Prof.Prof. M.FerraraM.Ferrara

I Limiti di una funzioneI Limiti di una funzione

ANNO ACCADEMICO 2009ANNO ACCADEMICO 2009--20102010

Studio del Grafico di una Studio del Grafico di una

FunzioneFunzione

�� Il campo di esistenza e gli eventuali punti Il campo di esistenza e gli eventuali punti singolari;singolari;

�� Il segno della funzione;Il segno della funzione;

�� I limiti della funzione agli estremi del I limiti della funzione agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti;dominio e gli eventuali asintoti;

�� La derivata prima e, tramite il suo segno, La derivata prima e, tramite il suo segno, la crescenza o decrescenza della funzione, la crescenza o decrescenza della funzione, gli eventuali punti di massimo e minimo gli eventuali punti di massimo e minimo locale ed i flessi a tangente orizzontale;locale ed i flessi a tangente orizzontale;

�� La derivata seconda, la concavitLa derivata seconda, la concavitàà e gli e gli eventuali flessi a tangente obliqua.eventuali flessi a tangente obliqua.

Le Le FunzioneFunzione StudiateStudiate

�� Funzioni Funzioni intere intere polinomialipolinomiali;;

�� FunzioniFunzioni razionalirazionali; ;

�� Funzioni Funzioni algebriche algebriche irrazionaliirrazionali;;

�� FunzioniFunzioni goniometrichegoniometriche;;

�� FunzioniFunzioni esponenzialiesponenziali;;

�� FunzioniFunzioni logaritmichelogaritmiche;;

�� Funzioni Funzioni oscillantioscillanti;;

Dalla Storia Dalla Storia ……

�� LL’’idea di limite si può far risalire al metodo di idea di limite si può far risalire al metodo di

esaustione di Eudosso (IV secolo a.C.) e dei esaustione di Eudosso (IV secolo a.C.) e dei

geometri greci che lo hanno seguito.geometri greci che lo hanno seguito. TaleTale metodo metodo

fu poi potenziato da Archimede (II secolo a.C.).fu poi potenziato da Archimede (II secolo a.C.).

�� La nozione di limite nasceva però solo in una La nozione di limite nasceva però solo in una

forma geometrica intuitiva. Cosforma geometrica intuitiva. Cosìì, ad es., una , ad es., una

piramide appariva come il limite della somma di piramide appariva come il limite della somma di

tanti prismi in essa inscritti (o circoscritti).tanti prismi in essa inscritti (o circoscritti).

�� La nozione entrò nellLa nozione entrò nell’’ambito dellambito dell’’Analisi pura Analisi pura

con Wallis (1656) e, in una forma picon Wallis (1656) e, in una forma piùù completa e completa e

rigorosa, con Bolzano (1817), Cauchy (1823) e, rigorosa, con Bolzano (1817), Cauchy (1823) e,

soprattutto, Weierstrass (1885).soprattutto, Weierstrass (1885).

Nozione di LimiteNozione di Limite

�� Data la Data la funzionefunzione di dominio Ddi dominio Dff..

�� La La funzionefunzione non non èè definita per x = 2; la si definita per x = 2; la si può tuttavia calcolare in punti che si può tuttavia calcolare in punti che si approssimano a 2 tanto per approssimano a 2 tanto per difettodifetto quanto quanto per per eccessoeccesso. .

�� Si osservi dalle tabelle 1 e 2 che, a mano Si osservi dalle tabelle 1 e 2 che, a mano a mano che x si avvicina a 2, i valori di a mano che x si avvicina a 2, i valori di f(x) si avvicinano sempre pif(x) si avvicinano sempre piùù a 8.a 8.

�� Il concetto Il concetto ““sempre pisempre piùù vicino a vicino a …”…”, per , per ora solo intuitivo, si può esprimere come ora solo intuitivo, si può esprimere come ……

�� Tale scrittura (limite) Tale scrittura (limite) èè uguale a uguale a ……

�� Prima di dare, in generale, la definizione Prima di dare, in generale, la definizione

di limite per una funzione occorre di limite per una funzione occorre

osservare:osservare:

�� Per quali punti xPer quali punti x00 si pone il problema: si pone il problema:

““cercare il limite della funzione in xcercare il limite della funzione in x00””;;

�� Cosa vuol dire che Cosa vuol dire che ““in xin x00 la funzione ha la funzione ha

come limite un certo valore lcome limite un certo valore l””

Gli intorni di un punto Gli intorni di un punto

�� Nella definizione di limite la nozione di Nella definizione di limite la nozione di intornointorno di un assegnato elemento xdi un assegnato elemento x00єє R ha R ha importanza fondamentale. Si tratta di un importanza fondamentale. Si tratta di un qualsiasi intervallo aperto contenente il qualsiasi intervallo aperto contenente il punto in oggetto.punto in oggetto.

