Límite de una función - Blog Matemático y otras hierbas · 6.4. Potencias con infinito y cero ... En estos casos hay que efectuar “operaciones particulares” para resolver cada

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”

A. LÍMITES 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Definición 1: E l l í m i t e d e l a f u n c i ó n f ( x ) e n e l p u n t o x 0 , e s e l va l o r a l q u e s e a c e r c a n l a s i m á g e n e s ( l a s y ) c u a n d o l o s o r i g i n a l e s ( l a s x ) s e a c e r c a n a l va l o r x 0 . E s d e c i r , e l v a l o r a l q u e t i e n d e n l a s i m á g e n e s c u a n d o l o s or i g i n a l e s t i e n d e n a x 0 .

V a m o s a e s t u d i a r e l l í m i t e d e l a f u n c i ó n f ( x ) = x 2 e n e l p u n t o x 0 = 2 .

x f(x) x f(x)

1 ,9 3 ,61 2 ,1 4 .41

1 ,99 3 ,9601 2 ,01 4 ,0401

1 ,999 3 ,996001 2 ,001 4 ,004001

. . . . . . . . . . . .

↓ ↓ ↓ ↓

2 4 2 4

T a n t o s i n o s a c e r c a m o s a 2 p o r l a i z q u i e r d a o l a d e r e c h a l a s i m á g e n e s s e a c e r c a n a 4 .

Definición 2: S e a f ( x ) u n a f u n c i ó n d e f i n i d a e n u n e n t o r n o r e d u c i d o d e x = a . S e d i c e q u e e l l í m i t e d e f ( x ) c u a n d o x t i e n d e h a c i a a e s l , o q u e c o n ve r g e a l , s i :

> 0 , > 0 / s i | x - a | < | f ( x ) - l | < ,

e s d e c i r , s i p o d e m o s h a c e r q u e f ( x ) s e a p r o x i m e a l t a n t o c o m o q u e r a m o s s i n m á s q u e t o m a r va l o r e s d e x s u f i c i e n t e m e n t e p r ó x i m o s a l va l o r x = a . L o e s c r i b i r e m o s

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑙

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

“𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑙 , s i y só lo s i , para cua lqu ier en torno de l que tomemos, por pequeño que

sea su rad io , ex is te un entorno de a , E δ ( a ) , cuyos e lementos (s in contar a ) , t ienen sus imágenes den t ro de l en torno de l , E ε ( l ) ” .

2. LÍMITES LATERALES

Definición 1: Sea f(x) una función definida en un entorno reducido a la izquierda de x=a. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es l, si:

0, 0 / si a x a f xl| ,

es decir, si podemos hacer que f(x) se aproxime a l tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente próximos al valor a x=a, a través de valores menores que a. Lo escribiremos:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝒍

Definición 2: Sea f(x) una función definida en un entorno reducido a la izquierda de x=a. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es l, si:

0, 0 / si ax a+ f xl| ,

es decir, si podemos hacer que f(x) se aproxime a l tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente próximos al valor a x=a, a través de valores mayores que a. Lo escribiremos:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝒍




Proposición 1: Sea f (x) una función definida en un entorno de x=a. Entonces, f (x) tiene límite l cuando x tiende hacia a, si y solo sí, existen los dos límites laterales y ambos valen l. Abreviadamente:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒍 ⟺ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝒍 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙)

Proposición 2: Unicidad del límite. El límite de una función en un punto, en caso de existir, es único.

Ejemplo1 :

; ;

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha

cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto

sino a su alrededor.

Ejemplo 2 :

Dada la func ión:

; Hallar ; ;

Com o no co inc iden los l ími tes la tera les , l a f unc ión no t iene l ím i te en x = 0 .

