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Limite de funciones
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Universidad Nacional de Tumbes Límites de Funciones Reales
MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 1
Límites y Continuidad deFunciones
MSc. Raúl Alfredo Sánchez AncajimaDepartamento Académico de Matemática e Informática
Universidad Nacional de TumbesAvenida Arica Nº 361
Tumbes, Perúe-mail: [email protected]
Marzo 05, 2012
ContenidoLÍMITES DE FUNCIONES REALES...................................................2
PROPIEDADES OPERACIONALES DE LOS LÍMITES. ...................4
LIMITES LATERALES........................................................................6
LIMITES AL INFINITO. ......................................................................7
LIMITES TRIGONOMETRICOS. ........................................................9
LIMITES INFINITOS. ........................................................................12
LIMITES EXPONENCIALES Y LOGARITMICOS...........................14
EJERCICIOS PROPUESTOS..............................................................18
ASINTOTAS DE UNA CURVA. ........................................................22
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN................................................25
EJERCICIOS PROPUESTOS..............................................................28
Universidad Nacional de Tumbes Límites de Funciones Reales
MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 2
LÍMITESDEFUNCIONES REALES
1. DEFINICION: Sea f una función definida en todo numero de algún intervalo
abierto I que contenga a “a”, excepto posiblemente en el numero a mismo. El
límite de n )(xf cuando x tiende a a es L y se escribe Lxfax
)(lim , si el
siguiente enunciado es verdadero:
Dado cualquier Lxfaxsiquetal )(00,0
Una interpretación grafica de la definición se muestra en la fig. 1
Fig. 1
Tener en cuenta que el 10 , entonces 10
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
Ejemplo 1. Sea la función 74)( xxf
a) Pruebe que 5)74(lim3
xx
b) Para 01,0 , determine el correspondiente
Solución:
a) De acuerdo a la definición se tiene:
Dado 5)74(300,0 xxsiquetal …….(*)
En Efecto, partimos de:
43341245)74( xxxx …(1)
Como 3x , tomando en cuenta (1), tome4
Por lo tanto hemos establecido que si4 , el enunciado (*) se cumple, lo que
prueba que 5)74(lim3
xx
b) Si 01,0 0025,0401,0
Ejemplo 2. Si 123)( 2 xxxf , probar que 6)(lim1
xfx
Solución:
Dado 6)123(100,0 2 xxxsiquetal ……..(*)
Universidad Nacional de Tumbes Límites de Funciones Reales
MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 3
Tome 5315236123 22 xxxxxx …(1)
Debemos mayorar 53 x , para ello tome 11 x , en efecto
Si 11 x 63020111 xxx
11535 x 1153115311 xx ………………(2)
Como por hipótesis 1x ……………………………..(3)
Multiplicando (2) con (3) se tiene: 11531 xx ………………(4)
Igualando extremos de (1) y (4) se tiene11
11
Luego, para11
,0 , por lo que podemos afirmar que: 6)(lim1
xfx
NOTA. Para poder probar la existencia del límite mediante la definición, es suficiente
determinar el que dependa del 0
Ejemplo 3. Sea33)(
xxxf , probar que 4)(lim
5
xf
x
Solución: Por definición de límite se tiene: 433lim
5
xx
xsi y sólo si,
43350/0,0
xxx
Tome:
53
33
)5(33153
312434
33
x
xxx
xx
xxx
xx
53
3 xx
……………………………………………(1)
Debemos acotar3
1x
, para ello tome 13521
1 , luego se tiene:
3316415115 1 xxxx
33
333
3113
131
xxx
………………( 2 )
Como por hipótesis se tiene: 5x …………………………………………. ( 3 )
Multiplicando (2) y (3), se tiene: 353
3
x
x……………………(4)
Igualando extremos en ( 1) y (4), se tiene:3
3
Por lo tanto, para,3
,0 , por lo que podemos afirmar que:
433lim
5
xx
x
Universidad Nacional de Tumbes Límites de Funciones Reales
MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 4
PROPIEDADES OPERACIONALES DE LOS LÍMITES.
Sean gyf dos funciones tales que MxgLxfaxax
)(lim)(lim ,
entonces:
a) kkax
lim , donde k es una constante
b) kLxfkxkfaxax
)(lim)(lim , donde k es una constante
c) MLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
d) MLxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim)().(lim
e)Mxgxg
axax
1)(lim
1)(
1lim
; M 0
f)ML
xg
xf
xgxf
ax
axax
)(lim
)(lim
)()(lim ; M 0
g) nnax
nax
Lxfxf
)(lim)(lim
2.1. Teorema
Considere tres funciones f(x), g(x) y h(x) tales que
(i) 0)()()( xxxhxgxf y
(ii) Si LxgLxhxfxxxxxx
)(lim)(lim)(lim000
Ejemplo 4. Hallar10
6105lim 3
2
2
xxx
x
Solución: 336
10862020
10lim
6105lim
106105lim 3
2
2
23
2
2
x
xx
xxx
x
xx
Ejemplo 5. Hallar23
66lim 21
xxx
x
Solución: Al reemplazar x = 1 se tiene:00
23166
2366lim 21
xx
xx
..F.I
Para poder levantar la indeterminación, se factoriza el numerador y denominador,
esto es:
61
62
6lim)2)(1(
)1(6lim23
66lim1121
xxxx
xxx
xxx
Observación 1. Las formas de indeterminación son:
00 ;1;0;.0;;;00
Ejemplo 6. Hallar
32 812
21lim
xxx
Solución: Vemos que al sustituir x = 2 en los denominadores estos resultan cero,
luego:
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 5
)42)(2(1242lim
)42)(2(12
21lim
812
21lim 2
2
22232 xxxxx
xxxxxx xxx
21
126
424lim
)42)(2()4)(2(lim
)42)(2(82lim 22222
2
2
xx
xxxx
xxxxx
xxxxx
Ejemplo 7. Calcular1436lim
3
xx
x
Solución: Este límite es de la forma00
, para poderlo resolver efectuamos una doble
racionalización, esto es:
)336)(14()14)(96(lim
)336)(14)(14()14)(36)(336(lim
1436lim
333
xxx
xxxx
xx
xxx
31
3311
33614lim
)336)(3()14)(3(lim
)336)(3()14)(3(lim
333
xx
xxx
xxxxx
Observación 2. Para la racionalización es necesario recordar:
(i) adorracioanlizFactor
nnnnnnn babbabaababa )....()()( 122321
(ii) adorracionalizFactor
nnnnnnn babbabaababa )....()()( 122321 ,
si n es impar
Ejemplo 8. Si216327)(
4
3
xxxf , evaluar )(lim
0xf
x
Solución: Por sustitución directa resulta00
216327lim
4
3
0
xx
xF.I.
