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Breve storia dei Breve storia dei fondamenti della fondamenti della matematicamatematicaI difficili rapporti tra Matematica, Realtà e VeritàI difficili rapporti tra Matematica, Realtà e Verità

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1. I fondamenti 1. I fondamenti nell’antichitànell’antichità

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I fondamenti antichiI fondamenti antichi

• Talete e la piramideTalete e la piramide

• Il viaggio di Eratostene da Alessandria a Siene nel 240 a.C.Il viaggio di Eratostene da Alessandria a Siene nel 240 a.C.

• E quello di Posidonio da Alessandria a Rodi nel 100 a.C.E quello di Posidonio da Alessandria a Rodi nel 100 a.C.

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I fondamenti antichiI fondamenti antichi

• Stupore dei Greci di fronte alla potenza della matematica Stupore dei Greci di fronte alla potenza della matematica

• Si pone il problema: Si pone il problema: “Qual è la ragione per cui la “Qual è la ragione per cui la matematica si adatta così bene alla realtà?”matematica si adatta così bene alla realtà?”

• Risposte filosofiche diverse: Risposte filosofiche diverse: Pitagora, Platone, Democrito.Pitagora, Platone, Democrito.

• Fino all'inizio del XIX s. centralità della Fino all'inizio del XIX s. centralità della geometria.geometria. L’algebra L’algebra è mera tecnica di calcolo e i primi elementi di analisi sono è mera tecnica di calcolo e i primi elementi di analisi sono fondati sulla continuità geometrica.fondati sulla continuità geometrica.

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I fondamenti antichiI fondamenti antichi

• DescartesDescartes (1596-1650) (1596-1650)

– Materia Materia Estensione Estensione

– marginalità del concetto di massa e di forzamarginalità del concetto di massa e di forza

– teoria dei vortici per spiegare la forza gravitazionaleteoria dei vortici per spiegare la forza gravitazionale

– "geometrizzazione ad oltranza”: "geometrizzazione ad oltranza”: Toute ma physique n'est pas Toute ma physique n'est pas que géométrieque géométrie

– paradigma perdente, almeno fino a relat. gen., 1916paradigma perdente, almeno fino a relat. gen., 1916““

Geometria Geometria Fisica Fisica

• NewtonNewton (1642-1727)(1642-1727)

– Materia Materia Massa Massa

– La geometria fonda l'analisi matematicaLa geometria fonda l'analisi matematica

– tutta la matematica è branca della meccanicatutta la matematica è branca della meccanica

– spazio fisico spazio fisico spazio matematico (contrariamente ad spazio matematico (contrariamente ad Aristotele)Aristotele)

Fisica Fisica Geometria Geometria Analisi matematica Analisi matematica

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I fondamenti antichiI fondamenti antichi

• Lo spazio euclideo, ordinato con i suoi assiomi ha Lo spazio euclideo, ordinato con i suoi assiomi ha fondamento nell'evidenza:fondamento nell'evidenza:

Evidenza Evidenza Geometria Geometria

• Il criterio di evidenza richiede un ulteriore fondamento?Il criterio di evidenza richiede un ulteriore fondamento?

– Risposte diverse ma riconducibili ad ordine filosofico Risposte diverse ma riconducibili ad ordine filosofico (razionalismo, empirismo, kantismo, psicologismo)(razionalismo, empirismo, kantismo, psicologismo)

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2. Storia del 5° postulato2. Storia del 5° postulatoLa matematica non è fondata sulla La matematica non è fondata sulla realtàrealtà

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Già i primi commentatori di Già i primi commentatori di Euclide discussero del postulato Euclide discussero del postulato delle parallele e nel corso dei delle parallele e nel corso dei secoli numerosi furono i tentativi secoli numerosi furono i tentativi sia di sostituirlo con proposizioni sia di sostituirlo con proposizioni ad esso equivalenti rispetto agli ad esso equivalenti rispetto agli altri quattro postulati, ma più altri quattro postulati, ma più evidenti, sia di dimostrarlo, evidenti, sia di dimostrarlo, ovvero di ridurlo a un teorema ovvero di ridurlo a un teorema sulla base degli altri quattro sulla base degli altri quattro postulati.postulati.

• ProcloProclo (412-485 dC) si esprime (412-485 dC) si esprime così rispetto al quinto postulato:così rispetto al quinto postulato:

– ““Se per alcune coppie di rette, Se per alcune coppie di rette, formanti con una terza angoli formanti con una terza angoli interni da una stessa parte la cui interni da una stessa parte la cui somma è minore di due retti, esiste somma è minore di due retti, esiste un punto di incontro, resta da un punto di incontro, resta da vedere se ciò accade per tutte le vedere se ciò accade per tutte le coppie. Poiché alcuno potrebbe coppie. Poiché alcuno potrebbe osservare che vi fosse una certa osservare che vi fosse una certa deficienza (rispetto a due angoli deficienza (rispetto a due angoli retti) per la quale non si retti) per la quale non si incontrano, incontrandosi invece incontrano, incontrandosi invece tutte le altre per le quali tale tutte le altre per le quali tale deficienza fosse maggiore.”deficienza fosse maggiore.”

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Non si riuscì a sostituire il V postulato perché tutte le Non si riuscì a sostituire il V postulato perché tutte le proposizioni presentavano lo stesso grado di evidenza.proposizioni presentavano lo stesso grado di evidenza.

• Nel XVIII secolo nacque l'idea che il postulato delle parallele Nel XVIII secolo nacque l'idea che il postulato delle parallele fosse dimostrabile, fosse cioè un teorema, e quindi un fosse dimostrabile, fosse cioè un teorema, e quindi un falso falso postulato.postulato.

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Il primo grande tentativo di dimostrarlo risale al gesuita Il primo grande tentativo di dimostrarlo risale al gesuita Girolamo Girolamo SaccheriSaccheri. Per discutere il problema nella sua opera . Per discutere il problema nella sua opera Euclides ab Euclides ab omni nævo vindicatus omni nævo vindicatus egli costruisce il egli costruisce il quadrilatero birettangolo quadrilatero birettangolo isoscele ABCD, isoscele ABCD, nel quale i lati nel quale i lati ADAD e e BC BC sono equivalenti e i due sono equivalenti e i due angoli nei vertici A eangoli nei vertici A e B B sono retti. Saccheri dimostra poi che, per sono retti. Saccheri dimostra poi che, per la simmetria della figura, i due angoli nei vertici la simmetria della figura, i due angoli nei vertici C C e e D D sono sono equivalenti e osserva che sono possibili solo tre ipotesi:equivalenti e osserva che sono possibili solo tre ipotesi:

– 1) “1) “ipotesi dell'angolo rettoipotesi dell'angolo retto”: i due angoli in ”: i due angoli in C C e in e in D D sono retti;sono retti;

– 2) “2) “ipotesi dell'angolo acutoipotesi dell'angolo acuto”: i due angoli in ”: i due angoli in C C e in e in D D sono acuti;sono acuti;

– 3) “3) “ipotesi dell'angolo ottusoipotesi dell'angolo ottuso”: i due angoli in ”: i due angoli in C C e in e in D D sono ottusi.sono ottusi.A

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D

C

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90°

90°

I l quadrilatero birettangolo isoscele ha gli angoli A=B=90°

e i lati AD=BC.

Per la simmetria della fi gura gli angoli in C e in D sono uguali.

Ma quanto valgono ? Sono retti, acuti od ottusi ?

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Nell'Nell'ipotesi dell'angolo rettoipotesi dell'angolo retto dunque dunque C C e e D D sono retti senza ricorrere al sono retti senza ricorrere al quinto postulato e si giunge direttamente alla geometria euclidea quinto postulato e si giunge direttamente alla geometria euclidea metrica.metrica.

• Saccheri studia le conseguenze dell’Saccheri studia le conseguenze dell’ipotesi dell'angolo ottusoipotesi dell'angolo ottuso e la e la scarta poiché è contraria alla scarta poiché è contraria alla prolungabilità illimitata del segmento prolungabilità illimitata del segmento e e quindi contraria alla natura della linea retta, la quale per Saccheri è quindi contraria alla natura della linea retta, la quale per Saccheri è infinita.infinita.

• Quindi dimostra una serie di interessanti risultati conseguenti all'Quindi dimostra una serie di interessanti risultati conseguenti all'ipotesi ipotesi dell'angolo acutodell'angolo acuto, tra i quali l'esistenza di una perpendicolare e di una , tra i quali l'esistenza di una perpendicolare e di una obliqua condotte a una stessa retta da uno stesso punto obliqua condotte a una stessa retta da uno stesso punto PP esterno ad esterno ad essa, e l'esistenza di coppie di rette che, nello stesso piano, si essa, e l'esistenza di coppie di rette che, nello stesso piano, si avvicinano indefinitamente, senza mai incontrarsi.avvicinano indefinitamente, senza mai incontrarsi.

• Davanti a simili risultati abbandona anche l'ipotesi dell'angolo acuto Davanti a simili risultati abbandona anche l'ipotesi dell'angolo acuto perché ritiene conduca ad perché ritiene conduca ad assurditàassurdità..

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• All'inizio del XIX secolo alcuni grandi matematici avevano All'inizio del XIX secolo alcuni grandi matematici avevano ottenuto risultati non euclidei sostituendo il quinto postulato, ottenuto risultati non euclidei sostituendo il quinto postulato, ma tali risultati erano ritenuti così assurdi da dissuadere gli ma tali risultati erano ritenuti così assurdi da dissuadere gli autori dalla pubblicazione.autori dalla pubblicazione.

• Così Così LagrangeLagrange rinuncia all'ultimo momento ad esporre le rinuncia all'ultimo momento ad esporre le proprie idee all'Accademia delle Scienze di Parigi proprie idee all'Accademia delle Scienze di Parigi commentando: commentando: “Occorre che vi pensi ancora”“Occorre che vi pensi ancora”

• K.F. GaussK.F. Gauss, il , il princeps mathematicorumprinceps mathematicorum ritenuto da molti il ritenuto da molti il più notevole matematico del secolo, non pubblica i suoi più notevole matematico del secolo, non pubblica i suoi lavori in merito lavori in merito “per non udire le strida dei beoti”.“per non udire le strida dei beoti”.

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• In effetti, le due rette In effetti, le due rette r r ed ed s s della figura non si incontrano in alcun della figura non si incontrano in alcun punto nello spazio finito: il punto di incontro è all'infinito. In ciò sta la punto nello spazio finito: il punto di incontro è all'infinito. In ciò sta la difficoltà della questione. L'ipotesi dell'angolo retto, rappresentata dal difficoltà della questione. L'ipotesi dell'angolo retto, rappresentata dal postulato di Euclide o da uno dei suoi equivalenti, costruisce una postulato di Euclide o da uno dei suoi equivalenti, costruisce una geometria basata sulle osservazioni fatte geometria basata sulle osservazioni fatte in uno spazio finito in uno spazio finito e e pretende di estendere le proprietà trovate anche all'infinito. Questo pretende di estendere le proprietà trovate anche all'infinito. Questo passaggio non è spiegabile con una deduzione, ma solo con un passaggio non è spiegabile con una deduzione, ma solo con un processo di estrapolazione nel quale si estendono le conoscenze processo di estrapolazione nel quale si estendono le conoscenze costruite in un insieme preciso di elementi (lo spazio finito) a un costruite in un insieme preciso di elementi (lo spazio finito) a un insieme più vasto di elementi (lo spazio comprendente l'infinito), insieme più vasto di elementi (lo spazio comprendente l'infinito), giustificando la cosa solo con il fatto che il primo insieme è contenuto giustificando la cosa solo con il fatto che il primo insieme è contenuto nel secondo. Questo procedimento non è conforme al carattere che si nel secondo. Questo procedimento non è conforme al carattere che si vuole dare alla geometria. È necessario ricorrere a un postulato, con la vuole dare alla geometria. È necessario ricorrere a un postulato, con la chiara coscienza che questo costituisce solo una delle possibili scelte.chiara coscienza che questo costituisce solo una delle possibili scelte.

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Se Euclide e 2000 anni di geometria hanno scelto l'ipotesi Se Euclide e 2000 anni di geometria hanno scelto l'ipotesi dell'angolo retto per lo spazio, significa che essa appariva dell'angolo retto per lo spazio, significa che essa appariva più più evidente evidente quando era giudicata in uno spazio limitato. quando era giudicata in uno spazio limitato. Non per questo quella euclidea è l'unica geometria metrica Non per questo quella euclidea è l'unica geometria metrica possibile. Anzi dobbiamo dedurre che esiste una possibile. Anzi dobbiamo dedurre che esiste una fondamentale differenza tra:fondamentale differenza tra:

– la costruzione di una geometria come scienza che studia lo la costruzione di una geometria come scienza che studia lo spazio e le figure matematiche;spazio e le figure matematiche;

– la costruzione di una geometria che descrive le proprietà dello la costruzione di una geometria che descrive le proprietà dello spazio fisico in cui viviamo.spazio fisico in cui viviamo.

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Per una geometria del primo tipo, che chiameremo Per una geometria del primo tipo, che chiameremo geometria matematicageometria matematica, qualunque ipotesi è interessante , qualunque ipotesi è interessante (purché non contraddittoria con le altre) e permette di (purché non contraddittoria con le altre) e permette di costruire una teoria con un significato matematico.costruire una teoria con un significato matematico.

• Per una geometria del secondo tipo, che chiameremo Per una geometria del secondo tipo, che chiameremo geometria fisicageometria fisica, sono interessanti solo le ipotesi che hanno , sono interessanti solo le ipotesi che hanno un'utilità nello studio della realtà dei fenomeni fisici.un'utilità nello studio della realtà dei fenomeni fisici.

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La geometria dell'angolo acutoLa geometria dell'angolo acuto

• Nel corso del XIX secolo, ad opera separatamente del russo Nel corso del XIX secolo, ad opera separatamente del russo Nikolaj Ivanovic LobacevskijNikolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856), dell'ungherese (1793-1856), dell'ungherese János BolyaiJános Bolyai (1802-1860) e del tedesco (1802-1860) e del tedesco Karl Friedrich GaussKarl Friedrich Gauss (1777-1855), viene elaborata la geometria fondata sui primi (1777-1855), viene elaborata la geometria fondata sui primi quattro postulati di Euclide e sull'ipotesi dell'angolo acuto, quattro postulati di Euclide e sull'ipotesi dell'angolo acuto, chiamatachiamata geometria dell'angolo acuto geometria dell'angolo acuto o o geometria iperbolicageometria iperbolica..

• Questa geometria, per i matematici dell'epoca, non ha alcun Questa geometria, per i matematici dell'epoca, non ha alcun riferimento con lo spazio della fisica allora accettata ed è una riferimento con lo spazio della fisica allora accettata ed è una geometria metrica non euclidea.geometria metrica non euclidea.

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La geometria dell'angolo acutoLa geometria dell'angolo acuto

• Data una corda, per un punto Data una corda, per un punto esterno ad essa passano infinite esterno ad essa passano infinite corde che non intersecano la prima: corde che non intersecano la prima: ciò equivale, nello spazio ciò equivale, nello spazio iperbolico, alla proprietà (non iperbolico, alla proprietà (non valida nella geometria euclidea) per valida nella geometria euclidea) per cui da un punto esterno a una retta cui da un punto esterno a una retta passano infinite parallele alla retta passano infinite parallele alla retta data. La geometria iperbolica ha data. La geometria iperbolica ha proprietà che possono apparire proprietà che possono apparire strane, proprio perché non strane, proprio perché non euclidee: la somma degli angoli euclidee: la somma degli angoli interni di un triangolo, per esempio, interni di un triangolo, per esempio, risulta minore di due angoli retti.risulta minore di due angoli retti.

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• Per tentare di comprenderne il significato è possibile costruire un Per tentare di comprenderne il significato è possibile costruire un modello. Sia dato modello. Sia dato l'insieme dei punti interni di un cerchiol'insieme dei punti interni di un cerchio, con , con esclusione dunque dei punti della circonferenza: i punti del piano esclusione dunque dei punti della circonferenza: i punti del piano della geometria iperbolica sono i punti di tale insieme. Le rette della geometria iperbolica sono i punti di tale insieme. Le rette dello spazio iperbolico sono rappresentate, nel modello, dalle corde dello spazio iperbolico sono rappresentate, nel modello, dalle corde del cerchio. L'intersezione tra due rette corrisponde all'intersezione del cerchio. L'intersezione tra due rette corrisponde all'intersezione tra due corde. tra due corde.

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La geometria dell'angolo acutoLa geometria dell'angolo acuto

• Se la geometria iperbolica non presentava alcun Se la geometria iperbolica non presentava alcun interesse per la fisica ai tempi della sua prima interesse per la fisica ai tempi della sua prima elaborazione, oggi essa risulta più appropriata della elaborazione, oggi essa risulta più appropriata della geometria euclidea per descrivere alcuni fenomeni geometria euclidea per descrivere alcuni fenomeni fisici, come ad esempio il fisici, come ad esempio il comportamento dei raggi di comportamento dei raggi di luce.luce.

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La geometria dell'angolo ottusoLa geometria dell'angolo ottuso

• Sempre nel XIX secolo, ad opera principalmente del Sempre nel XIX secolo, ad opera principalmente del tedesco tedesco Bernhard RiemannBernhard Riemann (1826-1866), viene elaborata (1826-1866), viene elaborata la geometria fondata sui primi quattro postulati di Euclide la geometria fondata sui primi quattro postulati di Euclide e sull'ipotesi dell'angolo ottuso, chiamata e sull'ipotesi dell'angolo ottuso, chiamata geometria geometria dell'angolo ottusodell'angolo ottuso o o geometria ellitticageometria ellittica..

• Anch'essa per i matematici dell'epoca non ha alcun Anch'essa per i matematici dell'epoca non ha alcun riferimento con lo spazio fisico ed è una geometria metrica riferimento con lo spazio fisico ed è una geometria metrica non euclidea.non euclidea.

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La geometria dell'angolo ottusoLa geometria dell'angolo ottuso

• Anche in questo caso Anche in questo caso risulta utile costruire un risulta utile costruire un modello. Sia dato modello. Sia dato l'insieme l'insieme dei punti della superficie di dei punti della superficie di una semisfera, con una semisfera, con esclusione del suo esclusione del suo contornocontorno: i punti del piano : i punti del piano della geometria ellittica della geometria ellittica sono i punti di tale insieme.sono i punti di tale insieme.

• Le rette dello spazio Le rette dello spazio ellittico sono ellittico sono rappresentate, nel rappresentate, nel modello, da porzioni di modello, da porzioni di geodetiche, geodetiche, cioè da cioè da porzioni di circonferenze porzioni di circonferenze massime.massime.

Polo Nord

Equatore

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La geometria dell'angolo ottusoLa geometria dell'angolo ottuso

• L'intersezione tra due rette corrisponde alla intersezione tra due L'intersezione tra due rette corrisponde alla intersezione tra due geodetiche. Per ogni punto passano infinite geodetiche, ma, data geodetiche. Per ogni punto passano infinite geodetiche, ma, data una geodetica, per un punto esterno ad essa non passa alcuna una geodetica, per un punto esterno ad essa non passa alcuna geodetica che non la intersechi: ciò equivale, nello spazio ellittico, geodetica che non la intersechi: ciò equivale, nello spazio ellittico, alla proprietà (non valida nella geometria euclidea) per cui da un alla proprietà (non valida nella geometria euclidea) per cui da un punto esterno a una retta non si può tracciare alcuna retta parallela punto esterno a una retta non si può tracciare alcuna retta parallela alla retta data. Nella geometria ellittica la somma degli angoli interni alla retta data. Nella geometria ellittica la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti.di un triangolo è maggiore di due angoli retti.

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La geometria dell'angolo ottusoLa geometria dell'angolo ottuso

• Possiamo osservare che la geometria ellittica è la geometria terrestre. In un Possiamo osservare che la geometria ellittica è la geometria terrestre. In un triangolo avente i tre vertici coincidenti con tre punti della superficie triangolo avente i tre vertici coincidenti con tre punti della superficie terrestre e in cui ogni lato rappresenta il percorso più breve da un vertice terrestre e in cui ogni lato rappresenta il percorso più breve da un vertice all'altro, la somma degli angoli interni è maggiore di un angolo piatto. Come all'altro, la somma degli angoli interni è maggiore di un angolo piatto. Come caso estremo si consideri un triangolo con un vertice nel polo Nord e gli altri caso estremo si consideri un triangolo con un vertice nel polo Nord e gli altri due sull'equatore, a una distanza tra loro pari a un quarto della lunghezza due sull'equatore, a una distanza tra loro pari a un quarto della lunghezza dell'equatore: la somma degli angoli interni di un tale triangolo è pari a tre dell'equatore: la somma degli angoli interni di un tale triangolo è pari a tre angoli retti.angoli retti.

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• Sia la geometria di Lobacevskij Sia la geometria di Lobacevskij che quella di Riemann sono che quella di Riemann sono geometrie metriche, ovvero è geometrie metriche, ovvero è definita in esse la distanza tra due definita in esse la distanza tra due punti come il percorso più breve punti come il percorso più breve che li congiunge. Ma tali distanze che li congiunge. Ma tali distanze hanno forme matematiche hanno forme matematiche profondamente diverse da quelle profondamente diverse da quelle della geometria euclidea, che è della geometria euclidea, che è fondata sul teorema di Pitagora.fondata sul teorema di Pitagora.

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La geometria dell'angolo ottusoLa geometria dell'angolo ottuso

• Se la geometria ellittica non rivestiva interesse per la fisica Se la geometria ellittica non rivestiva interesse per la fisica ai tempi della sua prima elaborazione, oggi essa è utilizzata ai tempi della sua prima elaborazione, oggi essa è utilizzata nello studio delle nello studio delle proprietà gravitazionali dello spazioproprietà gravitazionali dello spazio, , nell'ambito della teoria generale della relatività (Einstein, nell'ambito della teoria generale della relatività (Einstein, 1916).1916).

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

Riemann, 1867Riemann, 1867 Euclide, 300 a.C.Euclide, 300 a.C. Lobacevskij, 1829Lobacevskij, 1829

GeometriaGeometria ELLITTICAELLITTICA PARABOLICAPARABOLICA IPERBOLICAIPERBOLICA

Parallele a un puntoParallele a un punto NessunaNessuna Una solaUna sola InfiniteInfinite

angoli triangoloangoli triangolo > > = = < <

r curvatura spazior curvatura spazio finitofinito infinitoinfinito C, non reale C, non reale

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Per ristabilire il legame tra la geometria e la realtà, Gauss Per ristabilire il legame tra la geometria e la realtà, Gauss tenta di misurare la somma degli angoli interni di un tenta di misurare la somma degli angoli interni di un triangolo geografico: è uno degli ultimi tentativi di triangolo geografico: è uno degli ultimi tentativi di comprendere quale sia la geometria fisica. Ma comprendere quale sia la geometria fisica. Ma contemporaneamente rappresenta il riconoscere che la contemporaneamente rappresenta il riconoscere che la geometria è geometria è conoscenza a posterioriconoscenza a posteriori nella misura in cui è nella misura in cui è riferita alla realtà: Gauss è il primo a pensare in modo non riferita alla realtà: Gauss è il primo a pensare in modo non kantiano in geometria kantiano in geometria (C. Mangione).(C. Mangione).

• Nella misura in cui le proposizioni matematiche si riferiscono Nella misura in cui le proposizioni matematiche si riferiscono alla realtà, esse non sono certe; e nella misura in cui esse alla realtà, esse non sono certe; e nella misura in cui esse sono certe, non si riferiscono alla realtà sono certe, non si riferiscono alla realtà (Einstein, saggio (Einstein, saggio Geometria ed esperienza)Geometria ed esperienza)

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E' famoso il seguente brano del matematico francese Henri Poincaré (1854-E' famoso il seguente brano del matematico francese Henri Poincaré (1854-1914).1914).

– ““Poiché sono possibili parecchie geometrie, siamo sicuri che proprio la nostra sia Poiché sono possibili parecchie geometrie, siamo sicuri che proprio la nostra sia quella vera?... Per rispondere è necessario che prima ci poniamo la domanda sulla quella vera?... Per rispondere è necessario che prima ci poniamo la domanda sulla natura degli assiomi della geometria.natura degli assiomi della geometria.Sono essi giudizi Sono essi giudizi a priori a priori come vuole Kant? In tal caso ci si imporrebbero con tale come vuole Kant? In tal caso ci si imporrebbero con tale forza che sarebbe impossibile concepire il contrario e quindi potremmo costruirvi forza che sarebbe impossibile concepire il contrario e quindi potremmo costruirvi sopra un edificio teorico; non ci sarebbero in tal caso geometrie non euclidee.sopra un edificio teorico; non ci sarebbero in tal caso geometrie non euclidee.Gli assiomi della geometria sono dunque verità sperimentali? Gli assiomi della geometria sono dunque verità sperimentali? [...] [...] Ma se la Ma se la geometria fosse una scienza sperimentale, non potrebbe essere una scienza geometria fosse una scienza sperimentale, non potrebbe essere una scienza esatta; sarebbe soggetta a continue revisioni esatta; sarebbe soggetta a continue revisioni [...][...]Gli assiomi della geometria non sono dunque né giudizi sintetici a priori né fatti di Gli assiomi della geometria non sono dunque né giudizi sintetici a priori né fatti di esperienza. Sono invece delle convenzioni; la nostra scelta, fra tutte le esperienza. Sono invece delle convenzioni; la nostra scelta, fra tutte le convenzioni possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e non trova convenzioni possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e non trova dei limiti che nella necessità di evitare le contraddizioni. Per questo i postulati dei limiti che nella necessità di evitare le contraddizioni. Per questo i postulati possono rimanere rigorosamente veri, anche se le leggi sperimentali che ne hanno possono rimanere rigorosamente veri, anche se le leggi sperimentali che ne hanno determinato l'adozione fossero solo approssimative.determinato l'adozione fossero solo approssimative.In altre parole, gli assiomi della geometria non sono che definizioni camuffate.In altre parole, gli assiomi della geometria non sono che definizioni camuffate.Ed allora che cosa si deve pensare del problema se la geometria euclidea è vera? Ed allora che cosa si deve pensare del problema se la geometria euclidea è vera? Tale problema è senza senso!Tale problema è senza senso!Altrettanto varrebbe domandare se il sistema metrico è vero e false le misure Altrettanto varrebbe domandare se il sistema metrico è vero e false le misure antiche; se le coordinate cartesiane sono vere e le polari false.antiche; se le coordinate cartesiane sono vere e le polari false.Una geometria non può essere più vera di un'altra; può essere soltanto più Una geometria non può essere più vera di un'altra; può essere soltanto più comoda.”comoda.”

