Liceo Scientifico

“F. Silvestri”

a.s.: 2006/2007

Progetto Lauree

Scientifiche

Convegno conclusivo8 maggio

2007

“La realtà…

dà i numeri!”

“ La Natura è

un grande Libro

scritto da Dio

in lingua Matematica

…”

Galileo Galilei

Un po’ di storia…La nozione di modello risale al secolo VI a.C., quando Pitagora tentò di

definire la struttura dell’Universo attraverso l’analisi di numeri che rappresentavano i corpi celesti: era un primitivo tentativo di costruire un modello matematico della realtà fisica. Nel Milleseicento, attraverso il pensiero di Galilei e Newton, sembrò che un insieme di formule e di equazioni potessero spiegare la dinamica di tutti i corpi, e, quindi,

dell’Universo intero. Solo nel Milleottocento fu possibile rappresentare molti processi dinamici in termini di equazioni differenziali e integrali, così

l’uso di modelli matematici si rivelò un potente mezzo di indagine scientifica, sempre più accurato in relazione all’evolversi delle tecnologie

elettroniche ed informatiche. I modelli matematici riguardano diverse discipline, dalla Fisica e la Chimica alla Biologia e l’Ecologia; nella storia

recente, la Matematica ha inoltre trovato applicazione anche in settori che coinvolgono decisioni da parte dell’Uomo, quali l’Economia e la Finanza.

Distinzioni preliminariDistinzioni preliminari

MODELLI

DETERMINISTICI: PROCESSI DI TIPO CAUSA - EFFETTO

STOCASTICI: PROCESSI ALEATORI

MODELLI DETERMINISTICI: l’evoluzione del sistema è governata da una legge esprimibile in termini analitici (variabili di input fisse); pertanto, note le equazioni che regolano la dinamica delle variabili ed il loro stato all’istante iniziale, si può determinare il loro stato ad ogni istante futuro.

MODELLI STOCASTICI (stocastico = dovuto al caso, aleatorio, dal greco stochastikòs = congetturale) tengono in considerazione le variazioni (causali e non) delle variabili di input, e quindi forniscono risultati in termini di "probabilità". È importante sottolineare che ciò che differenzia i modelli deterministici da quelli stocastici è che in questi ultimi si tiene conto della variabilità dei dati di input.

Fasi di studio di un Fasi di studio di un fenomenofenomeno

RACCOLTA E ANALISI DEI DATI DELLO STATO DEL FENOMENO

COSTRUZIONE E STUDIO DELMODELLO MATEMATICO

VALIDAZIONE DEL MODELLO

Requisiti di un Requisiti di un buonbuon modellomodello

AMMISSIBILITA’

GENERALITA’

AFFIDABILITA’SEMPLICITA’

In ogni grafico di quelli proposti il tasso di In ogni grafico di quelli proposti il tasso di crescita della variabile dipendente rispetto crescita della variabile dipendente rispetto alla variabile indipendente è alla variabile indipendente è costantecostante..

Si giunge, dunque, alla determinazione di un Si giunge, dunque, alla determinazione di un modello lineare, il cui grafico è quello di una modello lineare, il cui grafico è quello di una funzione esponenziale. Questo modello è funzione esponenziale. Questo modello è noto come Modello di Malthus o della noto come Modello di Malthus o della “crescita geometrica”.“crescita geometrica”.

Si tratta, ora, di definire nei dettagli cosa è il tasso di crescita.Si tratta, ora, di definire nei dettagli cosa è il tasso di crescita.Sia P una popolazione isolata. Sia P una popolazione isolata. Indichiamo con:Indichiamo con:N(t) il numero di individui che compongono la popolazione all’istante N(t) il numero di individui che compongono la popolazione all’istante di tempo di tempo tt;;N(t + N(t + t)t) il numero di individui che compongono la popolazione il numero di individui che compongono la popolazione all’istante di tempo (t + all’istante di tempo (t + t), ossia quando è passato un intervallo di t), ossia quando è passato un intervallo di tempo tempo t.t.

Ipotesi di lavoro:Ipotesi di lavoro:N(t) è una funzione continuaN(t) è una funzione continuaLa variazione di popolazione La variazione di popolazione ΔΔN = N(t + N = N(t + ΔΔt)-N(t) è proporzionale a N(t) e t)-N(t) è proporzionale a N(t) e a a ΔΔt secondo una costante di proporzionalità k che viene detta potenziale t secondo una costante di proporzionalità k che viene detta potenziale biologico o tasso di crescita.biologico o tasso di crescita.

