SALA: ENGENHARIA Clculo Diferencial e Integral A Aula Funes e Limites Limites de Funes, Indeterminaes, Propriedades e Limites Laterais Cdigos:ENGENHARIA ELTRICA Turma: N-14 Prof. Carlos Joari Barros Beltholdo Verso: 1o Semestre de 2012

Prof. Carlos JoariNotas de aulaClculo Diferencial e Integral A 1 LIMITES DE FUNES Seja( ) x f umafunodefinidasobrealgumintervaloabertoquecontmonmero " "a , exceto possivelmente no prprio " "a . Ento, diz-se que o limite de( ) x f quandox tende a " "a ( ) a x L ,e representa-se por ( ) L x fa x=limse < < a x 0 paratodo0 > humnmerocorrespondente0 > talque ( ) < L x fsempre que < < a x 0 , isto , se( ) < < < L x f a x 0 . Exemplo:Provar que( ) 7 5 4 lim3= xx Soluo: (a) Encontrar um valor para : Umaanlisepreliminardoproblemaindicaquese0 > ,deveencontrar-seum tal que ( ) < 7 5 4xsempre que < < 3 0 x , mas( ) < = = 3 4 3 4 12 4 7 5 4 x x x xsempre que < < 3 0 x ,isto ,43< xsempre que < < 3 0 x , logo 4= . (b) Prova: Por tanto, dado0 > , escolhe-se 4= , e se < < 3 0 x , ento, ( ) = ||

\| = < = = 44 4 3 4 3 4 12 4 7 5 4 x x x xAssim( ) < 7 5 4xsempre que < < 3 0 x , por tanto( ) 7 5 4 lim3= xx Na prtica suficiente substituir a varivel pelo valor ao qual ela tende, isto , 3 xdonde( ) 7 5 12 5 3 4 5 4 lim3= = = xx Exemplos: a)9 3 lim2 23= =xx Prof. Carlos Joari AulaLimite defunes 2 b)( ) 27 7 4 5 7 5 lim4= + = +xx Em alguns exemplos o limite no to evidente. Seja a funo ( )24 4 32 =xx xx f , com2 x, isto , ( )0024 4 3lim22= =xx xx fxIndeterminao, estudando-seestafuno,tem-sequeodomniode( ) x f abrangetodososnmeros reais, com exceo de2 = xque anula o denominadore o numerador. O que significa que a funo indefinida neste ponto. Porm, ao se utilizar Baskara no numerador, ou seja, = + + 02c bx axaac b bx242 =. Assim, ===+ =3 2268 4648 16 421xxx ( ) 2 32) 2 )( 2 3 (24 4 32+ = += = xxx xxx xx f

Desta forma, tem-se que ( ) 8 2 3 lim2) 2 )( 2 3 (lim24 4 3lim2 222= + = += = xxx xxx xx fx x x, O grfico mostra que paraxaproximando de2 ,( ) x f se aproxima de8 , mas se substituir-se2 = xna 1a expresso,( ) x fno est definida naquele ponto. ( ) 2 3 + = x x f Ponto( ) 8 , 2deve ser excludo do grfico, pois naquele ponto a funo indefinida. X 28Y x ( ) x f 300 , 8 100 , 2030 , 8 010 , 2003 , 8 001 , 2000 , 8 000 , 2997 , 7 999 , 1970 , 7 990 , 1700 , 7 900 , 1 Prof. Carlos JoariNotas de aulaClculo Diferencial e Integral A 3 Exerccios: 00416lim24=xxxIndeterminao, ondesubstituiodiretanovamenteanulaodenominadoreonumerador,eafuno indefinida neste ponto. Porm, obtendo-se as razes do numerador, ou seja, 4 8 ) 4 ( lim) 4 () 4 )( 4 (lim4 4+ = = + =+ x y xxx xx x Em( ) 4 + = x x f , o ponto( ) 8 , 4 deve ser excludo do grfico, pois 4 x , pois o domnio de( ) x f :( ) ( ) { } , 4 4 , / : U x De tem como imagem ( ) ( ) { } , 8 8 , / : U y I .

3.1- Propriedades dos Limites 1)[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) x v v e x u u para v u v ua x a x a x= = = lim lim lim 2)( ) [ ] ( ) ( ) x u u para u C u Ca x a x= = lim limeC uma constante 3)[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) x v v e x u u para v u v ua x a x a x= = = lim lim lim4) ( )( )( )( )( ) ( ) x v v e x u u paravuvua xa xa x= = =((

limlimlim5)( ) ( ) [ ] ( ) x u u para u uma xma x= = lim lim6)( ) ( ) x u u para u u ma xma x= = lim lim7)( ) ( ) [ ] ( ) x u u para u ua xa aa x= = lim log log limY X 4 4 4 8 Prof. Carlos Joari AulaLimite defunes 4 8)( ) ( ) [ ]( )( ) ( ) x v v e x u u para u uva xva xa x= = = limlim lim9)( ) , , 0 , 0 0 , 00+ = + + = = = + +

e ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 = = = + + k k 10)Indeterminaes de limites: 1 , 0 , , ,00, 0 ,0 0 Exemplos: 1) 23493 lim1 8 lim31 8lim111= =++=++xxxxxxx 2) 0013 4lim221=+ + xx xxIndeterminao Como toda indeterminao deve ser levantada, tem-se Soluo: Deve-se, primeiramente, encontrar as razes do polinmio superior, isto , = + + 0 3 42x x212 16 4 = x (Baskara) = = =3122 421xxx ( )( ) ( )( ) 3 1 3 422 12+ + = + + = + + x x x x x x x x c bx ax donde, ) 1 () 3 )( 1 (lim21+ + zz zz Ento, deve-se encontrar as razes do polinmio inferior, isto , ( )( ) 1 1 1 1 1 0 12 2 2+ = = = = z z z z z z assim, 122) 1 () 3 (lim) 1 )( 1 () 3 )( 1 (lim1 1 ==+=+ + + zzz zz zz z Prof. Carlos JoariNotas de aulaClculo Diferencial e Integral A 5 3)( )( )( ) 1 2 lim32 3lim0036 5lim3 323= = =+ xxx xxx xx x x

4) 00 2 4lim0= +xxxIndeterminao Neste caso, para eliminar a indeterminao 00 , se deve racionalizar o numerador , isto ,( ) ( )2 2b a b a b a = + . Desta forma,tem-se: [ ][ ]2 44 4lim2 42 4 2 4lim2 4lim0 0 0+ + +=+ ++ + += + x xxx xx xxxx x x 412 4 lim12 41lim2 4lim00 0=+ +=+ +=+ + x x x xxxx x 3.2 - Limites Notveis Um limite considerado notvel o do seno, que ocorre porque quando o ngulo (ou arco)tende a diminuir, o valor do( ) a sentende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1,e o limite notvel no caso 3.2.1 - Limite do seno 6)Calcular ( )xxx5 senlim0 faz-se55tx t x = = , para 0 0 t x ( ) ( ) ( )( ) 5 1 5senlim 5sen 5lim5senlim0 0 0= = = = ttttttt t t ( )1senlim0= s ( ) sen ( ) a r S sen > = , se( ) a S r sen ; 1 = = Prof. Carlos Joari AulaLimite defunes 6 7) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) 323 12 1333 sen222 senlim3 sen2 senlim0 0=== xxxxxxxxxxx x

8) ( ) ( )( )( )( )( ) 1111cos1limsenlimcos1 senlimtanlim0 0 0 0= ||

\| =|||

\| ||

\|=|||

\| = x xxx xxxxx x x x Limite que define o nmero e Onmero"e",usadocomobasedologaritmonaturalobtidopelaexpresso abaixo. exyxx=||

\|+ = 11 lim xy 1 2 105937 , 2 1007048 , 2 10007169 , 2 100007181 , 2 x K 7182818 , 2 = e Exemplo: axxexa=||

\|+ 1 lim pe-se az xz xa= =1 para z x aazzazzxxez z xa=(((

||

\|+ = ||

\|+ = ||

\|+ 11 lim11 lim 1 lim Limites infinitos de funes racionais Se a funo for do tipo [ ] ) ( ) ( lim x Q x P yx = , isto , =|||

\|+ + + + + ++ + + + + += 0 12222110 1222211limb x b x b x b x b x ba x a x a x a x a x aymmmmmmnnnnnnxLL, Prof. Carlos JoariNotas de aulaClculo Diferencial e Integral A 7 queumaindeterminao.Epararesolverestaindeterminao,bastadividiro numeradoreodenominadorpelavarivelindependenteelevadamaiorpotnciaque aparecer na frao. Assim, sem n > , tem-se: |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += nmmmmmmnnnnnnnxxb x b x b x b x b x bxa x a x a x a x a x ay0 12222110 1222211limLL, |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += n n n nmmnmmnmmn n n nnnnnnnnnxxbxx bxx bxx bxx bxx bxaxx axx axx axx axx ay0 12222110 1222211limLL, |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += + + n n n m nmm nmm nmn n nn nnxxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaay0112222110112222 1limLL, e passando ao limite, tem-se: = =+ + + + + ++ + + + + +=0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0n na ayLL. Sen m > , tem-se: |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += mmmmmmmmnnnnnnxxb x b x b x b x b x bxa x a x a x a x a x ay0 12222110 1222211limLL, |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += m m m mmmmmmmmmm m m mnnmnnmnnxxbxx bxx bxx bxx bxx bxaxx axx axx axx axx ay0 12222110 1222211limLL, |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += + + m m mm mmm m m m nnm nnn mnnxxbxbxbxbxbbxaxaxaxaxaxx ay0112222 1011222211limLL, Prof. Carlos Joari AulaLimite defunes 8 e passando ao limite, tem-se: 000 0 0 0 00 0 0 0 0 0= =+ + + + + ++ + + + + +=m mb byLL. Sem n = , tem-se: |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += nmmmmmmnnnnnnnxxb x b x b x b x b x bxa x a x a x a x a x ay0 12222110 1222211limLL, |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += nnnnnnnnnnnnnnxxb x b x b x b x b x bxa x a x a x a x a x ay0 12222110 1222211limLL, |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += n n n nnnnnnnnnn n n nnnnnnnnnxxbxx bxx bxx bxx bxx bxaxx axx axx axx axx ay0 12222110 1222211limLL, |||||