3. LÍMITES INFINITOS

Definición 1: Sea f xuna función definida en un entorno reducido de x a . Se

dice que el límite de fxcuando x tiende hacia a es más infinito, o que diverge a más infinito, si:

M 0 0 / si |x a|f xM

Es decir, si podemos hacer que fxtome valores positivos tan grandes como

queramos sin más que tomar valores de x suficientemente próximos al valor x a. Lo escribiremos


𝒇(𝒙) = +∞ ; 𝑬𝒋.: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝟏

𝒙𝟐= +∞

Definición 2: Sea f xuna función definida en un entornoreducido de x a . Se dice

que el límite de f xcuando x tiende hacia a es menos infinito, o que diverge a menos infinito, si:

N 0 0 / si |x a|f xN

Es decir, si podemos hacer que fxtome valores negativos tan pequeños como

queramos sin más que tomar valores de x suficientemente próximos al valor xa. Lo escribiremos


𝒇(𝒙) = −∞; 𝑬𝒋.: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

−𝟏

𝒙𝟐= −∞




4. -LÍMITES EN EL INFINITO

Definición 1: Se dice que el límite de f xcuando x tiende a más infinito es l, o que converge a l, si:

0 M 0 / si x M |f xl|

es decir, si podemos hacer que f xse aproxime a l tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente grandes. Lo escribiremos:

𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

𝒇(𝒙) = 𝒍

Definición 2: Se dice que el límite de f xcuando x tiende a menos infinito es l, o que converge a l, si:

0 N 0 / si x N |f xl|

es decir, si podemos hacer que f xse aproxime a l tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente pequeños. Lo escribiremos:

𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

𝒇(𝒙) = 𝒍

Definición 3: Se dice que el límite de f xcuando x tiende a más infinito es más infinito, o que diverge a más infinito, si:

M 0 N 0 / si x N f xM,

es decir, si podemos hacer que f xsea tan grande como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente grandes. Lo escribiremos


𝒇(𝒙) = +∞

Definición 4: Se dice que el límite de f xcuando x tiende a más infinito es menos infinito, o quediverge amenos infinito, si:

M 0 N 0 / si x M f xN

es decir, si podemos hacer que f xsea tan pequeño como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente grandes. Lo escribiremos


𝒇(𝒙) = −∞




Definición 5: Se dice que el límite de f xcuando x tiende a menos infinito es más infinito, o que diverge a más infinito, si:

M 0 N 0 / si x N f xM

Es decir, si podemos hacer que f xsea tan grande como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente pequeños. Lo escribiremos


𝒇(𝒙) = +∞

Definición 6: Se dice que el límite de f xcuando x tiende a menos infinito es menos infinito, o que diverge a menos infinito, si:

M 0 N 0 / si x M f xN,

es decir, si podemos hacer que f xsea tan pequeño como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente pequeños. Lo escribiremos


𝒇(𝒙) = −∞




5. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

a) Límite de una constante:𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒌 = 𝒌

b) Límite de una suma:

c) Límite de un producto:

d) Límite de un cociente:

e) Límite de una potencia:

f) Límite de una “función de función”: ;

“g ” p u e d e s e r : r a í z , l n , l o g , s e n , c o s , t g , . . .

g) Límite de una raíz:

h) Límite de un logaritmo:

6. OPERACIONES CON INFINITO

6.1. Sumas(+-) con inf inito

Infinito ± un número: ∞ a =∞ ; Infinito más infinito: ∞+∞=∞

Infinito menos infinito: ∞-∞ ¿? Ind

6.2.Productos con infinito

Infinito por un número: ∞ · ( a) = ∞, si a≠0 Infinito por infinito: ∞·∞ =∞;

Infinito por cero: · 0 ¿? Ind

6.3. Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un número: 0/b=0; b≠0. Un número partido por cero: a/0=∞

Un número partido por infinito: a/∞=0; Infinito partido por un número: ∞/b =∞; b≠0

Cero partido por infinito: 0/∞=0; Infinito partido por cero: ∞/0=∞

Cero partido por cero: 0/0 →Ind; Infinito partido por infinito: ∞/∞ → Ind

6.4. Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero: a0=1; Cero elevado a cero: 00 Ind

