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Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real
Carla Montorfano João César Guirado
João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda
Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco
Apresentação
O propósito deste texto é apresentar, de maneira concisa, conceitos e resultados do Cálculo Diferencial e Integral. Aqui serão estudados limites e continuidade de funções reais de uma variável real e suas principais propriedades. O texto está escrito em linguagem precisa e esclarecedora. Precisa, porque a Matemática não pode ser construída sem o devido rigor, na linguagem e na lógica de suas proposições; esclarecedora, porque desejamos evitar o aparecimento de definições e nomenclaturas desnecessárias, que dificultem o caminhar do estudante durante a leitura desta obra.
Este é o segundo de uma série de quatro volumes que tratarão dos seguintes assuntos: conjuntos numéricos e funções; limites e continuidade; derivadas e aplicações; integrais e aplicações.
Visando a complementação dos textos, será criada uma página na Internet, na qual serão apresentados exemplos adicionais, biografias, fatos históricos e curiosidades inerentes ao Cálculo, bem como serão propostos mais exercícios e bibliografias, para permitir ao estudante aprofundar seus estudos em nível de graduação.
Sumário
Limites ................................................................................................................................................................. 4
Definição de Limite ...................................................................................................................................... 7
Propriedades dos Limites ...........................................................................................................................13
Limites Infinitos ...............................................................................................................................................20
Propriedades dos Limites Infinitos ..........................................................................................................23
Limites no Infinito ..........................................................................................................................................25
Assíntotas ..........................................................................................................................................................28
Assíntota Vertical ........................................................................................................................................28
Assíntota Horizontal ..................................................................................................................................30
O Limite Fundamental ...................................................................................................................................31
Continuidade ....................................................................................................................................................34
Introdução
O conceito de limite de uma função f é um dos mais importantes do Cálculo Diferencial e Integral. No século XVIII, o conceito de limite foi abordado intuitivamente, ou seja, verificando que o valor de f em x, ( )f x , tende para um determinado número L, quando x tende para um número a. Isso é equivalente a afirmar que quanto mais próximo de L estiver o valor ( )f x , mais próximo de a estará x. A grande questão envolvida nesta definição é o significado da palavra “próximo”, pois dependendo da situação o que é próximo para alguns pode não ser para outros. Vejamos: na Física é comum os astrônomos medirem a proximidade em anos-luz; na Biologia, em determinadas situações, a proximidade se estabelece apenas
quando o resultado de uma mensuração está próximo do valor exato L, ou seja, se estiver a −610 cm de L. Assim, para evitar ambigüidades, é preciso formular uma definição de limite, com o rigor que a matemática exige, e sem utilizar a palavra “próximo”. Conforme veremos, isso é garantido empregando na definição, epsilon ( ε ) e delta ( δ ), introduzida por Cauchy e Weierstrass, pois esta é precisa e aplicável a qualquer situação.
A importância do estudo de limites é que podemos passar da taxa média de variação ao conceito mais útil de taxa instantânea de variação.
Limites
Imaginemos um objeto pontual movimentando-se sobre uma reta orientada, sujeito a uma lei de movimento = ( )s s t que fornece a posição s do objeto a cada instante de tempo t.
Consideremos que s seja medido em centímetros, que t seja medido em segundos e que o início do experimento seja feito no instante = 0t . Algumas perguntas pertinentes ao movimento do objeto podem ser feitas: Como obter a velocidade do objeto num dado instante de tempo? Qual é o significado da velocidade do objeto num instante de tempo?
Vamos particularizar nosso problema para obtermos algumas respostas.
Considere um objeto que se movimenta segundo a lei 2 3( ) 3 6 5s t t t t= + − + . No instante inicial = 0t o objeto encontra-se na posição =(0) 3s ; no instante = 2t , o objeto encontra-se na posição
2 3(2) 3 6 2 5 2 2 3s = + ⋅ − ⋅ + = . Então, após 2 segundos do início do movimento o objeto volta a ocupar a
posição inicial. Pergunta-se: Qual é a velocidade do objeto precisamente no instante 2t = ? Qual é o significado da velocidade instantânea?
No ensino médio conseguíamos calcular a velocidade média de um objeto entre dois instantes de tempo quando conhecíamos sua lei de movimento e trabalhávamos com a equação 0v v at= + , da velocidade
de um objeto sujeito a um movimento retilíneo uniformemente acelerado, onde 0v é a velocidade inicial do objeto e a sua aceleração. Mas não éramos alertados que a velocidade da equação não era uma velocidade média, mas sim uma velocidade instantânea.
Tentaremos responder as questões levantadas acima através de aproximações.
Para isso, vamos considerar o intervalo de tempo [1, 3]. Nos instantes 1t = e 3t = o objeto está, respectivamente, nas posições (1) 5s = e (3) 3s = .
0 3 5
s(0)s(2)
s(1)
A velocidade média neste intervalo de tempo é dada por (3) (1)
3 1m
s sv
−=−
.
Para [ 1, 3 ]t ∈ a velocidade média é de −1 cm/s. Como o instante t = 2 pertence ao intervalo [1, 3],
podemos, inicialmente, tomar a velocidade no instante t = 2 como sendo (2) 1v = − cm/s.
Por outro lado, a expressão 0v v a t= + nos fornece, no intervalo entre t = 1 e t = 3, uma velocidade não constante, pois ≠ 0a . Assim, pode ocorrer que no instante t = 2 a velocidade instantânea esteja longe do valor (2) 1v = − cm/s. Se considerarmos um intervalo de tempo de menor amplitude que [1, 3], mas que contenha t = 2, poderemos aproximar melhor a velocidade no instante t = 2.
Vamos considerar o intervalo [1,2 ; 2,8]. Neste caso, a velocidade média será:
m
s sv
−= = −
−(2,8) (1, 2)
1, 362,8 1, 2
cm/s.
Como a velocidade média no intervalo de tempo [1,2 ; 2,8] é igual a −1,36 cm/s é compreensível que a velocidade no instante t = 2 esteja mais próxima desse valor que de −1 cm/s.
Para melhorar nossa aproximação, tomemos o intervalo [1,4 ; 2,6]. Neste caso, a velocidade média será:
m
s sv
−= = −
−(2, 6) (1, 4)
1, 642, 6 1, 4
cm/s.
Podemos continuar considerando intervalos da forma [2 , 2 ]δ δ− + com o valor de δ assumindo números positivos cada vez menores, como, por exemplo: 0,4δ = ; 0, 2δ = ; 0,1δ = ; 0,05δ = etc.
Procedendo dessa maneira definimos uma função ( )f δ que calcula a velocidade média no intervalo [2 , 2 ]δ δ− + , dada por
(2 ) (2 )( )
2
s sf
δ δδδ
+ − −= .
Observe que os três valores da velocidade média calculados anteriormente são os valores de f quando δ assume os valores 1; 0,8 e 0,6, respectivamente.
Intuitivamente, percebemos que quanto menor o valor de δ , mais a velocidade média no intervalo [2 , 2 ]δ δ− + estará se aproximando do valor da velocidade instantânea em 2t = .
Utilizando uma calculadora científica podemos verificar os cálculos mostrados na seguinte tabela:
δ (s) Velocidade média (cm/s)
1 -1
0,1 -1,99
0,01 -1,9999
0,001 -1,999999
0,0001 -2,00000000
A partir do valor 0,0001δ = a calculadora científica de dez dígitos começa a arredondar os cálculos, indicando como resultado o valor ( ) 2f δ = − .
Na verdade, de modo intuitivo, calculamos o limite da velocidade média do objeto em intervalos do tipo [2 , 2 ]δ δ− + , quando δ se aproxima de zero por valores maiores que zero. Ou equivalentemente, calculamos o limite da função ( )f δ quando δ tende a zero pela direita.
Ao prestarmos atenção à expressão que define a função f , (2 ) (2 )
( )2
s sf
δ δδδ
+ − −= , observamos
que a função não está definida para 0δ = . Assim, não podemos substituir o valor " 0"δ = na expressão da função.
Esse tipo de situação ocorre com freqüência no Cálculo. Por exemplo, ao procurar o domínio de uma função verificamos que a mesma não está definida num determinado ponto. Em razão disso, podemos perguntar: o que ocorre com os valores da função para pontos próximos do ponto onde a função não está definida?
Exemplo 1: Consideremos a função f definida por 2 3 4
( )1
x xf x
x
+ −=−
. Como {1}Dom f = −� ,
não podemos calcular o valor da função no ponto 1x = . Porém, podemos estudar o comportamento da função nas proximidades deste ponto. A tabela a seguir apresenta alguns valores de f ( x ) para valores de x próximos de 1.
x f(x) x f(x)
0,9 4,9 1,1 5,1
0,99 4,99 1,01 5,01
0,999 4,999 1,001 5,001
0,9999 4,9999 1,0001 5,0001
0,99999 4,99999 1,00001 5,00001
0,999999 4,999999 1,000001 5,000001
0,9999999 4,9999999 1,0000001 5,0000001
0,99999999 4,99999999 1,00000001 5,00000001
0,999999999 4,999999999 1,000000001 5,000000001
O que ocorre com ( )f x quando x se aproxima de 1 por valores maiores que 1? E por valores menores que 1? Diante das respostas a tais questões, percebemos que o valor da função f está próximo de 5, quando x está bem próximo de 1.
Quando isto ocorre dizemos que existe o limite de ( )f x quando x tende a 1 e é igual a 5. Neste
caso, escrevemos 1
lim ( )x
f x→
= 5.
Exercício 1: Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por
x
y
2
5
30
O que ocorre com f(x) quando x se aproxima de 3 por valores maiores que 3? E quando se aproxima de 3 por valores menores que 3? Neste caso, o que ocorre com os valores de f(x) quando x está bem próximo de 3?
Esse processo de aproximar a variável independente de um número c e observar o comportamento da variável dependente, verificando se esta tende a um número real L, chama-se cálculo de limites. Com isso, no primeiro exemplo, dizemos que os limites laterais à direita e à esquerda existem e são iguais e, portanto, existe o limite de f(x) quando x tende para 1. No exemplo 1, tais limites laterais são diferentes e, portanto, dizemos que não existe o limite de f(x) quando x tende a 3.
O cálculo de limites é um processo imprescindível no desenvolvimento do Cálculo. A princípio, ainda no século XVII, ele era compreendido e utilizado sem uma definição matemática formal. Newton e Leibniz faziam uso de cálculos de limites e suas propriedades para definir “derivadas” e “integrais”, mas nunca utilizaram a definição que aqui apresentamos, pois essa definição formal só foi aprimorada em meados do século XIX com a influência de matemáticos que iniciaram o uso do “rigor” na Análise. Dentre esses matemáticos, citamos com destaque Augustin Cauchy (1789–1857) e Karl Weierstrass (1815–1897).