(a) Como x 0, buscamos el factor “x” para racionalizar el numerador y el
denominado cuyos factores son:
FRN(a, b)= 22 baba , donde 33 2727 bxa
FRD(a, b) = 3223 babbaa , donde 44 1616 bxa
(b) Determinamos el valor para cada factor de racionalización, en efecto
1)(lim.),(lim
n
axaxbnbaFR , para cada caso se tiene.
27)27(lim.3),(lim 2300
xx
baFRN
32)16(lim.4),(lim 3400
xx
baFRD
(c) Racionalizamos la expresión
),().,().216(),().,().327()(
4
3
baFRNbaFRDxbaFRDbaFRNxxf
),(16)16(
),(27)27(),(.)16()16(),(.)27()27()( 4444
3333
baFRNxbaFRDx
baFRNxbaFRDxxf
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 6
Resultando para x 0,),().()(baFRNbaFRDxf
Por lo tanto:2732
),(lim
),(lim
),(),(lim)(lim
0
0
00
baFRN
baFRD
baFRNbaFRDxf
x
x
xx
LIMITES LATERALESCuando se calcula )(lim xf
ax, el problema se reduce a encontrar el numero L al cual
se aproximan los valores de f(x) cuando x tiende hacia a, tanto por valores menores
que a ( por la izquierda), como para valores mayores que a (por la derecha).
Notaciones:
(1)Límite por la izquierda: )(lim xfax
(2) Límite por la derecha: )(lim xfax
Proposición. El LxfLxfLxfaxaxax
)(lim)(lim)(lim
Ejemplo 9. Sea
1,11,11,3
)(
2
xsixxsixsix
xf
Calcular el límite de )(xf y trazar la gráfica.
Solución: Observamos que antes de 1 y después de 1 la función tiene diferentes reglas
de correspondencia, por lo que es necesario calcular los límites laterales
a) 2111lim)(lim11
xxfxx
b) 2313lim)(lim 2
11
xxf
xx
Puesto que: 2)(lim)(lim)(lim111
xfxfxfxxx
c) Graficando
Ejemplo 10. Sea
5,552,2
2,4)(
2
xsixxsi
xsixxf
a) Calcular si existe )(lim)(lim52xfyxf
xx b) Trazar la grafica de esta función.
Solución:
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 7
)(lim)(lim)(lim22lim)(lim
04lim)(lim
22222
2
22 xfnoxfxfxf
xxf
xxxxx
xx
)(lim)(lim)(lim05lim)(lim
22lim)(lim
55525
25 xfnoxfxfxxf
xf
xxxxx
xx
b) Graficando:
LIMITES AL INFINITO.Sea IRaf ),(: una función definida en el intervalo ),( a , el límite de la
función )(xf cuando “x” crece sin límite es el número “L” y se denota por
Lxfx
)(lim
Análogamente: Sea IRaf ),(: una función definida en el intervalo
),( a , el límite de la función )(xf cuando “x” crece sin límite es el número “L” y
se denota por Lxfx
)(lim
4.1. Proposición. Sea n un número entero positivo cualquiera entonces se cumple:
(i) 01lim nx x
(ii) 01lim nx x
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: Calcular los siguientes límites
1.1234432lim 23
23
xxxxxx
x
Solución: La forma más práctica de calcular los límites cuando x ó x ,
es dividiendo tanto el numerador como el denominador, entre la mayor potencia de“x” del divisor que aparece en la expresión dada, luego de aplica el criterio de laproposición 4.1. Para nuestro caso dividimos entre x3.
En efecto
333
2
3
3
333
2
3
3
23
23
1234
432
lim1234432lim
xxx
xx
xx
xxx
xx
xx
xxxxxx
xx
41
00040001
1234
4321lim
32
32
xxx
xxxx
2.1
432lim4
2
x
xxx
Solución: Como “x” toma valores bastante grandes, se toma 42 xx con lo cual
dividimos el numerador y denominador entre 42 xx se tiene:
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 8
201002
11
432lim
1
432
lim1
432lim
4
2
44
4
222
2
4
2
x
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
4.2. Proposición. Sin
nnm
mm
bxbxbaxaxaxf
..................)( 1
10
110
, donde m, n son enteros
positivos, a0, b0 son números reales, con b0 0, se tiene:
(i)0
0)(limbaxf
x
, si m = n (ii) 0)(lim
xf
x, si m < n
(iii)
)(lim xfx
, si m > n y 00
0 ba
(iv)
)(lim xfx
, si m > n y 00
0 ba
3. 23
32
)21)(23()35()32(limxxxx
x
Solución: Factorizando en el numerador y denominador, se tiene:
9)2.(3)3.(2
)2/1)(/23()3/5()/32(lim
)2/1()./23()3/5(.)/32(lim 2
32
33
32
2233
3322
xxxx
xxxxxxxx
xx
4. )2712(lim 22
xxxxx
Solución: Para poder aplicar las proposiciones correspondientes , en necesarioexpresar la función como un cociente, en efecto
)2712(45lim)2712(lim
2222
xxxxxxxxx
xx
25
115
/2/71/1/21)/45(lim
/2/71/1/21)/45(lim
22
22
xxxxx
xxxxxxxx
x
x
5. )30274
573(lim 3 232
23
xx
xxxxx
x
Solución. Se observa que el numerador es de grado mayor que el denominador, eneste caso se resta y suma “x” a la vez para luego hacer las operaciones respectivas.
