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LIEU DES PÔLES

LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive Instable

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Page 1: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

LIEU

DES

PÔLES

Page 2: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

LIEU

DES

PÔLESPartie réelle positive Instable

Partie réelle positiv

e Instable

Page 3: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

LIEU

DES

PÔLESPartie réelle positive Instable

Partie réelle positiv

e Instable

Partie réelle positive InstablePartie réelle négative Stable

Page 4: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

CRITERE DE ROUTH

n n 3 n 1 n 21

n 1

a a a aL

a

Pn an an-2 an-4 . . .

Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .

Pn-2 L1 L2 L3 . . .

Pn-3 K1 K2 K3 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

P2 C1 C2 C3 . . .

P1 B1 B2 B3 . . .

P0 A1 A2 A3 . . .

Colonne des pivots Colonne à droite de L1

Si tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :

Page 5: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

n n 3 n 1 n 21

n 1

a a a aL

a

n n 5 n 1 n 42

n 1

a a a aL

a

Pn an an-2 an-4 . . .

Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .

Pn-2 L1 L2 L3 . . .

Pn-3 K1 K2 K3 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

P2 C1 C2 C3 . . .

P1 B1 B2 B3 . . .

P0 A1 A2 A3 . . .

Colonne des pivots Colonne à droite de L2

CRITERE DE ROUTHSi tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :

Page 6: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

n n 3 n 1 n 21

n 1

a a a aL

a

n n 5 n 1 n 42

n 1

a a a aL

a

n n 7 n 1 n 63

n 1

a a a aL

a

Pn an an-2 an-4 . . .

Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .

Pn-2 L1 L2 L3 . . .

Pn-3 K1 K2 K3 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

P2 C1 C2 C3 . . .

P1 B1 B2 B3 . . .

P0 A1 A2 A3 . . .

Colonne des pivots Colonne à droite de L3

CRITERE DE ROUTHSi tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :

Page 7: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

n n 3 n 1 n 21

n 1

a a a aL

a

n n 5 n 1 n 42

n 1

a a a aL

a

n n 7 n 1 n 63

n 1

a a a aL

a

Pn an an-2 an-4 . . .

Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .

Pn-2 L1 L2 L3 . . .

Pn-3 K1 K2 K3 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

P2 C1 C2 C3 . . .

P1 B1 B2 B3 . . .

P0 A1 A2 A3 . . .

CRITERE DE ROUTHSi tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :

parties réelles des racines sont toutes négatives Système stable.Si tous les termes de la colonne des pivots sont de même signe, alors les

Page 8: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

13

1)(

2341

pppppT

1 3 1

1 1 0

4p3p2p1p0p

FTBF:

11.1 1.3 2

C 21 1

    

1C2 2C 21.0 1.1 1

C 11 1

    

1

1B

1   1.1 2.1 1

B 0,2 2

  5

0,5

1A

12.0 0,5.1 0,5

A 10,5 ,

 0

 5

 

1

Tous les termes de la colonne des pivotssont de même signe Système stable

Tous les coefficients sont présents et sont de même signe On peutdonc appliquer la méthode de Routh.

Page 9: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

-0.40 -0.35 -0.30 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

REEL(poles)

IMAG(poles)

.6

.6

.7

.7

.8

.8

jp 63.015.0

jp 63.015.0

jp 5.135.0

jp 5.135.0

)42.03.0)(36.27.0(

1)(

221

pppppTLes parties réelles des racines sont négatives Système stable

Un même 2 2 2 2

0,15 0,35z       0, 23

0,15 0.63 0,35 1.5

Droites isogain z = 0,23

Page 10: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

0 5 10 15 20 25 30

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

TEMPS

1

0 a

z 0.23 D % 48%

0.65rad / s T 10s

Second ordre en ne conservant que les pôles dominants

Réponse indicielleRéponse amortie à la fonction de transfert du 4ème ordre

Système stable

Page 11: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

445

1)(

2342

pppppT

1 5 4

1 4 0

4p3p2p1p0p

FTBF:

1 4

0

Un zéro dans colonne des pivots système oscillant

système instable

Page 12: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

445

1)(

2342

pppppT

1 5 4

1 4 0

4p3p2p1p0p

FTBF:

1 4

0

Pour prolonger l’étude, on remplace la ligne nulle.

On construit le polynôme en repartant de p3.

F(p) = 1.p2 + 4.p0 = p2 + 4

dF(p) = 2.p + 0

dp

On dérive cette expression :

On reporte les valeurs trouvées

2 0

Un zéro dans colonne des pivots système oscillant

système instable

Page 13: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

445

1)(

2342

pppppT

1 5 4

1 4 0

4p3p2p1p0p

FTBF:

1 4

Pour prolonger l’étude, on remplace la ligne nulle.

On construit le polynôme en repartant de p3.

F(p) = 1.p2 + 4.p0 = p2 + 4

dF(p) = 2.p + 0

dp

On dérive cette expression :

On reporte les valeurs trouvées

2 0

4

Un zéro dans colonne des pivots système oscillant

système instableTous les termes de la colonne des pivots sont de même signe

pas d’autres causes d’instabilité.

Page 14: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

-0.5 0

-2

-1

0

1

2

.6

.6

.7

.7

.8

.8

jp 2

jp 2

jp 866.05.0

jp 866.05.0

)4)(1(

1)(

221

ppppT

Présence d’imaginaires purs Système oscillant Instable

Page 15: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

0 5 10 15 20 25

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

TEMPS

Réponse indicielleRéponse oscillante

Système instable

Page 16: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

)110)(1(

10)(3

ppppHFTBO:

Attention, il faut étudier les pôles de la FTBF.

3 2 3 2 310 1

10 11 10 1 0 1 11T ( p )

p    p  p   , p    , p  p

FTBF:

Page 17: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

)110)(1(

10)(3

ppppHFTBO:

3 2 3 2 310 1

10 11 10 1 0 1 11T ( p )

p    p  p   , p    , p  p

FTBF:

1 3 1

Attention, il faut étudier les pôles de la FTBF.

Page 18: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

)110)(1(

10)(3

ppppHFTBO:

3 2 3 2 310 1

10 11 10 1 0 1 11T ( p )

p    p  p   , p    , p  p

FTBF:

1 3 1

1 0,1

1,1 1

4p3p2p1p0p

1B-8,1

1A1

1   1.1 0,1.1,1 0,89

B 8,091,1

 0,1

11,1.0 0,81 1

A 10,

  81

Deux changements de signe dans la colonne des pivots Deux pôles à partie réelle positives Système instable

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-1.5 0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

.6

.6

.7

.7

.8

.8

5.1pjp 8.019.0

jp 8.019.0

Les parties réelles de deux racines sont positives Système instable

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

TEMPS

Réponse impulsionnelleRéponse divergente

Système instable

Page 21: LIEU DES PÔLES. LIEU DES PÔLES Partie réelle positive  Instable

Fin