Infinito elevado a cero: ∞0 Ind; Cero elevado a infinito: 0∞=0

Infinito elevado a infinito: ∞∞∞; Uno elevado a infinito: 1∞ Ind

Cero elevado a un número: 𝟎 𝒂 = {∞ 𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎𝟎 𝒔𝒊 𝒂 > 𝟎

;

Un número elevado a infinito: 𝒂∞ = {𝟎 𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎∞ 𝒔𝒊 𝒂 > 𝟎

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

la reg la de los s ignos y que a - n = 1

𝑎𝑛

http://www.vitutor.com/fun/3/a_10.html#log




7. CÁLCULO DE LÍMITES

7.1. Cálculo del l ímite en un punto .

S i f ( x ) e s u n a f u n c i ó n u s u a l ( p o l i n ó m i c a s , r a c i o n a l e s , r a d i c a l e s , e x p o n e n c i a l e s , l o g a r í t m i c a s , e t c . ) y e s t á d e f i n i d a e n e l p u n t o a , e n t o n c e s s e s u e l e c u m p l i r q u e :

Es dec i r : para ca lcular e l l ími te se sust i tuye en la función l a var iab le “x” por el va lor a l que t ienden las x .

;

No podem os ca lcu lar lim𝑥→−2

√𝑥 porque e l dom in io de def in ic ión es tá en e l in te r va lo [0 ,

∞ ) , por t an to no puede tom ar va lores que se acerquen a -2 .

S in em bargo s i podem os ca lcu lar , aunque 3 no per tenezca a l

dom in io , D= - {2 ,3} , s i podem os tom ar va lo res de l dom in io

tan próx im os a 3 como queram os .

7.2. Cálculo del l ímite en una función definida a trozos .

E n p r i m e r l u g a r t e n e m o s q u e e s t u d i a r l o s l í m i t e s l a t e r a l e s e n l o s p u n t o s d e u n i ó n d e l o s

d i f e r e n t e s t r o z o s . S i c o i n c i d e n , e s t e e s e l v a l o r d e l l í m i t e . S i n o c o i n c i d e n , e l l í m i t e n o

e x i s t e

E n x = - 1 , l o s l í m i t e s l a t e r a l e s s o n :

P o r l a i z q u i e r d a : 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏−

𝟏 = 𝟏; P o r l a d e r e c h a : 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏+

𝒙𝟐 = 𝟏

C o m o e n a m b o s c a s o s c o i n c i d e n , e x i s t e e l l í m i t e y va l e 1 .

E n x = 1 , l o s l í m i t e s l a t e r a l e s s o n :

P o r l a i z q u i e r d a : 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏−

𝒙𝟐 = 𝟏; P o r l a d e r e c h a : 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏+

𝟐 = 𝟐

C o m o n o c o i n c i d e n l o s l í m i t e s l a t e r a l e s , p o r t a n t o n o t i e n e l í m i t e e n x = 1 .

7.3. Cálculo de l ímites cuando x ∞ .

Para ca lcu lar e l l ím i te de una func ión cuando x∞ se sus t i tuyen las x por ∞ .

7.4. L ímite de funciones pol inómicas en el infinito .

El l ím i te cuando x∞ de una función pol inómica es +∞ o -∞ según que e l

término de mayor g rado sea posi t ivo o negat ivo .

;




7.5. L ímite de la inversa de un pol inomio en el infinito .

S i P(x) es un pol inomio, entonces :

Ejemplo:

7.6. Cálculo de l ímites cuando x -∞ :


𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

𝒇(−𝒙)

Ejemplos:


(𝟑 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

[𝟑(−𝒙)𝟒 + (−𝒙)𝟑 − 𝟐(−𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

(𝟑𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙) = ∞

No existe e l l ímite, porque el radicando toma va lores negativos.

7.7. L ímite de la función exponencial .

Si a > 0

Si 0 < a < 1

;

;




7.8. L ímite de la función logarítmica .

Si a > 0

;

Si 0 < a < 1

;

;

E j e m p l o s d e L í m i t e s d e l o g a r i t m o s




8. INDETERMINACIONES

Una indeterminac ión no s ign i f ica que e l l ím i te no ex is ta o no se pueda determ inar , s ino que la ap l icac ión de las prop iedades de los l ím i tes ta l com o las hem os enunc iadas no son vá l idas .