)30274
573(lim 3 232
23
xxxxxxxL
x
)302()74
573(lim 3 232
23
xxxxxxxxxL
x
= ))302(302
30274
5(lim3 2233 232
2
2
2
xxxxxxx
xxx
x
Ahora dividimos numerador y denominador entre x2
))3021(30211
302
741
51(lim
3 23
33
2
2
2
xxxx
x
xx
xLx
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 9
35
321
001001102
00101
33
6.2
2lim
x
xxxx
Solución. Como “x” toma valores positivos dividimos numerador y denominador
entre x , en efecto:
22lim
xxxx
x
x
xxxx 21
2111lim
43
01001lim
x
2
2lim
x
xxxx
=1
7.
329
1453lim 2
2
23
xxxxxx
x
Solución: Para poder evaluar este límite, debemos eliminar el término 33x y obtener
une función racional cuyo numerador y denominador sea del mismo grado. Para ellorestamos y sumamos “3x” a la ves, luego hacer las operaciones respectivas, esto es:
329
1453lim 2
2
23
xxxxxx
x
=
xxxx
xxxx
x33293
1453lim 2
2
23
=
xxxx
xxxx
x 332932
1432lim
22
2
=35
312
3009022
)3/3/29()/32(lim2
2
xxxxx
x
LIMITES TRIGONOMETRICOS.
Para el cálculo de los límites trigonométricos se requiere establecer algunos límitesbásicos y estos se mencionan en la siguiente proposición.
5.1. Proposición:
(i) 0lim0
xSenx
(ii) 1lim0
xCosx
(iii) 1lim0
x
xSenx
(iv) 1lim0
x
xTgx
(v) 01lim0
xxCos
x(vi)
211lim 20
xxCos
x
5.2 Proposición: Límites de las funciones trigonométricas inversas
(i) 0lim0
xSenarcx
(ii)2
lim0
xCosarc
x
(iii) 1lim0
x
xSenarcx
(iv) 1lim0
x
xTgarcx
(v)2
lim
xTgarc
x(vi)
2lim
0
xTgarc
x
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5.3. Proposición
(i) 1lim0
xSen
xx
(ii) 1lim0
xTg
xx
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. Calcular los siguientes límites trigonométricos:
1.xxSen
x
6lim0
Solución: 6)1(66
6lim66lim00
x
xSenxxSen
xx
2.
xSen
xSenx
3
lim0
Solución: L =
xSen
xSenx
3
lim0
=
31
33lim
0 xSenx
xxSen
x
Es evidente que como 03;0;0 xxx , entonces
L =31)1)(1(
31
33lim.lim
31
030
xSenx
xxSen
xx
3.
20
1lim
xxCos
x
Solución: Racionalizando se tiene:
20
1lim
xxCos
x=
)1(1lim
)1()1)(1(
lim2020 xCosx
xCosxCosx
xCosxCosxx
Como:xCosxSenxCos
11
2
, se tiene:
41
)11)(11(11
)1)(1(1lim
2
0
xCosxCosxxSen
x
4.
xCos
xTgxSecx 41
2lim2
4/
Solución: Expresamos la función en términos se senos y cosenos, esto es:
xCos
xTgxSecx 41
2lim2
4/=
xCosxCosxSen
xCosx 22
21
lim 2
2
4/
=
)21(2
21lim22
21lim 224/224/ xSenxCosxSen
xCosxCosxCosxSen
xx
21
)11()2
1(2
1)21(2
1lim2
224/
xSenxCosx
5.
xxSen
xSenx 3
2lim 2
3
0
Solución:
xxSen
xSenx 3
2lim 2
3
0=
xSenx
xSenx 3
12lim 2
3
0
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 11
=98
98)1()1(
98
33
22lim 23
2
223
0
x
xxSenx
xxSen
x
6.
)2/(
21lim 20 xTg
xCosxSenxx
Solución: Racionalizando el numerador, esto es:
)2/(
21lim 20 xTg
xCosxSenxx
=
)2/().21(21lim 20 xTgxCosxSenxxCosxSenx
x
=
)2/().21(2lim 2
2
0 xTgxCosxSenxxSenxSenx
x
Observamos que cuando x 0, entonces )21( xCosxSenx 2,
resultando:
)2/().21(2lim 2
2
0 xTgxCosxSenxxSenxSenx
x=
)2/(.
2lim21
2
2
0 xTgxSenxSenx
x..(1)
Dado que en (1) persiste la indeterminada, dividimos el numerador y denominadorentre x2, esto es
L = 6)1(
)1(21)4(21
2/)2/(
41.
2lim
21
2
2
2
2
0
xxTgxxSen
xxSen
x
7.
113lim 21 x
xCosxSenx
Solución:
113lim 21 x
xCosxSenx
=
113
11lim
1 xxCosxSen
xx
=
113lim
21
1 xxCosxSen
x
, cambiando variable, tome: u = x – 1,
x = u + 1. Si x 1, entonces u 0
Luego: L =
uuCosuSen
u
1)1()1(3lim21
0
………………….(1)
Tome:
uCosuCosuSenuSen
)(3)33(
, reemplazando en (1)
L =
uuCosuSen
u
13lim21
0
=
uuCos
uuSen
uu
1lim
33lim3
21
00
Por lo tanto: 2
3)0()1(321 L
8.
xxSen
x 3lim
3
Solución: Tome y = x - 3 ; si x 3, entonces y 0
xxSen
x 3lim
3
=
yySen
y
)3(lim0
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 12
=
y
SenxCosCosySeny
33lim0
=
y
ySenyySen
yy 00limlim
9.
)3(
)4(1lim 20 xSenSenxSenCos
x
Solución:
)3(
)4(1lim 20 xSenSenxSenCos
x=
22
22
0)
3)3((3
4)4(1(4
lim
xSenxSenSenxSen
xSenxSenCosxSen
x
=
2
2
2
22
2
0)
3)3((3
4)4(1(4
lim
xSenxSenSen
xxSen
xSenxSenCos
xxSen
x=
22
22
0)
3)3(()
33(9
4)4(1()
44(16
lim
xSenxSenSen
xxSen
xSenxSenCos
xxSen
x
=98
)1)(1(9
)21)(1(16
10.
xSen
xCosx 6
61lim0
Solución:
xSen
xCosx 6
61lim0
= 0)0(16
616
6lim0
x
xCosxSen
xx
LIMITES INFINITOS.
Sea la función2
1)(
x
xf , cuya gráfica es:
En la gráfica se observa que cuando x se aproxima a 2 por la derecha la función f(x)crece sin límite y su notación es :
)(lim2
xfx
y cuando x se aproxima a 2 por la izquierda f(x) decrece sin límite y su notación es
)(lim2
xfx
A estos tipos de límites se les llama límites infinitos.
6.1. Proposición. Si “n” es un número entero positivo cualquiera, entonces:
(i) nx x
1lim0
(ii)
paresnsi
imparesnsixnx ,
,1lim0
6.2. Propiedades.
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 13
Si Lxfax
)(lim , 0)(lim
xgax
, donde “a” es un número real y L 0, entonces:
(i) Si 0)( xg para valores positivos de )(xg , es decir 0)( xg entonces
0,)
0,))()(lim
LsibLsia
xgxf
ax
(ii) 0)( xg para valores negativos de )(xg , es decir 0)( xg , entonces
0,)
0,))()(lim
LsibLsia
xgxf
ax
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: Evaluar los siguientes límites
1.42lim 22
xx
x
Solución:42lim 22
xx
x=
)2)(2(2lim
2
xxx
x=
01
21lim
2 xx
2. 2
3
1 215limxx
xx
Solución: 2
3
1 215limxx
xx
=
04
)1)(2(15lim
215lim
3
12
3
1 xxx
xxx
xx
2.4
16lim2
4
xx
x
Solución:4
16lim2
4
xx
x=
242
2
4 16)4()4)(4(lim
16)4(16lim
xxxx
xxx
xx
=
0
816
)4(lim16)4(
)4)(4(lim2424 x
xxx
xxxx
3.
41
21lim 22 xxx
Solución:
41
21lim 22 xxx
=)2)(2(
1lim)2)(2(
12lim22
xxx
xxx
xx
En el denominador: 02022 xxx
Por lo tanto:
0
3)2)(2(
1lim2 xx
xx
4.935
214lim 23
2
3
xxxxx
x
Solución:935
214lim 23
2
3
xxxxx
x=
)1)(3()7(lim
)1()3()3)(7(lim
323
xxx
xxxx
xx
En el denominador 01033 xxx
Por lo tanto:
0
10935
214lim 23
2
3 xxxxx
x
6.3. LIMITES INFINITOS EN INFINITOS
Son límites de la forma
)(lim xfx
, es decir son funciones que crecen sin límite y
decrecen sin límite
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 14
5.
2
3
656253limxx
xxx
Solución: Factorizando en numerador y denominador:
2
3
656253limxx
xxx
=
)6/5/6()/2/53(lim 22
323
xxxxxx
x=
)6/5/6()/2/53(lim 22
32
xxxxxx
x
6600
)0`3(656
253lim 2
3
xxxx
x
6. )1(lim 2 xxxx
Solución: Racionalizando se tiene:
)1(lim 2 xxxx
=xxx
xxxxxx
xx
)/11(
lim1
)1(lim22
22
Dado que x toma valores muy grandes negativamente xx , por lo que resulta:
1/111lim
1/11lim
/11lim
222
xxx
xxxx
xxx
1011
0
1
7.)1(4)6(lim
xxx
x
Solución:)1(4)6(lim
xxx
x=
xxx
xxxx
xx /31)/61(lim
)/31()/61(lim
2
= 01
)01(
LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARITMICOS.7.1. Propiedades de los límites exponenciales y logarítmicos.
(1) ex
x
x
)11(lim (2) ex x
x
/1
0)1(lim
(3) ax
xe
xa
)1(lim (4) ax
xeax
/1
0)1(lim
(5) Si 0)(lim
xfax
con 0)( xf , para ax exf xf
ax
)(/1)(1lim
(6) )ln(1lim100
ax
aaaSix
x
(7) LxfxfLLxfSiaxaxax
ln)(limln)(lnlim0,)(lim
(8) 1)1ln(lim0
xx
x
7.2. Límites de la forma: Lxf xg
ax
)()(lim
Al evaluar estos límites, se deben tener en cuenta los siguientes casos:
Caso 1. Si existen los límites finitos
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 15
B
axaxALBxgAxf
)(lim)(lim
Caso 2. Si
ALxgAxf
axax)(lim1)(lim
(i) Si A > 1 0 ALAL
(ii) Si 0 < A < 1 ALAL 0
Caso 3. Si
1)(lim1)(lim Lxgxf
axax
El problema se resuelve suponiendo que f(x) = 1 + h(x), donde 0)(lim
xhax
.
Entonces: u
xgxh
xh
axexhL
)().(
)(1
)(1lim , donde:
)(.1)(lim)().(lim xgxfxgxhuaxax
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Calcular:x
x
x xxx 38
52
2
2
2 234lim
Solución: Tome:x
xxgxx
xxf38
52)(23
4)( 2
2
Si A = 412lim
)2)(1()2)(2(lim)(lim
222
x
xxxxxAxf
xxx
B =21
3852lim)(lim
22
x
xBxgxx
Como A y B son finitos, tenemos el Caso 1, por lo que
L = AB = 4-½ = ½
2. Calcular:
32
2
2
233lim
x
x xxx
Solución: Tome 32)(233)( 2
2
xxgxxxxf
Si A =31
233lim)(lim 2
2
x
xxAxfxx
B =
)32(lim)(lim xBxgxx
Tenemos el Caso 2, donde 0 < A < 1 y B = +
L = ( 1/3)+= 0 ¼½¾
3. Calcular:
2
31lim
x
x xx
Solución: Por el cálculo directo obtenemos la forma indeterminada 1 , tenemos elCaso 3, entonces:
ux
xe
xxL
2
31lim
Para determinar “u”, tome:
3
41311)))()(1)(
xx
xxfxhxhxf
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 16
43
84lim)2(3
4lim)().(lim
xxx
xxgxhu
xxx
Por lo tanto 4 eL
4. Calcular: x
xbxSenaxCos /1
0lim
Solución: Al sustituir x = 0, el límite toma la forma indeterminada 1 , tenemos elCaso 3, entonces:
ux
xebxSenaxCosL
/1
0lim
Para determinar “u”, tome:
)1(11)()( xCosbxSenabxSenaxCosxfxh
x
xCosbxSenaxgxhuxx
)1(lim)().(lim00
= abbxbxSenab
xxCos
xbxSena
xxx
0lim1limlim
000
Por lo tantoabeL
5.
