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Liceo Matilde Brandau de Ross
Analizar el conjunto de NΓΊmeros Complejos, sus relaciones, operaciones y propiedades para la resoluciΓ³n de problemas.
DEFINICIΓN
β’ Los NΓΊmeros Imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadrΓ‘ticas sin soluciΓ³n en el campo real.
CaracterΓsticas Principales: β’ Este conjunto se representa por I. β’ Este conjunto posee elementos que se obtienen a
partir de raΓces cuadradas con cantidad subradical negativa.
β7 3 β2 3 + β10
Entenderemos como Unidad Imaginaria a :
DefiniciΓ³n:
La que se conoce como RAΓZ Imaginaria
NOTA:
EJEMPLOS
ππ βΉ m es un entero positivo ; π β₯ 4.
1.- Divida el exponente π por π y el resultado serΓ‘ elevado al resto de la divisiΓ³n.
π βΆ 4 = 4π + π π 4 π π
2.- Luego para simplificar use; ππ = π4π+π = ππ 3.- SΓ π = β1
Todas las potencias al dividir por cuatro darΓ‘ como resultado o lo que es equivalente decir que: ππ
Resultado 1 si π: π tiene resto 0 Resultado π si π: π tiene resto 1 Resultado βπ si π: π tiene resto 2 Resultado βπ si π: π tiene resto 3
EJEMPLO:
π) π235 β 235: 4 = 58 35 3 β πππ π‘π
β π235 = βπ
π)2π209 + 3π403 = Dividamos: 209:4=52 403:4=10 09 00 1 03 β΄ π209= 1 β§ π403 = βπ Tenemos que: 2π209 + 3π403 = 2 β π + 3 β βπ = 2π β 3π = βπ
EJEMPLOS:
π151 = π3 151 4 31 37 3
151 = 37 β 4 + 3
Ejercicios: π0 = 1 π1 = π π2 = β1 π3 = π2 β π = β1 β π = βπ π4 = π2 β π2 = β1 β β1 = 1
Este ΓΊltimo resultado hace que las potencias de "πβ solo tengan como resultados a: π , βπ , 1 π¦ -1 .
Calcule las siguientes raΓces:
1) β4 = 4 β β1 = 2 β1 = 2π 2) β25 = 25 β β1 = 5π 3) β12 = 4 β 3 β β1 = 2 3π 4) β11 = 11 β β1 = 11 π
Los NΓΊmeros Complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. TambiΓ©n se dice que es el conjunto de los pares ordenados de los reales. Son de la forma:
DEFINICIΓN:
π§ = π + ππ = (π, π)
Donde π y π pueden ser nΓΊmeros positivos, negativos y aΓΊn nulos.
IMPORTANTE SABER: El conjunto de todos los nΓΊmeros complejos se
designa por β: β = {π + ππ /π, π β ; π = β1}
La expresiΓ³n π + ππ, se llama forma binΓ³mica de un nΓΊmero complejo porque tiene dos componentes:
Los nΓΊmeros complejos , poseen: Elemento neutro, opuesto, Elemento unidad, Elemento inverso. Con estas operaciones los complejos tiene la estructura de cuerpo conmutativo.
β’ COMPLEJOS CONJUGADOS : Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de signos contrarios sus partes imaginarias.
Ejemplo: π = π + ππ π =6-5i conjugada
β’ COMPLEJOS OPUESTOS: Son dos complejos que tienen iguales, pero de signos contrarios, tanto las partes como las imaginarias.
Ejemplo: π = π β ππ βπ³ = βπ + ππ’
Para representar los nΓΊmeros complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando asΓ de la recta real al plano complejo. Se realiza utilizando un sistema de ejes rectangulares o cartesianos; en el eje βXβ se representa los nΓΊmeros reales y las cantidades imaginarias en el eje βYβ . Al plano formado por los ejes real e imaginario se denomina llama Plano de Gauss. El nΓΊmero complejo π + ππ mediante el punto (a,b), que se llama su afijo, o mediante un vector (fecha) de origen (0,0) y extremo (a,b).
EJEMPLO
1.- Graficar el siguiente nΓΊmero complejo: π = π β ππ
2.- Dado el nΓΊmero complejo: π = π + ππ Graficar: β’ El nΓΊmero complejo. β’ El opuesto del nΓΊmero complejo β’ La conjugada del nΓΊmero complejo.
El mΓ³dulo de un nΓΊmero complejo π = π + ππ, es la longitud del vector. El mΓ³dulo de dicho nΓΊmero se representa por π .
DEFINICIΓN:
π2 + π2 = π2
π§ = π = π2 + π2
1.- Suma de Complejos:
DefiniciΓ³n: Sea: ππ = ππ + πππ y ππ = ππ + πππ β΄ ππ + ππ = ππ + πππ + (ππ + πππ) ππ + ππ = ππ + ππ + ππ + ππ π
Ejemplos: π§1 = 2 + 2π π§2 = β3 + π
SoluciΓ³n: ππ + ππ = π + ππ + (βπ + π)
ππ + ππ = π β π + π + π π ππ+ππ = (βπ + ππ)
2.- Resta de Complejos:
DefiniciΓ³n: Sea π = π + ππ y π = π + π π β΄ π β π = π + ππ β (π + π π) π β π = π β π + π β π π
Ejemplos 1: π§ = 4 + 7π π€ = 2 + 3π
SoluciΓ³n:
π β π = π + ππ β π + ππ π β π = π β π + π β π π
π β π = (π + ππ)
Ejemplos 2: Si π§1 = 2 β 3π y π§2 = β3 + π SoluciΓ³n: βΉ ππ β ππ = π β ππ β (βπ + π) ππ β ππ = π β ππ + π β π = π β ππ
3.- Producto o MultiplicaciΓ³n de Complejos:
π) MultiplicaciΓ³n de un nΓΊmero real por un nΓΊmero complejo: Donde: πΆ es el nΓΊmero real y π = π + ππ el nΓΊmero complejo πΆ β π§ = πΆ β π + ππ
πΆ β π§ = πΆπ + πΌππ
Ejemplo 1:
Sea: z = 4 + 3π y w = β3 + 5π
b) MultiplicaciΓ³n de dos nΓΊmeros complejos: Siendo: π§ = π + ππ y π€ = π + ππ π§ β π€ = π + ππ β π + ππ
π§ β π€ = ππ + πππ + πππ + πππ2 ; pero π‘2 = β1 π§ β π€ = ππ + ππ β1 + ππ + ππ π π§ β π€ = ππ β ππ + ππ + ππ π
Ejemplo 2:
Sea: πΌ = 6 y π§ = 7 + 5π πΌ β π§ = 6 7 + 5π πΌ β π§ = 42 + 30π
π§ β π€ = 4 + 3π β β3 + 5π π§ β π€ = β12 + 20π β 9π + 15π2 ; pero π2 = β1 π§ β π€ = β12 + 15 β β1 + 20 β 9 π π§ β π€ = β12 β 15 + 11 π π§ β π€ = β27 + 11π
4.- Cociente o DivisiΓ³n de Complejos:
a) DivisiΓ³n de un nΓΊmero complejo para un nΓΊmero real: Sean π = π + ππ y πΆ un nΓΊmero real.
π§
πΌ=
(π + ππ)
πΌ=
π
πΌ+
π
πΌπ
Ejemplo 1:
Sea πΌ = 4 y π§ = 8 + 6π SoluciΓ³n: π§
πΌ=
(8+6π)
4=
8
4+
6
4π
π§
πΌ= 2 +
3
2π
b) DivisiΓ³n de un nΓΊmero complejo por otro nΓΊmero complejo: Sean π = π + ππ y π = π + π π , son dos nΓΊmeros complejos y π β π. Para este proceso tenemos tres maneras de soluciΓ³n: i) Por medio comΓΊn, es decir formando ecuaciones:
π§
π€= π₯ + π¦π
(π + ππ)
(π + ππ)= (π₯ + π¦π)
π + ππ = π + ππ β π₯ + π¦π
π + ππ = ππ₯ + ππ¦π + ππ₯π + ππ¦π2
π + ππ = ππ₯ + ππ¦ + ππ₯ π + ππ¦(β1) β π‘2 = β1
π + ππ = ππ₯ β ππ¦ + ππ¦ + ππ₯ π
π = ππ₯ β ππ¦ 1
π = ππ₯ + ππ¦ 2
De la ecuaciΓ³n β1β despejamos x:
π₯ =π + ππ¦
π
"πβ reemplazamos en la ecuaciΓ³n 2 y despejamos βyβ:
π = ππ¦ + ππ + ππ¦
π
ππ = π2π¦ + ππ + π2π¦ ππ β ππ = π¦(π2 + π2)
π¦ =ππ β ππ
π2 + π2
EJEMPLOS RESUELTOS
Dado π§ = 4 + 3π y π€ = 3 + 2π
Determinar π§
π€
SoluciΓ³n: π§
π€=
(4+3π)
(3+2π)β
3β2π
3β2π=
4 3 β 4 2 π+ 3 3 πβ(3)(2)π2
32+22 , pero π2 = β1
π§
π€=
12 β 8π + 9π + 6
9 + 4
π§
π€=
18 + 1π
13=
18
13+
1
13π
Dado