Lic. Oscar Noé López Cordón

Guatemala, octubre 2010

UNIDAD No. 4

EL MUESTREO ESTADÍSTICO

CONTENIDO

 

• DEFINICIONES• OBJETIVOS DEL MUESTREO• VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO• USOS DEL MUESTREO• METODOS DE SELECCIÓN DE MUESTRAS• SIMBOLOGIA BASICA• TIPOS DE MUESTREO

• ERROR ESTANDAR DE LA MEDIA• ESTIMACION DE PARAMETROS• TAMAÑO DE LA MUESTRA• ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO DEL MUESTREO• MUESTREO ALEATORIO• MUESTREO SISTEMATICO• MUESTREO ESTRATIFICADO

DEFINICIONES

 

1). EL MUESTREO ESTADISTICO: Es el método que permite conocer algunas características de la

población por medio de una parte de dicha población llamada muestra.

 2). MUESTRA:Es una parte de la población; existen 2 tipos: De Juicio o

Criterio y Probabilística, Aleatoria o Al azar. 3). POBLACION:Es el conjunto total de elementos a investigar.

DEFINICIONES

4). ESTADISTICA INDUCTIVA O INFERENCIALEs aquella a través de la cual es posible obtener conclusiones importantes de una población con el análisis de una muestra seleccionada de la misma.

 5.) ESTADISTICO O ESTADIGRAFOEs una medida estadística de una muestra. Medida utilizada para describir algunas característica de una muestra, Eje. El promedio, la moda, desviación estándar, etc. 6). PARAMETROS:•Medida estadística de una población. Es una medida utilizada para describir algunas características de una población, Eje. El promedio, la moda, desviación estándar.

OBJETIVOS DEL MUESTREO

a) Caracterizar una muestra

b) Estimar parámetros poblaciones por medio de una muestra. A esto se le conoce como Inferencia Estadística.

c) Probar Hipótesis. Permite aceptar o rechazar una hipótesis de conformidad con el grado de significación definida previamente.

También se dice que, es seleccionar una muestra para obtener estimadores que al menor costo permitan estimar con suficiente confianza las características de una población.

 

VENTAJAS:Debido a que se investiga solo una parte de la población tiene

algunas ventajas: - Es más económico de realizar- Da mayor exactitud (resultados mas confiables) - Proporciona mejor información oportunamente.- Permite mejor supervisión DESVENTAJAS:- No puede aplicarse en poblaciones pequeñas.- Requiere de personal calificado.- La repercusión de los errores es mayor en la muestra.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO

1.   Cuando es imposible contar todos los elementos de la población Eje. Las estrellas del universo, la arena de las playas, los peces de un lago, los glóbulos rojos en la corriente sanguínea, etc. 2.   Cuando en la prueba se destruye el objeto, Eje. La duración en horas de un tubo fluorescente, la duración y resistencia de los neumáticos. 3.   Cuando el tiempo y el costo son insuficientes, Eje: Cuando se quiere tomar una decisión rápida y se dispone de muy poco tiempo para estimar el porcentaje de votos que tendría su favor determinado candidato. 4.   En Auditoria. Ejes. Seleccionar un grupo de facturas en un determinado día para verificar el IVA, tomar una muestra para verificar existencia físicas de un inventario.

USOS DEL MUESTREO

METODOS DE SELECCION DE MUESTRAS

 A.) POR EL NUMERO DE MUESTRAS A SELECCIONAR EL MUESTREO PUEDE SER:

-         SIMPLE-         DOBLE-         MÚLTIPLE B.) POR LA MANERA DE ELEGIR LOS ELEMENTOS DE LA

MUESTRA.-         Muestreo a Juicio o No Probabilístico (Muestreo

Subjetivo)-         Cuando los elementos de la muestra son

seleccionados según la opinión o juicio de un experto en la materia.

