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Radioenlaces Digitales
Jose Manuel Albornoz
RADIOENLACES DIGITALES
JOSE M. ALBORNOZ
Todos los derechos reservados.
c⃝ Jose Manuel Albornoz Martos 2007
No esta permitida la reproduccion total o parcial de
este libro, ni su tratamiento informatico, ni la
transmision de ninguna forma o por cualquier medio,
ya sea electronico, mecanico, por fotocopia, por
registro u otros metodos, sin el permiso previo y por
escrito del autor.
ii
Al espıritu de lucha que mis padres dejaron en mi
A mi familia
iii
iv
Indice general
Prefacio I
1. Introduccion 1
1.1. Caracterısticas de los Enlaces de Microondas . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Anatomıa de un Radioenlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Radioenlaces Analogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Radioenlaces Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Jerarquıas Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2. Estructura de un Radio Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Repetidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Fenomenos Asociados a la Propagacion de las Microondas . . . . . . 30
1.6.1. Difraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2. Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.3. Refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.4. Absorcion y Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7. Consideraciones Generales de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8. Autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Conceptos Basicos de Propagacion 41
2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1. Ecuaciones de Maxwell y Ondas Electromagneticas . . . . . . 42
2.1.2. Indice de Refraccion de un Medio . . . . . . . . . . . . . . . . 47
v
2.1.3. Densidad de Potencia de una Onda Electromagnetica . . . . . 49
2.1.4. Polarizacion de las Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . 50
2.1.5. El Concepto de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.6. Las Leyes de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Propagacion en el Espacio Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1. Radiacion entre Antenas Isotropicas . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2. Transmision entre Antenas Isotropicas en el Espacio Libre . . 59
2.2.3. Transmision entre Antenas Directivas en el Espacio Libre . . . 62
2.3. Potencia Recibida en un Enlace Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1. Relacion entre Potencia Recibida, Umbral de Recepcion y Mar-
gen de Desvanecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4. Campo Recibido sobre una Tierra Esferica . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5. Autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3. Influencia de la Atmosfera sobre la Propagacion 81
3.1. Caracterısticas Generales de la Troposfera . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.1. Indice de Refraccion Troposferico . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2. Variacion de la Refractividad en una Atmosfera Bien Mezclada 85
3.2. Modelos Atmosfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.1. Atmosfera de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.2. Atmosfera Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.3. Modelos Atmosfericos vs. Atmosfera Real . . . . . . . . . . . . 93
3.3. Analisis de la Refraccion en una Atmosfera Horizontalmente Estratificada 95
3.4. Analisis de la Refraccion en una Atmosfera Esfericamente Estratificada 99
3.4.1. Radio de Curvatura de una Trayectoria Radioelectrica . . . . 102
3.4.2. Radio Terrestre Ficticio y Factor K . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5. Clasificacion de las Condiciones de Propagacion . . . . . . . . . . . . 115
3.6. Indice de Refraccion Efectivo, Modulo de Refraccion y Perfiles M . . 120
3.6.1. Propagacion por Ductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
vi
3.7. Relacion entre Condiciones de Propagacion y Condiciones Ambientales 129
3.8. Efectos de Refraccion a Pequena Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.9. Absorcion y Dispersion Atmosfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.9.1. Absorcion por los Gases Atmosfericos . . . . . . . . . . . . . . 138
3.9.2. Absorcion y Dispersion por Hidrometeoros . . . . . . . . . . . 142
3.9.3. Calculo de la Atenuacion por Lluvia y Niebla . . . . . . . . . 148
3.10. Autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4. Influencia del Terreno sobre la Propagacion 167
4.1. Representacion del Perfil de un Vano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.1. Calculo de la Sagita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1.2. Diagramas de Arco Elıptico y Arco Parabolico . . . . . . . . . 172
4.1.3. Consideraciones para el Dibujo de Perfiles . . . . . . . . . . . 182
4.1.4. Uso de Modelos de Elevacion Digital . . . . . . . . . . . . . . 185
4.2. El Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3. Zonas y Elipsoides de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.3.1. Campo Electrico asociado a cada Zona De Fresnel . . . . . . . 196
4.4. Perdidas por Difraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.4.1. Perdidas Producidas por un ‘Filo de Cuchillo’ . . . . . . . . . 200
4.4.2. Secuencias de Filos de Cuchillo . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.4.3. Perdidas Producidas por una Colina Redondeada . . . . . . . 211
4.5. Calculo de la Altura de las Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.5.1. Relacion entre Despeje y Confiabilidad . . . . . . . . . . . . . 215
4.6. Efecto de las Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.6.1. Coeficiente de Reflexion del Terreno . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.6.2. Reflexion Sobre Medios Dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.6.3. Reflexion Sobre un Medio Conductor . . . . . . . . . . . . . . 225
4.6.4. Comportamiento del Coeficiente de Reflexion . . . . . . . . . 228
4.6.5. Zona Efectiva de Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
vii
4.6.6. El Factor de Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.6.7. El Factor de Rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.6.8. Valores Practicos del Coeficiente de Reflexion . . . . . . . . . 238
4.7. Influencia de las Reflexiones en la Senal Recibida . . . . . . . . . . . 241
4.8. Calculo de la Posicion del Punto de Reflexion . . . . . . . . . . . . . 246
4.9. Autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5. Desvanecimiento 261
5.1. Tipos de Desvanecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.2. Causas del Desvanecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.2.1. Desvanecimientos por Ocultamiento . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.2.2. Desvanecimiento por Trayectorias Multiples . . . . . . . . . . 265
5.2.3. Desvanecimiento por Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.2.4. Desvanecimiento por Ductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.2.5. Desvanecimiento por Desenfoque del Haz . . . . . . . . . . . . 273
5.3. Desvanecimiento en Enlaces Analogicos y en Enlaces Digitales . . . . 273
5.4. Modelos Estadısticos del Desvanecimiento . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.4.1. Distribucion Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5.4.2. Distribucion Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.4.3. Distribucion de Rice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.5. Modelos Empıricos del Desvanecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.5.1. Recomendacion UIT-R P.530-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.5.2. Modelo de Vigants-Barnett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.5.3. Modelo de Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.6. Desvanecimiento Selectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.6.1. Descripcion Analıtica del Desvanecimiento por Trayectorias Multi-
ples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.6.2. Curva de Signatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.7. Contramedidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
viii
5.7.1. Margen de Desvanecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.7.2. Recepcion con Diversidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
5.7.3. Diversidad de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.7.4. Diversidad de Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
5.7.5. Diversidad Mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.8. Ecualizacion Adaptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5.8.1. Ecualizacion Adaptiva en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 334
5.8.2. Ecualizacion Adaptativa en Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 335
5.9. Codificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
5.10. Modulacion en Celosıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
5.11. Control Automatico de Potencia Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 341
5.12. Desvanecimiento Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.13. Protecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
5.13.1. Sistemas de Proteccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
5.13.2. Configuraciones de Proteccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
5.13.3. Conmutacion sin Perdida de Bits (Hitless) . . . . . . . . . . . 350
5.13.4. Control de la Conmutacion de RF . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.13.5. Empleo de Circuitos de Ramificacion . . . . . . . . . . . . . . 354
5.13.6. Trafico Marginal (Way Side) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.13.7. Configuraciones Tıpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.14. Autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.15. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6. Ruido e Interferencia 369
6.1. Ruido en la Antena y en el Receptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
6.2. Ruido en un Radioenlace Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.3. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.4. Efectos de la Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.4.1. Interferencia Co-canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.4.2. Interferencia por Canales Adyacentes . . . . . . . . . . . . . . 383
ix
6.5. Aspectos de Propagacion en el Calculo de Interferencias . . . . . . . . 386
6.5.1. Area de Coordinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.5.2. Mecanismos de Propagacion relevantes para la Interferencia . 390
6.6. Metodos de Prediccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6.7. Plan de Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.7.1. Planes de Frecuencia Internacionales . . . . . . . . . . . . . . 403
6.7.2. Separacion entre Canales en Sistemas n+ 1 . . . . . . . . . . 407
6.8. Asignacion de Canales en un Radioenlace . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6.8.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6.8.2. Plan a 2 Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.8.3. Plan a 4 Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.8.4. Criterios para la Asignacion de Frecuencias . . . . . . . . . . . 415
6.8.5. Asignacion de Frecuencias en Redes en Anillo . . . . . . . . . 418
6.9. Re-utilizacion de Frecuencias mediante XPIC . . . . . . . . . . . . . . 422
6.10. Consideraciones Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.10.1. Principios de Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
6.11. Autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
7. Analisis de Disponibilidad y Calidad 443
7.1. Conexion Ficticia Digital de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.2. Trayecto Ficticio Digital de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
7.3. Objetivos de Calidad para Enlaces Reales . . . . . . . . . . . . . . . 455
7.3.1. Objetivos de Calidad basados en la Rec. UIT-T G.821. . . . . 455
7.3.2. Objetivos de Calidad basados en la Rec. UIT-T G.826. . . . . 459
7.3.3. Factores que influyen en la Calidad . . . . . . . . . . . . . . . 461
7.3.4. Consideraciones Practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
7.4. Relacion entre ES, SES, BBE y BER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
7.5. Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.5.1. Objetivos de Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
x
7.5.2. Factores que afectan la Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . 475
7.5.3. Objetivos de Disponibilidad en la Practica . . . . . . . . . . . 483
7.6. Autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
A. El Decibelio 491
A.1. Relacion de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
A.2. Potencias Absolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
A.3. Ejemplo de Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
B. Conceptos Elementales de Antenas 497
B.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
B.2. Relacion de Onda Estacionaria (ROE, SWR, VSWR) . . . . . . . . . 499
B.3. Impedancia de Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
B.4. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
B.5. Patron de Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
B.6. Patron de Discriminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
B.7. Directividad, Eficiencia y Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
B.8. Area Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
B.9. Ancho de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
C. Elementos de Probabilidad 517
C.1. Definiciones y Axiomas Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
C.1.1. Experimentos y Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . 517
C.1.2. Eventos y σ-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
C.1.3. Definicion Axiomatica de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . 519
C.2. Probabilidades Conjunta y Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
C.3. Independencia Estadıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
C.4. Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
C.5. Funcion de Distribucion Acumulativa (CDF) . . . . . . . . . . . . . . 525
C.5.1. Propiedades de la CDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
xi
C.6. Funcion de Densidad de Probabilidad (pdf) . . . . . . . . . . . . . . 529
C.6.1. Propiedades de la pdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
C.6.2. La pdf Gaussiana o Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
C.6.3. Conversion de la pdf Gaussiana a la pdf Estandar . . . . . . . 531
C.6.4. La pdf Log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
C.6.5. La pdf de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
C.6.6. Combinacion de las Distribuciones Log-Normal y Rayleigh . . 535
C.6.7. La pdf de Rice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
D. Repetidores Pasivos 539
D.1. Repetidor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
D.2. Repetidor ‘Back-to-Back’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
Bibliografıa 547
xii
Prefacio
Los radioenlaces de microondas permiten la transmision economica, eficiente y
simultanea de grandes volumenes de informacion sin importar su naturaleza (vıdeo,
audio o datos), en condiciones que muchas veces son adversas para los medios ca-
bleados. El desarrollo de esta tecnologıa ha requerido la integracion de varias sub-
disciplinas de la ingenierıa electrica tales como teorıa de comunicaciones, propagacion,
teorıa de codigos, antenas, microondas y procesamiento digital de senales, entre otras.
Esta particularidad ha hecho del diseno de radioenlaces un area con caracterısticas
unicas, cuya literatura ha aparecido en sincronıa con los rapidos avances que se han
producido en la ingenierıa de telecomunicaciones. Si bien los principios fısicos que
gobiernan el funcionamiento de estos sistemas se hallan bien documentados en la
literatura, los aspectos de propagacion troposferica de interes para el ingeniero solo
pueden encontrarse en un reducido numero de libros de difıcil adquisicion. Por otra
parte, los criterios para el diseno y analisis de radioenlaces han quedado dispersos
en una amplia variedad de notas de aplicacion, artıculos tecnicos, y recomendaciones
publicados a lo largo de los ultimos 30 anos. En mi experiencia, primero como estu-
diante y posteriormente como profesional, he encontrado que no existe un texto en
castellano que contenga informacion actualizada acerca de los sistemas de radioen-
laces, especialmente en lo referente a sistemas digitales. Por esta razon, los cursos
i
ii
de radioenlaces ofrecidos en las universidades venezolanas se han apoyado principal-
mente en el esquema de la clase magistral, ya que el material disponible es a menudo
fragmentario y no siempre esta presentado de la forma mas pedagogica. El presente
trabajo tiene como objeto satisfacer la necesidad de un texto actualizado en caste-
llano que examine los principios fısicos y las tecnologıas actuales de los radioenlaces
digitales de microondas. La intencion ha sido la de desarrollar un libro que permita
cubrir los contenidos de un curso de radioenlaces con duracion de un semestre; esto
implico el mantener un balance cuidadoso para presentar el material correspondiente
a este tipo de sistemas sin ahondar en la teorıa de la comunicacion digital, materia
esta que es cubierta con abundante detalle en la literatura.
El nivel del texto es apropiado para pregrado, sin embargo hay topicos que han
sido examinados en suficiente profundidad como para ser presentados en el contexto
de un curso de postgrado. Se han incluido abundantes ejemplos, ası como secciones
de Autoevaluacion y Problemas al final de cada capıtulo (a excepcion del Capıtulo
1, por ser de caracter introductorio); en este sentido se ha procurado seguir el mod-
elo establecido por Antenas y Propagacion de la Prof. Zulima Barboza (Universidad
de Los Andes, Venezuela). Tambien se han incluido al final del libro Apendices que
le permitiran al lector hacer un repaso rapido de conceptos que son esenciales para
la efectiva comprension del tema tales como teorıa de antenas, utilizacion del deci-
bel, y elementos de probabilidad; tambien se ha incluıdo informacion basica sobre
repetidores pasivos.
Una consideracion que fue tenida en cuenta en la elaboracion del texto es que la
complejidad de los procedimientos de planificacion y analisis de este tipo de sistemas
de comunicacion hacen que ellos sean candidatos naturales para la utilizacion de la
iii
herramienta computacional, la cual al permitir el calculo rapido y eficiente, ha substi-
tuido a los nomogramas y a otra tecnicas graficas que limitaban tanto la precision de
los calculos como la productividad del ingeniero. Es por esta razon que se ha procu-
rado hacer enfasis en la utilizacion de paquetes de software tales como MathCAD o
MATLAB a objeto de familiarizar al lector con la utilizacion de estas herramientas en
el diseno de radioenlaces. A tal efecto se han incluido en la Seccion de Problemas que
se halla al final de cada capıtulo ejercicios que requieren la utilizacion del computador;
tales ejercicios estan identificados con una estrella (⋆). Varios scripts destinados a la
solucion de este tipo de problemas pueden ser descargados de la pagina Web del autor;
esto se ha hecho con el proposito de facilitar al iniciado el proceso de aprendizaje de
la programacion en MATLAB y MathCAD.
El diseno de un radioenlace requiere la elaboracion y uso de modelos estadısti-
cos para representar las condiciones ambientales que afectan la propagacion de las
microondas. Por lo tanto, estos modelos son altamente dependientes de la region ge-
ografica en la que el enlace va a operar. Se encuentran en el mercado paquetes de
software comerciales que automatizan el proceso de diseno pero que estan pensados
para ser usados en funcion de los equipos producidos por un fabricante particular;
adicionalmente, los modelos ambientales usados en esos paquetes no corresponden a
las condiciones encontradas en Venezuela. En vista de esta limitacion, se ha procurado
en la medida de lo posible incluir datos de propagacion correspondientes a Venezuela
y a la region Andina.
En la literatura de los radioenlaces se encuentran con frecuencia terminos y acroni-
mos que casi siempre provienen del idioma Ingles, razon por la cual tales terminos
se encontraran escritos en italicas. Para evitar ambiguedades, y en aquellos casos en
iv
los que pudiese haber lugar a dudas, cuando se presentan resultados numericos las
correspondientes unidades apareceran encerradas entre corchetes. Ej. [km-1].
En la presentacion de los temas se ha seguido una secuencia que lleva progresiva-
mente de la situacion mas sencilla a la mas complicada; ası por ejemplo la propagacion
de microondas se examina primero en el espacio libre, para posteriormente considerar
el efecto de la atmosfera y la presencia de una tierra plana. A continuacion se estudia
el problema de la propagacion a traves de la atmosfera sobre una tierra perfecta-
mente esferica, para finalmente tomar en cuenta el efecto del relieve terrestre en la
senal recibida.
No quisiera finalizar este prefacio sin dar las gracias en primer lugar a mis estudi-
antes en la Universidad de Los Andes (Venezuela) y en la Universidad de Pamplona
(Colombia), los cuales con sus preguntas muchas veces contribuyeron a clarificar mis
ideas sobre el tema. Igualmente quisiera manifestar mi agradecimiento hacia mis cole-
gas del Grupo de Telecomunicaciones de la Universidad de Los Andes, y en especial al
Prof. Nelson Perez por su generosidad al facilitarme gran parte del material utilizado
para la elaboracion de este trabajo.
Jose Manuel Albornoz M.
http://uk.linkedin.com/in/jmalbornoz
Septiembre 2011
Capıtulo 1
Introduccion
El proposito de esta Introduccion es el de presentar al lector una vision preli-
minar de las caracterısticas de los radioenlaces de microondas, poniendo de relieve
aquellos aspectos particulares que los distinguen de otros sistemas de transmision
inalambrica y describiendo los bloques funcionales que componen las estaciones ter-
minales y repetidoras en los radioenlaces analogicos y digitales. En esta presentacion
se hace hincapie en las interfaces normalizadas que hacen posible la integracion de
los radioenlaces digitales dentro de los sistemas de comunicaciones de la actualidad.
Adicionalmente, se describen los principales mecanismos que afectan la propagacion
de las microondas en la troposfera. Finalmente se presenta una breve discusion de los
aspectos mas importantes en el diseno de un radioenlace.
1.1. Caracterısticas de los Enlaces de Microondas
El proposito de un sistema de comunicaciones es la transmision de informacion
entre dos o mas puntos. En el caso de las comunicaciones inalambricas terrestres
esto se logra modulando una onda electromagnetica con la informacion que se desea
transmitir, para posteriormente permitir que dicha onda se propague a traves de
1
2
Banda de Frecuencia Denominacion
300 MHz/3 GHz Frecuencias Ultra Altas (UHF)3 GHz/30 GHz Frecuencias Super Altas (SHF)30 GHz/300 GHz Frecuencias Extremadamente Altas (EHF)
Cuadro 1.1: Bandas de frecuencias a considerar.
la atmosfera hasta su destino. Existen dos tipos basicos de sistemas de transmision
inalambrica: los sistemas punto a punto, en los que se requiere la transmision de
informacion entre una estacion de origen y una estacion de destino; y los sistemas
punto a multipunto como en el caso de la radiodifusion comercial.
Los sistemas de transmision inalambrica son una alternativa a ser considerada
para la transmision punto a punto de grandes volumenes de informacion sobre grandes
distancias: aa capacidad del canal inalambrico para transportar informacion depen-
dera de su ancho de banda, el cual a su vez es funcion de la frecuencia de operacion
del sistema.
De forma general, a la radiacion electromagnetica con frecuencias por encima de
1 GHz se le denomina microondas ; la mayorıa de los sistemas inalambricos de alta
capacidad opera a frecuencias de microondas. Las bandas de frecuencias en las que
operan los sistemas que se consideran en este libro se muestran en el Cuadro 1.1;
tales bandas tienen mecanismos de propagacion bastante similares. Es bueno hacer
notar que a pesar de que la porcion inferior de las banda de UHF esta por debajo
de 1 GHz (y por lo tanto, bajo el criterio establecido anteriormente no se consideran
microondas), los mecanismos de propagacion que se describiran tambien pueden en
principio ser aplicados a estas frecuencias.
3
En lo sucesivo, nos referiremos a los sistemas inalambricos de transmision pun-
to a punto como radioenlaces. Los radioenlaces ocupan una posicion de considerable
importancia en el campo de las telecomunicaciones, y en muchos sentidos son fuertes
competidores de los sistemas de transmision basados en cable o fibra optica. El correc-
to diseno de un radioenlace produce un sistema de alta calidad, capaz de transmitir
gran cantidad de informacion de manera economica y eficiente.
Buena parte de los desarrollos conducentes al nacimiento de esta tecnologıa tu-
vieron lugar con anterioridad a la Segunda Guerra Mundial. Durante los primeros
anos de la decada de los treinta surgio el interes en la explotacion comercial de la
transmision inalambrica utilizando frecuencias superiores a los 300 MHz. En 1931 se
establece en el Canal de la Mancha uno de los primeros enlaces de este tipo, el cual
operaba a lo que para entonces era la sumamente elevada frecuencia de 1700 MHz
con una potencia cercana a un vatio [Panter 1972]. Este sistema fue considerado un
enorme avance tecnologico, demostrando que una nueva y hasta el momento poco
usada banda de frecuencias estaba madura para su explotacion. En 1932 aparecen
los primeros radioenlaces con multicanalizacion por division de frecuencia (FDM), y
en 1947 se inaugura un enlace entre Boston y Nueva York que operaba a 4 GHz con
480 canales FDM y siete saltos de radio. En 1959 comienza el empleo de la banda
de 6 GHz con 1680 canales. El primer enlace con multicanalizacion por division de
tiempo (TDM) aparece en 1965 con una velocidad de 1.5 Mbps, y en 1969 el enlace
Pittsburgh-Chicago entraba en operacion con 3 tributarios de 6.3 Mbps. Durante la
decada de los anos 70 se desarrolla la primera generacion de radioenlaces digitales con
capacidades de 2 a 34 Mbps. En 1980 se instalan los primeros enlaces de 140 Mbps
con modulacion 16QAM, y a mediados de la decada aparece la segunda generacion de
4
radios digitales de 140 Mbps/64QAM. Los enlaces para la red sincronica SDH apare-
cen a partir de 1993 constituyendo la tercera generacion de radios digitales, y desde
entonces han sufrido actualizaciones sucesivas de software y hardware para adaptarlos
a las nuevas necesidades del mercado mundial de las telecomunicaciones [Ares 2000].
La seleccion de la banda de frecuencias en la que opera un sistema de radioco-
municaciones depende de muchos factores. En el extremo superior de las bandas de
microondas la directividad de las antenas aumenta, el enlace es mas sensible a la
presencia de obstaculos, y el ancho de banda disponible es mayor. Por otra parte, las
perdidas de propagacion, los desvanecimientos y la figura de ruido de los receptores
aumentan con la frecuencia; asimismo la potencia que un transmisor puede generar
tiende a disminuir al aumentar la frecuencia, mientras que el costo del mismo tiende
a elevarse. En la parte baja del espectro de UHF los ruidos atmosfericos y los pro-
ducidos por el hombre son de mayor importancia; sin embargo estas frecuencias mas
bajas tienen ciertas ventajas: pueden cubrirse distancias mas grandes con mayor to-
lerancia a las obstrucciones en el trayecto del enlace; adicionalmente los equipos son
menos costosos. En el estado actual de la tecnologıa, las frecuencias de las senales o
portadoras empleadas en los radioenlaces varıan desde varios cientos de MHz hasta
aproximadamente 60 GHz.
El empleo de las bandas de microondas en los radioenlaces obedece a dos razones
principales:
La transmision por microondas garantiza un ancho de banda importante, lo cual
es necesario si se requiere la transmision de un gran volumen de informacion.
A frecuencias de microondas es relativamente facil construir antenas altamente
directivas, las cuales permiten dirigir la radiacion electromagnetica emitida por
5
ellas hacia una localizacion especıfica, a semejanza del haz de luz proyectado por
una linterna. Por otra parte, la posibilidad de emplear antenas con alta directivi-
dad permite operar con bajas potencias. Como consecuencia, los radioenlaces
operan en lınea de vista; es decir, debe existir visibilidad radioelectrica entre los
extremos transmisor y receptor.
