16

Click here to load reader

Linear Algebra 2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Linear Algebra 2

1

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

סיכום – 2אלגברה לינארית

גרסא לא סופית

תוכן עניינים

1 ...................................................................................................................................................................... חוגים

2 ................................................................................................................................................... חשובות דוגמאות

2 ................................................................................................................................................................. ולינומיםפ

2 ................................................................................................................................................................ פריקות

3 ................................................................................................................................. עצמיים וערכים וקטורים, מרחבים

4 ................................................................................................................................................ יומזער אופייני פולינום

5 ..................................................................................................................................................... גושים מטריצות

6 ........................................................................................................................................................... פרימרי פירוק

7 ........................................................................................................................................................... רציונלי פירוק

9 ........................................................................................................................................................... קנוניות צורות

11 ............................................................................................................................................... פנימית מכפלה מרחבי

12 ................................................................................................................................... פנימית מכפלה במרחב העתקות

14 ................................................................................................................................................... בילינאריות תבניות

15 ......................................................................................................... ריבועיות ותבניות סימטריות בילינאריות תבניות

חוגים

:אשר מקיימים את האקסיומות הבאות, (∙)וכפל )+( חיבור : י פעולותעליה מוגדרות שת, 𝑅הינו קבוצה ( Ring)חוג (:הגדרה)חוג

לכל :סגירות לחיבור𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 קיים𝑐 ∈ 𝑅 כך ש𝑎 + 𝑏 = 𝑐

לכל :כלל הצירוף לחיבור𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 מתקיים 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

לכל :כלל החילוף לחיבור𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 מתקיים𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

יחיד ב קיים איבר :קיום איבר האפס-𝑅 ומקיים 0-המסומן ב𝑎 + 0 = 𝑎 לכל𝑎 ∈ 𝑅.

לכל :קיום איבר נגדי𝑎 ∈ 𝑅 קיים איבר יחיד– 𝑎 ∈ 𝑅 כך שמתקיים𝑎 + −𝑎 = 0

לכל :סגירות לכפל𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 קיים𝑐 ∈ 𝑅 יחיד כך ש-𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐

לכל :כלל הצירוף לכפל𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 מתקיים 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)

לכל :כלל הפילוג𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 מתקיים 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 וגם𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

𝑎המקיים 1יקרא חוג עם יחידה אם יש בו איבר 𝑅חוג (:הגדרה)חוג עם יחידה ∙ 1 = 𝑎 = 1 ∙ 𝑎 לכל𝑎 ∈ 𝑅

,𝑎אם לכל ( חילופי)יקרא חוג קומוטטיבי Rחוג :(הגדרה)חוג קומוטטיבי 𝑏 ∈ 𝑅 מתקיים𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎

,𝑎חוג חילופי עם יחידה ייקרא תחום שלמות אם לכל (:הגדרה)תחום שלמות 𝑏 ∈ 𝑅 מתקיים 0-שונים מ𝑎 ∙ 𝑏 ≠ 0

Page 2: Linear Algebra 2

2

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝐼קבוצה . חוג עם יחידה R יהי(: הגדרה)אידיאל ⊆ 𝑅 נקראית אידיאל שלR אם :

0 :איבר אפס (א ∈ 𝐼

,𝑎אם : סגירות לחיבור (ב 𝑏 ∈ 𝐼 אז גם𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐼

𝑎אם :(בערך)סגירות לכפל (ג ∈ I, 𝑟 ∈ 𝑅 אז𝑎𝑟, 𝑟𝑎 ∈ 𝑅

𝑎-חוג קומוטטיבי עם יחידה ו Rאם : (הגדרה)אידיאל ראשי ∈ 𝑅 .אידיאל מהצורה , 𝑟𝑎 𝑟 ∈ 𝑅 = 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 𝑏 יקרא ראשי.

. 𝑎 : סימון

0יהי . תחום שלמות Rיהי (:הגדרה)אי פריק וראשוני ≠ 𝑞 ∈ 𝑅 לא הפיך.

𝑎∀אם פריק-אינקרא q (א ,𝑏∈𝑅 𝑞 = 𝑎𝑏 ⇒ 𝑏 ∈ 𝑅𝑋 ∨ 𝑎 ∈ 𝑅𝑋

𝑎∀אם ראשוני נקרא q (ב ,𝑏∈𝑅 𝑞|𝑎𝑏 ⇒ 𝑞|𝑏 ∨ 𝑞|𝑎

אםq ראשוני⇐ q אי פריק.

אםq פריק-אי ,𝑢 ∈ 𝑅𝑋 ⇐ qu פריק-אי.

דוגמאות חשובות

φ:𝑀𝑛 𝐹 𝑋 → 𝑀𝑛(𝐹 𝑋 ) י "המוגדרת ע 𝜑 𝐴𝜇𝑋𝜇∞

𝜇=0 𝑖𝑗

= 𝐴𝜇 𝑖𝑗𝑋𝜇∞

𝜇=0 היא איזומורפיזם של =

.חוגים

חוג השלמים של גאוס: ℤ 𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑥,𝑦 ∈ ℤ

o אוטומורפיזםלדוגמה לא טריוויאלית: φ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 . העתקה זו והעתקת הזהות הן האוטומורפיזמים

. ℤ 𝑖היחידים של

פולינומים

𝑓,𝑔חוג עם יחידה ויהיו Rיהי : משפט החילוק עם שארית ∈ 𝑅[𝑋]. 𝑔 = 𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏1𝑥

1 + 𝑏0 , 𝑏𝑚 ∈ 𝑅𝑋 .אזי ,

,𝑞קיימים (א 𝑟 ∈ 𝑅[𝑋] יחידים כך ש𝑓 = 𝑔𝑞 + 𝑟, deg 𝑟 < deg𝑔 = 𝑚

′𝑞קיימים (ב , 𝑟′ ∈ 𝑅 𝑋 יחידים כך ש 𝑓 = 𝑞′𝑔 + 𝑟′ , deg 𝑟′ < deg𝑔 = 𝑚

פריקות

𝑓 :משפט ∈ ℝ 𝑋 מ "אי פריק אמ

1) 𝑓 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0

2) 𝑓 = 𝑥 − 𝑎

𝑅-ב Iאז כל אידיאל . שדה Fיהי : למה = 𝐹[𝑋] אם , יתר על כן. הוא ראשי𝐼 ≠ , אז 0

𝑔קיים (א ∈ 𝐹 𝑋 מתוקן יחיד כך ש 𝑔 = 𝐼

𝑚ממעלה I-הוא הפולינום המתוקן היחיד ב g (ב ≔ min deg𝑕 𝑕 ∈ 𝐼{0}).

𝑞יהי . דיאל הוא ראשיתחום שלמות בו כל אי Rיהי :משפט ∈ 𝑅 אי פריק אז𝑞 ראשוני.

Page 3: Linear Algebra 2

3

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝑅שדה ויהי Fיהי :משפט = 𝐹 𝑥 . יהי 𝑞𝑖 𝑖∈𝐼 אוסף כל הפולינומים האי פריקים המתוקנים ב-R . 0אז לכל ≠ 𝑓 ∈ 𝑅 יש

𝑐 ∈ 𝑅𝑋 = 𝐹𝑋 יחיד ו-𝑚𝑖 ∈ ℕ ∪ 𝑖לכל , {0} ∈ 𝐼 , כך ש, יחידים, 0כמעט כולם

𝑓 = 𝑐 𝑞𝑖𝑚 𝑖

𝑖∈𝐼

𝑓אם :הלמה של גאוס ∈ ℤ 𝑋 ויש , מתוקן𝑕,𝑔 ∈ ℚ 𝑋 מתוקנים כך ש𝑓 = 𝑔𝑕 אז𝑔,𝑕 ∈ ℤ 𝑋

𝑓1,𝑓2יהיו שדה ו 𝐹יהי :משפט ∈ 𝐹 𝑋 ו-𝑑 = gcd 𝑓1,𝑓2 אז קיימים𝑔,𝑕 ∈ 𝐹 𝑋 (לא בהכרח יחידים )כך ש

𝑑 = 𝑔𝑓1 + 𝑕𝑓2.

…,𝑓1שדה ויהיו 𝐹יהי (:הגדרה)ולה משותפת מזעריתכפ , 𝑓𝑘 ∈ 𝐹 𝑋 .𝑚 ∈ 𝐹 𝑋 יקרא כפולה משותפת מזערית ויסומן

𝑚 = 𝑙𝑐𝑚 𝑓1 ,… ,𝑓𝑘 אם𝑓1,… ,𝑓𝑘 |𝑚 ולכל𝑚′ ∈ 𝐹 𝑋 (מתוקן ) המקיים𝑓1,… ,𝑓𝑘 |𝑚′ מתקיים𝑚|𝑚′

𝑓,𝑔יהיו :משפט ∈ 𝐹 𝑋 ויהיו𝑚 = 𝑙𝑐𝑚 𝑓,𝑔 ,𝑑 = gcd(𝑓,𝑔) אז𝑑𝑚 = 𝑓𝑔.