�� Se xSe x00 = 1, l= 1, l’’intervallo aperto I =]0;3[ intervallo aperto I =]0;3[ èè un un intorno completo di 1. In questo caso intorno completo di 1. In questo caso δδ1 1 =1 =1 e e δδ2 2 =2 perch=2 perchéé si può scrivere: I =]1si può scrivere: I =]1--1;1+2[. 1;1+2[.

Questo intorno ha ampiezza Questo intorno ha ampiezza δδ11+ + δδ22=1+2= 3=1+2= 3

�� Quando Quando δδ11==δδ22, il punto x, il punto x00 èè il punto medio il punto medio delldell’’intervallo. In questo caso si può intervallo. In questo caso si può parlare di parlare di intorno circolare intorno circolare di xdi x00..

�� LL’’intorno intorno circolarecircolare del punto 5 di raggio 2 del punto 5 di raggio 2 èè ]5]5--2;5+2[ ossia ]3;7[. Poich2;5+2[ ossia ]3;7[. Poichéé ll’’intorno intorno circolare di xcircolare di x00 di raggio di raggio δδ èè ll’’insieme dei insieme dei punti x punti x єє R tali che: R tali che:

xx00-- δδ < x < x< x < x00+ + δδ

ciocioèè tali che tali che -- δδ < x< x-- xx00 < + < + δδ. Si può allora . Si può allora scrivere: Iscrivere: I

δδ(x(x00)= {x )= {x єє R : R : | | xx-- xx0 0 |<|< δδ}.}.

�� LL’’intornointorno destro e ldestro e l’’intorno sinistro di un intorno sinistro di un puntopunto..

�� Gli Gli intorni di infinitointorni di infinito..

�� Punto di accumulazionePunto di accumulazione. Il termine . Il termine accumulazioneaccumulazione indica che i punti di A si indica che i punti di A si accumulano, si addensano intorno al accumulano, si addensano intorno al punto xpunto x00. .

�� EsempioEsempio……

Definizione di Limite Finito di Definizione di Limite Finito di

una funzione per x che tende a un una funzione per x che tende a un

valore finito valore finito

�� IntuitivamenteIntuitivamente……

�� LaLa definizionedefinizione ……

�� PoichPoichéé il limite per x che tende a xil limite per x che tende a x00 di f(x) di f(x)

èè un numero reale l, si dice che il limite un numero reale l, si dice che il limite èè

““finitofinito””(nel senso che non (nel senso che non èè ∞∞).).

�� La validitLa validitàà della condizione della condizione |f(x)|f(x)-- l|<l|<єє

presuppone che presuppone che f(xf(x00) sia ) sia definita in I definita in I

(escluso al pi(escluso al piùù xx00). Il punto x). Il punto x00 èè di di

accumulazione per il dominio della accumulazione per il dominio della

funzione.funzione.

�� Spesso si prende come intorno di xSpesso si prende come intorno di x00 un un

intorno circolare intorno circolare IIδδ(x(x00) e quindi la ) e quindi la

definizione precedente si può formulare definizione precedente si può formulare

anche cosanche cosìì: : ……

�� IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONEIL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE

Nella definizione appena data, quando si Nella definizione appena data, quando si

dice dice ““єє reale positivoreale positivo”” in effetti si in effetti si

considerano valori di considerano valori di єє che si avvicinano che si avvicinano

a zero. La zero. L’’ampiezza ampiezza δδєєdipende dalla scelta dipende dalla scelta

di di єє..

�� Interpretiamo Interpretiamo |f(x) |f(x) -- l|< l|< єє::

Esplicitando il valore assoluto nella Esplicitando il valore assoluto nella

espressione espressione |f(x) |f(x) -- l|< l|< єє si ottiene: si ottiene:

-- єє < f(x) < f(x) –– l < l < єє, l, l-- єє < f(x) < l+< f(x) < l+єє ossia,ossia,

f(x) appartiene allf(x) appartiene all’’intorno ]lintorno ]l--єє;l+;l+єє[.[.