Definição de Limite
Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b , exceto possivelmente em x c= , ( , )c a b∈ , e L ∈� . Dizemos que o limite lateral à direita de ( )f x no ponto c é igual a L , cuja
notação é lim ( )x c
f x L+→
= , se dado 0ε > existe 0δ > tal que ( )f x L ε− < sempre que 0 x c δ< − < .
Para ilustrar essa definição, tomemos a função : {4}g − →� � tal que ( ) 2 1g x x= + . A função não está definida no ponto 4x = mas isso não nos impede de pesquisarmos o comportamento de g quando x se aproxima de 4 pela direita. Mediante o uso de substituições, verificamos que quanto mais próximo de 4
estiver a variável x, mais próximo de 9 estará o valor ( )g x . Isso nos sugere que o limite de ( ) 2 1g x x= + quando x tende a 4 pela direita é 9. Esse valor 9 é expresso na definição com a letra L. Então, dada uma quantidade positiva ε devemos ser capazes de exibir uma outra quantidade positiva δ tal que se tomarmos um número x ∈ (4,4 )δ+ , então o valor ( )g x ∈ (9,9 ) (9 ,9 )ε ε ε+ ⊂ − + .
9
9 + ε
9 - ε
4 x
y
4 + δ4 - δ0
Se a quantidade positiva ε for igual a 1, deveremos ser capazes de exibir δ tal que para todo (4, 4 )x δ∈ + seja verdadeiro que ∈( ) (8,10)g x . Se construirmos e observarmos o gráfico de g podemos
exibir 1
2δ = . Assim, para todo x ∈
1(4, 4 )
2+ concordamos que ∈( ) (8, 10)g x .
Se a quantidade positiva ε for igual a 1
2, deveremos ser capazes de exibir δ tal que para todo
x ∈ (4, 4 )δ+ seja verdadeiro que ∈( ) (8,5 , 9,5)g x . Podemos exibir 1
4δ = , ou mesmo um δ menor que
este, tal que para todo 1
(4, 4 )4
x ∈ + tem-se ∈( ) (8,5 , 9,5)g x .
Percebemos que para qualquer quantidade positiva ε , por menor que ela seja, conseguiremos
exibir uma quantidade positiva δ , por exemplo 1
2δ ε= , tal que se (4, 4 )x δ∈ + , então
( ) (9 , 9 )g x ε ε∈ − + .
9
9 + ε
4 x
y
4 + δ0
g(x)
x
Mas o raciocínio anterior não é uma demonstração formal de que 4
lim (2 1) 9x
x+→
+ = . Para realizar
essa demonstração observemos que
( ) 9 2 1 9 2 8 2( 4) 2 4g x x x x x− = + − = − = − = − .
Logo, dado 0ε > , se tomarmos 2
εδ = teremos
(4,4 ) 0 4 2 4 2 2( 4) 2 1 9 ( ) 92 2 2
x x x x x g xε ε ε ε ε ε∈ + ⇒ < − < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ + − < ⇒ − < .
Essa relação dinâmica entre uma quantidade positiva e tão pequena quanto se queira ε e a quantidade exibida δ é que é o âmago da definição de limite e está escrita na forma:
“Dado 0ε > existe 0δ > tal que ( )f x L ε− < sempre que 0 x c δ< − < ”.
Percebemos que qualquer outro valor menor que 2
ε pode ser exibido como δ . Vejamos como fica
a demonstração de que 4
lim (2 1) 9x
x+→
+ = , se exibirmos 15
εδ = .
Dado 0ε > se tomarmos 15
εδ = teremos
x x x∈ + ⇒ < − < ⇒ − < ⇒(4, 4 ) 0 4 2 4 215 15 15
ε ε ε
x x g x⇒ − < < ⇒ + − < ⇒ − <22( 4) 2 1 9 ( ) 9
15ε ε ε ε .
De maneira análoga definimos o limite lateral à esquerda.
Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b , exceto possivelmente em x c= , ( , )c a b∈ , e L ∈� . Dizemos que o limite lateral à esquerda de ( )f x no ponto c é igual a L , cuja
notação é lim ( )x c
f x L−→
= , se dado 0ε > existe 0δ > tal que ( )f x L ε− < , sempre que 0x cδ− < − < .
A definição anterior significa que os valores da função f se aproximam de L quando x tende a c por valores menores que c.
Exemplo 2: Sejam ( ) 3 2f x x= − e o ponto 2c = . Vamos mostrar que 2
lim ( ) 4x
f x−→
= . Para isso, é
necessário que, para um dado 0ε > arbitrário, encontremos um valor 0δ > tal que ocorra ( )3 2 4x ε− − <
sempre que 2 0xδ− < − < . Mas
( ) ( )− − = − = − = −3 2 4 3 6 3 2 3 2 .x x x x
Por outro lado, 2 0 0 2x xδ δ− < − < ⇒ < − < . Assim, temos 3 2 3x δ− < e, portanto, tomando
3
εδ = , temos ( )3 2 4x ε− − < sempre que 2 03
xε− < − < .
0
= −3 2y x
4 + ε
4
2
y
x
f (x)
x2 - δ 2 + δ
4 - ε
Exercício 2: Demonstre, usando a definição, que 2
lim (3 2) 4x
x+→
− = .
Agora estamos em condição de definir o limite de uma função f .
Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b , exceto possivelmente em x c= , ( , )c a b∈ , e L ∈� . Dizemos que o limite de f x( ) no ponto x c= é igual a L se existem os limites laterais à direita e à esquerda de c e, além disso, são iguais. Equivalentemente, temos:
dado 0ε > existe 0δ > tal que ( )f x L ε− < , sempre que 0 x c δ< − < .
Notação: lim ( )x c
f x L→
= .
É importante observar que:
• O limite de uma função f no ponto c não diz nada sobre ( )f c ; mais do que isso, a função f não precisa sequer estar definida em x c= , ou seja, o ponto c não precisa pertencer ao
domínio da função f .
• A condição 0 x c δ< − < indica que x c≠ ;
• Se lim ( )x c
f x+→
ou lim ( )x c
f x−→
não existirem, então não existe x c
f x→
lim ( ) . Porém, esta não é
a única situação em que o limite da função não existe em x = c, pois a existência do limite pode depender da forma com que x se aproxima de c. Isso ocorre, por exemplo, com a função de Dirichelet apresentada no exemplo a seguir.
Exemplo 3: Considerando a função ( ) 3 2f x x= − e o ponto 2c = do exemplo 2, podemos
concluir que 2
lim ( ) 4x
f x→
= .
Exemplo 4: Dada 2 3 4
( )1
x xf x
x
+ −=−
, vamos calcular 1
lim ( )x
f x→
.
Para essa função temos Dom f = −� {1} . Ao tentarmos uma simples substituição de x por 1 no polinômio do numerador obtemos o valor 0, o que significa que o número 1 é uma raiz desse polinômio.
Assim, 2 3 4 ( 1)( 4)x x x x+ − = − + .
Portanto, como no cálculo do limite a variável x assume valores diferentes de 1, temos que
1 1 1
( 1)( 4)lim ( ) lim lim( 4) 5
1x x x
x xf x x
x→ → →
− += = + =−
.
Exemplo 5: A função de Dirichelet definida por x
f xx
∈= − ∉
�
�
1,( )
1, não possui limite em ponto
algum de seu domínio.
Para demonstrar que este limite não existe, vamos nos aproximar do ponto x c= de duas formas diferentes: quando x c→ por valores racionais e quando x c→ por valores irracionais. Vejamos:
Se c ∈� , como � é denso em � , podemos escolher valores de x racionais que se aproximam de c. Logo,
x c x cf x
→ →= =lim ( ) lim 1 1 (I)
Por outro lado, como o conjunto dos números irracionais também é denso em � , se escolhermos x irracionais que se aproximam de c, obtemos
→ →= − = −lim ( ) lim ( 1) 1
x c x cf x (II)
De (I) e (II) segue que x c
f x→
lim ( ) não existe.
Exercício 3: Calcule, se possível, os limites: 4
lim ( )x
k x→−
, 1
lim ( )x
k x→
, 5
lim ( )x
k x→
, 8
lim ( )x
k x→
, 0
lim ( )x
k x→
e 32
lim ( )x
k x→
, considerando a função ( )k x cujo gráfico está esboçado na figura a seguir. Se não for possível
calcular os limites, justifique-os.
x
y
1 5 8
234
5
04- 2-
4-
Exercício 4: Considere a função
2
1, 1
( ) , 1 2
5, 2
x
h x x x
x x
− < −
= − ≤ ≤− + >
.
Calcule, se possível, os limites 1
lim ( )x
h x→−
, 2
lim ( )x
h x→
, 0
lim ( )x
h x→
, 100
lim ( )x
h x→−
e x
h x→10lim ( ) . Caso
contrário, justifique.
A definição de limite utilizando ε e δ é de grande importância teórica e torna precisa a noção de “estar próximo”. O seguinte resultado estabelece que quando o limite existe, ele é único.
Teorema (unicidade do limite): Seja f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b , exceto
possivelmente em =x c , ( , )c a b∈ . Se 1lim ( )x c
f x L→
= e 2lim ( )x c
f x L→
= , então 1 2L L= .
Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que 1 2L L≠ . Seja 1 2| |
2
L Lε −= . Por definição,
existem 1 0δ > e 2 0δ > , tais que
1 10 ( )x c f x Lδ ε< − < ⇒ − < e 2 20 ( )x c f x Lδ ε< − < ⇒ − < .
Tomando { }1 2min ,δ δ δ= tem-se, para x c< − <0 δ , que
L L L f x f x L L f x f x L− = − + − ≤ − + − <1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) L L+ = −1 2 .ε ε
Mas isto é absurdo, logo 1 2 .L L= ‘ �
Exemplo 6: Seja ( )f x k= uma função constante. Vamos mostrar que, para qualquer número c,
temos lim ( )x c
f x k→
= .
De fato, dado 0ε > podemos exibir 0δ > assumindo qualquer valor, por exemplo, 11δ = .
Se 0 11x c δ< − < = , então ( ) 0f x k k k ε− = − = < .
Perceba que, como ( )f x k ε− < independe do particular valor numérico de δ , podemos tomar
qualquer 0δ > que teremos a desigualdade desejada. Dessa forma, lim ( )x c
f x k→
= , para todo c ∈� . Assim, se
tivermos, por exemplo, ( ) 3f x π= − , então 2
lim ( ) 3 .x
f x π→
= −
Exemplo 7: Se m e b são constantes, com 0m ≠ e ( )f x mx b= + , vamos mostrar que
lim ( ) .x c
f x m c b→
= + , para qualquer número c.
Pela definição, dado 0ε > devemos exibir 0δ > , tal que ( ) ( )f x mc b ε− + < sempre que
x c< − <0 δ .