Il tasso di crescita k è tipico della specie e viene calcolato Il tasso di crescita k è tipico della specie e viene calcolato sperimentalmente. sperimentalmente.

è la misura della variazione della popolazione nell’intervallo di è la misura della variazione della popolazione nell’intervallo di tempo ∆t, ovvero la “velocità media” di variazione della tempo ∆t, ovvero la “velocità media” di variazione della popolazione nell’intervallo di tempo considerato, proporzionale popolazione nell’intervallo di tempo considerato, proporzionale alla popolazione al tempo t. Se si suppone N(t) anche derivabile alla popolazione al tempo t. Se si suppone N(t) anche derivabile si può definiresi può definire

Il tasso di crescita istantaneo della popolazione:Il tasso di crescita istantaneo della popolazione:

Dove Dove

)(tkNΔt

N(t)Δt)N(tΔtΔN

Vediamo ora se la legge ci dà informazioni sullo sviluppo della popolazione

ktNtN

)()(

tN

tNt

lim)(

0

ln N(0)N(t) = kt

N(0)N(t) = ekt N(t) = N(0)ekt

dtdN

N1 = k N

1 dN = kdt0

t

#0

t

#

lnN6 @

0

t

= kt

N = N(t) è una funzione di classe C1 del tempo t

NN:

= k

Naturalmente, per tracciare il grafico occorre conoscere Naturalmente, per tracciare il grafico occorre conoscere N(0) e il tasso di crescita k, che come abbiamo osservato N(0) e il tasso di crescita k, che come abbiamo osservato sono dati sperimentali.sono dati sperimentali.

Il modello di Malthus può rappresentare la crescita Il modello di Malthus può rappresentare la crescita biologica solo in un intervallo di tempo limitato.biologica solo in un intervallo di tempo limitato.

Infatti, nel caso k>0 si osserva, Infatti, nel caso k>0 si osserva, conseguenza inaccettabile perché prevede la crescita conseguenza inaccettabile perché prevede la crescita esponenziale della popolazione che dovrebbe essere esponenziale della popolazione che dovrebbe essere accompagnata da una crescita illimitata di cibo a accompagnata da una crescita illimitata di cibo a disposizione.disposizione.

Perfezioniamo…Perfezioniamo…

)(lim tNt

Il modello di Verhulst elimina il paradosso del modello di Malthus, assumendo che il Il modello di Verhulst elimina il paradosso del modello di Malthus, assumendo che il tasso di crescita decresca al crescere della popolazione e sottraendo alla costante tasso di crescita decresca al crescere della popolazione e sottraendo alla costante K K che rappresenta il tasso di crescita malthusiano una quantità che rappresenta il tasso di crescita malthusiano una quantità hN(t)hN(t) che cresce al che cresce al crescere della popolazione.crescere della popolazione.

Ora, quanto più numerosa sarà la popolazione, tanto più piccolo sarà il tasso di crescita.Ora, quanto più numerosa sarà la popolazione, tanto più piccolo sarà il tasso di crescita.Il prodotto Il prodotto hN(t)hN(t) rappresenta l’esistenza di vincoli esterni (influenza dell’ambiente, rappresenta l’esistenza di vincoli esterni (influenza dell’ambiente,

interazione degli individui, …) che frenano la crescita della popolazione.interazione degli individui, …) che frenano la crescita della popolazione.Otteniamo quindi:Otteniamo quindi:

In essa, al crescere di In essa, al crescere di N(t)N(t), il termine , il termine hN(t)hN(t) diventa sempre più grande fino a che il tasso diventa sempre più grande fino a che il tasso di crescita di crescita k – hN(t)k – hN(t) diventerà zero: diventerà zero:

Quindi, la crescita della popolazione non è più illimitata, ma non può superare il valore Quindi, la crescita della popolazione non è più illimitata, ma non può superare il valore limite dato da k/h, che rappresenta la capacità di accoglienza dell’ambiente e, come limite dato da k/h, che rappresenta la capacità di accoglienza dell’ambiente e, come le altre costanti, è determinata sperimentalmente.le altre costanti, è determinata sperimentalmente.

N(t)N:

(t) = k - hN(t)

k - hN(t) = 0 & N(t) = hk

0,0)( hkthNkK

Il modello di crescita logistica è descritto dall’equazione:

dal grafico, la cosiddetta “curva a S”, si rileva che N(t) cresce a partire dal valore N(0) sempre più rapidamente, poi rallenta la crescita e tende infine verso il valore della popolazione limite k/h che non può superare.