Poincaré H., citato in Chiellini, pag. 466Poincaré H., citato in Chiellini, pag. 466

Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Epilogo dell'epoca bimillenaria della GeometriaGeometria

• Riassumiamo le conseguenze fondamentali della scoperta Riassumiamo le conseguenze fondamentali della scoperta delle geometrie non euclidee:delle geometrie non euclidee:

– Crisi della Crisi della univocità e necessità dei concetti geometriciunivocità e necessità dei concetti geometrici..

– Geometria matematica e geometria fisica si separano. Lo spazio Geometria matematica e geometria fisica si separano. Lo spazio matematico e lo spazio fisico tornano a divorziare.matematico e lo spazio fisico tornano a divorziare.Come ai tempi di Aristotele!Come ai tempi di Aristotele!

• Teoria matematica e realtà si separano: vi sarà una Teoria matematica e realtà si separano: vi sarà una verità verità matematicamatematica (legata essenzialmente al (legata essenzialmente al principio di non principio di non contraddizionecontraddizione) e una ) e una verità di realtàverità di realtà..

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3. La “crisi dei fondamenti” 3. La “crisi dei fondamenti” dell’Ottocentodell’OttocentoLa fugace stagione dell'AritmeticaLa fugace stagione dell'Aritmetica

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La perdita della certezza La perdita della certezza nell'Evidenzanell'Evidenza

• I Greci avevano posto il problema:I Greci avevano posto il problema:Esistono più punti sulla retta che numeri razionaliEsistono più punti sulla retta che numeri razionali

• I numeri razionali (insieme I numeri razionali (insieme QQ) sono quelli definibili sempre ) sono quelli definibili sempre come rapporti tra numeri naturali (insieme come rapporti tra numeri naturali (insieme NN). I numeri reali ). I numeri reali (insieme (insieme RR) comprendono sia i razionali che altri numeri, ) comprendono sia i razionali che altri numeri, detti irrazionali.detti irrazionali.

• In sostanza i Greci scoprirono due cose.In sostanza i Greci scoprirono due cose.

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

1) I numeri che costituivano il loro cosmo aritmetico, i numeri 1) I numeri che costituivano il loro cosmo aritmetico, i numeri costruibili cioè come rapporti di interi, sono costruibili cioè come rapporti di interi, sono infiniti oltre che infiniti oltre che per addizioneper addizione anche anche per divisioneper divisione. Si accorsero cioè che tra . Si accorsero cioè che tra due numeri razionali, anche vicinissimi, come ad esempio 0 e due numeri razionali, anche vicinissimi, come ad esempio 0 e 0.000001 (un milionesimo), sono compresi infiniti numeri 0.000001 (un milionesimo), sono compresi infiniti numeri razionali. Ciò da una parte li espose irrimediabilmente alla razionali. Ciò da una parte li espose irrimediabilmente alla critica zenoniana, ma dall'altra dovette far intravedere la critica zenoniana, ma dall'altra dovette far intravedere la possibilità di descrivere lo spazio (e la geometria stessa) con possibilità di descrivere lo spazio (e la geometria stessa) con l'aritmetica: infatti, sia un segmento che un sottoinsieme di l'aritmetica: infatti, sia un segmento che un sottoinsieme di numeri razionali, come quelli compresi tra 0 e 1, contengono numeri razionali, come quelli compresi tra 0 e 1, contengono infiniti elementi. Si sospettò dunque la corrispondenza infiniti elementi. Si sospettò dunque la corrispondenza biunivoca tra l'insieme biunivoca tra l'insieme QQ e la retta e che l'insieme e la retta e che l'insieme QQ fosse fosse un "pieno" e non lasciasse "buchi".un "pieno" e non lasciasse "buchi".

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

2) Questa speranza si rivelò illusoria: 2) Questa speranza si rivelò illusoria: i numeri razionali i numeri razionali rivelarono dei “buchi”rivelarono dei “buchi” e non si prestarono più a descrivere lo e non si prestarono più a descrivere lo spazio fisico, dopo la scoperta dei numeri irrazionali.spazio fisico, dopo la scoperta dei numeri irrazionali.

Cadde ogni speranza di costruire una corrispondenza tra Cadde ogni speranza di costruire una corrispondenza tra aritmetica e geometria.aritmetica e geometria.

Ne risultò penalizzata l'aritmetica, che divenne matematica Ne risultò penalizzata l'aritmetica, che divenne matematica del discreto, e la matematica dell'Occidente per secoli si del discreto, e la matematica dell'Occidente per secoli si identificò quasi solo con la geometria.identificò quasi solo con la geometria.

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

• Tutta la matematica dei Greci è fortemente caratterizzata dalla Tutta la matematica dei Greci è fortemente caratterizzata dalla costruibilità. Il criterio di costruibilità appariva molto più costruibilità. Il criterio di costruibilità appariva molto più affidabile di ogni speculazione, soprattutto dopo due episodi affidabile di ogni speculazione, soprattutto dopo due episodi spiacevoli che costruiranno il complesso del mondo greco per spiacevoli che costruiranno il complesso del mondo greco per l'infinito: l'infinito:

• la lacerante scoperta dei numeri irrazionali in aritmetica.la lacerante scoperta dei numeri irrazionali in aritmetica.

• la penetrante e aggressiva critica di Zenone al molteplice la penetrante e aggressiva critica di Zenone al molteplice geometricogeometrico

• I Greci sapevano ciò che, I Greci sapevano ciò che, in linguaggio modernoin linguaggio moderno, chiamiamo la , chiamiamo la densità dell’insieme dei razionali densità dell’insieme dei razionali QQ..

Teorema della densità di QTeorema della densità di QbcaQcQba :,

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

• Trovarono inoltre, in ambito geometrico, una conseguenza di Trovarono inoltre, in ambito geometrico, una conseguenza di quanto, quanto, in linguaggio modernoin linguaggio moderno ed in ambito aritmetico, ed in ambito aritmetico, potremmo definire come la continuità di potremmo definire come la continuità di RR, ma non di , ma non di QQ::RR e e QQ quindi non potevano essere messi in corrispondenza quindi non potevano essere messi in corrispondenza biunivoca.biunivoca.

• Teorema della numerabilità di Teorema della numerabilità di QQ..L'insieme L'insieme QQ è numerabile (Cantor) è numerabile (Cantor)

Mettendo in ordine tutte le frazioni nella matrice seguente:Mettendo in ordine tutte le frazioni nella matrice seguente:0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 ..…0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 ..…0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 ..…0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 ..…0/3 1/3 2/3 3/3 4/3 ..…0/3 1/3 2/3 3/3 4/3 ..…0/4 1/4 2/4 3/4 4/4 ..…0/4 1/4 2/4 3/4 4/4 ..…… … … … … … … … … … queste si possono "contare", cioè mettere in corrispondenza con i queste si possono "contare", cioè mettere in corrispondenza con i numeri naturali. Dunque numeri naturali. Dunque QQ è numerabile. è numerabile.

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

• Teorema della non numerabilità di RTeorema della non numerabilità di R (Liouville) (Liouville)Dim. per abs. di Cantor (usa l'assioma della scelta di Zermelo)Dim. per abs. di Cantor (usa l'assioma della scelta di Zermelo)

Ordino tutti i numeri reali in questo modo:Ordino tutti i numeri reali in questo modo:aa11= 0.= 0.11 11 12 12 13 13 1414……aa22= 0.= 0.21 21 22 22 23 23 2424……aa33= 0.= 0.31 31 32 32 33 33 3434……… … Ma il numero b=0.ßMa il numero b=0.ß1 1 ßß2 2 ßß3 3 ßß44... (con ß... (con ßii = 0 se = 0 se iiii dispari e =1 se dispari e =1 se iiii pari) pari) non compare! (absurdus, c.v.d.).non compare! (absurdus, c.v.d.).Dunque Dunque RR non è numerabile. non è numerabile.

• L'L'aporia di Zenoneaporia di Zenone si può sintetizzare con le chiare parole di P. Albertelli si può sintetizzare con le chiare parole di P. Albertelli che ha curato le traduzioni dei frammenti di Zenone nel volume che ha curato le traduzioni dei frammenti di Zenone nel volume I I PresocraticiPresocratici di Hermann Diels. L'aporia dice: di Hermann Diels. L'aporia dice:

• a) a) [Tesi][Tesi]. Se l'essere ha grandezza (= è continuo, è divisibile) è . Se l'essere ha grandezza (= è continuo, è divisibile) è molteplice e non uno in conseguenza della divisione in parti; ma molteplice e non uno in conseguenza della divisione in parti; ma se nulla è uno, dato che la molteplicità è costituita di unità, nulla se nulla è uno, dato che la molteplicità è costituita di unità, nulla sarà molteplice.sarà molteplice.

• b) b) [Antitesi][Antitesi]. L'indivisibile, ciò che non ha grandezza, l'uno, non . L'indivisibile, ciò che non ha grandezza, l'uno, non esiste; infatti non è nulla ciò che, sottratto o aggiunto, non esiste; infatti non è nulla ciò che, sottratto o aggiunto, non diminuisce o accresce.diminuisce o accresce.

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

• Tutte le volte che successivamente, come ad esempio nella Tutte le volte che successivamente, come ad esempio nella soluzione delle equazioni algebriche, si pose il problema di soluzione delle equazioni algebriche, si pose il problema di trattare con l'insieme dei numeri reali (razionali e irrazionali) trattare con l'insieme dei numeri reali (razionali e irrazionali) si fece ricorso alla geometria, ritenuta più affidabile: basta si fece ricorso alla geometria, ritenuta più affidabile: basta infatti associare all'insieme dei numeri reali quella infatti associare all'insieme dei numeri reali quella "pienezza", caratteristica della retta, che va sotto il nome di "pienezza", caratteristica della retta, che va sotto il nome di continuitàcontinuità. Ciò avviene ammettendo implicitamente il . Ciò avviene ammettendo implicitamente il seguente assioma:seguente assioma:

Tra i punti di una retta Tra i punti di una retta r r e l'insieme e l'insieme RR dei numeri reali c'è una dei numeri reali c'è una corrispondenza biunivoca.corrispondenza biunivoca.

– Mentre non può esserci corrispondenza biunivoca tra l'insieme Q Mentre non può esserci corrispondenza biunivoca tra l'insieme Q dei numeri razionali e i punti sulla retta.dei numeri razionali e i punti sulla retta.

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

• Così facendo:Così facendo:

Continuità della retta Continuità della retta Continuità dell'insieme Continuità dell'insieme RR dei numeri reali dei numeri reali

Continuità in Geometria Continuità in Geometria Continuità in Aritmetica. Continuità in Aritmetica.

Geometria Geometria Tutta la MatematicaTutta la Matematica

• Dopo la scoperta delle Dopo la scoperta delle geometrie non euclideegeometrie non euclidee questo modo questo modo di vedere entra in crisi. La crisi appare fondamentalmente di vedere entra in crisi. La crisi appare fondamentalmente circoscritta alla geometria, poiché è fondamentalmente crisi circoscritta alla geometria, poiché è fondamentalmente crisi del legame tra spazio matematico e fisico.del legame tra spazio matematico e fisico.

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La perdita della certezza nell'EvidenzaLa perdita della certezza nell'Evidenza

• La matematica deve cercare un altro fondamento alle sue La matematica deve cercare un altro fondamento alle sue verità. Occorre un fondamento per l'Analisi matematica e, verità. Occorre un fondamento per l'Analisi matematica e, poiché questa si fonda sul poiché questa si fonda sul continuocontinuo, , necessita di un necessita di un fondamento la continuità dell'insieme fondamento la continuità dell'insieme RR. E con essa la . E con essa la stessa Geometria e la continuità della retta.stessa Geometria e la continuità della retta.

• Se il continuo geometrico della retta non è più affidabile per Se il continuo geometrico della retta non è più affidabile per giustificare il continuo dei numeri reali, sarà l'giustificare il continuo dei numeri reali, sarà l'aritmeticaaritmetica stessa al suo interno a fondarlo. Ciò viene fatto stessa al suo interno a fondarlo. Ciò viene fatto introducendo in modo rigoroso il concetto di introducendo in modo rigoroso il concetto di numero reale.numero reale.

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• Nel 1872 vengono date tre diverse Nel 1872 vengono date tre diverse definizioni di definizioni di numero realenumero reale, che , che corrispondono a due differenti corrispondono a due differenti assiomi di continuitàassiomi di continuità. Uno di questi è . Uno di questi è dovuto a Cantor.dovuto a Cantor.

• Assioma di continuitàAssioma di continuità (Cantor) (Cantor)

– Due insiemi Due insiemi separati separati e e contigui contigui ammettono ammettono uno e un solo uno e un solo elemento di elemento di separazione.separazione.