Como ( ) ( ) ( )( )f x mc b mx b mc b mx b mc b m x c m x c− + = + − + = + − − = − = − , tomando
| |m
εδ = , obtemos que
0 ( ) ( ) ( ) .x c m x c m m x c mx b mc b f x mc bm m
ε ε ε ε ε< − < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ + − − < ⇒ − + <
Exercícios
5. Mostre que, no exemplo 7, podemos tomar o valor 3 m
εδ = para demonstrar que
lim ( )x c
f x mc b→
= + .
6. Demonstre que se ( ) 7 8f x x= + , então 2
lim ( ) 6.x
f x→−
= −
Propriedades dos Limites
A partir dessa seção, sempre que possível, não utilizaremos a definição para obter limite de funções. Vamos, assim, apresentar e demonstrar algumas propriedades que nos permitirão tornar o cálculo de limites um procedimento mais simples.
Proposição: Sejam f e g duas funções definidas em um intervalo ( , )a b exceto possivelmente
em ( , )c a b∈ . Se 1lim ( )x c
f x L→
= e 2lim ( )x c
g x L→
= , então:
a) 1 2lim[ ( ) ( )]x c
f x g x L L→
+ = + ;
b) x c
k f x k L k→
⋅ = ⋅ ∀ ∈�1lim[ ( )] , ;
c) 1 2lim[ ( ) ( )]x c
f x g x L L→
⋅ = ⋅ ;
d) 1
2
( )lim
( )x c
f x L
g x L→= , desde que 2 0L ≠ ;
e) 1lim ( )n n
x cf x L
→= , se n é um número natural ímpar;
f) 1lim ( )n n
x cf x L
→= , se n é número natural par não-nulo e ≥1 0L .
Demonstração: As demonstrações dos itens e e f serão feitas após as demonstrações de alguns resultados de continuidade de função.
a) Por hipótese, dado 0ε > existem 1 0δ > e 2 0δ > tais que
1 10 ( )2
x c f x Lεδ< − < ⇒ − < e
εδ< − < ⇒ − <2 20 ( )2
x c g x L .
Então, tomando 1 2min{ , }δ δ δ= , temos que
1 2 1 20 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) .2 2
x c f x g x L L f x L g x Lε εδ ε< − < ⇒ + − + ≤ − + − < + =
Assim, 1 2lim[ ( ) ( )]x c
f x g x L L→
+ = + .
b)
(i) Se k = 0 , então ⋅ =( ) 0k f x ;
(ii) Se k ≠ 0 , por hipótese, dado 0ε > existe 0δ > tal que
x c f x Lk
< − < ⇒ − <10 ( )εδ .
Então, utilizando esse valor de δ obtemos as implicações
x c f x L k f x L k k f x k Lk k
< − < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ ⋅ − ⋅ <1 1 10 ( ) ( ) ( ) .ε εδ ε
Assim, →
⋅ = ⋅ ∀ ∈�1lim[ ( )] ,x c
k f x k L k .
c)
(i) Demonstremos primeiramente o caso particular, onde 1lim ( )x c
f x L→
= e lim ( ) 0x c
h x→
= implicam
que lim[ ( ) ( )] 0x c
f x h x→
⋅ = .
Por hipótese, dado 1ε = existe 1 0δ > tal que 1 10 ( ) 1x c f x Lδ< − < ⇒ − < . Disso deduzimos
que 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1f x f x L L f x L L L= − + ≤ − + < + , sempre que 10 x c δ< − < .
Então, podemos escrever que < − < ⇒ = < +1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( )x c f x h x f x h x L h xδ .
Como estamos admitindo que lim ( ) 0x c
h x→
= , dado 0ε > existe 2 0δ > tal que
21
0 ( ) 01
x c h xL
εδ< − < ⇒ − <+
.
Tomando 1 2min{ , }δ δ δ= segue que
< − < ⇒ − ⋅ = < + =+1 1
1
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) (1 )1
x c f x h x L f x h x LL
εδ ε . Ou seja, lim[ ( ) ( )] 0x c
f x h x→
⋅ = .
(ii) Usando o item a, temos 2lim[ ( ) ] 0x c
g x L→
− = e, pelo resultado provado, para 2( ) ( )h x g x L= − ,
temos 2lim ( )[ ( ) ] 0x c
f x g x L→
− = .
Usando os itens a e b, temos 2 1lim [ ( ) ] 0x c
L f x L→
− = . E, finalmente, podemos escrever
( ) ( )2 2 1 1 2lim[ ( ) ( )] lim[ ( ) ( ) ( ) ]x c x c
f x g x f x g x L L f x L L L→ →
= − + − + =
( )2 2 1 1 2 1 2lim ( )[ ( ) ] lim[ ( ) ] lim[ ] 0 0x c x c x c
f x g x L L f x L L L L L→ → →
= − + − + = + + .
Assim, 1 2lim[ ( ) ( )]x c
f x g x L L→
⋅ = ⋅ .
d) Basta provar que 2
1 1lim
( )x c g x L→= .
Por hipótese, dado 2
2
Lε = existe 1 0δ > tal que 2
1 20 ( )2
Lx c g x Lδ< − < ⇒ − < .
Dessa maneira, 21 2 2 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
Lx c L L g x g x L g x g x g xδ< − < ⇒ = − + ≤ − + < + .
Então, 2 21 2
2
1 20 ( ) ( )
2 2 ( )
L Lx c L g x g x
g x Lδ< − < ⇒ − < ⇒ < ⇒ < .
Conseqüentemente,
21 2 22
2 2 2
( )1 1 1 20 ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )
L g xx c g x L g x L
g x L g x L L g x Mδ −< − < ⇒ − = = − < − onde
< < 20 M L .
Novamente, por hipótese, dado 0ε > existe 2 0δ > tal que 2
2 20 ( ) .2
Mx c g x Lδ ε< − < ⇒ − <
Tomando 1 2min{ , }δ δ δ= teremos
2
22 22
1 1 2 20 ( ) .
( ) 2
Mx c g x L
g x L M Mδ ε ε< − < ⇒ − < − < =
Portanto, 2
1 1lim
( )x c g x L→= . �
Podemos calcular os limites mais rapidamente, utilizando apenas as propriedades anteriores.
Exemplo 8: Seja 2( ) 2 1h x x x= + + . Então, utilizando as propriedades temos que 3
lim ( ) 16x
h x→
= ,
pois
( )22
3 3 3 3lim( 2 1) lim 2 lim lim 1 9 6 1 16x x x x
x x x x→ → → →
+ + = + + = + + = .
Exemplo 9: Seja 3 2 1
( )1
x xh x
x
+ +=+
. Então, 1
4lim ( ) 2
2xh x
→= = . Mas
1lim ( )
xh x
→− não pode ser
calculado mediante o uso das propriedades porque o limite do denominador da expressão de ( ),h x quando x tende a –1, é zero.
Exemplo 10: Seja ( )1
3 3( ) 4 2 2g x x x= + + . Então, 1
lim ( ) 2x
g x→
= , pois
( ) ( )33 3 333
1 1 1 1lim ( ) lim 4 2 2 4 lim 2 lim 2 4 2 2 8 2x x x x
g x x x x x→ → → →
= + + = + + = + + = = .
Como conseqüência da proposição anterior obtemos os seguintes resultados:
Corolário:
a) 1 1
lim ( ) lim ( )n n
i ix c x c
i i
f x f x→ →= =
=∑ ∑ , se →
lim ( )i
x cf x existe, para cada ≤ ≤1 i n ;
b) 1 1
lim ( ) lim ( )n n
i ix c x c
i i
f x f x→ →= =
=∏ ∏ , se →
lim ( )i
x cf x existe, para cada ≤ ≤1 i n ;
c) Se f é uma função polinomial, então lim ( ) ( )x c
f x f c→
= ;
d) Se f é uma função racional da forma ( )
( )( )
p xf x
q x= com ( ) 0q c ≠ , então
( )lim ( )
( )x c
p cf x
q c→= .
Exemplo 11: Seja 3 2( ) 5 2 3 1h x x x x= + − + . Pelo item c do corolário anterior temos
2lim ( ) 25
xh x
→−= − .
Exemplo 12: Seja 2 2 1
( )1
x xh x
x
− +=+
. Pelo item d do corolário anterior temos 1
lim ( ) 0x
h x→
= .
Proposição: Sejam f e g funções definidas num intervalo aberto ( , )a b , tais que ( ) ( )f x g x= ,
exceto possivelmente em x c= , ( , )c a b∈ . Se lim ( ) ,x c
g x L→
= então lim ( )x c
f x L→
= .
Demonstração: Dado 0ε > , existe 0δ > tal que 0 ( )x c g x Lδ ε< − < ⇒ − < . Mas, por
hipótese, ( ) ( )f x g x= , para x c≠ . Logo, tomando o mesmo δ anterior podemos escrever
0 ( ) ( )x c f x L g x Lδ ε< − < ⇒ − = − < , ou seja, lim ( )x c
f x L→
= . �
Exemplo 13: O item d do corolário anterior não é válido quando ( ) 0q c = . Apesar disso, se ( ) 0p c = podemos estudar o comportamento de f quando x tende a c . De fato, quando ( ) 0q c = temos
( )q x divisível por ( )x c− , ou seja, ( ) ( ) . ( )mq x x c h x= − onde ( ) 0h c ≠ e m ∗∈� . Temos também
( ) ( ) . ( )np x x c k x= − onde ( ) 0k c ≠ e ∗∈�n . Temos três casos a considerar:
1. n m= : neste caso, temos ( )
lim ( )( )x c
k cf x
h c→= , pois
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
n
m
x c k x k xf x
h xx c h x
−= =−
, x c≠ e ( ) 0h c ≠ .
2. n m> : neste caso, temos lim ( ) 0x c
f x→
= , pois ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
nn m
m
x c k x k xf x x c
h xx c h x
−−= = −−
, x c≠ .
3. n m< : neste caso o limite não existe e será estudado mais adiante com detalhes.
O próximo teorema necessita de um conceito muito importante, que pertence a um ramo da matemática chamado Topologia, a saber, o conceito de vizinhança de um ponto c. Chamamos de vizinhança de um ponto c, qualquer intervalo aberto contendo esse ponto.
Teorema: Toda função que possui limite num ponto c é limitada numa vizinhança do ponto c.
Este teorema é bem intuitivo, pois quando x se aproxima do ponto c , ( )f x se aproxima de um
número L. Então, deve existir uma vizinhança V do ponto c , tal que ( )f x k≤ , para todo x V∈ e para
algum valor real positivok .
