L'IMPORTANCE PHILOSOPHIQUE DE LA LOGISTIQUE

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  • L'IMPORTANCE PHILOSOPHIQUE DE LA LOGISTIQUEAuthor(s): B. RussellSource: Revue de Mtaphysique et de Morale, T. 19, No. 3 (Mai 1911), pp. 281-291Published by: Presses Universitaires de FranceStable URL: http://www.jstor.org/stable/40894398 .Accessed: 27/01/2014 20:20

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  • L'IMPORTANCE PHILOSOPHIQUE 1)E LA LOGISTIQUE1

    Mesdames, Messieurs, En vous adressant ce soir la parole sur l'importance philoso-

    phique de la logique mathmatique, j'ai besoin de votre indulgence, pour deux raisons : la premire, c'est qu'tant tranger, je ne puis m'exprimer avec cette nettet et cette finesse qui conviendraient ~ un auditoire franais; la seconde, c'est que mon thme est si vaste que je devrai me borner noncer les rsultats auxquels j'ai abouti, , sans rpter les raisons, souvent trs compliques, qui m'ont con-, duit ces conclusions.

    En parlant de la logique mathmatique , je dsire employer ce mot dans un sens trs large : j'y comprends les travaux de Cantor sur le nombre infini aussi bien que les travaux de Frege et de Peano. Weierstrass et ses successeurs ont arithmtis les math- matiques, c'est--dire qu'ils ont ramen toute l'analyse l'tude des nombres entiers. En accomplissant cette rduction, on avait complt une tape trs importante, la fin de laquelle l'esprit de dissection pouvait bien s'arrter un montent. Cependant la thorie des nombres entiers ne peut se faire d'une manire autonome, surtout quand on tient compte de l'assimilation des nombres finis et des nombres infinis. Donc il a t ncessaire d'aller plus loin/de rduire l'arithmtique, et surtout la dfinition des nombres, la logique. J'appelle donc logique mathmatique tout travail logique qui a pour but l'analyse et la dduction de l'arithmtique, ainsi que de la gomtrie, par le moyen de concepts appartenant visiblement k la logique. C'est cette tendance moderne que je dsire discuter aujourd'hui.

    En examinant l'uvre de la logique mathmatique, on peut con- sidrer : Io les rsultats mathmatiques; 2 la mthode du raison- nement mathmatique telle qu'elle rsulte des travaux modernes; . 1. Confrence faite l'cole des Hautes tudes sociales le 22 mars 1911.

    Rev. Mta. - T. XIX (n 3-1911). D

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  • 282 REVUE DE MTAPHYSIQUE ET DE MORALE.

    3 la nature intrinsque des propositions mathmatiques d'aprs l'analyse qu'en fait la logique mathmatique. Il est impossible de distinguer exactement ces trois aspects du sujet qui nous occupe, mais la distinction subsiste assez pour servir donner un cajire la discussion. On aurait pu croire que l'ordre inverse serait le meilleur, qu'il faudrait d'abord considrer ce que c'est qu'une proposition mathmatique, ensuite la mthode par laquelle on dmontre de telles propositions, et finalement les rsultats auxquels nous conduit cette mthode. Mais le problme que nous avons rsoudre, comme tout problme vraiment philosophique, est un problme d'analyse, et dans les problmes d'analyse la meilleure mthode est celle qui part des rsultats et aboutit aux prmisses. En logique mathma- tique, ce sont les conclusions qui ont le plus grand degr de certi- tude : plus on recule vers les prmisses ultimes, plus on trouve d'incertitude et de difficult.

    Au point de vue philosophique, les rsultats les plus clatants de la nouvelle mthode sont les thories exactes qu'on a pu former sur l'infini et le continu. On sait que, quand il s'agit de collections infinies, par exemple la collection des nombres entiers finis, il est possible d'tablir une correspondance bi-univoque entre la collection entire et une partie de la collection. Par exemple, une telle correspon- dance existe entre les nombres entiers finis et Jes nombres pairs, puisque la relation d'un nombre fini son double est bi-univoque. Il est donc vident que le nombre d'une collection infinie est gal au nombre d'une partie de cette collection. On a cru autrefois que * c'tait l une contradiction; mme Leibniz, quoi qu'il ft partisan de l'infini actuel, a ni le nombre infini cause de cette prtendue contradiction. Mais en effet, pour dmontrer qu'il y a contradiction, il faut supposer que tous les nombres obissent l'induction com- plte. Pour expliquer l'induction complte, appelons proprit hrditaire d'un nombre une proprit qui appartient w + 1 du moment qu'elle appartient n. Telle est par exemple la proprit d'tre plus grand que 100 : si un nombre est plus grand que 100, son successif est plus grand que 100. Appelons ensuite proprit inductive d'un nombre une proprit hrditaire que possde le nombre zro. Cette proprit doit appartenir 1, puisqu'elle est hrditaire et qu'elle appartient zro; de mme elle doit appartenir 2, puisqu'elle appartient 1, et ainsi de suite. Donc les nombres de la vie quotidienne possdent toute proprit inductive. Or,

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  • B. RUSSELL. - L'IMPORTANCE PHILOSOPHIQUE DE LA LOGISTIQUE. 2&3

    parmi es proprits inductives des nombres se trouve celle-ci : si une collection quelconque a le nombre n, aucune partie de cette collection ne peut avoir le mme nombre n. Donc, si tous les nombres possdent toutes les proprits inductives, il se trouve en contradiction avec cet autre rsultat qu'il y a des collections qui ont mme nombre qu'une partie d'elles-mmes. Cette contradiction, cependant, cesse d'exister du moment qu'on admet qu'il y a des nombres qui ne possdent pas toutes les proprits inductives. Et alors il se trouve qu'il n'existe aucune contradiction dans le nombre infini. Cantor a mme cr toute une arithmtique des nombres infinis, et par le moyen de cette arithmtique il a rsolu compl- tement les vieux problmes sur la nature de l'infini qui ont troubl la philosophie depuis les temps anciens.

    Les problmes du continu sont intimement lis aux problmes de l'infini, et leur rsolution s'est effectue par les mmes, moyens. Les paradoxes de Zenon d'le, et les difficults dans l'analyse de l'espace, du temps et du mouvement, se trouvent toutes compl- tement expliques par le moyen de la thorie moderne de la con- tinuit. C'est qu'on a trouv une thorie non contradictoire, d'aprs laquelle le continu se compose d'lments distincts en nombre, infini, ce qui paraissait impossible autrefois. Ces lments, on ne peut les atteindre par le moyen de la dichotomie continuelle ; mais il ne s'ensuit pas que les lments n'existent pas.

    De l s'ensuit toute une rvolution dans la philosophie de l'espace et du temps. Les thories ralistes, qu'on croyait contradictoires,, ne le sont plus, et les thories idalistes ont perdu leur raison d'tre. Le flux, qu'on croyait incapable d'analyse en lments indivisibles, se montre capable d'analyse mathmatique, et la raison se montre capable de donner une explication du monde physique ainsi que du monde sensible, sans supposer des sauts l o se trouve la conti- nuit, mais aussi sans renoncer l'analyse en lments spars et indivisibles.

    Outre la thorie du nombre infini et de la nature du continu, la thorie mathmatique du mouvement et des autres changements continus emploie deux notions corrlatives, celle de fonction et celle de variable. L'importance et la nature de ces ides peut se dmon- trer d'aprs un exemple. On trouve encore dans les livres de philo- sophie un nonc de la loi de la causalit sous la forme : Quand la mme cause se reproduit, le mme effet se rptera . Mai& on

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  • 284 REVUE DE MTAPHYSIQUE ET D MORALE.

    remarque trs justement que la mme cause ne se reproduit jamais. Ce qui a lieu en effet c'est qu'il y a un rapport constant entre des causes d'une certaine espce et les effets qui en rsultent. L o il y a un tel rapport constant, l'effet est une fonction de la cause. Par le moyen du rapport constant, on rsume sous une seule formule une infinit de causes et d'effets, et on vite l'hypothse banale de la rptition d'une mme cause. C'est l'ide de fonction, c'est--dire Tide de rapport constant, qui donne le. secret du pouvoir des mathmatiques de traiter simultanment d'une infinit de don- nes.

    Pour comprendre le rle de l'ide de fonction en mathmatiques, il faut d'abord comprendre la mthode de la dduction mathma- tique. On conviendra que les dmonstrations mathmatiques, mme celles qui s'accomplissent par ce qu'on appelle l'induction complte, sont toujours dductives. Or, dans une dduction, il arrive presque toujours que la validit de la dduction ne dpend pas du sujet dont on parle, mais uniquement de la forme de ce qu'on en dit. Prenons par exemple l'argument classique : Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel. Ici il est vident que ce qu'on dit reste vrai si l'on substitue Platon ou Aristote ou n'importe qui la place de Socrate. On peut donc dire : Si tous les hommes sont mortels, et si x est un homme, alors x est mortel. On a l une premire gnralisatio