• Assioma di continuità (Dedekind)Assioma di continuità (Dedekind)

– Dividendo un insieme A in due classi ADividendo un insieme A in due classi A11 e A e A22, tali che:, tali che:

• ciascun elemento di A appartenga o ad Aciascun elemento di A appartenga o ad A11 o ad A o ad A22;;

• ogni elemento di Aogni elemento di A11 preceda ogni elemento di A preceda ogni elemento di A22;;

– esiste uno e un solo esiste uno e un solo elemento di separazioneelemento di separazione, appartenente o ad A, appartenente o ad A11 o ad A o ad A22..

– Si dimostra che:Si dimostra che:Dedekind Dedekind Cantor CantorDedekind Dedekind Eudosso-Archimede Eudosso-Archimede

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• In breve: contigui significa che i due insiemi sono "infinitamente In breve: contigui significa che i due insiemi sono "infinitamente ravvicinati" e separati che ogni elemento del primo precede tutti gli ravvicinati" e separati che ogni elemento del primo precede tutti gli elementi del secondo. L'argomento è ampiamente trattato dai testi di elementi del secondo. L'argomento è ampiamente trattato dai testi di matematica liceale. Se ne studiano solitamente le applicazioni matematica liceale. Se ne studiano solitamente le applicazioni geometriche al problema della rettificazione della circonferenza e della geometriche al problema della rettificazione della circonferenza e della quadratura del cerchio.quadratura del cerchio.

• Va sottolineata qui la portata dell'assioma, per evitare una sua lettura Va sottolineata qui la portata dell'assioma, per evitare una sua lettura banalizzante, come la seguente: Se dico che banalizzante, come la seguente: Se dico che un insieme è costituito da un insieme è costituito da tutti i numeri minori di tutti i numeri minori di e l'altro da tutti quelli maggiori e l'altro da tutti quelli maggiori, è ovvio che , è ovvio che l'elemento di separazione l'elemento di separazione esista. esista.Occorre pensare a tutti i modi possibili di individuare i due insiemi Occorre pensare a tutti i modi possibili di individuare i due insiemi senza ricorrere all'elemento di separazione, come ad esempio il senza ricorrere all'elemento di separazione, come ad esempio il seguente: seguente: Il primo insieme contiene tutti i numeri i cui quadrati sono Il primo insieme contiene tutti i numeri i cui quadrati sono minori di 2 e il secondo tutti i numeri i cui quadrati sono maggiori di 2minori di 2 e il secondo tutti i numeri i cui quadrati sono maggiori di 2. . Solo l'assioma di continuità ci assicura Solo l'assioma di continuità ci assicura aritmeticamentearitmeticamente dell'esistenza dell'esistenza del numero del numero 2.2.

• Si noti che Aristotele descrive la continuità della retta nel modo Si noti che Aristotele descrive la continuità della retta nel modo seguente: “seguente: “Una cosa è continua quando i limiti in cui due sue qualsiasi Una cosa è continua quando i limiti in cui due sue qualsiasi parti successive si toccano sono uno e uno solo e sono, come implica parti successive si toccano sono uno e uno solo e sono, come implica la parola "continuo", tenuti insiemela parola "continuo", tenuti insieme” (” (Kline M., vol. 1, p. 65)Kline M., vol. 1, p. 65)

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• L'L'analisianalisi non necessita più della non necessita più della geometriageometria né del concetto né del concetto intuitivo di spazio, che diviene un ente astratto: la nozione di intuitivo di spazio, che diviene un ente astratto: la nozione di numero naturale appare più semplice e meno problematica.numero naturale appare più semplice e meno problematica.

• ““Per la prima volta nella storia era il continuo definito Per la prima volta nella storia era il continuo definito aritmeticamente che fondava quello geometricoaritmeticamente che fondava quello geometrico”” (C. (C. Mangione).Mangione).

Aritmetica Aritmetica Analisi Analisi GeometriaGeometria

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• Recupero delle certezze perdute?Recupero delle certezze perdute?L'Aritmetica si fonda su giudizi sintetici a priori?L'Aritmetica si fonda su giudizi sintetici a priori?

• Secondo Secondo PoincaréPoincaré, il , il principio di induzione principio di induzione - che, per - che, per FregeFrege e e DedekindDedekind, è fondamento dell'aritmetica - è “, è fondamento dell'aritmetica - è “l'unico principio l'unico principio scientifico che possa insegnarci qualcosa di nuovo, qualcosa cioè scientifico che possa insegnarci qualcosa di nuovo, qualcosa cioè che non proviene dall'esperienza e che arricchisce in modo che non proviene dall'esperienza e che arricchisce in modo effettivo la nostra conoscenza. Esso soddisfa dunque alle effettivo la nostra conoscenza. Esso soddisfa dunque alle condizioni enunciate da Kant perché una scienza risulti condizioni enunciate da Kant perché una scienza risulti autenticamente tale: «É il vero tipo di giudizio sintetico a priori»".autenticamente tale: «É il vero tipo di giudizio sintetico a priori»". (citato in Geymonat, VI, 182)(citato in Geymonat, VI, 182)

• Poincaré si rivela convenzionalista in geometria ma kantiano in Poincaré si rivela convenzionalista in geometria ma kantiano in aritmetica.aritmetica.

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• Il principio di induzione è il ponte che collega il numero (finito) Il principio di induzione è il ponte che collega il numero (finito) all'infinito. Esso afferma quanto segue:all'infinito. Esso afferma quanto segue:

– Se una proprietà P vale per un certo numero intero nSe una proprietà P vale per un certo numero intero n00

– E se so che, se quella proprietà vale per un numero naturale n, allora E se so che, se quella proprietà vale per un numero naturale n, allora vale anche per il suo successivo n+1vale anche per il suo successivo n+1

– Allora la proprietà P vale per tutti i numeri naturali nAllora la proprietà P vale per tutti i numeri naturali n

• In simboli:In simboli:

– (P(n(P(n00) ) ( (n P(n) n P(n) P(n+1))) P(n+1))) n P(n)n P(n)

– dove n e ndove n e n00 sono numeri naturali. sono numeri naturali.

– Si legge: “Se P vale per nSi legge: “Se P vale per n00 e se, valendo P per un qualsiasi n, vale anche e se, valendo P per un qualsiasi n, vale anche per n+1, allora P vale per tutti gli n.per n+1, allora P vale per tutti gli n.

• Il principio di induzione sembra molto naturale e fonda la sua forza Il principio di induzione sembra molto naturale e fonda la sua forza su questa evidenza.su questa evidenza.

• Pur tuttavia esso concerne l'infinito e quindi la sua deve essere Pur tuttavia esso concerne l'infinito e quindi la sua deve essere considerata una falsa evidenza.considerata una falsa evidenza.

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• Come giustificare il Come giustificare il principio di induzioneprincipio di induzione??

• Ricorso a proprietà della mente non basta, poiché la Ricorso a proprietà della mente non basta, poiché la verità verità del principio non può essere dimostrata in modo semantico, del principio non può essere dimostrata in modo semantico, giacché il principio di induzione è la nostra chiave di accesso giacché il principio di induzione è la nostra chiave di accesso alla alla comprensione comprensione dell'infinito.dell'infinito.

• Il Il problema dei fondamentiproblema dei fondamenti è indissolubilmente intrecciato è indissolubilmente intrecciato con il con il problema dell'infinitoproblema dell'infinito..

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• Georg CantorGeorg Cantor (1845-1918): sposta l'intuizione sul concetto di (1845-1918): sposta l'intuizione sul concetto di insieme.insieme.

• Teoria intuizionistica degli insiemiTeoria intuizionistica degli insiemi a fondamento dell'aritmetica.a fondamento dell'aritmetica.

Insiemistica Insiemistica Aritmetica Aritmetica AnalisiAnalisi GeometriaGeometria

• La teoria degli insiemi - che si studia nella scuola media - con La teoria degli insiemi - che si studia nella scuola media - con Cantor diviene strumentale alla trattazione del problema Cantor diviene strumentale alla trattazione del problema dell'infinito in aritmetica.dell'infinito in aritmetica.

• Devono esistere almeno due infiniti:Devono esistere almeno due infiniti:

– l’infinito l’infinito numerabilenumerabile, , 00, di , di NN, , ZZ e e QQ

– l’infinito l’infinito continuocontinuo, , cc, di , di e della retta e della retta

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Gli infiniti di CantorGli infiniti di Cantor

• Discutere di numeri infiniti conduce a facili errori, come Discutere di numeri infiniti conduce a facili errori, come mostrano i paradossi dell'infinito.mostrano i paradossi dell'infinito.

• Paradosso di GalileoParadosso di Galileo::

– ““I numeri quadrati sono tanti quanti tutti i numeri” I numeri quadrati sono tanti quanti tutti i numeri” (Galileo: “(Galileo: “Non vedo che ad altra decisione si possa venire che a dire, Non vedo che ad altra decisione si possa venire che a dire, in ultima conclusione, che gli attributi di eguale, maggiore o minore in ultima conclusione, che gli attributi di eguale, maggiore o minore non aver luogo negli infiniti, ma solo nelle quantità terminate”).non aver luogo negli infiniti, ma solo nelle quantità terminate”).

• Noto anche nella versione del Noto anche nella versione del Paradosso dell'albergatoreParadosso dell'albergatore::

– ““Un albergatore possiede infinite stanze numerate Un albergatore possiede infinite stanze numerate progressivamente dal numero 1. Arrivano infiniti clienti che vengono progressivamente dal numero 1. Arrivano infiniti clienti che vengono sistemati nelle infinite stanze. Arrivano quindi altri infiniti clienti. sistemati nelle infinite stanze. Arrivano quindi altri infiniti clienti. L'albergatore ordina a tutti i clienti già sistemati di spostarsi dalla L'albergatore ordina a tutti i clienti già sistemati di spostarsi dalla propria camera n a quella con il corrispondente numero quadrato npropria camera n a quella con il corrispondente numero quadrato n22. . Si liberano infinite stanze che possono essere occupate dai nuovi Si liberano infinite stanze che possono essere occupate dai nuovi arrivati”arrivati”

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Gli infiniti di CantorGli infiniti di Cantor

• Paradosso del segmentoParadosso del segmento I punti di un segmento sono tanti quanti i punti di tutta una retta, I punti di un segmento sono tanti quanti i punti di tutta una retta, come si stabilisce con la corrispondenza biunivoca della figura.come si stabilisce con la corrispondenza biunivoca della figura.

• Altri famosi paradossi furono i seguenti:Altri famosi paradossi furono i seguenti:

– Paradosso di CantorParadosso di Cantor: Le n-ple di reali sono tante quanti i reali (tanti : Le n-ple di reali sono tante quanti i reali (tanti punti nel piano quanti sulla retta (Cantor: punti nel piano quanti sulla retta (Cantor: “Lo vedo, ma non lo credo”“Lo vedo, ma non lo credo”).).

– Paradosso di PeanoParadosso di Peano: Esistono curve che riempiono un quadrato (cfr. : Esistono curve che riempiono un quadrato (cfr. oggetti frattali).oggetti frattali).

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Gli infiniti di CantorGli infiniti di Cantor

• Questi sono tuttavia solo Questi sono tuttavia solo paradossiparadossi, poiché hanno una , poiché hanno una spiegazione nella teoria di Cantor sui numeri infiniti.spiegazione nella teoria di Cantor sui numeri infiniti.

• Partiamo dai numeri finiti.Partiamo dai numeri finiti.

• Due numeri finiti sono uguali quando sono potenze di insiemi Due numeri finiti sono uguali quando sono potenze di insiemi in corrispondenza biunivoca:in corrispondenza biunivoca:n n = = m m n n=p(=p(AA) ) mm=p(=p(BB) ) A A in corrispondenza biunivoca in corrispondenza biunivoca con con BB

• Non può mai presentarsi il caso di un insieme finito in Non può mai presentarsi il caso di un insieme finito in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

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Gli infiniti di CantorGli infiniti di Cantor

• Ma un insieme infinito è definito proprio come Ma un insieme infinito è definito proprio come un insieme un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con un che può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme propriosuo sottoinsieme proprio..

• La potenza p(La potenza p(AA) di un insieme infinito ) di un insieme infinito A A si chiama si chiama numero numero transfinitotransfinito. Il primo numero transfinito è la potenza . Il primo numero transfinito è la potenza dell'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo dell'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo 00 (si legge: (si legge: aleph con zero, aleph con zero, l’aleph è la prima lettera l’aleph è la prima lettera dell'alfabeto ebraico):dell'alfabeto ebraico):

p(p(NN) = ) = 00

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Gli infiniti di CantorGli infiniti di Cantor

• Ne discende che due insiemi infiniti di cui uno è sottoinsieme Ne discende che due insiemi infiniti di cui uno è sottoinsieme proprio dell'altro, proprio dell'altro, possonopossono corrispondere allo stesso numero corrispondere allo stesso numero transfinito.transfinito.

– Esempio: Esempio: Nel paradosso di Galileo questo accade tra l'insieme dei Nel paradosso di Galileo questo accade tra l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri quadrati: il primo contiene il numeri naturali e l'insieme dei numeri quadrati: il primo contiene il secondo, ma "hanno lo stesso numero" transfinito di elementi.secondo, ma "hanno lo stesso numero" transfinito di elementi.

