Límites al infinito Límites infinitos 1. 2 tiempo (años) clientes f ¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en el largo plazo?

UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITE Y CONTINUIDAD

Límites al infinito

Límites infinitos

1

tiempo(años)

clientes

f

¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en

el largo plazo?

Analicemos …

¿ ?

¿ ?

50

t

Entonces: 50)(lim

tft

Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.

2

LÍMITES AL INFINITO

3

Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x L

De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x M

POR EJEMPLO….

4

y = f (x)y

y = L

y = M M

Llim ( )x

f x L

lim ( )x

f x M

x

POR EJEMPLO….

5

LÍMITE AL INFINITO PARA FUNCIONES POLINÓMICAS

6

11 1 0( ) n n

n nf x a x a x a x a

lim ( ) lim nn

x xf x a x

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante).

Ejemplos:

a) 32 59lim

3 6xx x

b) )5( 24

lim

xxxx

Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valorde los siguientes límites?

INTERROGANTE . . . . .

7

n

xxlim

nx x

1lim

nx x

1lim

INTERROGANTE . . . . .

8

También tenemos:

Por , Tenemos que tener cuidado con la definición de la potencia de los números negativos. En particular:

EJERCICIO . . . . .

9

EJERCICIO . . . . .

10

Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de

http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html


EJERCICIO . . . . .

11



EJERCICIO . . . . .

12




EJERCICIO . . . . .

13



So x=2 is a vertical asymptote. On the other hand, we have

So y=1 and y= -1 are horizontal asymptotes.


11 1 0

11 1 0

( )n n

n nm m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

11 1 0

11 1 0

lim ( ) lim

n nn n

m

m mx xm m

m

a x a x a x a

xf xb x b x b x b

x

Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:

Resolución:

límite al infinito para funciones racionales

14

15

Para funciones racionales: 1

1 1 01

1 1 0

( )n n

n nm m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

Resolución simplificada:

Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:

m

m

n

n

x xb

xalim

EJERCICIOS:

16

32

542

2

lim

x

xx

x

xxx 21

34

lim

x

xxx 21

34

lim

3

72lim

x

x

x

1.

2.

3.

4.

Calcule los siguientes límites

PROBLEMA

17

Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:

( ) 0AN

Y N NB N

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:

LÍMITES INFINITOS

18

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

si f (x) crece sin límite cuando x→a.

si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

LÍMITES INFINITOS

19

La línea vertical x = 3. Esta línea se llama una ASÍNTOTA VERTICAL.

LÍMITES INFINITOS

20

Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas verticales se pueden presentar:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

21

De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:

Ejemplo 2:

¡INTERROGANTE!

22

A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

)(lim xfax

23

a. Estime 2 2

1 1

1 1lim , lim

1 1x xx x

Ejemplo 1:

2 2

2 2lim , lim

2 2x xx x b. Estime .

¿A dónde tiende ?2

2lim

2x x

¿A dónde tiende cuando x tiende a −1? 2

1( )

1f x

x

CONTINUIDAD

24

Criterio de continuidad

Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes:

1. f(c) existe (c está en el dominio de f)

2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)

3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

CONTINUIDAD

25

1 2 3 4

1

2

0

y

x

y = f (x)

Continua

Discontinua

CONTINUIDAD

26

1

1

0

y

x

y = f(x)

1

0

y

x

y = f(x)

1

0 x

y = f(x)

y = f(x)

y

x

2

CONTINUIDAD

27

21

x

y

2

22

x

xy

Discontinuidad infinita

Discontinuidad removible

Continuidad de Funciones

28

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función

limx 2

x21x 2

50

28

f (x)x21

x 2

Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad.

Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.

Evidentemente no existe f(2)No se puede dividir por 0

limx 2

x21x 2

50

Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2

Números muy pequeños pero negativos:

1,90 – 2 = - 0,1

1,99 – 2 = - 0,01

Números muy pequeñospero positivos:1,90 - 2 = 0,11,99 - 2 = 0,01

Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)

29

Veamos la gráfica de la función: f (x)x21

x 2

Cuando me acerco a 2-

la función va hacia -∞

Cuando me acerco a 2+

la función va hacia +∞

Aquí tendremos

Una Asíntota vertical

De ecuación x=2

30

Veamos el siguiente ejemplo con una función

definida a trozos:

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad

31

Si nos fijamos en la gráfica de esta función

veremos que:

Discontinua

de 1ª especie

en x = 2 con

salto de 3 u.

Continua en

x = 5

Continuidad de Funciones

3232

Estudiamos analíticamente el caso de x = 2

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

f (2)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.

33

Estudiamos analíticamente el caso de x = 5

limx5

x2 6x105

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

limx5

4x 155

f (5)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

34

Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable”

f (x)x2 3x2

x 1Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }

Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1

1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

2. limx1

x2 3x2x 1

00 lim

x1

x 1 x 2 x 1

limx1

x 2 1

limx1

x2 3x2x 1

00 lim

x1

x 1 x 2 x 1

limx1

x 2 1

Como los límites izquierda y derecha son iguales tenemos que existe el límite x 1

limx 1

f (x) f (1) que no existe

35

Veamos ahora la gráfica de la función

Tenemos un agujero para x = 1

36

1lim0

xfx

existennoxfyxfxx 00limlim

0lim1

xfx

1lim1

xfx

existenoxfx 1lim

1lim2

xfx

1lim2

xfx

1lim2

xfx

23limlimlim333

fxfxfxfxxx

1lim4

xfx

existennoxfyxfxx 44limlim

1 2 3 4

1

2

0

y

x

y = f (x)

37

Esboce el gráfico de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:

Ejemplo 3:

FIN38

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