En es tos casos ha y que e fec tuar “operaciones part icu lares ” para reso lver cada una de las indeterm inac iones .

8.1. T ipos de indeterminación

1. In finito / Infinito: ∞

∞ 2. Cero / cero:

𝟎

𝟎 3. In f in i to - In f in i to : -

4. Cero · In f in i to : 0 · 5. Cero elevado a cero: 0 0 6. Infinito elevado a cero: 0

7. Uno elevado a infinito: 1

9. COMPARACIÓN DE INFINITOS

𝑺𝒊 𝒍𝒊𝒎𝒙→∞

𝒇(𝒙) = ±∞ 𝒚 𝒍𝒊𝒎𝒙→∞

𝒈(𝒙) = ±∞

a ) f ( x ) e s u n i n f i n i t o d e o r d e n s u p er i o r a g ( x ) s i :

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)= ±∞ ; 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = ∞

b ) f ( x ) e s u n i n f i n i t o d e o r d e n i n f e r i o r a g ( x ) s i :


𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)= 𝟎 ; 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = −∞

c ) f ( x ) e s u n i n f i n i t o d e i g u a l o r d e n a g ( x ) s i :


𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)= 𝒍 ≠ 𝟎

- Dadas dos potencias de x , la de m ayor exponente es un in f in i to de orden

super io r .

- Dadas dos funciones exponencia les (a x ) de base m ayor que 1 , l a de m ayor

base es un in f in i t o de orden super io r .

- Cua lqu ier función exponencia l (a x ) de base m ayor que 1 es un in f in i to de

orden super io r a cua lqu ier potencia de x n .

- Las potencias de x n son in f in i t os de orden super io r a las funciones

logar í tmicas .

- Dos pol inomios del mismo grado o dos exponencia les de la misma base son

in f in i tos de l m ism o orden.

Ejemplos: Ha l la r los l ím i tes por comparac ión de in f in i tos:

; ;

http://www.vitutor.com/fun/3/a_14.html








9.1. L ímite de un número partido por cero : k/0

El l ímite puede ser +∞, -∞ ó no tener l ímite.

Ejemplo :

Tom am os los l ím i tes la tera les para determ inar e l s igno de ∞ .

S i l e dam os a la x un va lor que se acerque a 1 por la i zqu ierda com o 0 ,9 ; tan to e l num erador com o denom inador son negat i vos , por lo que e l l ím i te por la

i zqu ierda será : +∞ .

lim𝑥→1−

𝑥 + 1

𝑥 − 1=

(+)

(+)= ∞

S i l e dam os a la x un va lor que se acerque a 1 por la derecha com o 1 ,1 . E l num erador será pos i t ivo y e l denom inador nega t i vo , por lo que e l l ím i te por la

derecha será : - .

lim𝑥→1+

𝑥 + 1

𝑥 − 1=

(+)

(−)= −∞

Com o no co inc iden los l ím i tes la tera les , la f unc ión no t i ene l ím i te cuando x →1 .

Ejemplos:

; ; ;

; ; ;

9.2. Indeterminación “ infinito / infinito” : ∞∞

Podem os reso lver es ta indeterm inac ión por dos m étodos :

a) Por comparación de inf ini tos:

El num erador t iene m ayor grado que e l denom inador : 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟐𝒙𝟓−𝟑𝒙𝟐

𝒙𝟒−𝒙𝟑= ∞

El denom inador t iene m ayor grado que e l num erador : 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟐𝒙𝟓−𝟑𝒙𝟐

𝒙𝟕−𝒙𝟑 = 𝟎

Al tener e l m ism o grado e l l ím i te es e l coc ien te ent re los coef ic ien tes de m ayor

grado: 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟐𝒙𝟓−𝟑𝒙𝟐

𝒙𝟓−𝒙𝟑 = 𝟐

;

;

;

;




;

b) Si se trata defunciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

;

S i son funciones exponenciales d iv id imos por la exponencial de mayor base.