• Occorre allora un criterio per dire quando due numeri transfiniti Occorre allora un criterio per dire quando due numeri transfiniti sono uguali, maggiori o minori:sono uguali, maggiori o minori:

• Teorema di Cantor - BernsteinTeorema di Cantor - Bernstein::Due insiemi infiniti sono equipotenti (cioè Due insiemi infiniti sono equipotenti (cioè "hanno lo stesso "hanno lo stesso numero transfinito”numero transfinito”) se esiste una corrispondenza biunivoca tra ) se esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascuno e un sottoinsieme proprio dell'altro.ciascuno e un sottoinsieme proprio dell'altro.

• Se esiste solo una delle due corrispondenze biunivoche, allora Se esiste solo una delle due corrispondenze biunivoche, allora uno è maggiore dell'altro.uno è maggiore dell'altro.

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Gli infiniti di CantorGli infiniti di Cantor

• Esempi: Esempi: Il numero transfinito di Il numero transfinito di NN, è uguale a quello di , è uguale a quello di ZZ ed ed anche a quello di anche a quello di QQ, ma è diverso e minore del numero , ma è diverso e minore del numero transfinito di transfinito di RR. In simboli:. In simboli:

p(p(NN) = p() = p(ZZ) = p() = p(QQ) = ) = 00

p(p() p() p(CC) = ) = cc

00 << cc

• Dunque nell'insieme dei numeri transfiniti vi è un Dunque nell'insieme dei numeri transfiniti vi è un ordineordine..

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Gli infiniti di CantorGli infiniti di Cantor

• Si chiama Si chiama insieme delle parti insieme delle parti (A)(A) dell'insieme A, quell'insieme dell'insieme A, quell'insieme formato da tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A e si dimostra formato da tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A e si dimostra che se l'insieme A ha potenza n, cioè p(A)=n, allora l'insieme che se l'insieme A ha potenza n, cioè p(A)=n, allora l'insieme delle parti di A, delle parti di A, (A), ha potenza 2(A), ha potenza 2nn: p(: p((A)) = 2(A)) = 2nn..

• Dato un insieme A infinito, esiste sempre un numero transfinito Dato un insieme A infinito, esiste sempre un numero transfinito maggiore di p(A): è p(maggiore di p(A): è p((A)):(A)):

• L'L'ipotesi del continuoipotesi del continuo in aritmetica equivale a:in aritmetica equivale a:

• Inoltre esiste anche un numero transfinito maggiore di p(Inoltre esiste anche un numero transfinito maggiore di p()=c, 2)=c, 2cc..

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Le antinomie logicheLe antinomie logiche

• La teoria intuizionistica di Cantor non dice molto di più, ma La teoria intuizionistica di Cantor non dice molto di più, ma soprattutto cade su alcuni gravi problemi: le soprattutto cade su alcuni gravi problemi: le antinomie antinomie logichelogiche..

– Antinomia di CiceroneAntinomia di Cicerone““Se tu affermi di mentire, allora:Se tu affermi di mentire, allora:

se dici il vero, allora menti;se dici il vero, allora menti;se menti, allora dici il vero”.se menti, allora dici il vero”.

– Antinomia del coccodrilloAntinomia del coccodrilloIl coccodrillo rapisce un ragazzo e dice al padre:Il coccodrillo rapisce un ragazzo e dice al padre:

«Se indovini cosa farò, riavrai tuo figlio».«Se indovini cosa farò, riavrai tuo figlio».Il padre risponde che non gli ridarà il figlio.Il padre risponde che non gli ridarà il figlio.

– Antinomia del barbiereAntinomia del barbiere (Russell, 1918) (Russell, 1918)..• Un barbiere di villaggio, vantandosi di non avere concorrenza, si fa Un barbiere di villaggio, vantandosi di non avere concorrenza, si fa

pubblicità dicendo che lui ovviamente non fa la barba a quelli che si pubblicità dicendo che lui ovviamente non fa la barba a quelli che si rasano da soli, ma la fa a tutti quelli che non si rasano da soli. Finché rasano da soli, ma la fa a tutti quelli che non si rasano da soli. Finché un giorno si chiede se deve o no radere se stesso.un giorno si chiede se deve o no radere se stesso.

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Le antinomie logicheLe antinomie logiche

• Antinomia di RussellAntinomia di Russell

– Insiemi Insiemi CC: insiemi che contengono se stessi come elemento;: insiemi che contengono se stessi come elemento;Insiemi Insiemi non-Cnon-C: insiemi che non contengono se stessi come : insiemi che non contengono se stessi come elemento.elemento.Esempi: l'insieme dei punti del piano è un insieme non-C; Esempi: l'insieme dei punti del piano è un insieme non-C; l'insieme di tutti gli insiemi pensabili è un insieme Cl'insieme di tutti gli insiemi pensabili è un insieme C

– Se Se MM è è l'l'insieme di tutti gli insiemi non-Cinsieme di tutti gli insiemi non-C, allora:, allora:• se se MM è è non-C,non-C, non contiene se stesso, ma allora, per definizione non contiene se stesso, ma allora, per definizione

di di MM, contiene se stesso;, contiene se stesso;

• se se MM è è CC, contiene se stesso, ma allora, per definizione di , contiene se stesso, ma allora, per definizione di MM, , non contiene se stesso.non contiene se stesso.

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Le antinomie logicheLe antinomie logiche

• Cosa c'entrano le antinomie logiche con la teoria di Cantor ?Cosa c'entrano le antinomie logiche con la teoria di Cantor ?

• ““La causa di tutti questi paradossi, come rilevano La causa di tutti questi paradossi, come rilevano RussellRussell e e WhiteheadWhitehead, è che un oggetto viene definito in termini di una , è che un oggetto viene definito in termini di una classe di oggetti che contiene l'oggetto stesso. Simili classe di oggetti che contiene l'oggetto stesso. Simili definizioni sono dette anche definizioni sono dette anche impredicativeimpredicative, e si trovano , e si trovano soprattutto in teoria degli insiemi. [...] La dimostrazione di soprattutto in teoria degli insiemi. [...] La dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali fa anch'essa uso di insiemi impredicativi.”fa anch'essa uso di insiemi impredicativi.”

Kline M., vol. 2, p. 1379Kline M., vol. 2, p. 1379

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Le antinomie logicheLe antinomie logiche

• ““Aristotele discute la Aristotele discute la definizionedefinizione. La sua nozione di definizione . La sua nozione di definizione è moderna: egli dice che è il è moderna: egli dice che è il nome di un insieme di parolenome di un insieme di parole. Egli . Egli rileva anche che la definizione deve essere data in termini di rileva anche che la definizione deve essere data in termini di qualche cosa che è antecedente alla cosa definita. Così, egli qualche cosa che è antecedente alla cosa definita. Così, egli critica la definizione “critica la definizione “un punto è ciò che non ha parti”un punto è ciò che non ha parti” perché perché le parole le parole “ciò che”“ciò che” non dicono a che cosa fanno riferimento, se non dicono a che cosa fanno riferimento, se non eventualmente a punto, e perciò la definizione non è non eventualmente a punto, e perciò la definizione non è corretta. Egli sostiene la necessità di termini non definiti corretta. Egli sostiene la necessità di termini non definiti perché deve esserci un punto di partenza nella serie di perché deve esserci un punto di partenza nella serie di definizioni, ma i matematici successivi persero di vista questa definizioni, ma i matematici successivi persero di vista questa necessità fino alla fine del XIX secolo”.necessità fino alla fine del XIX secolo”.

Kline M., vol. 1, p. 64.Kline M., vol. 1, p. 64.

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Le antinomie logicheLe antinomie logiche

• Per tutta la seconda metà del XIX s. si assisté ad un grande Per tutta la seconda metà del XIX s. si assisté ad un grande sviluppo della logica (sviluppo della logica (De Morgan; BooleDe Morgan; Boole; Nascita dell'algebra della ; Nascita dell'algebra della logica, cioè del calcolo logico)logica, cioè del calcolo logico)

• La logica non è più una branca della filosofiaLa logica non è più una branca della filosofia

• Idea di poter matematizzare il pensieroIdea di poter matematizzare il pensiero

• Gottlob FregeGottlob Frege (1848-1925) e (1848-1925) e Richard DedekindRichard Dedekind (1831-1916) (1831-1916) assunsero una posizione differente da quella di Cantor:assunsero una posizione differente da quella di Cantor:

Ricostruire l'aritmetica come costrutto logico fondato su definizioniRicostruire l'aritmetica come costrutto logico fondato su definizioni

• Il principio di induzione ad esempio diviene una proprietà Il principio di induzione ad esempio diviene una proprietà definitoria.definitoria.

• Rivoluzione di Frege, Dedekind:Rivoluzione di Frege, Dedekind:

Il fondamento della matematica non è psicologico, ma logicoIl fondamento della matematica non è psicologico, ma logico

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Le antinomie logicheLe antinomie logiche

• Nel 1908 Nel 1908 Ernst ZermeloErnst Zermelo (1871-1953) tentò di risolvere la (1871-1953) tentò di risolvere la questione assiomatizzando la teoria degli insiemi, cioè questione assiomatizzando la teoria degli insiemi, cioè ricostruendola a partire da un sistema di assiomi (postulati), ricostruendola a partire da un sistema di assiomi (postulati), come nella geometria di Euclide, tra i quali in particolare come nella geometria di Euclide, tra i quali in particolare l'ultimo (IX), chiamato l'ultimo (IX), chiamato Postulato di fondazionePostulato di fondazione, afferma:, afferma:

– Si esclude che esistano insiemi che appartengono a se stessi Si esclude che esistano insiemi che appartengono a se stessi come elemento.come elemento.

– Cioè si escludono esplicitamente gli insiemi Cioè si escludono esplicitamente gli insiemi C C dell'antinomia di dell'antinomia di Russell.Russell.

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Le antinomie logicheLe antinomie logiche

• Il Il criterio di evidenzacriterio di evidenza è definitivamente sostituito dal è definitivamente sostituito dal criterio criterio di non contraddizionedi non contraddizione..

Logica Logica Insiemistica Insiemistica AritmeticaAritmetica AnalisiAnalisi GeometriaGeometria

• Tuttavia la soluzione proposta da Zermelo non fu ritenuta Tuttavia la soluzione proposta da Zermelo non fu ritenuta soddisfacente da tutti i matematici.soddisfacente da tutti i matematici.

• Fin dalla fine del XIX secolo si erano infatti imposte nel Fin dalla fine del XIX secolo si erano infatti imposte nel mondo matematico tre scuole di pensiero fondate su tre mondo matematico tre scuole di pensiero fondate su tre modi diversi di intendere questa disciplina.modi diversi di intendere questa disciplina.

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5. Scuole di pensiero nel XX 5. Scuole di pensiero nel XX secolosecoloLa matematica è anche opinioneLa matematica è anche opinione

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LogicismoLogicismoFrege, Russell, WhiteheadFrege, Russell, Whitehead

• L'obiettivo della scuola logicista L'obiettivo della scuola logicista “è di fondare la matematica sulla logica. Non è “è di fondare la matematica sulla logica. Non è necessario alcuno degli assiomi della matematica; la matematica diventa nient'altro necessario alcuno degli assiomi della matematica; la matematica diventa nient'altro che una naturale estensione delle leggi e della materia della logica. Ma che una naturale estensione delle leggi e della materia della logica. Ma i postulati i postulati della logica e tutte le loro conseguenze sono arbitrari e, soprattutto, formali. Cioè, della logica e tutte le loro conseguenze sono arbitrari e, soprattutto, formali. Cioè, essi sono privi contenuto: hanno solamente una formaessi sono privi contenuto: hanno solamente una forma. Di conseguenza anche la . Di conseguenza anche la matematica non ha contenuto ma solamente forma. I significati fisici che associamo matematica non ha contenuto ma solamente forma. I significati fisici che associamo ai numeri o ai concetti geometrici non fanno parte della matematica. È pensando a ai numeri o ai concetti geometrici non fanno parte della matematica. È pensando a questo che Russell disse che questo che Russell disse che la matematica è quella materia in cui non conosciamo la matematica è quella materia in cui non conosciamo mai ciò di cui stiamo parlando, né se ciò che diciamo è veromai ciò di cui stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. In realtà, quando . In realtà, quando Russell avviò il suo programma ai primi del secolo, lui (e Frege) ritenevano veri gli Russell avviò il suo programma ai primi del secolo, lui (e Frege) ritenevano veri gli assiomi della logica. Ma Russell abbandonò questa posizione nell'edizione del 1937 assiomi della logica. Ma Russell abbandonò questa posizione nell'edizione del 1937 dei Principles of Mathematics. L'approccio logicista ha ricevuto molte critiche. [...] dei Principles of Mathematics. L'approccio logicista ha ricevuto molte critiche. [...] Un'altra seria critica filosofica della posizione logicista in toto è che se l'idea logicista Un'altra seria critica filosofica della posizione logicista in toto è che se l'idea logicista fosse corretta, allora tutta la matematica sarebbe una scienza puramente formale, fosse corretta, allora tutta la matematica sarebbe una scienza puramente formale, logico-deduttiva in cui i teoremi seguono dalle leggi del pensiero. Appare perciò logico-deduttiva in cui i teoremi seguono dalle leggi del pensiero. Appare perciò inesplicabile che una simile elaborazione deduttiva delle leggi del pensiero possa inesplicabile che una simile elaborazione deduttiva delle leggi del pensiero possa rappresentare una gran varietà di fenomeni naturali quali l'acustica, rappresentare una gran varietà di fenomeni naturali quali l'acustica, l'elettromagnetismo e la meccanica. Inoltre, l'elettromagnetismo e la meccanica. Inoltre, nella creazione della matematica nella creazione della matematica l'intuizione immaginativa o percettiva devono fornire nuovi concetti, siano essi l'intuizione immaginativa o percettiva devono fornire nuovi concetti, siano essi derivati o meno dall'esperienza. Altrimenti come potrebbero nascere nuove derivati o meno dall'esperienza. Altrimenti come potrebbero nascere nuove conoscenze? Ma nei Principia tutti i concetti si riducono a concetti logiciconoscenze? Ma nei Principia tutti i concetti si riducono a concetti logici.” .”