Dentro de la banda de microondas, la sub-banda comprendida entre 4 y 8 GHz
fue la primera en ser usada en enlaces de radio de alta capacidad con longitudes
tıpicas de 30-50 km. Este segmento de frecuencias es conocido como la ‘banda noble’
debido a sus excelentes caracterısticas de propagacion. La saturacion del espectro
radioelectrico ha hecho necesario migrar desde la banda noble hacia frecuencias cada
vez mas elevadas; sin embargo, por encima de los 10 GHz se produce atenuacion
severa por hidrometeoros y gases atmosfericos, lo que limita significativamente la
distancia que puede ser cubierta cuando se opera a tales frecuencias. Un radioenlace
opera en el modo full duplex ; es decir, el radioenlace permite transmitir y recibir
simultaneamente. Por esta razon, cuando se designa una frecuencia de operacion en
realidad se estan designando dos frecuencias: una de ‘ida’ y otra de ‘retorno’.
En comparacion con los sistemas de transmision basados en cable o fibra optica,
un radioenlace ofrece las siguientes ventajas:
Total flexibilidad en cuanto a la capacidad del sistema: el cual puede configu-
rarse para soportar desde unos pocos canales telefonicos hasta aplicaciones que
demandan un gran ancho de banda. En aquellas aplicaciones donde la posibil-
idad de expansion es importante, un radioenlace puede instalarse inicialmente
6
con solo unos cuantos circuitos de comunicaciones. La capacidad puede ser ex-
pandida posteriormente de acuerdo a la demanda, anadiendo equipos de mul-
ticanalizacion o nuevos canales de microondas. Adicionalmente, varios canales
de microondas pueden utilizar simultaneamente las antenas, guıas de onda, es-
tructuras de soporte y fuentes de poder ya instaladas.
Los tiempos de instalacion y puesta en marcha son significativamente menores.
Este es un factor de gran importancia en instalaciones temporales, en circuns-
tancias en las que el tiempo de instalacion esta severamente limitado o en situa-
ciones de emergencia.
Con frecuencia, un radioenlace es la alternativa mas economica para suminis-
trar servicios de telecomunicaciones en aquellos lugares en los que no existe la
posibilidad de expandir la infraestructura existente de cable o fibra optica, co-
mo por ejemplo en zonas rurales o en zonas urbanas densamente urbanizadas.
Esta ventaja economica es aun mas importante cuando es necesario operar bajo
condiciones climaticas o topograficas adversas.
El sistema puede poseer movilidad, la cual apoya la productividad y la efectivi-
dad con la que se presta el servicio.
Entre algunas aplicaciones tıpicas de los radioenlaces podemos nombrar:
Redes de transporte para operadoras de telecomunicaciones regionales y de larga
distancia.
Redes de transporte para operadores de sistemas celulares fijos y moviles
7
Redes corporativas privadas para proveer tanto comunicaciones como funciones
de telemetrıa y control.
Redes de distribucion de TV.
Enlaces temporales para la transmision de eventos deportivos, polıticos, etc.
o para proveer comunicaciones en situaciones de emergencia.
Proveedores de servicios internet
El diseno e instalacion de un radioenlace supone costos que, aunque menores que
los asociados a otros sistemas de telecomunicaciones, son sin embargo importantes.
Por lo tanto, a fines de justificar la inversion, es absolutamente necesario que la
capacidad de informacion1 del sistema sea alta; en consecuencia, en un radioenlace
es imperativo que el ancho de banda disponible sea considerable y que el porcentaje
de tiempo durante el cual el sistema no este disponible sea tan pequeno como sea
posible.
La bondad de un radioenlace se evalua en terminos del cumplimiento de objetivos
de calidad y disponibilidad. En un radioenlace analogico, los objetivos de calidad estan
definidos por el porcentaje de tiempo durante el cual se mantiene una determinada
relacion senal/ruido; en tanto que para un radioenlace digital los objetivos de calidad
dependen del porcentaje de tiempo durante el cual la tasa de bits errados o BER
(Bit Error Rate) no supera un determinado valor. La disponibilidad, por otra parte,
esta relacionada con el porcentaje de tiempo durante el cual el radioenlace se mantiene
operativo cumpliendo los objetivos de calidad. La calidad y la disponibilidad del enlace
1La capacidad de informacion es una medida de la cantidad de informacion que puede ser trans-mitida en un sistema de comunicaciones en un determinado perıodo de tiempo. La Ley de Hartleypredice que esta capacidad es directamente proporcional al producto del ancho de banda del sistemay del tiempo disponible para efectuar la transmision [Tomasi 1996].
8
determinan en primer lugar la capacidad de informacion del sistema, y en segundo
lugar la satisfaccion de los usuarios que eventualmente pagan por el servicio.
La Seccion de Radiocomunicaciones de la Union Internacional de Telecomuni-
caciones (anteriormente Comite Consultivo Internacional de Radiocomunicaciones,
C.C.I.R.) es el organismo encargado de producir recomendaciones que establecen los
criterios mınimos de calidad y disponibilidad a ser satisfechos por un radioenlace;
asimismo, la UIT-R genera estandares que hacen posible la compatibilidad de los
radioenlaces con respecto a otros medios de transmision utilizados en las redes dig-
itales integradas de la actualidad. A lo largo de nuestra discusion se hara frecuente
referencia a dichas recomendaciones, por lo que de ahora en adelante seran citadas
como Recomendaciones UIT-R; asimismo se emplearan las Recomendaciones UIT-T
emitidas por la Seccion de Telecomunicaciones de la U.I.T.
1.2. Anatomıa de un Radioenlace
Aunque las redes de comunicaciones basadas en radioenlaces varıan mucho en
cuanto a sus dimensiones y capacidad, podemos sin embargo identificar ciertas partes
de las mismas en base a su capacidad de transmision, las cuales se aprecian en la
Fig. 1.1: el backbone, las troncales secundarias, y los accesos. El backbone constituye
el espinazo de la red, y por lo tanto debe ser capaz de transmitir un gran volumen
de informacion. Las troncales secundarias llevan trafico a menor velocidad desde el
backbone hasta localidades que sirven de centros de distribucion, desde las cuales
los accesos llevan el trafico hasta los usuarios finales del sistema. Cada una de estas
partes constituye un radioenlace punto a punto.
Un radioenlace punto a punto consta de un cierto numero de estaciones, las cuales
9
Backbone
Troncal
Secundaria
Acceso
Figura 1.1: Esquema de una red de comunicaciones.
estan situadas a lo largo de una determinada ruta que enlaza las denominadas esta-
ciones terminales. Tal como su nombre lo sugiere, las estaciones terminales se encuen-
tran en los extremos del radioenlace, y en ellas son originadas y/o recibidas las senales
que son transmitidas, a las que en lo sucesivo se denominara senales de banda base.
La banda base esta constituida por la senal compuesta que modula una portadora de
microondas, pudiendo incluir uno o varios tipos de informacion (audio, vıdeo o datos)
utilizando tecnicas de multicanalizacion por division de frecuencia (FDM, Frequency
Division Multiplexing) o por division de tiempo (TDM, Time Division Multiplexing).
En las estaciones terminales una portadora de microondas es modulada con la
senal de banda base, amplificada y aplicada a una antena para ser radiada hacia las
estaciones intermedias que se encuentran a lo largo de la ruta, las estaciones repeti-
doras, las cuales pueden ser pasivas o activas. Una repetidora pasiva es simplemente
una superficie construida para que la senal de microondas incidente sobre ella sea
10
reflejada en la direccion de la siguiente estacion en el enlace. Una repetidora activa,
por otra parte, recibe la senal de microondas, la amplifica, cambia la frecuencia de
la portadora para evitar interferencia con otras repetidoras vecinas, y la re-transmite
hacia la proxima estacion. En determinadas estaciones repetidoras las senales de ban-
da base pueden ser reconfiguradas agregando o retirando trafico de la portadora de
microondas, tal como ocurre en la Estacion C de la Fig. 1.2. Al espacio existente
entre un par de estaciones consecutivas se le denomina salto o vano; las distancias
cubiertas por los vanos varıan tıpicamente entre 20 y 70 kilometros2.
A
B
C
D
E
Tráfico
Tráfico
Tráfico
Vano ABVan
oBC
Vano CD
Vano
DE
A,E
B,C,D
: Estaciones Terminales
: Estaciones Repetidoras
Figura 1.2: Estructura de un Radioenlace.
Las antenas comunmente usadas en un radioenlace son reflectores parabolicos cuyo
tamano depende de la banda de frecuencias en la que opera el enlace: a mayor fre-
cuencia el tamano de las antenas sera menor. Este tipo de antenas proporcionan alta
directividad, bajo nivel de lobulos secundarios y un gran ancho de banda, siendo posi-
ble operar simultaneamente en varias frecuencias con una misma antena (por ejemplo
2El vano mas largo del mundo en la actualidad tiene una longitud de 220 Km y esta instaladoentre las Islas de Mauricio y Reunion en Africa del Sur.
11
en 2, 4 y 6 GHz). Debido a la alta directividad de las antenas es necesario procu-
rar un correcto alineamiento de las mismas en cada vano para asegurar visibilidad
radioelectrica entre las estaciones.
A fin de minimizar la posibilidad de que se produzca interferencia entre las esta-
ciones del enlace, es necesario escoger con gran cuidado las frecuencias y las polar-
izaciones con las que se va a operar en cada vano. A la disposicion de frecuencias
y polarizaciones a utilizar se le denomina plan de frecuencias ; la UIT-R provee re-
comendaciones en las que se especifica el procedimiento para disenar dicho plan.
La potencia recibida en un enlace de microondas esta sujeta a variaciones aleato-
rias debido a cambios en las condiciones de la atmosfera y a trayectorias multiples
seguidas por las ondas electromagneticas entre las antenas. Esta variacion aleatoria
de la potencia recibida se conoce como desvanecimiento. El desvanecimiento depende
de factores tales como la longitud de los vanos, la frecuencia de operacion, y las car-
acterısticas geograficas y climaticas. En consecuencia, es necesario tomar en cuenta
la posibilidad de que se produzca desvanecimiento en el diseno del sistema. En este
sentido la calidad y la disponibilidad de un enlace estan definidas en terminos prob-
abilısticos, ya que la presencia de desvanecimiento introduce un elemento de aleato-
riedad en la operacion del sistema. Por estas razones la calidad y la disponibilidad de
un radioenlace se especifican estadısticamente en terminos del porcentaje de tiempo
durante el cual estas se mantienen dentro de lımites pre-establecidos.
Un radioenlace debe proveer un alto nivel de confiabilidad; es comun disenar sis-
temas que garanticen una disponibilidad mayor o igual al 99.9%. Para alcanzar tales
niveles de confiabilidad es necesario contar con canales adicionales de respaldo que
12
puedan ser puestos en servicio en caso de que se produzca una falla en el canal regu-
lar; en algunos sistemas este canal de respaldo tambien permite reducir los efectos del
desvanecimiento. Dado que normalmente no se tiene personal en las estaciones repeti-
doras, es preciso contar con un sistema de supervision y control para la monitorizacion
y la identificacion de las fallas en el sistema, ası como para la activacion automatica
de los canales de respaldo. La informacion manejada por estos sub-sistemas es nor-
malmente transmitida junto con la carga util que maneja el sistema.
En general, los canales de comunicacion provistos por un radioenlace pueden
formar parte de un sistema de comunicaciones mucho mayor que cubre miles de
kilometros. Por lo tanto, las caracterısticas de transmision como nivel de ruido, ancho
de banda, BER, distorsion, etc. deben permitir una transmision satisfactoria sobre
tales distancias. En un radioenlace los requerimientos en cuanto al ruido y al BER
son particularmente importantes ya que ellos determinan la potencia transmitida, la
ganancia de las antenas, y otros parametros del sistema. Ademas del ruido termico,
puede generarse ruido adicional tal como el ruido de intermodulacion entre las senales
transmitidas sobre diferentes canales de un mismo radioenlace. Los niveles permisi-
bles de ruido y BER estan definidos internacionalmente por la UIT-R en terminos de
circuitos hipoteticos de referencia, los cuales poseen una longitud de 2500 km y un
numero determinado de etapas de modulacion y demodulacion. En capıtulos posteri-
ores se hara referencia a dichos circuitos en mayor detalle.
1.3. Radioenlaces Analogicos
Debido al hecho de que muchos bloques funcionales son comunes tanto a los en-
laces analogicos como a los digitales, se presenta a continuacion la estructura de los
13
Numero de Canales Telefonicos Capacidad
12/24 Baja60/120/300 Media
600 / 960 / 1200 / 2400 / 4800 / 9600 Alta
Cuadro 1.2: Capacidad de un radioenlace FDM/FM.
radioenlaces analogicos a manera de introduccion a la arquitectura de los sistemas
de radioenlaces. Los radioenlaces analogicos permiten la transmision de cientos o
miles de canales de voz, empleando tecnicas convencionales de modulacion FM y
multicanalizacion por division de frecuencia (FDM/FM, Frequency Division Multi-
plexion/Frequency Modulation). El empleo de la modulacion FM obedece a que las
senales moduladas en amplitud son mas sensibles a la distorsion producida por el
comportamiento no lineal inherente a los amplificadores de microondas de banda an-
cha, en tanto que las senales moduladas en frecuencia son relativamente insensibles
a este tipo de distorsion, pudiendo ser procesadas por amplificadores no lineales sin
grandes inconvenientes.
En un sistema convencional de transmision analogica FDM/FM el espectro de la
banda base esta compuesto por un cierto numero de canales telefonicos dispuestos uno
al lado del otro; cada canal posee un ancho de banda de 4 kHz (3.1 kHz mas 0.9 kHz
de banda de guarda), siendo el espectro de cada canal el de una senal de banda lateral
unica con portadora suprimida (Single Side Band Suppressed Carrier, SSB/SC ). La
capacidad del sistema esta especificada por el numero de canales telefonicos que puede
manejar de acuerdo al Cuadro 1.2.
La conformacion de la banda base en un radioenlace analogico se lleva a cabo
siguiendo un esquema en el que la unidad basica de multicanalizacion es un grupo
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
60 KHz o
12 KHz
108 KHz o
60 KHz
Un grupo primario:
12 canales telefónicos
de 4 KHz c/u
Figura 1.3: Estructura de un Grupo Primario.
de 12 canales telefonicos denominado grupo primario, cuya estructura se muestra en
la Fig. 1.3. El espectro de cada canal es desplazado en frecuencia para conformar un
grupo primario, lo que puede hacerse utilizando modulacion directa para llevar cada
canal a su correspondiente ‘ranura’ dentro del grupo o mediante esquemas de mod-
ulacion indirecta, en los que los canales son primero llevados a una banda arbitraria
(de 0 a 48 kHz, por ejemplo) para posteriormente llevar todo el grupo a la banda
deseada. Asimismo pueden formarse pre-grupos (por ejemplo, cuatro pre-grupos de
tres canales) para luego formar el grupo primario. El espectro resultante del grupo
primario ocupa un ancho de banda que por lo comun esta comprendido entre 12 y 60
kHz o entre 60 y 108 kHz. Los grupos primarios pueden a su vez ser combinados para
formar otros grupos con mayor capacidad, de acuerdo al Cuadro 1.3. Por ejemplo, un
Super Grupo o Grupo Secundario esta conformado por 5 grupos primarios; un Grupo
Maestro o Grupo Terciario esta compuesto por 5 Super Grupos, etc. [Freeman 1980]
Aunque la capacidad de un radioenlace analogico esta especificada en terminos
del numero de canales telefonicos que este puede manejar, ello no quiere decir que
no puedan incluirse en la banda base otros tipos de informacion tales como vıdeo o
datos. Ası, por ejemplo, un sistema de alta capacidad puede utilizarse para transmitir
un canal de TV con calidad NTSC (el cual ocupa un ancho de banda de 6 MHz,
15
Denominacion Conformacion
Grupo Primario 12 canalesGrupo Secundario o Super Grupo 5 Grupos Primarios = 60 canalesGrupo Terciario o Grupo Maestro 5 Super Grupos = 300 canales
Grupo Cuaternario o Super Grupo Maestro 3 Grupos Maestros = 900 canales
Cuadro 1.3: Conformacion de los grupos de canales en la banda base de un radioenlaceanalogico.
equivalente a 1500 canales telefonicos) junto con 600 o 900 canales de telefonıa en
una misma portadora de microondas.
Modulador de FM
Amplificador de IF
Mezclador
Generador de
Microondas
Red de Preénfasis
R e
d C
o m
b i n
a d o r
a d
e C
a n
a l e
s
Salida de RF
Otros transmisores
Convertidor ascendente
Banda base Señal de IF (70 MHz)
Figura 1.4: Estructura de un transmisor en las estaciones terminales analogicas.
La Fig. 1.4 muestra un diagrama de bloques simplificado del equipo transmisor
encontrado en las estaciones terminales analogicas. Como se puede apreciar en dicha
figura, las senales de banda base pasan por una red de pre-enfasis que precede al
modulador de FM. Esta red proporciona una ecualizacion que asegura una relacion
senal/ruido mas uniforme en todo el espectro transmitido. Una vez ecualizada, la
banda base modula en FM una portadora de frecuencia intermedia (IF, Intermediate
16
Frequency), la cual posteriormente es convertida en una portadora de microondas
por medio de un convertidor ascendente. Tıpicamente, la portadora de IF empleada
se encuentra entre 60 y 80 MHz (70 MHz es un valor comun), empleandose ındices
de modulacion que oscilan entre 0.5 y 1. Esto produce una senal de FM de banda
angosta con un ancho de banda que se asemeja al de una senal AM convencional,
siendo dicho ancho aproximadamente igual al doble de la frecuencia mas alta de la
banda base [Tomasi 1996].
La combinacion del amplificador de IF, el mezclador, el generador de microondas y
el filtro pasabanda constituye un convertidor ascendente cuyo papel es el de trasladar
el espectro de la senal de IF a la frecuencia de la portadora de microondas. Por
ultimo, la red combinadora de canales proporciona el medio para conectar mas de un
transmisor de microondas a la lınea de transmision que alimenta la antena.
Detector de FM
Amplificador de IF
Mezclador
Generador de
Microondas
Red de Deénfasis
R e
d S
e p
a r a
d o
r a d
e C
a n
a l e
s
Entrada de RF
Otros receptores
Convertidor descendente
Banda base Señal de IF (70 MHz)
Figura 1.5: Estructura de un receptor en las estaciones terminales analogicas.
En el receptor de microondas que se muestra en la Fig. 1.5, la red de separacion
17
de canales proporciona el aislamiento y filtrado necesarios para separar canales indi-
viduales de microondas y dirigirlos a sus respectivos receptores. La combinacion del
filtro pasabanda, el generador de microondas y el mezclador convierte las senales de
microondas en senales de IF, las cuales son posteriormente entregadas a un demodu-
lador de FM. Este demodulador es por lo general un detector de FM convencional no
coherente (como por ejemplo un discriminador o un demodulador PLL). A la salida
del demodulador de FM una red de eliminacion de preenfasis restaura la senal de
banda base a su forma original.
1.4. Radioenlaces Digitales
Los sistemas de transmision digital desarrollados en la actualidad hacen posible la
transmision simultanea de cientos o miles de canales digitales de voz, vıdeo y datos,
los cuales son multicanalizados empleando tecnicas de division de tiempo (TDM). Las
principales ventajas de la transmision digital con respecto a la transmision analogica
son [Freeman 1980]:
Mayor tolerancia al ruido. Por definicion, el proceso de regeneracion de la senal
binaria que tiene lugar en cada estacion repetidora produce una copia identica de
la senal originalmente transmitida. Por lo tanto, no se produce una acumulacion
del ruido como la que se da en un sistema de transmision analogico.
El flujo de bits es completamente independiente de la naturaleza de la informa-
cion transmitida (audio, vıdeo o datos), por lo que el procesamiento de la senal
es mas sencillo.
18
La capacidad del enlace puede ser incrementada utilizando tecnicas de compre-
sion o multicanalizacion estadıstica, las cuales solo pueden ser aplicadas cuando
la informacion esta en formato digital (considerese por ejemplo la compresion
provista por los formatos ZIP, MPEG o MP3).
Figura 1.6: Integracion de diversos sistemas de transmision en una red digital([Briceno, Bendito y Barboza 1982]).
1.4.1. Jerarquıas Digitales
La Union Internacional de Telecomunicaciones ha promovido la estandarizacion
de interfaces que hacen posible la integracion de los radioenlaces digitales dentro de
la infraestructura de telecomunicaciones existente. Esto se ilustra en la Fig. 1.6, en
la que se muestra como distintos medios de transmision pueden ser utilizados dentro
de una red digital integrada gracias a la disponibilidad de interfaces normalizadas.
Dentro de un sistema de transmision digital los canales digitales son combinados
mediante multiplexores (abreviado MUX) para formar senales binarias con mayor
velocidad, proceso que se realiza por etapas de acuerdo a jerarquıas digitales es-
tandarizadas por la Union Internacional de Telecomunicaciones. Dichas jerarquıas
19
1 2 3 . . . . .
30
64 kbps
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
30 canales
1
2
3
4
120 canales
480 canales
1920 canales
7680 canales
E1, 2048 kbps
E2, 8448 kbps
E3, 34368 kbps
E4, 139264 kbps
E5, 564992 kbps
Figura 1.7: Jerarquıa digital europea.
1 2 3 . . . . .
24
64 kbps
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
T1, 1544 kbps
T2, 6312 kbps
T3, 44736 kbps
T4, 274176 kbps 24 canales
96 canales
672 canales
1
2
3
4
5
6
4032 canales
Figura 1.8: Jerarquıa digital norteamericana.
20
consisten en secuencias ordenadas de velocidades de informacion, cada una de las
cuales constituye un orden jerarquico. La unidad basica dentro de esta jerarquıa es
un canal de 64 kbps, el cual corresponde a un canal de voz digitalizada PCM (Pulse
Code Modulation). Las velocidades de cada orden jerarquico son ligeramente superi-
ores a las de la suma de las velocidades individuales de los canales tributarios debido
al agregado de informacion adicional necesaria para mantener la sincronıa de trama.
En el extremo receptor ocurre el proceso inverso, en el cual una corriente de bits de
alta velocidad es descompuesta en senales binarias de menor velocidad; dicho proceso
tiene lugar en los demultiplexores (abreviado DMUX). Es justamente la existencia
de las jerarquıas digitales lo que hace posible el desarrollo de interfaces normalizadas
para la interconexion de los equipos de transmision digital.
Como se ilustra en la Figs. 1.7 y 1.8, los multiplexores jerarquicos combinan un
numero definido de canales del nivel n − 1 para formar un canal digital con veloci-
dad del nivel n. Del mismo modo, los demultiplexores jerarquicos descomponen una
senal del nivel n en un determinado numero de canales del nivel n − 1. Los equipos
de transmision, recepcion, multiplexion, etc. estan disenados para operar a las veloci-
dades establecidas dentro de la jerarquıa digital [Briceno 1988]. En un sistema de gran
capacidad, la salida de cada etapa multiplexora puede formar el flujo tributario de la
siguiente etapa de multiplexion; en sistemas de inferior capacidad, dicha salida puede
pasar directamente al sistema de transmision (en nuestro caso un radio digital).3
La jerarquıa digital anteriormente definida se denomina Jerarquıa Digital Ple-
siocrona (PDH, Plesiochronous Digital Hierarchy) debido a que la senal de reloj
3En la jerarquıa norteamericana el hecho de que el primer orden contenga 24 canales se debe aque Bell Labs (1960) pretendio mantener la compatibilidad con el sistema analogico de 24 canalesFDM. El origen de estos 24 canales fue que se disponıa de un tubo de vacıo con un ancho de bandade 96 kHz, equivalente al ancho de banda de 24 canales de 4 kHz [Ares 2000].
21
usada en cada nivel de multiplexion es independiente de la empleada en otros niveles.
El termino ‘plesiocrono’ significa ‘cuasi-sıncrono’: dos senales digitales en un sistema
PDH presentan transiciones que ocurren ‘casi al mismo tiempo’. A la pequena difer-
encia en la sincronizacion de las senales se le denomina diferencia plesiocrona.
En PDH existen dificultades para la administracion y mantenimiento centralizado
de la red, asimismo es difıcil identificar un tributario de orden inferior dentro de un
nivel jerarquico mayor; como consecuencia insertar o retirar dicho tributario es costoso
y complicado. Por estas razones, los equipos PDH estan siendo progresivamente de-
splazados por equipos que utilizan la Jerarquıa Digital Sıncrona (SDH, Synchronous
Digital Hierarchy) [Miyoshi y Sanches 2002].
