Limite de funcoes de duas variaveis reais

Definicao: Seja f uma funcao de duas variaveis cujo domınio D contem pontos arbitrariamente proximos de

(a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) e L e escrevemos

lim(x,y)→(a,b)

f(x) = L

se para todo ε > 0 existe um numero correspondente δ > 0 tal que

se 0 <√

(x− a)2 + (y + b)2 < δ entao |f(x, y)− L| < ε.

Problema: Mostrar que lim(x,y)→(0,0)3x2yx2+y2 = 0.

Pela definicao de limite, temos que mostrar que

para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

se 0 <√

(x− 0)2 + (y − 0)2 < δ entao∣∣∣ 3x2yx2+y2 − 0

∣∣∣ < ε.

Reescrevendo:

para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

se 0 <√x2 + y2 < δ entao

∣∣∣ 3x2yx2+y2

∣∣∣ < ε.

Obs.: O domınio da funcao e Dom f = R2 \ (0, 0).

Demonstracao

1a parte: manipulacao logica e algebrica de∣∣∣ 3x2yx2+y2

∣∣∣Como y2 e sempre um numero positivo, sabemos que

x2 ≤ x2 + y2. (1)

Em outras palavras, x2 somado a algum numero positivo tem necessariamente que ser maior ou igual a si

proprio.

Dividindo ambos os lados da desigualdade (1) por x2 + y2, encontramos:

x2

x2 + y2≤ 1. (2)

Note que tal divisao so pode ser feita porque temos certeza que x2 + y2 > 0, pois (0, 0) nao pertence ao domınio

da funcao.

Multiplicando ambos os lados da equacao (2) por 3|y|, obtemos

3x2|y|x2 + y2

≤ 3|y|. (3)

Mas, pelas propriedades de modulo |y| =√y2, entao 3|y| = 3

√y2. Assim,

3x2|y|x2 + y2

≤ 3√y2. (4)

Sabemos que y2 ≤ x2 + y2, entao√y2 ≤

√x2 + y2. Logo, 3

√y2 ≤ 3

√x2 + y2. Daı,

3x2|y|x2 + y2

≤ 3√y2 ≤ 3

√x2 + y2. (5)

Pela propriedade transitiva das desigualdades (se a < b < c entao a < c), concluımos que

3x2|y|x2 + y2

≤ 3√x2 + y2. (6)

1

Como x2 e y2 sao numeros maiores ou iguais que zero, 3x2|y|x2+y2 =

∣∣∣ 3x2yx2+y2

∣∣∣. Entao,∣∣∣∣ 3x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 3√x2 + y2. (7)

2a parte: manipulacao logica e algebrica de√x2 + y2

Dada a desigualdade 0 <√x2 + y2 < δ, multiplicamos ambos os lados por 3 e obtemos

0 < 3√x2 + y2 < 3δ. (8)

3a parte: conclusoes

A partir de (7) e (8), obtemos ∣∣∣∣ 3x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 3√x2 + y2 < 3δ. (9)

e concluımos, usando a propriedade transitiva das desigualdades, que∣∣∣∣ 3x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ < 3δ. (10)

Escolhemos, convenientemente, δ = ε3 . Note que δ > 0, pois, por hipotese, ε > 0. Substituindo δ em (10),

obtemos ∣∣∣∣ 3x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ < ε. (11)

Assim, provamos que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que∣∣∣ 3x2yx2+y2

∣∣∣ < ε sempre que 0 <√x2 + y2 < δ.

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