Kline M., vol. 2, p. 1393-1394Kline M., vol. 2, p. 1393-1394

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IntuizionismoIntuizionismoKronecker, Poincaré, Brouwer, Weyl, HeytingKronecker, Poincaré, Brouwer, Weyl, Heyting

• Le principali tesi della corrente intuizionista sono:Le principali tesi della corrente intuizionista sono:

– Alcune semplici affermazioni matematiche non devono richiedere Alcune semplici affermazioni matematiche non devono richiedere fondamento al di fuori della fondamento al di fuori della intuizioneintuizione immediata dell'uomo immediata dell'uomo..

– Esempio: Esempio: L'aritmetica non necessita di una fondazione assiomaticaL'aritmetica non necessita di una fondazione assiomatica..

• La matematica intuizionista di Kronecker ad esempio è pitagorica:La matematica intuizionista di Kronecker ad esempio è pitagorica:

– Egli riteneva che i numeri interi fossero dotati di un significato stabilito Egli riteneva che i numeri interi fossero dotati di un significato stabilito da Dioda Dio

– I numeri razionali sono un comodo sistema per trattare i numeri interiI numeri razionali sono un comodo sistema per trattare i numeri interi

– I numeri irrazionali non esistono.I numeri irrazionali non esistono.

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IntuizionismoIntuizionismo

• Un qualsiasi ente matematico dovrebbe essere Un qualsiasi ente matematico dovrebbe essere costruibile in costruibile in un numero un numero finitofinito di passi ed in modo esatto di passi ed in modo esatto. Allo stesso modo . Allo stesso modo una qualsiasi dimostrazione dovrebbe essere costruttiva.una qualsiasi dimostrazione dovrebbe essere costruttiva.

– I I numeri irrazionalinumeri irrazionali non esistono. non esistono.

– Inoltre laInoltre la costruibilità costruibilità degli enti elimina gli degli enti elimina gli insiemi impredicativiinsiemi impredicativi: : infatti, per costruire un insieme infatti, per costruire un insieme A A che contiene se stesso come che contiene se stesso come elemento occorre che elemento occorre che A A sia già costruito: dunque sia già costruito: dunque A A non è non è costruibile.costruibile.

• Rifiuto del principio logico del terzo escluso applicato agli Rifiuto del principio logico del terzo escluso applicato agli insiemi infinitiinsiemi infiniti. Ciò invalida le . Ciò invalida le dimostrazioni per assurdodimostrazioni per assurdo..

– Non si può dimostrare che un ente esiste, dimostrando che la sua Non si può dimostrare che un ente esiste, dimostrando che la sua inesistenza porterebbe a contraddizione.inesistenza porterebbe a contraddizione.

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IntuizionismoIntuizionismo

• La logica classica si fonda su tre principi.La logica classica si fonda su tre principi.

• 1) 1) Principio di identitàPrincipio di identità

– Ogni proposizione equivale a se stessa: Ogni proposizione equivale a se stessa: P P = PP P = P

• 2) 2) Principio di non contraddizionePrincipio di non contraddizione

– Una proposizione e la sua negazione non possono essere Una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere: contemporaneamente vere: P P (P (P P)P)

• 3) 3) Principio del terzo esclusoPrincipio del terzo escluso

– Una proposizione può essere solo vera o falsa: Una proposizione può essere solo vera o falsa: P P P P PP

• Proprio a causa della legge del terzo escluso (che i medievali Proprio a causa della legge del terzo escluso (che i medievali indicavano col indicavano col Tertium non daturTertium non datur) la logica classica è una ) la logica classica è una logica bivalente.logica bivalente.

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IntuizionismoIntuizionismo

• Trattando di insiemi infiniti si può incorrere in un terzo stato, Trattando di insiemi infiniti si può incorrere in un terzo stato, oltre alla oltre alla verità verità e alla e alla falsità falsità di una proposizione: la sua di una proposizione: la sua indecidibilitàindecidibilità..

– Esempio: “Nello sviluppo decimale del numero =3.1415926... Esempio: “Nello sviluppo decimale del numero =3.1415926... esiste la successione di cifre 0123456789”esiste la successione di cifre 0123456789”

• Secondo Secondo PoincaréPoincaré il ridurre la matematica alla logica il ridurre la matematica alla logica l'avrebbe trasformata in un'immensa tautologia.l'avrebbe trasformata in un'immensa tautologia.

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• «La posizione intuizionista di Brouwer discende da una filosofia più ampia. L'intuizione «La posizione intuizionista di Brouwer discende da una filosofia più ampia. L'intuizione fondamentale, secondo Brouwer, è l'avvenire delle percezioni in successione temporale. "La fondamentale, secondo Brouwer, è l'avvenire delle percezioni in successione temporale. "La matematica nasce quando l'oggetto della dualità, che risulta dal passare del tempo, viene matematica nasce quando l'oggetto della dualità, che risulta dal passare del tempo, viene astratto da tutti gli avvenimenti particolari. La rimanente forma vuota [la relazione di n con astratto da tutti gli avvenimenti particolari. La rimanente forma vuota [la relazione di n con n+1] del contenuto comune a tutte queste dualità diviene l'intuizione originaria della n+1] del contenuto comune a tutte queste dualità diviene l'intuizione originaria della matematica e ripetuta illimitatamente a nuovi soggetti matematici". Perciò con l'illimitata matematica e ripetuta illimitatamente a nuovi soggetti matematici". Perciò con l'illimitata ripetizione la mente forma il concetto dei numeri naturali successivi. L'idea che i numeri interi ripetizione la mente forma il concetto dei numeri naturali successivi. L'idea che i numeri interi derivino dall'intuizione del tempo era stata sostenuta da Kant, da William R. Hamilton nel suo derivino dall'intuizione del tempo era stata sostenuta da Kant, da William R. Hamilton nel suo Algebra as a Science of TimeAlgebra as a Science of Time, e dal filosofo Arthur Schopenhauer. [...] Le idee matematiche , e dal filosofo Arthur Schopenhauer. [...] Le idee matematiche [secondo Brouwer] sono immerse nella mente umana prima di linguaggio, logica ed [secondo Brouwer] sono immerse nella mente umana prima di linguaggio, logica ed esperienza. L'intuizione, non l'esperienza o la logica, determina la validità e l'accettabilità delle esperienza. L'intuizione, non l'esperienza o la logica, determina la validità e l'accettabilità delle idee. Si deve naturalmente ricordare che questi enunciati concernenti il ruolo dell'esperienza idee. Si deve naturalmente ricordare che questi enunciati concernenti il ruolo dell'esperienza devono essere presi in senso filosofico, non in senso storico. Secondo Brouwer gli oggetti devono essere presi in senso filosofico, non in senso storico. Secondo Brouwer gli oggetti matematici sono acquisiti per mezzo di una costruzione intellettuale, e i numeri fondamentali matematici sono acquisiti per mezzo di una costruzione intellettuale, e i numeri fondamentali 1, 2, 3, ... forniscono il prototipo di una costruzione siffatta. La possibilità della ripetizione 1, 2, 3, ... forniscono il prototipo di una costruzione siffatta. La possibilità della ripetizione illimitata della forma vuota, il passo da n ad n+1, conduce agli insiemi infiniti. Comunque, illimitata della forma vuota, il passo da n ad n+1, conduce agli insiemi infiniti. Comunque, l'infinito di Brouwer è l'infinito potenziale di Aristotele, mentre la matematica moderna, così l'infinito di Brouwer è l'infinito potenziale di Aristotele, mentre la matematica moderna, così come è stata fondata per esempio da Cantor, fa un uso estensivo degli insiemi infiniti in atto, come è stata fondata per esempio da Cantor, fa un uso estensivo degli insiemi infiniti in atto, in cui tutti gli elementi sono presenti "contemporaneamente". A proposito del concetto in cui tutti gli elementi sono presenti "contemporaneamente". A proposito del concetto intuizionista di insieme infinito, Weyl, che apparteneva alla scuola intuizionista, dice che "la intuizionista di insieme infinito, Weyl, che apparteneva alla scuola intuizionista, dice che "la successione di numeri che cresce al di là di ogni stadio già raggiunto ... è una varietà di successione di numeri che cresce al di là di ogni stadio già raggiunto ... è una varietà di possibilità che si aprono all'infinito; rimane per sempre allo stato di creazione, ma non è un possibilità che si aprono all'infinito; rimane per sempre allo stato di creazione, ma non è un dominio chiuso di cose che esistono in se stesse. Nell'aver ciecamente convertito l'uno dominio chiuso di cose che esistono in se stesse. Nell'aver ciecamente convertito l'uno nell'altro sta la vera fonte delle nostre difficoltà, comprese le antinomie - una fonte di natura nell'altro sta la vera fonte delle nostre difficoltà, comprese le antinomie - una fonte di natura più fondamentale del principio del circolo vizioso indicato da Russell. Brouwer ci ha aperto gli più fondamentale del principio del circolo vizioso indicato da Russell. Brouwer ci ha aperto gli occhi, e ci ha fatto vedere quanto la matematica classica, nutrita da una fede nell'assoluto che occhi, e ci ha fatto vedere quanto la matematica classica, nutrita da una fede nell'assoluto che trascende tutte le possibilità di umana comprensione, vada oltre simili enunciati perché può trascende tutte le possibilità di umana comprensione, vada oltre simili enunciati perché può vantare un significato reale e una verità fondata sull'evidenza» … vantare un significato reale e una verità fondata sull'evidenza» …

IntuizionismoIntuizionismo

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• «Il mondo dell'intuizione matematica è contrapposto al mondo delle percezioni casuali. A questo «Il mondo dell'intuizione matematica è contrapposto al mondo delle percezioni casuali. A questo mondo casuale, e non alla matematica, appartiene il linguaggio, che in quella sede serve per mondo casuale, e non alla matematica, appartiene il linguaggio, che in quella sede serve per comprendere i comportamenti comuni. Le parole o le relazioni verbali vengono usate per comprendere i comportamenti comuni. Le parole o le relazioni verbali vengono usate per comunicare verità. Il linguaggio serve ad evocare nella mente dell'uomo copie di idee per mezzo comunicare verità. Il linguaggio serve ad evocare nella mente dell'uomo copie di idee per mezzo di simboli e suoni. Ma i pensieri non possono mai venire simbolizzati interamente. Queste di simboli e suoni. Ma i pensieri non possono mai venire simbolizzati interamente. Queste osservazioni si applicano anche al linguaggio matematico, compreso il linguaggio simbolico. Le osservazioni si applicano anche al linguaggio matematico, compreso il linguaggio simbolico. Le idee matematiche sono indipendenti dall'abito linguistico, e sono in realtà assai più ricche.La idee matematiche sono indipendenti dall'abito linguistico, e sono in realtà assai più ricche.La logica appartiene al linguaggio. Essa offre un sistema di regole che permettono la deduzione di logica appartiene al linguaggio. Essa offre un sistema di regole che permettono la deduzione di ulteriori relazioni verbali e sono volte anche a comunicare verità. Tuttavia, queste verità non ulteriori relazioni verbali e sono volte anche a comunicare verità. Tuttavia, queste verità non sono tali finché non le abbiamo sperimentate, e non vi è neppure la garanzia che esse possano sono tali finché non le abbiamo sperimentate, e non vi è neppure la garanzia che esse possano essere sperimentate. La logica non è uno strumento attendibile per scoprire delle verità che non essere sperimentate. La logica non è uno strumento attendibile per scoprire delle verità che non possono essere ottenute anche in altro modo. I principi logici sono la regolarità osservata a possono essere ottenute anche in altro modo. I principi logici sono la regolarità osservata a posteriori nel linguaggio. Essi sono dei meccanismi di manipolazione del linguaggio, sono la posteriori nel linguaggio. Essi sono dei meccanismi di manipolazione del linguaggio, sono la teoria di rappresentazione del linguaggio. I più importanti passi avanti in matematica non si teoria di rappresentazione del linguaggio. I più importanti passi avanti in matematica non si ottengono perfezionando la forma logica ma modificando la stessa teoria di base. La logica ottengono perfezionando la forma logica ma modificando la stessa teoria di base. La logica poggia sulla matematica, e non la matematica sulla logica. Poiché non riconosce alcun principio poggia sulla matematica, e non la matematica sulla logica. Poiché non riconosce alcun principio logico obbligatorio a priori, Brouwer non riconosce alla matematica il compito di dedurre logico obbligatorio a priori, Brouwer non riconosce alla matematica il compito di dedurre conclusioni dagli assiomi. La matematica non è costretta a rispettare le regole della logica, e per conclusioni dagli assiomi. La matematica non è costretta a rispettare le regole della logica, e per questo motivo i paradossi sarebbero ininfluenti anche se dovessimo accettare i concetti questo motivo i paradossi sarebbero ininfluenti anche se dovessimo accettare i concetti matematici e le costruzioni chiamati in causa dai paradossi. Ovviamente, come si vedrà, gli matematici e le costruzioni chiamati in causa dai paradossi. Ovviamente, come si vedrà, gli intuizionisti non accettano tutti questi concetti e queste dimostrazioni. Weyl si dilunga sul ruolo intuizionisti non accettano tutti questi concetti e queste dimostrazioni. Weyl si dilunga sul ruolo della logica: "Secondo le sue [di Brouwer] idee e la sua lettura della storia, la logica classica della logica: "Secondo le sue [di Brouwer] idee e la sua lettura della storia, la logica classica venne ricavata dalla matematica degli insiemi finiti e dei loro sottoinsiemi ... Dimentichi di queste venne ricavata dalla matematica degli insiemi finiti e dei loro sottoinsiemi ... Dimentichi di queste origini limitate, successivamente si scambiò quella logica per qualcosa di superiore e precedente origini limitate, successivamente si scambiò quella logica per qualcosa di superiore e precedente a tutta la matematica ed infine la si applicò, senza giustificazione, alla matematica degli insiemi a tutta la matematica ed infine la si applicò, senza giustificazione, alla matematica degli insiemi infiniti. Questa è la caduta e il peccato originale della teoria degli insiemi, per cui essa viene infiniti. Questa è la caduta e il peccato originale della teoria degli insiemi, per cui essa viene giustamente punita dalle antinomie. Non è tanto sorprendente che si siano presentate delle giustamente punita dalle antinomie. Non è tanto sorprendente che si siano presentate delle contraddizioni, quanto che esse si siano mostrate ad uno stadio del gioco così avanzato».contraddizioni, quanto che esse si siano mostrate ad uno stadio del gioco così avanzato».Kline M., vol. 2, pp. 1398-1400Kline M., vol. 2, pp. 1398-1400

