Libro Precalculo 1

7/26/2019 Libro Precalculo 1

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Calidad que se acredita internacionalmente

METODOLOGA DEL

APRENDIZAJE

(TEXTO UNIVERSITARIO)

GUA DE PRCTICA

DE

Preclculo


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VISIN

Ser una de las 10 mejores universidades

privadas del Per al ao 2020, reconocidospor nuestra excelencia acadmica yvocacin de servicio, lderes en formacinintegral, con perspectiva global;promoviendo la competitividad del pas.

Material publicado con fines de estudioPrimera edicinHuancayo, 2016

MISIN

Somos una universidad privada innovadora y

comprometida con el desarrollo del Per, que se

dedica a formar personas competentes, integras y

emprendedoras, con visin internacional, para que

se conviertan en ciudadanos responsables e

impulsen el desarrollo de sus comunidades,

impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes

e inspiradores; y generando una alta valoracin

mutua entre todos los grupos de inters


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Preclculo I

PRESENTACIN

Preclculo I es una asignatura que tiene como finalidad sentar las bases paradesarrollar y fortalecer las habilidades numricas del estudiante universitario.Las habilidades numricas se revelan en la capacidad para manejar y utilizarnmeros en operaciones matemticas e implica la agilidad mental para larealizacin de operaciones con nmeros; la Matemtica es la ciencia que seocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambiosy relaciones, as como la incertidumbre. Si miramos a nuestro alrededor vemosque esos componentes estn presentes en todos los aspectos de la vida de laspersonas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de comunicacin,entre otros. Es evidente, que en nuestra sociedad, dentro de los distintosmbitos profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezasmatemticas. Estas habilidades coadyuvan la formacin del perfil profesional denuestros estudiantes que les permitirn el desarrollo de la lgica y elrazonamiento en sus actividades personales, acadmicas y profesionales.

En concordancia con lo anterior, la competencia que desarrolla la asignatura es:Identifica, define, analiza y aplica los diferentes teoremas, propiedades en losnmeros reales, funciones en la solucin de situaciones problemticas,demostrando inters en los trabajos de investigacin, tolerancia y respeto a losdems.

Es recomendable que el estudiante trabaje y lea con responsabilidad el presenteMaterial de Trabajo y formule sus dudas a su docente para que pueda desarrollarlas prcticas planteadas. Adems, requiere la revisin y consultacomplementaria de otros libros, principalmente los propuestos en la bibliografabsica y complementaria del slabo; incluso de informacin confiable de Internety otros medios electrnicos. Es inexorable la visita a la plataforma de bsquedade ProQuest. Este recurso, que ofrece nuestra universidad a travs de laBiblioteca Virtual, representa una mejor manera de buscar, encontrar, usar ycompartir la informacin.

Finalmente, agradecemos a los docentes de Matemtica: Ing. Edwin Floreslvarez e Ing. Roco Vargas Navarro; quienes trabajaron en la elaboracin delpresente Manual ya que sus aportes y sugerencias han contribuido a mejorar lapresente edicin.


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Preclculo I

NDICE

Pg.

PRESENTACIN

NDICE

PRIMERA UNIDAD: Nmeros Reales 1

Tema N 1: Nmeros reales y sus propiedades

Tema N 2: Exponentes y radicales

Tema N 3: Polinomios y factorizacin

Tema N 4: Polinomios y factorizacin

Tema N 5: Resolucin de ecuaciones e inecuaciones con unavariable

SEGUNDA UNIDAD: Funciones 26

Tema N 1: Coordenadas rectangulares. Grficas de funciones.

Ecuaciones lineales con dos variables

Tema N 2: Funciones. Anlisis de grficas de funciones. Catlogo

de funciones bsicasTema N 3: Transformaciones de funciones. Algebra de funciones

y funciones compuestas

Tema N 4: Funciones inversas

Tema N 5: Modelizacin y variacin.

Tema N 6: Funciones polinomiales y grado superiorTema N 7: Ceros en funciones polinomiales. Funciones

racionales


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Preclculo I

TERCERA UNIDAD: Funcin Exponencial y Logartmica 58

Tema N 1: Funciones exponenciales y sus grficasTema N 2: Funciones logartmicas y sus grficasTema N 3: Propiedades de logaritmos

Tema N 4: Ecuaciones exponenciales y logartmicasTema N 5: Modelos exponenciales y logartmicas

CUARTA UNIDAD: Funciones Trigonomtricas 82

Tema N 1: Medicin de ngulos en radianes y en grados.Funciones trigonomtricas y el crculo unitarioTema N 2: Funciones trigonomtricas de un ngulo cualquieraTema N 3: Identidades trigonomtricasTema N 4: Leyes de seno. Leyes de los cosenos


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Preclculo I

1

RESULTADO DE APRENDIZAJE

Al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de, resolver

ejercicios de nmeros reales, polinomios, ecuaciones e

inecuaciones aplicando los procedimientos del clculo en

situaciones formales y de la vida cotidiana

LOS NMEROS REALES

Unidad I


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Preclculo I

2

Utilizar instrumentos, tcnicas y formulas, individual ygrupalmente, para entender los nmeros reales

PRCTICA N 1Tema: CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES

Ejercicios

A. Nivel Bsico:

Llene los espacios en blanco

1.Un nmero real es _________ si se puede escribir como la razn p/q entre dos

enteros, donde q 0

2.El punto 0 sobre la recta de nmeros reales se llama __________

Propiedad Adicin Multiplicacin

Clausura . Conmutativa abba a.bb.a

Asociativa c)ba()cb(a c.)b.a()c.b(.a

Elementoneutro

Es el cero 0porque:a0aa0

Es el 1 porque:a1.aa.1

Elementoinverso

Es a porque:0)a(a

Para 0a esa

1porque

1a

1.a

Distributiva c.ab.a)cb(.a


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Preclculo I

3

3. Indique la(s) propiedad(es) de los nmeros reales que justifica(n) cadaafirmacin:a) 2612 es un nmero real b) 1 = c) 2+(7+5)=(2+(7))+5 d) = 1e)(x+3)(2y+7)=(x+3)(2y)+(x+3)(7) f) (3)[4(5)]=[3(5)](4)

g)5 [2 ( 2 ) ] = 5 h) 3(x+2)=3(2)+3xB. Nivel Medio

1. En los siguientes ejercicios, determine qu nmeros del conjunto son (a)

nmeros naturales, (b) nmeros enteros, (c) enteros (negativos y

positivos), (d) nmeros racionales y (e) nmeros irracionales.

a) { -9, -7/2, 5, 2/3, 2, 0, 1, -4, 2, -11 }b) {

5, -7, -7/3, 0, 3, 12, 5/4, -3, 12, 5 }

c) {2.01, 0.666, 0.7575, -4,63, 10, -75, 4 }d) { - , -1/3, 6/3, , 2, - 7.5, - 1.8, -22 }e) 25, -17, - 12/5, 9, 3, 12. /2, 7, -11.1, 13 }

2. En los siguientes ejercicios, (a) haga una descripcin verbal del

subconjunto de los nmeros reales representados por la desigualdad o el

intervalo, (b) trace el subconjunto en la recta de nmeros reales.

a) x 5 g) x -2b) x < 0 h) x > 3

c) [ 4, ) i) ( -, 2 )

d) -2 < x < 2 j) 0 x 5

e) -1 x < 0 k) 0 < x 6

f) [ -2, 5 ) l) ( -1, 2 ]

3. En los siguientes ejercicios, use notacin de desigualdad y notacin deintervalo para describir el conjunto.

a) y es no negativob) y es no mayor a 25

c) x es mayor a -2 y a lo ms 4

d) y es al menos -6 y menor que 0

e) t es al menos 10 y a lo ms 22

f) k es menor que 5 pero no menor que -3

g)El peso del perro, W, es ms de 65 libras

4. Evale las siguientes expresiones


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Preclculo I

4

a) |10|b) 3|3|c) |3 8|d)

|1| |2|

e) 3 |3|f) ||5. En los siguientes ejercicios, escriba el smbolo correcto ( o = ) entre

los dos nmeros reales.

a) |3| |3| d) |6| |6|b)

|4| |4| e)

|2| |2|

c) 5 |5| f) 2 26. En los siguientes ejercicios, use notacin de valor absoluto para describir

la situacin

a) La distancia entrexy 5 es no mayor a 3

b) La distancia entrexy -10 es al menos 6

c) y est al menos a seis unidades de 0

d) y est como mximo a dos unidades de a

7. Indique la(s) propiedad(es) de los nmeros reales que justifica(n) cadaafirmacin:

a) x + 9 = 9 + x e) 2 = 1b) + h 6 = 1 , h 6 f) x 3 x 3 = 0c) 2( x + 3) = 2.x + 2.3 g) ( z 2 ) + 0 = z 2

d) x + ( y + 10 ) = ( x + y ) + 10 h) x( 3y ) = ( x . 3 )y = ( 3x )y

C. Nivel Avanzado

1.En el diseo de un ingeniero aparece un tringulo equiltero cuyo lado mide8. Indica un procedimiento para que el ingeniero pueda tomar la medidade la longitud de dicho lado y pintar el tringulo.

2. Un delineante debe pintar un cuadrado cuyo lado mide

11indica cmo

puede obtener la medida de dicho lado.


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Preclculo I

5

3. En los ejercicios, el departamento de contabilidad de una compaa

embotelladora de bebidas para deporte est comprobando si los gastos

reales de un departamento difieren, en ms de $500 o en ms de 5%,

respecto de los gastos presupuestados. Llene las partes faltantes de la tabla

y determine si cada gasto real pasa el examen de varianza de presupuesto

.

Gastopresupuestado Gasto real

b a | | 0.05Sueldos $112 700 $113 356

Utilidades $9 400 $9 772Impuestos $37 640 $37 335Seguros $2 575 $2 613

4. Use la grfica de barras, que muestra la recaudacin del gobierno federal

(en miles de millones de dlares) para aos seleccionados de 1996 a 2006.

En cada ejercicio se indican los gastos del gobierno federal. Encuentre la

magnitud del excedente o dficit para el ao.

Ao Recaudacin Gastos ||1996 $1560.6 miles de millones

1998 $1652.7miles de millones

2000 $1789.2miles de millones2002 $2011.2 miles de millones

2004 $2293.0 miles de millones

2006 $2655.4 miles de millones


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Preclculo I

6

Ejercicios Propuestos

1. En los siguientes ejercicios, determine qu nmeros del conjunto son (a)

nmeros naturales, (b) nmeros enteros, (c) enteros (negativos y

positivos), (d) nmeros racionales y (e) nmeros irracionales.

{0,10,50, 227 ,0.538, 7,1.23 , 13 , 2 } {1.001,0.333,,11,11, 1315 , 16,3.14, 153 }

2. Indique la(s) propiedad(es) de los nmeros reales que justifica(n)

cada afirmacin:

a) x 9 = 9 xb) 2 = 1c)

+ 6 = 1 , 6d) 3 3 = 0e) 2 0 = 2f) 1(x+1)=x+1

g) 5 = 5 h)

1 0 = 10

i) 3 = 3j) 3 4 = 3 3 4k)

(7 12) = 7 12 = 1 12 = 12


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Preclculo I

7


PRCTICA N 2Tema: TEORA DE EXPONENTES

Se llama as a los conjuntos numricos expresados comopotenciacin y que se pueden representar de la siguiente manera:

na = P a es la base n es el exponente P es la potencia

PROPIEDADES.