(Muestra) (Población)MEDIDA ESTADÍSTICO PARAMETRO

__Media X μVarianza S² б²Desviación Estándar S бNúmero de elementos n N

SIMBOLOGIA BASICA:

TIPOS DE MUESTREO 

1) MUESTREO PROBABILISTICO, ALEATORIO O AL AZAR:Es cuando los elementos de la población tienen una

oportunidad conocida de ser seleccionado en la muestra. No interviene el crédito personal. Este puede ser:

• Muestreo Aleatorio Simple• Muestreo Sistemático• Muestreo Estratificado• Muestreo de Conglomerados MUESTREO ALETORIO SIMPLEEl muestreo probabilístico aleatorio o al azar consiste en que

los elementos de la muestra son seleccionadas aleatoriamente de tal manera que cada elemento tiene igual oportunidad de ser seleccionado, por lo tanto se conoce la probabilidad de selección.

MUESTREO SISTEMATICOConsiste en que los elementos de la muestra se obtienen de una manera ordenada a partir del punto de partida el cual lo proporciona la tabla de números aleatorios.  MUESTREO ESTRATIFICADO:En este método se divide el número de elementos de la población en estratos o grupos de elementos homogéneos (saldos, precios. etc) y para obtener los elementos de la muestra, se procede de la misma manera que en Muestreo Aleatorio Simple. o Muestreo Sistemático. 

MUESTREO DE CONGLOMERADOS:Para este método se divide el número de elementos

de la población en grupos homogéneos y para obtener los elementos de la muestra se procede en la misma forma que el anterior.

2) MUESTREO DE CRITERIO O NO PROBABILISTICO:Es cuando la selección de los elementos se hace a

criterios personales.

ERROR ESTANDARD DE LA MEDIA

Medida estadística que mide la dispersión de todas las medias muestrales de tamaño “n” alrededor de la media poblacional. Se representa por:

бx = Cuando es estimado con los datos de la poblaciónSx = Cuando es estimado con los datos de la muestra. En otras palabras, el Error Estándar de la Media es la

desviación estándar de la distribución muestral de la media.

FORMULAS:CUANDO SE CONOCE LA DESVIACION ESTANDAR DE LA

POBLACION (б): 

б x = б . N – n Se conoce б y n . 100 5%

n N – 1 N

Para población finita

 SE DESCONOCE LA DESVIACION ESTANDAR DE LA POBLACION (б) Y SE CONOCE LA DESVIACION ESTANDAR DE LA MUESTRA (S): Sx = S N – n n N - 1  Para Población Infinita. Se conoce S y n . 100 5% N

Después de seleccionada una muestra es necesario estimar los parámetros poblaciones, y estos pueden ser, la media, el total de la variable, la varianza, etc.,

 a) Estimación puntual X = μ

b) Estimación por Intervalos de Confianza

La media se estima dentro de un intervalo de acuerdo a una probabilidad de confianza que se acerca que puede ser 95 % y 99% por lo general.

Se utiliza la fórmula siguiente:

μ = X + - Z (Sx) ***

*** б x si se conoce la desviación estándar de la población. 

ESTIMACION DE PARAMETROS

TAMAÑO DE LA MUESTRA

El tamaño de la muestra o sea el número de elementos a seleccionar no debe ser a criterio del investigador puesto que existen varias fórmulas para calcular el tamaño óptimo de una muestra, una de ellas es la siguiente:

2 2 n = z . б . N_____ 2 2 2 z .б + N (Ea)

Donde:

Z = Número de desviaciones estándar, de acuerdo a la probabilidad o nivel de confianza (95% y 99% los mas usados)

б = Desviación estándar de la poblaciónN = Total de elementos de la poblaciónEa = Error absoluto de muestreo.

FORMULAS:

ERROR ABSOLUTO = E (a) = +,- Z. Sx

ERROR RELATIVO = E(r) = Z. Sx x

ERROR ABSOLUTO Y RELATIVODEL MUESTREO

EJEMPLOEJEMPLO

El contador de un supermercado El contador de un supermercado decidió tomar una muestra decidió tomar una muestra aleatoria , de un grupo de aleatoria , de un grupo de facturas numeradas de la 001 a facturas numeradas de la 001 a la 200. Se pide:la 200. Se pide:

a) Determinar el tamaño optimo de la muestra, a) Determinar el tamaño optimo de la muestra, con un nivel de confianza del 99% y un error con un nivel de confianza del 99% y un error de muestreo de Q. 9.00 miles; si se sabe que de muestreo de Q. 9.00 miles; si se sabe que la desviación estándar de la población es 8la desviación estándar de la población es 8