IntuizionismoIntuizionismo

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FormalismoFormalismoHilbert, von NeumannHilbert, von Neumann

Le tesi principali sono:Le tesi principali sono:

• Abbandono della discussione sul rapporto tra matematica e realtà Abbandono della discussione sul rapporto tra matematica e realtà materiale. materiale. La matematica concerne solo simboli e un linguaggio per La matematica concerne solo simboli e un linguaggio per utilizzarli, quello logicoutilizzarli, quello logico..

• Vengono accettati: la Vengono accettati: la logica classica con il principio del terzo logica classica con il principio del terzo esclusoescluso, la , la teoria di Cantor sugli insiemi infinititeoria di Cantor sugli insiemi infiniti, l', l'analisi analisi matematicamatematica..

• La matematica è costituita da diversi settori, ciascuno dei quali è La matematica è costituita da diversi settori, ciascuno dei quali è un un sistema ipotetico-deduttivosistema ipotetico-deduttivo fondato su assiomi specifici, alcuni fondato su assiomi specifici, alcuni dei quali sono assiomi logici.dei quali sono assiomi logici.

• La matematica non è riducibile ad una singola disciplina e dunque La matematica non è riducibile ad una singola disciplina e dunque nemmeno alla logica.nemmeno alla logica.

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FormalismoFormalismo

• La condizione fondamentale che rende oggettiva la La condizione fondamentale che rende oggettiva la matematica è la sua matematica è la sua non-contraddittorietànon-contraddittorietà ( (coerenzacoerenza).).

• I formalisti lavorarono a lungo alla ricerca di una I formalisti lavorarono a lungo alla ricerca di una dimostrazione della non-contraddittorietàdimostrazione della non-contraddittorietà di un sistema di un sistema formale fondato su regole logiche, costruendo una disciplina formale fondato su regole logiche, costruendo una disciplina che dovrebbe occuparsi di questo: la che dovrebbe occuparsi di questo: la metamatematicametamatematica..

• Riuscirono a dimostrare che la coerenza della maggior parte Riuscirono a dimostrare che la coerenza della maggior parte delle discipline matematiche si riduceva alla coerenza delle discipline matematiche si riduceva alla coerenza dell'aritmetica.dell'aritmetica.

• All'inizio degli anni '30 restava da dimostrare la coerenza All'inizio degli anni '30 restava da dimostrare la coerenza interna dell'aritmetica.interna dell'aritmetica.

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FormalismoFormalismo

• Nella Nella metamatematicametamatematica rientrano, ad esempio, teoremi come i seguenti rientrano, ad esempio, teoremi come i seguenti due che valgono in qualsiasi teoria razionale, cioè ipotetico-deduttiva.due che valgono in qualsiasi teoria razionale, cioè ipotetico-deduttiva.

– Teorema dello Teorema dello Pseudo-Scoto (Ex absurdis sequitur quo libet)Pseudo-Scoto (Ex absurdis sequitur quo libet)• Se in una certa teoria razionale T esistono due proposizioni tra loro contraddittorie A Se in una certa teoria razionale T esistono due proposizioni tra loro contraddittorie A

e e A (non-A), allora è possibile dimostrare in T qualsiasi proposizione.A (non-A), allora è possibile dimostrare in T qualsiasi proposizione.

– DimostrazioneDimostrazione• Presa una qualsiasi proposizione P, si supponga che P sia falsa e si ricordi che la Presa una qualsiasi proposizione P, si supponga che P sia falsa e si ricordi che la

seguente è una tautologia logica: seguente è una tautologia logica: B B C, ¬B C, ¬B C CDunque, supponendo A e ¬A vere: Dunque, supponendo A e ¬A vere: ¬A ¬A P, ¬P P, ¬P ¬A A ¬A A P, ¬A P, ¬A P PQuindi, se ¬P è vera, anche P è vera e di qui la tesi: Quindi, se ¬P è vera, anche P è vera e di qui la tesi: A: A,A: A,AAT T P PP PTT

– TeoremaTeorema• Condizione necessaria e sufficiente affinché una teoria razionale T non sia Condizione necessaria e sufficiente affinché una teoria razionale T non sia

contraddittoria è che non contenga tutte le proposizioni.contraddittoria è che non contenga tutte le proposizioni.

– DimostrazioneDimostrazione• La condizione è necessariaLa condizione è necessaria. Infatti, se T contiene tutte le proposizioni è . Infatti, se T contiene tutte le proposizioni è

manifestamente contraddittoria, poiché contiene una proposizione e la sua manifestamente contraddittoria, poiché contiene una proposizione e la sua negazione.negazione.La condizione è sufficienteLa condizione è sufficiente. Infatti, se T è contraddittoria, allora contiene tutte le . Infatti, se T è contraddittoria, allora contiene tutte le proposizioni per il teorema dello Pseudo-Scoto.proposizioni per il teorema dello Pseudo-Scoto.

– Ne discende che per dimostrare la non contraddittorietà di una teoria T è Ne discende che per dimostrare la non contraddittorietà di una teoria T è sufficiente dimostrare che esiste almeno una proposizione P che non sia sufficiente dimostrare che esiste almeno una proposizione P che non sia dimostrabile nella teoria T.dimostrabile nella teoria T.

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6. Il teorema di Gödel6. Il teorema di GödelIl sogno infranto della LogicaIl sogno infranto della Logica

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La perdita della certezza nella La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logicapotenza assoluta della Logica

• Nel 1930 l'austriaco Nel 1930 l'austriaco Kurt GödelKurt Gödel enunciò il suo celebre: enunciò il suo celebre:

Teorema di incompletezzaTeorema di incompletezzaUna teoria formale, abbastanza potente da contenere al suo Una teoria formale, abbastanza potente da contenere al suo interno almeno l'aritmetica,interno almeno l'aritmetica, o è o è coerentecoerente o è o è completacompleta..

– CoerenteCoerente significa non contraddittorio, che non genera significa non contraddittorio, che non genera contraddizioni cioè nel quale è impossibile dimostrare una contraddizioni cioè nel quale è impossibile dimostrare una proposizione e la sua negazione.proposizione e la sua negazione.

– CompletoCompleto significa che di ogni proposizione è in grado di significa che di ogni proposizione è in grado di stabilire la verità o la falsità.stabilire la verità o la falsità.

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La perdita della certezza nella potenza assoluta La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logicadella Logica

• In una teoria formale (cioè assiomatizzata) che contiene In una teoria formale (cioè assiomatizzata) che contiene l'aritmetica vi sono proposizioni come la seguente:l'aritmetica vi sono proposizioni come la seguente:

PP = “Non esiste una dimostrazione di = “Non esiste una dimostrazione di P”P”

• Ora, se Ora, se PP è falsa, allora il sistema è incoerente, poiché è falsa, allora il sistema è incoerente, poiché contiene una proposizione falsa.contiene una proposizione falsa.

• Viceversa se Viceversa se PP è vera, allora il sistema è incompleto poiché è vera, allora il sistema è incompleto poiché PP non è dimostrabile al suo interno.non è dimostrabile al suo interno.

• Naturalmente la scelta cade sulla verità di queste Naturalmente la scelta cade sulla verità di queste proposizioni proposizioni PP, verità non dimostrabile nel sistema., verità non dimostrabile nel sistema.

• Si veda una discussione semplice sulla dimostrazione del teorema di Si veda una discussione semplice sulla dimostrazione del teorema di incompletezza in Penrose R., pp. 147 e segg.incompletezza in Penrose R., pp. 147 e segg.

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La perdita della certezza nella potenza assoluta La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logicadella Logica

• Ciò significa che se costruiamo una teoria coerente, allora Ciò significa che se costruiamo una teoria coerente, allora dobbiamo rinunciare alla sua completezza: essa conterrà dobbiamo rinunciare alla sua completezza: essa conterrà affermazioni indecidibili.affermazioni indecidibili.

• Una delle più importanti affermazioni indecidibili che una Una delle più importanti affermazioni indecidibili che una tale teoria può contenere è quella relativa alla propria tale teoria può contenere è quella relativa alla propria coerenza, come afferma il corollario che discende dal coerenza, come afferma il corollario che discende dal teorema di incompletezza:teorema di incompletezza:

Corollario del teorema di incompletezzaCorollario del teorema di incompletezzaNon si può dimostrare la coerenza dell'aritmetica con metodi Non si può dimostrare la coerenza dell'aritmetica con metodi aritmetizzabili.aritmetizzabili.

• Quindi muore definitivamente la speranza di dimostrare la Quindi muore definitivamente la speranza di dimostrare la coerenza dell'aritmetica al suo interno, cioè ricavandola dai coerenza dell'aritmetica al suo interno, cioè ricavandola dai suoi assiomi.suoi assiomi.

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La perdita della certezza nella potenza assoluta La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logicadella Logica

• Frege già nel 1884 aveva scritto:Frege già nel 1884 aveva scritto:

– ““Spesso si agisce come se la pura e semplice esigenza Spesso si agisce come se la pura e semplice esigenza equivalesse già al soddisfacimento di essa. Si esige che la equivalesse già al soddisfacimento di essa. Si esige che la sottrazione, la divisione, l'estrazione di radice risultino sempre sottrazione, la divisione, l'estrazione di radice risultino sempre eseguibili, e si ritiene con ciò di aver fatto abbastanza. Ma allora eseguibili, e si ritiene con ciò di aver fatto abbastanza. Ma allora perché non pretendere che per tre punti arbitrari passi sempre perché non pretendere che per tre punti arbitrari passi sempre una retta? Perché non esigere che per un sistema di numeri una retta? Perché non esigere che per un sistema di numeri complessi a tre dimensioni valgano tutte le solite regole di complessi a tre dimensioni valgano tutte le solite regole di addizione e di moltiplicazione, proprio come per i numeri reali? addizione e di moltiplicazione, proprio come per i numeri reali? Evidentemente perché queste ultime due pretese contengono Evidentemente perché queste ultime due pretese contengono una contraddizione. Prima di affermare che quelle altre esigenze una contraddizione. Prima di affermare che quelle altre esigenze sono soddisfatte, si dimostri dunque che anche in esse non è sono soddisfatte, si dimostri dunque che anche in esse non è contenuta alcuna contraddizione. Fin quando non si sarà contenuta alcuna contraddizione. Fin quando non si sarà compiuta una tale dimostrazione, tutto il rigore di cui tanto si compiuta una tale dimostrazione, tutto il rigore di cui tanto si parla non potrà essere che mera parvenza”.parla non potrà essere che mera parvenza”.

Citato in Selleri F., p. 62.Citato in Selleri F., p. 62.

