Embed Size (px)
DESCRIPTION
Lietojumi. Jebkurš uzdevums, kurā līdz ar kāda lieluma x maiņu ir jāņem vērā arī šīs maiņas ātrums x ’, var tikt aprakstīts ar diferenciālvienādojumu. Daudzos uzdevumos vienādojuma sastādīšanas pamatprincips ir: - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Lietojumi
Jebkurš uzdevums, kurā līdz ar kāda lieluma x maiņu ir jāņem vērā arī šīs maiņas ātrums x’, var tikt aprakstīts ar diferenciālvienādojumu.
Daudzos uzdevumos vienādojuma sastādīšanas pamatprincips ir:
“lieluma maiņas ātrums ir vienāds ar tā palielināšanās ātrumu mīnus samazināšanās ātrums”
Ja uzdevumā jāievēro arī paātrinājums, kā tas notiek daudzos mehānikas uzdevumos, procesu modelē ar otrās kārtas vienādojumu. Šādos uzdevumos bieži izmanto Ņūtona otro likumu F=ma.
v v v
Uzdevumi par ceļu un ātrumu
x – pārvietojums,
t – laiks, x’=v - ātrums
Ja ātrums ir laika funkcija v=f (t), rodas diferenciālvienādojums:
' ( )x f tJa zināms kustīgā punkta stāvoklis fiksētā sākuma momentā
0 0( ) ,x t x
atrisinot Košī problēmu, viennozīmīgi atrodam stāvokli patvaļīgā momentā t:
0
0( ) ( )t
t
x t x f s ds
Ja f (t)=const, vienādojums apraksta vienmērīgu kustību,
f (t)=at, kustība ir vienmērīgi paātrināta.
Analoģiska Košī problēma apraksta kustību arī gadījumā, ja ātrums ir ne tikai laika, bet arī noietā ceļa funkcija v=f (t,x):
0 0
' ( , )
( )
x f t x
x t x
Piemērs: ātrums proporcionāli noietajam ceļam samazinās, “gājējs nogurst”:
0(
'
)
'ktx t
x
x x
e
x k
x
Sastādot modeli, būtiska loma ir vienādojumā ieejošo parametru noteikšanai.
1. Eksperimentālo datu izmantošana.
Piemērs. Sprinta modelis: (1973.g. J.B.Keller)
http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/sprints/sprints1.html
,
dv/dt = A - v/b
A = 12.2 m/sec2 , b = 0.892 sec.
Name 30 m
60 m
80 m
100 m
Linford Christie
3.85 6.45 8.15 9.87
Andre Cason 3.83 6.43 8.15 9.92
Dennis Mitchell
3.82 6.46 8.22 9.99
Carl Lewis 3.95 6.59 8.30 10.02
Čempionāta rezultāti 1993.gadā:
Grafikā labākā un sliktākā rezultāti:
Atrisinot vienādojumu:
)1()1()(
)1()(
0)0(
)(
2
0
b
t
b
tt
b
t
b
t
eAbAbtdteAbts
eAbtv
AbCv
CeAbtv
Radioaktīvā sabrukšana
mdt
dm
m(0)=m0
temtm 0)(
Radioaktīvās vielas sabrukšanas ātrums ir proporcionāls vielas esošajam daudzumam
Pussabrukšanas periods
2ln
T
Piemērs. Metodes lietojums.
Radioaktīvā oglekļa C14 relatīvais daudzums katrā dzīvā organismā (arī augos) ir tāds pats kā apkārtējā gaisā. Kad organisms mirst, ogļskābās gāzes uzņemšana beidzas, turpinās tikai radioaktīvā sabrukšana. C14 pussabrukšanas periods ir
gadi 305568
Dzīvā organismā Geigera skaitītājs uzrāda 13.5 sabrukšanas minūtē uz gramu vielas. Zinot Geigera skaitītāja rādījumu pētāmās vielas paraugā, var aprēķināt tās vecumu.
Uzdevums. Noteikt Francijas aizvēsturisko alu gleznojumu vecumu, ja atrastajam oganiskā materiāla paraugam Geigera skaitītājs uzrāda 1.69 sabrukšanas minūtē uz gramu vielas.
TtqTqtq T )()(
gadikk
qqkqqTt
10001245.0 ,2ln
)0( 0 0
000 ln
1 )(
q
q
kTeqqTteqtq TkT
Tkt
)0(
)(
)0(
)(
)0(
)(
q
Tq
kq
Tkq
q
Tq
Pieņemsim t=0 šobrīd, T<0 momentā, kad organiskais paraugs gāja bojā, q(t) oglekļa saturs paraugā momentā t.
Tā kā sabrukšanas ātrumu raksturo Geigera skaitītāja rādījumi, var atrast
1670069.1
5.13ln
2ln
305568
)0(
)(ln
2lnln
1
69.1
5.13
)0(
)(
0
q
Tq
q
q
kT
q
Tq
T
Bioloģijas piemēri.
Baktēriju vairošanās.y’=y, y(0)=y0
teyty 0)(
Ja dzīves apstākļi baktērijām (vai citām būtnēm) ir ļoti labi, var gadīties: 2 ' yy
Ja y(0)=y0, šāds likums ātri noved pie katastrofas, jo ,
ty
yty
0
0
1)(
Populāciju augšanas uzdevums…
Kenijas iedzīvotāju skaits (miljonos) 40 gadu laika posmā no 1950. līdz 1990. gadam statistiski dots tabulā
0 6,265
5 7,189
10 8,332
15 9,749
20 11,498
25 13,741
30 16,632
35 20,353
40 25,13
Ar lineāro interpolāciju rēķinot, iegūst, ka dubultošanās periods ir apmēram 22,30049 gadi.
Modelējot ar lineāro diferenciālvienādojumu un atrisinājumu ar eksponentfunkciju, dabū
03108215,02ln
Tk
Salīdzinājumam grafikā statistiskie dati un eksponentfunkcijas vērtības
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Faktiski iedzīvotāju skaits aug ātrāk nekā eksponentfunkcijas vērtība
Logistiskais likums
Situācijā, kad apkārtējās vides resursi ir ierobežoti, notiek konkurence par tiem, populācijas augšanas ātrumu ierobežo savstarpējo kontaktu biežums, jo kontaktējoties sugas īpatņi viens otru var iznīcināt.
2bxkxdt
dx
0 , dt
dx
b
kx populācija pieaug
0 , dt
dx
b
kx populācija samazinās
Ir cerība, ka Zemeslodes iedzīvotāju skaits pieaug pēc logistiskā likuma
Ja populācijas īpatņi migrē prom no dotā areāla vai arī tiek rūpnieciski izmantoti ar konstantu ātrumu, pieaugšanas ātrums samazinās:
Bbxkxdt
dx 2
B pieaugot…
yn+1=pyn,
nn pyy 0
1 ( )n n ny qy N y
200 400 600 800 1000 1200 1400
0.5
1.5
2
2.5
Pietiekoši lielam qN:
Divu populāciju mijiedarbība
x’=ax-bxy y’=-cy+kxy
Plēsoņu (y) - upuru (x) izturēšanās modelis
Piemērs. Volterra – Lotkas sistēma.
Eksperimentālie dati. Novērojumi veikti ilgstošā periodā.
http://www.math.montana.edu/frankw//ccp/modeling/continuous/twovars/body.htm
http://www.biology.ualberta.ca/courses.hp/bio331.hp/lectures/lect22/PredatorPreyDynamics.htm
Kolmogorova pieeja. Par konkrētām parametru vērtībām neinteresējamies, uzsverot tikai proporcionalitāti, lielāks – mazāks, pozitīvs – negatīvs utml. īpašības.
Jebkurā gadījumā ir svarīgi maksimāli samazināt ieejošo parametru skaitu, atstājot tikai būtiskos.
Izvēlēties svarīgākos parametrus ir viena no modelēšanas mākslām.
Piemērs. Parametru skaita samazināšana Volterrra – Lotkas sistēmā. Reparametrizācija.
kxycyy
bxyaxx
Substitūcija:
Tt
Bvy
Aux
kATuvcTvd
dv
bBTuvaTud
du
Izvēlamies koeficientus A, B, T, lai sistēma būtu pēc iespējas vienkārša:
k
aAA
a
k
b
aB
a
bBa
TaT
1 ,1
11Aprēķins
Formulas:
a
c
atv
b
ayu
k
ax : ,
1 , ,
Sistēmā paliek viens būtisks parametrs
uvvv
uvuu
Pāreja uz bezdimensionāliem mainīgajiem jāveic katrā uzdevumā!
)y,x(D)y(Cdt
dy
)y,x(B)x(Adt
dx
A modelī raksturo upuru vairošanos
B raksturo upuru apēšanas ātrumu,
B(x,y)=B(x,.) B(.,y) B(x,.) nosaka apēšanas ātruma atkarību no upuru populācijas blīvuma fiksētam y. B(x,.)=kx. šādam modelim plēsoņa nekad nav paēdis.
B(x,.)=kx x <x*, tad iestājas piesātinājums un x>x*
B(x,.)=kx*
x
bx,.)x(B
1plēsoņa nevar apēst vairāk kā upurus,
b
2
2
1 x
bx,.)x(B
plēsoņam tāpat iestājas piesātinājums, bet mazam upuru populācijas blīvumam apēšanas ātrums ir mazāks kā iepriekšējā gadījumā
Ja neņem vērā plēsoņu konkurenci par upuriem, tad B(.,y)=y
y
y)y(.,B
1 Ar konkurenci
C(y)=-cy-hy2
)y,x(B.yN
dy)y,x(D
Konkrēts uzdevums no mikrobioloģijas
u'(T) = (1 - u(T)) - M u(T) v(T) / (A + u(T)), v'(T) = M u(T) v(T) / (A + u(T)) - v(T),
u ir proporcionāls substrāta koncentrācijai hemostatā, v mikroorganismu
kultūras apjomam
Epidemioloģija
1. I(t) inficēto skaits momentā t, r – inficēšanās ātrums (cik cilvēkus dienā inficētā persona inficē no jauna), a - ātrums ar kādu atbrīvojas no infekcijas (atveseļojas vai nomirst) -1/dienu skaitu, kurās cilvēks ir inficēts
aIrII
2. SIS modelis. S- uzņēmīgi, I - inficētie
NIS
ISIdt
dI
ISIdt
dS
2)(
)(
IINdt
dI
IINIdt
dI
NIIdt
dI vai00
(?) 1
(?) 1
:
0
0
0
R
R
NR
Logistiskais vienādojums!
(4)
3. SIR modelis.
RIdt
dR
ISIdt
dI
RSIdt
dS
(?) NRIS
NRIS
4. SEIR modelis
1
)(
)()(
)(
RIES
IEdt
dI
ESItdt
dE
SSItdt
dS
1
1latentais periods
infekcijas periods
http://www.muk.uni-hannover.de/~jansen/master_hjansen.pdfhttp://www.me.ucsb.edu/~moehlis/APC514/tutorials/tutorial_seasonal/node5.html
Statistikas dati SARS 2003.
Saslimušie Mirušie
Izdzīvojušie
E,I,R kā laika funkcijas
Ķīmijas uzdevumi
i
n
ki
kki
k
i BB
11
)(
ii ndt
dn
n
k
)(
i
k)(
iii nknk
11
i0, i=1,...,k, i0, i=k+1,...,n. Stohiometriskie koeficienti
Piemēri.
XA
kk
nknk
XA
dt
dn,
dt
dn XA 0dt
dn
dt
dn XA
nA+nX=C
XXX nk)nC(k
dt
dn
kk
CkkX
CBA
kk
nknnk
CBA
dt
dn,
dt
dn,
dt
dn CBA
nA+nC=a, nB-nA=b
.nkn)bkk(akdt
dnAA
A 2
Iespējamas divas līdzsvara vērtības!
