LIMITE E CONTINUIDADE

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “salto” em p.

O gráfico de f não apresenta “salto” em p: f é contínua em p. Observe que à medida que x se aproxima de p, quer pela direita ou pela esquerda, os valores f(x) se aproximam de f(p); e quanto mais próximo x estiver de p, mais próximo estará f(x) de f(p).

O mesmo não acontece com a função g em p: em p o gráfico de g apresenta “salto”, logo g não é contínua em p.

Seja as funções f(x) = x e g ( x )=¿ {1 se x≤1¿ ¿¿¿

Se f é contínua em todo p de seu domínio, por sua vez, a função g não é contínua em p = 1, mas é contínua em todo p ≠ 1. Podemos então dizer intuitivamente que o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L que, simbolicamente, se escreve:

limx→ pf (x )=L

Significa que quando x tende a p, f(x) tende a L.

Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I

Função f Função g

Quando x tende a p, f(x) tende a f(p):

limx→ pf (x )=f ( p )

Quando x tende a p, f(x) tende a L:

limx→ pf (x )=L

Agora vamos utilizar a noção intuitiva de limite, calcule limx→1

( x+1 )

x

x + 1

0,5 1,50,9 1,90,99 1,99

0,999 1,9990,9999 1,9999

↓ ↓1 2

Exercícios

1) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule.

a ) limx→1

( x+2)

b ) limx→1

(2x+1 )

c ) limx→0

(3 x+1 )

d ) limx→ 2

(x2+1 )

e ) limx→1

√ x

f ) limx→2

x2+xx+3

g ) limx→2

3√ x

h ) limx→0

(√x+x )

Resp: a) 3; b) 3; c) 1; d) 5; e) 1; f) 6/5; g) 3√2 ; h) 0

2) Esboce o gráfico da f ( x )= 4 x2−1

2 x−1 . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule

limx→ 1

2

4 x2−12x−1

Resp: 2

3) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule.

a ) limx→2

x2−4x−2

b ) limx→0

x2+ xx

c ) limx→1

√ x−1x−1

d ) limx→2

x2−4 x+4x−2

b ) limx→−1

x2−1x+1

c ) limx→0sen( x )

Resp: a) 4; b) 1; c) 1/2 para x ≠ 1; d) 0; e) – 2; f) 0

Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I

limx→1

( x+1 )=2

Sejam f e g funções de gráficos:

x x + 1

2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,011,001 2,001

↓ ↓1 2

Observe que f e g se comportam de modo diferente em p; o gráfico de f não apresenta “salto” em p, ao passo que o de g, sim. Pretendemos destacar uma propriedade que nos permita distinguir tais comportamentos entre as funções dadas.

A função f satisfaz em p a propriedade:

Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que f(x) permanece entre f(p) – ε e f(p) + ε quando x percorre o intervalo ]p – δ, p + δ[, com x no domínio de f.

Entretanto, a função g não satisfaz em p tal propriedade:

Para o ε > 0 acima, não existe δ > 0 que torne verdadeira a afirmação

∀ x∈Df , p−δ< x< p+δ⇒g ( p )−ε<g ( x )<g ( p )+ε

Qualquer que seja o δ > 0 que se tome, quando x percorre o intervalo ]p – δ, p + δ[, g(x) não permanece entre g(p) – ε e g(p) + ε.

Definição. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio, definimos:

f é contínua em p ↔ para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, para todo x

pertence ao Df, p−δ<x< p+δ⇒ f ( p )−ε< f ( x )< f (p )+ε

Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I

Sejam f e g funções de gráficos:

Definição de Limite

Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Consideremos as situações a seguir:

Na situação (a), f não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade:

Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x pertence ao domínio de f (Df)

p−δ<x< p+δ , x≠p⇒ L−ε< f ( x )< L+ε

Na situação (b), f está definida em p, mas não é contínua em p, entretanto existe L satisfazendo propriedade, observe que neste caso a restrição x ≠ p é essencial. Na situação (c), f é contínua em p, assim L = f(p) satisfaz a propriedade. Na situação (d), não existe L satisfazendo a propriedade em p. A propriedade acima é equivalente a:

Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x pertence a Df,

0<|x−p|<δ⇒|f (x )−L|<ε

Definição.

Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L, em p, se, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x pertence a Df,

0<|x−p|<δ⇒|f (x )−L|<ε

Tal número L, que quando existe é único, será indicado por limx→ pf (x )

.

Assim

Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I

limx→pf (x )=L⇔¿ {∀ ε>0 ,∃δ>0/∀ x∈Df ¿ ¿¿

Propriedade de Limites

Supondo que os limites à direita dos sinais de igualdade existem, temos:

1. b é constante, então limx→p

(bf ( x ) )=b( limx→ p f ( x ))

2. limx→p

( f ( x )+g ( x ) )= limx→pf ( x )+ lim

x→ pg ( x )

3. limx→p

( f ( x ) .g ( x ) )=( limx→ p f ( x )) .( limx→p g ( x ))

4.

limx→ p

f ( x )g (x )

=limx→ pf ( x )

limx→ pg ( x )

, desde que limx→ pg ( x )≠0

5. Para qualquer constante k, limx→ pk=k

6. limx→ px=p

Exemplo

Determine o limite utilizando as propriedades,

limx→3

x2+5 xx+9

limx→3

x2+5 xx+9

=limx→3

(x2+5x )

limx→3

( x+9 )

limx→3x2+ lim

x→35 x

limx→3x+lim

x→39

=32+5 .33+9

=2

Exercícios

1) Calcule o Limite a seguir.

Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I

a ) limx→2x2

b ) limx→1

(3x+1 )

c ) limx→−2

(4 x+1 )

d ) limx→10

5

e ) limx→−9

50

f ) limx→−1

(−x2−2 x+3 )

g ) limx→4

√ x

h ) limx→−3

3√ x

i) limx→−8

√5

j ) limx→ 3

x2−9x−3

k ) limx→3

x2−9x+3

l) limx→−1

x2−9x−3

m) limx→ 1

2

4 x2−12x−1

n ) limx→1

√x−1x−1

0 ) limx→−1

3

9 x2−13 x+1

p ) limx→3

√ x−√3x−3

q ) limx→3

3√x−3√3x−3

r ) limx→ 2

4√ x−4√2x−2

s ) limx→ 0

x2+3 x−1x2+2

t ) limx→1

√x−1

√2 x+3−√5

Resp:

a) 4; b) 4; c) – 7; d) 5; e) 50; f) 4; g) 2; h) 3√−3 ; i) √5 ; j) 6; k) 0; l) 2; m) 2; n) 1/2; o) – 2; p)

12√3 ; q)

1

33√9 ; r)

1

44√8 ; s)

−12 ; t)

√52

Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I

a ) limx→2x2

b ) limx→1

(3x+1 )

c ) limx→−2

(4 x+1 )

d ) limx→10

5

e ) limx→−9

50

f ) limx→−1

(−x2−2 x+3 )

g ) limx→4

√ x

h ) limx→−3

3√ x

i) limx→−8

√5

j ) limx→ 3

x2−9x−3

k ) limx→3

x2−9x+3

l) limx→−1

x2−9x−3

m) limx→ 1

2

4 x2−12x−1

n ) limx→1

√x−1x−1

0 ) limx→−1

3

9 x2−13 x+1

p ) limx→3

√ x−√3x−3