= 𝑓 𝑥יהי :קריטריון אייזנשטיין 𝑎𝑖𝑥𝑖𝑛

𝑖=0 ∈ ℤ 𝑥 . קבוצת השורשים הרציונלים של𝑓 מוכלת ב-

𝑝

𝑞, 𝑝, 𝑞 gcd 𝑝, 𝑞 = 1, 𝑝 𝑎0 , 𝑞|𝑎𝑛

וקטורים וערכים עצמיים, מרחבים

𝑇:𝑉תהי . 𝐹מרחב וקטורי מעל 𝑉שדה ויהי 𝐹יהי → 𝑉 תהי .העתקה לינארית𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 יהי𝜆 ∈ 𝐹 סקאלר ב-𝐹 .

(: הגדרה)מרחב עצמי

הקבוצה :עבור העתקה𝑉𝜆 = 𝑣 ∈ 𝑉|𝜆𝑣 = 𝑇 𝑣 היא המרחב העצמי שלT השייך ל-𝜆.

הקבוצה :עבור מטריצות𝑉𝜆 = 𝑣 ∈ 𝐹𝑛 | 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 יא המרחב העצמי שלה𝐴 השייך ל-𝜆 .

(:הגדרה)ערך עצמי

עבור העתקות: 𝜆 יקרא ערך עצמי אם𝑉𝜆 מרחב עצמי של𝑇 השייך ל-𝜆 אינו ריק.

עבור מטריצות: 𝜆 יקרא ערך עצמי אם𝑉𝜆 מרחב עצמי של𝐴 השייך ל-𝜆 אינו ריק.

𝑣מרחב עצמי אז 𝑉𝜆 תהי(: הגדרה)וקטור עצמי ∈ 𝑉𝜆 הוא וקטור עצמי השייך ל-𝜆 .

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי (:הקשר בין מטריצת העתקה ווקטורים עצמיים)משפט → 𝑉 . יהיB בסיס ל-𝑉 ותהי

𝐴 = 𝑇 𝐵𝐵 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 מטריצת העתקה שלT אז

𝑣 (א ∈ 𝑉 וקטור עצמי שלT השייך ל-𝜆 מ "אמ 𝑣 𝐵 ∈ 𝐹𝑛 קטור עצמי של הוא וA השייך ל-𝜆.

𝜆 (ב ∈ 𝐹 ערך עצמי שלT מ "אמ𝜆 ערך עצמי שלA

λויהי Fמרחב וקטורי מעל שדה Vיהי :(קריטריון לערכים עצמיים)משפט ∈ 𝐹 .

𝑉𝜆 (א = ker 𝑇 − 𝜆1𝑉 .𝜆 ערך עצמי שלT מ "אמ𝑇 − 𝜆1𝑉 0 , כלומר ע"אינה חח ≠ ker 𝑇 − 𝜆1𝑉 .

𝐴תהי (ב ∈ 𝑀𝑛 𝐹 .𝑉𝜆 הוא מרחב הפיתרונות של המערכת ההומוגנית 𝐴 − 𝜆1𝑉 𝑋 = מ "אמ 𝐴ערך עצמי של 𝜆לכן 0

det 𝐴 − 𝜆1𝑉 = 0.

Page 4: Linear Algebra 2

4

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝑇:𝑉תהי . Fמרחב וקטורי מעל שדה Vיהי :(ל"וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים בת) משפט → 𝑉 העתקה לינארית ו-

𝜆𝑖 𝑖=0𝑛 של שונים כים עצמייםערT. לכל𝑖 יהיו 𝑣𝑖𝑗 𝑖=1

𝑘𝑖𝑣𝑖𝑗 אז הקבוצה , ל"בת 𝜆𝑖וקטורים עצמיים של 𝑖=1

𝑘𝑖𝑛𝑖=0 , קבוצת כל

.ל"בתהוקטורים העצמיים שבחרנו לכל הערכים העצמיים שבחרנו גם היא

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉הי י :(הצגה אלכסונית של העתקה קריטריון) משפט → 𝑉 ל. העתקה לינארית-𝑇 מטריצה

.𝑇יש בסיס המורכב כולו מוקטורים עצמיים של 𝑉-מ ל"מייצגת אלכסונית אמ

𝐴שדה ותהי 𝐹יהי :משפט ∈ 𝑀𝑛 𝐹 . יש𝑃 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 הפיכה כך ש-𝑃−1𝐴𝑃 אלכסונית ו- 𝑃−1𝐴𝑃 𝑖𝑖 = 𝜆𝑖 מ ל"אמ-𝐹𝑛 בסיס

𝑣1)והוא 𝐴המורכב כולו מוקטורים עצמיים של ,𝑣2 ,… , 𝑣𝑛) כך ש∀𝑖 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝜆𝑖.

𝐴שדה ותהי 𝐹יהי :עובדה שימושית ∈ 𝑀𝑛 𝐹 . 𝐴 ערך עצמי של 0מ "אינה הפיכה אמ𝐴.

פולינום אופייני ומזערי

𝐴שדה ותהי 𝐹 יהי :(הגדרה)מטריצה אופיינית ∈ 𝐹 𝑋 אז המטריצה𝑋 ∙ 𝐼𝑛 − 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 𝑋 היא המטריצה האופיינית שלA .

:(הגדרה) פולינום אופייני

יהי :ותמטריצעבור𝐹 שדה ותהי𝐴 ∈ 𝐹 𝑋 ותהי𝐴′ המטריצה האופיינית שלA אז𝑓𝐴 𝑋 = det 𝐴′ ∈ 𝐹 𝑋 יקרא

.Aהפולינום האופייני של

o למטריצות דומות אותו פולינום אופייני

o 𝑓𝐴 = 𝑓𝐴𝑡

יהי :ותהעתקעבור𝐹 שדה ויהי𝑉 מרחב וקטורי מעל𝐹 . תהי𝑇:𝑉 → 𝑉 הפולינום האופייני . העתקה לינארית𝑓𝑇 ∈ 𝐹[𝑋]

𝑇 𝐵 האופייני של המטריצה הוא הפולינום 𝑇של 𝐵 באשר𝐵 בסיס סדור של𝑉

o (.כי למטריצות דומות אותו פולינום אופייני אז אין תלות בבסיס)ם אופייני של העתקה הוא יחיד פולינו

(: הגדרה)פולינום מזערי

יהי :עבור מטריצות𝐹 שדה ותהי𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 𝑋 . הפולינום𝑚𝐴 𝑋 ∈ 𝐹 𝑋 יקרא הפולינום המזערי של𝐴 אם הוא

= 𝐴: 𝑓 𝐴מאפס את ) 0-ושונים מ 𝐴המאפסים את 𝐹 𝑋-ומים במתוקן ובעל מעלה מזערית מכל הפולינ 0.)

o פולינום מזערי של𝐴 הוא קיים ויחיד.

o למטריצות דומות אותו פולינום מזערי

יהי :עבור העתקות𝐹 שדה ויהי𝑉 מרחב וקטורי מעל𝐹 . תהי𝑇:𝑉 → 𝑉 הפולינום .העתקה לינארית𝑚𝑇 𝑋 ∈ 𝐹 𝑋

0-ושונים מ 𝑇המאפסים את 𝐹 𝑋-ם הוא מתוקן ובעל מעלה מזערית מכל הפולינומים בא 𝑇המזערי של יקרא הפולינום

= 𝑇: 𝑓 𝑇מאפס את ) 0.)

o פולינום מזערי של𝑇 הוא קיים ויחיד.

𝑇:𝑉תהי . 𝐹מרחב וקטורי מעל 𝑉שדה ויהי 𝐹יהי (:הגדרה)ריבוי אלגברי וגיאומטרי → 𝑉 ויהי העתקה לינארית𝜆0 ∈ 𝐹 ערך

𝑓𝑇נניח . 𝑇עצמי של = 𝑥 − 𝜆1 𝑥 − 𝜆2 ∙ … ∙ 𝑥 − 𝜆𝑛 כאשר{𝜆𝑖} ערכים עצמיים של𝑇.

המעריך של :ריבוי אלגברי(𝑥 − 𝜆0) בפירוק של𝑓𝑇 יקרא הריבוי האלגברי של𝜆0.