1.EXPONENTE CERO

105:Ejemplo10 x

2.EXPONENTE NEGATIVO

8

18- x:Ejemplo1

xmx

mx

3.MULTIPLICACIN DE BASES IGUALES2210751075 x:Ejemplo xxxx

pnmx

pxnxmx

4.DIVISIN DE BASES IGUALES 5510510

5

10x:Ejemplo xxxx

nmxnx

mx


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Preclculo I

8

5.MULTIPLICACIN DE BASES DIFERENTES

2744)343(83732327:Ejemplo mymxmxy

6.DIVISIN DE BASES DIFERENTES

81

16

43

42

4

3

2:Ejemplo

m

y

mx

m

y

x

7.DIVISIN DE FRACCIONES CON EXPONENTE NEGATIVO

16

81

42

43

4

2

34

3

2:Ejemplo

m

x

ym

y

x

8.POTENCIA DE UNA POTENCIA

24

1244324

32x:Ejemplo

xxx

mnx

nmx

9.EXPONENTE FRACCIONARIO

5

4

5 4:Ejemplo xxn

m

xn mx

10. RAZ DE RAZ 120 32543 33 4 5 3:Ejemplo xxxmnpqxm np qx

11. RAZ DE UN PRODUCTO525 255 105 2510:Ejemplo yxyxyxnynxnxy

12. RAZ DE UN COCIENTE

5

2

4 625

4164625

16:Ejemplo

ny

nxny

x


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Preclculo I

9

Ejercicios

A. Nivel Bsico:

1. Simplificar:

1n23

1n9

1n9

1n23

; n N

2. Simplificar:

3m22

m215

5m2

1m26

4m2

2m25

3. Efectuar:

75227

49251615

912

333

4. Al reducir:

8642

424)2(4242

x.x.x.x

x.x.)x.(x

Se obtuvo: nx

Hallar: n;

5. Reducir:

37x....

7x.

5x.

3x.

1x

40x....

10x.

8x.

6x.

4x

6. Indicar el exponente final de (xy) en:

veces30

)2y2x).......(2y2x)(2y2x(

veces20

3)xy.......(3)xy(3)xy(4y4x

7. Siendo: "n" un nmero natural mayor que la unidad; al efectuar:n/1

n3n2

n2n3

Tendremos:

8.

Simplificar.


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Preclculo I

10

2bbbbb 12bbb

B.Nivel Medio:

1. Reducir:nnn

Q

27

82

9

4

2

3

2. Reducir:

20 3

410 138 5 2

x

xxE

3. Calcular el valor de :

2

144

3

4

834

n

n

T

4. Hallar el valor de x:0

73 3813 132

x xx x

5. Hallar el valor de x:

16

9

3

41

4

3

x

6. Reducir:

22

22

22

R

3 2

X


12612432252223642

xxxx

xxS


230.

914.

415

380.

335.

621

P


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Preclculo I

11

9. Efectuar:

nmnmn

nmnmQ

43.6

23.6

10.

Resolver:

m mxm

m

mxmmxR 2

1111

C.Nivel Avanzado

1. Hallar el valor de la expresin:

n nn

n

C 22224

120

nnnnn2

33/22

342n3Q

:rSimplifica.21

16veces9

5............

5.5

.643

8 35xF.22

xxx

xx

x

21

31

337552

243

10243

1

8000

72941

625

8127K

:Ejecutar.23

3634103310321031103103

:Re.24

xxxxx

solver

10

91

9

11

3 52

3 4 25

:quecumplesesim""devalorelCalcular.25

bambcab

mbca


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Preclculo I

12


PRCTICA N 3Tema: FACTORIZACIN

FACTOR ALGEBRAICOUn polinomio F no constante ser factor algebraico de P si y slo

si P es divisible por F.

Ejemplos:

P (x)= (x + 2) 3(x + 1)2

Son factores algebraicos de P (x ):

FACTOR PRIMOUn polinomio F ser primo de otro polinomio P si F es factor

algebraico de P y primo a la vez.

Ejemplos:

P (x)= (x + 2) 3(x + 1)2 (x + 5)6Son factores primos de P (x):

P (x)= (x) (x + 2)6(x 1)2

Son factores primos de P (x):

FACTORIZACINEs el proceso de transformacin de un polinomio en una

multiplicacin indicada de sus factores primos o sus potencias.Multiplicacin

P (x)= x2+ 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Factorizacin


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Preclculo I

13

A.Nivel Bsico:

1. Factorizar: x2y + x2z

2. Factorizar: 2a2x + 6ax2

3. Factorizar: m2+ 13m 30

4. Factorizar: x217x 60 ; e indicar uno de los factores primos

5. Factorizar: 16x225y4

6. Factorizar: 4x281y4

7. Factorizar: 100 x2y6 ; e indicar uno de los factores primos

8. Hallar la suma de los factores que se obtienen de factorizar:2p2+ 3rp + 4p + 3rp

9. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de uno de sus factores.3ab + 1 + 3b + a10.Factorizar: 4x2(x + y)2

11.Factorizar: a(x 1) (a + 2)(x 1)

12.Factorizar: 18a213a 5

13.Indicar el nmero de factores primos de:4x220xy + 25y2

14.Factorizar: 4m(a2+ x 1) + 3n(x 1 +a2); e indicar la suma de coeficientesde uno de los factores primos.

15.Factorizar: m n + x(m + n)

16.Indica un factor de: 6x813x4+ 6

17.Desarrollo: 8m327n12 e indicar un factor

18.Factorizar: x(a 1) + y(a 1) a + 1

19.Cuntos binomios se obtienen de la factorizacin de:

48

x81

a

20.Factorizar: (m n)2+ 6(m n) + 9

21.Factorizar: 3m26mn + 4m 8n; e indicar la suma de los factores primos.

22.Factorizar: 2x23xy 4x + 6y e indicar uno de los factores primos


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Preclculo I

14

B.Nivel Medio:

12222222.30

22222222a.29

222222222.28

3212543x.27

223223223a.26

222a.25

2

105101761717x.24

29298388x.23

2272

33

24

1x.22

22222222abd21.

1x1x2x1x2x3x20.1112

51

1012

71a.19

24

22222a18.273 x.17

12274 x16.32042c.15

1072 x14.42523029b.13

1286x12.10428912256a.11

2a10.11xa.9

1144786831264x8.12274n x.7

2412

2y-x96.22322244 x5.

1xy1y

xxyxyy

x4.nm x.3

72259yx2.22411482a72x.1

baba

cbacbabcacabcb

bacbac

xxxxxx

bacacbcb

bacacbcbyyxx

yyxx

xxx

dbaccbaddabcc

aaa

cdabdcb

xc

xaba

ymb

bxaxabxb

yxyxynx

yxyxyxyxyxxyy

nxy

mxynmy

yxyxbyaxbyaxby


21/129

Preclculo I

15

C.Nivel Avanzado:


22/129

Preclculo I

16


PRCTICA N 4Tema: ECUACIONES


23/129

Preclculo I

17

A.Nivel Bsico:

1. 2x-34=-20 Sol: x=7 2. 9x+8=7x+6 Sol: x=-1

3. 4x+3=3x+5 Sol: x=2 4. 7x+9=3+9x Sol: x=3

5. x-8=2x-11 Sol: x=3 6. x+1=2x-7 Sol: x=8

7. 6x+6=4+8x Sol: x=1 8. 9+9x=17+5x Sol: x=2

9. 2x+3=3x Sol: x=3 10. 25-2x=3x+20 Sol: x=1

11. 4x+1=3x+3 Sol: x=2 12. 5x-3=10x-6 Sol: x=3/5

13. 1+8x=-16x+31 Sol: x=5/4 14. 5x-11=15x-19 Sol: x=4/5

15. 12x-48=-15x-30 Sol: x=2/3 16. 2x+17=3x+7 Sol: x=10

17. 10-5x=x-2 Sol: x=2 18. 70-3x=4x Sol: x=10

19. 48-3x=5x Sol: x=6 20. -4x+30=-3x-10 Sol: x=40

21. 10x-15=4x+27 Sol: x=7 22. x-3(x-2)=6x-2 Sol: x=1

23. 3x+1=6x-8 Sol: x=3 24. 3x-7=2(x+1) Sol: x=9

25. 47-3x=5+11x Sol: x=3 26. 2(2+4x)=3+12x Sol: x=1/4

27. 30-9x=-7x+21 Sol: x=9/2 28. 5x=7(5x-3)+3 Sol: x=3/5

29. 3x-10=2x+1 Sol: x=11 30. 2(x-5)=3x-17 Sol: x=7

31. 25-2x=3x-35 Sol: x=12 32. 2+5(x-13)=x-3 Sol: x=15

33. 75-5x=3x+3 Sol: x=9 34. 2x-1=3(2x-15) Sol: x=11

35. 5+8x=2x+20 Sol: x=5/2 36. 2(x-2)=-(4-x) Sol: x=0

37. 2y-3=y+5 Sol: y=8 38. 2(3x-49)=-x+14 Sol: x=16

39. 2-6x=3x-1 Sol: x=1/3 40. 20=2x-(10-4x) Sol: x=5

41. 60x-1=3(1+12x) Sol: x=1/6 42. 5(x-1)+10(x+2)=45 Sol: x=2

43. 2x+3(2x-1)=x+67 Sol: x=10 44. 12x+3(2x-4)=60 Sol: x=4


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Preclculo I

18

B.Nivel Medio:

59. 4+x=2+2

3x 60.

3

6-x-

2

x=8-x

61. 3+7x=

43x-x 62. 3+x=

35+x2

63.3

1+

3

2x=6-

4

9x 64. 11-x=

4

3x-

6

5x

65. 1+6

2x=7-

5

3x 66. 6)-(x

9

5=10-x

67.9

2x+10=x+

3

x 68.

3

x-12=1+

2

3x

69. 3-x=2

x+

5

x 70.

4

6-5x=7-4x

71. 4-5x=3

2+x 72.

8

7=

20-3x

10-2x

73. 21=x+6

3x+

4

x 74.

6

5-

2

5x=

6

13-

4

x

75. 94=5x+

4x+

3x 76. 16+

5x=10+

3x

77. 3-3+x

10=

3+x

7-x 78. 3-2x=

5

x+9-3x

79. 6=1+x

12_5

3x

80.30

x-2-

5

2x=5+

4

x

81. 1-1-x

x=1+x

3

82. 6

18+2x-=20)-(x5-8

5x

83.2

x+x=

5

1+x+x 84. 2x+

4

3-x+1-=

8

x-7-3x

85. 9-=8

5x-

4

2x+

10

3x-8 86.

3

x+1=

6

x+3+

2

1+x

87. 0=10

x-

2

3x+2-

5

3x 88. 3=

5+x

4x+3+

5+x

10


25/129

Preclculo I

19

C.Nivel Avanzado:

89.1-x

2+2x=

1+x

3+x-

1-x

2+x2

90.4

1-5x=

4

1-3x-

6

3-7x

91. 1-32-4x=

41-3x-

63-4x 92.

127x-3+2x=x+

63+x-

41)+(x3

93. 3-10

x=

3

x-2-

5

2x 94. 0=

2+x

5-

10+x

15

95.1+x

7+

1-x

2=

1-x

3-3x+

1+x

22

96.4

2-3x=2-

9

3x-

4

1+2x

97.

1-x

5=

4-3x+x

3-

4+x

3-

1-x

52

98.

2+x

18=

4-x

6+12x-

2-x

152

99.a

ab-b=a+x+a)+(ba-x)-(bx)+(a

222

100.a-x

1=

a+x

1+

a-x

122 101.

2

x+1=2-

2a

x

102. 2=

1+x1-x-2

1-x

1+x+1

103.

2

2-5x=x

4

1-

2

5-x+

3

x

104.2

2)+(x-3-x=

2

2)-(x3-

3

3-x 105.

2

3+x-

3

3-x=

2

3-x-

5

3-x

106.3

2x-9+1=

6

x+5+

2

1+x

107. 4-)2-(x=2

2-x-

3

2+x-2)-(xx

2

108. 4x-)2-(x=2

2-x-

3

2+x-2)-(xx

2

109.2x

3=

1)-(x1)+(xx

1+2x-x2


26/129

Preclculo I

20

ECUACIONES DE 2 GRADO

110. x2-7x+12=0 Sol: x=3; x=4 111. x2-9x+18=0 Sol: x=3; x=6

112. x2-5x+6=0 Sol: x=2; x=3 113. x2+8x+15=0 Sol: x=-5; x=-3

114. x2-6x-27=0 Sol: x=-3; x=9 115. x2-6x+9=0 Sol: x=3

116. x2+6x=-9 Sol: x=-3 117. 4x2+4x=3 Sol:x=1/2;x=-3/2

118. x2-9x+14=0 Sol: x=2; x=7 119. x2-6x+8=0 Sol: x=4; x=2

120. 2x2+10x-48=0 Sol: x=3; x=-8 121. x2-x=20 Sol: x=-4; x=5

122. x2=5x+6 Sol: x=6; x=-1 123. 2x2-5x+3=0 Sol: x=1; x=3/2

124. x2+10x+25=0 Sol: x=-5 125. x2+9=10x Sol: x=1; x=9

126. 3x2

-39x+108=0 Sol: x=4; x=9 127. 2x2

-9x+9=0 Sol: x=3; x=3/2128. 3x2+2x=8 Sol: x=-2; x=4/3 129. 4x2+12x+9=0 Sol: x=-3/2

130. 5x2+1=6x Sol: x=1; x=1/5 131. 6x2+1=5x Sol:x=1/2; x=1/3

132. 6x2-6=5x Sol: x=-2/3; x=3/2 133. 2x2+7x+6=0 Sol: x=-2; x=-3/2

134. x2=2x+3 Sol: x=-1; x=3 135. 4x2+3=8x Sol:x=1/2; x=3/2

136. x2-x+1/4=0 Sol: x=1/2 137. 3x2-16x+5=0 Sol: x=5; x=1/3

138. 1=32+3x-

3x-1

2

139. 2)-(x-x=x+x-2)3-(x 22

140. x3+1-x

3=2-x3+3x+

1-x

1 22 141. 2x=3

1-x-)3-(x

2

142. 3x=1-x

1-

3

3-x 143. 5+5x=

2x

1+

x

2-x

144. 3-x

3-2x=

x

5-3x+

x

3-x 145. 5)-(x-2)-3(x=)1-(x+

x

8-3x

2

146. )2-(x=2

3)-(xx+2)-(x3)-(x

2

147. 4-)2-(x=2

2)+(x2)-(x-

3

2+x-x2)-(x

2

148. )2-(x=1)-(xx)-(3+3

2-x-)3-(x

22


27/129

Preclculo I

21

149. 2=x

x+3-

1+x

1-x 150. 2=

1-x

x+3-

1+x

1-x

151. 4=2-x

1+x 152.

3

2x-

9

2=x-x

2

153.3

5x=2+

3

x2

154. 3=x

2+x

155.x

8-4x=2-x 156.

x

9+2x=

x

3+

2

x

157. 5-1-x

6x=2-2x 158. 0=

2

x+x-1)+(xx

159.43x+1=

x3-1+3x 160.

3-xx-2+

34+4x=

34+x+2

161.3x

6=

x

1+x 162.

x

3-2x=2-x

163.3x

10+3x=

x

2+

3

x 164.

1-x

1+2x=3+x

165. x

1=

2-x

1+x+2

1+x

3

166. x

1-=

1+x

1-x-1

1-x

4

3-x-

2

3-x

ECUACIONES IRRACIONALES

1. 30=x+x 2. 9+x=1+x 3. 7=x-3x-7

4. 1-x-3=4+x 5. x2=3+x5 6. x2=5-1+6x3

7. 1=1+3x-5+4x 8. 6=4+x+1-2x 9.3

x=1+x+1

10. x=x2-x3 11. 1+4x=4+x+3-x

12. 4+x5=4+x2 13. 5=7+3x+x2 14. 1+x=x-3

15. 9-2x+5-6x=1-2x2 16. 3+3x=6+5+2x


28/129

Preclculo I

22


PRCTICA N 5Tema: INECUACIONES

INECUACIONES LINEALES

Resolver una inecuacin significa hallar los valores que deben tomar lasincgnitas para que se cumpla la desigualdad.

Ejemplos:Resolver

a) 3x 2 < 1

Despejando

3x 2 < 1

3x < 1 + 2

3x < 3

x< 3 : 3

Aplicando propiedades

3x 2 < 1

3x 2 + 2 < 1 + 2

3

13x 4

-2x + 1 x3

3x

2 = 1

= 4

-2x + 1 =x3

Ecuaciones

Inecuaciones

Igualdades( = ) Desigualdades( < , ; > , )

De rimer rado


29/129

Preclculo I

23

x< 1

Solucin: S = ( - , 1 )

Representacin grfica:

b) 42

1

x

Despejando

2

1x> 4

x + 1 > 4 . 2

x + 1 > 8

x > 8 - 1

x > 7

Aplicando propiedades

2

1x> 4

2

1x. 2 > 4 .2

x + 1 > 8

x + 1 + (- 1) > 8 + (-1)

x > 7

Solucin: S = ( 7 , + )

Representacin grfica:

A.Nivel Bsico:

a) xx 523

b) xx 321

c) 6332 x

d) xx 32233

e) 221332 xxx

f) xxxx

3

42

84

5

33


30/129

Preclculo I

24

INECUACIONES CUADRTICAS

B.Nivel Medio:

a) 0835 2 xx b) 010210125 2 xx

c) 225 xxx

d) 04

52

x

x

e) 11481 xxx

f) 91 2 x

g) 3212 22 xx

h) 0192 xx

i) 091 22 xx

j)

0

13

124

xx

xxx

k) 43

42

x

x

l) 023

1

23

12

2

232

xxxxx

m) 065 23 xxx

n) 0341 2 xxx

p) 011 22 xx

o) 04423 xxx

p) 03

12

x

x

q) 0211 23 xxx

r) 01

92

x

x

s)

01529

82132

2

xxx

xxx


31/129

Preclculo I

25

t)

04

5

23

x

xx

u)

013124

xx

xxx

v) 06

232

2

xx

xx

w)

0

54

312

xx

xxx

x)

0

12

33

xx

xxx

C.Nivel Avanzado:

Efecta cada uno de las siguientes expresiones:

1) 35-x

2) 13x2

3) 77-x3

4) 13

x-1-2-x3

5) 12-5

x4

6) 72

15x3

7) 34

5-x3-x2

8) 62

x5-x

4

3x3

9) 132

x

3

x5

10)65-3x

34


32/129

Preclculo I

26

Al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de resolver

ejercicios y problemas de aplicacin de funciones,transformaciones y algebra de funciones, utilizando el

lenguaje algebraico para expresar situaciones problemticascotidianas.


FUNCIONES

Unidad II


33/129

Preclculo I

27

Utilizar instrumentos, tcnicas y formulas, individual ygrupalmente, para entender las funciones.

PRCTICA N 6

Tema: FUNCIONES

A.Nivel Bsico:

Dadas las funciones, determinar su dominio y rango.

a)

1

2

x

y

b) 4

x

xxf

c) 3 xxp

d) 31

2

xxg

e)1

12

x

y

f) 12

xxh

g) 3

2

x

xxq

B.Nivel Medio:

Exprese la regla en su notacin de funcin. (Por ejemplo, la regla eleve

al cuadrado, luego reste 5 se expresa como la funcin f(x)= x 5:1.-Sume 5, luego multiplique por 2

2.- Reste 5, luego eleve al cuadrado

Exprese la funcin (o regla) en palabras:

3.- fx = 4.- hx = x 2


34/129

Preclculo I

28

Trace un diagrama de mquina para la funcin:

5. fx= x 1Complete la tabla

6.- fx= 2x 1

Evale la funcin en los valores indicados

7.- f x= 2x 1f1; f2; f 12 ; fa, fa,fab8.- g(x)=+

g2; g2; g 12 ; ga, ga 1,g19.- fx = 2x 3 x 4f0; f2; f2; f(2), fx 1,fx10.- fx = 2|x 1|f2; f0; f 12 ; f2, fx 1,fx 2Evale la funcin definida por partes en los valores indicados.

11.- fx = { x si x < 0 x1 si x 0f2; f1; f0; f1,f212.-fx = x 2x Si x 1 x Si 1 < x 11 Si x > 1

f4; f 32 ; f1; f0,f25


35/129

Preclculo I

29

Use la funcin para evaluar las expresiones indicadas y simplifique

13.- fx = x 1; f x 2, fx f 214.-

fx = x 4 ; f x

, fx

Halle f a, fa h,y el cociente de diferencia + ,donde h 0.15.- fx = 3 x 216.- fx = 517.- fx = +18.- fx = 3 5 x 4 xEncuentre el dominio de la funcin19.- fx = 2x20.- fx = 2 x , 1 x 521.- fx = 22.- fx = +23.-

fx = x 524.- ft= t 1 25.- hx= 2 x 526.- gx = + 27.- gx= x 6x 28.-

fx =

29.- fx = +


36/129

Preclculo I

30

C.Nivel Avanzado:

30.- Costo de produccin. El costo C en dlares de producir x yardas de cierta telase expresa mediante la funcin

C

x = 1500 3x 0.02 x 0.0001 x

a) Halle C (10) y C (100)b) Qu representan sus respuestas del inciso a)?c) Encuentre C (0). (Este nmero representa los costos fijos)

31.- Qu tan lejos puede ver? Debido a la curvatura de la tierra, la distancia mximaD que una persona puede ver, desde la parte alta de un edificio alto o desde unavin a la altura h est dada por la funcin.

D

h = 2 r h h

Donde r=3960 millas es el radio de la tierra y D y h se miden en millas.a) Determine d (0.1) y d (0.2)b) Qu tan lejos puede ver desde la terraza de la torre CN de Toronto, situadaa 1135 pies desde el nivel del suelo?c) la aviacin comercial vuela a una altitud de cerca de 7 millas. Qu tan lejospuede ver el piloto?

32.- Flujo de sangre. Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, suvelocidad

v es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida que se

incrementa la distancia

r desde el eje central (vase la figura). La frmula que da

vcomo una funcin de rse llama ley del flujo laminar. Para una arteria con radio0.5 cm, se tiene.vr =185000.25r 0 r 0 . 5

a) Determine v 0.1 y v 0.4b) Qu indican las respuestas del inciso a) acerca del flujo de sangre en estaarteria?c) Construya una tabla de valores de vrpara r= 0; 0.1; 0.2; 0.3 ; 0.4; 0.5.

33.- Relatividad. De acuerdo con la teora de la relatividad, la longitud L de unobjeto es una funcin de su velocidad vcon respecto a un observador, Para unObjeto cuya longitud en reposo es 10 m, la funcin est dada por

L (v) 101 Donde c es la velocidad de la luz.


37/129

Preclculo I

31

a) Determine L(0.5 c), L (0.75c) y L (0.9c)b) Cmo cambia la longitud de un objeto cuando se incrementa su velocidad?

34.- Compras por Internet Una librera por internet cobra $15 por envo parapedidos menores a $100 o ms, pero el envo es gratis para pedidos de $ 100 oms. El costo C de un pedido es una funcin del precio total xde los libros compradosdada por:

a) Encuentre C (75), C(90), C(100) Y C(105)b) Qu representan las respuestas al inciso a)?

35.- Multas por exceso de velocidad. En cierto estado la velocidad mxima permitidaen las autopistas es 65 millas/h y la mnima es 40. La multa F por violar estoslmites es $15 por cada milla arriba del mximo o abajo del mnimo.

a) Complete las expresiones en la siguiente funcin definida por partes, dondex es la velocidad a la que conduce una persona.

b) Determine F(30), F(50) y F(75)c) Qu representan las respuestas del inciso b)?

36.- Cambio de temperatura. Se coloca un pastel congelado en un horno y secalienta durante una hora. Luego se saca y se deja enfriar antes de comerlo.Trace una grfica aproximada de la temperatura del pastel como una funcin deltiempo.

= 15 < 100 100

= 0 < < 4 0

40 65 > 65


38/129

Preclculo I

32


39/129

Preclculo I

33


PRCTICA N 7

Tema: GRFICA DE FUNCIONES

Historia: Uno de los modelos matemticos de mayor utilidad son las funcionesmatemticas. Aunque desde la poca de la formacin de los primeros

conceptos matemticos hay antecedentes de la idea de funcin el mismo se

desarrolla completamente en el periodo histrico de las matemticas de las

magnitudes variables. En este periodo alrededor del siglo XVI cuando

comienzan a modelarse matemticamente el movimiento y los fenmenos

de variacin y cambio por ejemplo el movimiento de un cuerpo o el llenado

de un tanque pues hasta entonces los que se estudiaban eran estticos o sea

sin movimiento. Para este tipo de fenmenos de variacin y cambio es que

hace falta las funciones o sea el modelo funcional.

No es hasta el siglo XVII que se culmina el proceso de formacin del concepto

de funcin. En ese proceso jug un papel muy importante Leibniz

matemtico alemn que introdujo dicho concepto para designar a ciertas

magnitudes geomtricas asociadas a las curvas que eran el principal objeto

de estudio de la matemtica en esa poca. Sin embargo en el siglo XVIII que

Euler matemtico suizo muy destacado perfecciona el concepto de funcin

pero sin llegar a expresarlo como se hace en la actualidad.


40/129

Preclculo I

34


A. Nivel Bsico


41/129


42/129

Preclculo I

36

2. En los Ejercicios 13-16, use la grfica de la funcin para hallar el

dominio y el rango de f y los valores de funcin indicados.

3. En los Ejercicios, (a) escriba la funcin lineal f tal que tenga los valores

de la funcin indicada y (b) trace la grfica de la funcin.


43/129

Preclculo I

37

4. En los Ejercicios 19-42, use una calculadora de grficas para graficar

la funcin. Asegrese de escoger una pantalla apropiada.

5. En los Ejercicios grafique la funcin.


44/129

Preclculo I

38

C. Nivel Avanzado


45/129

Preclculo I

39


1. Trace la grfica de la funcin definida por partes.


46/129

Preclculo I

40


PRCTICA N 7

Tema: TRANSFORMACIN DE FUNCIONES


A. Nivel Bsico


47/129

Preclculo I

41

1. Use la grfica de = para escribir una ecuacin para cada funcincuya grfica se muestra.

2. Use la grfica de = para escribir una ecuacin para cada funcincuya grfica se muestra.


48/129

Preclculo I

42

3. Use la grfica de = ||para escribir una ecuacin para cada funcincuya grfica se muestra.

B. Nivel Medio

1. Trace la grfica de g.


49/129

Preclculo I

43

2. Escriba una ecuacin para la funcin descrita por las caractersticas

dadas.

3.

Nivel Avanzado


50/129

Preclculo I

44


1. Trace la grfica de la funcin.

2. Escriba la ecuacin.


51/129

Preclculo I

45


PRCTICA N 7

Tema: FUNCIONES INVERSAS


52/129

Preclculo I

46

A. Nivel Bsico

Se da la grfica de una funcin f. Determine sifes uno a uno1.

Determine si la funcin es uno a uno.

4.

f

x = 2 x 4

5. gx = x6. hx = x 2x7. fx = x 58. fx = 9. Suponga que

fes una funcin uno a uno

a) Si f2 =7, encuentre f7b) Sif3 = 1, encuentre f 110.- Si fx =52x,encuentre f3

2.-

3.-

Respuesta: No Respuesta: Si

Respuesta: No

Respuesta: Si

Respuesta: Si


53/129

Preclculo I

47

Use la propiedad de la funcin inversa para mostrar quef y g son inversas entre s11.- fx = x 6 , gx = x 612.-

fx = 2 x 5 , gx =+

13.- fx = , gx = 14.- fx = x 4 , x 0

gx = x 4 , x 415.- fx = , x 1

gx = 1x 1 , x 0A. Nivel Medio

Encuentre la funcin inversa de f16.-fx = 2 x 1Respuesta: fx = x 117.-fx = 4 x 718.-fx = 19.-fx = +20.-fx = +21.- fx = 2 5 x22.- fx = 4 x , x 023.- fx = 4 x 24.-

fx = 1 1 x

25.-fx = x, x 026 Se da una funcin f

a) Bosqueje la grfica de f.b) Use la grfica de fpara bosquejar la grfica de f .c) Encuentref

1.- fx = 3 x 62.- fx = x 1


54/129

Preclculo I

48

Trace una grfica de fy emplela para determinar si la funcin es uno a uno27.- fx = x x28.-

fx =+

29.- fx = |x| |x 6|Se da una funcin uno a uno

a) Encuentre la inversa de la funcin

b) Grafique tanto la funcin como su inversa en la misma pantalla para comprobarque las grficas son reflexiones entre s en la recta y = x

30.-

fx = 2 x

31.- gx = x 332.- La funcin dad no es uno a uno. Restrinja su dominio de modo que la funcinresultante sea uno a uno. Encuentre la inversa de la funcin con el dominiorestringido. (Hay ms de una respuesta correcta).

65.- fx = 4 x

33.- Use la grfica de f para bosquejar la grfica def

B. Nivel Avanzado

34.- Cuota por servicio. Por sus servicios, un investigador privado requiere una cuotade retencin de $ 500 ms $80 por hora. Sea x el nmero de horas que el investigadorpasa trabajando en un caso.

a) Halle la funcin f que modela la cuota del investigador como una funcin de xb) Encuentre

f. Qu representa

f?

c) Encuentre f1220.Qu representa su respuesta?

67.- = 2


55/129

Preclculo I

49

35.- Flujo de sangre. Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, su velocidadv es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida que se incrementa ladistancia

r desde el eje central (vase la figura). Para una arteria con radio

0.5 cm, vest

dada como una funcin de rpor.vr=185000.25ra) Encuentre v 1. Qu representa v?b) Determine v30.qu representa su respuesta?

36.- Escalas de temperatura.- La relacin entre las escalas Fahrenheit (F) y Celsius(C) est dada por:

FC = C+32a) Encuentre F . Qu representa F ?b) Determine F 86.Qu representa su respuesta ?37.- Impuesto sobre la renta. En cierto pas, el impuesto por ingresos o iguales que20000 euros es 10%.

Para ingresos de ms de 20000 euros, el impuesto es de 2000 euros ms 20% de lacantidad sobre 20000 euros.

a) Encuentre una funcin f que proporciona el Impuesto sobre la renta por uningreso x. Exprese f como una funcin definida por partes

b) Encuentre f. Qu representa f?c) Cunto ingreso requerira pagar un impuesto de 10000 euros?

38.- Costo de una pizza. Marcellos Pizza fij como precio base de la pizza grande $7

ms $2 por cada ingrediente. Por tanto, si usted ordena una pizza grande con xingredientes, el precio lo dar la funcin fx = 7 2x. Encuentre f. Qu representa lafuncin f?39.- Hallar una inversa en su cabeza. En las notas del margen de esta seccin seseal que la inversa de una funcin se puede encontrar revirtiendo las operacionesque constituyen la funcin. Por ejemplo, en el ejemplo 6 se vio que la inversa de

Fx =3 x2 es f x = x 23 Porque el inverso de multiplicar por 3 y restar 2 es sumar 2 y dividir entre 3.


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Preclculo I

50


PRCTICA N 9

Tema: FUNCIONES POLINOMIALES


A. Nivel Bsico


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Preclculo I

51

B. Nivel Medio


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Preclculo I

52

C. Nivel Avanzado


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Preclculo I

53



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Preclculo I

54


PRCTICA N 10

Tema: FUNCIONES RACIONALES


A. Nivel Bsico


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Preclculo I

55

B. Nivel Medio


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Preclculo I

56

C. Nivel Avanzado

51.- Crecimiento poblacional. Suponga que la poblacin de conejos de la granja delseor Jenkins sigue la frmula

p = 3000tt 1 Donde t 0es el tiempo (en meses) desde el comienzo del aoa) Trace una grfica de la poblacin de conejosb) Qu sucede finalmente con la poblacin de conejos)

52.- Concentracion del frmaco. Se monitorea la concetracin de frmacos en eltorrente sanguineo de un paciente al que le fueron administrados frmacos en elinstante t 0(en horas desde la adminsitracin del frmaco), la concentracion (enmg/L) se determina por:

ct = 5tt 1Indique la funcin

ccon un dispositivo de graficacin

a)Cul es la concentracion ms alta del frmaco que se alcanza en eltorrente sanguineo del paciente?

b)Qu sucede con la concentracin del frmaco despues de un periodolargo?

c)Cunto le toma a la concentracin disminuir debajo de 0.3 mg/L?

53.- El efecto Doppler. Cuando un tren se mueve hacia un observador (vase lafigura), el tono de su silbato suena ms alto para el observador que si el tren

estuviera en reposo, porque las ondas sonoras estn ms cerca unas de otras.Este fenmeno se llama efecto Doppler. El tono P observado es una funcin dela velocidad v del tren y se expresa como.

Pv = P ss vDonde P es el tono real del silbato en la fuente y s =332 es igual a lavelocidad del sonido en el aire. Suponga que un tren tiene un silbato establecidode P =440HZ. Grafique la funcin y = P v por medio de un dispositivo degraficacin. Cmo se puede interpretar fsicamente la asntota vertical esta

funcin?


