LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Definición intuitiva de límite.

Consideremos la función

El dominio es Df = R \ {1}

Evalúa la función en los números dados y explica el comportamiento.

1

3

x

xxy

X 0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999

y

X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001

y

En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x?

En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima “y”?

Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la izquierda, el valor de y= f(x) tiende a 2.

En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x?

En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima “y”?

Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la derecha, el valor de “y” tiende a 2.

¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor dado, los valores de y se aproximen más al valor observado?

Concepto de límite

SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A UN NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA A UN NÚMERO a TANTO POR LA IZQUIERDA COMO POR LA DERECHA, ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA COMO:

Lxfax

)(lím

Ejemplo:Sea la función

Hallar 2

Por lo tanto

22

2)(

x

xxf

)(lím2

xfx

X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2

y

422

2lím

2

x

x

x

1 2 3 4 5-1-2

1

2

3

4

x

yy = (x-2)/(sqrt(x+2)-2)

o

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Se quiere fabricar placas de acero de 8cm x 8cm.

8 cm

8 cm

Es decir, de 64 cm2 de superficie.En la realidad, resulta imposible fabricar placas con 64 cm2 de superficie, siempre se elabora con cierta aproximación, o sea, que cumpla las especificaciones dentro de la tolerancia.

Para cualquier medida de los lados de la placa:A (L) = L2

Si consideramos las siguientes tolerancias:1) A (L) = 64 ±0.75 esto implica que 63.25< A (L) <64.752) A (L) = 64 ±0.50 63.5 < A (L) <64.5 3) A (L) = 64 ±0.25 63.75< A (L) <64.254) A (L) = 64 ±0.125 63.875< A (L) <64.1255) A (L) = 64 ±0.1 63.9< A (L) <64.1

Se debe encontrar un intervalo para L de tal manera que A ( L) esté dentro del intervalo de tolerancia.

Tolerancia de menos Tolerancia de más Tolerancia de menos Tolerancia de más

L L A(L) A(L) 8 64

Es decir:Si 7.96 < L < 8.04 → 63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple!Si 7.97 < L < 8.03 → 63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple!Si 7.99 < L < 8.01 → 63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple!

Si se quiere más precisión de A (L), significa que L debe estar lo más cercano posible a 8. O sea, existe una pequeña diferencia de A (L) con 64, análogamente, existe también una pequeña diferencia de L con 8. Por la definición intuitiva de límite:

64)(lím8

LAL

Si esas pequeñas diferencias que existen de L con 8 y de A (L) con 64 les llamamos δ(delta) y ε(épsilon) respectivamente, tendríamos:8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε

↔ Significa si y sólo si.También se puede escribir como:

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < εLo anterior quiere decir que si L se encuentra en el intervalo (8- δ, 8+ δ), entonces A (L) se encuentra en el intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)

a L

x f (x)

a – δ a + δ L – ε L + εPor propiedades del valor absoluto, las desigualdades:

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < εSe pueden escribir como:

Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a ser 8, entonces L – 8 ≠ 0 y por lo tanto

64)(8 LAL

08 L

De lo anterior:

Ahora, generalizando para cualquier función f (x) cuando x → a, tenemos:

64)(80 LAL

Lxfax )(0

Definición formal de límite.Consideremos un intervalo abierto que contenga al número a. Sea f una función definida en todos los números del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. Entonces:

Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0 tal que:

Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f (x) – L | < ε

Lxfax

)(lím

Interpretación geométrica:

L + ε

a - δ

L

ε

ε

a - δ a

δ δ

L - ε

Ejemplo:1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que

a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01

b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01

Solución:

5)(lím3

xfx

5.01

4.99

5

3x1 x2

f (x) =4 x - 7

Solución a)4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01

Como 3 – 2.9975 = 0.0025Y 3.0025 – 3 = 0.0025Se elige δ = 0.0025, de tal forma que 0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01

Lo cual es verdadero.

0025.34

01.122

x9975.24

99.111

x

Solución b)Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:

Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01Entonces:0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01

Tomando la segunda ecuación:

| (4x – 7) - 5 | < 0.01

| 4x – 7 - 5 | < 0.01

| 4x – 12 | < 0.01

| 4 (x – 3 ) | < 0.01

| 4 | | x – 3 | < 0.01

4 | x – 3 | < 0.01

Lxfax )(0

4

01.03 x

Si tomamos

entonces:0 < |x - 3 | < δ si y solamente si | (4x – 7) - 3 | < ε es verdadero!