ריבוי גיאומטרי:𝑘 = dim𝑉𝜆0 .𝜆0הוא הריבוי הגיאומטרי של

𝐴שדה ותהי 𝐹יהי :משפט ∈ 𝑀𝑛(𝐹) . אז𝑓𝐴 𝑥 = 𝑐0𝑥𝑛 + 𝑐1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑐𝑛 ומקיים

1) 𝑐0 = 1

2) 𝑐1 = −𝑡𝑟 𝐴 = − 𝑎𝑖𝑖𝑛𝑖=1

3) 𝑐𝑛 = −1 𝑛 det 𝐴

Page 5: Linear Algebra 2

5

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝐴שדה ותהי 𝐹יהי :(קריטריון לערך עצמי)משפט ∈ 𝑀𝑛 𝐹 ויהי𝜆 ∈ 𝐹 ז א𝜆 ערך עצמי של𝐴 מ "אמ𝑓𝐴 𝜆 = 0 .

.𝑚𝐴בפרט עבור

(:Cayley-Hamilton)משפט

יהי :עבור מטריצות𝐹 שדה ותהי𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 אז𝑓𝐴 𝐴 = 0.

יהי :עבור העתקותV ב וקטורי מעל שדה מרחF ותהי𝑇:𝑉 → 𝑉 העתקה לינארית אז𝑓𝑇 𝑇 = 0.

𝑇𝑖 :הערה = 𝑇 ∘ 𝑇 ∘ 𝑇 ∘ … ∘ 𝑇 𝑖 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠

𝐴שדה ותהי Fיהי :משפט ∈ 𝑀𝑛 𝐹 לאז- 𝑓𝐴 ו-𝑚𝐴 אותם גורמים אי פריקים ב-𝐹 𝑋

יהי :(חלוקההפולינום המזערי ל תמינימאליו) למהF שדה ותהי𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 אז לכל𝑓 ∈ 𝐹 𝑋 המקיים𝑓 𝐴 = 0

.𝑚𝐴|𝑓𝐴ובפרט 𝑚𝐴|𝑓מ "אמ

יהי :למהF שדה ותהי𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 אז𝑓𝐴|𝑚𝐴𝑛 בחוג𝐹 𝑋

.ניסוח שקול עבור העתקות :הערה

𝑇:𝑉ותהי Fמרחב וקטורי מעל שדה V יהי :משפט → 𝑉 ויהי תהעתקה ליניארי𝜆 ∈ 𝐹 ערך עצמי של𝑇 אז הריבוי הגיאומטרי קטן

.או שווה לריבוי האלגברי

: (קריטריון להצגה משולשית עליונה) משפט

יהי :עבור מטריצות𝐹 שדה ותהי𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 . 𝐴 דומה למטריצה משולשית עליונהC כך שאיברי האלכסון הם 𝜆𝑖 𝑖=1𝑛

= 𝑓𝐴 𝑥יש פירוק 𝑓𝐴מ לפולינום האופייני "אמ 𝑥 − 𝜆1 𝑥 − 𝜆2 ∙ … ∙ 𝑥 − 𝜆𝑛 .

יהי :תעבור העתקוV מרחב וקטורי מעל שדהF ותהי𝑇:𝑉 → 𝑉 קיים בסיס .תהעתקה ליניארי𝐵 שלV כך ש 𝑇 𝐵𝐵

𝜆𝑖 𝑖=1 משולשית עליונה כך שאיברי האלכסון הם 𝑛 מ לפולינום האופייני "אמ𝑓𝑇 יש פירוק

𝑓𝑇 𝑥 = 𝑥 − 𝜆1 𝑥 − 𝜆2 ∙ … ∙ 𝑥 − 𝜆𝑛 .

:(אלכסונית להצגה יוןקריטר) משפט

יהי: מטריצות עבור 𝐹 ותהי שדה 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 .אם 𝑓𝐴 𝑥 = 𝑥 − 𝜆1 𝑥 − 𝜆2 ∙ … ∙ 𝑥 − 𝜆𝑛 כאשר 𝜆𝑖 = 𝑛

.אלכסונית למטריצה דומה A אז

יהי :העתקות עבור V שדה מעל וקטורי מרחב F ותהי 𝑇:𝑉 → 𝑉 ל. תליניארי העתקה-𝑇 מ"אמ יתאלכסונ הצגה 𝑓𝑇 הוא