;

9.3.Indeterminación “ inf inito - infinito” :

a) Por comparación de infinitos.

;

;

;

;

b) Con funciones racionales .

Ponem os a común denominador , y ob tenem os ∞

∞. Reso lvem os es ta indeterm inac ión .

;

c) Con funciones irracionales :

M u l t i p l i c a r y d i v i d i r p o r e l c o n j u g a d o ( a + b ) .

;




9.4. Indeterminación “cero /cero” :𝟎

𝟎

a) Función racional sin radicales:

Se descomponen en factores los pol inomios y se s impl i f ica la f racc ión.

;

;

; ;no t iene l ímite en x = -1

b) Función racional con radicales:

En pr im er lugar mult ip l icamos numerador y denominador por e l conjugado

(a+b) de la expres ión i r rac iona l .Rea l i zamos las operac iones y s im pl i f i cam os la

f racc ión .

9.5. Indeterminación “cero · infinito” : 0·

Se t rans form a 0· en ∞

∞ o en

𝟎𝟎

de l s igu ien te m odo :𝒇(𝒙) · 𝒈(𝒙) =𝒇(𝒙)

𝟏

𝒈(𝒙)

=𝒈(𝒙)

𝟏

𝒇(𝒙)

I n t roduc imos e l 1 e r fac tor en la ra iz : ;

9.6. Indeterminación “uno elevado a inf inito” : 1

Se resue lve t r ans form ando la expres i ón en una po tenc ia de l núm ero e :

Método1 :




;

Método 2: Sumamos y res tamos 1 :

Reduc imos a común denominador los ú l t imos sumandos :

Sust i tu imos por e l inverso de l inve rso :

E levamos a l denominador y a su inverso:

10. REGLA DE L 'HÔPITAL

Proposic ión : Sean f ( x ) y g(x) f unc iones der ivab les en un en torno de x=a , t a les que


𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) presenta una inde term inac ión

𝟎

𝟎 o b ien

∞

∞, s i ex is te 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝒇′(𝒙)

𝒈′(𝒙) , es te l ím i te

co inc ide con 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙).


𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝒇′(𝒙)

𝒈′(𝒙)= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝒇′′(𝒙)

𝒈′′(𝒙)=…

Para ap l icar l a reg la de L 'HÔPIT AL hay que tener un l ím i te de la f o rm a 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) ,

donde a puede ser un número o in f in i to , y aparecer las inde term inac iones : 𝟎

𝟎 y

∞

∞

Ejemplos

1. ; ;

2. ; ;

3 . ; ;

4.

http://www.vitutor.com/di/re/r7.html




11. Transformación de algunas indeterminaciones para su resolución

a) Indeterminación: -

En la indeterm inac ión in f in i to – in f in i to ( - ) , s i son f racc iones , se reducen a

com ún denom inador y se opera .

;

b) Indeterminación: 0·

La inde term inac ión cero por in f in i to , se t rans form a de l s igu ien te m odo:


𝑨 · 𝑩 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝑨

𝟏/𝑩= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝑩

𝟏/𝑨

Ejemplo:

;

(aplicamos L’Hôpital)

c) Indeterminaciones: 00; 0; 1

En las indeterm inac iones 0 0 , 0 y 1 se rea l i za en pr im er l uga r las s igu ien tes

operac iones , s i querem os ca lcu lar 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒖𝒗

Entonces hacem os :

A=u v ( a p l i c a m o s L n ) LnA=Lnu v LnA=v·Ln(u) ; ( a p l i c a m o s e l c o n c e p t o Ln ) A=e v · l n ( u )


𝒖𝒗 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒆𝒗·𝑳𝒏(𝒖) = 𝒆𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒗·𝑳𝒏(𝒖)

Ejemplos:

; ;

; ; ;




; ;

12. ASÍNTOTAS

El estudio de las asíntotas de una función, que abordaremos a continuación, está íntimamente relacionado tanto con el concepto de límite como con la representación gráfica de funciones que trataremos posteriormente. Se trata de un aspecto fundamental a la hora de representar funciones y analizar su comportamiento por lo que habrá que prestarle especial atención.