�� Interpretiamo la definizioneInterpretiamo la definizione::

La definizione dice che, fissato un La definizione dice che, fissato un єє

qualsiasi, anche qualsiasi, anche ““molto vicino a molto vicino a

zerozero””, troviamo sempre un intorno di , troviamo sempre un intorno di

xx00 tale che per ogni x di quelltale che per ogni x di quell’’

intorno f(x) appartiene a ]lintorno f(x) appartiene a ]l--єє;l+;l+єє[, [,

ciocioèè èè ““molto vicinomolto vicino”” a a ll..

�� Il raggio Il raggio δδ delldell’’intorno trovato intorno trovato

dipende da dipende da єє: : δδ = = єє/2 /2

�� Forme indeterminateForme indeterminate..

Scheda di VerificaScheda di Verifica

�� Per quali punti xPer quali punti x00 si pone il si pone il

problema di problema di ““cercare il limite della cercare il limite della

funzione in xfunzione in x00”” ? ? MotivareMotivare la la

risposta con degli esempi.risposta con degli esempi.

�� Cosa vuol dire che Cosa vuol dire che ““in xin x00 la funzione la funzione

ha come limite un certo valore ha come limite un certo valore ll”” ??

�� Calcolare i seguenti limiti Calcolare i seguenti limiti ……

��Gli intorni di un punto Gli intorni di un punto ……

Limite Destro, limite SinistroLimite Destro, limite Sinistro

�� Definizione Definizione limite destrolimite destro..

�� La rappresentazione grafica La rappresentazione grafica ……

�� La scrittura x xLa scrittura x x00+ + si legge si legge ““x tende a xx tende a x00

da destrada destra””. Significa che x si avvicina a x. Significa che x si avvicina a x00restando però sempre maggiore di xrestando però sempre maggiore di x00..

�� Definizione Definizione limite sinistrolimite sinistro..

�� La rappresentazione grafica La rappresentazione grafica ……

�� La scrittura x xLa scrittura x x00-- si legge si legge ““x tende a xx tende a x00

da sinistrada sinistra””. Significa che x si avvicina a . Significa che x si avvicina a

xx00 restando però sempre minore di xrestando però sempre minore di x00..

�� OsservazioneOsservazione

Limite Infinito di una funzione Limite Infinito di una funzione

per x che tende a un valore finitoper x che tende a un valore finito

�� Data la funzione Data la funzione ……

�� Vogliamo esaminare il problema della Vogliamo esaminare il problema della ricerca del limite nel punto xricerca del limite nel punto x00= = --1.1.

�� Attribuendo a x valori che si avvicinano Attribuendo a x valori che si avvicinano sempre pisempre piùù a a --1, tanto per 1, tanto per difettodifetto quanto quanto per per eccessoeccesso, si osserva che i , si osserva che i corrispondenti valori di f(x) risultano via corrispondenti valori di f(x) risultano via via crescenti. via crescenti.

�� Osservando le tabelle si nota un fenomeno Osservando le tabelle si nota un fenomeno importante: pur non ottenendo la importante: pur non ottenendo la stabilizzazione dei valori della funzione stabilizzazione dei valori della funzione su un numero ben preciso, come avveniva su un numero ben preciso, come avveniva nel caso del limite finitonel caso del limite finito

�� I valori di f(x) tuttavia crescono a mano a I valori di f(x) tuttavia crescono a mano a mano che si sceglie x pimano che si sceglie x piùù vicino a vicino a --1.1.

�� A questo comportamento di valori sempre A questo comportamento di valori sempre pipiùù grandi si dgrandi si dàà il nome di limite piil nome di limite piùùinfinito (+ infinito (+ ∞∞), intendendo con ciò che le ), intendendo con ciò che le cose vanno come se possedessimo un cose vanno come se possedessimo un numero numero fantasiosofantasioso che fosse che fosse ““il piil piùùgrande di tuttigrande di tutti”” da chiamarsi da chiamarsi ““+ + ∞∞”” e i e i valori della funzione si avvicinassero a valori della funzione si avvicinassero a esso.esso.