Puesto que: 0 < | x - 3 | < 0.0025

4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 )

| 4 (x – 3) | < 0.01

| 4x - 12 | < 0.01

| ( 4x – 7) - 5 | < 0.01

| f (x) - 5 | < 0.01

QUEDA DEMOSTRADO!

0025.04

01.0

4

Límites de funciones

Analicemos la función: 112

xx

xf

La función está definida para toda x diferente de 1.

Podemos simplificar la función de la siguiente manera:

1

111

112

x

xxx

xx

xf x 1

x

y

1

1

–1

0

112

xx

xfy

2

x

y

1

1

–1

0

y = x + 1

2

Valores de x menores y mayores 1que 1

0.91.10.991.010.9991.0010.9999991.000001

1.92.11.992.011.9992.0011.9999992.000001

1112

x

xx

xf x 1

Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

211

lim2lim2

11

xx

oxfxx

Funciones sin límite en un punto

0,1

0,0)

x

xya

La función salta

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

0,0

0,1

)x

xxyb

Crece demasiado 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0,1

sen

0,0)

xx

xyc

Oscila demasiado

Límites por un lado y bilateralesUna función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:

Limx c f (x) = L Limx c– f (x) = L y Limx c+ f (x) = L

Ejercicio

1

1

2 3

y = g(x)

y

x

xgx 1lim

Encontrar

xgx 2lim

xgx 3lim

Aplicación práctica de Límites¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es

V = p62h = 36ph

¿Con qué precisión se debe medir h para medir 1 L(1000 cm3) con un error no mayor de 1% (10 cm3)?

Para que valores de h se satisface

| V – 1000 | = | 36ph – 1000 | 10

| 36ph – 1000 | 10

–10 36ph – 1000 10

990 36ph 1010

990 /36p h 1010 /36p

8.8 h 8.9

8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1mm

h

r = 6 cm

Reglas para calcular límites

Teorema #1

Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales)

1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M

2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M

3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M

4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL

por una constante

5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0

6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

Límites de Polinomios

Teorema #2

Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución

Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces

limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0

Teorema #3

Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.

Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces

limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Eliminación de denominador cero

Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

xxxx

x

2

2

1

2lim

hh

h

22lim

0

Teorema del emparedado

supóngase que g(x) f(x) h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que

Lxhxgcxcx

limlim

Entonces Lxfcx

lim

g

f

h

c

L

y

x

ejemplos

yy

y 5lim

2

5

245

5lim

0 hh

5103

lim2

5

xxx

x

23

1lim

1

x

xx

Límites infinitosSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.

xfcx

lim

Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

xfcx

lim

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -1 0 1 2 3

11

lim1 xx

11

lim1 xx

x

y

y = 1/(x – 1)

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

20

1lim

xx

20

1lim

xx

2

1x

y

y = 1/x²

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

23 3

1lim

xx

23 3

1lim

xx

23

1

x

y

y = 1/(x + 3)²

LÍMITES AL INFINITO

En una función “f” de variable real “x”, pudiera pasar que la variable independiente tienda al infinito y aún así el límite de la función existe y es un número L, es decir:

Lim f(x)= Lx→∞

Determine :Lim 2x-1/x+2

x→∞

ContinuidadContinuidad en un punto

Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si

cfxfcx

lim

Ejemplos

1

1

0

y

x

y = f(x)

1

0

y

x

y = f(x)

1

0 x

y = f(x)

y = f(x)

y

x

2

Criterio de continuidad

Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes:

1. f(c) existe (c está en el dominio de f)

2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)

3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

Reglas de continuidadTeorema 6

Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en:

1. f + g y f – g

2. f g

3. kf, donde k es cualquier número

4. f/g (si g(c) ≠ 0)

5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)

Continuidad de polinomiosTeorema 7

Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.

25

20x4

xxxg

xfxr

Ejemplo:

Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.

La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.

Continuidad de la composiciónTeorema 8

Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.

f g

g ° f

f (c) g(f (c))Continua en c

Continua en f(c)

Continua en c