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La perdita della certezza nella potenza assoluta La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logicadella Logica

• Non potendo rinunciare alla coerenzaNon potendo rinunciare alla coerenza, i nostri sistemi formali , i nostri sistemi formali aritmetizzabili aritmetizzabili dovranno rinunciare alla completezzadovranno rinunciare alla completezza di cui di cui Hilbert era convinto, Hilbert era convinto, e con essa alla certezza sulla propria e con essa alla certezza sulla propria coerenzacoerenza..

• ““Gödel dìmostrò che all'interno di un sistema rigidamente logico Gödel dìmostrò che all'interno di un sistema rigidamente logico come quello che Russell e Whitehead avevano sviluppato per come quello che Russell e Whitehead avevano sviluppato per l'aritmetica, è possibile formulare proposizioni che sono l'aritmetica, è possibile formulare proposizioni che sono indecidibili o indimostrabili nell'ambito degli assiomi del sistema. indecidibili o indimostrabili nell'ambito degli assiomi del sistema. In altre parole, all'interno del sistema esistono certe asserzioni In altre parole, all'interno del sistema esistono certe asserzioni ben precise che non possono essere né dimostrate né invalidate. ben precise che non possono essere né dimostrate né invalidate. Pertanto, usando i rnetodi convenzionali, non si può essere certi Pertanto, usando i rnetodi convenzionali, non si può essere certi che gli assiomi dell'aritmetica non portino a contraddizioni. [...] che gli assiomi dell'aritmetica non portino a contraddizioni. [...] Nelle sue implicazioni la scoperta di proposizioni indecidibili da Nelle sue implicazioni la scoperta di proposizioni indecidibili da parte di Gödel è non meno inquietante della rivelazione di parte di Gödel è non meno inquietante della rivelazione di grandezze incommensurabili fatta da Ippaso: infatti sembra grandezze incommensurabili fatta da Ippaso: infatti sembra precludere ogni speranza di potere giungere alla certezza precludere ogni speranza di potere giungere alla certezza matematica attraverso l'impiego dei metodi convenzionali”.matematica attraverso l'impiego dei metodi convenzionali”.

Boyer C.B., pp. 695-696Boyer C.B., pp. 695-696

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ConclusioneConclusione

• «L'implicazione che ci sono dei limiti a ciò che si può «L'implicazione che ci sono dei limiti a ciò che si può ottenere con l'assiomatizzazione, contrasta vivamente con ottenere con l'assiomatizzazione, contrasta vivamente con l'opinione del tardo Ottocento secondo la quale la l'opinione del tardo Ottocento secondo la quale la matematica è coestensiva alla famiglia del branche matematica è coestensiva alla famiglia del branche assiomatizzate. Il risultato di Gödel inferse un colpo mortale assiomatizzate. Il risultato di Gödel inferse un colpo mortale all'assiomatizzazione globale. L'inadeguatezza del metodo all'assiomatizzazione globale. L'inadeguatezza del metodo assiomatico non è in se stessa una contraddizione, ma è assiomatico non è in se stessa una contraddizione, ma è sorprendente, perché i matematici si aspettavano che ogni sorprendente, perché i matematici si aspettavano che ogni enunciato vero potesse essere certamente dimostrato entro enunciato vero potesse essere certamente dimostrato entro la struttura di qualche sistema assiomatico. Naturalmente i la struttura di qualche sistema assiomatico. Naturalmente i ragionamenti di cui sopra non escludono la possibilità di ragionamenti di cui sopra non escludono la possibilità di nuovi metodi di dimostrazione che vadano al di là di ciò che nuovi metodi di dimostrazione che vadano al di là di ciò che permette la metamatematica di Hilbert.» ...permette la metamatematica di Hilbert.» ...

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ConclusioneConclusione

• … … «Hilbert non era convinto che questo colpo distruggesse il suo «Hilbert non era convinto che questo colpo distruggesse il suo programma. Egli ribatteva che anche se si dovessero usare programma. Egli ribatteva che anche se si dovessero usare concetti esterni a un sistema formale, essi dovrebbero essere concetti esterni a un sistema formale, essi dovrebbero essere ancora finiti e intuitivamente concreti, e perciò accettabili. Hilbert ancora finiti e intuitivamente concreti, e perciò accettabili. Hilbert era un ottimista. Egli aveva una fiducia illimitata nel potere del era un ottimista. Egli aveva una fiducia illimitata nel potere del ragionamento e della comprensione umana. Nella conferenza che ragionamento e della comprensione umana. Nella conferenza che tenne al congresso internazionale del 1928 aveva affermato: "Non tenne al congresso internazionale del 1928 aveva affermato: "Non ci sono limiti alla comprensione matematica... in matematica non ci sono limiti alla comprensione matematica... in matematica non ci sono ci sono IgnorabimusIgnorabimus; anzi, possiamo sempre rispondere a ; anzi, possiamo sempre rispondere a domande significative... la nostra ragione non possiede alcuna domande significative... la nostra ragione non possiede alcuna arte segreta ma procede con regole del tutto definite ed arte segreta ma procede con regole del tutto definite ed enunciabili che sono la garanzia dell'assoluta obiettività del suo enunciabili che sono la garanzia dell'assoluta obiettività del suo giudizio". Ogni matematico, egli disse, condivide la convinzione giudizio". Ogni matematico, egli disse, condivide la convinzione che sia possibile risolvere ogni problema matematico ben posto. che sia possibile risolvere ogni problema matematico ben posto. Questo ottimismo gli dette forza e coraggio, ma gli impedì di Questo ottimismo gli dette forza e coraggio, ma gli impedì di capire che ci possono essere problemi matematici indecidibili.» … capire che ci possono essere problemi matematici indecidibili.» …

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• … … «Il programma formalista, riuscito o meno, era inaccettabile per gli «Il programma formalista, riuscito o meno, era inaccettabile per gli intuizionisti. Nel 1925 Brouwer criticò duramente i formalisti. intuizionisti. Nel 1925 Brouwer criticò duramente i formalisti. Ovviamente, egli disse, gli assiomatici metodi formalisti eviteranno le Ovviamente, egli disse, gli assiomatici metodi formalisti eviteranno le contraddizioni, ma per questa strada non si otterrà niente di valore contraddizioni, ma per questa strada non si otterrà niente di valore matematico. Una teoria falsa non è meno falsa se non è arrestata da matematico. Una teoria falsa non è meno falsa se non è arrestata da una contraddizione, proprio come un atto criminale è criminale che sia una contraddizione, proprio come un atto criminale è criminale che sia o no proibito dalla legge. Sarcasticamente notò: "Alla domanda: dove o no proibito dalla legge. Sarcasticamente notò: "Alla domanda: dove si trova il rigore matematico, i due diversi partiti daranno risposte si trova il rigore matematico, i due diversi partiti daranno risposte diverse. Gli intuizionisti dicono: nell'intelletto umano; i formalisti diverse. Gli intuizionisti dicono: nell'intelletto umano; i formalisti dicono: sulla carta". Anche Weyl attaccò il programma di Hilbert: "La dicono: sulla carta". Anche Weyl attaccò il programma di Hilbert: "La matematica di Hilbert può essere un bel gioco con le formule, anche matematica di Hilbert può essere un bel gioco con le formule, anche più divertente degli scacchi; ma che rapporto ha con la conoscenza, più divertente degli scacchi; ma che rapporto ha con la conoscenza, dato che le formule non hanno dichiaratamente alcun significato dato che le formule non hanno dichiaratamente alcun significato materiale in virtù del quale esse possano esprimere verità intuitive?"» materiale in virtù del quale esse possano esprimere verità intuitive?"» … …

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ConclusioneConclusione

• … … «A difesa della filosofia formalista, si deve rilevare che è solo «A difesa della filosofia formalista, si deve rilevare che è solo allo scopo di dimostrare la coerenza, la completezza e altre allo scopo di dimostrare la coerenza, la completezza e altre proprietà che la matematica è stata ridotta a formule prive di proprietà che la matematica è stata ridotta a formule prive di significato. Per quanto riguarda la matematica nella sua significato. Per quanto riguarda la matematica nella sua interezza, anche i formalisti respingono l'idea che essa sia interezza, anche i formalisti respingono l'idea che essa sia semplicemente un gioco: essi la considerano una scienza semplicemente un gioco: essi la considerano una scienza obiettiva. obiettiva. Hilbert a sua volta accusò Brouwer e Weyl di cercare di buttare Hilbert a sua volta accusò Brouwer e Weyl di cercare di buttare a mare tutto ciò che non piacesse loro e di promulgare a mare tutto ciò che non piacesse loro e di promulgare dittatorialmente un embargo. Egli chiamò l'intuizionismo un dittatorialmente un embargo. Egli chiamò l'intuizionismo un tradimento della scienza (e tuttavia nella sua metamatematica tradimento della scienza (e tuttavia nella sua metamatematica si limitava a principi logici intuitivamente chiari)”».si limitava a principi logici intuitivamente chiari)”».

Kline M., vol. 2, pp. 1407-1408Kline M., vol. 2, pp. 1407-1408

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• «Vi sono alcuni che vedono la speranza di uscire dall'impasse «Vi sono alcuni che vedono la speranza di uscire dall'impasse attuale. Il gruppo di matematici che scrive con lo pseudonimo di attuale. Il gruppo di matematici che scrive con lo pseudonimo di Nicholas Bourbaki offre questo incoraggiamento: Nicholas Bourbaki offre questo incoraggiamento: ”È’ da ”È’ da venticinque secoli che i matematici hanno l'abitudine di correggere venticinque secoli che i matematici hanno l'abitudine di correggere i loro errori e vedere così la loro scienza arricchita, e non i loro errori e vedere così la loro scienza arricchita, e non impoverita; ciò dà loro il diritto di guardare al futuro con serenitàimpoverita; ciò dà loro il diritto di guardare al futuro con serenità”.”.Che sia o meno autorizzato l'ottimismo, lo stato attuale della Che sia o meno autorizzato l'ottimismo, lo stato attuale della matematica è stato ben descritto da Weyl: "matematica è stato ben descritto da Weyl: "La questione dei La questione dei fondamenti ultimi e del significato ultimo della matematica rimane fondamenti ultimi e del significato ultimo della matematica rimane aperta; noi non sappiamo in quale direzione troverà la sua aperta; noi non sappiamo in quale direzione troverà la sua soluzione finale e neppure se ci si possa aspettare una risposta soluzione finale e neppure se ci si possa aspettare una risposta obiettiva definitiva. La 'Matematizzazione' può ben essere obiettiva definitiva. La 'Matematizzazione' può ben essere un'attività creativa dell'uomo, come il linguaggio o la musica, di un'attività creativa dell'uomo, come il linguaggio o la musica, di originalità primaria, le cui decisioni storiche sfuggono a una originalità primaria, le cui decisioni storiche sfuggono a una completa razionalizzazione oggettiva”completa razionalizzazione oggettiva”».».

Kline M., vol. 2, p. 1410Kline M., vol. 2, p. 1410

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• Ritornando alla questione più ampia posta all'inizio, Ritornando alla questione più ampia posta all'inizio, qual è la qual è la ragione per cui la matematica si adatta così bene alla realtà?ragione per cui la matematica si adatta così bene alla realtà?

• D’altra parte non è possibile pensare che la matematica sia il D’altra parte non è possibile pensare che la matematica sia il prodotto della cultura greco-europea. Civiltà profondamente prodotto della cultura greco-europea. Civiltà profondamente diverse e che non comunicavano, costruirono pressoché diverse e che non comunicavano, costruirono pressoché contemporaneamente aritmetiche e geometrie simili.contemporaneamente aritmetiche e geometrie simili.

• Ma se la matematica è l'essenza profonda della realtà Ma se la matematica è l'essenza profonda della realtà cosa cosa rende l'intelletto umano capace di scoprirne il velo?rende l'intelletto umano capace di scoprirne il velo?

• Quale teoria gnoseologica, dopo il parziale insuccesso del Quale teoria gnoseologica, dopo il parziale insuccesso del trascendentalismo kantiano, è erede moderno del mito della trascendentalismo kantiano, è erede moderno del mito della caverna?caverna?

• «È la matematica ad essere nella natura o è l’uomo a «È la matematica ad essere nella natura o è l’uomo a mettercela?mettercela?

• La matematica esiste in sé e l’uomo la svela, o la matematica La matematica esiste in sé e l’uomo la svela, o la matematica esiste in quanto l’uomo la inventa?»esiste in quanto l’uomo la inventa?»

Piero Bianucci, TuttoScienze, La Stampa, 17/11/2004Piero Bianucci, TuttoScienze, La Stampa, 17/11/2004

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• La visione del rapporto matematica-realtà è cambiata nella storia La visione del rapporto matematica-realtà è cambiata nella storia del pensiero matematico.del pensiero matematico.

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• Se la matematica è solo un modello che descrive così bene una Se la matematica è solo un modello che descrive così bene una realtà sottostante (non essenzialmente matematica) realtà sottostante (non essenzialmente matematica) cosa rende cosa rende l'intelletto umano capace di approssimare così bene tale realtà?l'intelletto umano capace di approssimare così bene tale realtà?

• L'evoluzionismo e la storia singolare della specie L'evoluzionismo e la storia singolare della specie homo sapienshomo sapiens è la risposta?è la risposta?

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