La jerarquıa SDH surgio a finales de la decada de 1980, cuando la UIT propuso la
creacion de un estandar mundial para sistemas de transmision sıncrona que permitiera
la aparicion de redes mas flexibles y economicas. SDH puede considerarse como una
evolucion de las redes de comunicaciones a consecuencia de la utilizacion de la fibra
optica como medio de transmision. La jerarquıa SDH se desarrollo en los Estados
Unidos bajo el nombre de SONET (Synchronous Optical Network); posteriormente
en 1989 el antiguo CCITT publicaba una serie de recomendaciones donde quedaba
definida con el nombre de SDH. La principal diferencia entre PDH y SDH es que esta
ultima jerarquıa utiliza una misma senal de reloj para toda la red.
La Fig. 1.9 muestra la estructura de la jerarquıa SDH: el tributario basico de 51.84
Mbps es llamado modulo de transporte sıncrono nivel 0 (STM-0, synchronous trans-
port module - level 0 ). El trafico es controlado y supervisado por software, pudiendo
multiplexarse en ‘contenedores virtuales’, canales sıncronos, asıncronos y plesiocronos;
22
esta capacidad hace que SDH tenga importantes ventajas con respecto a PDH: sim-
plicidad, confiabilidad y facilidad de administracion.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
155.52 Mbps STM-1
622.08 Mbps STM-2
2488.32 Mbps STM-3
9953.28 Mbps STM-4
1
2
3
51.84 Mbps STM-0
Figura 1.9: Jerarquıa SDH.
Un radioenlace puede ser clasificado en terminos de su capacidad y de la jerarquıa
PDH/SDH que soporta . En los radios PDH la interfaz mas comun es la E1 (2 Mbps),
siendo posible multiplexar varios tributarios E1 para producir canales PDH de orden
superior. En el caso de los radios SDH, las interfaces mas comunes son la STM-0,
STM-1 y STM-3, empleandose multiplexores para obtener las velocidades necesarias
a partir de canales E1, como por ejemplo 21 canales E1 en STM-0 y 63 canales
E1 en STM-1. En redes de comunicaciones pequenas se encuentran radioenlaces con
capacidades inferiores a 16E1; en redes medianas y grandes suelen utilizarse radios
SDH para el backbone, radios PDH con capacidades de 16 a 32E1 para troncales
secundarias, y radios de hasta 8E1 para enlaces de acceso. El Cuadro 1.4 clasifica los
radios digitales en base a su capacidad de transmision.
23
Capacidad Velocidad de Transmision Aplicacion Tıpica
Baja Hasta 4E1 Enlace de accesoMedia de 8E1 hasta 32E1 Entroncamiento secundarioAlta 140/155 Mbps (63E1/64E1) Backbone/Entroncamiento
Cuadro 1.4: Clasificacion de los radios digitales.
1.4.2. Estructura de un Radio Digital
En la Fig. 1.10 se muestra un diagrama de bloques simplificado del equipo trans-
misor encontrado en las estaciones terminales digitales. Se observara que este di-
agrama de bloques es similar al de un equipo transmisor analogico aunque, como
posteriormente se apreciara, las etapas moduladora y demoduladora son bastante
diferentes.
Modulador Codificador
Banda base Señal de IF (70 MHz)
Mezclador
Generador de
Microondas
R e
d C
o m
b i n
a d
o r a
d e
C
a n
a l e
s
Salida de RF
Otros transmisores
Convertidor ascendente
Figura 1.10: Estructura de un transmisor en las estaciones terminales digitales.
En un radioenlace digital la senal de banda base esta constituida por el flujo de
bits proveniente de un multiplexor jerarquico. Sin embargo, la operacion del sistema
hace necesario incluir en la senal transmitida cierta informacion adicional, tal como
24
la correspondiente a las alarmas y canales de servicio4. Esta informacion adicional es
multiplexada junto con la banda base en el codificador, por lo que el radioenlace opera
a una velocidad de bits mayor que la del multiplexor jerarquico que lo alimenta. En el
codificador tambien se realizan procesos tales como la inclusion de algun mecanismo
de control de error (tal como la inclusion de bits de paridad) y la aleatorizacion de la
senal transmitida, tal como se aprecia en la Fig. 1.11 [Hewlett-Packard 1991]5.
Conversor Binario
Conversión del Reloj
Reloj ITU
Reloj (radio)
Canales de servicio, alarmas, etc
Multiplexaje y entramado
Registro de Almacenamiento
Control de error
Datos a la velocidad de reloj del radio
al modulador
Interface estándar ITU Por ejemplo: 139 Mbps CMI 34 Mbps HDB3 44.7 Mbps B3ZS
Aleatorizador Codificador diferencial
Figura 1.11: Estructura de un codificador.
El filtro pasabajos presente a la salida del codificador es sumamente importante.
En circunstancias ideales, el radio podrıa transmitir el tren de pulsos cuadrados prove-
niente del codificador sin realizar un filtrado previo, para posteriormente recuperarlo
facilmente en el receptor; sin embargo, debe tenerse en cuenta que el espectro cor-
respondiente a un tren de pulsos cuadrados ocupa un ancho de banda teoricamente
infinito [Briceno 1996]. Si alguien intentase transmitir tal senal se producirıa interfer-
encia sobre los sistemas vecinos, por lo que en situaciones practicas el espectro de la
4Tal como se infiere de su nombre, las alarmas son senales transmitidas junto con la carga util(banda base) para alertar sobre la eventual aparicion de condiciones que afectan el funcionamientodel enlace. Los canales de servicio son canales de voz compartidos utilizados en la instalacion yposterior mantenimiento del radioenlace.
5La necesidad del aleatorizador surge debido a que para recuperar la temporizacion en el receptores necesaria una buena distribucion de ‘unos’ y ‘ceros’ en la senal. Obviamente es necesario el empleode un de-aleatorizador en la recepcion para recuperar la corriente de sımbolos original
25
banda base debe ser restringido para evitar tales interferencias. Este es el papel del
filtro pasabajos a la salida del codificador. El filtrado afecta la forma de los pulsos,
tal como se aprecia en la Fig. 1.12. La idea es permitir una cierta distorsion de los
pulsos sin afectar la capacidad del receptor de discriminar los pulsos transmitidos. Si
el filtrado es realizado incorrectamente, los pulsos se deforman a un extremo tal que
el nivel de salida resultante de la transmision de un ‘cero’ puede variar dependiendo
del nivel de los pulsos que lo precedieron. Este fenomeno se conoce como interferencia
intersimbolica, y es uno de los principales factores que degradan el rendimiento de un
sistema de transmision digital.
Flujo de bits original
Filtro pasabajos
Flujo de bits filtrado
Instantes de muestreo
Figura 1.12: Efecto del filtrado sobre una senal digital.
En un transmisor el proceso de darle la forma correcta a la senal digital tambien
puede realizarse mediante filtros pasabanda en las etapas de IF y RF. En el extremo
receptor el papel de los filtros es el de limitar el ancho de banda del ruido y rechazar
26
interferencias. En ese caso, el filtrado puede hacerse en las etapas de RF, IF o despues
de la demodulacion en banda base. La respuesta global de los filtros presentes en
el transmisor y en el receptor debe ajustarse a la requerida para que la senal sea
correctamente reconocida en el receptor [Hewlett-Packard 1991].6
A diferencia de lo que ocurre en un sistema analogico, el papel del modulador es
modificar simultaneamente la amplitud y la fase de la portadora de IF (tıpicamente
de 70 o 140 MHz) en funcion de la secuencia de bits proveniente del filtro pasabajos.
Los esquemas de modulacion comunmente empleados son del tipo de modulacion de
amplitud en cuadratura (QAM, Quadrature Amplitude Modulation), lo cual permite
aprovechar mas eficientemente el ancho de banda del canal de microondas. La senal
de IF modulada pasa posteriormente a un convertidor ascendente compuesto por un
generador de microondas, un mezclador y un filtro pasabanda, para posteriormente
entregar la portadora de RF resultante a la antena transmisora o a una red combi-
nadora de canales
Demodulador Decodificador
Banda base
Señal de IF (70 MHz)
Mezclador
Generador de
Microondas
R e
d S
e p
a r a
d o
r a d
e
C a
n a l e
s
Entrada de RF
Otros receptores
Convertidor descendente
Figura 1.13: Estructura de un receptor en las estaciones terminales digitales.
6Esto sin tomar en cuenta que el canal de transmision tambien puede ser modelado como otrofiltro conectado en cascada entre el transmisor y el receptor.
27
En un receptor las etapas por las que pasa la senal son similares a las que se
encuentran en un sistema analogico: como se aprecia en la Fig. 1.13, hay un conver-
tidor descendente compuesto por un filtro pasabanda, un mezclador y un generador
de microondas, el cual traslada la informacion contenida en la senal de microondas
a la banda de IF. A continuacion se encuentra el demodulador, el cual (a diferencia
de los demoduladores FM presentes en los sistemas analogicos) recupera la senal de
sincronismo o reloj presente en la senal transmitida y regenera la secuencia de bits
original en base a las fluctuaciones de amplitud y/o fase presentes en la senal de IF.
A la salida del demodulador se realiza una nueva operacion de filtrado, para posteri-
ormente procesar la senal en un decodificador que nos suministra la secuencia de bits
original que corresponde a la banda base.
1.5. Repetidores
Tal como se hizo notar anteriormente, un radioenlace requiere de estaciones repeti-
doras, las cuales son en esencia una combinacion de receptor y transmisor. Basica-
mente hay tres tipos de repetidor: los de banda base, los heterodinos o de IF, y los
repetidores pasivos. La Fig. 1.14 muestra un repetidor de IF, en el cual la portadora
de RF es convertida en una senal de IF que es posteriormente amplificada y retrans-
mitida como una portadora de microondas. En este tipo de repetidor la senal no es
demodulada mas alla de la etapa IF, es decir, la informacion contenida en la banda
base no es modificada. De esta manera se evitan incrementos innecesarios en el ruido
y la distorsion de las senales transmitidas. [Miyoshi y Sanches 2002].
En un repetidor de banda base o drop-insert como el mostrado en la Fig. 1.15 la
portadora de RF recibida es convertida en una senal de IF que es luego demodulada
28
Receptor de
Microondas
Amplificador y
Ecualizador de IF
Transmisor de
Microondas
Entrada de RF Salida de RF
Figura 1.14: Configuracion de un repetidor de IF.
Receptor de Microondas
Demodulador
Transmisor de
Microondas
Entrada de RF Salida de RF
Modulador
Multicanalizador (MUX/DMUX)
Tráfico ascendente y descendente
Banda base
Figura 1.15: Configuracion de un repetidor de banda base.
hasta recuperar la banda base. Esto permite agregar o retirar trafico para cumplir
con las necesidades de enrutamiento de la informacion en el sistema. Por ejemplo, se
podrıan agregar o retirar canales de voz a la banda base, dependiendo del origen o
destino de las diferentes llamadas. En el caso de la transmision de canales telefonicos,
el equipo que realiza la modificacion de la banda base se denomina un multicanal-
izador, mientras que en en un sistema digital el retiro y adicion de canales se realiza
a traves de un multiplexor/demultiplexor (MUX/DMUX). Una vez que la senal de
banda base ha sido reconfigurada en el multicanalizador (o por el MUX/DMUX), ella
es utilizada para modular una portadora de IF, la cual es posteriormente convertida
nuevamente en una portadora de microondas.
29
La Fig. 1.16 presenta otra configuracion, en la que la portadora de RF es demod-
ulada hasta recuperar la banda base. Esta senal es amplificada y ecualizada sin sufrir
reconfiguracion alguna, para posteriormente ser remodulada en FM y convertida de
nuevo en una portadora de microondas. A primera vista parecerıa no haber mucha
diferencia con respecto a un repetidor de IF, pero hay que considerar que las frecuen-
cias de la banda base estan por debajo de los 9 MHz, en tanto que las senales de IF
estan entre 60 y 80 MHz. En consecuencia, los filtros y amplificadores necesarios para
un repetidor de banda base con esta configuracion son mas sencillos y economicos
que los requeridos para los repetidores de IF. La desventaja de un repetidor de banda
base consiste en la adicion de los equipos terminales de modulacion y demodulacion.
Receptor de Microondas
Demodulador
Transmisor de
Microondas
Entrada de RF Salida de RF
Modulador
Amplificador y ecualizador de banda base
Banda base
Figura 1.16: Otra configuracion de un repetidor de banda base.
Los repetidores pasivos redirigen las senales de microondas que inciden sobre ellos
hacia una direccion particular. Ejemplos de este tipo de repetidor son una superficie
reflectora convenientemente orientada, o dos antenas conectadas en configuracion es-
palda contra espalda o ‘back-to-back’, como se muestra en la Fig. 1.17. Este tipo de
repetidor se emplea cuando no existe lınea visual entre dos estaciones relativamente
cercanas pero es posible escoger un punto apropiado en la vecindad de una de ellas
para la instalacion de un reflector.
30
Superficie reflectora Antenas back-to-back
Figura 1.17: Repetidores pasivos.
1.6. Fenomenos Asociados a la Propagacion de las
Microondas
Las senales de microondas utilizadas en un radioenlace se propagan a traves de la
parte baja de la atmosfera, en la vecindad de la superficie terrestre; por esta razon el
ingeniero que disena un radioenlace debe estar familiarizado con los fenomenos que
influyen en la propagacion de las mismas. La presencia de la superficie terrestre y
de la atmosfera afecta a la propagacion de las senales de microondas a traves de los
mecanismos de difraccion, reflexion, refraccion, absorcion y dispersion.
1.6.1. Difraccion
Consideremos un vano tıpico en un radioenlace de microondas, en el que el perfil
del terreno entre los extremos del vano puede ser muy diverso, pudiendo variar des-
de una llanura hasta terreno montanoso. Las antenas transmisoras y receptoras son
altamente direccionales y estan alineadas entre sı, por lo que la mayor parte de la ra-
diacion de microondas se encuentra concentrada en un estrecho haz denominado haz
radioelectrico. El haz radioelectrico esta centrado sobre la lınea de vista que une las
antenas. Si se considera que la lınea de vista entre las antenas esta lo suficientemente
alejada del perfil del terreno, tendrıamos esencialmente un caso de propagacion en el
31
espacio libre, en el que se asume que la propagacion no es afectada por la presencia
de la superficie terrestre y de la atmosfera. Esta situacion se presenta en la Fig. 1.18.
TxRx
Figura 1.18: Propagacion en lınea de vista.
Sin embargo, puede ocurrir que el perfil del terreno o cualquier otro tipo de ob-
staculo (vegetacion, edificaciones, etc.) intercepte una porcion de la radiacion emitida
por la antena transmisora, dando lugar a una ‘zona de penumbra radioelectrica’ a la
que no llegan trayectorias directas desde la antena transmisora. La experiencia cotid-
iana nos dice que las sombras proyectadas por los objetos tienen bordes nıtidos, pero
esto solo es ası porque nuestros sentidos no poseen la resolucion necesaria para adver-
tir que en realidad se produce una transicion gradual entre la luz y la sombra, la cual
normalmente solo puede apreciarse en el laboratorio con la ayuda de instrumentos
adecuados. En el caso de las senales de microondas, la transicion entre la ‘luz’ y la
‘sombra’ arrojada por los obstaculos en la trayectoria del haz radioelectrico es mucho
mas gradual que en el caso optico. Como consecuencia de este hecho, hay una zona
de penumbra donde se observa la recepcion de senales, las cuales jamas podrıan llegar
a traves de un haz que siguiese una trayectoria directa desde la antena transmisora
hasta el punto de recepcion. Pareciera entonces que las senales que inciden sobre el
obstaculo tuviesen la habilidad de rodearlo, tal como se observa en la Fig. 1.19. En
la mayorıa de los casos, el efecto de la difraccion es producir una atenuacion en la
32
intensidad de la senal recibida.
Tx
Rx
Señaldifractada
Zona depenumbra
Figura 1.19: Difraccion en un vano.
1.6.2. Reflexion
Si el perfil del terreno es llano, parte de la radiacion interceptada puede ser refleja-
da en forma especular hacia la antena receptora, como se muestra en la Fig. 1.20. En
estas condiciones se producira interferencia entre la radiacion que sigue la trayectoria
directa entre las antenas y la que es reflejada por el terreno. Dicha interferencia puede
ser constructiva o destructiva dependiendo de la relacion entre las fases de las ondas
directa y reflejada; por lo general el resultado es desvanecimiento de la senal recibida.
Tx
RxOnda directa
Onda reflejada
Figura 1.20: Reflexion en un vano.
33
1.6.3. Refraccion
Consideremos ahora el efecto que la presencia de la atmosfera tiene sobre la propa-
gacion de las microondas. Si la atmosfera fuese perfectamente homogenea, la propa-
gacion de las senales de microondas tendrıa lugar a lo largo de una lınea recta (excepto
en aquellas situaciones en las que se produce difraccion). Pero la atmosfera terrestre
sufre variaciones de presion, temperatura y humedad en el tiempo y en el espacio, por
lo que rara vez puede considerarse como un medio homogeneo. En consecuencia, la
trayectoria de las ondas radioelectricas no sera una lınea recta, sino que estara curva-
da dependiendo de las condiciones particulares de la atmosfera para el momento. El
fenomeno de la refraccion hace que bajo condiciones normales la trayectoria de una
senal de microondas sea concava hacia abajo, aumentando el alcance de las senales
con respecto al que tendrıan si la trayectoria seguida por ellas fuese una lınea recta
como se muestra en la Fig. 1.21. En este caso, la refraccion favorece la propagacion
del haz radioelectrico ya que el alcance de las senales aumenta mas alla del horizonte
visual [Henne 1994].
Ocasionalmente, la refraccion atmosferica causara que la trayectoria del haz sea
concava hacia arriba, por lo que el alcance de las senales de microondas se vera re-
ducido (Fig. 1.22). Cuando esta ultima situacion se produce, las senales que alcanzan
la antena receptora siguen una trayectoria que yace por debajo de la lınea de vista
que une ambas antenas. Si el haz es interceptado por el perfil del terreno, por lo gen-
eral se producira una importante atenuacion de la senal recibida. El ingeniero debe
considerar la posibilidad de que ocurran estas situaciones al disenar el radioenlace.
34
Tx
Rx
Onda refractada
Figura 1.21: Aumento de la visibilidad radioelectrica.
Tx
Rx
Onda refractada
Figura 1.22: Disminucion de la visibilidad radioelectrica.
En algunos casos puede ocurrir que las condiciones atmosfericas varıen erratica-
mente en un cierto rango de alturas. Cuando esto sucede, la senal llega a la antena re-
ceptora siguiendo mas de una trayectoria al mismo tiempo (Fig. 1.23), produciendose
interferencia entre las distintas ondas recibidas. Este fenomeno, conocida como inter-
ferencia por trayectorias multiples puede ser una causa importante de atenuacion en
la intensidad de la senal recibida y de interferencia intersimbolica.
Tx
Rx
Figura 1.23: Propagacion por trayectorias multiples.
35
1.6.4. Absorcion y Dispersion
La atmosfera de la tierra contiene dos gases que absorben parte de la energıa de
las senales de microondas: el oxıgeno y el vapor de agua. La perdida de potencia de la
senal debida a este fenomeno es una funcion de la frecuencia y de las concentraciones
de dichos gases en la atmosfera, y se debe a los momentos magneticos y electricos
propios de las moleculas del oxıgeno y del agua.
Cuando el vapor de agua se encuentra condensado en forma de niebla o lluvia,
este produce perdidas dependiendo de la relacion entre la longitud de onda de la
senal y del tamano promedio de las gotas de agua. Si el tamano de estas ultimas
es muy pequeno, las perdidas seran predominantemente debidas a la absorcion. Si
por el contrario el tamano de las gotas es comparable a la longitud de onda de la
senal, la energıa que incide sobre las gotas sera dispersada en direcciones aleatorias.
El resultado neto es una disminucion de la potencia de la senal recibida, el cual es
dependiente de la frecuencia, de la polarizacion y de la intensidad de la lluvia o niebla.
1.7. Consideraciones Generales de Diseno
Muchos de los equipos y recursos puestos en juego en la operacion de un radioen-
lace son bastante costosos, razon por la cual es imperativo disenar prestando atencion
al correcto dimensionamiento del sistema y previendo la posibilidad de una futura ex-
pansion de su capacidad. En otras palabras, es necesario disenar sin sobredimensionar.
En ciertas etapas del diseno no es posible evitar incluir un cierto margen, como por
ejemplo cuando se toman en cuenta parametros de propagacion, caso en el que al no
existir mediciones precisas de los mismos es necesario utilizar valores aproximados
basados en los datos estadısticos de la UIT. En otras etapas es necesario considerar
36
estrategias cuyo objetivo es garantizar la calidad y la disponibilidad del servicio ofre-
cido por el sistema, tales como la duplicacion de equipos y frecuencias de transmision,
por lo que debe tenerse particular cuidado al realizar las correspondientes decisiones,
a riesgo de encarecer innecesariamente el producto final.
El otro extremo en cuanto a los errores de diseno se encuentra el subdimension-
amiento del sistema. Un ejemplo tıpico de esta situacion se tiene cuando no se tiene
en cuenta la posibilidad de futuras expansiones: al aumentarse la capacidad el enlace
deja de satisfacer las especificaciones de calidad y disponibilidad. Para remediar esta
situacion es necesario realizar modificaciones tales como sustitucion de los equipos,
provocando una interrupcion del servicio mucho mayor que la necesaria si solamente
se hubieran instalado bastidores y/o equipos adicionales.
Otro importante aspecto a considerar es el de la seleccion de las frecuencias de op-
eracion, sobre todo en regiones en las que funcionan muchos otros sistemas operando
en la misma banda de frecuencia: al realizar esta seleccion es preciso tener en cuenta
las posibles interferencias que nuestro sistema producira sobre otros ya existentes y
viceversa, a fines de evitar futuros inconvenientes tecnicos, legales y economicos que
incidiran sobre el costo final del proyecto.
Para satisfacer estos objetivos se requiere tener un conocimiento preciso de los
aspectos a tomar en cuenta en el diseno de un radioenlace, ası como de su incidencia
sobre el desempeno final del sistema. El computador es una herramienta invaluable
en este proceso, razon por la cual se incluyen con este trabajo rutinas destinadas a
la solucion rapida y precisa de problemas asociados con el dimensionamiento en un
radioenlace.
37
1.8. Autoevaluacion
1. ¿Cual es el proposito de un radioenlace?
2. ¿Porque los radioenlaces operan en las bandas de microondas?
3. Enumere las ventajas de los radioenlaces en comparacion con los sistemas de
transmision cableados.
4. ¿Como se evaluan la calidad y la disponibilidad en un radioenlace?
5. ¿Que es el UIT-R?
6. ¿Que es un backbone? ¿Una troncal secundaria? ¿Un acceso?
7. Explique que es la banda base.
8. ¿Que es una repetidora? ¿Que tipos de repetidoras hay?
9. ¿Que es un vano?
10. Explique en que consiste un plan de frecuencias.
11. Explique en que consiste el desvanecimiento.
12. Describa la estructura de un radioenlace analogico.
13. ¿Que metodo de multicanalizacion se emplea en los radioenlaces analogicos?
14. ¿Que metodo de modulacion se emplea en los radioenlaces analogicos? ¿Porque?
15. Describa el canal basico en un radioenlace analogico.
16. Describa el esquema de multicanalizacion en un radioenlace analogico.
38
17. ¿Cual es el papel de un convertidor ascendente en un transmisor de microondas?
18. ¿Cual es la diferencia entre un repetidor de banda base y un repetidor heterodi-
no?
19. Enumere las ventajas de la transmision digital.
20. ¿Que es un multiplexor? ¿Y un demultiplexor?
21. ¿Que es una jerarquıa digital?
22. ¿Cual es la unidad basica de transmision en la jerarquıa digital?
23. ¿Cual es la velocidad de un canal T1? ¿Y de un canal E1?
24. ¿Cuales son las caracterısticas de la jerarquıa PDH? ¿Cuales son sus desventa-
jas?
25. ¿Cuales son las caracterısticas de la jerarquıa SDH? ¿Cuales son sus ventajas?
26. Describa la estructura de un radioenlace digital.
27. ¿Cual es el papel del codificador en un radioenlace digital?
28. ¿Porque es tan importante el filtrado en la transmision digital?
29. ¿Que es interferencia intersimbolica?
30. ¿Cuales son los tipos de repetidor activo?
