-24) se representa grficamente:
W ser el rea comprendida entre la curva vs F y el eje de flujos.
'W es el rea comprendida entre la curva vs F y el eje de fuerza
magnetomotriz.
25)(3F
F dW1
0= ........'
La coenerga no tiene un sentido fsico.
Adems:
=BA, entonces d =A dB; vara de 0
F=H entonces dF= dH
Donde A es el volumen del ncleo.
=
volumendeunidadalmacenadaEnerga
VolW
BHdBw
1
0=
Energa almacenada y coenerga en un ncleo ferromagnticoFigura
3.5.1
Coenerga 'W
EnergaAlmacenada
W
F.m.m F
Flujo
1
F1
B HdFW 10
1
0=
= a 1, B vara de 0 a B1.
== wenergadedensidad
27)(3........
26)(3........B HdBVolAdB 10
=
-
63
Analizando de forma anloga:
28)(3BdH = ........HVol 10W'La densidad de Coenerga:
29)(3........H
BdHw1
0= '
rectngulodelreaFWW 1 ==+ 1'
En cualquier estructura que consta de un nmero de ramas en serie
y/o enparalelo, donde la seccin transversal es uniforme
tenemos:
)30(3........B dBHVolalmacenadatotalEnerga i0
i
n
1ii =
=
31)(3........H
dHBVoltotalCoenerga i0 i
n
1ii =
=
Donde n representa el nmero total de secciones.
CASO ESPECIAL: LA CURVA B VS H DEL NCLEO ES LINEAL
En este caso:
32)(3........PF21
21F
21WW 212111 ==== '
Donde: es la reluctancia del ncleo P es la permeancia del
ncleo
Igualmente las ecuaciones (3-27) y (3-29) pueden ser
representadas de lasiguiente forma:
33)(3........H21
B
21BH
21ww 21
21
11 ==== '
Donde , es la constante de permeabilidad del material magntico
lineal. La e.c.(3.32) puede tambin expresarse en trminos de la
inductancia de la bobina deexcitacin.
La inductancia es un parmetro pasivo de un circuito elctrico, la
cual es unamedida de los efectos del campo magntico asociado con
una parte del circuito,debido al flujo de una corriente en esa
parte en partes adyacentes.
-
64
La inductancia propia L de la bobina de excitacin es definida
como elenlazamiento de flujo L establecidos por unidad de corriente
en la mismabobina. 34)(3........LiL =
En el sistema MKS racionalizado, L est expresado en Henrys.
[ ]Amp
SegVoltAmp
VueltaWeberHenry ==
Luego:
35)(3.........t di dL
t d de ==
Tambin:
36)(3........NiPFPF ==
=Como: PiNN 2== Luego: 37)(3........PNL 2 =
La ecuacin (3-32) pasa a ser:
( ) ( ) 38)(3........Li21Ni
N1
21NiP
21WW 222
2==== '
3.6 REPRESENTACIN MATEMTICA DE LA CORRIENTE DEEXCITACIN NO
SENOIDAL i(t)
La forma de onda de la corriente de excitacin , i(t) no es
senoidal cuando v(t)es senoidal, el ncleo es ferromagntico, y
i(R+Rg) e(t)).
La forma de la onda de i(t), tiene las siguientes
caractersticas:
a) La forma de onda de i(t) es simtrica con respecto al eje de
tiempo; elmedio ciclo positivo y el medio ciclo negativo son
semejantes y de igualrea, esto a causa de la simetra del anillo de
histresis con respecto a losejes coordenados y de la simetra de la
forma de la onda del voltaje aplicadocon respecto al tiempo.
b) La forma de onda de i(t) satisface la condicin:
39)(3........)2T(ti)(ti 11 +=
donde T es el perodo.
-
65
c) La funcin i(t) no es impar ni par
No cumple f(t) = -f(-t) (no es impar) No cumple f(t )= f(-t) (no
es par)
d) Satisface las condiciones de Dirichlet
1) f(t) tiene solo un nmero finito de mximos y mnimos en (a,b)2)
f(t) est acotada y3) f(t) tiene slo un nmero finito de
discontinuidades finitas en (a,b)
Por l como una serie deFour rmino constante essupri
(t)i =
Expre
(t)i =
La po
Sustit
Forma de onda de la corriente de excitacin i (t) Figura 3.6.1o
tanto, la forma de onda de i(t) puede expresarseier, pero esta slo
contiene armnicas impares. El t
mido, estando presentes nicamente los trminos senos y cosenos.
Luego:
40)(3....................t sen3It senI............t cos3It
cosI
b3mxb1mx
a3mxa1mx
+++
++
sada en valores eficaces de sus componentes:
41)(3..........]..........t sen3It senI............t cos3It
cos[I2
b3efb1ef
a3efa1ef
+++
++
tencia instantnea suministrada por la fuente a la bobina de
excitacin es:
42)(3........v(t)i(t)P(t) =
uyendo ambas ecuaciones. De v(t) e i(t), v(t)= 2 Vef senwt
-
66
43)(3..............................t sent sen3It
senI............t sent cos3It sent cosI
2VP(t)b3ef
2b1ef
a3efa1efef
++
++=
La potencia promedio est dada por:
44)(3........IVt d t wsenI2VT1p(t)dt
T1P
T
0
b1efef2
b1ef
T
0
efprom === Todos los dems productos no contribuyen en nada a la
integral. Solamente lacomponente Ib1ef enwt de i(t) contribuye a la
potencia promedio.
La nica componente de la corriente de excitacin que contribuye a
la potenciapromedio es la componente Ib1efsenwt sea aquella que
este en fase con elvoltaje aplicado y tiene la misma frecuencia.
Como R+Rg0 entonces PPromentregada a la bobina de excitacin es
disipada en el mismo ncleo.
45)(3........IVPncleoleenPrdida b1efefn ==Luego como:
[ ] 46)(3...........t sen3It cos3It senIt cosI2(t)i
b3efa3efb1efa1ef ++++= .....Este trmino es llamado componente de
las prdidas en el ncleo de la corrientede excitacin. Los trminos
restantes establecen el flujo y por lo tantoconstituyen la
componente de magnetizacin de i (t), tendremos entonces:
47)(3........(t)i(t)i(t)i mP +=
Donde: 48)(3........t senI2(t)i b1efP =
[ ] 49)(3....................t sen3It cos3It
