Limites no Infinito; Assíntotas

Horizontais

Limites no Infinito; Assíntotas Horizontais

Nesta seção vamos tornar x arbitrariamente grande (positivo ou negativo) e ver o que acontece com y. Vamos começar pela análise do comportamento da função f definida por

2

2

1

1

xf x

x

quando x aumenta.

gráfico de f feito por um computador

A tabela a seguir fornece os valores dessa função, com precisão de seis casas decimais

2

2

1

1

xf x

x

Figura 1

• Quanto maior o x, mais próximos de 1 ficam os valores de f (x). De fato, temos a impressão de que podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 1 quanto quisermos se tonarmos um x suficientemente grande. Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo

Em geral, usamos a notação

para indicar que os valores de f (x) ficam cada vez mais próximos de L à medida que x fica maior.

As ilustrações geométricas da Definição 1 estão representadas na Figura

Observe que existem muitas formas de o gráfico de f aproximar-se da reta y = L (chamada assíntota horizontal) quando olhamos para a extremidade direita de cada gráfico.

Com relação ainda à Figura 1, vemos que para os valores negativos de x com grande valor absoluto, os valores de f (x) estão próximos de 1.

Fazendo x decrescer ilimitadamente para valores negativos, podemos tornar f (x) tão próximo de 1 quanto quisermos.

Isso é expresso escrevendo

Figura 1

A definição geral é dada a seguir.

Exemplos ilustrando

Exemplo

Observe que quando x é grande, 1/x é pequeno. Por exemplo,

De fato, tomando x grande o bastante, podemos fazer 1/x tão próximo de 0 quanto quisermos.

Figura 6

Exemplo: Calcule

Exemplo: Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função

Limites Infinitos no Infinito

Exemplo

Derivadas e Taxas de Variação

O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e o problema para encontrar a velocidade de um objeto envolvem determinar o mesmo tipo de limite.

Este tipo especial de limite é chamado derivada e veremos que pode ser interpretado como uma taxa de variação tanto nas ciências quanto na engenharia.

Tangentes Se uma curva C tiver uma equação y = f (x) e quisermos encontrar a reta tangente a C em um ponto P (a, f (a)), consideramos um ponto próximo Q (x, f (x)), onde x≠a, e calculamos a inclinação da reta secante PQ:

Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a a.

Se mPQ tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m. (Isso implica dizer que a reta tangente é a posição-limite da reta secante PQ quando Q tende a P. Veja a Figura)

Algumas vezes nos referimos à inclinação da reta tangente como a inclinação da curva no ponto. A ideia por detrás disso é que, se dermos zoom (suficiente) em direção ao ponto, a curva parecerá quase uma reta.

Há outra expressão para a inclinação da reta tangente

Velocidades

Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f (t), na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve o movimento é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a + h, a variação na posição será de f (a + h) – f (a).

Derivadas

Taxas de Variação

Exemplo