\|+ + + + + ++ + + + + += n n nn nnn n nn nnxxbxbxbxbxbbxaxaxaxaxaay0112222 10112222 1limLL, e passando ao limite, tem-se: nnnnbabay =+ + + + + ++ + + + + +=0 0 0 0 00 0 0 0 0LL. Destaforma,podecolocar-searegrageral:Independentedequaldostrscasosfor considerado,todososlimitesmenososdemaiorexpoente,tantonodividendo quanto no divisor iro anular-se, ou seja, |||

\|+ + + + + ++ + + + + += 0 12222110 1222211limb x b x b x b x b x ba x a x a x a x a x aymmmmmmnnnnnnxLL |||

\|=|||

\|=|||

\|+ + + + + + ++ + + + + += m nmnxmmnnxmmnnxxbax bx ax bx ay lim lim0 0 0 0 00 0 0 0 0limLL. Prof. Carlos JoariNotas de aulaClculo Diferencial e Integral A 9 Assim, se = > y m n , se mnbay m n = =e se0 = > y n m . Exemplos: 1) |||

\| 3 25lim22xxx,o resultado daria(indeterminao) Aplicando a tcnica exposta anteriormente se tem: 250 253lim 25325lim3 25lim2 22 2222==||

\|=|||||

\|=|||||

\| x xx xxxxxx x, ou simplesmente ( )251 lim25lim2525lim3 25lim222222= =|||

\|=|||

\|=|||

\| x x x xxxxxxx 2)Calcular o limite = =++=||

\|++=|||||

\|++=|||||

\|++=|||

\|++ 010 00 11 1lim1lim 11 111lim11lim11lim23333 323 3323x xxx xxx xxx xxxxxxx x x ou = =|||

\|=|||

\|++ xxxxxx x xlim lim11lim2323 3)Calcular o limite ( )3333333333753lim 753 715lim3 715lim3 75lim =+=||||||

\|+=|||||

\|+=|||

\|+ xxxxxxxxxxx x x ou ( )( )3 3 3 33 3 3333751 lim75lim7575lim75lim3 75lim = = ||

\|=|||

\|=|||

\|=|||

\|+ x x x x xxxxxxxxx Prof. Carlos Joari AulaLimite defunes 10 4)Calcular o limite ( ) ( ) [ ] 3 0 lim 37lim3 7lim 3 7 lim3 333323 3 2+ =((

||

\|+ =((

|||

\|+ = + xxxxxxxx x xx x x x ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) = = = = + 3 lim 3 3 lim 3 0 lim3 3 3x x xx x x ou simplesmente ( ) ( ) ( ) = + = + = + 3 2 3 2lim 3 lim 7 3 7 lim x x x xx x x Limites Laterais a)Definio:Diz-sequeolimiteesquerdode( ) x f quandox tendeaa (ouqueo limite de( ) x f quandoxtende aapela esquerda) Le representa-se por ( ) L x f lima x= se for considerado quextende aapela esquerda, isto ,. a x < Exemplo:( ) [ ]( )( ) + = + =+=|||

\||||

\|=((

= 0101222 2cossenx cosx senlim x tan limx x b)Definio:Diz-sequeolimitedireitode( ) x f quandox tendeaa (ouqueo limite de( ) x f quandoxtende aapela direita) Le representa-se por ( ) L x f lima x=+ se for considerado quextende aapela esquerda, isto ,. a x < Exemplo:( ) [ ]( )( ) = ==|||

\||||

\|=((

=+++ +0101222 2cossenx cosx senlim x tan limx x Prof. Carlos JoariNotas de aulaClculo Diferencial e Integral A 11 EXERCIOS: 2)Resolver os limites abaixo:

14.( )yyy101 lim + 11. 26 5lim22+ xx xx 12. 24lim22+xxx 13. 11lim231+xxx

16. hhh9 ) 3 (lim20 +

17. hhh 4 2lim0

18.3232 64lim+ xxx

19.( )yyay101 lim + 15. |||

\|+ 3 33 75limxxx

20)( )3 23 7 lim x xx+