FORMULA PARA DETERMINAR EL TAMAÑO DE FORMULA PARA DETERMINAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRALA MUESTRA

2 2

n = z . б . N_____ 2 2 2 z .б + N (Ea)

б = 8 Desviación estándar de la = 8 Desviación estándar de la poblaciónpoblación

N = 200 Total de elementos de la N = 200 Total de elementos de la poblaciónpoblación

Ea = 9Ea = 9 Error absoluto del muestreo Error absoluto del muestreo

Z = 2.57 # de desviaciones estándar Z = 2.57 # de desviaciones estándar dede acuerdo a la probabilidad acuerdo a la probabilidad o nivel deo nivel de confianza (99%) confianza (99%)

Facturas a examinar de la 001 a la 200

Z = 0.99 = 0.495 Se busca dentro de la tabla II (áreas bajo la 2 curva normal de probabilidad)

Valor encontrado 0.4949 en fila 2.5 col. 7

Z = 2.57

Sustitución de valores en la Sustitución de valores en la fórmulafórmula

n = Z ² n = Z ² б ² N ² N

Z ² Z ² б ² + N (Ea) ² ² + N (Ea) ²

n = (2.57) ² (8) ² (200)n = (2.57) ² (8) ² (200)

(2.57) ² (8) ² + (200) (9) ²(2.57) ² (8) ² + (200) (9) ²

n = 84542.72n = 84542.72 = 84542.72 = = 84542.72 = 55 422.7136 + 16200 16622.71422.7136 + 16200 16622.71

TAMAÑO DE LA

MUESTRA

B) Seleccionar las facturas utilizando la B) Seleccionar las facturas utilizando la tabla de números aleatorios, tabla de números aleatorios, iniciando en la hoja 1, fila 6, columna iniciando en la hoja 1, fila 6, columna 10 con los siguientes 10 con los siguientes convencionalismos:convencionalismos:

- columna hacia abajo- columna hacia abajo

- Al finalizar siga en la columna de - Al finalizar siga en la columna de la la derecha hasta completar la derecha hasta completar la muestra.muestra.

- Tome los últimos dígitos - Tome los últimos dígitos Ej. Si la Población es 1000 tomo los últimos 4 dígitos

Si la población es 200 se toman los últimos 3 dígitos

***Los dígitos a tomar dependen del No de dígitos de la población

Las 5 MUESTRAS Las 5 MUESTRAS SELECCIONADAS son las SELECCIONADAS son las

siguientessiguientes No. 053No. 053 No. 045No. 045 No. 030No. 030 No. 104No. 104 No. 178No. 178

PROBLEMA No. 4 (Examen Final 2007)PROBLEMA No. 4 (Examen Final 2007) El gerente financiero le ordena que le El gerente financiero le ordena que le

seleccione una muestra aleatoria de 5 seleccione una muestra aleatoria de 5 facturas las cuales están numeradas de 001 facturas las cuales están numeradas de 001 a 201. Elegir las facturas con base en la a 201. Elegir las facturas con base en la tabla de números aleatorios, iniciando en la tabla de números aleatorios, iniciando en la primera hoja, fila 5 y columna 9, primera hoja, fila 5 y columna 9, verticalmente, últimos dígitos, al terminar verticalmente, últimos dígitos, al terminar una columna (completa) puede seguir en la una columna (completa) puede seguir en la siguiente si es necesario.siguiente si es necesario.

MUESTRAS SELECCIONADAS:MUESTRAS SELECCIONADAS: 1.) 0131.) 013 2.) 0142.) 014 3.) 1583.) 158 4.) 1064.) 106 5.) 1805.) 180

EJEMPLO: Lo han contratado para que haga auditoria a los saldos de 7

clientes de la empresa “Si no cobro, no me pagan” , para lo cual le presentan el detalle por cliente y sus saldos en miles de quetzales:

10 25 23 28 02 14 80 122 1518

11 24 18 16 08 19 14 43 22 11

12 18 13 88 95 64

APLICACIÓN PRACTICA DEMUESTREO ALEATORIO

Con la información anterior deberá realizar:a)      Seleccionar los clientes utilizando la tabla de

números aleatorios, iniciando en fila cincuenta y dos, en la columna dos, con el criterio siguiente: Columna hacia la derecha, al terminar una fila puede pasar con la siguiente, hacia abajo, últimos dígitos.

b)      La desviación estándar de la muestra c)      Estimar por intervalo el saldo promedio de

clientes, con una probabilidad del 99%d)      Estimar puntualmente el saldo promedio

poblacional de los clientes

PASO No. 1: SE ORDENAN ASCENDENTEMENTE Y PASO No. 1: SE ORDENAN ASCENDENTEMENTE Y NUMERAN CORRELATIVAMENTE LOS DATOS DE LOS NUMERAN CORRELATIVAMENTE LOS DATOS DE LOS

CLIENTESCLIENTES

Cliente No.Cliente No. SaldoSaldo

0101 22

0202 88

0303 1010

0404 1111

0505 1111

0606 1212

0707 1313

0808 1414

0909 1414

1010 1515

1111 1616

1212 1818

1313 1818

Cliente No.Cliente No. SaldoSaldo

1414 1818

1515 1919

1616 2222

1717 2323

1818 2424

1919 2525

2020 2828

2121 4343

2222 6464

2323 8080

2424 8888

2525 9595

2626 122122

PASO No. 2: SELECCIONAR LAS MUESTRAS MEDIANTE LA TABLA DE PASO No. 2: SELECCIONAR LAS MUESTRAS MEDIANTE LA TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS DE ACUERDO AL CRITERIO INDICADONÚMEROS ALEATORIOS DE ACUERDO AL CRITERIO INDICADO

NOTA: Si no permitimos que aparezca el # seleccionado varias veces el muestreo sin reposición y la población se vuelve finita.

Por el contrario si permitimos que el número seleccionado aparezca varias veces el muestreo será con reposición y la población se vuelve infinita.

Cliente No.Cliente No. Saldo Q.Saldo Q.

2020 2828

2222 6464

1515 1919

0101 22

1616 2222

2424 8888

1313 1818

TotalTotal 241241

Respuestas aInciso a)

PASO No. 3: CALCULAR LA MEDIA DE LA MUESTRA (por EstimaciónPASO No. 3: CALCULAR LA MEDIA DE LA MUESTRA (por EstimaciónPuntual, esta es igual a la Media de la Población)Puntual, esta es igual a la Media de la Población)

PASO No. 4: CALCULAR LA DESVIACION ESTANDAR DE LA MUESTRAPASO No. 4: CALCULAR LA DESVIACION ESTANDAR DE LA MUESTRA

ClientesClientes SaldosSaldos (x – X)(x – X) (x – X)2(x – X)2

2020 2828 -6-6 3636

2222 6464 3030 900900

1515 1919 -15-15 225225

11 22 -32-32 1,0241,024

1616 2222 -12-12 144144

2424 8888 5454 2,9162,916

1313 1818 -16-16 256256

241241 00 5,5015,501

XX == 241241

77__X = 34

PASO No. 5: ESTIMAR EL SALDO PROMEDIO DE LOS CLIENTESPASO No. 5: ESTIMAR EL SALDO PROMEDIO DE LOS CLIENTES

(LA MEDIA POBLACIONAL) CON INTERVALO DE CONFIANZA DEL 99% (LA MEDIA POBLACIONAL) CON INTERVALO DE CONFIANZA DEL 99%

S = 5,501 = 785.86 = S = 28.03 7

Desviación Estándarde la Muestra Respuesta a inciso b)

μ = X +,- Z (Gx) GX = S N - n n N - 1

GX = 28.03 26 - 7 = 9.23 7 26 - 1

Límite Inferior = μ = 34 – 2.57 (9.23) = 10.28Límite Superior = μ = 34 + 2.57 (9.23) = 57.72

RespuestasInciso c)

PASO No. 6: ESTIMACION DE LA MEDIA POBLACIONAL PORPASO No. 6: ESTIMACION DE LA MEDIA POBLACIONAL POR

ESTIMACION PUNTUALESTIMACION PUNTUAL

Media de la Muestra = X = 34 entonces

Media de la Población = μ = 34

Respuesta a inciso d)

MUESTREO SISTEMATICO

Una vez obtenido el tamaño de la muestra, se determina un intervalo de selección.

i = N n

Se elige al azar un número i, y se incluye en la muestra cuyo origen corresponde al número elegido. Luego se incluye cada i – esimo elemento a partir del primero seleccionado hasta completar la muestra. Para la estimación de la media puntual y por intervalo, se procede en igual forma que en el muestreo simple.

