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Límite de una sucesión
Límite finito
Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.
También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:
Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.
Límite infinito
Se dice que una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.
Se dice que una sucesión an tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an
< −N.
Sucesiones convergentes
Son las que tienen límite finito.
Sucesiones divergentes
Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞).
Sucesiones oscilantes
No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
Sucesiones alternadas
Son aquellas que alternan los signos de sus términos.
Propiedades de los límites
1 El límite si existe es único.
2 Si una sucesión an tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismmo límite que an.
3 Todas las sucesiones convergentes están acotadas.
4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.
5 Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.
6 Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.
Infinitésimos
Una sucesión an es un infinitésimo si tiene por límite cero.
Propiedades:
1 La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.
2 El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.
3 El producto de infinitésimos es un infinitésimo.
4 El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
5 Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an − L) es un infinitésimo.
6 Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.
Operaciones con límites
lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn)
lim (an − bn) = lim (an) − lim (bn)
lim (an · bn) = lim (an) · lim (bn)
lim k· an =k· lim an
lim ank = (lim an)k
lim loga an = loga lim an
Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:
Estudio de las indeterminaciones
Infinito partido infinito
Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.
Regla práctica
1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.
2 Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
3 Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.
Infinito menos infinito
1. Sucesión entera.
Se saca factor común de la potencia de mayor exponente.
Regla práctica:
El límite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
2. Sucesiones racionales.
Ponemos a común denominador, y si obtenemos resolvemos la indeterminación.
3. Sucesiones irracionales.
Multiplicamos y dividimos por el conjugado.
Cero por infinito
Se transforma a .
Cero patido por cero
Se transforma a
Uno elevado a infinito
Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e .
1er Método
2º Método
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
1
Demuestra que la sucesión tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.
A partir de a41 la distancia a 2 será menor que una decima.
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
2
Probar que la sucesión tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 +
0.001).
Quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
3
Demuestra que la sucesión tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).
Los primeros 54 términos quedan fuera del entorno.
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
4
Probar que . Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.
A partir de a219 la distancia al límite será menor que una centésima.
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
5
Demuestra que la sucesión tiene por limite +∞. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.
No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
6
Demuestra que la sucesión an= −n2
tiene por limite −∞. Y calcula a partir de que término la sucesión toma valores menores que -10 000.
Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.
−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...
Si tomamos N= 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.
a101= −1012 = −10 201
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
7
Calcular los límites:
1
2
3
4
5
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
8
Hallar los límites:
5
6
7
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
9
Calcula los siguientes límites.
1
2
3
4
5
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
10
Hallar los límites:
1
2
Se transforma a
2
3
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
11
Calcula los siguientes límites.
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
12
Calcula los siguientes límites.
1
2
2
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
13
Hallar los límites:
1
2
Ejercicios resueltos de límites de sucesiones
14
1
2