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Preclculo I

57



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Preclculo I

58

Al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de, resolver

ejercicios y problemas de aplicacin de funcionesexponenciales y logartmicas, utilizando de manera

compresiva el lenguaje algebraico para expresar situacionesproblemticas cotidianas.


FUNCIN EXPONENCIAL

y LOGARTMICA

Unidad III


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Preclculo I

59

Utilizar instrumentos, tcnicas y formulas, individual ygrupalmente, para entender la funcin exponencial y loslogaritmos.

PRCTICA N 11

Tema: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARTMICA


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Preclculo I

60

A. Nivel Bsico

Use una calculadora para evaluar la funcin en los valores indicados. Redondee susrespuestas a tres decimales.

1.-

fx = 4; f0.5, f(2),f, f

Respuesta:

2000 ,7.103, 77.880,1.587

2.-gx = ; g1.3, g(5),g2, g Bosqueje la grfica de la funcin construyendo una tabla de valores. Use unacalculadora si es necesario.

3.- fx = 24.-fx = 5.-

gx = 3e

Grafique ambas funciones en un conjunto de ejes

6.-fx = 2 y gx = 27.-fx = 4 y gx = 7Encuentre la funcin exponencial fx = acuya grfica se muestra8.-

9.-

Compare la funcin exponencial con una de las grficas marcadas I-VI

10.-fx = 511.-fx = 512.-fx = 5

Respuesta: = 3


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Preclculo I

61

I.-

III.-

V.-

B. Nivel Medio

Grafique la funcin.

12.-fx = 313.-gx = 2 314.-h x = 4 15.- fx = 10+16.-

fx = e

17.- y = e 1

IV.-

VI.-


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Preclculo I

62

18.- fx = eEncuentre la funcin de la forma fx = Ca, cuya grfica es la siguiente

a) Bosqueje las grficas de fx=2 y gx =32b) Cmo se relacionan las grficas?

19.- Si fx = 10,muestre quefx h fxh = 10 1 0 h 1h 20.- La funcin

coseno hiperblicose define mediante

coshx = e e2 Bosqueje las grficas de las funciones y = e y y = e en los mismos ejes yuse la adicin grfica para bosquejar la grfica de y=cosh(x)

C. Nivel Avanzado

21.- Decaimiento radioactivo. Una sustancia radiactiva se desintegra de talmanera que la cantidad de masa que permanece despus de

tdas se expresa

mediante la funcin. mt=13e.Donde m (t) se mide en kilogramos

a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0b) Cunta masa permanece despus de 45 das?


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Preclculo I

63

22.- Paracaidismo. Un paracaidista salta desde una altura razonable del suelo.La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y laconstante de proporcionalidad es 0.2. Se puede demostrar que la velocidad dedescenso del paracaidista en el tiempo t se expresa como:

vt = 801 e

Donde t se mide en segundos y v tse mide en pies por segundo (pies/s).a) Encuentre la velocidad inicial del paracaidistab) Calcule la velocidad despus de 5s y despus de 10sc) Dibuje la grfica de la funcin de velocidad vtd) La velocidad mxima de un objeto que cae con resistencia del viento se

llama su velocidad terminal. De la grfica del inciso c) encuentre lavelocidad terminal de este paracaidista.

23.- Crecimiento logstico. Las poblaciones animales no pueden crecer sinrestriccin debido a la limitacin de hbitat y suministros de alimento. Entales condiciones la poblacin sigue un modelo de crecimiento logstico

Pt = d1 k eDonde c, d y k son constantes positivas. Para cierta poblacin de peces, en unpequeo estanque d=1200, k = 1 1 c = 0 . 2, y t se mide en aos. Los peces seintrodujeron en el estanque en el tiempo t = 0.a) Cuntos peces se colocaron originalmente en el estanque?b) Calcule la poblacin despus de 10, 20 y 30 aos.c) Evale P(t) para valores grandes de t. A qu valor tiende la poblacin

cuando t la grfica mostrada confirma sus clculos?


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Preclculo I

65

g) De manera continua

27.-Inters compuesto.- Cul de las tasas de inters dadas y perodos decapitalizacin proporcionaran la mejor inversin?

i) 8 % por ao, capitalizable cada medio aoii)8 % por ao, capitalizable trimestralmenteiii) 8% por ao, capitalizable de forma continua

28.- Valor presente.- El valor presente de una suma de dinero es la cantidadque se debe invertir ahora, a una determinada tasa de inters, para producirla suma deseada e en una fecha posterior.

a) Encuentre el valor presente de 10 000 dlares si se paga inters a una

tasa de 9% por ao, capitalizable cada medio ao, durante tres aos.b) Encuentre el valor presente de 100 000 dlares si se paga inters a unatasa de 8% por ao, capitalizable mensualmente, durante 5 aos.

FUNCIONES LOGARTMICAS

1-2.- Complete la tabla con la forma exponencial logartmica apropiada de laecuacin, como en el ejemplo I

1.-

Exprese la ecuacin en forma exponencial

3.- alog 25=2 blog 1 = 04.- alog 2 = blog =35.- a ln 5 = x b l n y = 5


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Preclculo I

66

Exprese la ecuacin en forma logartmica

6.- a 5 =125 b10 =0.00017.-

a 8

= b2

=

8.-a e =2 be = yEvale la expresin

9.- a log 3 b log 1 clog 310.- a log 36 b log 81 clog 711.-

a log b log 10 clog 0.2

12.-a 2 b 3 c e13.- a log 0.25 b lne clnUse la definicin de la funcin logartmica para hallar x

14.- a log x = 5 b log 1 6 = x15.-

a log 243 = x b log x = 3

16.- a log x = 2 b log x = 217.- a log 16 = 4 b log 8 = Use una calculadora para evaluar la expresin, correcta hasta cuatrodecimales.

18.-

a log 2 b log 35.2 c log

19.- aln 5 b ln25.3 cln1 3 Compare la funcion logartmica con una de las grfuicas marcadas I-VI.

20.-fx = l n x21.-fx = 2 l n x22.-

fx = l n 2 x


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Preclculo I

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23.-Dibuje la grfica de y = 4,despus utilcela para dibujar la grfica de y =log xGrafique la funcin sin trazar los puntos, sino a partir de las grficas iniciales.Exprese el dominio, rango y asntota

24.-

fx =logx 4

25.- gx =logx26.- y = 2 l o g x26.- y = 1 l o g x27.- y = |ln x|Encuentre el dominio de la funcin

28.-fx =logx 3Respuesta: 3,29.-gx =logx 130.-hx = l n x l n 2 x


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Preclculo I

68

Dibuje la grfica de la funcin en un rectngulo de visin adecuado y emplelapara hallar el dominio, las asntotas y los valores locales mximo y mnimo

31.- y = l o g 1 xRespuesta:

32.- y = x l n x33.- y = Compare las tasas de crecimiento de las funciones

fx =lnx y gx = x Dibujando sus grficas en una pantalla comn en elrectngulo de visin [1,30]por [1,6].Aplicaciones

79.-Fechado con carbono. La edad de un objeto antiguo se puede determinarpor la cantidad de carbono 14 radioactivo que permanece en l. Si Des lacantidad original de carbono 14 y D es la cantidad restante, entonces la edadA del objeto (en ao) se determina por

A=8267ln DDEncuentre la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que permanece

en el objeto es 73% de la cantidad original D.81.- Inversin. El tiempo requerido para duplicar la cantidad de una inversina una tasa de inters capitalizable de manera continua est dado por

t = ln 2r Determine el tiempo requerido para duplicar una inversin en 6 por ciento y 8

por ciento

Dominio 1,1 = 1, x= 1Local mximo (0,0)


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Preclculo I

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A. Nivel Bsico

Evale la expresin

1.-log 27 Respuesta:2.- log4log253.- log 192 log 34.- log 6 log 15log 205.- log 166.-

loglog10

Use las leyes de los logaritmos para desarrollar la expresin.

7.-log2x Respuesta:1 log x8.-logxx 19.-log 610.-logAB11.-

logxy

12.-logx 1 13.-ln ab14.-log 15.-log (+) 16.-

lnx

17.- log x y 18.- log ++19.-ln +


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Preclculo I

71

Use las leyes de los logaritmos para combinar la expresin

20.-

log 5 5 l o g 2 Respuesta:

log 160

21.-log A l og B 2 l o g C22.-4 logx logx 1 2l og x 123.-ln 5 2 ln x 3 lnx 524.- log2x1 [logx 4 logx x 1]B. Nivel Medio

25.- Distribucin de la riqueza. Vilfredo Pareto (1848-1923)

Observ que la mayor parte de la riqueza de un pas la poseen algunosmiembros de la poblacin. El Principio de Pareto es.

l o g P = l o g c k l o g WDonde W es el nivel de riqueza (cunto dinero tiene una persona) y P es elnmero de personas en la poblacin que tiene esa cantidad de dinero.

a)

Resuelva la ecuacin para Pb) Suponga que K=2.1, c=8000 y W se mide en millones de dlares. Useel inciso a) para hallar el nmero de personas que tienen dos milloneso ms. Cuntas personas tienen 10 millones o ms?

26.- Magnitud de estrellas. La magnitud de M de una estrella es una mediade cun brillante aparece una estrella para el ojo humano. Se define por:

M=2.5log BB

Donde B es el brillo real de la estrella y Bes una constante.a) Desarrolle el lado derecho de la ecuacinb) Use el inciso a) para mostrar que mientras ms brillante es una estrella

menor es su magnitudc) Betelgeuse es ms o menos 100 veces ms brillantes que Albiero. Use

el inciso a) para mostrar que Betelgeuse es cinco magnitudes menos

que Albiero.


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Preclculo I

72

C. Nivel Bsico

ECUACIONES EXPONENCIALES

Encuentre la solucin de la ecuacin exponencial, correcta hasta cuatro decimales

1.- 10 = 25Respuesta: 1.39792.- e = 7Respuesta:0.97303.- e = 34.- 3e = 105.- e = 26.-

4 3 = 8

7.- 8. = 58.- 5/ = 29.- e+ =20010.- 5 = 4+11.- 2+ = 312.- + = 413.-1001.04 =300Resolver la ecuacin

14.-x2 2 = 0 Respuesta: 115.-

4x

e

3x

e

= 0

16.-e 3e 2 = 017.-e 4e 2 1 = 0Resolver la ecuacin logartmica para x

18.-ln x = 10Respuesta:e,2202619.-

log x = 2

20.- log3 x 5 = 2


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Preclculo I

73

21.- 2 l n3 x = 022.- log 3 l og x = l o g 5 l ogx 223.-

logxlogx 1 =log4x

24.- logx 1 logx 1 = 225.- logx 5 logx 3 = 126.- Para qu valor de x se cumple lo siguiente?logx 3 = l o g x l o g 327.- Despeje x:2 = Use un dispositivo de graficacin para hallar las soluciones de la ecuacin,correcta hasta dos decimales.

