1. Trabajo monogrfico de lmites.Haga clic para modificar el estilo de subttulo del patrn Realizado por: Valeria Babich.1 Bachillerato Sociales.

2. 1.- Qu es el clculo infinitesimal? El clculo infinitesimal es una herramientamatemtica de extraordinaria utilidad en el planteo yresolucin de problemas que admiten un modelo enlos que el sistema que se estudia sea divisible enpequeas partes simples o diferenciales, que sumadasvuelven a dar el total. Se divide en dos ramas: clculodiferencial y clculo integral, que se ocupanrespectivamente del clculo de la particin odiferenciacin, y el de la suma o integracin. 3. 2.- Qu matemtico desarroll el concepto de lmite de funcin en el siglo XVII? Los orgenes de los principalesmatemticos tienen lugar en Grecia,como es Arqumedes. Ellos fueron losprimeros en imaginar un cuerpo divididoen elementos ms simples en forma ytamao. Pero el verdadero impulso fuepor el fsico ingls Isaac Newton quedesarroll completamente el calculusy lo aplic a la mecnica. Tambin elmrito es del filsofo alemn GottfriedLeibniz, quien elabor al mismo tiempo eindependientemente de Newton unalgoritmo similar, ms riguroso aunquequizs menos intuitivo. 4. Los orgenes del clculo infinitesimal.Newton vs. Leibniz. Object 1http://www.youtube.com/watch?v=SkxRP5kp5a8&feature=g-hist&context=G2764 5. 3.- Idea intuitiva de lmite. Cuando se trabaja con funciones frecuentemente nos interesa averiguar elcomportamiento de una determinada funcin cuando la variableindependiente, x, se aproxima a un determinado valor, a. En otraspalabras: queremos averiguar si la funcin se aproxima a un determinadovalor, b, aumenta indefinidamente, disminuye indefinidamente o no tieneun comportamiento claramente definido.Podra pensarse que para averiguar esa cuestin bastara con calcular elvalor de la funcin en el punto que se est considerando, es decir calcularf(a). Sin embargo, en muchos casos ese clculo no responde a la preguntaque nos hacemos por diferentes motivos: Algunas veces a no pertenece al dominio de la funcin, pero se encuentraen su borde; por lo tanto en ese caso no es posible calcular f(a) pero stiene sentido interesarse por el comportamiento de la funcin en lascercanas de a. En otras ocasiones a pertenece al dominio de la funcin, pero elcomportamiento de la funcin cerca de a difiere bastante del valor de f(a). Puede suceder tambin que el comportamiento de la funcin sea diferentea la izquierda y a la derecha del punto a. 6. Para explicar el lmite intuitivo es ms fcil Considere la funcin f definida por: Se observa que la funcin est definida para todo nmero real, excepto para x=1 Interesa observar el comportamiento de la funcin f para los valores de x, "cercanos a 1",pero no iguales a 1. Esto es, los valores de x "menores que 1" (x por la izquierda de 1) y losvalores de x "mayores que 1" (x por la derecha). Las siguientes tablas muestran algunos resultados: 7. En ambas tablas se observa que, conforme "x se aproxima al valor 1", por la derecha y por laizquierda, la funcinf(x), toma valores cada vez, "ms cercanos a 5". Esto es, en la medida que se restringe el dominio de la funcin a valores "cercanos a 1", el conjuntode imgenes (o valores que toma la funcin) "se acerca cada vez ms a 5". El hecho de que: "x se acerque o aproxime a 1", se simboliza como:x1, "f(x) tiende a 5", se simboliza comof(x)5 Utilizando la notacin de lmite se escribe: Lo anterior se lee: "el lmite de la funcin, cuando x tiende a 1, es igual a 5. La siguiente grfica, corresponde a la funcin f,all se puede observar que conforme xtoma valores cercanos a 1,el valor de la funcin, f(x), se aproxima a 5. 8. 4. Idea formal de lmite.Cogiendo el ejemplo anterior, se puede explicar la idea formal de lmite como: El aspecto 1,se puede enfocar tambin como la posibilidad de hacer el valorabsoluto de la diferencia entref(x)y5tan pequeo como se quiera, logrando queel valor absoluto de la diferencia entrexy1sea suficientemente pequeo. Es decir:se puede hacer tan pequeo como se quiera, siempreque sea suficientemente pequeo, pero no igual a cero, esto es, observando quex1.Veamos la siguiente tabla de resultados: 9. Para precisar estas diferencias, se utilizaran la letras griegas(psilon) y (delta), de lasiguiente manera: ser el nmero real positivo que indique que tan pequeo se quiere hacer el valor absolutode la diferencia entref(x)y5 ser el nmero real positivo que indique que tan pequeo se quiere hacer el valor absolutode la diferencia entrexy1 Con esta observacin, se dice entonces que: ser menor que, siempre que: sea menor que, considerando que:- La eleccin dees arbitraria, perose obtiene a expensas de- Para cadase requiere que existe unespecifico- Mientras ms pequeo sea elelegido, ms pequeo ser el, correspondiente. En el ejemplo se tiene que:, dado que para cada0, existe un0, tal quesiempre que0|x1| En general, para un funcinfcualquiera, el , significa que la diferenciaentref(x)yLpuede hacerse tan pequea como se quiera, haciendo quextome valores losuficientemente cercanos ac, con la restriccin de quexsea distinto dec. 10. 5.- Lmites de funciones en un punto. Clculo de lmites. Cuando x c-, significa que a X se le dan valores cadavez ms prximos a C pero menores que C. Cuando x c+, significa que a X se le dan valores quetienden a C pero mayores que C. Cuando x c, significa que a X se le dan valoresprximos a C. EJEMPLOS: 11. 6.- Propiedades de los lmites defunciones Lmite de una constante: Lmite de una suma: Lmite de un producto: Lmite de un cociente: Lmite de una potencia: Lmite de una funcin: Lmite de una raz: 12. 7.- Qu es una indeterminacin? Cuntas existen? Una indeterminacin no significa que el lmite no exista o no se puedadeterminar, sino que la aplicacin de las propiedades de los lmites tal comolas hemos enunciadas no son vlidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cadauna de las indeterminaciones. Existen 8 indeterminaciones:- Un n partido por 0: - Ind.- Infinito partido por infinito:- Infinito menos infinito: - Cero por infinito:- Cero partido por cero: - Cero elevado a cero: - Infinito elevado a cero:- Uno elevado a infinito: 13. 8.- Calculo de lmites con 14. 9.- Qu es la derivada de una funcin? Demostracin grficaLa funcin derivada de una funcin f(x) es una funcin que asocia a cadanmero real su derivada, si existe. Se expresa porf(x). Un ejemplo de grfica de la derivada de una funcin es: