FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

Función

Nombre: Sebastián Medina M.Profesor:INACAP, IQUIQUE

Es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la

primera le corresponde un único valor de la segunda, l lamada imagen.

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

Como podemos observar la  función relaciona dos variables. x e y.

x es la variable independiente .y es la variable dependiente  (depende de los minutos que dure el viaje).

Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.

Función linealy = mxm es la pendiente, que es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Función afíny = mx + nm es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Función constantey = nLa gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas

Límite en un puntoEl límite de la función  f(x)  en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x 0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función  f(x) t iene como l ímite el número  L  , cuando  x t iende a  x0 , s i f i jado un número real posit ivo  ε  , mayor que cero, existe un numero posit ivo  δ dependiente de  ε , tal que, para todos los valores de  x dist intos de  x0  que cumplen la condición |x − x0 | < δ  , se cumple que   |f(x) − L| < ε .

También podemos definir el concepto de l ímite a través de entornos:

  Si y sólo si, para cualquier entorno de  L que tomemos,

por pequeño que sea su radio  ε , existe un entorno de  x0 , Eδ(x0) ,

cuyos elementos (sin contar  x0), t ienen sus imágenes dentro del entorno de  L, Eε (L).

Continuidad

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva

f(x)=sgn x

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abscisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Continuidad: Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

Ejemplo  

Estudiar la continuidad de en x = 2

1. La función tiene imagen en x = 2. f(2)= 4

2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.

3. En x = 2 la imagen coincide con el límite

En la gráfica podemos comprobar que es continua.