28.- ln x = 3 x Respuesta: 2.2129.- x x = l o gx 130.- e = x31.-

4 = x

Resuelva la identidad

32.-logx 2 log9 x < 133.-2 < 10 < 5D. Nivel Medio

34.-Inters compuesto.- Una persona invierte 5000 dlares en una cuentaque paga 8.5% de inters anual, capitalizable cada trimestre.

a) Encuentre la cantidad despus de tres aos

b) Cunto tiempo tomar para que se duplique la inversin?

35.-Inters Compuesto.- Calcule el tiempo requerido para que una inversinde 5000 dlares crezca a 8000 a una tasa de inters de 7.5% por ao,capitalizable cada trimestre.


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Preclculo I

74

36.-Duplicar una inversin. En cunto tiempo se duplica una inversin de1000 dlares si la tasa de inters es de 8.5 % anual, capitalizable de maneracontinua?

37.-Rendimiento porcentual anual. Encuentre el rendimiento porcentual anual

para que una inversin que gana 8% anual, capitalizable mensualmente.

38.-Decaimiento radioactivo. Una muestra de 15 g de yodo radioactivo sedesintegra de una manera que la masa restante despus de t das est dadapor mt=15e. donde m(t) se mide en gramos. Despus de cuntosdas hay slo 5g restantes?

39.-Poblacin de peces. Un lago pequeo contiene cierta especie de pez. Lapoblacin se modela mediante la funcin

P = +.

Donde P es el nmero de peces en miles y t se mide en aos desde que seaprovisiono el lago.

a) Encuentre la poblacin de peces despus de tres aos.b) despus de cuantos aos la poblacin de peces llega a 5000?

40.- Presin atmosfrica. La presin atmosfrica P (en kilo pascales, K Pa) ala altura h ( en kilmetros, Km) est gobernada por la frmula

ln PP = hkDonde

k = 7 y P

= 100 KPa. Son constantesa) Despeje P de la ecuacinb) Use el inciso a) para calcular la presin P a una altitud de 4Km41.-Circuitos electrnicos. Un circuito electrnico contiene una batera queproduce un voltaje de 60 volts (V), un resistor con una resistencia de 13 ohms,y un inductor con una inductancia de 5 henrys H, como se muestra en lafigura. Por medio del clculo, se puede demostrar que la corriente I= It(enamperes, A) t segundos despus de que se cierra el interruptor es I = 1 e

.
http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=peces%20en%20el%20lago&source=images&cd=&cad=rja&docid=n-WXp_ynKSfcwM&tbnid=o8bhagtimVHRnM:&ved=0CAUQjRw&url=http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/aula/EGB1/pop-up/9b.htm&ei=-1rwUdPKM4269gSGvIGYDQ&bvm=bv.49784469,d.eWU&psig=AFQjCNFiZ7hKAAS-nkCUoEy4K09fV3tMXA&ust=1374792816708569http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=peces%20en%20el%20lago&source=images&cd=&cad=rja&docid=n-WXp_ynKSfcwM&tbnid=o8bhagtimVHRnM:&ved=0CAUQjRw&url=http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/aula/EGB1/pop-up/9b.htm&ei=-1rwUdPKM4269gSGvIGYDQ&bvm=bv.49784469,d.eWU&psig=AFQjCNFiZ7hKAAS-nkCUoEy4K09fV3tMXA&ust=1374792816708569http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=peces%20en%20el%20lago&source=images&cd=&cad=rja&docid=n-WXp_ynKSfcwM&tbnid=o8bhagtimVHRnM:&ved=0CAUQjRw&url=http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/aula/EGB1/pop-up/9b.htm&ei=-1rwUdPKM4269gSGvIGYDQ&bvm=bv.49784469,d.eWU&psig=AFQjCNFiZ7hKAAS-nkCUoEy4K09fV3tMXA&ust=1374792816708569http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=peces%20en%20el%20lago&source=images&cd=&cad=rja&docid=n-WXp_ynKSfcwM&tbnid=o8bhagtimVHRnM:&ved=0CAUQjRw&url=http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/aula/EGB1/pop-up/9b.htm&ei=-1rwUdPKM4269gSGvIGYDQ&bvm=bv.49784469,d.eWU&psig=AFQjCNFiZ7hKAAS-nkCUoEy4K09fV3tMXA&ust=1374792816708569http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=peces%20en%20el%20lago&source=images&cd=&cad=rja&docid=n-WXp_ynKSfcwM&tbnid=o8bhagtimVHRnM:&ved=0CAUQjRw&url=http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/aula/EGB1/pop-up/9b.htm&ei=-1rwUdPKM4269gSGvIGYDQ&bvm=bv.49784469,d.eWU&psig=AFQjCNFiZ7hKAAS-nkCUoEy4K09fV3tMXA&ust=1374792816708569http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=peces%20en%20el%20lago&source=images&cd=&cad=rja&docid=n-WXp_ynKSfcwM&tbnid=o8bhagtimVHRnM:&ved=0CAUQjRw&url=http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/aula/EGB1/pop-up/9b.htm&ei=-1rwUdPKM4269gSGvIGYDQ&bvm=bv.49784469,d.eWU&psig=AFQjCNFiZ7hKAAS-nkCUoEy4K09fV3tMXA&ust=1374792816708569http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=peces%20en%20el%20lago&source=images&cd=&cad=rja&docid=n-WXp_ynKSfcwM&tbnid=o8bhagtimVHRnM:&ved=0CAUQjRw&url=http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/aula/EGB1/pop-up/9b.htm&ei=-1rwUdPKM4269gSGvIGYDQ&bvm=bv.49784469,d.eWU&psig=AFQjCNFiZ7hKAAS-nkCUoEy4K09fV3tMXA&ust=1374792816708569


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Preclculo I

77

Calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones aproximando hastamilsimos (tres cifras decimales).

1.ln 6

ln 2 2.

ln10

ln 5 3.

ln 8

ln 0.2 4.

ln 0.8

ln 4 5.

ln15

ln 3 6.

ln25

ln 5 7.

ln100

ln10

8. ln80ln 8

Calcule el valor de y en yAekx , para los valores dados de A, k y x.

9.A = 100, k = 0.75, x = 4 10.A = 25, k = 0.5, x = 1011.A = 1000, k = -1.8, x = 2 12.A = 12.5, k = -0.04, x = 50

Resuelva para k. Deje cada respuesta expresado en logaritmos naturales.

13.5000 = 50

e2k 14.75 = 150e

e10k 15.A

3Ae4k 16.

A

2Ae100k

17.Un cultivo de bacterias crece de acuerdo con la frmula y10,000e0.6x , dondexesel tiempo, expresado en das. Calcule el nmero de bacterias que habr despus de 1semana.

18.Calcule el nmero de bacterias que hay en el cultivo del Ejercicio 17, despus deque ha proliferado durante 12 horas.

19. Cunto tiempo se necesitar para que se triplique el cultivo de bacterias delEjercicio 17?

20.Cunto tiempo har falta para que el nmero de bacterias del Ejercicio 17 llegue

a 1,000,000?

21.Cierta sustancia radiactiva se descompone de acuerdo con la frmula exponencial

S Soe0.04 t

donde Soes la cantidad inicial de la sustancia y Ses la cantidad de dicha sustancia quequeda despus de t aos. Si al principio hay 50 gramos de la sustancia radiactiva,cunto tiempo se necesitar para que se descomponga la mitad?

22.Demuestre usted que, cuando se resuelve para t la frmula del Ejercicio 21, elresultado es

t 25ln S

So

23.Una sustancia radiactiva est desintegrndose de acuerdo con la frmula yAekx ,dondexes el tiempo, en aos. Se tiene la cantidad inicialA= 10 gramos y, despus de5 aos, quedan 8 gramos.

(a)Encuentre el valor de k. Deje la respuesta expresada en logaritmo natural.(b)Calcule la cantidad restante despus de 10 aos.(c)Calcule la vida media, aproximando hasta el dcimo ms cercano de un ao.


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Preclculo I

78

24.La vida media del radio es de 1690 aos, aproximadamente. Un laboratorio tiene50 miligramos de radio.

(a)Utilice la vida media al resolver para k la ecuacin yAekx . Deje la respuestaexpresada en logaritmo natural.(b)Aproximando a las decenas de aos ms cercanas, cunto tiempo se necesitarpara que slo queden 40 miligramos?

25.Supongamos que 5 gramos de una sustancia radiactiva se descomponen a razn de4 gramos por cada 30 segundo. Cul es su vida media, aproximada hasta la dcima desegundo ms cercana?

26.Cunto tiempo se necesita para que se desintegren las dos terceras partes delmaterial radiactivo del Ejercicio 25? Aproxime su respuesta a la dcima de segundo mscercana.

27.Cuando se estudi por primera vez el crecimiento demogrfico de cierta ciudad,tena una poblacin de 22,000 habitantes. Se encontr que la poblacin P, en funcin

del tiempo (en aos), creca de acuerdo con la frmula exponencialP 22,000 100.0163t

Cunto tiempo tardar en duplicarse la poblacin?

28.Cunto tiempo har falta para que se triplique la poblacin de la ciudad mencionadaen el Ejercicio 27?

29. Se ha descubierto que una momia egipcia contiene el 60% de su 14C. Conaproximacin al siglo ms cercano, qu antigedad tiene la momia? (Observacin: si

Aes la cantidad original de 14C, la cantidad restante ser3

5A)

30. Un esqueleto contiene la centsima parte de la cantidad original de 14C.Aproximando el valor al milenio ms cercano, cul es la antigedad del esqueleto?

31.Responda la misma pregunta del Ejercicio 30, si slo queda una millonsima del14C.

Use una calculadora que tenga la tecla exponencial y la de logaritmo natural ex , paracontestar las siguientes preguntas.

32.Supongamos que una inversin de $10,000 gana rditos con la tasa del 9% deinters compuesto anual. Si el tiempo de depsito de la inversin es de un ao (t= 1),encuentre usted el valor de la inversin para cada uno de los siguientes periodos deaplicacin del inters compuesto:

(a)n= 4 (trimestrales) (b)n= 12 (mensuales) (c) n = 52 (semanales)(d)n= 365 (diarios) (e)continuamente.

33.Siga las instrucciones del Ejercicio 32, pero aumente a 5 aos el tiempo de depsitode la inversin.

34.Calcule el inters ganado en cada caso del Ejercicio 32.

35.Siga las instrucciones del Ejercicio 32, pero cambie a 3.5 aos el tiempo de depsito

de la inversin.


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Preclculo I

79

36. Supongamos que se invierten $1500 a rdito con la tasa de 8% de interscompuesto continuamente, anual. Qu cantidad habr en depsito despus de 5 aos? Y despus de 10 aos?

37. La seorita Rivera deposita $5000 al 9% de inters anual. Cunto tiemponecesitar para que se duplique su inversin? Cunto tiempo tardar, si la tasa de

inters fuera el 12%?

38.Cunto tiempo se necesitar para que se duplique una inversin de $1000, si ganael 12% de inters compuesto, continuo, anual? Cunto tiempo tardar en triplicarse?

39.Una inversin de $1000 gana rditos a la tasa del r% compuesto, continuo, anual.Si la inversin se duplica en 5 aos, cul es el valor de r?

40.Cunto tiempo hace falta para que se duplique una inversin de $4000, si ganarditos con la tasa del 8% de inters anual, compuesto trimestralmente?