31. ¿Cual es la ventaja de un repetidor de banda base?
32. ¿En que consiste un repetidor pasivo?
39
33. ¿En que consiste el fenomeno de la difraccion?
34. ¿Como afecta la reflexion a un radioenlace?
35. ¿Como influye la atmosfera sobre la propagacion de las microondas?
36. ¿En que consisten los fenomenos de absorcion y dispersion?
37. ¿Que consideraciones son necesarias en el diseno de un radioenlace?
40
Capıtulo 2
Conceptos Basicos de Propagacion
En este Capıtulo se presentan conceptos indispensables para el estudio de los
fenomenos que rigen la propagacion de las microondas a traves de la troposfera.
Comenzaremos con algunas nociones relacionadas con la naturaleza y propiedades de
las ondas electromagneticas y de los medios en las que estas se propagan, para luego
estudiar la radiacion producida por antenas isotropicas en el espacio libre. El efec-
to de la direccionalidad de las antenas es posteriormente considerado, obteniendose
una expresion para la potencia recibida que toma en cuenta las perdidas basicas de
propagacion; se presentan despues los conceptos de margen de desvanecimiento en un
enlace y el de las perdidas adicionales a las asociadas a la propagacion en el espacio
libre. El Capıtulo finaliza con una breve exposicion de los principales mecanismos de
propagacion que deben ser considerados a frecuencias de microondas. Antes de abor-
dar este Capıtulo se recomienda la lectura de los Apendices A y B: en el Apendice A
se explica la utilizacion del decibelio en telecomunicaciones, mientras que el Apendice
B contiene un resumen de los conceptos de teorıa de antenas que es necesario conocer
para obtener el mayor provecho de la lectura.
41
42
2.1. Generalidades
Nuestro estudio de la transmision inalambrica requiere de un conocimiento basico
de las ondas electromagneticas y su interaccion con el medio en el que estas se propa-
gan, por lo que nuestro punto de partida es considerar las ecuaciones de los campos
electricos y magneticos asociados a dichas ondas.
2.1.1. Ecuaciones de Maxwell y Ondas Electromagneticas
Todos los fenomenos electromagneticos estan descritos por las leyes de Maxwell.
En el Sistema Internacional de Unidades estas leyes son
∇× H =∂D
∂t+ J (2.1.1)
∇× E = −∂B∂t
(2.1.2)
∇ · D = ρv (2.1.3)
∇ · B = 0 (2.1.4)
Donde:
E es el vector campo electrico en voltios/metro
H es el vector campo magnetico en amperios/metro
D es el vector induccion electrica en coulombs/metro2
B es el vector induccion magnetica en teslas
J es el vector densidad de corriente en amperios/metro2
ρv es la densidad volumetrica de carga en coulombs/metro3
43
En general, cada una de las cantidades que aparecen en la lista anterior es funcion
del tiempo y de las coordenadas espaciales. El objetivo final al resolver un problema
descrito por las leyes de Maxwell es el de encontrar expresiones para los campos E
y H y sus inducciones asociadas; para ello es necesario aplicar ciertas restricciones a
las relaciones expresadas en las ecuaciones anteriores.
Cuando consideramos la propagacion de las ondas electromagneticas en la atmosfera,
dichas restricciones deben tomar en cuenta la ausencia de densidades de carga y de
corriente en ese medio, por lo que J = 0 y ρv = 0. Por otra parte, la atmosfera es
un medio lineal e isotropico (aunque no homogeneo, como veremos posteriormente);
en consecuencia, podemos escribir B = µH y D = ϵE, donde µ y ϵ son constantes
que representan respectivamente la permeabilidad y la permitividad del aire1. De esta
forma, las ecuaciones que describen a los campos electromagneticos en la atmosfera
toman la forma
∇× H = ϵ∂E
∂t(2.1.5)
∇× E = −µ∂H∂t
(2.1.6)
∇ · D = 0 (2.1.7)
∇ · B = 0 (2.1.8)
La manipulacion matematica de las ecuaciones anteriores proporciona las llamadas
ecuaciones de onda para los campos E y H en un medio con conductividad cero
[Livingston 1970]:
∇2E − µϵ∂2E
∂t2= 0 (2.1.9)
∇2H − µϵ∂2H
∂t2= 0 (2.1.10)
1En el vacıo: ϵ0 = 8.85× 10−12 Faradio/m, µ0 = 4π × 10−1 Henrios/m
44
Teniendo en cuenta que la forma general de una ecuacion de onda asociada a un
vector F esta dada por
∇2F − 1
v2∂2F
∂t2= 0 (2.1.11)
donde v representa la velocidad de propagacion de la onda, vemos que la velocidad de
propagacion de las ondas electromagneticas esta dada por 1/√µϵ. En otras palabras:
la velocidad de propagacion de una onda electromagnetica dependera de las carac-
terısticas electricas del medio. En el vacıo la velocidad de propagacion de las ondas
electromagneticas es c = 1/√ϵ0µ0 = 3× 108 m/s.
Si consideramos que los campos provienen de una fuente emisora que varıa sinu-
soidalmente en el tiempo con frecuencia ω = 2πf podemos tratar a los campos E y
H como fasores; en ese caso (2.1.9) y (2.1.10) toman la siguiente forma:
∇2E − ω2µϵE (2.1.12)
∇2H − ω2µϵH (2.1.13)
La solucion no trivial mas sencilla de las ecuaciones (2.1.12) y (2.1.13) representa
una onda plana2 que se propaga con velocidad v = 1/√µϵ; en una onda plana los
campos E y H son normales entre sı y normales a su vez a la direccion de propagacion.
Las magnitudes de E y H estaran entonces relacionadas por la expresion:
H =1
ηE (2.1.14)
donde η se denomina la impedancia intrınseca del medio:
η =
õ
ϵ[Ω] (2.1.15)
2Una onda plana es una solucion particular de las ecuaciones de Maxwell en la que el campoE yace siempre dentro de un plano de extension infinita normal a la direccion de propagacion,denominado frente de onda. La magnitud y fase del campo E son siempre las mismas dentro dedicho plano. La misma definicion aplica para el campo H [Cheng 1992].
45
En un sentido estricto, las ondas electromagneticas generadas en la practica son
esfericas y tienen su origen en la antena transmisora, pero a distancias suficiente-
mente grandes comparadas con la longitud de onda el radio de curvatura de las ondas
habra crecido tanto que a cualquier efecto practico seran indistinguibles de una onda
plana. Por lo tanto, incurriremos en un error despreciable al utilizar la Ec. (2.1.14).
Ejemplo 2.1: A una distancia de 12 km de la antena de un enlace de microondas
la magnitud del campo electrico es de 10 µV/m. ¿Cual es la magnitud del campo
magnetico asociado suponiendo que se transmite en el vacıo?
Solucion:
A 12 km de la antena estamos en el campo lejano de la antena, por lo que los frentes
de onda emitidos por la antena seran esencialmente los correspondientes a una onda
plana. En consecuencia, podemos emplear la Ec. 2.1.14:
H =1
η0E =
√ϵ0µ0
E =1
120π× 10× 10−6 = 26.53 [nA/m]
donde η0 = 120π Ω es la impedancia intrınseca del espacio libre.
La propagacion de una onda electromagnetica es un fenomeno que no es facil de
visualizar; sin embargo algunas idealizaciones permiten una comprension basica del
mismo. Ası por ejemplo, puede establecerse una analogıa entre la energıa electro-
magnetica que es radiada por una antena y las ondas circulares que aparecen en un
charco al arrojar en el una piedra. Siguiendo dicha simplificacion, la distancia entre
dos crestas sucesivas de las ondas sobre el agua serıa analoga a la distancia entre
dos puntos de la onda electromagnetica con identica amplitud; dicha distancia se
denomina longitud de onda λ
λ =v
f(2.1.16)
46
En esta expresion v es la velocidad con la que se propaga la onda y f su frecuen-
cia. Dado que la velocidad v depende de las caracterısticas electricas del medio de
propagacion, la longitud de onda sera diferente en distintos medios. Cuando no se
especifica el medio de propagacion, se considera que la longitud de onda es aquella
correspondiente a la que se tendrıa en el vacıo.
Si se considera que los campos electrico y magnetico varıan sinusoidalmente con
el tiempo, una posible representacion de una onda electromagnetica plana es la de
la Fig. 2.1. En ella se observa como la magnitud de los vectores E y H varıa en
forma sinusoidal conforme la onda se propaga, siendo estos vectores en todo momento
perpendiculares entre sı y perpendiculares a la direccion de propagacion z. Puede
tambien apreciarse como la longitud de onda λ es la distancia entre dos maximos
sucesivos del campo E o H. En esta representacion un frente de onda serıa un plano
infinito perpendicular a la direccion de propagacion (paralelo al plano xy); dentro de
ese plano imaginario la fase y la amplitud de los campos permanece constante.
z (dirección
de propagación)
X
y
l
Campo eléctrico
Campo magnético
Figura 2.1: Una ‘onda electromagnetica’.
47
2.1.2. Indice de Refraccion de un Medio
A fines de estudiar las trayectorias seguidas por las ondas electromagneticas, es
necesario definir el ındice de refraccion de un medio como la razon de la velocidad c
de la luz en el vacıo a la velocidad v de una onda electromagnetica en el medio en
cuestion:
n =c
v= c
√µϵ (2.1.17)
La velocidad de una onda electromagnetica en el vacıo es:
c =1
√µ0ϵ0
(2.1.18)
Por lo que (2.1.17) puede escribirse como:
n =
√µϵ
µ0ϵ0(2.1.19)
De la Ec. (2.1.17) se desprende que (al menos en el caso que nos ocupa) los valores
del ındice de refraccion seran siempre superiores a la unidad. Para la mayorıa de los
medios de interes ocurre que µ ≈ µ0, en consecuencia se tiene:
n =
√ϵ
ϵ0=
√ϵr (2.1.20)
Por lo tanto, las variaciones en el ındice de refraccion de la un medio se deberan a
las variaciones en su permitividad relativa ϵr. Posteriormente se vera que la permitivi-
dad relativa del aire a traves de la cual se propagan las microondas varıa en funcion
de la presion, humedad y temperatura atmosfericas. Por el momento ignoraremos esta
variacion y consideraremos el ındice de refraccion del aire como una constante.
Si un medio posee cierta conductividad se define la permitividad compleja ϵ′r:
ϵ′r = ϵr − jσ
ωϵ0(2.1.21)
48
la cual a su vez permite definir el ındice de refraccion complejo nc:
nc =√ϵ′r =
√ϵr − j
σ
ωϵ0(2.1.22)
en donde σ representa la conductividad del medio y ω = 2πf la frecuencia angular
de la onda que viaja a traves del mismo. Podemos obtener expresiones practicas para
el ındice de refraccion complejo a partir de 2.1.22:
nc =√ϵr − j1.8× 104σ(Siemens/m)/f(MHz) (2.1.23)
nc =√ϵr − j60σ(Siemens/m)λ(m) (2.1.24)
Para un valor particular de la frecuencia angular ω, conocida como la frecuencia
de transicion ωT , la parte real y la parte imaginaria de la permitividad compleja se
hacen iguales. Muy por encima de dicha frecuencia de transicion el medio se comporta
esencialmente como un dielectrico; en tanto que a frecuencias muy por debajo de
la frecuencia de transicion el comportamiento del medio es esencialmente el de un
conductor [Boithias 1984].
Ejemplo 2.2: Considere un terreno con una permitividad relativa ϵr=4 y una con-
ductividad σ=0.01 Siemens/m. ¿Cual es la frecuencia de transicion fT en Hz?¿Como
se comporta el terreno a una frecuencia de 1 GHz?
Solucion:
De acuerdo con la Ec. 2.1.22, a la frecuencia de transicion fT ocurrira que
ϵr =σ
2πfT ϵ0
por lo que
fT =σ
2πϵ0ϵr= 44.96 [MHz]
49
Al estar 1 GHz muy por encima de la frecuencia de transicion, el terreno se comporta
como un dielectrico.
2.1.3. Densidad de Potencia de una Onda Electromagnetica
De acuerdo a la interpretacion acostumbrada del teorema de Poynting, la densidad
superficial de potencia transportada por una onda electromagnetica que fluye a traves
de una superficie cerrada esta dada por la integral de area del vector de Poynting
S sobre dicha superficie. Esta cantidad es particularmente importante para nuestro
estudio, ya que de ella depende la potencia disponible para ser captada por una
antena receptora. En el Sistema Internacional de Unidades, el vector de Poynting
esta definido por:
S = E × H (2.1.25)
en donde las unidades de la densidad de potencia S son watios/metro2. En el caso
de una onda plana supondremos que las amplitudes de los campos E y H son esen-
cialmente constantes, y que su dependencia temporal esta descrita por cos(2πf −α),
donde f es la frecuencia en ciclos/segundo y α es un parametro de fase con un valor
numerico fijo en un punto determinado del medio. En otras palabras, consideraremos
a los campos como fasores. En este caso, sera muy util encontrar un promedio tem-
poral de S que permanezca invariable siempre que las amplitudes pico E0 y H0 de
los campos sean constantes. Podemos hacer esto tomando el promedio del vector de
Poynting sobre un perıodo T = 1/f . El resultado sera entonces3:
Sprom =1
2E0 × H0 (2.1.26)
3En el caso de una onda modulada en amplitud, el perıodo T empleado para promediar el vectorde Poynting debera limitarse a un intervalo en el cual E0 y H0 puedan considerarse esencialmenteconstantes.
50
Sabiendo que E y H son perpendiculares, y haciendo uso de (2.1.14) y (2.1.26) (re-
cuerdese que a una distancia lo suficientemente grande de la antena transmisora se
tiene esencialmente una onda plana) se tiene que
Sprom =1
2ηE2
0 (2.1.27)
Esta ultima expresion nos muestra que la densidad de potencia promedio r.m.s.
Sprom disponible para la recepcion es proporcional a la magnitud pico del campo
electrico E0. Por lo tanto, el estudio de los mecanismos de propagacion de las ondas
electromagneticas contempla el analisis de los cambios que sufre la intensidad del
campo electrico a su paso por un determinado medio.
Ejemplo 2.3: Encuentre la densidad de potencia promedio para el campo electrico
del Ejemplo 2.1, suponiendo que este tiene variacion sinusoidal en el tiempo
Solucion:
Para una intensidad de campo electrico de 10 µV/m:
Sprom =1
2η0E2
0 =(10× 10−6)2
2× 120π= 132.63× 10−15 [W/m2]
Una antena destinada a recibir esta senal necesita tener una area efectiva lo suficien-
temente grande para extraer una potencia apreciable del frente de onda que incide
sobre ella (Consultar el Apendice B para un repaso de teorıa de antenas).
2.1.4. Polarizacion de las Ondas Electromagneticas
La polarizacion es una propiedad de las ondas electromagneticas que describe la
forma y orientacion del lugar geometrico descrito por el vector campo electrico en el
tiempo. En otras palabras, si se imagina el vector campo electrico como una flecha, la
51
polarizacion puede verse como la figura geometrica descrita por la punta de la flecha a
medida que la onda se propaga, vista por un observador que mira hacia la fuente de la
onda a lo largo de la direccion de propagacion. En general, una onda electromagnetica
cuyo vector de campo electrico describe una lınea recta a medida que esta se propaga
estara linealmente polarizada. El plano que contiene al vector de campo electrico y
a la direccion de propagacion se denomina plano de polarizacion. Una onda cuyo
Plano de polarización (vertical)
E
Dirección de
propagación Plano de polarización (horizontal)
E
Dirección de
propagación
Figura 2.2: Polarizaciones Vertical y Horizontal.
plano de polarizacion es normal a la superficie terrestre sera una onda verticalmente
polarizada; en tanto que si dicho plano es paralelo a la superficie terrestre la onda
estara horizontalmente polarizada. Estos dos casos pueden observarse en la Fig. 2.2.
El lugar geometrico descrito por el vector campo electrico podra tambien ser una
elipse o un cırculo, por lo que en tales casos tendremos polarizacion elıptica o circular
respectivamente. Una onda con polarizacion circular o elıptica puede descomponerse
en dos ondas polarizadas linealmente: una con polarizacion horizontal y la otra con
polarizacion vertical, con amplitudes y fases apropiadas [Barboza 1991].
52
2.1.5. El Concepto de Trayectoria
Conforme las ondas electromagneticas se propagan, la energıa electromagnetica
transportada por ellas queda distribuida en el espacio de acuerdo a las caracterısti-
cas de directividad de la antena transmisora. Sabemos ademas que las ondas elec-
tromagneticas no pueden considerarse ondas planas sino a distancias relativamente
grandes de la antena. La magnitud del campo electrico E a una distancia d puede
expresarse como [Vidal 1984]:
E =E ′
dej(2πft−βd) (2.1.28)
expresion fasorial en la que d representa la distancia a la antena transmisora, f es la
frecuencia de la onda electromagnetica, β es la constante de fase
β =2π
λrad/m (2.1.29)
y λ es la longitud de onda.
La constante de fase β determina el cambio de fase que sufre el campo electrico
a medida que la onda se propaga en el espacio. Como se aprecia en la Ec. (2.1.29),
el valor de la constante de fase depende de la longitud de onda λ. En el caso de las
microondas el valor de β sera relativamente grande; de este modo, al propagarse a
traves del espacio una senal de microondas y de acuerdo a la Ec. (2.1.28), esta sufre
un cambio de fase mucho mas grande que el que corresponderıa a una senal de menor
frecuencia. La cantidad E ′ representa la magnitud del campo electrico existente a una
unidad de distancia de la antena transmisora, suponiendo a esta ultima isotropica (Por
ejemplo, E ′ = 50 µV/m a 1 km). Es conveniente notar que las unidades empleadas
para la distancia en el denominador de la Ec. (2.1.28) deben ser las mismas utilizadas
53
para definir a E ′ (por lo general km), mientras que las utilizadas en el exponente de
dicha expresion suelen ser metros.
Desde un punto de vista formal, la propagacion de una onda electromagnetica
puede explicarse de acuerdo a los principios de Huygens y Fresnel, los cuales sir-
ven de fundamento a la teorıa de trayectorias (tambien llamada optica geometrica).
Dicha teorıa, aunque no es de validez universal, es de gran utilidad en el diseno de
radioenlaces, ya que ella permite representar de manera simplificada un fenomeno
bastante complejo como lo es la propagacion de una onda electromagnetica. La teorıa
de trayectorias supone que la energıa transportada por una onda electromagnetica se
propaga a lo largo de lıneas o trayectorias rectilıneas, como se muestra en la Fig. 2.3.
Esta aproximacion es valida siempre que la longitud de onda λ sea mucho menor que
las dimensiones de los objetos circundantes, suposicion que generalmente se cumple
a frecuencias de microondas [Henne 1994].
TxR
d
Figura 2.3: Trayectorias asociadas a la energıa radiada por una antena.
54
Cada una de las trayectorias mostradas tiene asociada una cierta cantidad de
energıa: la trayectoria que pasa por el punto R esta asociada al campo existente en
dicho punto; a su vez, la energıa asociada a esa trayectoria produce en el punto R un
campo electrico cuya expresion sera justamente la correspondiente a la Ec. (2.1.28).
Trayectorias muy cercanas a la trayectoria TxR produciran el mismo campo en la
vecindad del punto R; por lo tanto, habra una cierta ‘densidad de trayectorias’ en
el entorno de TxR, las cuales a su vez tendran asociada una densidad de potencia
promedio descrita por la Ec. (2.1.27), susceptible de ser captada por una antena
receptora. En el contexto de la teorıa de trayectorias supondremos entonces que la
potencia total que llega a R ha viajado exclusivamente a lo largo de la trayectoria
TxR.
En el espacio libre la propagacion estara representada por trayectorias rectas.
Cuando esta presente una superficie reflectora, como podrıa ser la superficie terrestre,
una segunda trayectoria puede existir para representar la energıa electromagnetica re-
flejada por el terreno. Asimismo, la presencia de la atmosfera hace que las trayectorias
rectas pueden curvarse a causa de las variaciones del ındice de refraccion atmosferico
con la altura. Estos fenomenos ya fueron representados mediante trayectorias en las
Figs. 1.20, 1.21 y 1.22 cuando se hizo referencia a la reflexion y la refraccion.
Sin embargo, la teorıa de trayectorias tiene limitaciones. Por ejemplo, ella no
puede explicar lo que sucede en la recepcion de las ondas difractadas por un obstacu-
lo (Fig. 1.19), ya que en tal caso no existe ninguna trayectoria directa desde la antena
transmisora hasta el punto de recepcion que pudiese representar la energıa que al-
canza dicho punto. No es posible, por lo tanto, extender la teorıa de trayectorias a
todos los casos existentes en la realidad. En tales casos el campo recibido solo puede
55
determinarse por resolucion de las correspondientes ecuaciones de propagacion.
2.1.6. Las Leyes de Snell
Cuando una onda electromagnetica se propaga a traves de un medio cuyas car-
acterısticas electricas son constantes dicha onda sigue una trayectoria rectilınea. Sin
embargo, si la onda incide sobre la superficie de separacion de dos medios con carac-
terısticas electricas diferentes, aparecen otras ondas asociadas a la onda incidente: la
onda reflejada y la onda transmitida, representadas en la Fig. 2.4. En particular, nos
interesa considerar el caso en el que uno de los medios (al que denominaremos medio
1) tiene caracterısticas semejantes a las del espacio libre, es decir ϵ ≈ ϵ0 y µ ≈ µ0; en
tanto que el otro medio (al que denominaremos medio 2) en general estara caracter-
izado por una permitividad relativa ϵr y una conductividad σ = 0. De esta manera,
tendremos dos medios con ındices de refraccion n1 y n2. Asumiremos asimismo que la
superficie de separacion de los medios o plano de reflexion es un plano que idealmente
es de extension infinita.
Es posible demostrar [Stratton 1941] que:
Las direcciones de propagacion de las ondas incidente, reflejada y transmitida
yacen dentro de un plano normal a la superficie de reflexion, denominado plano
de incidencia.
El angulo θi formado por la normal a la superficie de reflexion y la direccion de
propagacion de la onda incidente sera siempre igual al angulo θr formado por
la mencionada normal y la direccion de propagacion de la onda reflejada. En
otras palabras:
θi = θr (2.1.30)
56
Plano de incidencia
qi q
r
f
qt
Superficie de reflexión
Onda
incidente Onda
reflejada
Onda
transmitida
Normal a lasuperficie de reflexión
Medio 1
(n = n )1
Medio 2
(n = n )2
Figura 2.4: Ondas incidente, reflejada y transmitida.
Esta relacion se conoce como Ley de Snell de la Reflexion. Al angulo ϕ comple-
mentario de θi se le denomina el angulo de incidencia.
La razon entre el seno del angulo θi y el seno del angulo de refraccion θt formado
por la direccion de propagacion de la onda transmitida y la normal a la superficie
de reflexion es igual a la razon inversa entre los ındices de refraccion de los
medios. Dicha relacion se conoce como Ley de Snell de la Refraccion:
sin θisin θt
=n2
n1
(2.1.31)
El cambio en la direccion de la onda transmitida es tal que esta se desviara hacia la
normal al plano de reflexion en el medio con mayor ındice de refraccion [Henne 1994].
En el caso particular en el que las propiedades del medio 1 sean semejantes a las del
espacio libre podremos escribir:
sin θisin θt
= n2 =√ϵr =
√ϵr − j
σ
ωϵ0(2.1.32)
57
Observese que la formulacion de estos conceptos se apoya en la teorıa de trayec-
torias, ya que las ondas incidente, reflejada y transmitida han sido representadas por
medio de trayectorias rectilıneas.
Ejemplo 2.4: Encuentre los angulos de reflexion θr y de transmision θt para una
senal con una frecuencia de 1 GHz que incide con un angulo de incidencia θi = 25
sobre un terreno con σ = 10−4 Siemens/m y ϵr = 3.
Solucion:
Con ϵr = 3 y σ = 10−4 Siemens/m y a una frecuencia de 1 GHz el ındice de refraccion
del terreno (medio 2) es de acuerdo a la Ec. 2.1.23:
nc =√ϵr − j1.8× 104σ(Siemens/m)/f(MHz)
=√
3− j1.8× 104 × 10−4/1000 ≈√3 = 1.73
En consecuencia,
θr = θi = 25
θt = arc sen (n1
n2
× sen θi) = arc sen(0.577× sen 25o) = 14.12o
donde hemos hecho uso del hecho que para el vacıo (medio 1) n = 1.