�� Si badi bene che lSi badi bene che l’’aggettivo fantasioso aggettivo fantasioso èè il il pipiùù adatto: + adatto: + ∞∞ non non èè numero, per la numero, per la semplice ragione che non esiste alcun semplice ragione che non esiste alcun numero pinumero piùù grande di tutti. Dire invece grande di tutti. Dire invece che la funzione tende al limite + che la funzione tende al limite + ∞∞ èè lecito lecito e appropriato per indicare il fenomeno e appropriato per indicare il fenomeno osservato nelle tabelle.osservato nelle tabelle.

�� Si riconduce perciò il limite Si riconduce perciò il limite ““pipiùù

infinitoinfinito””alla possibilitalla possibilitàà per la funzione di per la funzione di

assumere valori sempre piassumere valori sempre piùù grandi. Si grandi. Si

scrive allora scrive allora ……

�� LL’’andamento della funzione andamento della funzione èè ……

�� Si può riassumere quanto si Si può riassumere quanto si èè detto detto

mediante la seguente mediante la seguente definizionedefinizione..

�� La rappresentazione grafica relativa a La rappresentazione grafica relativa a

tale definizione tale definizione èè ……

�� Analogamente si può dare la seguente Analogamente si può dare la seguente

definizionedefinizione..--

�� La rappresentazione grafica relativa a La rappresentazione grafica relativa a

tale definizione tale definizione èè ……

�� I limiti I limiti destro e sinistro destro e sinistro infiniti.infiniti.

�� Gli Gli asintoti verticaliasintoti verticali..

�� EsempioEsempio ……

Scheda di VerificaScheda di Verifica

�� Quando si dice che una funzione diverge Quando si dice che una funzione diverge

positivamente? E negativamente? Motivare positivamente? E negativamente? Motivare

la risposta con degli esempi.la risposta con degli esempi.

�� Cosa implica lCosa implica l’’esistenza di un asintoto esistenza di un asintoto

verticale? La funzione come deve essere? verticale? La funzione come deve essere?

�� Calcolare i seguenti limiti Calcolare i seguenti limiti ……

Il Limite finito di una funzione Il Limite finito di una funzione

per x che tende allper x che tende all’’infinitoinfinito

�� Data la funzione Data la funzione ……, definita in R escluso , definita in R escluso

1.1.

�� Il relativo grafico Il relativo grafico èè ……

�� In quale valore si stabilizza?In quale valore si stabilizza?

�� Pensiamo per esempio al numero delle Pensiamo per esempio al numero delle

bottiglie, di una nuova bevanda, vedute ogni bottiglie, di una nuova bevanda, vedute ogni

giorno. Si tratta di una funzione del tempo, giorno. Si tratta di una funzione del tempo,

che, dopo eventuali brusche variazioni nel che, dopo eventuali brusche variazioni nel

primo periodo, dovute per esempio a un primo periodo, dovute per esempio a un

diverso impatto pubblicitario, si stabilizza diverso impatto pubblicitario, si stabilizza

su una certa quota giornaliera su una certa quota giornaliera costantecostante..

�� Per indicare il comportamento descritto Per indicare il comportamento descritto si parla di si parla di limite di una funzione limite di una funzione allall’’infinitoinfinito, precisando tale concetto di , precisando tale concetto di limite nel modo limite nel modo seguenteseguente

�� La La rappresentazionerappresentazione graficagrafica della della funzione f funzione f èè ……

�� Analoga alla precedente Analoga alla precedente èè la definizione la definizione seguenteseguente

�� La relativa La relativa rappresentazionerappresentazione grafica grafica èè ……

�� X tende a X tende a ∞∞:: i due casi precedenti possono i due casi precedenti possono essere riassunti in uno solo se si essere riassunti in uno solo se si considera un intorno di considera un intorno di ∞∞ determinato determinato dagli x per i quali dagli x per i quali |x|> c per cui|x|> c per cui ……

�� Il limite Il limite ……

�� Gli Gli asintoti orizzontaliasintoti orizzontali..

�� EsempioEsempio ……

�� Osservazione 1Osservazione 1

�� Osservazione 2Osservazione 2

Scheda di VerificaScheda di Verifica�Quali funzioni non ammettono limite Quali funzioni non ammettono limite

allall’’infinito? Motivare la risposta con degli infinito? Motivare la risposta con degli

esempi.esempi.

�� La La funzionefunzione y = (sen x)/x ha limite allo y = (sen x)/x ha limite allo

infinito? Motivare la risposta. Se si infinito? Motivare la risposta. Se si

calcolarlo. calcolarlo.