Definición: Llamamos asíntota de una función a toda recta vertical, horizontal u oblicua a la que se acerca indefinidamente la gráfica de la función (sin llegar a cortarla) para puntos indefinidamente alejados del origen de coordenadas.

Tipos de Asíntotas:

I. Asíntotas Verticales: f xtiene una asíntota vertical en xa cuando alguno de sus límites laterales en

xa es infinito, es decir, cuando:

𝐥𝐢𝐦𝒙→±𝒂

𝒇(𝒙) = ±∞ ⇒ ∃ 𝑨. 𝑽. 𝒆𝒏 𝒙 = ±𝒂

II. Asíntotas Horizontales: : f xtiene una asíntota horizontal en y b cuando alguno de sus límites en el

infinito es finito, es decir, cuando:

𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒇(𝒙) = ±𝒃 ⇒ ∃ 𝑨. 𝑯. 𝒆𝒏 𝒚 = ±𝒃

III. Asíntotas Oblicuas: f xtiene una asíntota oblicua en y mx n cuando:

𝑎) 𝒎 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒇(𝒙)

𝒙 (𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑦 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜)

𝑏) 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

[𝒇(𝒙) − 𝒎𝒙] (𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜)

E jemplo: As ín totas de

A s í n t o t a h o r i z o n t a l : lim𝑥→±∞

𝑥3

(𝑥−1)2 = ±∞ No tiene asíntotas Horizontales

A s í n t o t a s v e r t i c a l e s : lim𝑥→1

𝑥3

(𝑥−1)2 = ∞ Tiene Asíntota Vertical en x=1

As íntota obl icua :

tiene una asíntota Oblicua en y=x+2




12.1. Observaciones sobre las asíntotas Nota 1: A la vista de los ejemplos anteriores conviene tener en cuenta en el caso de funciones racionales:

Presentan asíntotas verticales en las raíces del denominador (salvo cuando dicha raíz lo es también del numerador).

Presentan asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.

Presentan asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad más queel del denominador.

Nota 2: Hagamos algunas aclaraciones sobre el número de asíntotas que puede tener una función:

Una función puede tener infinitas asíntotas verticales y el acercamiento a ellas puede ser por la izquierda, por la derecha o por ambas direcciones. Además, los puntos en los que se encuentran las asíntotas suelen ser valores en los que no está definida la función.

Una función puede tener, como máximo dos asíntotas entre horizontales y oblicuas.

No puede haber simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas en ±. Lo que sí puede darse es que haya una horizontal en un lado y una oblicua en otro. En resumen, sí puede haber simultáneamente horizontal y oblicua pero no en el mismo lado.

13. RAMAS PARABÓLICAS

Las ramas paraból icas se es tud ian só lo s i :


𝒇(𝒙) = ±∞

a) Rama paraból ica en la dirección del eje OY:


𝒇(𝒙)

𝒙= ±∞

Esto qu iere dec i r que la grá f i ca se compor ta como una parábo la de e je

ver t i ca l .

b) Rama paraból ica en la di rección del eje OX:


𝒇(𝒙)

𝒙= 𝟎

Esto qu iere dec i r que la grá f i ca se comporta como una parábo la de e je hor i zonta l .




LÍMITES QUE NO EXISTEN

lim𝑥→∞

𝑠𝑒𝑛𝑥; lim𝑥→∞

𝑐𝑜𝑠𝑥; lim𝑥→∞

𝑡𝑔𝑥 lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛1

𝑥; lim

𝑥→0𝑐𝑜𝑠

1

𝑥; lim

𝑥→0𝑡𝑔

1

𝑥

LÍMITES QUE CONVIENE CONOCER

limX→∞

ln x

x= 0; lim

X→∞

x

ax= 0 si a > 1; lim

x→0

sen x

x= 1; lim

x→0

tg x

x= 1

Ejercicios de límites de funciones

1. Observa la grá f i ca de es ta func ión f (x) y ca lcu la r es tos l ím i tes .

2. Calcu lar los s iguientes l ímites:

1 ; 2

3 ; 4

5 ; 6

7 ; 8

9 ; 10

11 ; 12

13 ; 14




15

3Calcular:

1 ; 2

3 ; 4

5 ; 6

7 ; 8

Soluciones Ejercicios de límites de funciones

1.Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.