41.En el Ejercicio 40, cunto tiempo se necesitara, si los periodos de aplicacin del

inters compuesto fueran mensuales?

42.Una inversin Pgana el 9% de inters anual. compuesto continuamente. Despusde 3 aos, el valor de la inversin es de $5000. Encuentre usted la cantidad inicial P.(Sugerencia: resuelva para Pla frmula APert.)

43.Conteste la pregunta del Ejercicio 42 empleando 6 aos como tiempo de depsito.

44.Una inversin Pgana el 8% de inters anual, compuesto en periodos trimestrales.Despus de un ao, el valor de la inversin es de $5000. Encuentre la cantidad inicial

P. (Sugerencia: resuelva A1 P 1 r

n

n

para P.)

45.Qu suma de dinero se debe invertir a la tasa de inters del 12% anual, compuestoen periodos mensuales, para lograr que el valor de la inversin ascienda a $20,000

despus de 5 aos? (Sugerencia: resuelva usted At P 1 r

n

n

para P.)

46. Una colonia de bacterias tiene una poblacin inicial de 800.000 individuos y seduplica cada 3 horas. Se pide:

i. Escriba la ecuacin que describe el crecimiento de la colonia por cada hora.

ii.

Grafique esa funcin.iii. Qu poblacin habr despus de 5 horas?

iv. Cuntos nuevos individuos habr entre la sptima y octava hora?

47. A causa de una profunda recesin econmica una poblacin decrece a razn de1,5% cada ao. En el inicio la poblacin era de 350.000 habitantes. Suponga quela situacin se mantiene por tres aos Cul ser la poblacin en ese momento?(aproxime el resultado entero ms prximo)


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Preclculo I

80

48.-Cultivo de bacterias. El nmero de bacterias en un cultivo se modela mediantela funcin. nt =500e.Donde t se mide en horas.

a) Cul es el nmero inicial de la bacteria?b) cul es la tasa relativa de crecimiento de esta poblacin?c) Cuntas bacterias estn en el cultivo despus de tres horas?d) Despus de cuntas horas la cantidad de bacterias llega a 10 000?

49.- Poblacin de zorros. La poblacin de zorros en cierta regin tiene una tasa decrecimiento relativa de 8% por ao. Se estima que la poblacin en 2000 fue 18000a) Encuentre una funcin que modele la poblacin t aos despus del ao 2000b) Use la funcin del inciso a) para estimar la poblacin de zorros en el ao 2008.c) Trace una grfica de la funcin de poblacin de zorros para los aos 2000-2008

50.-Poblacin de una ciudad. La poblacin de cierta ciudad fue 112 000 en 1998, y latasa de crecimiento relativa observada es 4% por ao.a) Encuentre una funcin que modele la poblacin despus de taos.

b) Encuentre la poblacin proyectada en el ao 2004c) En qu ao la poblacin llega a 200 000?


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Preclculo I

83

Utilizar instrumentos, tcnicas y formulas, individual ygrupalmente, para entender la trigonometra.

PRCTICA N 14

Tema: MEDICIONES Y FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

CONVERSION DE SISTEMAS

Factor de Conversin Es un cocienteconveniente de dos magnitudes

angulares equivalentes.

Magnitudes angulares equivalentes

1 vuelta : 1 v 360=400g=2rad

Llano : 1/2v 180=200g=rad

Grados : 9 =10g

Ejemplos:

Convertir a radianes la siguiente magnitudangular =12

Resolucin:

Magnitud Factor deequivalente Conversin

rad = 180180

rad

rad15180

rad12

2.1Sistema Sexagesimal

Su unidad ngular es el gradosexagesimal(1); el cual esequiva-lente a la 360ava partedel ngulo de una vuelta.

360V1

1 1V 360

Equivalencias:

1=60 1=60 1=3600

1. Sistema SexagesimalSu unidad ngular es el gradosexagesimal(1); el cual es

equiva-lente a la 360ava partedel ngulo de una vuelta.

360V1

1 1V 360

Equivalencias:

1=60 1=60 1=3600

2.Sistema Radial o Circular oInternancionalSu unidad es el radian, el cuales un ngulo que subtiene unarco de longitud equivalente alradio de la circunferenciarespectiva.

2V1

rad1 1V=2rad

6,2832

NotaComo = 3,141592653...

A0

r

r1 rad

r

B

mAOB=1rad


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Preclculo I

84

Encuentre la medida en radianes del ngulo con la medida de grados dada.

1.- 72 Respuesta: ; 1.257 rad2.- 453.- 754.- 10805.- 96

6.- 7.5

Encuentre la medida en grados del ngulo con la medida en radianes dada

7.- Respuesta: 2108.- 9.- 310.- 1.211.- 12.-

Se da la medida de un ngulo es posicin estndar. Encuentre dos ngulos

positivos y dos ngulos negativos que son coterminales con el ngulo dado.13.- 50 Respuesta: 410,770,310,67014.- 15.- Se dan las medidas de dos ngulos en posicin estndar. Determine si los

ngulos son coterminales.

16.- 70, 430 Respuesta: S

17.- , 18.- 155, 875Encuentre el ngulo entre 0 y 360 que es coterminal con el ngulo dado.

19.- 733 Respuesta: 13

20.- 1110

21.-

800


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Preclculo I

85

Tema: ARCO Y SECTOR CIRCULAR

1. ARCO

Una porcin cualquiera de unacircunferencia, recibe el nombre de

Arco de la circunferencia.

AmplitudDada por la medida del ngulocentral que sostiene el arco.

Longitud de ArcoEn una circunferencia de radio R un

ngulo central de radianesdetermina una longitud de arco L,que se calcula multiplicando elnmero de radianes y el radio dela circunferencia R.

0

R

R A

B

AB: Arco ABA: Origen del arco ABB: Extremo del arco ABO: Centro de la

circunferenciaR: Radio de la

circunferencia

L: Longitud del arco ABR: Radio de la circunferencia: N de radianes del ngulo

central (0 2 )

L = R.

0

R

R

rad L

A

B

2. SECTOR CIRCULAR

Se llama sector circular a la regincircular limitada por dos radios y el arcocorrespondiente.

AOB: Sector Circular AOB

0

B

A

2R

S2

Donde:S: rea del sector circular AOB

Otras frmulas

2R.L

S

2

2L

S

0

R

R A

B

radS

S

A

B

0

R

R

L

A

rad S

B

0 L


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Preclculo I

86

A. Nivel Bsico

1.- Encuentre la longitud del arco s en la figura

2.- Encuentre el radio r del crculo en la figura

3.- Encuentre la longitud de un arco que subtiende a un ngulo central de 2 radianesen un crculo de radio 2.

4.- Un arco de longitud 100 m subtiende un ngulo central en un crculo de radio 50m. Encuentre la media de en grados y radianes.5.- Determine el radio del crculo si un arco de longitud 6m en el crculo subtiende unngulo central de 135

6.- Encuentre el rea del sector mostrado en cada figura:

a)

7.- Encuentre el rea de un sector con un ngulo central 1 radian en un crculo de radio10 m.

8.- El rea de un sector de un crculo con un ngulo central de 2 radianes es 16 m.Encuentre el radio del crculo.

9.- El rea de un crculo es 72 cm .Encuentre el rea de un sector de este crculoque subtiende un ngulo central de radianes.

b)


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Preclculo I

87

B. Nivel Medio

10.- Distancia Recorrida. Las ruedas de un automvil miden 28 pulgadas de dimetro.Qu tan lejos viajara el automvil (en millas) si sus ruedas giran 10 000 veces sindeslizamiento?

11.- Latitudes. Pittsburgh Pennsylvania y Miami Florida, se encuentraaproximadamente sobre el mismo meridiano. Pittsburgh tiene una latitud de 40.5 N yMiami 25.5 N. Encuentre la distancia entre estas dos ciudades. (El radio de la Tierraes 3960 millas)

11.- Orbita de la tierra. Encuentre la distancia que viaja la tierra en un da y sutrayectoria alrededor del Sol. Suponga que un ao tiene 365 y que la trayectoria dela tierra alrededor del sol es un crculo de radio 93 millones de millas. (La trayectoriade la Tierra alrededor del sol es en realidad una elipse con el Sol en un foco. Esta

elipse, sin embargo, tiene excentricidad muy pequea, as que es aproximadamentecircular.)

12.- Millas Nuticas. Encuentre la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la

tierra que subtiende un ngulo central de 1 minuta (1 minuto = de grado. Ladistancia se llama una milla nutica. ( El radio de la Tierra mide 3960 millas).

13.-Limpia parabrisas. Los extremos superior e inferior de una hoja de limpiaparabrisas estn a 34 pulg. Y 14 pulg. Del punto central, respectivamente. Mientras

est en operacin el limpiador abarca 135. Encuentre el rea barrida por la hoja.


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Preclculo I

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Preclculo I

91

Tema: NGULO DE ELEVACIN Y DEPRESIN

Lnea Horizontal

Ln

eaVi

sual

h

: ngulo de Elevacin

H


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Preclculo I

93

Determinar la altura de la cima., sabiendo que se cumple:TanxTany= 31012.Un nio de 1m de estatura se dirige hacia un edificio, en un instante dado se detiene

y observa la azotea del edificio con un ngulo de elevacin de 37 , luego avanza7m y vuelve a observar el punto anterior con un ngulo de elevacin de 45 . Calculela altura del edificio.

13.Calcular el mayor ngulo formado por las direcciones:SE 14 S y N 14 NE14.Un basquetbolista observa la copa de un rbol con un ngulo de elevacin de 37,

si la persona dista 8m. del rbol. Calcular el valor del ngulo de observacin del

rbol, sabiendo que la altura de la persona es la cuarta parte de la del rbol enmencin.

15.Un pato que se encuentra sobre una laguna se percata de la presencia de un cazadora 14m, el ave alza vuelo en lnea recta con un ngulo de 53 alejndose. El cazadorhace un tiro certero con un ngulo de 37. Calcular la distancia de vuelo del a aveantes de caer muerta.

16.Un rbol se encuentra sobre una ladera la cual tiene una inclinacin de 23 con lahorizontal. A una distancia de 30 m. colina abajo desde el pe del rbol, el ngulo deelevacin hasta su parte superior es de 53. Calcule la altura del rbol.

17.Un avin en picada, es observado desde un punto de tierra con una ngulo deelevacin de 60 y una visual de 800 m, luego de pasar sobre dicho punto deobservacin es observado nuevamente desde dicho punto con un ngulo deelevacin de 30 y una visual de 600 m. Con que ngulo de inclinacin, con respectode la horizontal cae dicho avin?

18.Una cuerda elstica se mantiene unida a un poste y a tierra mantenindole posteverticalmente. Al medio da un movimiento telrico hace que el poste sufra unainclinacin proyectando una sombra la cual es la mitad del poste. Si antes y despusdel temblor el ngulo formado por las cuerda y la tierra eran de 53 y

. Calcular

aproximadamente Tan19.Pepe observa la parte ms alta de un faro con un ngulo de elevacin , siseacerca hacia el faro un distancia dm observa al punto anterior con un ngulo deelevacin 2y a un punto que esta xm debajo y en la misma vertical del puntoanterior con un ngulo de elevacin. Hallar x.

