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Licence ST – Licence ST – BiologieBiologie
Mathématiques Mathématiques pour les Sciences pour les Sciences
de la Viede la Vie
Sandrine CHARLES - Dominique Sandrine CHARLES - Dominique MOUCHIROUDMOUCHIROUD
Bât. G. Mendel - 1Bât. G. Mendel - 1erer étage étage
Pourquoi des Pourquoi des Mathématiques en Mathématiques en Sciences de la Vie ?Sciences de la Vie ?
Analyser et comprendre des phénomènes Analyser et comprendre des phénomènes biologiques simplesbiologiques simples
S’interrogerS’interroger (comprendre le problème - se (comprendre le problème - se poser des questions)poser des questions)
FormaliserFormaliser (mettre en équation - mathématiser)(mettre en équation - mathématiser) AnalyserAnalyser (étudier des fonctions, faire des (étudier des fonctions, faire des
simulations)simulations) DécrireDécrire (utiliser des probabilités - (utiliser des probabilités -
statistiques)statistiques) InterpréterInterpréter (revenir au problème biologique initial)(revenir au problème biologique initial)
Acquisition théorique puis pratique d’outils Acquisition théorique puis pratique d’outils méthodologiquesméthodologiques
Objectifs pédagogiquesObjectifs pédagogiques
1.1. Acquérir des connaissancesAcquérir des connaissances
Revoir ou découvrir des outils Revoir ou découvrir des outils mathématiques de basemathématiques de base
2.2. Acquérir des compétencesAcquérir des compétences
Choisir les outils adaptés à la question Choisir les outils adaptés à la question biologique, interpréter les résultatsbiologique, interpréter les résultats
3.3. Apprendre avec des outils multi-media Apprendre avec des outils multi-media interactifsinteractifs
- AutonomieAutonomie
- Auto-évaluationAuto-évaluation
- Dialogue enseignants / étudiantsDialogue enseignants / étudiants
13-Sep 20-Sep 27-Sep 4-Oct 11-Oct 18-Oct 25-Oct 1-Nov 8-Nov 15-Nov 22-Nov 29-Nov 6-Dec 13-Dec
CM 2 CM 2 CM CM CM 2 CM CM CM CM CM CM CM CM CM
TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD
TD TT TT TT TD TD TD TT TT TT TT TT
E E
CCCC
Organisation du semestreOrganisation du semestreSection 33Section 33
ET janvier 2005
CCCC
Cours magistrauxCM
Travaux DirigésTD
Travaux TutorésTT
ANALYSE PROBABILITES - STATISTIQUES
CC
Plan du cours (CM)Plan du cours (CM)
17/0917/09 Étude de fonctionsÉtude de fonctions 20/0920/09 Fonctions usuellesFonctions usuelles 24/0924/09 IntégrationIntégration 27/0927/09 Équations différentielles – 1Équations différentielles – 1 01/1001/10 Équations différentielles – 2Équations différentielles – 2 04/1004/10 Questions - RéponsesQuestions - Réponses
http://mathsv.univ-lyon1.fr/
Variabilité / Variabilité / DéterminismeDéterminisme
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
Temps (h)
No
mb
re d
e M
icro
-org
anis
mes
Expérience 1
Expérience 2
Expérience 3
Peut-on prédire l’évolution au court du Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un phénomène biologique ?temps d’un phénomène biologique ?
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12 14
Temps (h)
No
mb
re d
e M
icro
-org
anis
mes
Expérience 1
Expérience 2
Expérience 3
Modèle
Variabilité / Variabilité / DéterminismeDéterminisme
Peut-on prédire l’évolution au court du Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un phénomène biologique ?temps d’un phénomène biologique ?
Étude de fonctionÉtude de fonction
Modéliser le phénomène par une fonction
Déterminer les propriétés de la fonction
Interpréter en termes biologiques
Modèle
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
Temps (h)
No
mb
re d
e M
icro
-org
anis
mes
Sur MathSVSur MathSVhttp://mathsv.univ-lyon1.fr/http://mathsv.univ-lyon1.fr/
Trois chapitres :Trois chapitres : Fonctions – GénéralitésFonctions – Généralités Limites – ContinuitéLimites – Continuité Dérivation – Étude de Dérivation – Étude de
fonctionsfonctions
Définition d’une fonctionDéfinition d’une fonction
Application d’une partie de Application d’une partie de IRIR dans dans IRIR qui qui à un point à un point xx de de IRIR fait correspondre un fait correspondre un point UNIQUE point UNIQUE y y = = ff((xx)) dans dans IR.IR.
xx : le temps ( : le temps (tt), la température (), la température (TT), le pH, …), le pH, …
ff : un nombre d’organismes (: un nombre d’organismes (NN), un poids (), un poids (pp), ), une concentration (une concentration (CC), une intensité (), une intensité (II), …), …
max
max 01 1 k t
NN t
N N e
A.A. Domaine de définition Domaine de définition
Définitions :Définitions :
DDff = = Domaine de définitionDomaine de définition Ensemble de départ (ensemble des Ensemble de départ (ensemble des antécédentsantécédents) = l’ensemble des ) = l’ensemble des xx
f f ((DDff ) = Ensemble d’arrivée (ou ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des ensemble des imagesimages) = l’ensemble ) = l’ensemble des des yy
f
Soit :f D
1f x
x
0 ; D
f D
Plan d’étude d’une Plan d’étude d’une fonctionfonction
A.A. DDff
B.B. SymétrieSymétrie
C.C. Points Points
particuliersparticuliers
D.D. Limites - Limites -
ContinuitéContinuité
E.E. Variations :Variations :
F.F. Concavité :Concavité :
G.G. AsymptotesAsymptotes
H.H. GrapheGraphe
f x
f x
2f x x
B.B. Symétrie : paire ou Symétrie : paire ou impaire ?impaire ?
