Limit di Tak Hingga;Limit Tak Hingga

Limit di Tak Hingga

Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus?

5–5 0

0,5

–0,5

x

y𝑔𝑔 𝑥𝑥 =

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

Tabel Nilai-Nilai Fungsi

Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar.

lim𝑥𝑥→∞

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

= 0

Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa

lim𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

= 0

𝑥𝑥𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 + 110 0,0990100 0,01001.000 0,001010.000 0,0001

↓ ↓∞ ?

Definisi Formal Limit Ketika 𝑥𝑥 → ±∞

Limit Ketika 𝑥𝑥 → ∞ Misalkan f terdefinisi pada [a, ∞) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

𝑥𝑥→∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk

setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

Limit Ketika 𝑥𝑥 → −∞ Misalkan f terdefinisi pada (–∞, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

𝑥𝑥→−∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk

setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 < 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

Contoh 1

Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka

lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥𝑘𝑘

= 0

Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga

jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀

Pembahasan

Perhatikan bahwa1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀

1𝑥𝑥𝑘𝑘

< 𝜀𝜀

Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga

1𝑥𝑥𝑘𝑘

< 𝜀𝜀

𝑥𝑥𝑘𝑘 > 1𝜀𝜀

𝑥𝑥 > 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀Sehingga, kita akan memilih

𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀

Pembahasan

Bukti Formal Misalkan diberikan 𝜀𝜀 > 0. Pilih 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀, sedemikian sehingga jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀, maka

1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 = 1

𝑥𝑥𝑘𝑘< 1

𝑀𝑀𝑘𝑘 = 𝜀𝜀

Latihan 1

Buktikan bahwa

lim𝑥𝑥→−∞

1𝑥𝑥𝑘𝑘

= 0

Contoh 2

Buktikan bahwa

lim𝑥𝑥→∞

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

= 0

PEMBAHASAN Kita bagi pembilang dan penyebut dengan 𝑥𝑥berpangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yaitu 𝑥𝑥2.

lim𝑥𝑥→∞

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

= lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥

1 + 1𝑥𝑥2

=lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥

lim𝑥𝑥→∞

1 + lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥2

=0

1 + 0= 0

Latihan 2

Tentukan lim𝑥𝑥→−∞

3𝑥𝑥3

1−𝑥𝑥3.

Definisi

Limit Suatu Barisan Misalkan sn terdefinisi untuk semua bilangan asli lebih dari atau sama dengan beberapa bilangan a. Kita mengatakan bahwa lim

𝑛𝑛→∞𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 jika untuk setiap ε > 0 ada bilangan

asli M sedemikian sehinggajika 𝑛𝑛 > 𝑀𝑀 maka 𝑠𝑠𝑛𝑛 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

Latihan 3

Tentukan limit barisan berikut.

lim𝑛𝑛→∞

2𝑛𝑛 + 1𝑛𝑛 − 2

Limit Tak Hingga

Definisi Kita mengatakan bahwa lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ jika untuk setiap bilangan positif M, ada δ > 0 sedemikian sehingga

jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀

Contoh 3

Tentukan lim𝑥𝑥→3+

1𝑥𝑥−3 2 dan lim

𝑥𝑥→3−1

𝑥𝑥−3 2.

PEMBAHASAN Ketika 𝑥𝑥 → 3+ penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga ⁄1 𝑥𝑥 − 3 2

dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga,

lim𝑥𝑥→3+

1𝑥𝑥−3 2 = ∞

Dengan alasan yang serupa

lim𝑥𝑥→3−

1𝑥𝑥−3 2 = ∞

0 2 4 6

2

x

y𝑦𝑦 =

1𝑥𝑥 − 3 2

Limit Tak Hingga & Asimtot

Garis 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 merupakan asimtot vertikal grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar.1. lim

𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 2. lim

𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞

3. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 4. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞

#HaveANiceDay