Demonstração: Por hipótese, tomemos lim ( )x c
f x L→
= . Assim, dado 0ε > existe 0δ > tal que,
para pontos x c≠ no intervalo ( , )c cδ δ− + , a distância entre o valor ( )f x e o número L fica menor que
ε , isto é, ( )f x L ε− < . Devemos mostrar que existe um intervalo ( , )c cλ λ− + tal que ( , )x c cλ λ∈ − +
implica em ( )f x k≤ , para algum valor real positivo k. Ora, tomando λ δ= teremos
0 ( ) ( ( ) ) ( ) .x c f x f x L L f x L L Lλ ε< − < ⇒ = − + ≤ − + < + Como o valor ( )f c , caso exista, pode
ser diferente de L, tomemos { }= +max , ( )k L f cε . Assim, para ( , )x c c∈ − +λ λ temos ( )f x k≤ . �
Exemplo 14: Dada a função 2
4, 5
( ) , 5
10 26, 5
x x
f x x
x x x
π − <
= − = − + >
, vamos calcular 5
lim ( )x
f x→
.
5 5lim ( ) lim ( 4) 1
x xf x x
− −→ →= − = e 2
5 5lim ( ) lim ( 10 26) 1
x xf x x x
+ +→ →= − + = .
Como 5 5
lim ( ) lim ( ) 1x x
f x f x− +→ →
= = , temos que 5
lim ( ) 1x
f x→
= .
A função f é limitada em intervalos abertos que contêm 5x = . Seguindo o raciocínio da demonstração do teorema anterior, dado, por exemplo, 0,5ε = existe 0δ > tal que se 5x ≠ e
(5 ,5 )x δ δ∈ − + , então − <( ) 1 0,5f x . Então, tomando ( )max{ 1 0,5 ; }k π π= + − = podemos escrever:
se (5 , 5 )x ∈ − +δ δ , então ( )f x π< .
Veja pelo esboço do gráfico de f mostrado a seguir, que esta função é limitada em intervalos que contêm o ponto 5x = .
0
-π- 4
1
5 x
y
Exemplo 15: A afirmação “Se uma função f é limitada numa vizinhança do ponto c , então existe lim ( )x c
f x→
” é falsa.
Considere a função 2, 0
( )1, 0
xf x
x
<= ≥
. Esta é uma função limitada em toda a reta � , pois
( ) 2,f x x≤ ∀ ∈� . Mas 0 0
lim ( ) lim 2 2x x
f x− −→ →
= = e 0 0
lim ( ) lim 1 1x x
f x+ +→ →
= = e, portanto, não existe 0
lim ( )x
f x→
.
Um outro resultado importante é dado a seguir.
Teorema (Confronto ou Sanduíche): Sejam , e f g h funções definidas num intervalo aberto ( , )a b , exceto possivelmente em x c= , ∈ ( , )c a b . Suponha que ( ) ( ) ( ), ( , )f x g x h x x a b≤ ≤ ∀ ∈ , exceto
possivelmente em x c= . Se lim ( ) lim ( )x c x c
f x h x L→ →
= = , então lim ( )x c
g x L→
= .
Demonstração: Como lim ( ) lim ( )x c x c
f x h x L→ →
= = , dado 0>ε existe 0δ > , tal que se
0 x c< − < δ , então
ε ε− < − <| ( ) | e | ( ) | .f x L h x L
Segue que
ε ε ε ε− < < + − < < +( ) e ( ) .L f x L L h x L
Portanto, para ∈( , )x a b tal que δ< − <0 | |x c , tem-se
( ) ( ) ( ) .L f x g x h x Lε ε− < ≤ ≤ < +
Desta forma, ε− <| ( ) | ,g x L para ∈( , )x a b sempre que δ< − <0 | |x c , ou seja, lim ( )x c
g x L→
= .
�
Corolário: Sejam f e g uma funções definidas num intervalo aberto ( , )a b , exceto possivelmente
em x c= , ( , )c a b∈ . Se lim ( ) 0x c
f x→
= e g é limitada, então [ ]lim ( ) ( ) 0x c
f x g x→
⋅ = .
O teorema do confronto também vale para limites laterais e sua demonstração será deixada como exercício.
Exemplo 16: Sabendo que 2 sen
1 16 2 2cos
x xx
x− < <
−, para todos os valores de x próximos de
zero, segue do teorema do confronto que 0
( )lim 1
2 2 ( )x
x sen x
cos x→=
−, pois
2
0lim 1 1
6x
x
→
− =
e
0lim 1 1x→
= .
Exercícios
7. Calcule 3 2
523
3 3 9lim ,
9x
x x x
x→
− + −−
indicando as propriedades utilizadas.
8. Calcule os seguintes limites:
a) 2
2lim 5
x→− b)
8lim( 8)x→
− c) 3
1
1lim
1x
x
x→
−−
d) 0
lim (4 )x
x+→
+ e) 3
23
27lim
1x
x
x+→
−+
f) 0
lim , 0h
x h xx
h→
+ − >
9. Para cada função f definida a seguir calcule 2
lim ( )x
f x−→
e 2
lim ( )x
f x+→
e esboce o gráfico de f .
a) 2
3 , 2( )
, 2
x xf x
x x
≤= >
b) 3 5, 2
( )4 2 , 2
x xf x
x x
+ ≤= − >
.
10. Dada 3 5, 2
( )4, 2
x xf x
x
+ ≠= >
, encontre 2
lim ( )x
f x→
, mostre que 2
lim ( ) (2)x
f x f→
≠ e trace um
esboço do gráfico de f.
11. Nos itens a seguir, encontre os limites indicados, se existirem. Caso não existam, justifique. Esboce o gráfico de cada função.
a)
2, 1
( ) 1, 1
3, 1
x
f x x
x
<= − =− >
.
1lim ( )
x
f x+→
; 1
lim ( )x
f x−→
; 1
lim ( )x
f x→
; 0
lim ( )x
f x→
; 3
lim ( )x
f x→−
e 2
lim ( )x
f x→
.
b)
2
2
3 , 2
( ) 0, 2
11 , 2
t t
f x t
t t
+ < −= = − > −
.
2lim ( )
x
f x+→−
; 2
lim ( )x
f x−→−
; 2
lim ( )x
f x→−
; 0
lim ( )x
f x→
; 1
lim ( )x
f x→−
e 4
lim ( )x
f x→−
c) | |
( )t
f tt
= .
0lim ( )
t
f t+→
; 0
lim ( )t
f t−→
e 0
lim ( )t
f t→
.
Limites Infinitos
Considere as funções definidas por 1
( )f xx
= e 1
( )3
g xx
−=−
. Seus respectivos gráficos estão
esboçados a seguir.
x
y
Graf f
0
x
y
Graf g
Façamos um estudo do comportamento de f nas proximidades do ponto 0x = e do comportamento de g nas proximidades do ponto 3x = , mediante alguns cálculos.
x ( )f x x ( )f x x ( )g x x ( )g x
-0,1 10 0,1 10 2,9 –10 3,1 –10
-0,01 100 0,01 100 2,99 –100 3,01 –100
-0,001 1000 0,001 1000 2,999 –1000 3,001 –1000
-0,0001 10000 0,0001 10000 2,9999 –10000 3,0001 –10000
-0,00001 100000 0,00001 100000 2,99999 –100000 3,00001 –100000
-0,000001 1000000 0,000001 1000000 2,999999 –1000000 3,000001 –1000000
Observamos, pelo quadro anterior, que quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( 0 )x −→ os valores da função f se tornam arbitrariamente grandes ( ( ) )f x → +∞ .
Analogamente, quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0 )x +→ os valores da função f também se tornam arbitrariamente grandes ( ( ) )f x → +∞ . Neste caso, dizemos que o limite de ( )f x no ponto 0x = é
“mais infinito” e denotamos por 0
lim ( )x
f x→
= + ∞ , mas, lembrando que →0
lim ( )x
f x não existe.
Já para a função g, quando x se aproxima de 3, tanto pela esquerda ( 3 )x −→ , quanto pela direita
( 3 )x +→ , os valores da função decrescem ilimitadamente ( ( ) )g x → −∞ . Neste caso, dizemos que o limite
de ( )g x no ponto 3x = é “menos infinito” e denotamos por 3
lim ( )x
g x→
= − ∞ , mas, lembrando que
→3lim ( )x
g x não existe.
Utilizamos os símbolos " "+ ∞ e " "− ∞ para ilustrar uma “tendência”, um comportamento “explosivo”, um aumento modular “ilimitado”. Esses símbolos não são números reais. A maneira precisa de definirmos esse tipo de tendência de crescimento ilimitado de uma função nas proximidades de um ponto está dada na seguinte definição.
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b , exceto possivelmente em
x c= , ( , )c a b∈ . Dizemos que lim ( )x c
f x→
= +∞ (respectivamente, ∞− ) se, para cada 0M > existe 0δ > tal
que ( )f x M> (respectivamente, ( )f x M< − ) sempre que 0 x c< − < δ .
Note que lim ( )x c
f x→
= +∞ e lim ( )x c
f x→
= −∞ apenas indicam o comportamento da função numa
vizinhança do ponto c.
Exemplo 17: Para ilustrar a definição considere 1
( )f xx
= . Verificamos intuitivamente que
quando x tende a 0, o valor ( )f x tende a +∞ . Pela definição, se nos for apresentado, por exemplo, o número 10M = devemos exibir um valor 0δ > tal que se 0x ≠ e ( , )x δ δ∈ − , então ( )f x deve ser maior
que 10. Para esse valor de M ( 10)M = podemos exibir 1
10δ = . Verificamos que se
1 10 10 ( ) 10
10x f x
x< < ⇒ > ⇒ > . Se nos for apresentado o número 23.117M = basta exibir
1
23.117δ = .
Verificamos que 1 1
0 23.11723.117
xx
< < ⇒ > , ou seja, ( ) 23.117f x > . De maneira geral, conseguimos
mostrar que a definição está satisfeita para qualquer número positivo M apresentado, por maior que ele seja.
Basta exibir 1
Mδ = e verificamos que
1 10 x M
M xδ< < = ⇒ > , ou seja, ( )f x M> .
Exemplo 18: Considere a função 3
( )2 4
p xx
−=−
. Intuitivamente percebemos que quando x se
aproxima de 2, pela esquerda ou pela direita, a expressão do denominador se aproxima de zero mediante números positivos e, portanto, o quociente de −3 por esses números positivos, e cada vez menores, tem um comportamento “explosivo” para −∞ . Mas esse raciocínio não prova que
2lim ( )x
p x→
= −∞ . É preciso mostrar
que a definição anterior está satisfeita.
Se nos for apresentado, por exemplo, o número 20M = , devemos exibir 0δ > tal que
0 2 ( ) 20x p xδ< − < ⇒ < − . Nesse caso basta exibir 3
2 20δ =
⋅ e teremos
30 2
2 20x< − < ⇒
⋅
2 3 1 200 2 2
2 20 2 2 3x
x
⋅< − < ⇒ >⋅ −
3 3
20 202 4 2 4x x
−⇒ > ⇒ < −
− −.
Se nos for apresentado o número 517M π= , exibimos 3
2 517δ
π=
⋅. Nesse caso teremos
π
< − < ⇒ < − <⋅
30 2 0 2 2
2 517x x
ππ
⋅⇒ > ⇒
⋅ −2 3 1 517
2 517 2 2 3x
π π−⇒ > ⇒ < −
− −3 3
517 5172 4 2 4x x
.
Em geral, se nos for apresentado um número 0M > , tão grande quanto possa ser tomado,
exibimos 3
2 Mδ =
⋅ e teremos
⋅< − < ⇒ < − <⋅ ⋅3 2 3
0 2 0 2 22 2
x xM M
−⇒ > ⇒ > ⇒ < −
− − −1 3 3
2 2 3 2 4 2 4
MM M
x x x.
Dessa forma, 2
3lim
2 4x x→
−= −∞
−.
Exemplo 19: Considere, agora, a função 1
( )f xx
= cuja representação gráfica é a hipérbole
eqüilátera de centro na origem:
7y
x0
Observando o gráfico, percebemos que 0
lim ( )x
f x+→
= +∞ e 0
lim ( )x
f x−→
= −∞ . Neste caso, dizemos
que o limite de ( )f x quando x tende a zero não existe.
Propriedades dos Limites Infinitos
Vamos estudar as principais propriedades dos limites infinitos que permitirão calcular uma grande quantidade desses limites com maior rapidez. As demonstrações das propriedades enunciadas serão deixadas como exercícios para o leitor.
Propriedade 1: Se ∈�*
n , então:
a) +→
= +∞0
1lim
nx x;
b) −→
+∞= −∞0
, par1lim
, ímparnx
n
nx.
Exemplo 20: Se 6
1( )f x
x= temos
0lim ( )
xf x
+→= +∞ e
0lim ( )
xf x
−→= +∞ . Portanto,
60
1limx x→
= +∞ .
Exemplo 21: Se 13
1( )f x
x= temos
0lim ( )
xf x
+→= +∞ e
0lim ( )
xf x
−→= −∞ . Portanto,
130
1limx x→
não
existe.
Propriedade 2: Se lim ( )x c
f x→
= +∞ e lim ( ) ,x c
g x k k→
= ∈� , então
a) lim [ ( ) ( ) ]x c
f x g x→
± = + ∞ ;
b) , 0
lim [ ( ) . ( ) ], 0x c
kf x g x
k→
+∞ >= −∞ <
.
Exemplo 22: Sejam 1
( )1
f xx
=−
e 2( ) 1,g x x= + . Temos 1
lim ( )x
f x→
= +∞ e 1
lim ( ) 2x
g x→
= ,
então [ ]1
lim ( ) ( )x
f x g x→
+ = +∞ e [ ]1
lim ( ) ( )x
f x g x→
⋅ = +∞ .
Exemplo 23: Sejam 8
1( )f x
x= e 3( ) 1g x x= − . Temos
0lim ( )x
f x→
= +∞ e 0
lim ( ) 1x
g x→
= − , então
[ ]0
lim ( ) ( )x
f x g x→
+ = +∞ e [ ]0
lim ( ) ( )x
f x g x→
⋅ = −∞ .
Exemplo 24: Sejam 1
( )f xx
= e ( )g x x= . Temos 0
lim ( )x
f x→
= +∞ , 0
lim ( ) 0x
g x→
= e
[ ]0
lim ( ) ( )x
f x g x→
⋅ não existe. Basta verificar que 1, 0
( ) ( )1, 0
xf x g x
x
>⋅ = − <
. Considere agora 1
( )f xx
= e
= 2( )g x x . Temos 0
lim ( )x
f x→
= +∞ , 0
lim ( ) 0x
g x→
= e [ ]→ →
⋅ = =2
0 0lim ( ) ( ) lim 0x x
xf x g x
x. Assim, quando 0k = ,
no item (b) da propriedade 2, nada se pode concluir a respeito do limite de ( ) ( )f x g x⋅ , quando x tende a c.
Analogamente, temos a seguinte propriedade.
Propriedade 3: Se lim ( )x c
f x→
= −∞ e lim ( ) , ,x c
g x k k→
= ∈� então
a) lim [ ( ) ( ) ]x c
f x g x→
± = − ∞ ;
b) , 0
lim [ ( ) . ( ) ], 0x c
kf x g x
k→
−∞ >= +∞ <
.
Pode-se construir exemplos análogos aos anteriores para ilustrar essa propriedade. No item b, se 0k = nada se pode concluir sobre o limite de ( ) ( )f x g x⋅ , quando x tende a c .
Propriedade 4: Se lim ( )x c
f x k→
= e lim ( ) 0x c
g x→
= , onde k ∈� , então
a) Se 0k > e ( )g x tende a zero, por valores positivos, então ( )
lim( )x c
f x
g x→= +∞ ;
b) Se 0k > e ( )g x tende a zero, por valores negativos, então ( )
lim( )x c
f x
g x→= −∞ ;
c) Se 0k < e ( )g x tende a zero, por valores positivos, então ( )
lim( )x c
f x
g x→= −∞ ;
d) Se 0k < e ( )g x tende a zero, por valores negativos, então ( )
lim( )x c
f x
g x→= +∞ .
Exemplo 25: Seja 2( )f x x= e ( ) 2g x x= − . Temos que 2
lim ( ) 4x
f x→
= e 2
lim ( ) 0x
g x→
= , onde
( )g x se aproxima de zero apenas por valores positivos. Logo, → →
= = +∞−
2
2 2
( )lim lim
( ) 2x x
f x x
g x x.
Exemplo 26: Seja ( ) 2 1f x x= + e 2( )g x x= − . Temos que 0
lim ( ) 1x
f x→
= e 0
lim ( ) 0x
g x→
= , onde
( )g x se aproxima de zero apenas por valores negativos. Logo, → →
+= = −∞− 20 0
( ) 2 1lim lim
( )x x
f x x
g x x.
Exemplo 27: Seja 5( ) 3 2f x x= + e 2( ) 1g x x= − . Temos que 1
lim ( ) 1x
f x→−
= − e 1
lim ( ) 0x
g x→−
= ,
onde ( )g x se aproxima de zero apenas por valores positivos. Logo, →− →−
+= = −∞−
5
21 1
( ) 3 2lim lim
( ) 1x x
f x x
g x x.
Exemplo 28: Seja 2( ) 5f x x= − e ( )2( ) 2g x x= − − . Temos que 2
lim ( ) 1x
f x→
= − e 2
lim ( ) 0x
g x→
= ,
onde ( )g x se aproxima de zero apenas por valores negativos. Logo, ( )→ →
−= = +∞− −
2
22 2
( ) 5lim lim
( ) 2x x
f x x
g x x.
Propriedade 5: Se lim ( )x c
f x→
= ±∞ , então 1
lim 0( )x c f x→
= .
Exemplo 29: Seja ( )
2
3
1( )
1
xf x
x
−=−
. Temos que ( ) ( )→ → →
− += = = +∞− −
2
3 21 1 1
1 1lim ( ) lim lim
1 1x x x
x xf x
x x.
Logo, ( )
→ →
−= =
−
3
21 1
11lim lim 0
( ) 1x x
x
f x x.
É importante observar que as cinco propriedades anteriores também são válidas se considerarmos
os limites laterais, quando +→x c ou −→x c .
Exercício 12: Calcule os seguintes limites:
a) +→
− −− +
2
21
2 3lim
2 1x
x x
x x b)
−→
+−
2 2
1
2
sen coslim
2 1t
t t
t c)
→
+0
2 1limt
t
t
Limites no Infinito
Na seção anterior estudamos comportamentos “explosivos” de funções f quando a variável independente, x, se aproxima de algum número real c que pode ou não pertencer ao domínio de f. Estamos interessados agora em analisar o comportamento de uma função, cujo domínio contenha um intervalo da forma ( , )a +∞ ou ( , )b−∞ , quando a variável independente aumenta sua magnitude indefinidamente, quer com sinal positivo ou com sinal negativo.
Analisemos os casos particulares onde as funções f e h são dadas por 1
( )f xx
= e
−= +−1
( ) 35
h xx
. Os esboços dos gráficos estão ilustrados a seguir.
y
x0
y
x0
3
5
Graf f Graf h
Façamos uma exploração numérica do que ocorre com ( )f x quando de x aumenta indefinidamente. Façamos também os cálculos de ( )h x quando o módulo de x aumenta indefinidamente, mas x possui sempre sinal negativo.
x ( )f x x ( )h x
10 0,1 -10 2.933333333333333
100 0,01 -100 2.990476190476190
1000 0,001 -1000 2.999004975124378
10000 0,0001 -10000 2.999900049975012
100000 0,00001 -100000 2.999990000499975
1000000 0,000001 -1000000 2.999999000004999
Observando os dados apresentados na tabela acima, percebemos que os valores de ( )f x se aproximam de zero quando x tende a +∞ , e que os valores de ( )h x se aproximam de 3 quando x tende a −∞ .
Mas essas considerações numéricas ou a análise do esboço de gráficos não são uma maneira rigorosa de expressar os comportamentos de funções. Assim como foi feito na seção Limites Infinitos, daremos a definição com o rigor matemático necessário que expressa esses comportamentos.
Definição: Sejam f uma função definida em ( , )a +∞ (respectivamente, em ( , )b−∞ ) e L ∈� . Dizemos que ( )f x tende a L quando x tende a +∞ (respectivamente, −∞ ), se dado 0ε > existe um
número 0M > tal que ( )f x L ε− < sempre que x M> (respectivamente, x M< − ). Denotaremos por
lim ( )x
f x L→+∞
= (respectivamente, lim ( )x
f x L→−∞
= ).
Exemplo 30: Vamos mostrar que 1
lim 0x x→+∞
= . De fato, se nos for dado um número 0ε > , por
menor que ele seja, devemos exibir 0M > , suficientemente grande, tal que se x estiver à direita de M
( x M> ), então o valor da expressão 1
x deve estar próximo de 0, distando dele no máximo ε unidades.
Estudaremos uma situação particular onde nos é dado o número 0,01ε = . Nesse caso, tomando 100M = , teremos
1 1 1100 0 0,01
100x
x x> ⇒ < ⇒ − < .
Vamos supor que nos seja dado o número ε > 0 muito menor que o anterior, por exemplo 2310ε −= . Nesse caso, basta tomar 2310M = e teremos
23 23 231 110 10 0 10x
x x
− −> ⇒ < ⇒ − < .
Ora, dado o número 0ε > , por menor que seja ele, tomando o número 1
Mε
= , temos
1 1 10x
x xε ε
ε> ⇒ < ⇒ − < .
Assim mostramos que 1
lim 0x x→+∞
= .
Exercício 13: Mostre, utilizando a definição, que 1
lim 3 35x x→−∞
− + =−
.
Propriedade:
a) 1
lim 0nx x→±∞
= , *n ∈� ;
b) Se m e b são constantes, então ( ), 0
lim , 0
, 0x
m
mx b b m
m→+∞
−∞ <+ = =+∞ >
.
Exemplo 31: 7
1lim 0
x x→+∞= e
7
1lim 0
x x→−∞= .
Exemplo 32: ( )lim 3 9x
x→+∞
+ = +∞ e ( )lim 3 9x
x→−∞
+ = −∞ .
Exemplo 33: x
x
x→+∞
+ =−
2
2
3 5lim
2 x
xx
xx
→+∞
+ = −
22
22
53
lim2
1x
x
x
→+∞
+ = − −
2
2
53
lim 32
1
Os limites no infinito têm propriedades análogas às propriedades de limites vistas nas seções anteriores.
Exercício 14: Calcule os seguintes limites:
a) →+∞
+
1lim
xx
x b)
→−∞
++
2 3lim
2 1x
x
x c)
→−∞
++
2 1lim
2x
x
x d)
→+∞
++
23 9lim
2 3x
x x
x
Assíntotas
Assíntota Vertical
A idéia de limites laterais infinitos possibilita introduzir o conceito de assíntota vertical do gráfico de uma função.
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b , exceto possivelmente em x c= , ( , )c a b∈ . Dizemos que a reta x c= é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das seguintes condições ocorrer:
a) lim ( )x c
f x+→
= + ∞ b) lim ( )x c
f x+→
= − ∞ c) lim ( )x c
f x−→
= + ∞ d) lim ( )x c
f x−→
= − ∞ .
Geometricamente, a assíntota vertical do gráfico de uma função f é a reta paralela ao eixo Oy que
passa pelo ponto ( ,0)c . A figura a seguir ilustra o gráfico da função −= +−1
( ) 35
h xx
e sua assíntota vertical,
a reta de equação 5x = − .
y
x0
3
5
Caso a função seja racional, isto é, da forma ( )
( )( )
f xF x
g x= , onde f e g são funções polinomiais, as
assíntotas verticais de seu gráfico, caso existam, ocorrem em valores de c tais que ( ) 0g c = .
Exemplo 34: Dadas as funções abaixo definidas, vamos verificar se seus gráficos possuem assíntotas verticais.
a) 6
( )4
f xx
=−
; b) 2
2( )
( 1)f x
x
−=−
; c) 3
2( )
( 2)
xf x
x
+=−
;
d) − <= ≥
1, 0
( )3 , 0
xf x x
x x
; e) =−1
( )1 2x
f x ; f) + −=
−
2 2( )
1
x xf x
x .
Para determinar as assíntotas verticais, pela definição, calculemos os seguintes limites:
a) 4
6lim
4x x−→= +∞
− e assim, por definição, a reta 4x = é uma assíntota vertical do gráfico de f ;
b) −→
− = −∞− 21
2lim
( 1)x x e assim, por definição, a reta 1x = é uma assíntota vertical do gráfico de f ;
c) 32
2lim
( 2)x
x
x−→
+ = −∞−
e assim, por definição, a reta 2x = é uma assíntota vertical do gráfico de f ;
d) 0 0
1lim ( ) lim
x xf x
x− −→ →
−= = +∞ e, assim, por definição, a reta 0x = é uma assíntota vertical do
gráfico de f ;
e) 0
1lim
1 2xx −→
= +∞−
e assim, por definição, a reta 0x = é uma assíntota vertical do gráfico de f ;
f) Como 2
1 1 1
( 1)( 2)2lim lim lim( 2) 3
1 1x x x
x xx xx
x x→ → →
− ++ − = = + =− −
, o gráfico de f não possui
assíntota vertical.
Assíntota Horizontal
A idéia de limite no infinito permite definir assíntota horizontal do gráfico de uma função cujo domínio contém um intervalo do tipo ( , )a +∞ ou ( , )b−∞ .
Definição: Dizemos que a reta y k= é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f , se
lim ( )x
f x k→+∞
= ou lim ( )x
f x k→−∞
= .
Geometricamente, a assíntota horizontal do gráfico de uma função f é a reta paralela ao eixo Ox
que passa pelo ponto (0, )k . A figura anterior ilustra o gráfico da função 1
( ) 35
h xx
−= ++
e sua assíntota
horizontal, a reta de equação = 3y .
Exemplo 35: Dadas as funções abaixo definidas, vamos verificar se seus gráficos possuem assíntotas horizontais.
a) 1
( ) 3f xx
= + ; b) 2
3( )
3f x
x
−=−
; c) 2
2
1 3( )
7 5
x xf x
x
− −=−
;
d)
3, 1
1( )1
1, 1
xx
f x
xx
< −= + ≥
; e) 25 1
( )2 3
xf x
x
+=−
.
Para determinar as assíntotas horizontais, por definição, devemos calcular os seguintes limites:
a) 1
lim 3 3x x→+∞
+ =
e 1
lim 3 3x x→−∞
+ =
. Assim, por definição, a reta 3y = é uma assíntota
horizontal do gráfico de f ;
b) 2
3lim 0
3x x→+∞
− =−
e 2
3lim 0
3x x→−∞
− =−
. Assim, por definição, a reta 0y = é uma assíntota
horizontal do gráfico de f ;
c) 2
2
1 3 3lim
57 5x
x x
x→+∞
− − =−
e 2
2
1 3 3lim
57 5x
x x
x→−∞
− − =−
. Assim, por definição, o gráfico de f tem a
reta 3
5y = como assíntota horizontal;
d) 1
lim ( ) lim 1 1x x
f xx→+∞ →+∞
= + =
e 3
lim ( ) lim 01x x
f xx→−∞ →−∞
= = − . Assim, por definição, as retas
1y = e 0y = são assíntotas horizontais do gráfico de f ;
e) 25 1
lim2 3x
x
x→+∞
+ = + ∞−
e 25 1
lim2 3x
x
x→−∞
+ = − ∞−
. Assim o gráfico de f não possui assíntota
horizontal.
Exercícios
15. Determinar, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções definidas a seguir:
a) 2
2( )
25
xf x
x=
− ; b)
3 24( )
3
x xf x
x
+=−
; c) 2
( ) 3f xx
= + ;
d) 5
6
5 3( )
4 5
xf x
x
−=+
; e)
1, 0
( )2
2, 01
xx
f x
xx
<= − ≥ +
.
16. Dê um exemplo de função que possua duas assíntotas horizontais diferentes.
O Limite Fundamental
As indeterminações ocorrem também quando trabalhamos com funções trigonométricas. Para estas situações o resultado a seguir ajuda a resolver muitas delas.
0
senlim 1x
x
x→=
De fato, tomemos, inicialmente, 02
xπ< < . Na figura a seguir, �P I é um arco de medida x de uma
circunferência de raio 1; PQ e TI são perpendiculares ao eixo horizontal.
x
y
I
1T
Q
P
- 1 O
Denotaremos por ∆ABC um triângulo com vértices A, B e C.
Temos que
Área do ∆ IOP < Área do setor circular IOP < Área do ∆ IOT. (1)
Como = = 1OI OP segue que
Área do 1 1
2 2IOP PQ OI PQ∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ (2)
Área do setor circular 1
2IOP =
2x OP⋅ ⋅ = 1
2x⋅ (3)
Área do ∆ 1 1
2 2IOT IT OI IT= ⋅ ⋅ = ⋅ (4)
Por outro lado, sabemos que:
sen x = PQOP
PQ = (5)
ITtg x IT
OI= = . (6)
Substituindo (2), (3), (4), (5) e (6) em (1) obtemos
1 1 1sen tg
2 2 2x x x< <
que é equivalente a
11
sen cos
x
x x< < ,
ou seja,
sencos 1
xx
x< < (7)
Como 02
xπ< < , temos que 0 sen x x< < e como a função 2( )F x x= é crescente, para
0x > , temos que 2 20 sen x x< < , ou ainda, 2 2
2sen2 2 4
x x x < =
. Dessa desigualdade e da igualdade
trigonométrica 2 1 cos2sen
2
θθ −= segue que 2
2cos 1 2 sen 1 22 4
x xx
= − > −
. Assim, obtemos que
2
cos 12
xx > − (8)
Utilizando (7) e (8), obtemos
2 sen1 1
2
xx
x− < < , para 0
2x
π< < .
Como 2
0lim 1 1
2x
x
→
− =
e
0lim 1 1x→
= , segue do Teorema do Confronto que 0
senlim 1
x
x
x+→= .
Aqui tomamos 0x > , entretanto, a função sen
( )x
f xx
= é uma função par, pois
( )sen sen sen( ) ( ), 0
x x xf x f x x
x x x
− −− = = = = ∀ ≠− −
. Portanto, temos também que 0
senlim 1
x
x
x−→= .
Logo, 0
senlim 1x
x
x→= .
Existe um outro limite bastante importante, cuja existência não será demonstrada neste texto, a saber,
1lim 1
x
xe
x→∞
+ =
O número irracional e transcendente “e” obtido com o cálculo desse limite é denominado número de Napier ou número de Euler e tem como valor aproximado 2,71828.
Exercício 17: Calcule os limites a seguir:
a) 0
sen(2 )lim
h
h
h→ b)
3
30
senlim
x
x
x→ c)
2
2lim
2x
x
x+→
+−
d) limx
x
x x x→+∞ + +
e) 2lim 5 6x
x x→+∞
− + f) lim ( ( ) )x
x x a x→+∞
+ −
g) 9
3lim
3x
x
x→
−−
h) 3 3
7
7lim
7x
x
x→
−−
i) 2
24
3 9 12lim
17 4 4x
x x
x x→−
+ −− −
j) 23
3lim
9x x+→
−
− k)
2
22
2lim
3 6x
x x
x x→
+ −−
l) 2
2
3 5lim
4 1x
x
x→+∞
+−
m) 2
4 3lim
2 1x
x
x→−∞
−+
n) 2
2
2 6 1lim
5 7 4x
x x
x x→+∞
− ++ +
o) 4
5
2lim
4x
x x
x x→+∞
−+
p) 3
2
7 4 8lim
2 1x
x x
x x→−∞
− +− −
q) 3
2
27lim
5 8x
x x
x x→−∞
−− +
r) 2
2
3lim
5x
x x
x→−∞
+ −+
s) 2
1lim
2 3 5x
x
x x→+∞
++ −
t) 0
sen(4 )limx
x
x→ u)
3
30
sen (2 )limx
x
x→
v) sen
limx
x
xπ π+→ − x)
0
sen(2 )lim
4x
x
x→ w)
3
3
cos( )lim
5x
x
x
π→−∞ +
y) 12
lim 1x
x x
+
→+∞
+
z) 1
lim 12
x
x x→+∞
+
Continuidade
Assim como o conceito de limite desempenha papel importante, o conceito de continuidade é fundamental na matemática e em outras ciências, e é uma das idéias centrais do Cálculo.
Como a representação gráfica de uma função tem a vantagem de transmitir informações locais e globais sobre o comportamento da função em um dado intervalo, vamos ver qual é a característica gráfica que explicita o desejado conceito intuitivo de “continuidade” de uma função num ponto.
Nas ilustrações a seguir apresentamos três gráficos: o de uma função f e o de uma função g e o de uma função h, definidas em toda a reta real � .
0 x
y
0 x
y
5
6
8
0 x
y
5
6
3
Graf f Graf g Graf h
Percebemos que nas proximidades do ponto de abscissa 5x = o gráfico de g e o gráfico de h apresentam uma particularidade que não existe no gráfico de f :
5 5lim ( ) lim ( ) (5)
x xf x f x f
− +→ →= = ;
5lim ( ) 8
xg x
+→=
e 5
lim ( ) 6x
g x−→
= ; 5 5
lim ( ) lim ( ) 6 3 (5)x x
h x h x h+ −→ →
= = ≠ = .
As funções que apresentam comportamento similar ao da f , ou seja, lim ( ) lim ( ) ( )x c x c
f x f x f c− +→ →
= =
são chamadas de contínuas no ponto x c= , e são o objeto de estudo nesta seção.
Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b e ( , )c a b∈ . Dizemos que f é
contínua no ponto x c= se, lim ( ) ( )x c
f x f c→
= .
Uma definição equivalente a essa, utilizando ε e δ , é apresentada a seguir.
Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( , )a b e ( , )c a b∈ . Dizemos que f é
contínua em x c= se dado 0ε > existe 0δ > tal que ( ) ( )f x f c ε− < sempre que x c δ− < para
( , )x a b∈ .
O primeiro passo agora é provar que as duas definições apresentadas são equivalentes. Isto é, toda função que é contínua segundo uma definição também é contínua segundo a outra definição.
Vamos inicialmente provar que a segunda definição implica na primeira definição.
De fato, dado 0ε > existe 0δ > tal que se ( , ) ( , )x c c a bδ δ∈ − + ∩ tem-se | ( ) ( )| .f x f c ε− <
Como existe ( , ) ( , )x c c a b Iδ δ∈ − + ∩ = , pois I é um intervalo, temos que | ( ) ( )| .f x f c ε− < Assim,
por definição, tem-se lim ( ) ( )x c
f x f c→
= .
Agora, vamos mostrar que a primeira definição implica na segunda definição.
Suponha que a função f não satisfaça a segunda definição. Então, existe 0ε > tal que para cada *k ∈ � podemos obter ( , )kx a b∈ com 1| |k k
x c− < e | ( ) ( )|kf x f c ε− ≥ . Desse modo, obtemos
um conjunto de pontos de ( , )a b cujos elementos se aproximam de c, sem que a função, nesses pontos, se aproxime de f(c) . Isso contradiz a hipótese.
Se a função for definida num intervalo fechado [ , ]a b , ainda é possível definir continuidade nos extremos desse intervalo como segue.
Definição: Seja f uma função definida num intervalo fechado[ , ]a b . Dizemos que f é :
a) contínua à esquerda no ponto x b= se, e somente se, lim ( ) ( )x b
f x f b−→
= .
b) contínua à direita no ponto x a= se, e somente se, lim ( ) ( )x a
f x f a+→
= .
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado [ , ]a b se ela for contínua em todos os pontos do intervalo aberto ( , )a b , e contínua à direita em x a= e à esquerda em x b= .
Quando uma função não for contínua em um dos pontos de seu domínio diremos que ela é descontínua nesse ponto. A continuidade de uma função em um ponto é uma propriedade local da função.
As funções g e h cujos gráficos foram exibidos no início desta seção são descontínuas em 5x = . A função g é descontínua em 5x = porque não existe o
5lim ( )x
g x→
e a função h é descontínua em 5x = ,
pois embora exista 5
lim ( )x
h x→
, seu valor é diferente de (5)h .
Exemplo 36:Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços:
Número de cópias de um mesmo original Preço por cópia
de 1 a 19 R$ 0,10
de 20 a 49 R$ 0,08
50 ou mais R$ 0,06
Um estudante de matemática apresentou uma função que associa a cada número de cópias n o valor a ser pago: →� �f : é dada por.
≤ ≤= ≤ ≤ ≥
0,10 , 1 19
( ) 0,08 , 20 49
0,06 , 50
n n
f n n n
n n
.
Consideremos agora a função F dada por
≤ <= ≤ < ≥
0,10 , 0 20
( ) 0,08 , 20 50
0,06 , 50
x x
F x x x
x x
que coincide com a função f quando os valores de x são números naturais. O esboço do seu gráfico é apresentado a seguir.
0 20 50
1,6
2,0
4,0
3,0
x
F(x)
Observe que o gráfico não é contínuo. Veja, por exemplo, tirar 20 ou 50 cópias é mais vantajoso do que tirar 19 ou 49, respectivamente. Para que a função deixe de provocar tais distorções, a tabela deve ser reformulada de modo a se definir uma nova função G : + →� � , tal que seu gráfico não apresente “saltos” ou “depressões”. A função G : + →� � , pode ser dada por
≤ <= + ≤ < + ≥
0,10 , 0 20
( ) 0,08 0,40, 20 50
0,06 1,40, 50
x x
G x x x
x x
Agora a função G é contínua em seu domínio. Deixamos para o leitor a verificação desta afirmação.
Exercícios
18. Prove que a função 5( ) 6 2f x x x= + + é contínua para todo x ∈� .
19. Dada a função 23
8 , 0( ) 1
, 010
x x
f xx
≠= =
, determine seus pontos de descontinuidade, se existirem.
20. Estude a continuidade da função 3
5, 3
2, 3 0( )
, 0 3
10, 3
x
x xf x
x x
x
− = − − − < <=
≤ < =
.
Exemplo 37: A função ( ) senf x x= é contínua em 0x = .
De fato, queremos mostrar que 0
lim sen sen 0 0x
x→
= = . Como 0x ≠ , temos que = sensen
xx x
x.
Assim,
→ → → →
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = 0 0 0 0
sen senlim sen lim lim lim 0 1 0 sen0x x x x
x xx x x
x x.
Logo, f é contínua em = 0x .
Exemplo 38: A função ( ) cosf x x= é contínua em 0x = .
De fato, como 2cos 1 senx x= − para valores de x próximos de 0, segue que
( )→ → →
= − = − = = =2 2
0 0 0lim cos lim 1 sen lim 1 sen 1 1 cos0x x x
x x x .
Logo, f é contínua em = 0x .
Exemplo 39: Vamos mostrar que 0
1 coslim 0x
x
x→
− = .
De fato,
( ) ( )( ) ( )→ → →
− +− −= = =+ +
2
0 0 0
1 cos 1 cos1 cos 1 coslim lim lim
1 cos 1 cosx x x
x xx x
x x x x x
( )2
0 0 0
sensen senlim lim . lim 1 . 0 0
1 cos 1 cosx x x
xx x
x x x x→ → →= = = =
⋅ + +.
Logo, 0
1 coslim 0x
x
x→
− =
Exemplo 40: A função ( ) senf x x= é contínua.
Queremos mostrar que lim sen senx c
x c→
= , para todo c ∈� .
De fato, fazendo a mudança de variável x t c= + , temos que
( ) ( )0 0
lim sen lim sen lim sen .cos sen .cosx c t t
x t c t c c t→ → →
= + = + =
( ) ( )0 0
lim sen cos lim sen cost t
t c c t→ →
= ⋅ + ⋅ =
→ →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
0 0cos lim sen sen lim cos cos 0 sen 1 sen
t tc t c t c c c .
Logo, →
=lim sen senx c
x c . Portanto, a função seno é contínua em � .
Exercícios
21. Mostre que a função ( ) cosf x x= é contínua.
22. Calcule os limites a seguir:
a) 0
tglim
2x
x
x→ ; b)
→ −0lim
cos 1t
t
t ; c)
2
0lim
1 2cos2x
x
x→ − ;
d) 1
1lim
tg2
x
x
xπ→
−
; e) 4
40
tg (2 )lim
x
x
x→ ; f)
0lim
1 cosx
x
x→ − .
Propriedades: Sejam f e g funções definidas no intervalo [ , ]a b . Se f e g são contínuas em [ , ]c a b∈ , então:
(a) f g+ , f g− e f g⋅ são funções contínuas em c ;
(b) /f g é função contínua em c , se ( ) 0g c ≠ .
A demonstração dessas propriedades segue das propriedades de limites. Essas propriedades possibilitam afirmar que uma função é contínua ou não sabendo apenas se as partes que a compõem são ou não contínuas. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 41: A função 5
2
2 1( )
1
x xf x
x
+ +=−
é contínua em todos os pontos de seu domínio.
De fato, a função identidade ( )y x x= é contínua em qualquer ponto a ∈� , pois
→ →= = =lim ( ) lim ( )
x a x ay x x a y a . A função constante ( ) 1y x = também é contínua em todo a ∈� , pois
lim ( ) lim 1 1 ( )x a x a
y x y a→ →
= = = . Pelo item a da propriedade anterior as funções 5( )y x x= , ( ) 2y x x= ,
2( )y x x= e ( ) 1y x = − são contínuas em qualquer ponto a ∈� . Novamente, mediante o uso do item a,
concluímos que as funções 5( ) 2 1y x x x= + + e 2( ) 1y x x= − são contínuas em qualquer ponto a ∈� . Utilizando, agora, o item b, concluímos que a função f é contínua em todos os pontos de � que não sejam
zeros de 2( ) 1y x x= − , ou seja, f é contínua em todos os pontos do conjunto { 1,1} Dom f− − =� .
Exercícios
23. Demonstre os seguintes teoremas:
a) Se f é um polinômio, então f é contínua para x ∈� .
b) Se f é uma função racional, então f é contínua em todos os pontos onde não se anula o denominador.
24. Dadas as funções definidas por ( )y f x= a seguir, verifique se f é contínua nos pontos ex a x b= = indicados.
a)
2 7, 1
( ) 6, 1 2 , ( 1, 2)
2 4 , 2
x x
f x x a b
x x
− < −= − − ≤ ≤ = − = − >
b)
− < −= − − ≤ ≤ = − = − >
21 , 3
( ) 4 2 , 3 1, ( 3, 1)
3 , 1
x x
f x x x a b
x x
25. Mostre que as funções trigonométricas tg x, sec x, cotg x e cossec x são contínuas.
Falta-nos, até esse momento, um resultado acerca da continuidade de uma composição de funções que enunciaremos e demonstraremos a seguir.