20.En el camino hacia la cima de una colina esa inclinada un ngulo respecto a lahorizontal. Si desde la cima se divisa un punto del plano horizontal que pasa por labase de la colina con un ngulo de depresin. Calcular la altura de la colina si dichopunto se encuentra a 180m. de la base de la colina. Adems:

Cot= 35 y Cot= 125


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Preclculo I

94

21.A, B, C son tres puntos que se encuentran al OESTE, SO y SUR de un punto Prespectivamente si desde B se observa a los puntos A y C en las direcciones N O ySE respectivamt.Hallar el valor de la tangente del ngulo CAP, si BC=5 y BA=6.

22.Dos barcos salen de un punto en direcciones que forman un ngulo recto, siendo elprimero de ellos en la direccin EN ( < 4 5 ), si despus de navegar ambos barcoscierto tiempo a la misma velocidad desde el primero se al segundo en la direccinS27O.En qu direccin sali el segundo barco?

23.Desde un punto a 28m. de altura sobre el nivel de las cristalinas y quietas aguas deuna laguna se observa a un globo con un ngulo de elevacin de 53y su imagenreflejada en la laguna con un ngulo de depresin. A qu altura esta el globo obreel nivel de la laguna?Si:

Csc=1,025

24.Un avin que esta por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizajede extensin igual al doble de la altura que se encuentra. Si ve al extremo msalejado con un ngulo de depresin de 2230. Calcular el ngulo de depresin conque observa al otro extremo.

25.Desde un punto al SUR de una torre se observa a su parte superior con un ngulode elevacin.El observador avanza en el rumbo NE hasta ubicarse exactamente al ESTE de latorre.

Calcular el ngulo de elevacin con que se observa nuevamente la parte superior dela torre esta nueva posicin.

26.Desde un punto situado al SUR de una torre se observa la parte ms alta de estacon un ngulo de elevacin de 30y desde otro punto situado al ESTE de la torre elngulo de elevacin es de 45.Hallar la longitud de la torre si la distancia entre los dos puntos de observacin esde 10m.

27.

Desde un faro se observa a dos barcos A y B en las direcciones N 35O y S55Orespectivamente, en este mismo instante B es observado desde A en la direccinS255O, si la velocidad de A es de 24km/h, la velocidad de B es de 243km/h y ladistancia inicial de A al faro es de 5km. Hallar la distancia entre A y B al cabo de unahora y 15 minutos.


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Preclculo I

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PRCTICA N 15

Tema: GRFICA DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

1. FUNCIN COSENO

a. Definicin

Cos = {(x; y) / y=Cosx}

DOM (COS): x o IRRAN (COS): Y [-1; 1]

Grfico de la Funcin COSENO

Una parte de la grfica de lafuncin coseno se repite portramos de longitud 2. Estoquiere decir que la grfica de lafuncin coseno es periodo 2.Por la tanto todo anlisis yclculo del dominio y rango sehace en el siguiente grfico:

X 0 /2 3/2 2

Y=Cosx 1 0 -1 0 1

Nota

El perodo de una funcinCoseno se denota as:

T(Cosx=2)

0

1

-1

/2 3/2 2

Y

X

1. FUNCI N SENO

a. Definicin

Sen = {(x; y) / y = Senx}

DOM (SEN): x o IRRAN (SEN): Y [-1; 1]

Grfico de la Funcin SENO

Una parte de la grfica de lafuncin seno se repite portramos de longitud 2. Estoquiere decir que la grfica dela funcin seno es peridicade perodo 2. Por lo tantotodo anlisis y clculo deldominio y rango se hace en elsiguiente grfico:

X 0 /2 3/2 2

Y=Senx 0 1 0 -1 0

NotaEl perodo de una funcin serepresenta por la letra T.Entonces el perodo de la funcinseno se denota as:

T(Senx=2)

0

1

-1

/2 3/2 2

Y

X


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Preclculo I

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Preclculo I

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Preclculo I

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Preclculo I

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Funciones Trigonomtricas Inversas


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Preclculo I

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Preclculo I

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Preclculo I

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Preclculo I

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PRCTICA N 16

Tema: IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS


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Preclculo I

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1.IDENTIDAD TRIGONOMTRICA

Una identidad trigonomtrica es una igualdad que contiene

expresiones trigonomtricas que se cumplen para todo valor admisiblede la variable.

EjemplosIdentidad Algebraica: (a+b) = a + 2ab + bIdentidad Trigonomtrica: Sen+ Cos= 1Ecuacin Trigonomtrica: Sen+ Cos= 1

Para: = 90 CumplePara: = 30 No cumple

2.IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Las identidades trigonomtricas fundamentales sirven de base para lademostracin de otras identidades ms complejas.Se clasifican:

Pitagricas Por cociente Recprocas

2.1IDENTIDADES PITAGRICAS

I. Sen+ Cos= 1II. 1 + Tan= SecIII. 1 + Cot = Csc

Demostracin ISabemos que x + y = r

x y

r r

2 2

2 2 1

1r

x

r

y2

2

2

2

Sen+ Cos = 1 l.q.q.d.

2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE

I.Tan =

Cos

Sen

II.Cot =

Sen

Cos

Demostracin I

Tan=

Co s

Sen

r

xr

y

x

y

ABSCISA

ORDENADAL.q.q.d.


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Preclculo I

105

2.3 IDENTIDADES RECPROCAS

I. Sen. Csc= 1II. Cos. Sec= 1III. Tan . Cot= 1

Demostracin I

1y

r.r

y Sen. Csc= 1 L.q.q.d.

Observaciones: Sabiendo que: Sen+ Cos = 1

Despejando: Sen= 1 Cos Sen= (1 + Cos) (1-Cos)

As mismo: Cos= 1 - Sen Cos= (1 + Sen) (1-Sen)

3. IDENTIDADES AUXILIARES

A) Sen4+ Cos4 = 1 2Sen. CosB) Sen6+ Cos6 = 1 3Sen. CosC) Tan + Cot = Sec. CscD) Sec+ Csc = Sec . CscE) (1+Sen+ Cos) = 2(1+Sen)(1+Cos)

Demostraciones

A) Sen+ Cos= 1Elevando al cuadrado:(Sen+ Cos) = 1

Sen4+ Cos4 +2 Sen+ Cos = 1Sen4+Cos4=12 Sen.Cos2

B) Sen+ Cos= 1Elevando al cubo:

(Sen+ Cos)3= 13Sen6+ Cos6 +3(Sen+ Cos) (Sen+ Cos)= 1

1

Sen6+ Cos6 +3(Sen+ Cos) =1 Sen6+Cos6=1-3(Sen.Cos)

C) Tan + Cot=

Sen

Cos

Cos

Sen

1

Tan + Cot=

Sen.Co s

Co sSen 22


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Preclculo I

106

Tan + Cot= Se n.Co s

1.1 Tan+ Cot= Sec . Csc

D) Sec+ Csc = 22 Sen

1

Cos

1

Sec+ Csc =

22

1

22

Sen.Co s

CosSen

Sec+ Csc = 22 Sen.Cos

1.1Sec+ Csc= Sec

. Csc

E) (1+Sen + Cos) = 1+(Sen)+(Cos)+2Sen+2Cos+2Sen.Cos

= 1+Sen+ Cos+ 2Sen.2cos+2Sen.Cos

= 2+2Sen+ 2Cos+ 2Sen.Cos

Agrupando convenientemente:= 2(1 + Sen) + 2Cos(1 + Sen)= (1 + Sen) (2 + 2Cos)= 2(1 + Sen) (1 + Cos)

(1 + Sen+ Cos) = 2(1+Sen) (1+Cos)

4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR

Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de laigualdad propuesta son equivalentes, para lograr dicho objetivose siguen los siguientes pasos:1. Se escoge el miembro ms complicado2. Se l leva a Senos y Cosenos (por lo general)3. Se util izan las identidades fundamentales y las diferentes

operaciones algebraicas.

Ejemplos:

1) Demostrar:Secx (1 Senx) Cscx = Cotx

Se escoge el 1 miembro:Secx (1-Senx) Cscx =

Se lleva a senos y cosenos:

Senx

1.xCos.

Cosx

1 2

Se efecta:Senx

1.Cosx =

Cotx = Cotx


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Preclculo I

107

5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y SIMPLIFICAREjemplos:

1) Reducir: K = Sen 4x Cos4x + 2CosxPor diferencia de cuadrados

1

K = (Senx + Cosx) (Senx Cosx) + 2CosxK = Senx - Cosx + 2CosxK = Senx + Cosx K = 1

2) Simplificar: E =Cosx1

Senx

Senx

Cosx1

)Cosx1(Senx

SenxSenxCosx1Cosx1E

xCos12

E =)Cosx1(Senx

xSenxSen 22

E =)Cosx1(Senx

O

E = 0

6. PROBLEMAS CON CONDICINDada una o varias condiciones se pide hallar una relacin entrminos de dicha o dichas condiciones.

Ejemplo

Si: Senx + Cosx =21 . Hallar: Senx . Cosx

Resolucin

Del dato: (Senx + Cosx) =

2

2

1

Senx + Cosx + 2Senx . Cosx =4

1

1

2Senx . Cosx = 4

1

- 1

2Senx . Cosx =4

3 Senx . Cosx = -

8

3


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Preclculo I

108

A. Nivel Bsico.

1. Cules valores de a, b y c hacen de la siguiente ecuacin una identidad?

3 + 4cos2+ 5cos4= a + bsen2+ csen4

2. Demuestre las siguientes identidades:a)2 cos2x 1 = 1 2 sen2x

b)sen4x cos4x = 1 2 cos2x

c)tan2x cot2 x = sec2x cosec2x

d)(cosec x cot x)2=xcos1

xcos1

e)2

2

)senx1(

xcos

= (sec x + tan x)2

f)sen xcos3x cos x sen3x =4

1sen 4x

g)senx

xcos1= tan

2

x

h)1xsec

xsec2

= csc2(

2

x)

i)xsencos

x2senx4cosx2cosx4sen

22

=tan 2x

j)tan x + cot x = 2cosec 2x

k)x2sec

11

xcsc

2

2

l)xcos

x3cos

senx

x3sen = 2

m)xcos

xcos1

x2cos1

x2sen

= tan

2

x

n) tan = (sec + 1)(csc cot )

o)c63

c282

1Acsc8

1Acsc5

AtanAsec8

AtanAsec5

p) sec (sen 1)(tan + sec ) = 1

q) (cot tan )2= cot2(2 sec2)2

r)

22

2

tancsc1

tan= sen 4

s) (cot tan )2

= cot

2

(2 sec2

)2

t)Asen

Bcot

Bsen

Acot

2

2

2

2

= cot2Acot2B

3. Demuestre que20

1sec4(5) +

40

1sec2(5) es idntica a

20

1tan4(5) +

8

1tan2(5) + C

donde C es una constante real; determine el valor de esa constante C.

4. Decida si las siguientes igualdades son o no identidades trigonomtricas:a) 10 cos211 10 sen211

b)6

cos6

sen

c) 4sen44sen2= cos22

d)3

2

160cos1

= sen68

e) 2sen2

Bcos

2

B= sen B

f) 2sen231 = cos 6.

4


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Preclculo I

109

B. Nivel Medio.

Documents

Libro Precalculo 1