;

;

2.-Soluciones a los distintos apartados:

1) 1; 2) -1; 3)3 5

7; 4) 2; 5) ∞; 6) 0; 7) ∞; 8) ∞; 9) no tiene; 0;

3

2

00

fLimfLim

xx; 10) ¾; 11)

2; 12) 6; 13) ¼; 14) e; 15)3 2

1

e;

3.-Soluciones a los distintos apartados:

1)∞; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) ∞; 6) 1; 7) ∞; 8) 0 .




B. CONTINUIDAD

1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Definición: Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que f (x) es continua en x = a si

lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

En caso de que lo no sea, diremos que es discontinua o que presenta una discontinuidad en x = a. Para que una función f(x) sea continua en un punto x = a, si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen. ∃ 𝒇(𝒂)

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

𝒇(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

La definición anterior lleva implícita algunas condiciones derivadas de la existencia del límite puntual. Para que la función sea continua han de cumplirse:

Que f (a).

Que ∃ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) y ∃ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙), que ambos sean finitos y que

coincidan. Finalmente que dicho valor común coincida con f (a).

𝒇(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙)

Ejemplo: 𝒇(𝟐) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+

𝒇(𝒙) = 𝟒

Definición: Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que f (x) es continua por la

izquierda en x = a si 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

Definición: Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que f (x) es continua por la

derecha en x = a si 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂).

Nota: Visto lo anterior, es evidente que una función es continua en un punto si ysolo si lo es por la izquierda y por la derecha.

Ejemplo: Estudiar la continuidad de𝑓(𝑥) = {𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 24 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

en x =2 ,f(2)= 4

{lim

𝑥→2− 𝑥2=4

lim𝑥→2+

4=4} ⇒ lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = 4;lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = 𝑓(2) = 4




Ejemplo anterior:

Definición: Una función se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del intervalo, considerando continuidad lateral en los extremos incluidos enel mismo.

Nota: Las funciones elementales: polinómicas, de valor absoluto, racionales, con raíces, exponenciales, logarítmica, trigonométricas y las inversas de las trigonométricas son continuas en sus respectivos dominios. Proposición: La composición de funciones continuas es continua en su dominio correspondiente. Nota: Como consecuencia:

a) El valor absoluto de una función continua es continua en su dominio correspondiente. b) La raíz de una función continua es continua en su dominio correspondiente.

Como es evidente, no todas las funciones son continuas en todos sus puntos y no siempre por el mismo motivo.

Ejemplo: La función 𝒇(𝒙) =𝟐

𝒙−𝟑 es continua en -{3}. En x = 3 no es continua porque no está

definida. Nota: Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

Ejemplo: La función es continua en . Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites

laterales en los puntos de división coinciden

2. DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES

Definición: Sea f (x) una función discontinua en x = a. Diremos que es una discontinuidad:

a) Evitable en un punto x = a si existe 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) y éste es finito y si se cumple una de estas

condiciones: ∄𝐟(𝐚) o bien 𝒇(𝒂) ≠ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙).

b.1) De 1ª Especie con salto finito si los dos límites laterales existen y son finitos pero no coinciden:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) ≠ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙).

Al valor absoluto de la diferencia de dichos límites lo llamaremos salto (finito):

| 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙)| = 𝑺.

b.2) De 1ª Especie con salto infinito si los dos límites laterales existen pero, al menos uno de ellos es

infinito. Por tanto, | 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙)| = ∞

c) De 2ª Especie cuando no existe alguno de los límites laterales.

Nota: Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.