Proposição: Sejam as funções : [ , ]f a b → � e : [ , ]g c d → � com Im [ , ]f c d⊂ . Se f é contínua
em 0 [ , ]x a b∈ e g é contínua em 0 0( )y f x= , então a função composta ( ) : [ , ]g f a b →o � é contínua em
0x .
Demonstração: A função og f está definida no ponto 0 [ , ]x a b∈ e
0 0 0( )( ) ( ( )) ( )g f x g f x g y= =o . Precisamos mostrar que o( )g f é contínua em 0x , isto é, que dado
0ε > existe 0δ > tal que se 0| |x x δ− < , então 0|( )( ) ( )( )|g f x g f x ε− <o o .
Como g é contínua em 0y , dado 0ε > existe 1 0δ > tal que se 0 1y y δ− < , então
0( ) ( )g y g y ε− < . Como f é contínua em 0x , para o 1 0δ > , que existe da continuidade de g , existe
2 0δ > tal que se 0 2| | δ− <x x , então 0 1( ) ( )f x f x δ− < . Agora, como 0 1( ) ( ) ,f x f x δ− < então
podemos concluir que 0( ( )) ( ( ))g f x g f x ε− < . Isto é, o( )g f é contínua em 0x . �
Apresentaremos a seguir os enunciados de dois teoremas que são fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, porém suas demonstrações serão omitidas neste texto.
Teorema (do Valor Intermediário): Se f é uma função contínua em [ , ]a b e se ( ) ( )f a f b≠ , então para todo k entre f(a) e f(b) existe pelo menos um ( , )c a b∈ tal que ( )f c k= .
Exemplo 42: Considere a função 2( ) 5f x x= − definida no intervalo [ 2,3 ] . Como esta função é contínua neste intervalo e, além disso, (2) 1f = − e (3) 4f = , o teorema acima garante que, qualquer que seja o número k , escolhido entre 1− e 4, existe um número c, entre 2 e 3, tal que ( )f c k= , isto é, a equação
2 5c k− = tem solução no intervalo ( 2, 3 ) qualquer que seja o número k entre 1− e 4. Por exemplo, se
escolhemos 0k = , observamos que ( 5 ) 0f = e 5 ( 2, 3 )∈ .
Teorema (do Anulamento ou de Bolzano): Se f é uma função contínua em [ , ]a b e se ( )f a e ( )f b têm sinais contrários, então existe pelo menos um ( , )c a b∈ tal que ( ) 0f c = .
Exemplo 43: A função 3( ) 3 6 2f x x x= − + tem pelo menos uma raiz entre 1 e 2. De fato, como f é contínua em [1, 2 ] e (1) 1f = − e (2) 14f = , existe pelo menos um (1, 2 )c ∈ tal que ( ) 0f c = .
Teorema (Conservação de sinal): Seja f uma função contínua em x c= , ( , )c a b∈ tal que ( ) 0f c > . Então, existe 0δ > tal que se ( , )x c cδ δ∈ − + , então ( ) 0f x > .
Demonstração: Como f é contínua em ( , )c a b∈ , dado 0ε > , existe 0δ > tal que se
x c δ− < , então ( ) ( )f x f c ε− < , ou seja, ( ) ( )f x f cε ε− < − < . Assim, se x c δ− < tem-se
( ) ( ) ( )f c f x f cε ε− < < + . Tomando ( )f cε ≤ tem-se que 0 ( ) ( )f x f c ε< < + . Portanto,
( ) 0f x > , para todo x satisfazendo x c δ− < . �
Exercício 26: Enuncie e demonstre o teorema da conservação de sinal, considerando ( ) 0f c < .
Teorema (Continuidade da função inversa): Seja f uma função crescente e contínua em [ , ]a b . Se a imagem de f é o intervalo [ , ]c d , onde ( ) e ( )c f a d f b= = , então a função inversa
1 :[ , ] [ , ]f c d a b− → é crescente e contínua.
Demonstração: Vamos mostrar inicialmente que [ , ]Im f = c d . Como f é crescente, temos que ( ) ( )f a f b< . Além disso, como f é contínua, segue do Teorema do Valor Intermediário que para todo ( ) ( )f a y f b< < , existe um único ( , )x a b∈ tal que ( )y f x= . Tomando ( ) e ( )f a c f b d= = , temos o
desejado. Mostremos agora que 1f − é crescente em [ , ]c d . Como 1f − está definida em [ , ]c d , tomemos
1 2, [ , ]y y c d∈ tal que 1 2y y< . Seja ( )11 1x f y−= e ( )1
2 2x f y−= . Para demonstrar o desejado,
devemos mostrar que 1 2x x< . Suponhamos que 1 2x x≥ . Como f é crescente, tem-se que 1 2( ) ( )f x f x≥ ,
isto é, 1 2y y≥ , o que é uma contradição. Logo, 1 2x x< e assim −1f é crescente em [ , ]c d . Para concluir
a demonstração, mostremos que 1f − é contínua em [ , ]c d . Queremos mostrar que:
(1) 0
1 10lim ( ) ( )
y yf y f y− −
→= , se 0 ( , )y c d∈ ;
(2) +
− −
→=1 1lim ( ) ( )
y cf y f c ;
(3) −
− −
→=1 1lim ( ) ( )
y df y f d .
Vamos demonstrar (1): Seja 0 ( , )x a b∈ tal que 0 0( )f x y= (existe, pois =Im [ , ]f c d e
∈0 ( , )y c d ), ou equivalentemente, 10 0( )x f y−= . Assim, devemos mostrar que dado 0ε > existe 0δ > tal
que 1 10( ) ( )f y f y ε− −− < sempre que 0y y δ− < . Como a função f é contínua, podemos escolher
0δ > de modo que
( ) ( )0 0 0 0, ( ), ( )y y f x f xδ δ ε ε− + ⊂ − + .
Para isto, basta tomar 0 0 0 0min{ ( ) ( ); ( ) ( )}f x f x f x f xδ ε ε= − − + − .
Porém,
0 0 0y y y y yδ δ δ− < ⇒ − < < + ⇒ 0 0( ) ( )f x y f xε ε− < < + .
Como 1f − é crescente, podemos escrever:
( ) ( )1 1 10 0( ) ( ) ( )f f x f y f f xε ε− − −− < < + ⇒ 1
0 0( )x f y xε ε−− < < + ⇒
( ) ( )1 1 10 0( )f y f y f yε ε− − −− < < + ⇒ 1 1
0( ) ( )f y f y ε− −− < .
Logo,0
1 10lim ( ) ( )
y yf y f y− −
→= , se 0 ( , )y c d∈ . Demonstraremos, agora, (2), ou seja, que 1f − é
contínua em c . Dado 0ε > , devemos mostrar que existe 0δ > tal que 1 1( ) ( )f y f c ε− −− < sempre que
0 y c δ< − < . Como a função f é contínua e crescente, podemos escolher 0δ > de modo que
( ) ( ), , ( )c c a f aδ ε+ ⊂ + .
para isto, basta tomar por exemplo, ( )f a cδ ε= + − . Porém,
0 y c δ< − < ⇒ < < + ⇒c y c δ < < +( )c y f a ε .
Como 1f − é crescente, podemos escrever:
( )− − −< < + ⇒1 1 1( ) ( ) ( )f c f y f f a ε − −< < + ⇒1 1( ) ( )f c f y a ε
( )− − −⇒ < < + ⇒1 1 1( ) ( )f c f y f c ε 1 1( ) ( )f y f c ε− −− <
Assim, +
− −
→=1 1lim ( ) ( )
y cf y f c . Deixamos como exercício a demonstração de (3), ou seja, que 1f − é
contínua em d. �
Corolário: Se n é um inteiro positivo e ( ) nf x x= , então:
a) se n é ímpar, f é contínua para todo número real;
b) se n é par, f é contínua para todo número não negativo.
Demonstração: Basta observar que a função ( ) nf x x= é contínua, pois é a função inversa da
função ( ) ng x x= restrita a um domínio apropriado, onde é crescente.
a) Se n é ímpar, g é crescente em � e assim, pelo Teorema da Continuidade da Função Inversa, temos a continuidade de f .
b) Se n é par, g é crescente para todo número não negativo e novamente pelo Teorema da Continuidade da Função Inversa, temos a continuidade de f para este n .
Exemplo 44: Agora é possível demonstrar duas propriedades de limites que enunciaremos novamente:
Seja f uma função cujo domínio contém o intervalo ( , )a b e ( , )c a b∈ . Se lim ( )x c
f x L→
= , então:
a) lim ( ) nn
x cf x L
→= , se n é um número natural ímpar;
b) lim ( ) nn
x cf x L
→= , se n é número natural par não-nulo e 0L ≥ .
Consideremos a função h definida por ( ) nh x x= . Então, a função composta h fo é definida por
( )h f x =o ( ( )) ( )nh f x f x= . Segue da continuidade da composta e do corolário acima que h fo é
contínua em c se n é ímpar, ou se n é par não-nulo e 0L ≥ . Logo,
( )lim ( ) lim ( ( )) lim ( ) ( ) nn
x c x c x cf x h f x h f x h L L
→ → →= = = = se n é ímpar, ou se n é par não-nulo e
0L ≥ .
Teorema (de Weierstrass): Se f é uma função contínua em [ , ]a b , então existem 1 2, [ , ]x x a b∈
tais que 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ , para todo [ , ]x a b∈ .
No teorema anterior, o valor 1( )f x é chamado mínimo absoluto de f em [ , ]a b e 2( )f x é
chamado valor máximo absoluto de f em [ , ]a b . Estes conceitos serão abordados com detalhes quando estudarmos as derivadas.
Exercícios
27. Dado o gráfico de uma função ( )y f x= a seguir, determine o que se pede, se possível:
0 x
y
1–1–2–3–5 2 4 6
1
2
3
4
a) Dom f b) Im f c) (0)f d) −( 2)f
e) (2)f f) ( 5 )f g) ( 7 )f h) ( (0))f f
i) 0
lim ( )x
f x→
j) −→−2
lim ( )x
f x l) +→−2
lim ( )x
f x m) →2
lim ( )x
f x
n) +→1
lim ( )x
f x o) 1
lim ( )x
f x−→−
p) →+∞lim ( )
xf x q)
→−∞lim ( )
xf x
r) → 11lim ( )
xf x s) s)
5lim ( )
x
f x−→ −
t) 5
lim ( )x
f x→
u) → 11lim ( )
xf x
28. Com base nas respostas acima, responda:
(a) f é contínua em 5, 2, 1, 2, 0, 5 , 11x = − − − ?
(b) A reta 5x = é uma assíntota vertical do gráfico de f ? Justifique sua resposta.
(c) Quais as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f ?