x
a xx
1lim0
Solución: Hacemos un cambio de variable, para este caso.
Sea taat xx 11 , aplicando logaritmo natural se tiene:
atxtaxta x
ln)1ln()1ln(ln)1ln(ln
Luego:
)1ln(lnlim
ln)1ln(
lim1lim000 t
at
at
tx
aLtt
x
x
= aea
ta
ttln
lnln
)1ln(lnlim /10
6.
x
ee bxax
x 0lim
Solución: Sumando y restando 1 en el numerador, se tiene:
xe
xe
xeeL
bx
x
ax
x
bxax
x
1lim1lim)1()1(lim000
= baebeabxeb
axea
e
bx
x
e
ax
x
lnln1lim1lim
ln
0
ln
0
7.2/1
0)(lim x
xxCos
Solución: Por el Caso 3,ux
xexCos
2/1
0)(lim
Para determinar “u”, tome:
)1(11)()( xCosxCosxfxh
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 17
211lim)().(lim 200
x
xCosxgxhuxx
Por lo tantoe
eL 12/1
8. 30 1
1ln1limaxax
axx
Soluci
ax
x
ax
xx axax
axax
axax
axL
31
0
31
03
0 11limln
11lnlim
11ln1lim
El límite del corchete tiene la forma 1
Entonces: ueueaxaxL uax
x
lnln11limln
31
0
Para determinar “u”, tome:
axax
axaxxfxh
121
111)()(
32
11lim
32
31
12lim)().(lim
000
axaxax
axxgxhuxxx
Por lo tanto: 3/2L
9.xTg
xxTg 2
4/)(lim
Solución: El límite tiene la forma 1 , luego:
uxTg
xexTgL
2
4/)(lim
Para determinar “u”, tome:
11)()( xTgxfxh
xTgxTgxgxhuxx
21lim)().(lim4/4/
111
21
2lim1
21lim4/24/
xTg
xTgxTgxTgxTgu
xx
Por lo tanto: eeL 11
10.)1ln(
)1ln(lim20 xx
ex x
x
Solución: Dividiendo el numerador y denominador entre “x”, se tiene
xxx
xex
L
x
x )1ln(
)1ln(
lim20
(i) 1)1()1ln(lim)1ln(lim 0
001
e
xeexe
xexL x
xx
x
x
x
(ii) x
xxxx
xxxL
/12
0
2
02 1lnlim)1ln(lim
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 18
ueLxxL ux
x
)ln(1limln 2
/12
02
Aquí, L2 tiene la forma indeterminada 1 (Caso 3), tome:
111)()( 2 xxxfxh
xx
xxxxgxhu
xxx
111lim11lim)().(lim2
0
2
00
10111
1lim20
xxu
x
Por lo tanto: 111
2
1 LLL
11.bx
xxaCos )/5(lim
Solución: Cambiando variable: Sea 255zax
xaz , si
0 zx , luego:uzab
zezCosL
2/5
0)(lim
La sustitución directa da al límite la forma indeterminada 1 (Caso 3), tome:
)1(11)()( zCoszCoszfzh
20200
1lim5)5)(1(lim)().(limz
zCosabzabzCoszgzhu
zzz
25)
21(5 ababu
Por lo tanto:2/5abeL
12. xxxx
ln)1ln(lim
Solución: x
xxx xx
xxxxxxL
1lnlim1lnlimln)1ln(lim
1ln11limln
e
xL
x
x
EJERCICIOS PROPUESTOSI. Use la definición para demostrar que el límite es el número indicado, determinar los
números 0 para los valores de dados
1. 3)53(lim 2
2
xx
x; 04,0 2. 17)12(lim 2
3
x
x; 02,0
3. 10)44(lim 2
2
xx
x; 033,0 4. 23)27(lim
3
x
x; 07,0
5. 21319lim
2
3/1
xx
x; 027,0 6.
21
11lim
1
xx
x; 013,0
7.47
48362lim 2
2
2
xxxx
x8.
31
84lim 3
2
2
xx
x
9.25
134lim
1
xx
x10. 2
3613lim
3/1
xx
x
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 19
11. 1252
lim 21
xxx
x12. 752lim
1
x
x
13.32
322lim
0
xx
x14. 8)133(lim 23
3
xxx
x
15.41
21lim
4
xx16. 1)196(lim 23
2
xxx
x
17. 475
35lim1
xx
x18.
38
6091lim
7
xx
x
II. Calcular los siguientes límites:
1.
3339lim
3
3 xx
x2.
2
4 42
0
11limx
xxx
3.1111lim
4
3
0
xx
x4.
47466lim 2
3
2
xxx
x
5.4
35 2
1 1lim
xxx
x
6.
xx
x
5153lim
4
7.48lim
364
xx
x8.
13lim
34
1
xxxx
x
9.1
13354lim1
x
xxxx
10.4
625lim 2
33
2
xxx
x
11. 2
23 3
0
48limx
xxx
12.4
64lim 2
4 23 2
2
xxxx
x
13.x
xxx
11lim3
014.
11353lim
3
3
2
xxx
x
15.4103
31lim23
2
xxxx
x16.