2.2. Propagacion en el Espacio Libre
Uno de los objetivos de nuestro estudio es el de obtener expresiones para la poten-
cia recibida en un enlace en funcion de la potencia transmitida, la distancia entre las
antenas, y las propiedades de estas ultimas. En una primera aproximacion a este pro-
blema supondremos que la transmision ocurre en ausencia de la superficie terrestre y
58
la atmosfera; es decir, estaremos considerando propagacion en el espacio libre. Comen-
zaremos suponiendo que las antenas empleadas son isotropicas, para posteriormente
considerar el efecto de antenas con direccionalidad.
2.2.1. Radiacion entre Antenas Isotropicas
Aunque el concepto de una fuente isotropica de radiacion electromagnetica es
fısicamente irrealizable [Livingston 1970], una antena isotropica es una idealizacion
sumamente util cuando se discuten las propiedades de las antenas reales. Por defini-
cion, una antena isotropica es aquella que radia uniformemente en todas direcciones;
en consecuencia su directividad es D = 1. Supongamos que la potencia total irradiada
por una antena isotropica es Pt. La potencia neta que fluye a traves de la superficie de
una esfera imaginaria de radio d cuyo centro coincide con la antena sera tambien Pt,
por lo que la densidad de potencia promedio Sprom en un punto cualquiera de dicha
superficie esferica estara expresada por:
Sprom =Pt
4πd2(2.2.1)
Tomando en cuenta la definicion anterior es claro que las cantidades descritas por
(2.1.27) y (2.2.1) son identicas, por lo que podremos escribir:
E0 =
√η
d
√Pt
2π(2.2.2)
Esta expresion nos proporciona el valor de la intensidad de campo electrico E0
existente a una distancia d de una antena isotropica ideal alimentada con una potencia
Pt.
59
2.2.2. Transmision entre Antenas Isotropicas en el EspacioLibre
La funcion de una antena isotropica receptora situada en el espacio libre sera la
de absorber la potencia transportada por el campo lejano existente en la zona en la
que la antena esta situada. La cantidad de potencia que la antena puede absorber
con relacion a la densidad de potencia de la onda electromagnetica incidente sobre
ella esta determinada por su apertura efectiva Aef , definida como el area en el frente
de onda incidente que transporta un flujo de potencia igual a la potencia disipada en
la carga conectada a los terminales de la antena receptora bajo condiciones de acople
de impedancias. La potencia recibida Pr esta dada entonces por:
Pr = AefSprom (2.2.3)
La apertura efectiva de una antena isotropica es λ2/4π [Barboza 1991], donde λ
es la longitud de onda de la radiacion que incide sobre la antena. Por lo tanto, una
antena sobre la que incide una onda plana cuya densidad de potencia esta dada por
(2.2.1) recibira una potencia Pr igual a
Pr = Pt
(λ
4πd
)2
(2.2.4)
donde d es la distancia que separa las antenas transmisora y receptora, la cual se
supone lo suficientemente grande como para considerar que las ondas que inciden
sobre la antena receptora son esencialmente ondas planas. Tomando logaritmos a
ambos lados de la expresion anterior y utilizando 1 mW como valor de referencia
para las potencias obtenemos
Pr[dBm] = Pt[dBm]− 20 log
(4πd
λ
)[dB] (2.2.5)
60
Definimos la cantidad
Lbf = 10 log
(Pt
Pr
)[dB] = 20 log
(4πd
λ
)[dB] (2.2.6)
como la perdida basica de transmision o perdida basica en el espacio libre4. A partir
de esta ultima expresion podemos ahora escribir:
Lbf [dB] = 21.98 + 20 log
(d
λ
)(2.2.7)
De la Ec. (2.2.7) se advierte que la perdida basica en el espacio libre Lbf entre dos
antenas isotropicas separadas una distancia igual a λ es aproximadamente 22 dB. Del
mismo modo, se verifica que dicha perdida aumenta en 6 dB cada vez que la distancia
entre las antenas se duplica. La perdida basica en el espacio libre toma en cuenta el he-
cho de que a pesar de que la potencia entregada a la antena transmisora es constante,
tal potencia debe repartirse sobre una superficie que es cada vez mayor a medida que
nos alejamos del extremo transmisor; por lo tanto, se producira una dilucion geometri-
ca de la densidad de potencia transportada por una onda electromagnetica conforme
aumenta la distancia hasta la antena transmisora. La Recomendacion UIT-R P.525
establece las condiciones de referencia para el calculo de la perdida en el espacio libre
en enlaces punto-a-punto y punto-a-multipunto.
La Ec. (2.2.7) puede re-escribirse de una manera mas apropiada para el trabajo
practico substituyendo λ por la relacion c/f y expresando f en GHz y d en kilometros:
Lbf [dB] = 92.44 + 20 log f(GHz) + 20 log d(km) (2.2.8)
Si se expresa la frecuencia en MHz la ecuacion anterior toma la forma
Lbf [dB] = 32.46 + 20 log f(MHz) + 20 log d(km) (2.2.9)
4En el Apendice A el lector encontrara un resumen sobre la utilizacion del decibel.
61
En consecuencia, la potencia recibida descrita por la Ec. (2.2.5) puede expresarse
como
Pr[dBm] = Pt[dBm]− 20 log
(4πd
λ
)[dB] = Pt[dBm]− Lbf [dB] =
= Pt[dBm]− 2.44− 20 log f(GHz)− 20 log d(km) (2.2.10)
De esta ultima expresion podemos apreciar que la potencia recibida disminuye si
aumentan la distancia o la frecuencia.
Ejemplo 2.5: Se tiene una antena isotropica que opera en el vacıo transmitiendo
una senal con una potencia de 2 W a una frecuencia de 5 GHz. Determine la potencia
recibida por otra antena isotropica a una distancia de 20 km, ası como la intensidad de
campo electrico de la senal recibida. Exprese la potencia recibida tanto en vatios como
en dBm (Consultar el Apendice A en caso de dudas sobre el manejo de cantidades
expresadas en decibelios).
Solucion:
Expresando la potencia transmitida en dBm tenemos:
Pt = 10 log
(2
10−3
)= 33.01 [dBm]
De acuerdo al la Ec. 2.2.8, la perdida en el espacio libre sera
Lbf = 92.44 + 20 log f(GHz) + 20 log d(Km) =
= 92.44 + 20 log(5) + 20 log(20) = 132.4 [dB]
por lo que la potencia recibida es
Pr = Pt − Lbf = 33.01− 132.4 = −99.4 [dBm]
62
Notese que que hemos restado la perdida en el espacio libre de la potencia transmitida.
La potencia recibida en vatios es
Pr = 10−3 × 10−99.4/10 = 115.08 [fW]
La intensidad de campo recibida puede hallarse empleando la Ec. 4.7.9:
E0 =
√η0
d
√Pt
2π=
√120π
20.000
√2
2π= 547.72 [µV/m]
2.2.3. Transmision entre Antenas Directivas en el EspacioLibre
Las Ecs. (2.2.1) y (2.2.3) solo necesitan ser ligeramente modificadas para tomar
en cuenta la utilizacion de antenas directivas. En primer lugar, la relacion entre la
apertura efectiva Aef y la directividad Dr de la antena receptora esta dada por
[Barboza 1991]:
Aef =λ2
4πDr (2.2.11)
En otras palabras, la apertura efectiva de una antena direccional receptora es igual a
su directividad multiplicada por el area efectiva correspondiente a una antena isotropi-
ca. De este modo, la potencia recibida por una antena direccional sera, de acuerdo a
la Ec. (2.2.3):
Pr = AefSprom =λ2
4πDr(θr, ϕr)Sprom (2.2.12)
en donde Dr(θr, ϕr) representa la directividad de la antena receptora y θr, ϕr son
angulos en un sistema de coordenadas esfericas que describen el desplazamiento entre
la direccion de maxima directividad de la antena receptora y la lınea que une a las
antenas.
63
Por otra parte, la densidad de potencia promedio radiada por una antena directiva
sera:
Sprom =Pt
4πd2Dt(θt, ϕt) (2.2.13)
Dt(θt, ϕt) es la directividad de la antena transmisora en la direccion de la antena
receptora, mientras que θt y ϕt son angulos en un sistema de coordenadas esfericas
que describen el desplazamiento entre la direccion de maxima directividad de la antena
transmisora y la lınea que une las antenas. La potencia recibida sera entonces
Pr = Dt(θt, ϕt)Dr(θr, ϕr)
(λ
4πd
)2
Pt (2.2.14)
Esta ultima expresion es tambien conocida como la ecuacion de transmision de
Friis. Podemos ahora expresar (2.2.14) en decibelios como
Pr[dB] = Pt[dB] +Dt(θt, ϕt)[dBi] +Dr(θr, ϕr)[dBi]− 20 log4πd
λ[dB] (2.2.15)
En esta expresion las directividades Dt y Dr estan expresadas en decibelios con
respecto a una antena isotropica. En el ultimo termino de (2.2.15) reconocemos la
perdida basica en el espacio libre Lbf descrita por la Ec. (2.2.6). Si ahora tomamos
en cuenta la eficiencia de las antenas, (2.2.15) puede escribirse como:
Pr[dB] = Pt[dB] +Gt(θt, ϕt)[dBi] +Gr(θr, ϕr)[dBi]− Lbf [dB] (2.2.16)
donde Gt y Gr representan las ganancias de las antenas transmisora y receptora con
respecto a una antena isotropica. Si se compara esta ecuacion con la Ec. (2.2.10)
encontramos que el papel de las antenas es el de compensar el efecto de las perdidas
en el espacio libre a traves de las ganancias Gt y Gr.
Teniendo en cuenta las Ecs. 2.2.13 y 2.1.27, puede demostrarse que la intensidad
de campo electrico recibida puede expresarse como
E0 =
√η
d
√PtDt
2π(2.2.17)
64
donde Dt es la directividad de la antena transmisora. Se deja el lector la deduccion
de esta expresion como ejercicio.
2.3. Potencia Recibida en un Enlace Real
La Ec. (2.2.16) pone de relieve los factores que determinan la potencia recibida Pr:
la potencia transmitida Pt, las ganancias de las antenas Gt y Gr y la perdida basica
en el espacio libre Lbf . Sin embargo, nuestro analisis no toma en cuenta perdidas
adicionales que se producen por la presencia de la troposfera en un enlace real: las
perdidas por absorcion La, asociadas a la presencia de gases que absorben potencia de
las senales de microondas, y las perdidas por dispersion Ld producidas por hidromete-
oros como lluvia, niebla, hielo, etc. Cuando dichas perdidas son sumadas a la perdida
en el espacio libre se tiene la perdida basica de transmision Lb:
Lb[dB] = Lbf [dB] + La[dB] + Ld[dB] (2.3.1)
Definamos ahora la perdida de transmision L como la diferencia entre las potencias
presentes en los terminales de las antenas transmisora y receptora. Aplicando esta
definicion a (2.2.16) y tomando en cuenta las perdidas producidas por la troposfera
tenemos:
L[dB] = Lb[dB]−Gt(θt, ϕt)[dBi]−Gr(θr, ϕr)[dBi] (2.3.2)
La Ec. (2.3.2) nos permite apreciar el hecho de que el efecto de la ganancia de
las antenas dentro de un sistema de comunicaciones es el de reducir la perdida de
transmision. Ello implica que de contarse con antenas con ganancias lo suficiente-
mente elevadas, la potencia transmitida Pt podrıa ser relativamente pequena, sin
detrimento del nivel de potencia requerido en la recepcion para una adecuada relacion
65
senal/ruido. Esta es una consideracion importante en un sistema de transmision que
opere a frecuencias de microondas, debido a los elevados costos que supone el au-
mentar la potencia de un transmisor. En un radioenlace practico, las antenas estan
alineadas de manera que los maximos de sus lobulos principales coinciden, en conse-
cuencia θt = θr = ϕt = ϕr = 0. Las Ec. (2.2.16) y (2.3.2) pueden entonces escribirse
como
Pr[dB] = Pt[dB] +Gt[dBi] +Gr[dBi]− Lb[dB] (2.3.3)
L[dB] = Lb[dB]−Gt[dBi]−Gr[dBi] (2.3.4)
Expresiones en las que queda entendido que Gt y Gr representan las ganancias de las
antenas en la direccion de maxima radiacion.
La ecuacion (2.3.3) debe aun ser modificada para tomar en cuenta otras posibles
fuentes de perdidas, tales como las producidas por los filtros necesarios para transmitir
una senal con la pureza espectral requerida, los duplexers requeridos para que una
antena reciba y transmita simultaneamente, las asociadas a las lıneas de transmision
conectadas a las antenas, y las producidas por las obstrucciones entre las antenas:
Lcirc = perdidas ocasionadas por los circuitos de RF conectados a las antenas
(filtros, circuladores, alimentadores, etc.)
Llt = perdidas ocasionadas por las lıneas de transmision (cables coaxiales, guıas
de onda) usadas para alimentar las antenas.
Ldif = perdidas por difraccion producidas por la presencia de obstaculos
Definiremos ahora la perdida total Ll como la diferencia entre las potencias en
decibelios presentes a la salida del transmisor y a la entrada del receptor:
Ll[dB] = Lb[dB] + Lcirc[dB] + Llt[dB] + Ldif [dB] (2.3.5)
66
Teniendo en cuenta todas las posibles fuentes de perdidas, (2.3.3) tomara la forma
Pr[dB] = Pt[dB] +Gt[dBi] +Gr[dBi]− Ll[dB] (2.3.6)
La Recomendacion UIT-R P.341 especifica las definiciones y la terminologıa em-
pleadas para caracterizar las diversas perdidas que ocurren en un radioenlace. La Fig.
2.5 ilustra las perdidas que han sido definidas en esta seccion.
Transmisor Receptor
Pérdida básica en el espacio libre
L bf
Antena isotrópica
Antena isotrópica
Pérdidas por absorción y dispersión en la
troposfera L a y L d
G t G
r
Pérdida de transmisión L
Pérdidas en las líneas de
transmisión L lt
Pérdidas en filtros,
alimentadores, duplexers, etc.
L circ
Pérdida total L
l
Pérdida básica de transmisión L b
Figura 2.5: Perdidas en un Radioenlace.
67
Ejemplo 2.6: Para los datos del Ejemplo 2.5, determine la potencia recibida y la
intensidad de campo electrico de la senal recibida si las ganancias de las antenas
transmisora y receptora son Gt = 6 dBi y Gr = 20 dBi respectivamente.
Solucion:
De acuerdo a la Ec. 2.2.16, la potencia recibida sera:
Pr = Pt +Gt +Gr − Lbf = 33.01 + 6 + 20− 132.4 = −73.39 [dBm]
Notese que la potencia recibida aumento en una cantidad igual a la suma de las
ganancias de las antenas (26 dB). La potencia recibida en vatios es
Pr = 10−310−73.39
10 = 199.53 [nW]
El campo electrico recibido puede hallarse utilizando la Ec. 2.2.17; sin embargo es
necesario hallar la directividad de la antena transmisora a partir de su valor en dBi.
A tal efecto, asumiremos que la eficiencia de la antena transmisora es del 100% de
modo que Dt = Gt:
Dt = 106/10 = 3.98
Por lo que el campo recibido sera
E0 =
√η0
d
√PtD
2π=
√120π
20000
√2× 3.98
2π= 1.1 [mV/m]
2.3.1. Relacion entre Potencia Recibida, Umbral de Recep-cion y Margen de Desvanecimiento
Una vez que se dispone de una expresion que permite calcular la potencia recibida
cuando se utilizan antenas directivas, el diseno de un enlace de radio queda reducido
68
al adecuado dimensionamiento de los parametros del sistema para que la potencia
recibida Pr sea siempre mayor que un cierto umbral de recepcion Prmin. Cuando la
potencia recibida cae por debajo de dicho umbral, la calidad de la senal recibida es
inaceptable. El umbral de recepcion depende de la mınima relacion portadora/ruido
(C/N , Carrier to Noise) necesaria en el receptor para la correcta demodulacion de la
senal, la cual a su vez dependera del formato de modulacion empleado. Esta relacion
estara dada por
C/Nmin[dB] = Prmin[dBm]−N [dBm] (2.3.7)
donde N es la potencia de ruido presente a la entrada del demodulador. El enlace se
dimensiona para que la potencia recibida Pr sea mayor que el umbral de recepcion
Prmin; la diferencia entre la potencia recibida Pr y el umbral de recepcion Prmin se
denomina margen de desvanecimiento
M [dB] = Pr[dBm]− Prmin[dBm] (2.3.8)
El margen de desvanecimiento es un parametro sumamente importante para el diseno
de un enlace, tal como veremos en Capıtulos posteriores. Por ahora diremos que a
medida que se aumenta el margen de desvanecimiento se reduce la probabilidad de que
las variaciones aleatorias en la potencia de la senal recibida afecten el funcionamiento
del enlace.
La Fig. 2.6 representa de forma grafica estas ideas: se tiene un grafico en cuya
escala horizontal esta representada la distancia en kilometros, en tanto que en la
escala vertical estan representados los niveles de potencia en decibelios que se tienen
a lo largo del enlace. Ası, en el extremo transmisor (correspondiente a 0 Km) se
dispone de una potencia Pt y de una antena con ganancia Gt. Una vez que la energıa
electromagnetica sale de la antena transmisora hacia el espacio libre, comienza a surtir
69
Lb
Pt
P [dB]
G [dBi]t
G [dBi]rMargen de
desvanecimiento
Pr
Pr min
N
Mínima relación
portadora/ruido
permisible
0 d [km]
Tx Rx
Figura 2.6: Relaciones entre potencia transmitida, potencia recibida y margen dedesvanecimiento.
efecto la perdida basica Lbf , la cual aumenta progresivamente con la distancia. En el
extremo receptor (correspondiente a d km) se tiene una antena con ganancia Gr y una
potencia recibida Pr. Para que la recepcion sea posible, la potencia recibida Pr nunca
debe caer por debajo del umbral de recepcion Prmin. La diferencia en decibelios entre
dicho umbral y la potencia de ruido N presente en el receptor es la mınima relacion
C/N permisible, la cual depende esencialmente del tipo de modulacion empleada.
Si no hubiese otros efectos sobre el comportamiento de la senal recibida, el diseno
de un radioenlace no tendrıa mayor complicacion. Desafortunadamente, la presencia
70
de la atmosfera hace que la potencia recibida varıe aleatoriamente, por lo que en la
practica es necesario incluir el margen de desvanecimiento en el diseno para poder
garantizar el correcto funcionamiento del enlace en presencia de tales variaciones.
Ejemplo 2.7: En el enlace del Ejemplos 2.6 se sabe que la potencia de ruido en el
receptor es de -125 dBm, y que se necesita una relacion C/N mınima de 30 dB. Deter-
mine la mınima potencia que debe ser recibida para una correcta recepcion, ası como
el margen de desvanecimiento para la potencia recibida calculada en el Ejemplo 2.6.
Solucion:
Sabiendo que la potencia de ruido en el receptor es N = -125 dBm, y que se requiere
una relacion C/N mınima de 30 dB, la mınima potencia recibida Pr(min) debe ser
C/N(dB)min = Pr(min)(dBm)−N(dBm) ⇒ Pr(min)(dBm) = C/Nmin(dB) +N(dBm)
= 30− 125 = −95 [dBm]
La potencia recibida calculada en el Ejemplo 2.6 fue Pr = -73.39 dBm, lo cual esta 21.6
dB por encima de la potencia mınima Pr(min). En consecuencia, el margen de desva-
necimiento M es:
M(dB) = Pr(dBm)− Pr(min)(dBm) = −73.9 + 95 = 21.6 [dB]
2.4. Campo Recibido sobre una Tierra Esferica
Un objetivo en la planificacion de un sistema de comunicacion inalambrica es la
determinacion de la intensidad de campo existente en el extremo receptor sobre una
71
tierra esferica. Este problema fue resuelto originalmente por Sommerfeld en 1909;
sin embargo la complejidad matematica de la solucion le restaba utilidad practica.
Posteriormente K.A. Norton presento los resultados de Sommerfeld en una forma
mas apropiada para propositos de ingenierıa. En su discusion original, Sommerfeld
establecio que la intensidad de campo presente en el receptor puede dividirse en dos
contribuciones: una correspondiente a la onda espacial y otra a la onda superficial.
La primera es aquella fraccion de le energıa electromagnetica que viaja a traves de la
troposfera, mientras que la segunda representa energıa que es guiada a lo largo de la
superficie terrestre. Estas ideas estan ilustradas en la Fig. 2.7.
Onda directa
Onda reflejadaOnda
superficial
TxRx
f
Figura 2.7: Ondas espacial y superficial.
El campo electrico total ET en el receptor sera [Martinez 1991]:
ET = E0
(e−jβR1 +Re−jβR2 + (1−R)Ae−jβR2
)(2.4.1)
donde
E0 = campo electrico en el espacio libre
R1 = longitud a lo largo de la trayectoria directa
R2 = longitud a lo largo de la trayectoria reflejada
A = factor de atenuacion de la onda superficial
72
R = coeficiente de reflexion del terreno
En esta expresion el termino E0 = Eejωt representa una onda esferica emitida por el
transmisor, mientras que los terminos exponenciales de la forma e−jβRi representan
cambios en las fases de las ondas a medida que estas se propagan. El factor de aten-
uacion A modela una perdida de energıa en la onda superficial, la cual depende de
los parametros electricos del terreno y de la polarizacion:
A ≈ 1
1 + j 2πdλ
(senϕ+ z)2(2.4.2)
donde
z =√ϵ′ − cos2 ϕ/ϵ0 para polarizacion vertical
z =√ϵ′ − cos2 ϕ para polarizacion horizontal
ϵ′ = ϵr − j σωϵ0
= permitividad relativa compleja del terreno
ϕ = angulo de incidencia
σ = conductividad del terreno
El coeficiente de reflexion del terreno R es una cantidad compleja que toma en
cuenta el hecho de que el campo electrico de las ondas que son reflejadas por el terreno
sufre una reduccion de su magnitud y un cambio en su fase.
A frecuencias de microondas las antenas se encuentran a alturas sobre la tierra
que equivalen a varias longitudes de onda: en esta situacion la senal resultante en el
receptor es la suma vectorial de los campos correspondientes a las ondas directa y
reflejada; por otra parte a tales frecuencias el valor del coeficiente de atenuacion A es
73
muy pequeno por lo que el efecto de la ondas superficial es despreciable. En terminos
matematicos:
ET ≈ E0
(e−jβrR1 +Re−jβrR2
)(2.4.3)
En consecuencia, para el caso que nos ocupa las contribuciones de importancia
para la senal recibida estan representadas por la onda directa y la onda reflejada.
Las expresiones anteriores corresponden al caso de una tierra plana, lisa y carente
de una atmosfera. Si se considerase una tierra perfectamente esferica el valor del
coeficiente de reflexion R debe ser modificado a traves del coeficiente de divergencia
Fdiv para tomar en cuenta la divergencia que se produce cuando las ondas se reflejan
sobre una superficie esferica. Por otra parte tambien es necesario tomar en cuenta
las irregularidades que se presentan en la superficie de una tierra real, las cuales
dispersarıan en distintas direcciones la energıa que incide sobre ellas; este efecto se
toma en cuenta a traves del factor de rugosidad Frug. En consecuencia el coeficiente
de reflexion sera reemplazado por un coeficiente de reflexion efectivo Reff .
Reff = FdivFrugR (2.4.4)
El coeficiente de reflexion R depende de las caracterısticas electricas del terreno, las
cuales por lo comun no se conocen con exactitud; por esta razon el coeficiente de
reflexion suele aproximarse en la practica con valores que corresponden a situaciones
‘tıpicas’ dependiendo del tipo de terreno (desertico, pastos, urbano, etc.)
Mas aun, es necesario tomar en cuenta en nuestro modelo los efectos que pro-
ducirıan los objetos que pudiesen interponerse entre las antenas. Dada la enorme
variedad de obstaculos que pueden presentarse, no existe un metodo riguroso que
permita tomar en cuenta su efecto sobre el campo recibido. Por esta razon, a lo sumo
74
pueden considerarse algunos ‘obstaculos canonicos’ que representan simplificaciones
de la realidad.