.שלו הגיאומטרי לריבוי שווה שלו האלגברי שהריבוי מתקיים 𝑇 של עצמי ערך ולכל אחת ממעלה גורמים של מכפלה

𝑇:𝑉 ותהי F שדה מעל וקטורי מרחב V יהי :משפט → 𝑉 ויהי תליניארי העתקה 𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 אז 𝑔 𝑇 𝐵𝐵 = 𝑔 𝑇 𝐵

𝐵

𝐴י שדה ותה 𝐹יהי :משפט ∈ 𝑀𝑛 𝐹 יהי . הפיכה𝑚𝐴 𝑥 = 𝑎𝑖𝑥𝑖𝑘

𝑖=0 ∈ 𝐹 𝑋 הפולינום המינימאלי של𝐴 אז

𝑚𝐴−1 𝑥 =1

𝑎0 𝑎𝑘−𝑖𝑥

𝑖𝑘𝑖=0

מטריצות גושים

𝐴𝑖 𝑖=1 באשר גושי האלכסון שלה Fמטריצת גושים מעל שדה M תהי :משפט𝑛 מטריצות ריבועיות אז

det 𝑀 = det 𝐴1 ∙ det 𝐴2 ∙ … ∙ det(𝐴𝑛)

𝑓𝑀 = 𝑓𝐴1∙ 𝑓𝐴2

∙ … ∙ 𝑓𝐴𝑛

Page 6: Linear Algebra 2

6

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝐴𝑖 𝑖=1 האלכסון שלה גושיבאשר Fמעל שדה אלכסונית מטריצת גושים M תהי :משפט𝑛 מטריצות ריבועיות אז

𝑚𝑀 = 𝑙𝑐𝑚 𝐴1 ,… ,𝐴𝑛

פירוק פרימרי

𝑇:𝑉 תהי. 𝐹 מעל וקטורי מרחב 𝑉 ויהי שדה 𝐹 יהי(: הגדרה)T-שמור או אינווארנטי מרחב תת → 𝑉 לינארית העתקה .

⊇ 𝑇 𝑊 אם 𝑇-שמור נקרא 𝑉 של 𝑊 מרחב תת 𝑊 .

אםW הוא שמור-T אז הצמצום של𝑇 ל-W היא העתקה לינארית ומסומן ב-𝑇 𝑤

יהי𝑓 ∈ 𝐹 𝑋 אז𝐼𝑚 𝑓 𝑇 ,𝐾𝑒𝑟 𝑓 𝑇 הם מרחבים אינוורנטים-T.

𝑚𝑇 𝑊 |𝑚𝑇

𝑊𝑖 𝑖=0 ויהיו F שדה מעל וקטורי מרחב 𝑉 יהי: משפט𝑟 של מרחבים תת V .נניח 𝐵𝑖 = 𝑤𝑖1 ,… ,𝑤𝑖𝑛 𝑖 של בסיס 𝑊𝑖 כך ש

𝑛𝑖 = 𝑑𝑖𝑚(𝑊𝑖) אז V = 𝑊𝑖𝑟𝑖=1 מ"אמ 𝐵 =∪𝑖=0

𝑟 𝐵𝑖 ל בסיס הינו-𝑉.

𝑊𝑖 𝑖=0 ויהיו F שדה מעל וקטורי מרחב 𝑉 יהי :משפט𝑟 של מרחבים תת V .תהי 𝑇:𝑉 → 𝑉 נניח. לינארית העתקה

𝐵𝑖 = 𝑤𝑖1 ,… ,𝑤𝑖𝑛 𝑖 של סדור בסיס 𝑊𝑖. נניח כן כמו V = 𝑊𝑖𝑟𝑖=1 ו 𝐵 =∪𝑖=0

𝑟 𝐵𝑖 ל בסיס הינו-𝑉. אז

𝑊𝑖 𝑖=0 (א𝑟 אינווריאנטיםT מ "אמ 𝑇 𝐵

𝐵 איברי האלכסון . מטריצת גושים אלכסונית 𝐴𝑖 𝑖=1𝑟 ומקיימים∀𝑖 𝐴𝑖 ∈ 𝑀𝑛 𝑖

𝐹

𝑇 𝐵 אם (ב𝐵אז( א)-ב שהגדרנו כמו אלכסונית ושיםג מטריצת 𝐴𝑖 = 𝑇 𝑊𝑖

𝐵𝑖

𝐵𝑖 .i לכל

𝑊𝑖 𝑖=0 ויהיו F שדה מעל וקטורי מרחב 𝑉 יהי :(אינווריאנטים מרחבים ותת מזערי, אופייני פולינום) משפט𝑟 מרחבים תת

𝑊𝑖 המקיימים V של זרים אנטיםאינוורי𝑟𝑖=1 = 𝑉. תהי 𝑇:𝑉 → 𝑉 תהיו לינארית העתקה 𝐴 = 𝑇 𝐵

𝐵 .נסמן 𝑇𝑖 = 𝑇 𝑊𝑖 אז

מתקיים

𝑓𝑇 (א = 𝑓𝑇𝑖𝑟𝑖=1

𝑚𝑇 (ב = 𝑙𝑐𝑚 𝑚𝑇𝑖𝑟𝑖=1

𝑇:𝑉תהי . 𝐹מרחב וקטורי מעל 𝑉שדה ויהי 𝐹יהי :משפט → 𝑉 יהיו .העתקה לינארית𝑕,𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 המקיימיםgcd 𝑕,𝑔 = 1

= 𝑔𝑕 𝑇-ו 𝑉אז 0 = ker 𝑔 𝑇 ⊕ ker 𝑕 𝑇 .

𝑇:𝑉 תהיו 𝐹 מעל וקטורי מרחב 𝑉 ויהי שדה 𝐹 היי :משפט → 𝑉 יהיו .לינארית העתקה 𝑕,𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 כך ש 𝑚𝑇 = 𝑔𝑕 ו-

gcd 𝑕,𝑔 = 𝑇1 נסמן. 1 = 𝑇 ker 𝑕 𝑇 ו- 𝑇2 = 𝑇 ker 𝑔 𝑇 אז 𝑔 = 𝑚𝑇1𝑕-ו = 𝑚𝑇2

.

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :פרימריהפירוק משפט ה → 𝑉 העתקה לינארית כך ש- 𝑚𝑇 = 𝑔𝑖𝑟𝑖=1 באשר

𝑔𝑖 𝑖=1𝑟 נסמן .מתוקנים וזרים זה לזה 𝑊𝑖 = 𝐾𝑒𝑟 𝑔𝑖(𝑇) אזי ,

V (א = 𝑊𝑖𝑟𝑖=1 .iלכל 𝑇 אינווריאנטי 𝑊𝑖באשר

𝑔𝑖 (ב = 𝑚𝑇 𝑊𝑖 .𝑖לכל

𝑇:𝑉 תהיו 𝐹 מעל וקטורי מרחב 𝑉 ויהי שדה 𝐹 היי :(קריטריון להצגה אלכסונית) משפט → 𝑉 אז יש בסיס .לינארית העתקה𝐵

𝑇 𝐵 -כך ש 𝑉-ל𝐵 מ "אלכסונית אמ𝑚𝑇 = 𝑥 − 𝜇𝑖

𝑟𝑖=1 כך ש-𝜇1 ,… , 𝜇𝑟 שונים זה מזה.

.ניסוח שקול עבור מטריצות :הערה

Page 7: Linear Algebra 2

7

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

רציונלי פירוק

= 𝑓 𝑥י יהשדה ו 𝐹יהי (: הגדרה)מטריצה נלווית 𝑎𝑖𝑥𝑖 ∈ 𝐹 𝑋 𝑛

𝑖=0 פולינום מתוקן(𝑎𝑛 = 𝑓(𝑥)-המטריצה הנלווית ל. (1

:היא מהצורה

𝐶 𝑓 =

0 0 0 … 0 −𝑎0

1 0 0 … 0 −𝑎1

0 1 ⋱ ⋮ ⋮0 ⋱ ⋱ 0 0⋮ … 0 1 0 −𝑎𝑛−2

0 0 … 0 1 −𝑎𝑛−1

∈ 𝑀𝑛 𝐹

C 𝑥 − 𝜆 = 𝜆 ∈ 𝑀1 𝐹

𝑓 = 𝑓𝐶 𝑓 = 𝑚𝐶 𝑓

𝑇:𝑉-ו 𝐹מעל שדה וקטורי מרחב 𝑉 יהי (:הגדרה) מעגלי מרחב תת → 𝑉 יהי. לינארית העתקה 𝑣 ∈ 𝑉 .𝑍 𝑣,𝑇 = 𝑓 𝑇 𝑣 𝑓 ∈ 𝐹 𝑥 מרחב מעגלי-נקרא תת-T י "הנוצר ע𝑣.