En este tipo de muestreo la población se subdivide en grupos parecidos entre si llamados estratos y se determina el tamaño de la muestra y esta se reparte o divide entre cada estrato.

Para obtener una muestra estratificada se divide la población en estratos homogéneos y los elementos de la muestra son seleccionados al azar o por método sistemático en cada estrato.

Las estimaciones de la población basadas en la muestra estratificada usualmente tiene mayor precisión (o menor error muestral) que si la población entera fuera muestreada mediante muestreo aleatorio simple. El número de elementos seleccionados de cada estrato puede ser proporcional o desproporcional al tamaño del estrato en relación con la población.

MUESTREO ESTRATIFICADO

La distribución de la muestra se conoce como afijación de la muestra (distribuir la muestra)

_Estimación puntual = X = μ _ X = W1 X1 + W2 X2 + ..... Wn Xn

DONDEW1, W2, WN = ponderación para cada estratoW = n/N fracción de muestreo (fm)X1, X2, Xn = promedio para cada estrato.

ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA _

μ = X + . Z (Sx) Donde:X = Promedio de la muestraZ = Valor estandarizado (No. de desv. Estándar de acuerdo al nivel de confianza)Sx = Error estándar de la media.

ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA:

2 2 2 2 2 2Sx = W1 S1 + W2 S2 + Wn Sn n1 n2 nn

Dónde:S = Desviación EstándarW = Ponderación para cada estrato Desviación estándar de la muestra:

2S = ∑ (x-X) N

 

EJEMPLO

En 2000 establecimientos comerciales se toma una muestra de 500 establecimientos formando 3 estratos. Para cada uno se calcula la utilidad promedio mensual en quetzales y la desviación estándar, la información es la siguiente:

Estrato Cantidad promedio desviación Establec. estándarI 800 100 20 II 700 800 50III 500 1300 100 2000

Se pide :a) Distribuir la muestra con afijación proporcionalb) Estimar Puntualmente la utilidad promedio mensual c) Estimar por intervalo de confianza la media con un 75% de confianza.d) Estimar la utilidad promedio de toda la población (estimación total)

SOLUCION:Encontrar la fracción de muestreo:Fm o W = W1 = 800/2000 = 0.40 W2 = 700/2000 = 0.35 W3 = 500/2000 = 0.25 a) Distribución proporcional de la muestra:Estrato I 500 x 0.40 = 200Estrato II 500 x 0.35 = 175Estrato III 500 x 0.25 = 125

b) Estimar puntualmente la utilidad promedio mensual

X = W1 X1 + W2 X2 + …. Wn Xn_X = 0.40 (100) + 0.35 (800) + 0.25 (1300)_ _X = 40 + 280 + 325 X = 645 Con base a la muestra se estima que la utilidad promedio

es de Q . 645.00

c) Estimación por intervalo de confianza (75%) _ μ = X + - Z (Sx)Donde:_X = 645.00Z = 1.15 (0.75/2 = 0.375 luego en tabla II)Sx = ? No lo conocemos por lo que hay que calcularlo:

  2 2 2 2 2 2 Sx = ( 0.40) (20) + (0.35) (50) + (0.25) (100) 200 175 125

Sx 2.66 Aprox. Estimar por intervalo la media μ = 645 + - 1.15 ( 2.66)

Límite Inferior μ = 645 - 3.059 = 641.94 Límite Superior μ = 645 + 3.059 = 648.06 R/ Con una probabilidad del 75% de acertar se estima que el promedio de utilidad de los 2000

establecimientos comerciales oscila entre Q 642.00 y Q. 648.00

d)Estimación de la utilidad total: X = X * N X = 645 x 2000 = 1,290,000.00

MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIAS