-
LIMITES
VECINDADES: Se llama vecindad de centro c y radio > 0 al
intervalo abierto de centro c y extremos c - y c + y se le denota
por: V (c) V (c) = El punto medio precisamente es x = c
c - c c + R
| | Se llama vecindad de centro L y radio > 0 al intervalo
abierto de centro L y extremos L - y L + y se le denota por: V(L)
V(L) = < L , L + > El punto medio precisamente es f(x) =
L
L+ L | | L
NOTA: Dados una funcin f, un subconjunto A Dom f, y la vecindad
V(L) de centro
L y radio >0, entonces siendo f(A) el conjunto imagen de A va
f se tiene la siguiente equivalencia: | | , Observe la relacin
dada, indica que la imagen f(A) del conjunto AC Dom f cae
precisamente dentro de la vecindad V(L) de longitud 2, aunque no
tenga que cubrirlo necesariamente. L+ f(x) f(A) V(L) L
L-
x
A V (c))
-
Ejemplo:
Dada la funcin 3 1, 11, 4 Demostrar que xV0.0033(4)) f(x)V0.01
(11) tanto analticamente como grficamente.
Solucin:
V0.0033 (4) = =
V0.01 (11) = =
y = f(x) = 3x - 1 11.01 11.0099 f(x) V0.01 (11) 11 10.9901 10.99
3.9967 4 x 4.0033 V0.0033 (4) DEFINICION: El lmite de una funcin
f(x), cuando x tiende a c es igual a L, es decir:
lim 0, 0 | | | | METODO GENERAL PARA ENCONTRAR
En la definicin de lmite, para encontrar un se hace de la
siguiente manera: Paso 1: Se descompone | | en dos factores, en
donde uno de los cuales debe ser | | es decir: | | | | Paso 2:
Acotamos h(x) K, para algn K dentro de un intervalo 0 | | ,
| |
2 Paso 3: 0 | | | | ||| | | | : | | Paso 4: Luego el , se escoge
el mnimo entre 1 y 2
,
-
Paso 5: Se tiene
0 | | | | lim
y=f(x)
f(x)L
c- c c+ x
Ejemplo: Demostrar:
lim
Para f(x)=3x-1, c = 4, L = 11
Sea 0 muy pequeito/ | |
|3 1 11| |3 12| 3| 4|
| 4| 3 | |
/ la definicin se cumple
-
LIMITES
DEFINICION: El lmite de f(x) cuando x se acerca a c, es el nmero
L, escrito:
lim
El lmite es el mismo por la derecha o la izquierda (x < c o x
> c)
Ejemplos: Lmites que existen
f(x) = x + 2
3 4
1 2
lim 1 1 3 limx 2 4
Ejemplos: Lmites que no existen
y = f(x)
4
3
2
2
lim 4, lim 2 lim lim1
-
Conforme x se acerca ms y ms a cero los valores de f(x) se hacen
ms y ms grandes.
LIMITES LATERALES
DEFINICION 1: Sea f(x) una funcin real, c y L pertenecen a R,
con c no necesariamente en el Df ; entonces:
i) El limite lateral derecho de f(x)cuando x tiende a c por la
derecha esta denotado por:
lim
Ejemplo: Sea 1 1 lim 1 0
1
-1
ii) El limite lateral izquierdo de f(x)cuando x tiende a c por
la izquierda esta denotado por:
lim
Ejemplo: Sea 4 4 lim 4 0
4
4
-
DEFINICION 2: El lim existe; (cuando es igual a L) si solo si se
cumple que los limites laterales existen y ambos son iguales.
lim
lim
lim
Ejemplo: Analizar la existencia del lmite de la funcin:
lim 1 5
lim 1 5
lim 1 5
lim 1 5
Ejemplo: Analizar la existencia del lmite, si la funcin es una
funcin compuesta:
2, 1, 1
lim lim 2 2
lim
lim lim 1
PROPIEDADES DE LMITES
lim , lim "k" es una constante :
Ejemplo: lim 10 10
Ejemplo:
lim 2 32
-
Ejemplo:
lim lim
lim 2 2 8 4 12
Ejemplo:
lim 1 lim 1 lim 3 13 12
;
Ejemplo:
lim
2 lim
lim 2 3
3 2 91 9
Ejemplo:
lim 2 1 2 lim
1 , 22 1 10
Ejemplo:
lim 3 3 lim3 3
38 3 3
g) Si f es una funcin polinomial entonces:
Ejemplo:
lim 3 3 1 31 1 3 2 1
-
LIMITES INFINITOS
Se considera la funcin y = f(x) entonces:
i) En el lmite de una funcin, cuando x se aproxima a c por la
derecha f(x) se hace infinito positivo (no siempre, depende de la
grafica)
lim ii) En el lmite de una funcin, cuando x se aproxima a c por
la izquierda f(x) se
hace infinito negativo (no siempre, depende de la grafica)
lim
Ejemplos:
lim1
lim
1
lim
1
lim1
LIMITES AL INFINITO
Sea la forma de una funcin
lim1 0 lim
1 0
Sea la forma de una funcin , 0
lim1
0 lim1
0
-
Ejemplos:
lim1
lim1
0
lim4 52 1 lim
4 5
2 1
lim4 52 1
42 2
PROPIEDAD: Limites al Infinito de Funciones Racionales Si f(x)
es una funcin racional donde son los trminos en el numerador y
denominador con las mayores potencias de x entonces:
lim lim lim lim
Ejemplos:
lim 35 2 lim
2 lim
12 0
CONTINUIDAD
Una funcin f es continua en c si y solo si se cumple las tres
condiciones siguientes: i) f(x) est definida en x=c (significa que
c esta en el dominio de f). lim lim lim
lim Ejemplo: Demostrar que g(x) = x2 3 es continua en x = -4
i) f(-4) =13 est definida en x=-4 (significa que -4 est en el
dominio de f). limx
3 13 , limx 3 limx
3 13 limx
3 13 4 Representamos grficamente la funcin:
-4
-
Ejemplo:
2, 2, 2
i) f(2) = no est definida en x=2 (significa que 2 no est en el
dominio de f). Basta que 2 no est en el dominio para darnos cuenta
que la funcin no es continua, aunque los siguientes pasos se
cumplan
Concluimos que la funcin no es continua cuando x = 2 lim fx 4 ,
limx 2 lim x
4 lim fx 4 2
Representamos grficamente la funcin:
4
2