Définitions :
On dit que f est paire sif(-x)=f(x)
symétrie / axe y
exemple f(x)=x 2
On dit que f est impaire si
f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0)
exemple f(x)=x 3
x-x
3f x x
C.C. Points particuliers Points particuliers
x x = 0 alors = 0 alors f f ((xx) = ?) = ?
f f ((xx) = 0 alors ) = 0 alors xx = ? = ?
D.D. LimitesLimites - - ContinuitéContinuité
Si les valeurs successivement attribuées Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, d'une valeur fixe,
de manière à finir par en différer aussi de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, peu que l'on voudra,
alors cette dernière est appelée la alors cette dernière est appelée la limitelimite de toutes les autres.de toutes les autres.
Cauchy, 1821Cauchy, 1821
lim 0x
f x
0
limx
f x
lim 0x
f x
2
1f x
x
Opérations sur les Opérations sur les limiteslimites
Formes indéterminées
00
0
D.D. LimitesLimites - - ContinuitéContinuité
Une fonction est Une fonction est continuecontinue en un point en un point xx00
si la limite en ce point existe : si la limite en ce point existe :
Continue en (0,0) Pas continue en (0,0)
)()(lim00
xfxfxx
Théorème des valeurs Théorème des valeurs intermédiairesintermédiaires
Soit f continue sur [a;b]
0 , / 0f a f b c a b f c
E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée
La dérivée de f en x0 est la variation de f (x) lorsque x s’approche de x0
0
00
0
( ) ( )limx x
f x f xf x
x x
Notation : 0 0
dff x x
dx
f(x) = |x |
Continue en 0
Non dérivable en 0
0
2 20
0 0 00
2
x x
x xx x x f x
x x
f(x) = x2
Dérivable en tout point
E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée
E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée
0 0 0T : y f x f x x x
L’équation de la tangente
E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée
Propriétés :Propriétés :
ff est constante sur est constante sur [a,b][a,b] si la dérivée est nulle sur si la dérivée est nulle sur [a,b][a,b]
ff est croissante sur est croissante sur [a,b][a,b] si la dérivée est positive sur si la dérivée est positive sur [a,b][a,b]
ff est décroissante sur est décroissante sur [a,b][a,b] si la dérivée est négative sur si la dérivée est négative sur [a,b][a,b]
ff admet un extremum en admet un extremum en xx si la dérivée s’annule en si la dérivée s’annule en xx
sinf x x x
F.F. Convexité : Convexité : f f ””((xx))
Définitions :Définitions :
1. 1. f f est est convexeconvexe sur un intervalle si sa dérivée sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de seconde est positive (le graphe de ff est est courbé vers le haut)courbé vers le haut)
F.F. Concavité : Concavité : f f ””((xx))
Définitions :Définitions :
2.2. f f est est concaveconcave sur un intervalle si sa dérivée sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative (le graphe de seconde est négative (le graphe de ff est est courbé vers le bas)courbé vers le bas)
F.F. Point d’inflexion : Point d’inflexion : f f ””((xx))
Définitions :Définitions :
3.3. f f a un a un point d’inflexionpoint d’inflexion si la dérivée si la dérivée seconde s’annule ET change de signe en seconde s’annule ET change de signe en ce point.ce point.
3f x x
Tableau de variationTableau de variation
1.1. Construire le tableau à partir du signe de la Construire le tableau à partir du signe de la dérivée. dérivée.
2.2. Compléter ce tableau en cherchant les Compléter ce tableau en cherchant les limites de limites de f f aux bornes des intervalles, et aux bornes des intervalles, et lorsque lorsque xx tend vers plus ou moins l’infini. tend vers plus ou moins l’infini.
1 1053x
f ’(x)
f (x)
+_
Si Si il y a une asymptote verticale passant par il y a une asymptote verticale passant par xx = = xx00
Si Si il y a une asymptote horizontale passant par il y a une asymptote horizontale passant par y y = = ll
Si Si il y a une asymptote oblique d’équation il y a une asymptote oblique d’équation y y = = axax++bb
0
( )limx x
f xa
x
lim ( )x
f x
0
lim ( )x x
f x
lim ( )x
f x l
lim ( )x
b f x ax
Si , alors
G.G. Asymptotes Asymptotes
Si la courbe de Si la courbe de ff s’approche infiniment s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptote :asymptote :
Asymptote oblique
Asymptote verticale
G.G. Asymptotes Asymptotes
H.H. Graphe Graphe
Exemple biologiqueExemple biologique
0 c
i i f tt
0
limt
f t
0limt
f t i
i0 est appelé la Rhéobase
Chronotaxie : temps de passage nécessaire pour qu’un courant électrique d’intensité excite le tissu
0c i
Prochain RDVProchain RDV
Lundi 20 septembre 16hLundi 20 septembre 16h
Le site web Le site web MathSVMathSV
Visite guidéeVisite guidée
http://mathsv.univ-http://mathsv.univ-lyon1.fr/lyon1.fr/
Tableau de bord
Questionnement : résultats personnalisés
Prochain RDVProchain RDV
Lundi 20 septembre 16hLundi 20 septembre 16h