N:

(t) = k - hN(t)6 @

N(t)

La matematica delle popolazioni La matematica delle popolazioni a servizio del marketinga servizio del marketing

I modelli di diffusione di I modelli di diffusione di prodotti e serviziprodotti e servizi

Alcuni problemi legati alla Alcuni problemi legati alla gestione del successo (gestione del successo (ciclo di vita ciclo di vita

di un prodottodi un prodotto):):

Quale può essere la massima diffusione di Quale può essere la massima diffusione di un prodotto o di un servizio?un prodotto o di un servizio?

A che punto intervenire con campagne A che punto intervenire con campagne pubblicitarie a supporto dell’offerta?pubblicitarie a supporto dell’offerta?

Come provvedere ad un suo eventuale Come provvedere ad un suo eventuale “restyling”?“restyling”?

Come reagire all’ingresso di un eventuale Come reagire all’ingresso di un eventuale concorrente nella nicchia di mercato?concorrente nella nicchia di mercato?

Ipotesi per l’utilizzo del Modello di Ipotesi per l’utilizzo del Modello di MalthusMalthus

mancanza di concorrenti, e quindi di mancanza di concorrenti, e quindi di possibili scelte da parte del cliente;possibili scelte da parte del cliente;

bacino di utenza isolato, ossia la bacino di utenza isolato, ossia la propensione all’acquisto è indipendente da propensione all’acquisto è indipendente da stimoli esterni, come ad esempio stimoli esterni, come ad esempio l’andamento economico e la pubblicità; l’andamento economico e la pubblicità;

comportamento omogeneo del cliente, in cui comportamento omogeneo del cliente, in cui sono trascurabili differenze strutturali quali sono trascurabili differenze strutturali quali età, sesso, distribuzione geografica; età, sesso, distribuzione geografica;

comportamento del cliente invariante nel comportamento del cliente invariante nel tempo:il tasso di acquisto e di abbandono di tempo:il tasso di acquisto e di abbandono di un prodotto può ritenersi costante.un prodotto può ritenersi costante.

Il modello di Malthus, quindi, lega la variabile tasso di acquisto tasso di acquisto (il numero medio di prodotti acquisiti per cliente) con il tasso di abbandono tasso di abbandono (numero

medio di prodotti abbandonati per cliente).

Il risultato è una crescita esponenziale della vendita del prodotto:

tt

N(t)N(t)

Indipendentemente dalla condizione iniziale di mercato, a regime, Indipendentemente dalla condizione iniziale di mercato, a regime, la la

penetrazione del prodotto si stabilizzerà sul valore K. Ciò ha delle penetrazione del prodotto si stabilizzerà sul valore K. Ciò ha delle conseguenze, in ambito marketing, immediate:conseguenze, in ambito marketing, immediate: il massimo dello sforzo pubblicitario deve essere fatto in fase di il massimo dello sforzo pubblicitario deve essere fatto in fase di

lancio e al termine dell’andamento lineare, in modo da lancio e al termine dell’andamento lineare, in modo da allontanare il più possibile l’istante in cui il tasso di allontanare il più possibile l’istante in cui il tasso di penetrazione si avvicini a K; penetrazione si avvicini a K;

la differenziazione dell’offerta può avvenire durante la fase di la differenziazione dell’offerta può avvenire durante la fase di crescita “lineare” della diffusione del prodotto; crescita “lineare” della diffusione del prodotto;

quando il gap tra K e la funzione logistica è minore di un valore quando il gap tra K e la funzione logistica è minore di un valore stabilito a priori dal marketing, il ciclo di vita del prodotto si stabilito a priori dal marketing, il ciclo di vita del prodotto si può considerare concluso. può considerare concluso.

Problema: il numero dei potenziali clienti è Problema: il numero dei potenziali clienti è sempre finito. sempre finito.

Soluzione: modello logisticoSoluzione: modello logistico

Problema: il numero dei potenziali clienti è Problema: il numero dei potenziali clienti è sempre finito. sempre finito.

Soluzione: modello logisticoSoluzione: modello logistico

PREDAZIONE: MODELLO DI PREDAZIONE: MODELLO DI LOTKA-VOLTERRALOTKA-VOLTERRA

L’origine del modello preda-predatore di L’origine del modello preda-predatore di Lotka-Volterra fu ispirato dagli studi di alcuni Lotka-Volterra fu ispirato dagli studi di alcuni

zoologi italiani che, dopo la prima guerra zoologi italiani che, dopo la prima guerra mondiale, avevano rilevato che nell’alto mondiale, avevano rilevato che nell’alto

Adriatico, quando le attività di pesca erano Adriatico, quando le attività di pesca erano diminuite, era aumentato il numero di alcuni diminuite, era aumentato il numero di alcuni

pesci predatori mentre era diminuito quello dei pesci predatori mentre era diminuito quello dei pesci preda.pesci preda.