1232lim
4
xx
x
17.11lim
31
xx
x18.
8727lim
3
1
xx
x
III. Hallar los límites indicados, si existen; trazar la gráfica correspondiente
1.
1,27
1,21,32
)(xsixxsixsix
xf ; )(lim1xf
x
2.
2,1321,23
1,72)(
2 xsixxxsix
xsixxf ; )(lim
1xf
x y )(lim
2xf
x
3.
2,222,62,26
)(2
2
xsixxxsixsixx
xf ; )(lim2xf
x
4. 164
1)( 2 x
xxf ; )(lim0xf
x
5.
4,441,
1,)(
2
xsixxsix
xsixxf ; )(lim
1xf
xy )(lim
4xf
x
Universidad Nacional de Tumbes Límites de Funciones Reales
MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 20
6.
5,5
3512
5,41
5
)(2
xsixxx
xsix
x
xf ; )(lim5xf
x
7.
3,2
11
3,3
652
)(
23
xsixx
xsix
xxx
xf ; )(lim3xf
x
IV. Evaluar los siguientes límites al infinito
1. )34
1223(lim
22
xxx
xx
x2.
74lim
2
xx
x
3.7
4lim2
xx
x4. )65(lim 2 xxx
x
5. )42(lim 2 xxxx
6. )2(lim 2 xxxx
7. )9(lim 22
xxxx
8. )1(lim 3 32
xxxx
9. )1212
(lim2
2
3
xx
xx
x10.
1lim
xxxx
x
11.6234lim
2
xxx
x12.
3 32 82743limxx
xx
13. )2(lim 3 32 xxxx
14. )2(lim 2 xxxx
15. )2712(lim 22
xxxxx
16. )22(lim 22 xxxxxxx
17.
329
1453lim 2
2
23
xxxxxx
x
V. Evaluar los siguientes límites trigonométricos:
1.xSenxxSenx
x 43226lim
0
2. 20
)()(limx
nxCosmxCosx
3.xSenxCos
x 661lim
0
4.xCosxSenxCosxSen
x
11lim
0
5. 21
1lim2 1x
Cos xx x
6.)()(lim
xxxSen
x
7.xxCos
x 321lim
3
8.xCosxCos
x 4131lim
0
9.bCosxxCosbbSenxxSenb
bx
lim 10.
1)()1(lim
xTgCosxCosTg
x
11. 21
3 1lim(1)x
Sen x Cos xx
12. 42/ )2/()1(1lim
xxSenCos
x
13.xCosx
xSenxSenx
37lim0
14.xxSen
x 3lim
3
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 21
15.3751255
)2510(lim 23
2
5
xxxxxSen
x16.
)(118lim
2
0 xCosx
x
17.xxxSenarc
x 2)2(lim 22
18.xCtgxCoxxTgxSenarc
x sec)3(
lim0
VI. Evaluar los siguientes límites infinitos.
1. 2
3
1 213limxx
xx
2. 2
3
1 213limxx
xx
3.4
15lim3 2
4
xx
x4.
416lim
2
4
xx
x
5.35
126lim 2
3
xxx
x6.
xxxx
x
2
23
1
78lim
7. 2
2
2 4923lim
xxx
x
8. 2
2
3 925lim
xxx
x
9.
931lim 23 x
xxx
10. 20 )1()1(lim
xxxSen
x
11.6673lim 2
2
2
xxxx
x12.
12209lim 2
23
3
xxxxx
x
13.1
352lim2
1
xxx
x14. 32
3
0 3542limxxx
x
15.
121
11lim 21 xxxx
16.
41
21lim 22 xxx
17.6673lim 2
2
2
xxxx
x18.
532123lim 2
23
xxxx
x
VII. Evaluar los siguientes límites exponenciales y logarítmicos
1.
1
3
23
52123lim
x
x xxxxx
2.
1
3
23
52123lim
x
x xxxxx
3.xSen
x xSenaSenxSenaSen 3
1
0 33lim
4. 2
1
02lim x
xxCos
5.
2
3
0
))((lnlim
bxaxCos
x6.
x
x xaCos
43lim
7.
2
3
32
432lim
x
x xxx
8.
13
4
242
452123lim
xx
x xxxxx
9.xx
x xxx
1
2
22
43lim
10.
xx
x
)1(lnlim0
11.xx
xx
11ln1lim
0
12.
x
e xx
1lim0
13.
x
x
x
17lim0
14.
x
xx
x
57lim0
15.
xx
xx
x 6879lim
016.
)1(ln3lim
0 xxSenxSen
x17.
x
ee bxax
x 0lim
18.11
2
2
11lim
x
x
x xx
19.
2
31lim 2
2 x
x xx
20.
x
x xxx
2
2
2
25lim
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 22
ASINTOTAS DE UNA CURVA.8.1. Definición. Consideremos una recta L y un punto A que se desplaza a lo largo de
una curva C : y = f(x), cuando la distancia entre la recta L y el punto A de la curva
tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, entonces a la recta L se denominaasíntota de la curva es decir:
0),(lim
ALdA
8.2. Definición. La recta x = a es una asíntota vertical de la curva C : y = f(x) si se
cumple una de las relaciones siguientes:
(i)
)(lim xfax
(ii)
)(lim xfax
(iii)
)(lim xfax
8.3. Definición. La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva C : y = f(x) si se
cumple una de las relaciones siguientes:
(i) kxfx
)(lim (ii) kxfx
)(lim (iii) kxfx
)(lim
8.4. Definición. La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de la curva C: y = f(x) si se
cumple que:
0)()(lim
bmxxfx
ó 0)()(lim
bmxxfx
Observación: La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas u horizontalesde una curva y = f(x) es de la manera siguiente:
Si existen los límites mxxf
x
)(lim ; bmxxfx
)(lim
La recta y = mx + b es una asíntota oblicua (a la derecha cuando x + ; y a la
izquierda cuando x - ) y es una asíntota horizontal cuando m = 0
Ejemplos ilustrativos
1. Determinar las asíntotas de la curva C: 9)3( 2 xxy
Solución:
(a) Asíntotas verticales. Si 9)3( 2 xxy 392
xxy , como el
denominador se anula para x = 3 , entonces:
39lim
2
3 xx
x, entonces la recta x = 3 es una asíntota vertical
(b) Asíntota oblicuas u horizontales:
1139lim
)3(9limlim 2
22
mxx
xxxx
xym
xxx
3
39lim39lim)(lim
222
x
xxxxxxmxyb
xxx
33393lim
bxxb
x
Luego como m 0, la asíntota oblicua es la recta: y= x + 3
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MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 23
2. Determinar las asíntotas de la curva C:4
32
2
xxy
Solución:
(a) Asíntotas verticales. Si4
32
2
xxy , observamos que el denominador se anula
para x = 2 y además
4
3lim2
2
2 xx
x, entonces se tiene que las rectas x = 2
son las asíntotas verticales.