Ejemplos: Tipos de discontinuidad

a) DISCONTINUIDAD EVITABLE

1.1. La función no está definida en x = a: ∄𝐟(𝐚)

; ;

1.2. La imagen no coincide con el límite: (𝒂) ≠ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) ;

;

La dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que:

;

b) DISCONTINUIDAD DE 1ª ESPECIE

b.1. Discontinuidad de 1ª especie de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real:

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.

b.2. Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito:

; ;

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

c) DISCONTINUIDAD DE 2ª ESPECIE Una discontinuidad es esencial o de 2ª especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

;

En x = 2 hay una discontinuidad DE 2ª especie porque no tiene límite por la derecha

; En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda




Ejercicios de continuidad de funciones

1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a. 1) 2) 3)

b. 4) 5) 6)

2. Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

3. Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

4. ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0? 1 ; 2

5. Dada la función: a. Demostrar que f(x) no es continua en x = 5 b. ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo

dar su expresión

6. Estudiar la continuidad de la función:

7. Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

8. Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

9. La función definida por: es continua en [0, ∞).Hallar el valor de a que

hace que esta afirmación sea cierta. 10. Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x2 + 1+ |2x − 1|.

11. Se considera la función . Si f(2) = 3, determinar los valores de

a y b para que f(x) sea continua.

12. Dada la función: .Determinar el valor de a para que la función sea continua para

x = 3.

13. Dada la función: .Determinar los puntos de discontinuidad de la función.




14. Dada la función . Determinar a y b de modo que la función f sea

continua para todo valor de x.

15. Sea la función: . Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

16. Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

17. Dada la función: . Hallar a y b para que la función sea continua.

18. Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.




3.- CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si: f es continua en x, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). f es continua en a por la derecha: 𝑓(𝑎) = lim

𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)

f es continua en b por la izquierda:𝑓(𝑏) = lim𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥)

Consecuencia Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

Ejemplos

Estudiar la continuidad de en el intervalo [0, 4]. f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es

continua en toda . f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es

continua en toda . Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.

f(2)= 4

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].




3.1. TEOREMA DE BOLZANO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, es decir sig f(a) ≠ sig f(b), entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Ejemplos 1. Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1]. Solución: Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo: f(0) = −1 < 0, f(1) = 1 > 0 Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c ∈ (0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo. Ejercicios propuestos: 1. Estudiar si estas funciones se anulan en algún punto del intervalo [4,6]:

𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 10𝑥 − 30; 𝑏) 𝑓(𝑥) =𝑥 + 1

𝑒𝑥+

cos 𝑥

𝑥 − 1

2. Demuestra que la ecuación senx+2x=1 tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de longitud 2 que la contenga. 3. Demuestra que f(X)=cos x + 1 tiene, al menos, una solución real en [0,π]. 4. Demuestra que existe un punto x0 en el que la función f(x)=x·3x + 1 toma el valor 3. Sitúa el punto dentro de un intervalo de longitud 1.

3.2. TEOREMA DE WEIERSTRASS

Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

𝒇(𝒙𝟏) ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙𝟐), 𝒔𝒊 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃]

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.

Ejemplos es continua en el intervalo [−1, 4]




Ejercicios propuestos:

1. Demuestra que las funciones 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 + 2 𝑦 𝑔(𝑥) = 2−𝑥 se cortan, al menos, en un punto en el intervalo [-2,0].

2.-Comprueba que las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 2√𝑥 + 1 al menos, en un punto del intervalo [0,1].

3.3. PROPIEDAD DE DARBOUX

Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k. También podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo: Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Ejemplos

Probar que la función f(x) = x·(sen x + 1) toma el valor 2.

La función es continua en toda por ser el producto de dos funciones continuas. Tomamos el intervalo [-π/2, π/2] y estudiamos el valor de las imágenes de los extremos: f(-π/2)=0<2, f(π/2)=π>2. Por tanto existe un c ∈ (-π/2, π/2) tal que f(c) = 2.

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Límite de una función - Blog Matemático y otras hierbas · 6.4. Potencias con infinito y cero ... En estos casos hay que efectuar “operaciones particulares” para resolver cada