Adicionalmente, y como se vera con mas detalle en capıtulos posteriores, la pre-
sencia de la atmosfera y de las variaciones que se producen en ella producen desva-
necimientos, lo que anadirıa una dificultad adicional al problema de la determinacion
del valor del campo electrico recibido. Por todas estas razones, la Ec. 2.4.3 supone
solo una aproximacion de primer orden al problema.
Como se menciono anteriormente, hemos asumido que las antenas se encuentran
a una altura equivalente a varias longitudes de onda sobre el terreno, lo que justifica
el haber considerado trayectorias separadas para la onda directa y la onda reflejada.
En las bandas de UHF y VHF esta suposicion no siempre es valida, por lo que es
necesario tomar en cuenta el efecto del terreno sobre los parametros de las antenas
como el area efectiva y la resistencia de radiacion [Barclay 1997].
75
2.5. Autoevaluacion
1. ¿De que factores depende la velocidad de una onda electromagnetica?
2. ¿Que se entiende por una onda plana?
3. ¿Que es un frente de onda?
4. ¿De que manera estan relacionadas las magnitudes de los campos E y H en una
onda plana?
5. ¿Como estan orientados los campos E y H con respecto a la direccion de propa-
gacion en una onda plana?
6. ¿De que depende el ındice de refraccion de un medio?
7. ¿De que parametros depende el ındice de refraccion de la atmosfera?
8. ¿En que se diferencia el ındice de refraccion de un medio con conductividad del
ındice de un medio dielectrico?
9. ¿De que parametros depende la densidad de potencia promedio de una onda
plana que varıa armonicamente en el tiempo?
10. ¿Cuantos tipos de polarizacion se dan en las ondas electromagneticas?
11. ¿A que se le llama plano de polarizacion?
12. ¿Que es la constante de fase? ¿Que representa esa cantidad?
13. ¿Que es una trayectoria?
14. ¿Cual es la principal ventaja de la teorıa de la optica geometrica?
76
15. ¿Cuales son las limitaciones de la teorıa de trayectorias?
16. Explique las leyes de Snell.
17. ¿Que es un radiador isotropico?
18. ¿De que factores depende el campo electrico recibido?
19. ¿A que se debe la perdida basica de transmision?
20. ¿De que parametros depende la perdida basica de transmision?
21. ¿En cuanto aumenta la perdida de transmision cuando se duplica la distancia?
22. ¿Que representa la ecuacion de transmision de Friis?
23. ¿Que es la perdida neta de transmision?
24. ¿Cual es el efecto de la ganancia de las antenas dentro de la expresion de la
potencia recibida en el espacio libre?
25. ¿Que es el margen de desvanecimiento?
26. ¿De que maneras puede incrementarse el margen de desvanecimiento?
27. ¿De que depende el umbral de recepcion Prmin en un receptor?
28. ¿Que es una onda superficial? ¿Que es una onda espacial?
29. ¿Que es el coeficiente de reflexion?
30. A frecuencias de microondas, ¿cuales componentes del campo electrico deben
ser tomadas en cuenta en el extremo receptor?
77
31. ¿Como pueden tomarse en cuenta la curvatura de la tierra y su rugosidad a
efectos de computar el coeficiente de reflexion?
78
2.6. Problemas
1. En la atmosfera terrestre puede suponerse que la permeabilidad ϵ y la permi-
tividad µ son iguales a las del vacıo (µ0 = 4π × 10−7 [H/m], ϵ0 = 8.85 × 10−12
[F/m]). Sabiendo que se tiene una onda plana con una intensidad de campo
electrico pico de 50 mV/m, determine la correspondiente intensidad de campo
magnetico asociada a dicha onda.
2. Se sabe que a 5 GHz la conductividad y la permitividad relativa del agua de
mar son respectivamente σ = 10 [S/m] y ϵr = 65. Calcule el correspondiente
ındice de refraccion complejo.
3. Calcule la densidad de potencia promedio r.m.s. asociada a la onda descrita en
el Problema 1 asumiendo que dicha onda varıa sinusoidalmente en el tiempo.
4. Se sabe que la intensidad de campo electrico de una onda plana con una fre-
cuencia de 8 GHz a una distancia de 1 km de la antena transmisora es de 0.25
[mV/m], y que a esa distancia la fase del campo es de 0. a) Determine la am-
plitud y fase del campo electrico a una distancia de 20 km; b) Determine el
cambio en la fase de la onda cuando esta recorre una distancia de 1 m.
5. El ındice de refraccion del agua destilada es 1.33. Suponiendo que una onda pasa
del agua (medio 1) al vacıo (medio 2), calcule el angulo para el cual la direccion
de la onda transmitida al medio 2 es tangente a la superficie de separacion de
los medios. ¿Que sucede cuando el angulo formado por la onda con respecto a
la vertical en el medio 1 es mayor que el angulo que acaba de calcular?
6. Obtenga la Ec. (2.2.7) a partir de la Ec. (2.2.6).
79
7. Obtenga las Ecs. (2.2.8) y (2.2.9).
8. Deduzca la Ec. (2.2.17).
9. Se tiene una antena transmisora ‘A’ con una ganancia de 25 dBi, la cual es
alimentada con una potencia de 2 W. A una distancia de 40 Km de ‘A’ se
encuentra una antena receptora ‘B’ con una ganancia de 12 dBi. a) Determine
la potencia recibida en ‘B’, expresandola en dBm; b) Determine la magnitud de
la intensidad de campo electrico en ‘B’; c) Determine el valor de la intensidad de
campo electrico E ′ recibido a una distancia de 1 km (la cual tomaremos como
nuestra unidad de distancia), ası como la magnitud del campo que se recibirıa
a 40 km del transmisor.
10. Considerese un enlace que opera en el espacio libre sobre una distancia de 20 km
a una frecuencia de 13 GHz. Se sabe que la potencia transmitida es de 1 W y que
las antenas transmisora y receptora son identicas, siendo su ganancia de 35 dBi.
La potencia de ruido en el receptor es de 843.43 pW. a) Determine la potencia
recibida en dBm, ası como la relacion C/N en el receptor; b) Conservando todos
los demas parametros, determine la ganancia que deberıan tener las antenas para
que la relacion C/N anteriormente calculada aumente en 30 dB; c) Suponiendo
ahora que la ganancia de las antenas no ha sido cambiada (GT = GR = 35
dBi), determine la distancia sobre la que tendrıa que operar el enlace para que
la potencia recibida calculada en (a) se reduzca a la mitad.
11. Se tiene un radioenlace que opera a 8 GHz, en el que se requiere una relacion
C/N mınima en el receptor de 90 dB. Se dispone de un transmisor que sumin-
istra una potencia de 5 W y de antenas con una ganancia de 40 dBi. Se sabe
80
que la potencia de ruido en el receptor es de -125 dBm. Considerando que la
propagacion ocurre en el espacio libre, responda las siguientes preguntas: a)
¿Cual es el maximo valor permisible de la perdida basica en el espacio libre
en este enlace?; b) ¿Cual es la maxima distancia permisible entre vanos con
el equipo disponible?; c) Suponga que manteniendo la distancia encontrada en
(b) la ganancia de las antenas transmisora y receptora se aumenta en 5 dBi.
Determine la nueva relacion C/N, ası como la potencia recibida en mW.
12. Considere un enlace que opera sobre una distancia de 25 Km en el que se
transmite con una potencia de 4W, operando a una frecuencia de 0.9 GHz. La
ganancia de la antena transmisora es de 28.1 dBi; la antena receptora tiene la
misma ganancia. Para obtener una adecuada relacion portadora/ruido, la po-
tencia mınima requerida en el extremo receptor no debe ser menor a -40 dBm. a)
Halle la potencia recibida en dBm. ¿Cual es el margen de desvanecimiento en ese
caso? b) Determine la distancia para la cual la potencia recibida sera igual a la
mınima potencia requerida; c) Suponiendo que las antenas conservan su ganan-
cia al variar la frecuencia, halle la frecuencia de operacion necesaria para que la
potencia recibida sea igual a la mınima potencia recibida permisible; d)Halle las
ganancias que deberıan tener las antenas transmisora y receptora para que la
potencia recibida sea igual a la mınima potencia permisible, suponiendo que las
ganancias de las antenas transmisora y receptora son iguales y que se transmite
sobre una distancia de 50 Km con una frecuencia de 0.9 GHz.
13. ⋆ Cree un programa u hoja de calculo electronica que permita determinar la
potencia recibida y el margen de desvanecimiento en funcion de la distancia, la
frecuencia, la ganancia de las antenas y el nivel de ruido en el receptor.
Apendice A
El Decibelio
En ingenierıa de comunicaciones es muy frecuente encontrar situaciones en las
que es necesario expresar proporciones entre dos valores de potencia, voltaje o campo
electrico. Tambien hay situaciones en las que es conveniente expresar potencia, voltaje
o campo electrico con respecto a un valor de referencia convenientemente escogido.
En ambos casos los calculos son mas sencillos cuando las cantidades se expresan en
decibelios.
A.1. Relacion de Potencias
En ingenierıa de comunicaciones es frecuente expresar la relacion R entre dos
potencias P1 y P2 en decibelios:
R[dB] = 10 log
(P1
P2
)(A.1.1)
Si P1 = P2, R = 0 dB; si P1 > P2, R sera positiva; mientras que si P1 < P2, R
sera negativa.
Ejemplo:
P1 = 15 W , P2 = 0.3 W ⇒ R = 10 log(15)− 10 log(0.3) = 17 dB
491
492
Ejemplo:
P1 = 9 W , P2 = 18 W ⇒ R = 10 log(9)− 10 log(18) = −3 dB
En el primer ejemplo el valor de P1 esta 17 dB por encima de P2; mientras que en
el segundo P1 esta 3 dB por debajo de P2.
En el caso particular de la transmision inalambrica, con frecuencia estamos in-
teresados en establecer relaciones en decibelios entre dos valores de la densidad de
potencia promedio asociada a una onda plana. Recuerdese que la densidad de poten-
cia promedio asociada a una onda electromagnetica plana con variacion sinusoidal en
el tiempo esta dada por
P =1
2
|E|2
η(A.1.2)
donde η es la impedancia caracterıstica del medio expresada en ohmios, y P es la
densidad de potencia expresada en vatios por metro cuadrado (W/m2). Si queremos
expresar en decibelios la relacion entre dos valores de densidad de potencia tendremos
R[dB] = 10 log
(|E1|2/2η|E2|2/2η
)= 20 log
(|E1||E1|
)(A.1.3)
Vemos por lo tanto que la relacion de densidades de potencia queda reducida a
una relacion entre las intensidades de campo electrico |E1| y |E2|, cuantificadas en
voltios/metro.
Ejemplo:
E1 = 15 µV/m , E2 = 11 µV/m ⇒ R = 20 log(15× 10−6)− 20 log(11× 10−6) = 2.69 dB
493
A.2. Potencias Absolutas
Frecuentemente se necesita expresar un cierto valor de potencia P en decibelios
con respecto a un valor de referencia fijo Pref :
P [dB] = 10 log
(P
Pref
)(A.2.1)
En ingenierıa de comunicaciones es comun usar 1 vatio o 1 milivatio como valor
de referencia. Cuando se emplea Pref = 1 W, la relacion dada por (A.2.1) estara ex-
presada en dBW:
P [dBW] = 10 log
(P
1 W
)(A.2.2)
Por ejemplo, a una potencia P = 2 W corresponde un valor de 3 dBW. Otro va-
lor de referencia comunmente usado es 1 milivatio. En ese caso, la relacion (A.2.1)
estara expresada en dBm:
P [dBm] = 10 log
(P
1 mW
)(A.2.3)
Por ejemplo, a una potencia P = 0.5 mW corresponderan -3 dBm.
Asumamos ahora que P = 1 vatio. En este caso tenemos
P [dBW] = 10 log
(1 W
1 W
)= 0 dBW
P [dBm] = 10 log
(1 W
1 mW
)= 30 dBm
El ejemplo ilustra como expresar un valor de potencia en dBW o en dBm: si
tenemos un valor expresado en dBW, le sumamos 30 para expresarlo en dBm; si
esta expresado en dBm, le restamos 30 para pasarlo a dBW.
494
Ejemplo: Exprese 15W en dBm y dBW
P = 10 log
(15 W
10−3 W
)= 41.77 dBm = 11.77 dBW
Tal como vimos en la seccion anterior, muchas veces estamos interesados en valores
de la intensidad de campo electrico. Un valor de referencia comunmente utilizado en
ese caso es 1 microvoltio/m, por lo que los valores de campo electrico estaran entonces
expresados en dBµ:
E(dBµ) = 20 log
(|E|
1 µV/m
)(A.2.4)
Ejemplo: Exprese 0.01 V/m en dBµ
E = 20 log
(0.01 V/m
10−6 V/m
)= 80 dBµ
A.3. Ejemplo de Aplicacion
Considerese un canal de comunicacion que introduce una atenuacion α. La relacion
entre potencia recibida Pr y potencia transmitida Pt sera
Pr = αPt
Si expresamos esta relacion en decibelios tendremos
10 log(Pr) = 10 log(Pt) + 10 log(α)
es decir
Pr[dB] = Pt[dB] + α[dB]
Observe que al expresar las cantidades en decibelios hemos simplificado las opera-
ciones, ya que en lugar de multiplicaciones y divisiones tendremos sumas y restas.
495
Las potencias transmitidas y recibidas pueden estar expresadas en dBW o dBm; sin
embargo, como la atenuacion simplemente relaciona dos valores de potencia, siem-
pre estara expresada en decibelios. Este es un punto que frecuentemente con-
funde al estudiante: cuando se tienen cantidades expresadas en decibelios,
las operaciones se limitan a sumas y restas: lo importante es mantener
consistencia en los valores de referencia utilizados para especificar tales
cantidades.
Ejemplo: La potencia alimentada a un canal de comunicaciones es Pt = 10−9
vatios. La mınima potencia permisible en el receptor es Pr = 10−15 vatios. ¿Cual es
la maxima atenuacion permisible en el canal?
Expresemos Pt y Pr en dBm:
Pt = 10 log
(10−9 W
10−3 W
)= −60 dBm
Pr = 10 log
(10−15 W
10−3 W
)= −120 dBm
Luego
Pr[dBm] = α[dB] + Pt[dBm]
α[dB] = Pt[dBm]− Pr[dBm] = −60 dBm− (−120 dBm) = 60 dB
Ejemplo: En un radioenlace se transmite con una potencia de 3 W utilizando una
antena con una ganancia de 15 dBi. Si las perdidas en el espacio libre son de 100 dB
y la antena receptora tiene una ganancia de 6 dBi, ¿Cual es la potencia recibida?
La potencia recibida en un enlace esta dada por
Pr[dBm] = Pt[dBm] +Gt[dBi] +Gr[dBi]− Lbf [dB]
496
Notese que en esta expresion las potencias transmitida y recibida estan expresadas
en dBm (se ha utilizado 1 mW como potencia de referencia), la ganancia de las antenas
esta expresada en dBi (se ha utilizado una antena isotropica en la definicion de las
ganancias) y la perdida basica en el espacio libre esta expresada en dB (Lbf es una
atenuacion). Lo que debe verificarse es que tanto las potencias como las ganancias de
las antenas esten expresadas usando los mismos valores de referencia (dBm, dBi). El
resultado es
Pr[dBm] = 10 log
(3 W
10−3 W
)[dBm] + 15 [dBi] + 6 [ dBi]− 100 [dB]
= 34.77 [dBm] + 15 [dBi] + 6 [dBi]− 100 [dB] = −44.23 [dBm]
Apendice B
Conceptos Elementales de Antenas
Este Apendice tiene como objeto proporcionar una breve descripcion de algunos
conceptos importantes de antenas; por lo tanto, solo se examinaran algunas ideas
indispensables en el diseno y analisis de un sistema de comunicacion inalambrica. Se
remite al lector interesado en ampliar su conocimiento del tema a la extensa literatura
existente.
B.1. Generalidades
Una antena es basicamente una estructura de transicion entre una onda que se
propaga en la atmosfera y una onda guiada que viaja por una lınea de transmision.
En una lınea de transmision la energıa electromagnetica es conducida (idealmente)
con pocas perdidas; una vez que esa energıa alcanza la antena se produce radiacion
electromagnetica al ser las dimensiones de la antena comparables a la longitud de
onda. En el caso ideal, la totalidad de la energıa que es entregada a la antena es
radiada al espacio libre.
En el caso de una antena receptora, una fraccion de la energıa electromagnetica
que viaja en el espacio es interceptada por la antena y entregada a una lınea de
497
498
transmision, la cual a su vez esta conectada a un receptor. Idealmente, la totalidad de
la energıa interceptada por la antena deberıa ser entregada a la lınea de transmision.
Puede demostrarse que el campo electrico radiado por una antena es siempre mas
complicado en sus cercanıas que a grandes distancias. A una distancia lo suficiente-
mente grande el campo radiado es una onda esferica que emana del punto en el que
la antena esta ubicada; bajo estas condiciones se dice que el campo observado es el
campo lejano o campo de Fraunhofer de la antena. La region de campo lejano debe
satisfacer tres condiciones simultaneamente [Johnson 1993]:
r > 2(D + d)2/λ (B.1.1)
r > 1.6λ (B.1.2)
r > 5(D + d) (B.1.3)
En estas expresiones D es la dimension mas grande de la antena transmisora, d es la
dimension mas grande de la antena receptora, r es la distancia entre ambas, y λ la
longitud de onda. El criterio 2(D + d)2/λ explica porque al ojo humano una estrella
aparenta ser una fuente puntual, mientras que la luna no: a las longitudes de onda de
la luz visible estamos en el ‘campo lejano’ de la estrella.
Todos los parametros que normalmente describen a una antena estan definidos en
funcion del campo lejano de la misma; por esta razon, en lo sucesivo quedara sobreen-
tendido que nuestra discusion se refiere exclusivamente al campo lejano. Adicional-
mente, los parametros que describen a una antena seran los mismos independiente-
mente de que se trate de una antena transmisora o receptora.
Las antenas comunmente empleadas en los radioenlaces de microondas pertenecen
a la familia de las antenas de apertura; entre ellas las de uso mas frecuente son las an-
tenas parabolicas. Este tipo de antena consiste de una superficie reflectora constituida
499
por un paraboloide de revolucion (generado al hacer girar una parabola sobre su eje)
y un alimentador ubicado en el foco del paraboloide, como se observa en la Fig. B.1.
Frecuentemente la apertura de la antena esta cubierta por un radomo que protege
el alimentador de la intemperie a la vez que permite el paso de la radiacion electro-
magnetica. Las caracterısticas de radiacion de este tipo de antenas esta determinada
por la regularidad de la superficie del reflector y por el diseno del alimentador.
Alimentador
Reflector Radomo
Figura B.1: Partes de una antena parabolica.
Pasamos a continuacion a describir los parametros empleados para describir las
caracterısticas electricas de una antena.
B.2. Relacion de Onda Estacionaria (ROE, SWR,
VSWR)
En una lınea de transmision existiran en general dos ondas propagandose si-
multaneamente: una onda progresiva que se desplaza hacia la carga y una onda regre-
siva que viaja en sentido contrario; esta ultima se produce por un proceso fısico de
reflexion que ocurre en los terminales de carga de la lınea, el cual existira siempre que
el valor de la impedancia de carga ZA sea distinto al de la impedancia caracterıstica
500
de la lınea Z0. La existencia simultanea de las ondas progresiva y regresiva en una
lınea produce un patron de interferencia conocido como patron de onda estacionaria,
el cual consiste en una secuencia de maximos y mınimos de voltaje o corriente, regu-
larmente espaciados a lo largo de la lınea. En el caso de que no exista onda regresiva
toda la energıa que viaja en la lınea es entregada a la carga, por lo que el patron de
onda estacionaria degenerara en una lınea recta.
Una antena puede describirse como un elemento de 1 puerto con una impedancia
ZA. Para que se produzca la maxima transferencia de potencia entre una antena y
una lınea de transmision es necesario que la impedancia de la antena ZA sea igual a
la impedancia caracterıstica Z0 de la lınea de transmision. En ese caso decimos que
la antena se encuentra acoplada a la lınea, por lo que no se producira un patron de
onda estacionaria (Fig. B.2(a)). Si ZA = Z0, la antena estara desacoplada, y parte de
la energıa que viaja en la lınea sera reflejada por la antena de vuelta hacia el trans-
misor dando lugar a un patron de onda estacionaria (Fig. B.2(b)). Si el desacople
de impedancias entre la antena y la lınea de transmision ocurre en el caso de una
antena receptora, parte de la energıa electromagnetica interceptada por la antena es
reflejada hacia el espacio, disminuyendo en consecuencia la senal util que es entre-
gada al receptor. La aparicion de una onda estacionaria en la lınea es un fenomeno
indeseable porque: a) la eficiencia del sistema se ve afectada; b) se acorta la vida util
de la lınea de transmision por efectos de calentamiento; c) se acorta la vida util del
equipo transmisor [Albornoz 1995].
El grado de acople entre una antena y una lınea de transmision se expresa en
terminos de la relacion de onda estacionaria o ROE (SWR o VSWR en la terminologıa
anglosajona). Los valores que toma este parametro estan comprendidos entre 1 e
501
Z0
Z = ZA 0
Z0
Z ZA 0
¹
V V
(a) (b)
Línea de transmisión Línea de transmisión
Patrón de onda estacionaria
Figura B.2: Acople en una lınea de transmision.
infinito. Un valor de ROE igual a 1 representa un acople perfecto (ZA = Z0), por
lo que se producira la maxima transferencia de potencia entre la antena y la lınea
de transmision. Por otra parte, una ROE muy grande implica que gran parte de la
energıa que incide sobre la antena es reflejada hacia la lınea de transmision (si se trata
de una antena transmisora) o hacia la atmosfera (si se trata de una antena receptora).
La ROE de una antena es uno de los parametros utilizados para evaluar el fun-
cionamiento de un sistema de comunicacion inalambrico; por ello es necesario que
el fabricante de una antena proporcione el valor de la ROE dentro de la banda de
operacion de la misma. Comunmente se suministra el valor de la ROE a la frecuencia
central de operacion, siendo aceptables valores de ROE comprendidos entre 1 y 2.
Tambien es posible que el fabricante proporcione el diagrama de Smith1 correspondi-
ente a la antena.
1El diagrama de Smith es una construccion grafica que presenta la impedancia y la ROE de laantena en funcion de la frecuencia de operacion. La distancia entre el centro del diagrama y la curvade impedancia de la antena es proporcional a la ROE: en el centro del diagrama ROE = 1
502
B.3. Impedancia de Antena
Como se menciono anteriormente, desde sus terminales una antena puede verse
como una impedancia ZA:
ZA = RA +XA (B.3.1)
La reactancia de la antena XA esta asociada con energıa almacenada en el campo
cercano emitido por la misma, en tanto que la resistencia de la antena RA esta a su
vez compuesta por la combinacion de dos resistencias: la resistencia de radiacion Rr
y la resistencia de perdidas Rp:
RA = Rr +Rp (B.3.2)
La resistencia de radiacion no es una resistencia en el sentido fısico sino un parametro
que relaciona la potencia Wr radiada por una antena en el campo lejano con la
corriente pico I0 en sus terminales:
Wr =1
2I20Rr (B.3.3)
La resistencia de perdidas, por otra parte, esta asociada a las perdidas por efecto
Joule que se dan en el conductor con el que esta construida la antena. A partir de
estas dos resistencias se define la eficiencia como la relacion entre la potencia que se
le suministra a una antena y la potencia que es radiada por esta:
e =12I20Rr
12I20 (Rr +Rp)
=Rr
Rr +Rp
(B.3.4)
Ninguna antena puede ser 100% eficiente ya que parte de la potencia con que
ella es alimentada se pierde irremediablemente por virtud del efecto Joule o por
imperfecciones en su construccion, por lo que en la practica siempre ocurre que e < 1.
503
Por ejemplo, para una antena parabolica con un diametro de 3 m la eficiencia esta el el
orden de un 55%. Si se emplean antenas mas sofisticadas se pueden lograr eficiencias
de un 85% [Bianchi 1984].
B.4. Polarizacion
La polarizacion de una antena esta definida por el lugar geometrico que el campo
electrico radiado describe en el espacio a medida que dicho campo se propaga. En gen-
eral, la polarizacion podra ser lineal o elıptica dependiendo de si la figura geometrica
trazada por el campo electrico es un lınea o una elipse; dentro de la polarizacion lineal
distinguimos la polarizacion vertical y la polarizacion horizontal. La polarizacion cir-
cular es un caso particular de la polarizacion elıptica. La Fig. B.3 ilustra este concepto
para los casos de las polarizaciones vertical y horizontal. Es absolutamente necesario
que las antenas receptora y transmisora posean una misma polarizacion, ya que de lo
contrario se produciran perdidas en la senal recibida. La polarizacion de una antena
depende esencialmente de su diseno y de su orientacion.
Plano de polarización (vertical)
E
Dirección de
propagaciónPlano de polarización (horizontal)
E
Dirección de
propagación
Antena Antena
Figura B.3: Polarizaciones Vertical y Horizontal.
Las antenas parabolicas utilizadas en los radioenlaces de microondas emplean po-
larizacion lineal horizontal o vertical de acuerdo a la orientacion del alimentador. Sin
embargo, existen antenas con doble polarizacion que pueden operar simultaneamente
504
en polarizacion horizontal y vertical gracias al uso de dos alimentadores ortogonales.
Un parametro que caracteriza este tipo de antenas es la razon de discriminacion
de polarizacion cruzada (XPD, Cross Polarization Discrimination). El XPD expresa
el aislamiento entre senales recibidas simultaneamente en ambas polarizaciones. Por
ejemplo, si se recibe una senal verticalmente polarizada, el nivel de la senal recibida
en el alimentador con polarizacion horizontal debera estar muy por debajo del que se
tiene en el alimentador con polarizacion vertical. La diferencia en decibelios entre los
niveles de las senales recibidas en ambos alimentadores es el valor del XPD. El XPD
tambien se utiliza en antenas con polarizacion unica para describir la interferencia
sobre la senal recibida producida por senales con polarizacion ortogonal a la de la
antena.
B.5. Patron de Radiacion
En el caso de una antena transmisora, el patron de radiacion es una representacion
grafica de la distribucion espacial de la energıa electromagnetica radiada. Mas es-
pecıficamente, un patron de radiacion muestra la intensidad de campo electrico o la
densidad de potencia radiadas en funcion de la direccion. En el caso de una antena
receptora, el patron de radiacion representa la variacion del voltaje inducido en los
terminales de la antena en funcion de la direccion de la que proviene un frente de
onda plano y uniforme que incide sobre la misma; en otras palabras, el patron de
radiacion muestra como la sensibilidad de la antena varıa de una direccion a otra.
Si la antena no contiene elementos activos, los patrones de radiacion para trans-
mision y recepcion son identicos [Barboza 1991], por lo que es indiferente referirse al
505
Lóbulo
principal
Lóbulos
secundarios
Lóbulo
posterior
Dirección de
máxima radiación
Nulo
qMP
Ancho del
haz a media
potencia
x
y
z
Figura B.4: Partes de un patron de radiacion.
patron en cualquiera de estas dos situaciones. Esta propiedad (conocida como princi-
pio de reciprocidad) debe tenerse en cuenta en el sentido de que todo parametro que
se define para el caso de una antena transmisora es igualmente valido para el caso
de una antena receptora. La Fig. B.4 muestra un ejemplo de un patron de radiacion
presentado en forma polar; la distancia entre el centro del patron y un punto del
mismo es proporcional a la intensidad de campo electrico radiado por la antena.
Se observa que la estructura del patron contiene lobulos : existe un lobulo o haz
principal en el que esta concentrada la mayor parte de la energıa radiada por la
antena, ası como varios lobulos secundarios. El maximo del lobulo principal coincide
con la direccion de maxima radiacion, la cual es aquella direccion particular en la que
la antena radia la maxima intensidad de campo electrico. En el caso de una antena
receptora, esta direccion de maxima radiacion coincide con la direccion en la cual la
506
antena presenta su maxima sensibilidad.
El angulo comprendido entre aquellos puntos del lobulo principal en los cuales la
densidad de potencia es la mitad (3 dB por debajo) de la que existe en el maximo
de dicho lobulo se denomina el ancho del haz a media potencia. A medida que este
parametro se hace mas pequeno, el lobulo principal del patron se hace cada vez mas
estrecho, lo cual significa que la capacidad de la antena para concentrar la energıa
radiada en una direccion particular aumentara.
Puede ocurrir que uno de los lobulos secundarios apunte en direccion opuesta
a la direccion de maxima radiacion; en tal caso dicho lobulo se denomina lobulo
posterior. La diferencia en decibelios entre la densidad de potencia (o intensidad de
campo electrico) radiada en la direccion de maxima radiacion y la radiada en el
maximo del lobulo posterior se denomina la relacion frente/espalda o front-to-back
ratio (abreviada como relacion F/B.) Esta relacion da una idea de la proporcion entre
la energıa radiada en la direccion de maxima radiacion y la radiada en la direccion del
maximo del lobulo posterior: un valor grande de la relacion F/B significa la presencia
de un lobulo posterior pequeno.
Hay ciertas direcciones en las cuales la distancia entre el patron y el centro del
grafico es muy pequena o nula. Ello quiere decir que hay ciertas direcciones en las
cuales la antena es ‘ciega’; es decir, direcciones en las que la antena casi no radia.
Dichas direcciones se conocen como los nulos del patron de radiacion.
El patron de radiacion es en principio una representacion tridimensional, y su
registro requiere mediciones de la intensidad de campo electrico en muchos puntos
del espacio bajo condiciones que solo se encuentran en instalaciones acondicionadas a
este fin; sin embargo para antenas con patrones de radiacion simetricos basta realizar
507
q = 0°
90°
180°
270°
0 d
Bi-
5
5
10
15
20
Figura B.5: Patron de radiacion en forma polar.
mediciones en uno o mas planos particulares (generalmente el plano vertical y el plano
horizontal) y para una determinada polarizacion (horizontal o vertical). Cuando se
representa el patron de radiacion en un plano particular, dicho patron asume por lo
general la forma de un grafico polar, en el que la distancia entre el centro del grafico y
un punto cualquiera del patron es proporcional a la intensidad de campo electrico (o
la densidad de potencia) radiada en una direccion particular. Un ejemplo de este tipo
de representacion se muestra en la Fig. B.5, la cual es un corte vertical del patron
mostrado en la Fig. B.4. Por lo general, la direccion de maxima radiacion coincide
con los 0 del diagrama polar de radiacion.
La escala radial del grafico polar en el que esta representado el patron de radiacion
suele estar calibrada en decibelios, los cuales estan expresados con respecto a un cierto
valor de referencia. Por lo comun dicho valor de referencia suele ser la intensidad de
508
campo electrico (o la densidad de potencia) radiadas por una antena isotropica ali-
mentada con la misma potencia suministrada a la antena bajo medicion. Una antena
isotropica es una antena ideal, fısicamente irealizable, la cual radia uniformemente en
todas direcciones. De acuerdo a esta definicion, el patron de radiacion correspondiente
a esta antena serıa una esfera en el espacio y un cırculo en el plano. De este modo, un
cırculo en el grafico polar rotulado ‘0 dBi’ representa al patron de radiacion de una
antena isotropica. Aunque la representacion polar es la mas frecuente, en ocasiones
es conveniente presentar el patron de radiacion en coordenadas rectangulares, como
veremos en la siguiente seccion.
dB
0
40
60
70
80
180°60°40°15° 130° 145° 155°
Figura B.6: Patron de discriminacion.
B.6. Patron de Discriminacion
Como fue mencionado en la seccion anterior, en ocasiones es conveniente represen-
tar la informacion contenida en el patron de radiacion en coordenadas rectangulares.
509
Un ejemplo de este tipo de grafico, denominado patron de discriminacion, se muestra
en la Fig. B.6. En este tipo de patron el maximo del lobulo principal corresponde a
0 dB; por lo tanto, aquellos valores correspondientes a direcciones distintas a las del
lobulo principal representan cuantos decibelios estara la senal recibida por debajo de
la que se recibe en la direccion del lobulo principal. En consecuencia, el patron de
discriminacion nos permite saber que tan atenuada estara la senal que se transmite
(o recibe) en una determinada direccion en relacion con la que se transmite (o recibe)
en la direccion de maxima radiacion, informacion que es particularmente util en el
estudio de interferencias. Como por lo general los patrones de radiacion son simetricos
con respecto a la direccion de maxima radiacion, los valores de los angulos mostra-
dos en el patron de discriminacion estan comprendidos entre 0 y 180, siendo 0 la
direccion de maxima radiacion y 180 la direccion del maximo del lobulo posterior.
En ocasiones los patrones de discriminacion suministrados por los fabricantes pre-
sentan simultaneamente cuatro curvas, correspondientes a las cuatro posibles combi-
naciones entre la polarizacion de la senal recibida y la polarizacion de la antena, a
saber: vertical-vertical, horizontal-horizontal, vertical-horizontal y horizontal-vertical.
Los dos ultimos casos presentan graficamente la informacion relativa a la discrimi-
nacion de polarizacion cruzada XPD. La Fig. B.7 presenta un ejemplo de este tipo
de patrones: Las curvas correspondientes a los casos vertical-horizontal y horizontal-
vertical estan aproximadamente 40 dB por debajo de las que corresponden a trans-
mision y recepcion en una misma polarizacion; en consecuencia, el valor de la XPD
en la direccion del maxima radiacion es de aproximadamente 40 dB para esta antena.
510
Figura B.7: Patron de discriminacion para multiples polarizaciones([Hewlett-Packard 1991]).
511
B.7. Directividad, Eficiencia y Ganancia
En ciertas aplicaciones se desea que la energıa radiada por una antena este con-
centrada en cierta region del espacio: la medida en la cual se logra este objetivo
esta cuantificada por la directividad D de la antena. La directividad de una antena
esta definida como la relacion entre la densidad de potencia Pmax radiada en direc-
cion del maximo del lobulo principal y la densidad de potencia Pref radiada por una
determinada antena de referencia en la misma direccion:
D =Pmax
Pref
(B.7.1)
En la practica es conveniente expresar la directividad en decibelios:
D[dB] = 10 log
(Pmax
Pref
)(B.7.2)
Una antena de referencia comunmente empleada es la antena isotropica; en ese ca-
so, la directividad se expresa en dBi. Otra antena de referencia comunmente utilizada
es el dipolo de λ/2 o dipolo de media onda2, por lo que en ese caso la directividad
estara expresada en dBd. La directividad de un dipolo de media onda con respecto a
la antena isotropica es de 2.15 dBi ; por lo tanto, bastara sumar 2.15 a la directivi-
dad expresada en dBd para convertirla en dBi. La antena isotropica es la antena de
referencia normalmente empleada en la banda de microondas, mientras que el dipolo
de media onda es la referencia usual en las bandas de VHF y UHF.
La directividad de una antena puede expresarse de forma aproximada en terminos
del ancho del haz a media potencia:
D[dBi] ≈ 10 log
(41253
θMP ϕMP
)(B.7.3)
2Un dipolo de λ/2 es una antena lineal cuya longitud fısica es equivalente a la mitad de unalongitud de onda.
512
x
y
z
qMP
fMP
Figura B.8: Anchos a media potencia del lobulo principal.
En esta expresion θMP y ϕMP representan los anchos a media potencia (en grados)
del lobulo principal en las direcciones vertical y horizontal, como se aprecia en la Fig.
B.8.
La ganancia G toma en cuenta el efecto de la eficiencia de la antena sobre la
directividad:
G = eD ⇒ G(dB) = 10 log(eD) (B.7.4)
En la practica es comun que la ganancia este indicada en el patron de radiacion.
En la Fig. B.5 puede verse que la correspondiente antena tiene una ganancia de 20
dBi, ası como una relacion F/B de aproximadamente 22 dB.
B.8. Area Efectiva
Supongase que se tiene una antena parabolica iluminada por una onda plana
uniforme. Se sabe que la densidad de potencia de esta onda es P [W/m2] y que la
superficie de la ‘boca’ de la antena parabolica es A [m2]. Si la antena extrae toda la
513
Frente de onda[W/m ]
P2
A
Wr
E
H
Dirección depropagación
Figura B.9: Apertura de una antena.
potencia de la onda que la ilumina, la potencia recibida Wr sera
Wr = PA (B.8.1)
De este modo la antena puede considerarse como una apertura con un area A, la cual
intercepta parte de la densidad de potencia asociada al frente de onda que incide
sobre ella, como se muestra en la Fig. B.9.
Definimos entonces el area efectiva Ae de una antena como la relacion entre la
potencia Wr absorbida por la carga conectada a la antena y la densidad de potencia
P incidente sobre la misma:
Ae =Wr
P(B.8.2)
514
Puede demostrarse [Barboza 1991] que el area efectiva maxima Aem de una antena es
Aem =λ2
4πD (B.8.3)
donde se supone una antena sin perdidas perfectamente acoplada al receptor. El area
efectiva es entonces el producto de la eficiencia e y el area efectiva maxima
Ae = eAem =λ2
4πG (B.8.4)
De esta expresion se infiere que para una frecuencia fija, al incrementar la apertura
de una antena esta se hace mas directiva.
B.9. Ancho de Banda
El ancho de banda de una antena se define como el intervalo de frecuencias en el
cual esta opera satisfactoriamente, manteniendo sus caracterısticas electricas dentro
de las especificaciones. Dichas caracterısticas dependen esencialmente de la impedan-
cia de la antena y del patron de radiacion. En el caso de algunas antenas sencillas
(dipolo de 1/2 onda) el ancho de banda es normalmente determinado por la variacion
de la impedancia con la frecuencia, ya que las caracterısticas de radiacion varıan lenta-
mente; sin embargo, en otros tipos de antenas los cambios del patron de radiacion con
la frecuencia son los que definen el ancho de banda util. En el primer caso, el ancho
de banda puede ser especificado por las frecuencias F1 y F2 dentro de las cuales la
ROE no excede un valor determinado, el cual depende de la aplicacion particular.
El ancho de banda puede ser expresado como la razon entre F2−F1 y la frecuencia
central de operacion F0, o en terminos porcentuales como
F2 − F1
F0
× 100 (B.9.1)
515
Otra posible definicion es simplemente la razon F2/F1 o F2/F1 a 1. Ası por ejemplo,
puede encontrarse una antena con un ancho de banda de 10 a 1.
516
Apendice C
Elementos de Probabilidad
En ingenierıa de comunicaciones es frecuente tratar con fenomenos aleatorios, co-
mo por ejemplo la ocurrencia de errores de transmision o la probabilidad de que el
nivel de una senal exceda cierto valor. Por lo tanto, es necesario conocer algunos
principios basicos del calculo de probabilidades para el estudio de los sistemas de
comunicacion inalambrica. Este Apendice constituye una breve presentacion de aque-
llos aspectos de la teorıa de probabilidad necesarios en en diseno y analisis de estos
sistemas.
C.1. Definiciones y Axiomas Basicos
Presentamos a continuacion algunas definiciones necesarias:
C.1.1. Experimentos y Espacio Muestral
Un conjunto es una coleccion de objetos, ya sean concretos o abstractos. Un ejem-
plo de un conjunto concreto es el conjunto de los habitantes de Venezuela cuya altura
excede 1.50 metros. Un subconjunto de este conjunto podrıa ser el de los habitantes
de Venezuela cuya altura esta comprendida entre 1.60 y 1.70 metros. En la teorıa
517
518
de probabilidades estamos interesados en el conjunto de los resultados de un cierto
experimento o medicion cuyo resultado es aleatorio. Denominaremos el experimento
con el sımbolo H y al conjunto de todos los posibles resultados del experimento con
la letra griega Ω. El conjunto Ω es el espacio muestral del experimento aleatorio H.
Cualquier subconjunto de Ω es llamado un evento. Dado que todo conjunto se con-
tiene a sı mismo, el espacio muestral Ω es tambien un evento. En particular, Ω es
denominado el evento cierto.
Ejemplo: En el experimento “medir altura h de los habitantes de Venezuela” el
espacio muestral esta definido formalmente como Ω = h/h > 1.50 m, mientras que
un evento serıa E ⊂ Ω = h/1.60 m ≤ h ≤ 1.70 m
Ejemplo: El experimentoH consiste en lanzar una moneda. Entonces Ω = cara, sello.
Ejemplo: El experimentoH consiste en lanzar un dado una vez. Entonces el espacio
muestral es Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ejemplo: El experimento H consiste en medir la velocidad del viento en un aero-
puerto. El espacio muestral sera Ω = v/v ≥ 0.
C.1.2. Eventos y σ-algebras
Considere un experimento aleatorioH cuyos resultados se encuentran en el espacio
muestral Ω. Si los elementos de Ω pueden contarse (o si a subconjuntos de Ω se le
puede asignar una medida), a cada subconjunto de Ω se le puede entonces asignar una
probabilidad consistente con los axiomas que examinaremos en la proxima seccion.
Diremos entonces todos los subconjuntos de Ω constituyen una σ-algebra F , y cada
uno de estos subconjuntos constituye a su vez un evento.
519
C.1.3. Definicion Axiomatica de Probabilidad
Definimos a la probabilidad como una funcion P [·] que asigna a cada evento E ∈ F
un numero P [E] denominado la probabilidad de E. Este numero cumple las siguientes
propiedades:
P [E] ≥ 1
P [Ω] = 1
P [E ∪ F ] = P [E] + P [F ] si P [E ∩ F ] = 0
Como consecuencia de estos sencillos axiomas tenemos los siguientes resultados
basicos:
P [∅] = 0
P [E] = 1− P [EC ]
P [E ∪ F ] = P [E] + P [F ]− P [E ∩ F ]
Ejemplo: Se lanza una moneda una vez. Por lo tanto Ω = cara, sello. Los 22
posibles eventos forman el σ-campo F correspondiente:
F = ∅, cara, sello, cara o sello
Es decir, tenemos el evento improbable ∅ con probabilidad P [∅] = 0, los eventos
P [cara] = 1/2, P [sello] = 1/2, y el evento cierto P [cara o sello] = 1.
Ejemplo: Se lanza un dado una vez. El resultado del experimento es el numero
resultante. El espacio muestral es Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. El σ-campo F asociado con
520
este espacio muestral consiste de 26 eventos (cada uno de los 6 resultados puede estar
o no presente en cada uno de los posibles eventos). Algunos de esos eventos son
∅, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 6, 1, 2, 4, 5, 2, 4, 6 . . .
donde por ejemplo la notacion 1, 2 significa que el resultado de lanzar el dado una
vez puede ser ‘1’ o ‘2’, 2, 4, 6 significa que se obtiene un numero par al lanzar el dado,
etc. Siguiendo los axiomas arriba enunciados, tenemos P [ni] = 1/6, donde ni, i =
1 . . . 6 representa cada uno de los posibles resultados del experimento “lanzar una vez
un dado”. Consideremos ahora los eventos A = 1 y B = 2, 6; inmediatamente
inferimos que P [A] = 1/6. De manera similar P [A ∪ B] = P [A] + P [B], dado que
A ∩B = ∅. Mas aun, P [B] = P [2] + P [3] = 2/6. De esta manera
P [A ∪B] = P [A] + P [B] =1
6+
2
6=
1
2
C.2. Probabilidades Conjunta y Condicional
Cuando se realizan experimentos en los cuales se observan resultados aleatorios,
puede darse el caso de que existan varios resultados relacionados entre si. Por ejemplo,
consideremos la recoleccion de datos meteorologicos en una ciudad X, y consideremos
tres eventos A, B y C:
A representa el evento de que en un dıa particular la temperatura exceda los
20C.
B representa el evento de que en un dıa particular la precipitacion iguale o
supere los 5 mm/hora.
521
C representa la ocurrencia simultanea de los eventos A y B; es decir, C = A∩B.
Queremos ahora expresar la probabilidad del evento C:
P [C] = P [A ∩B] = P [AB]
donde hemos usado AB para representar A ∩ B. Llamamos a P [AB] la probabilidad
conjunta de los eventos A y B.
Denotemos ahora a ni como el numero de dias en el que se observo el evento i,
y consideremos un perıodo de 1000 dias en el cual se realizan las siguientes obser-
vaciones: nA = 811, nB = 306 y nC = 283. Las probabilidades asociadas a cada
evento pueden calcularse como el cociente de el numero de observaciones respectivas
divididas por 1000:
P [A] =nA
1000= 0.811
P [B] =nB
1000= 0.306
P [C] = P [AB] =nC
1000= 0.283
Considerese ahora el cociente nAB/nA, el cual representa la frecuencia relativa con
la cual ocurre el evento AB cuando el evento A ha ocurrido. En otras palabras, este
cociente representa la fraccion de tiempo durante la cual la precipitacion excede 5
mm/hora en aquellos dıas en los que la temperatura iguala o excede 20C. Por lo
tanto, estamos expresando la frecuencia con la que un evento ocurre condicionada a
la ocurrencia de otro evento. Notemos ahora que
nAB
nA
=nAB/1000
nA/1000≃ P [AB]
P [A]
Esta discusion nos sugiere la definicion de una medida de probabilidad conjunta:
P [B/A] =P [AB]
P [A]; P [A] > 0 (C.2.1)
522
donde la notacion P [B/A] representa la probabilidad de que ocurra el evento B dado
que el evento A ha ocurrido. De forma similar:
P [A/B] =P [AB]
P [B]; P [B] > 0 (C.2.2)
Ejemplo: Un grupo de estudiantes presento dos examenes, 25% de los estudiantes
aprobo ambos examenes, y un 42% aprobo el primer examen. Estamos interesados en
saber que porcentaje de estudiantes aprobo el segundo examen habiendo aprobado el
primero. Tenemos ası los siguientes eventos:
A = “Aprobar el primer examen”
B = “Aprobar el segundo examen”
AB = “Aprobar ambos examenes”
Luego,
P [B/A] =P [AB]
P [A]=
0.25
0.42= 0.60 = 60%
Ejemplo: En una cierta localidad se sabe que cada vez que llueve la probabilidad
de que se produzca desvanecimiento en las senales recibidas en un radioenlace es de
un 50%. Sabemos que en promedio llueven 100 dıas al ano, y queremos saber cual
sera el numero de dıas por ano en que se producira desvanecimiento debido a la lluvia.
En consecuencia
A = “Ocurrıo desvanecimiento”
B = “Llovio”
AB = “Ocurrio desvanecimiento causado por lluvia”
523
Conocemos P [A/B] = 0.5 y P [B] = 100/365 = 0.27. Por consiguiente
P [AB] = P [A/B]P [B] = 0.5× 0.27 = 0.135
por lo que el numero de dıas anuales en los que se experimenta desvanecimiento
ocasionado por lluvia es 0.135× 365 = 49 dıas.
C.3. Independencia Estadıstica
Dos eventos A ∈ F , B ∈ F con P [A] > 0, P [B] > 0 son independientes si ocurre
que
P [AB] = P [A ∩B] = P [A]P [B] (C.3.1)
Como consecuencia de lo anterior, y teniendo en cuenta (C.2.1) y (C.2.2):
P [A/B] = P [A] (C.3.2)
P [B/A] = P [B] (C.3.3)
Es decir, si A y B son independientes, el resultado del evento B no tiene efecto alguno
sobre la probabilidad del efecto A y viceversa.
Tres eventos A, B y C definidos en F cuyas probabilidades son distintas de cero
seran independientes si
P [ABC] = P [A]P [B]P [C] (C.3.4)
P [AB] = P [A]P [B] (C.3.5)
P [AC] = P [A]P [C] (C.3.6)
P [BC] = P [B]P [C] (C.3.7)
524
Esta es una extension de (C.3.1); observemos que no es suficiente tener P [ABC] =
P [A]P [B]P [C], sino que ademas debe existir independencia entre todos los posibles
pares de eventos.
Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, y queremos saber cual es la probabilidad de
que en ambos casos se obtenga un seis. Claramente el resultado del primer lanzamiento
no tiene ninguna influencia en el resultado del segundo, por lo que
P [‘Dos seis consecutivos’] = P [‘seis’]× P [‘seis’] =1
6× 1
6=
1
36
Ejemplo: Alberto y Berta tienen cada uno un mazo de 52 cartas y cada uno saca
una carta. Estamos interesados en saber la probabilidad de que ambos saquen el as
de espadas. Definimos los eventos
A = “Alberto saca el as de espadas”
B = “Berta saca el as de espadas”
Es facil ver que estos dos eventos son independientes y por lo tanto
P [AB] = P [A]P [B] =1
52
1
52= 0.00037
C.4. Variables Aleatorias
Muchos procesos aleatorios producen resultados que solo pueden ser descritos como
conjuntos de numeros reales, como por ejemplo el ruido termico en un conductor, el
tiempo de llegada del proximo cliente en un comercio, la duracion de la vida de una
persona, etc.
525
Consideremos un experimento H con un espacio muestral Ω. Denotemos como ζ
el conjunto de resultados del experimento H. Si a cada ζ le asignamos un numero real
X(ζ), estaremos estableciendo una correspondencia entre ζ y R, el conjunto de los
numeros reales. Esta asignacion, sujeta a ciertas limitaciones, es llamada una variable
aleatoria. De este modo, una variable aleatoria X(·) o simplemente X es en realidad
una funcion cuyo dominio es Ω y cuyo rango es un subconjunto de R. En lo sucesivo
denotaremos variables aleatorias en mayusculas, en tanto que los valores que estas
toman estaran escritos en minusculas.
Ejemplo: Definamos el experimento “medir la potencia de la senal recibida”; el
resultado de este experimento es una variable aleatoria X. Podemos entonces definir
eventos tales como
A = “el valor de X excede un valor x”
B = “el valor de X esta comprendido entre x1 y x2
Asimismo, podemos asignar probabilidades a estos eventos
P [A] = P [X > x]
P [B] = P [x1 ≤ X ≤ x2]
C.5. Funcion de Distribucion Acumulativa (CDF)
Consideramos ahora un evento E ⊂ Ω. El mapeo X asignara al mismo un con-
junto de puntos en la lınea real; en particular, el evento ζ : X(ζ) ≤ x, abreviado
526
como X ≤ x sera lo suficientemente importante como para asignarle una probabi-
lidad. La probabilidad P [X ≤ x] , FX(x) es denominada la funcion de distribucion
acumulativa (CDF, Cumulative Distribution Function) de X.
FX(x) = P [X ≤ x] = PX [(−∞, x]] (C.5.1)
Es decir, FX(x) es una medida de la probabilidad de que una medicion X corre-
spondiente a un experimento aleatorio sea menor o igual que un cierto valor x. La
CDF es particularmente util en radiopropagacion ya que permite calcular la proba-
bilidad de que el nivel de una senal (representada como una variable aleatoria X)
exceda un valor x:
P [X > x] = 1− FX(x) (C.5.2)
C.5.1. Propiedades de la CDF
1. FX(∞) = 1, FX(−∞) = 0
2. Si x1 ≤ x2 → FX(x1) ≤ FX(x2). En otras palabras, FX(x) es una funcion
creciente de x.
3. FX(x) es contınua por la derecha. Es decir
FX(x) = lımϵ→0
FX(x+ ϵ) ; ϵ > 0 (C.5.3)
4. P [x1 < X ≤ x2] = FX(x2)− FX(x1) ≥ 0 para x2 > x1.
Ejemplo: Un autobus llega a la parada en un intervalo de tiempo (0, T ). Denotemos
el momento de llegada por X. Entonces ocurrira que FX(t) = 0 para t ≤ 0 y FX(T ) =
527
1; es decir, el primer caso corresponde a la probabilidad del evento imposible (llegada
del autobus en t < 0) mientras que el segundo corresponde a la probabilidad del evento
cierto (t > T , el autobus ya llego). Supongamos ahora que el autobus llega a la parada
en cualquier momento comprendido en el intervalo (0, T ), y que la probabilidad de
que el autobus llegue en un momento cualquiera de ese intervalo es uniforme; es decir,
el valor de la probabilidad es la misma independientemente del momento de llegada.
La CDF estara entonces descrita por
FX(t) =
0 : t ≤ 0
tT
: 0 < t ≤ T
1 : t > T
(C.5.4)
Esta CDF es mostrada en la Fig. C.1
F (t)X
1
t0 T
Figura C.1: CDF para llegada del autobus.
Ejemplo: Supongamos que se observa la salida de un receptor digital, la cual
consiste de solamente un bit. Si el bit es uno, entonces X = 1; si el bit es cero,
entonces X = 0. Asumamos ahora que el estado cero tiene asociada una probabilidad
q y que el estado uno tiene una probabilidad 1 − q. El espacio muestral consiste
unicamente de Ω = cero, uno. Consideremos ahora el computo de la CDF:
528
x < 0: El evento X ≤ x = ∅ y FX(x) = 0.
0 ≤ x < 1: El evento X ≤ x es equivalente al evento cero y excluye al
evento uno dado que
X(uno) = 1 , pero 1 > x
X(cero) = 0 , y en este caso 0 ≤ x
Por lo tanto FX(x) = q.
x ≥ 1: El evento X ≤ x es el evento cierto ya que
X(uno) = 1 , y en este caso 1 ≤ x
X(cero) = 0 , y en este caso 0 ≤ x
La correspondiente CDF se muestra en la Fig. C.2
F (x)X
1
q
x0 1
Figura C.2: CDF correspondiente a la salida del receptor digital.
529
C.6. Funcion de Densidad de Probabilidad (pdf)
Si FX(x) es continua y diferenciable, la funcion de densidad de probabilidad (pdf,
probability density function) es definida como
f(x) =dF (x)
dx(C.6.1)
donde por comodidad hemos escrito F (x) por FX(x). Como se observa de la definicion,
la integracion de la pdf permite obtener la CDF asociada a una variable aleatoria X.
El examen de las propiedades de f(x) aclarara la naturaleza de la misma.
C.6.1. Propiedades de la pdf
Si f(x) existe entonces
1.∫∞−∞ f(ξ) dξ = F (∞)− F (−∞) = 1
2. F (x) =∫ x
−∞ f(ξ) dξ = P [X ≤ x]
3. F (x2)− F (x1) =∫ x2
−∞ f(ξ) dξ −∫ x1
−∞ f(ξ) dξ =∫ x2
x1f(ξ) dξ = P [x1 < X ≤ x2]
Pasamos a continuacion a examinar varias pdfs particulares de gran importancia
en la ingenierıa de telecomunicaciones.
C.6.2. La pdf Gaussiana o Normal
Cuando el valor de un parametro es el resultado del efecto acumulativo de muchos
procesos independientes, cada uno de ellos con la misma tendencia central, la pdf
resultante es la distribucion Gaussiana [Stark & Woods 1994]. Esta importante pdf
esta dada por
f(x) =1√2πσ2
exp
(−1
2
[x− µ
σ
]2)(C.6.2)
530
La pdf gaussiana contiene 2 parametros independientes: la desviacion standard σ y la
media µ. Cuando queremos decir que X obedece la distribucion gaussiana con media
µ y varianza σ2, empleamos la notacion X ∼ N (µ, σ2)1. La pdf gaussiana es mostrada
en la Fig. C.3 para varios valores de la desviacion standard y para µ = 0.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
f(x)
x
σ = 1σ = 2σ = 5
Figura C.3: pdf gaussiana.
La pdf gaussiana es muy frecuente en todas las ramas de la ciencia y la ingenierıa,
ası como en estudios sociales y demograficos. La pdf gaussiana con µ = 0 y σ = 1 es
conocida como la pdf estandar o normal. La pdf gaussiana tiene la particularidad de
que la media µ, la mediana x50 y la moda m tienen un mismo valor2.
La CDF asociada a la distribucion gaussiana esta dada por
F (x) =1√2πσ2
∫ x
−∞exp
(−1
2
[t− µ
σ
]2)dt (C.6.3)
1La varianza σ2 es el cuadrado de la desviacion estandar.2La mediana es aquel valor de x que divide a la pdf en dos partes con igual area; la moda es
aquel valor de x al cual corresponde el maximo en la pdf.
531
Esta integral no tiene una solucion cerrada, por lo que su calculo se lleva a cabo por
integracion numerica. La simetrıa de la distribucion gaussiana hace posible calcular
la correspondiente CDF empleando la funcion error :
erf(x) =1√2π
∫ x
0
exp
(−t
2
2
)dt (C.6.4)
la cual esta asociada a una distribucion normal N (0, 1). En terminos de la funcion
error se tiene entonces que para x > 0
F (x) = P [X ≤ x] =1
2+ erf(x)
donde el factor 1/2 corresponde a la contribucion de la mitad izquierda de la pdf
gaussiana a la CDF:
1√2π
∫ 0
−∞exp
(−t
2
2
)dt =
1
2
C.6.3. Conversion de la pdf Gaussiana a la pdf Estandar
Supongamos que tenemos X ∼ N (µ, σ2) y que necesitamos evaluar P [a < X ≤ b].
Tenemos entonces
P [a < X ≤ b] =1√2πσ2
∫ b
a
exp
(−1
2
[x− µ
σ
]2)dx (C.6.5)
Con β = (x− µ)/σ, dβ = (1/σ) dx, b′ = (b− µ)/σ, a′ = (a− µ)/σ obtenemos
P [a < X ≤ b] =1√2π
∫ b′
a′exp
(−1
2x2)
dx
=1√2π
∫ b′
0
exp
(−1
2x2)
dx− 1√2π
∫ a′
0
exp
(−1
2x2)
dx
= erf(b′)− erf(a′)
532
P [−x < X ≤ x] x68% 1σ80% 1.282σ95.5% 2σ99% 2.6σ99.9% 3.09σ
Cuadro C.1: P [−x < X ≤ x] en terminos de σ.
Por lo tanto:
P [a < X ≤ b] = erf
(b− µ
σ
)− erf
(a− µ
σ
)(C.6.6)
De esta expresion se deduce que para una distribucion N (0, σ2):
P [−x < X ≤ x] = 2 ∗ erf(x/σ) (C.6.7)
El Cuadro C.1 muestra las probabilidades de que P [−x < X ≤ x] para varios valores
de x expresados en terminos de la desviacion estandar.
Ejemplo: Se escoge una resistencia R de un lote con parametros µ = 1000 ohmios,
σ = 200 ohmios. ¿Cual es la probabilidad de el valor de R esta entre 900 y 1000
ohmios?
Asumiendo que R ∼ N (1000, 2002) y empleando (C.6.6) tenemos
P [900 < R ≤ 1000] = erf(0.5)− erf(−0.5)
Pero de (C.6.4) deducimos que erf(−x) = −erf(x). Por lo tanto
P [900 < R ≤ 1000] = 2 erf(0.5) = 0.38
533
C.6.4. La pdf Log-normal
En estudios de propagacion la distribucion gaussiana ocurre cuando existen pequenas
variaciones con respecto a un nivel promedio [Barclay 1997], como es el caso de las
escintilaciones. En muchos otros casos la descripcion estadıstica de la senal se ajusta
mejor a la pdf log-normal [Lee 1982]:
f(x) =
1√
2πσxexp
(− 1
2σ2 (log x− µ)2)
: x > 0
0 : x ≤ 0(C.6.8)
En esta pdf µ y σ son la media y la desviacion estandar de log x, respectivamente. En
la practica se acostumbra representar la distribucion log-normal en una escala semi-
logarıtmica en las que la pdf es graficada como una lınea recta con una pendiente que
depende de la desviacion estandar, como se muestra en la Fig. C.4.
−15 −10 −5 0 5 10 150.001
0.01
0.1
1
20log(x) [dB]
f(x)
σ = 2 dBσ = 8 dB
Figura C.4: pdf log-normal.
534
C.6.5. La pdf de Rayleigh
La combinacion de un numero de componentes vectoriales de varias senales con
fases arbitrarias y similares amplitudes esta descrita por la distribucion de Rayleigh.
Esta pdf esta definida por
f(x) =x
b2exp
(− x2
2b2
)u(x) (C.6.9)
Donde u(x) es la funcion escalon (u(x) = 0 para x < 0, u(x) = 1 para x ≥ 0).
La pdf Rayleigh es particularmente importante en el diseno de radioenlaces ya que
ella describe el comportamiento del desvanecimiento por trayectorias multiples. La
correspondiente CDF es
F (x) = 1− exp
(−x2
2b2
)(C.6.10)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x
f(x)
b = 0.866b = 1.732
Figura C.5: pdf de Rayleigh.
535
−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20log(x) [dB]
F(x
)
b = 0.866
Figura C.6: CDF de Rayleigh.
Para la pdf de Rayleigh la media es 0.866b, la mediana es 0.833b, la moda es 0.707b
y la desviacion estandar es 0.463b [Barclay 1997]. Las Figs. C.5 y C.6 muestran la
pdf y CDF de Rayleigh; en particular la Fig. C.6 muestra la CDF versus 20 log(x),
para un valor de b igual a la media de la distribucion. El Cuadro C.2 muestra algunos
valores de dicha CDF en funcion de 20 log(x): se observa que para valores pequenos de
la CDF la potencia de la senal (representada por 20 log(x)) disminuye 10 dB por cada
decada de probabilidad. En ocasiones la CDF es presentada en un grafico especial en
el cual esta aparece como una lınea recta.
C.6.6. Combinacion de las Distribuciones Log-Normal y Rayleigh
En muchos casos se observa una variacion compuesta de la senal recibida en la
que se dan fluctuaciones rapidas que obedecen la pdf de Rayleigh (producidas por
trayectorias multiples o por dispersion), sin embargo el promedio de dichas variaciones
536
F (x) 20 log(x)0.999 10 dB0.99 8.2 dB0.9 5.2 dB0.5 0 dB0.1 -8.2 dB0.01 -18.4 dB0.001 -28.4 dB0.0001 -38.4 dB
Cuadro C.2: F (x) de Rayleigh en terminos de 20 log(x).
en grandes intervalos de tiempo o distancia obedece una pdf log-normal. En este caso
la CDF que gobierna los valores instantaneos de la senal sera [Boithias 1984];
F (x) = 1− 1√2π
∫ ∞
−∞exp
(e−x2
e−0.23σu − u2
2
)du (C.6.11)
donde σ es la desviacion estandar (en decibelios) de la distribucion log-normal. La
Fig. C.7 muestra esta CDF para varios valores de σ.
C.6.7. La pdf de Rice
Esta pdf, tambien conocida como distribucion Nakagami-m, describe aquellas
situaciones en las que existe una senal aleatoria que varıa de acuerdo con la dis-
tribucion de Rayleigh superpuesta a otra senal estable (no aleatoria). Un ejemplo
de este caso es cuando se tienen simultaneamente una trayectoria directa y varias
trayectorias multiples atmosfericas. La pdf para la distribucion de Rice es:
f(x) =x
b2exp
(−x
2 + a2
2b2
)I0
(xab2
)(C.6.12)
donde a es el valor rms de la componente estable, b es el valor rms de la componente
Rayleigh, e I0 es la funcion de Bessel modificada de primera clase y orden cero.
537
−60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F(x
)
σ = 0 dBσ = 10 dbσ = 20 dB
Figura C.7: CDF log-normal/Rayleigh.
Frecuentemente se utiliza la razon entre las potencias de las componentes estable y
Rayleigh K = a2/b2 para describir la distribucion, tal como se observa en la Fig.
C.8. En la mayorıa de los casos la potencia de la componente variable se sumara a la
potencia de la componente fija [Barclay 1997].
538
−60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
x
f(x)
K = 0.025K = 0.125K = 0.25
Figura C.8: pdf de Rice.
Apendice D
Repetidores Pasivos
En el diseno de un enlace puede ser necesario ubicar un repetidor en una zona de
difıcil acceso o en la que es muy difıcil obtener suministro de electricidad. Una alter-
nativa en estas condiciones es la utilizacion de un repetidor pasivo, el cual en esencia
no es mas que una superficie con las dimensiones apropiadas para que la energıa de
microondas que incide sobre ella sea reflejada en la direccion deseada. Un repetidor
pasivo es una solucion conveniente cuando las distancias a cubrir son relativamente
cortas (menores a 50 km) y cuando la frecuencia de operacion es superior a 6 GHz
[Salema 2003]. Un repetidor pasivo tambien puede ser instalado para simplificar los
requerimientos del sistema; en otras palabras, un repetidor pasivo puede usarse para
re-dirigir el haz radioelectrico sin la necesidad de invertir en equipos activos o de
construir una vıa de acceso y llevar un tendido electrico, reduciendo los costos del
sistema y el impacto ambiental.
Para que un repetidor pasivo sea eficiente es necesario que sus dimensiones sean
grandes comparadas con la longitud de onda de la senal incidente. En estas condiciones
se cumplen las relaciones de la optica geometrica, por lo que los angulos de incidencia
y reflexion son iguales.
539
540
Las siguientes son las ventajas y desventajas ofrecidas por los repetidores pasivos
[Contreras 1986]:
Ventajas
No requieren energıa electrica.
Pueden instalarse en lugares de difıcil acceso.
No requieren mantenimiento.
Su estabilidad y duracion son grandes.
No necesitan equipos de reserva.
No son afectados por las condiciones climaticas.
No requieren frecuencias adicionales, por lo que su empleo no incide sobre la
congestion del espectro radioelectrico.
Pueden emplearse con cualquier tipo de modulacion.
No contribuyen al ruido.
Ofrecen discriminacion angular a las senales no deseadas, por lo que su empleo
puede reducir los niveles de interferencia.
Son bastante economicos.
Son ecologicamente amigables.
541
Desventajas
Presentan lobulos laterales.
Pueden ocasionar interferencia debido a que no son selectivos en frecuencia.
Limitan el re-uso de frecuencias.
Existen basicamente dos tipos de repetidores pasivos. El primer tipo consiste en
dos antenas conectadas por una seccion corta de lınea de transmision en lo que se
conoce como repetidor back-to-back. Este es un tipo de repetidor extremadamente
ineficiente que solo puede emplearse en vanos cortos. El segundo tipo es simplemente
un reflector: una superficie empleada para re-dirigir la senal de microondas.
D.1. Repetidor Plano
Un reflector plano consiste por lo general en una pantalla de aluminio plana que
permite re-dirigir la energıa de microondas. Este tipo de dispositivo no introduce
distorsion de la senal debido a que su respuesta es lineal; por otra parte el hecho
de tener una superficie grande, plana y altamente conductora implica una eficiencia
muy elevada, cercana al 100% (la eficiencia de las antenas normalmente usadas en
un radioenlace es del orden del 55%).
Un criterio que aplica en la clasificacion de un reflector pasivo es la distancia R
entre la antena radiante y la superficie reflectora, dependiendo de la region en la que
se encuentre el reflector:
Zona de Rayleigh: R < D2
2λ
Zona de Fresnel: D2
2λ< R < 2D2
λ
542
Zona de Fraunhofer (campo lejano): R > 2D2
λ
D es el diametro de la apertura de la antena y λ la longitud de onda de la radiacion.
En las dos primeras zonas se considera que el reflector se halla en la zona de campo
cercano de la antena recibiendo una iluminacion no uniforme, por lo que puede consi-
derarse parte de la estructura de la antena. En la tercera zona el reflector se halla en la
region de campo lejano de la antena, por lo que este recibe una iluminacion uniforme.
En cualquier caso, el efecto de la insercion del reflector en el enlace es cuantificado a
traves de la ganancia del reflector.
La ganancia de un reflector aumenta con su tamano: a medida que este crece el
area disponible para reflejar energıa electromagnetica tambien aumenta. La ganancia
total en el enlace es la suma de las ganancias de las antenas transmisora y receptora
y la ganancia del repetidor. La perdida neta L entre la antena Tx y la antena Rx
puede calcularse como
L = LEL1 + LEL2 −G (D.1.1)
donde LEL1 es la perdida en el espacio libre entre la antena Tx y el repetidor, LEL2
es la perdida en el espacio libre entre el repetidor y la antena Rx, y G es la ganancia
del reflector plano, la cual puede calcularse como [Manning 1999]
G = 42.8 + 40 log(f(GHz)) + 20 log(A(m2)) + 20 log
(cos
(θ
2
))(D.1.2)
En esta formula A es el area del reflector y θ el angulo existente entre los trayectos,
tal como se muestra en la Fig. D.1, y solo es valida si el reflector se halla en el campo
lejano de las antenas. Si el reflector se halla en el campo cercano de una de las antenas,
las ganancias de la antena y el reflector no pueden considerarse independientes. En
ese caso el arreglo antena-reflector puede considerarse como una antena periscopica,
543
por lo que la ganancia de la antena debe ser modificada empleando un factor de
correccion [Lenkurt 1970].
Tx
Rx
Reflector
O L EL1 L EL2
Figura D.1: Un reflector plano.
Es altamente recomendable que la alineacion del reflector sea realizada empleando
tecnicas de posicionamiento satelital. La geometrıa del arreglo es crıtica, y por lo
tanto es imperativo que las coordenadas exactas sean utilizadas en los calculos. Esto
obedece a que no solamente es necesario orientar el reflector en el plano horizontal sino
tambien en el plano vertical; por lo tanto, la orientacion correcta del reflector es un
problema tridimensional. Es sumamente difıcil orientar el reflector por ensayo y error
dado el tamano de la estructura, por lo que es muy importante alinear correctamente
la estructura desde el momento de su instalacion.
Aunque los reflectores planos pueden ser extremadamente utiles, es necesario recor-
dar que tienen sus limitaciones. La efectividad de un reflector plano es funcion del
inverso del producto de las longitudes de los dos trayectos; por lo tanto es deseable
que uno de los trayectos sea muy corto. Con reflectores de dimensiones muy grandes
y a frecuencias superiores a los 11 GHz la radiacion emitida por el reflector esta con-
centrada en un haz muy estrecho, por lo que la rigidez del reflector es un factor a ser
tomado en cuenta.
544
No existe evidencia de que un reflector pasivo incremente la probabilidad de ocur-
rencia del desvanecimiento multitrayecto; de hecho, un trayecto dividido en dos seg-
mentos por un reflector puede experimentar menos desvanecimiento multitrayecto
que un trayecto directo con la misma longitud total [Lenkurt 1970]. Sin embargo,
existe la posibilidad de que la senal sea tambien reflejada por colinas o arboles en la
vecindad del reflector, creando una segunda trayectoria con la consiguiente interfer-
encia intersimbolica en el receptor. Por lo tanto, la probabilidad de que se produzcan
tales reflexiones debe ser evaluada: una colina suave y con un area lo suficientemente
grande puede dar lugar a este tipo de problemas.
Tıpicamente, la eficiencia del reflector es maxima cuando el angulo θ es pequeno.
Si este angulo es mayor que 130 puede ser necesario emplear un reflector doble como
el mostrado en la Fig. D.2. En esta configuracion los angulos θ deben ser lo mas
pequenos posibles para mantener la ganancia total del arreglo; por otra parte, la
separacion mınima entre los reflectores debe ser 15λ.
Tx
Rx
Reflector 1
Reflector 2 1 5
O
O
Figura D.2: Un reflector doble.
545
D.2. Repetidor ‘Back-to-Back’
Un repetidor back-to-back es una solucion a considerar en trayectos cortos donde
hay una obstruccion que bloquea la lınea de vista. Dos antenas conectadas por una
seccion corta de lınea de transmision son colocadas en un punto desde el que existe
lınea de vista tanto a la estacion transmisora como a la receptora, tal como se muestra
en la Fig. D.3.
Tx
Rx
Figura D.3: Repetidor ‘back-to-back’.
La limitacion fundamental de este tipo de repetidor es la perdida de insercion:
el repetidor introduce una perdida considerable. Si el repetidor (Rp) esta en la zona
de campo lejano de las antenas Tx y Rx, la perdida total en el espacio libre es la
suma de las perdidas en los trayectos Tx-Rp y Rp-Rx; por lo tanto esto resulta en
una perdida neta en el espacio libre bastante alta que debe ser compensada por la
ganancia de las antenas del repetidor. Esto hace que la utilizacion de este tipo de
repetidor se limite a trayectos muy cortos. Los repetidores back-to-back son menos
efectivos que los reflectores planos ya que estan limitados por el tamano fısico de las
antenas comercialmente disponibles, las cuales de por sı poseen eficiencias tıpicas del
55%. Por otra parte, el acople entre cada una de las antenas y la lınea de transmision
546
que las une debe ser optimo para garantizar la maxima transferencia de potencia
entre ellas. Dado que las longitudes de los trayectos en los que se emplea este tipo de
repetidor son muy cortas, la principal consideracion de diseno es obtener un nivel de
senal utilizable con un margen de desvanecimiento mınimo para asegurar que el BER
residual no es excedido.
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