�� Il grafico di una funzione può intersecare Il grafico di una funzione può intersecare

ll’’asintoto orizzontale? E quello verticale? asintoto orizzontale? E quello verticale?

Motivare le risposte con degli esempi.Motivare le risposte con degli esempi.

��Calcolare i seguenti limiti Calcolare i seguenti limiti ……

Limite infinito di una funzione Limite infinito di una funzione

per x che tende allper x che tende all’’infinitoinfinito

�� Data la funzione Data la funzione …… , definita in R., definita in R.

�� Il relativo grafico Il relativo grafico èè ……

�� Il limite per x che tende a piIl limite per x che tende a piùù infinito vale infinito vale pipiùù infinito (infinito (la funzione diverge la funzione diverge positivamentepositivamente); il limite per x che tende a ); il limite per x che tende a meno infinito vale meno infinito (meno infinito vale meno infinito (la la funzione diverge funzione diverge negativamentenegativamente).).

�� Estendendo al caso di limite allEstendendo al caso di limite all’’infinito le infinito le definizioni di limite infinito, si ha definizioni di limite infinito, si ha ……

�� Il grafico nel caso di limite infinito (Il grafico nel caso di limite infinito (++) ) per x che tende a piper x che tende a piùù infinito infinito èè ……, mentre , mentre il grafico di limite infinito (il grafico di limite infinito (++) per x che ) per x che tende a meno infinito tende a meno infinito èè ……

�� Si possono avere anche i casi Si possono avere anche i casi ……, con le relative , con le relative

rappresentazioni grafiche: limite rappresentazioni grafiche: limite infinitoinfinito ((--) )

per x che tende a piper x che tende a piùù infinito ed il limite infinito ed il limite

infinitoinfinito ((--) per x che tende a meno infinito.) per x che tende a meno infinito.

�� Gli Gli asintotiasintoti obliquiobliqui, data la funzione il cui , data la funzione il cui

grafico grafico èè ……

�� Possono aversi solo nel caso di funzioni Possono aversi solo nel caso di funzioni

definite in intervalli illimitati. Se si ha definite in intervalli illimitati. Se si ha …… èè

lecito chiedersi se esista un asintoto obliquo, se lecito chiedersi se esista un asintoto obliquo, se

ciocioèè il grafico della funzione si il grafico della funzione si accosti accosti a quello a quello

di una retta di equazione di una retta di equazione ……

�� In quel caso si In quel caso si calcola mcalcola m. Perch. Perchéé la retta y= mx la retta y= mx

+ q sia un asintoto obliquo della funzione data + q sia un asintoto obliquo della funzione data

occorre che esista e sia finito e non nullo il occorre che esista e sia finito e non nullo il

limite che permette di calcolare m. [limite che permette di calcolare m. [Deve Deve

esistere m, CNS affinchesistere m, CNS affinchéé esista lesista l’’Asintoto O.]Asintoto O.]

�� Successivamente si Successivamente si calcola qcalcola q, si vede che , si vede che

deve esistere ed essere finito anche tale deve esistere ed essere finito anche tale

limite. Pertanto, affinchlimite. Pertanto, affinchéé la retta y=mx+q la retta y=mx+q

sia un asintoto obliquo della funzione sia un asintoto obliquo della funzione

occorre che esistono e siano finiti occorre che esistono e siano finiti

entrambi i limiti seguenti entrambi i limiti seguenti ……

�� In maniera analoga si procede se In maniera analoga si procede se ……

�� Esempio 1Esempio 1, , graficografico..

�� Esempio 2Esempio 2,, graficografico..

�� Esempio 3Esempio 3, , graficografico..

Scheda di VerificaScheda di Verifica

�� Quando una funzione diverge Quando una funzione diverge

positivamente ? E negativamente? positivamente ? E negativamente?

Motivare le risposte con degli esempi.Motivare le risposte con degli esempi.

�� Quando esistono gli asintoti obliqui? Una Quando esistono gli asintoti obliqui? Una

funzione limitata può avere un asintoto funzione limitata può avere un asintoto

obliquo? Motivare le risposte con esempi.obliquo? Motivare le risposte con esempi.

�� Studiare lStudiare l’’andamento della seguente andamento della seguente

funzione algebrica funzione algebrica e studiarne il e studiarne il graficografico..

�� Calcolare i seguenti Calcolare i seguenti limitilimiti..