NELLA INTERAZIONE TRA SPECIE I COSTITUENTI UNA POPOLAZIONE N2 - PREDATORI - SI NUTRONO MANGIANDO I

COSTITUENTI DI UNA POPOLAZIONE N1 - PREDE -

GLI ASSIOMI DEL MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA SONO:

1) in assenza di predatori, le prede che dispongono di cibo in quantità illimitata (plancton) crescono con legge malthusiana:

2) in presenza di predatori, il tasso di crescita delle prede diminuisce di una quantità proporzionale al numero dei predatori:

3) in assenza di prede, quindi senza cibo, i predatori si estinguono con legge malthusiana:

4) in presenza di prede, il tasso di crescita dei predatori aumenta di una quantità proporzionale al numero delle prede;

N1

:

= aN1

N1

N1

:

= a - bN2 & N1

:

= aN1- bN1N2

N2

:

=- cN2

N2

N2

:

=- c + dN1 & N2

:

=- cN2+ dN1N2

Dagli assiomi, si ottiene il seguente sistema di equazioni Dagli assiomi, si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali che rappresenta differenziali che rappresenta IL MODELLO DI LOTKA - IL MODELLO DI LOTKA - VOLTERRA:VOLTERRA:

Dall’analisi qualitativa del sistema si ottiene che: il numero di individui delle due popolazioni oscilla “periodicamente”.

N1

:

= aN1- bN1N2

N2

:

=- cN2+ dN1N2

*

L’ANALISI QUALITATIVA DELLE TRAIETTORIE DEFINITE

DAL MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA CONSENTE DI

AFFERMARE CHE L’INCREMENTO NATURALE DELLE

PREDE PORTA A UN’ACCRESCIUTA ATTIVITÀ DI

PREDAZIONE, DI CONSEGUENZA IL NUMERO DEI

PREDATORI CRESCE MENTRE QUELLO DELLE PREDE

DECRESCE. CIÒ ACCADE FINO A QUANDO IL NUMERO

DELLE PREDE DIVENTA TROPPO PICCOLO PER LE

ESIGENZE DEI PREDATORI CHE PERTANTO COMINCIANO

A ESTINGUERSI. QUANDO LA POPOLAZIONE PREDATRICE

DECRESCE, DIMINUISCE LA PRESSIONE SULLE PREDE

CHE COSÌ RICOMINCIANO A CRESCERE DI NUMERO E IL

CICLO RIPRENDE.

INTRODUCENDO NEI DATI DEL PROBLEMA LA

PERTURBAZIONE RAPPRESENTATA DALLA PESCA (PRELIEVO

INDISCRIMINATO E UNIFORME DELL’UNA E DELL’ALTRA

SPECIE), IL MODELLO DIVENTA:

DOVE ε ESPRIME L’UNIFORME INTENSITA’ DELLA PESCA.

QUESTA VARIAZIONE FRENA LA CRESCITA DI ENTRAMBE LE

POPOLAZIONI PROPORZIONALMENTE AL LORO NUMERO.

N1

:

= aN1- bN1N2- f N1

N2

:

=- cN2+ dN1N2- f N2

*

Ciò significa che l’essenza stessa delle Ciò significa che l’essenza stessa delle “leggi” della natura e, più in “leggi” della natura e, più in

generale, della realtà è racchiusa in generale, della realtà è racchiusa in un’equazione matematica?un’equazione matematica?

Liceo Scientifico Liceo Scientifico

““Filippo Silvestri”Filippo Silvestri”

PorticiPortici

Alunni partecipanti:

Ascione Cristina

Avallone Claudio

Barbaro Eliana

Brunetti Maria Brigida

Buccini Daniela Maria

Celentano Manuela

Coppola Valentina

De Gaetano Davide

De Matteo Ilaria

Di Natale Concetta

Esposito Darjn

Papillo Lorenzo

Riccardi Carla

Rossano Lucia

Stuvard Salvatore

Zappia Sonia

Hanno presentato:

De Matteo IlariaRossano Lucia

Stuvard Salvatore

Presentazione realizzata da:Cino Fabrizia