(b) Asíntotas oblicuas u horizontales.
)/41(
)/31(lim4
3limlim22
22
2
2
xxxxx
xxx
xym
xxx
1/41
)/31(lim/41
)/31(lim2
2
22
22
xx
xxxxm
xx
0,0)4
3(lim)(lim2
2
bx
xxmxyb
xx
Luego las asíntotas oblicuas son: y = x ; y = - x
3. Determinar las asíntotas de la curva C:1
352 2
xxxy
Solución:
(a) Asíntotas verticales. Si1
352 2
xxxy , el denominador se anula para x = 1
y además
1
352lim2
1 xxx
x, entonces la asíntota vertical es la recta x = 1
(b) Asíntotas oblicuas u horizontales.
22352limlim 2
2
m
xxxx
xym
xx
31
33lim)21
352(lim)(lim2
xxx
xxxmxyb
xxx
Por lo tanto la asíntota oblicua es la recta y = 2x – 3
4. Determinar las asíntotas de la curva C:2
3
xxy
Solución: (a) Asíntotas verticales. Si22
3
xxxy
xxy , el
denominador se anula para x = 2, y 0
222
lim2 x
xxx
Por lo tanto, la recta x = 2 es asíntota vertical
(b) Asíntotas oblicuas u horizontales.
* 112
limlim
mxx
xx
xym
xx
*)2(2
2lim)2
(lim)(lim
xxx
xxxxxmxyb
xxx= 1
Por lo tanto las rectas y = x + 1 y y = -x – 1, son asíntotas oblicuas
5. Determinar las asíntotas de la curva C:22
3
xxxy
Solución:
Universidad Nacional de Tumbes Límites de Funciones Reales
MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 24
(a) Asíntotas verticales. Si)1)(2(2
3
2
3
xxx
xxxy , el denominador se
anula para x = - 2 y x = 1 , luego evaluamos:
*
0
8)1)(2(
lim3
2 xxx
x
* 0
1)1)(2(
lim3
1 xxx
x
Por tanto las rectas x = -2 y x = 1 son las asíntotas verticales
(b) Asíntotas oblicuas u horizontales.
* 112
limlim 2
2
mxxx
xym
xx
* 12
2lim2
lim)(lim 2
2
2
3
xxxxx
xxxmxyb
xxx
Por tanto, la recta y = x -1 es una asíntota oblicua
6. Determinar las asíntotas de la curva C:3
852 2
xxxy
Solución:
(a)Asíntotas verticales. Si3
852 2
xxxy , x = -3, es posible asíntota vertical, en
efecto:
3
852lim2
3 xxx
x, entonces x = - 3 es AV
(b) Asíntotas oblicuas u horizontales.
* 223
852limlim 2
2
m
xxxx
xym
xx
* 138lim2
3852lim)(lim
2
x
xxxxxmxyb
xxx
Por tanto, la recta y = 2x -1 es una asíntota oblicua
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determinar las asíntotas para las siguientes curvas y = f(x)
1.1
352 2
xxxy 2. 3 23 2793 xxxy
3.4
12
2
xxy 4.
1075
2
xx
xy
5.12
2
xxy 6. 4 234 99 xxxxy
7. 4 234 3693 xxxxy 8. 124 2 xxy
9. 9)3( 22 xxy 10. 843 22 xyxy
11.107
52
xxxy 12.
xxxy 122
13.6416869
2
2
xxxxy 14.
8696416
2
2
xxxxy
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CONTINUIDAD DE UNAFUNCIÓN9.1. Continuidad de una función en un punto. Consideremos una función real de
variable real IRIRf : , diremos que la función f es continua en el punto x = x0 ,
si y sólo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:
(i) Existe fDxdeciresxf 00 ),(
(ii) Existe )(lim0
xfxx
(iii) )()(lim 00
xfxfxx
Observación: Cuando una de las tres condiciones no se cumple, se dice que la funciónes discontinua en el punto x = x0
9.2. Propiedades sobre continuidad.
a) Consideremos dos funciones f y g continuas en x = x0, entonces:
f g es continua en el punto x = x0
k f es continua en el punto x = x0, k Ŗ
f . g es continua en el punto x = x0
b) Las funciones polinómicas son continuas pues: )()(lim 00
xPxPxx
c) Las funciones racionales, o sea los cocientes de polinomios, son continuas, pues
0)(;)()(
)()(lim 0
0
0
0
xQsixQxP
xQxP
xx
9.3. Tipos de discontinuidad
(a) Discontinuidad evitable o removible. Diremos que una función real IRIRf :tiene una discontinuidad evitable o removible en un punto x = x0 si:
(i) Existe el número )(lim0
xfxx
(ii) Si ffxxDxDxparaxfxf
000 );()(lim0
, en este caso
definimos la función
0
0
;)(lim,)(
)(0
xxsixfxxsixf
xFxx
(b)Discontinuidad no evitable o irremovible( esencial)
b.1 Discontinuidad de primera especie. Diremos que la función f(x) tiene una
discontinuidad de primera especie si existen los límites laterales )(lim0
xfxx
y
)(lim0
xfxx
, finitos y diferentes
b.2. Discontinuidad de segunda especie. Diremos que la función f(x) tiene una
discontinuidad de segunda especie en el punto x0 si no existen )(lim0
xfxx
, o si uno
de los límites laterales es
Ejemplos ilustrativos. Analizar la continuidad de las siguientes funciones
1.
1,3
)2,1(,1
22)(
23
xsi
xsix
xxxxf .
Solución: Si 1;21
22)();2,1( 223
xx
xxxxxfx
Veamos si para x = 1 se cumplen las condiciones de la definición 8.1
(i) f(1) = 3, existe por definición
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(ii) 321)2(lim)(lim 2
11
xxf
xx
(iii) De (i) y (ii) se sigue que: )1()(lim1
fxfx
2.
32,521,42
11,3)(
2
2
xsixxsixxsix
xf,
Solución: Siendo f una función seccionada, los posibles puntos de continuidad sepresentan en la unión de los intervalos de definición, esto es, en x = 1 y x = 2
Analicemos la continuidad en cada caso
(a) Continuidad en x = 1
(i) 24)1(2)1( f
(ii) 2)(lim;2)42(lim
2)3(lim)(lim
11
2
1
1
xfx
xxf
xx
x
x
(iii) De (i) y (ii) se tiene 2)1()(lim1
fxfx
, por lo tanto la función es
continua en x = 1
(b) Continuidad en x = 2
(i) 125)2( 2 f
(ii) )(lim;1)5(lim
0)42(lim)(lim
22
2
2
2xfexisteno
x
xxf
xx
x
x
Por lo tanto, como no se cumple la condición (ii) la función no es continua en x = 2
3.
2,3
2,4)(
2
xsi
xsixxf
Solución: Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos
2,3
22,422,4
)( 2
2
xsixsix
xxsixxf
Continuidad en x = - 2
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(i) 3)2( f , existe por definición
(ii) 0)(lim;0)4(lim
0)4(lim)(lim
22
2
2
2
2
xfx
xxf
xx
x
x
(iii)Como )2()(lim2
fxfx
, la función es discontinua es x = - 2
(a) Continuidad en x = 2(i) 3)2( f , existe por definición
(ii) 0)(lim;0)4(lim
0)4(lim)(lim
22
2
2
2
2
xfx
xxf
xx
x
x
Por lo tanto: Como )2()(lim2
fxfx
, la función es discontinua es x = 2
4.
3,331,38
1,32)(
xsixxsix
xsixxf
Solución:(i) 5)1( f ; 6)3( f , existen
(ii) )(lim;5)38(lim
5)32(lim)(lim
11
1
1xf
x
xxf
xx
x
x
)(lim;6)3(lim
1)38(lim)(lim
33
3
3xfexisteno
x
xxf
xx
x
x
Por lo tanto la función es continua en x = 1 y discontinua en x = 3
5. Analizar la continuidad o discontinuidad de la función:
4512112)( 2
23
xxxxxxf
Solución: Primeramente simplificamos
4;1;3)1)(4(
)3)(1)(4(45
12112)( 2
23
xxxxxxx
xxxxxxf
Luego la función f(x) tiene puntos de discontinuidad evitable en los puntos x = 1; x = 4
Ahora definiremos la función de tal manera que sea continua en todo x.
4313lim)(lim11
xxf
xx; 7343lim)(lim
14
xxf
xx
471,4
4,1,3)(
xparaxparaxparax
xF
6. Determinar el tipo de discontinuidad de la función:
43246)( 2
xxxxf
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Solución: Para hallar los puntos de discontinuidad de la función, es necesariodeterminar los valores de “x” para los cuales f no está definida. En este caso son los
valores que anulan el denominador. )1)(4(332 xxxx , luego f no
está definida en x = 1 y x = - 4.
Para determinar el tipo de discontinuidad, es necesario averiguar acerca de los límitesen esos puntos, o asea:
)1)(4()4(6lim)(lim
11 xxxxf
xxy
56
)1)(4()4(6lim)(lim
44
xx
xxfxx
La discontinuidad en x = - 4 es evitable y la discontinuidad en x = 1 es esencial. En losdemás valores de x, la función es continua.
Redefiniendo la función en x = - 4 se tiene:
4,4/6
4,43
246)( 2
xpara
xparaxx
xxF
Que es continua en x = - 4, mientras que la discontinuidad en x = 1 no puede evitarse.
7.
0,20,2
)(
2
xparaxxSen
xparaxxf
Solución:
(i) 220)0( 2 f
(ii) 2)(lim;22lim
2)2(lim)(lim
0
0
2
0
0
xf
xxSen
xxf
x
x
x
x
Como 2)0()(lim0
fxfx
, entonces f es continua en x = 0
8.
2,2
2732,3
)( 2
xparaxxx
xparaxf
Solución:
(i) 3)2( f
(ii) 5)13(lim)2(
)2)(13(lim2
273lim)(lim22
2
22
x
xxx
xxxxf
xxxx
Como )2()(lim2
fxfx
, f no es continua en x = 2
EJERCICIOS PROPUESTOSAnalizar la continuidad de las siguientes funciones.
1.
2,2
2,3)(
3
xparax
xparaxxf
2.
3,12
3,2)(
xparaxxxparax
xf
3.1
1)( 2
3
xx
xxf 4.xx
xxf5616)(
2
5.2349)(
2
xxxf
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6.42)(
xxxf 7.
1,1,32
)(2 xsix
xsixxf
8.3
6)(2
xxxxf 9.
443)(
2
xxxxf
10.
4,1
4,4
5)(
xsi
xsixxf 11.
2,0
2,2
1)(
xsi
xsixxf
12.45
)12()1()( 2
2
xxxxxxf 13.
)12()1(45)( 2
2
xxxxxxf
14.
2,1222,2
2,1)(
xsixxsix
xsixxf 15.
3212)( 2
2
xxxxxf
16.
53,3432,62
21,16)(
2
2
xsixxxsixxsixx
xf Tome: x0 =2 y x0 = 3
17.
1,4
1,1
22)(
23
xsi
xsix
xxxxf