32
32
XXA
kk
nknnk
XXA
Autokatalītiska reakcija 32 dt
dn,
dt
dn XA
32
XXXX nkn)na(k
dt
dn
Zīmējums 1.9
t
nX
YYXXA
k
k
k
nknnknnk
EY
YYX
XXA
33 ,2211 ,
2
2
3
2
1
322211 2 2 dt
dn,
dt
dn YX
YYXY
YXXAX
nknnkdt
dn
nnknnkdt
dn
32
21
Šlogla reakcija
2211 ,,,
32
kkkk
CXB
XXA
CXB
XXA
X
nknnk
nknnk
n
222
31
211
211 32
CXBXXAX nknnknknnkn 223
12
1
Pārveidojuma piemērs.
kcxbxaxdt
dx 23
Tt
Aux
kcAuubAuaAd
du
T
A 2233
c
k
ac
bcT
a
cA : ,: , ,
uuud
du 23
)327
8()1
3
2(
3
:
323
0
0
vvd
dv
u
uuv
vvv 3
Masas punkts ar masu m=1 kustas ārējā spēka F un berzes spēka iespaidā.
)(xFxx
Berze ļoti liela 1
Pārejam uz citu laika skalu:
)(11
2
2
2xF
d
dx
d
xdt
Praktiski pirmās kārtas vienādojums
)(xFd
dx
Mehānika
Piemērs),,(
2
2
dt
dxxtF
dt
xdm
Pieņemsim 3)( xxxF
Vienādojums3xx
d
dx
0 Elastības spēks!
Viens pats līdzsvara stāvoklis x=0
00 x
3xxd
dx
Pieliekam vēl konstantu ārējo spēku
0 Saglabājas viens pats (stabils) līdzsvara stāvoklis
? 0
II kārtas vienādojumu lietojumiMehānika, elektrība u.c.
Lineāri vienādojumi.
Mehāniskās svārstības.
Ideālās svārstības - bez berzes.
)sin()(
sincos)(
0
21
2
tAtx
tCtCtx
xx
kxxm
),,( xxtFxm
Trajektorijas
fāzu plaknē
Cxyy
x
dx
dyxy
yx
22222
Svārstības ar lineāru berzi
)sin()(
02
2222
2
tAetx
xxx
xbkxxm
tMaza berze
Liela berze, svārstību nav
t
eCeCtx t )22(22
2)(
1
222.,1
22
)(
Uzspiestās svārstības
tBxxx sin2 2
,0
R
C
L
Svārstības elektriskā kontūrā
Kirhofa likumi.
1) Mezglā saejošo strāvu stiprumu algebriskā summa ir vienāda ar 0.
2) Noslēgtā kontūrā sprieguma kritumu summa ir vienāda ar darbojošos EDS summu.
Sprieguma kritums U :
uz omiskās pretestības R pēc Oma likuma U=IR
uz kondensātora ar lādiņu q un kapacitāti C
indukcijas spole ar pašindukcijas koeficientu L dod indukcijas EDS ar lielumu
Idt
dq
C
qU ,
dt
dIL
dt
dIL
C
qIR
02
2
C
I
dt
dIR
dt
IdL
LCL
R 1: ,
2: 2 02 2 III
Uc C
q
nmUbUaUUF
C
UFU
C
IU
UC
qU
UFI
c
23)(
)(
)(
Elektriskā ķēde ar nelineāru elementu
Ekonomika
PQ
PQ
s
d
P cena, Qs - piedāvājums, Qd – pieprasījums. Vienkāršotā variantā
0 PQQ sdLīdzsvars
Nepārtraukti: P’ cenas maiņas ātrums, P” ātruma izmaiņas tendence
Pirmajā tuvinājumā cenas regulēšanas mehānisms: 0 ),( jQQjP sd
P’=j((+)-(+)P)
))()((1 nsndnn PQPQkPP Sezonāls raksturs
.))0(()( )(00
tjePPPtP Qd=-
P+mP’+nP” Qs=-
+P+uP’+vP”.Vienkāršības dēļ prognozēšanas elementus iekļaujam tikai pircēju uzvedībā
Qd=-P+mP’+nP” Qs=-+P.
.0
n
Pn
Pn
mP
-P+mP’+nP”=-+P
Prognozēšana
x:=P-P0
.0
xn
xn
mx
m<0, n<0 (?)
n>0 ?
Ne vienmēr pieprasījums un piedāvājums ir lineāras cenas funkcijas. Tas noved pie sarežģītākiem modeļiem.
P
P