𝑣ויהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי : (הגדרה)T-מאפס ∈ 𝑉 ותהי𝑇:𝑉 → 𝑉 מאפס. העתקה לינארית-T של𝑣 הוא פולינום

𝑚𝑣 ∈ 𝐹 𝑋 ממעלה מזערית המקיים𝑚𝑣 𝑇 𝑣 = 0.

𝑚𝑣 קיים ויחיד לכל𝑉,𝑇, 𝑣.

𝑚𝑣 = 𝑚𝑇 𝑍 𝑣,𝑇

יהי 𝑓 ∈ 𝐹 𝑋 .𝑓 𝑇 𝑣 = .𝑚𝑣|𝑚𝑇בפרט . 𝑚𝑣|𝑓מ "אמ 0

𝑚𝑣 = 𝑣מ "אמ 1 = 0.

𝑇:𝑉-ו 𝐹מעל שדה וקטורי מרחב 𝑉 היי :(מזעריות מרחב מעגלי)משפט → 𝑉 יהי. לינארית העתקה 𝑣 ∈ 𝑉 . יהי𝑍(𝑣,𝑇) תת

:אז. מרחב מעגלי

.אינווריאנטי תת מרחב 𝑍(𝑣,𝑇) (א

𝑣-כך ש Tתת מרחב אינווריאנטי 𝑊אם (ב ∈ 𝑊 אז𝑍 𝑣,𝑇 ⊆ 𝑊

𝑇:𝑉-ו 𝐹מעל שדה וקטורי מרחב 𝑉 היי :משפט → 𝑉 יהי. לינארית העתקה 𝑣 ∈ 𝑉 ויהי𝑚𝑣 מאפס-T שלv . נסמן𝑇𝑣 = 𝑇 𝑍 𝑣,𝑇 .

אז

𝐵 (א = (𝑣,𝑇 𝑣 ,… ,𝑇𝑘−1 ) בסיס שלV .פרט בdim 𝑍 𝑣,𝑇 = deg 𝑚𝑣 = 𝑘 .

𝑇 𝐵 (ב𝐵 היא𝐶(𝑚𝑣) היא המטריצה הנלווית של ל-𝑚𝑣.

𝑇:𝑉תהי , Fמרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :משפט → 𝑉 יהי , העתקה לינארית𝑣 ∈ 𝑉 ויהי𝑓 ∈ 𝐹 𝑋 אז

= 𝑍 𝑓 𝑇 𝑣 ,𝑇 (א 𝑓 𝑇 𝑍 𝑣,𝑇

= 𝑚𝑓 𝑇 𝑣 (ב𝑚𝑣

gcd 𝑚𝑣 ,𝑓 :בפרט,

= 𝑚𝑓 𝑇 𝑣אז , מתוקן 𝑓|𝑚𝑣אם (ג𝑚𝑣

𝑓

Page 8: Linear Algebra 2

8

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :משפט הפירוק הרציונאלי → 𝑉 אז. העתקה לינארית

𝑣1קיימים (א ,… , 𝑣𝑟 ∈ 𝑉 שונים מאפס בעלי מאפסי-𝑇 𝑚1 ,… ,𝑚𝑟 בהתאמה כך ש

1) 𝑉 = 𝑍 𝑣1 ,𝑇 𝑟𝑖=1

2) 𝑚1 𝑚2 … |𝑚𝑟

𝑣𝑖 𝑖=1 (ב𝑟 , 𝑚𝑖 𝑖=1

𝑟 , 𝑟 אין עוד סדרה בשום אורך פרט ל, כלומר. יחידים-r 2.א-ו 1.המקיימת את א.

𝑚1 (ג = 𝑚𝑇

𝑞יהי , שדה Fיהי (:הגדרה)מטריצת יעקובסון = 𝑎𝑖𝑥𝑘𝑘

𝑖=0 ∈ 𝐹 𝑋 כאשר𝑎𝑘 = 𝑟ויהי 1 ∈ ℕ . תהי𝐶 𝑞 ∈ 𝑀𝑘 𝐹

∋ 𝐶𝑟 𝑞 נסמן .𝑞-המטריצה הנלווית ל 𝑀𝑟𝑘 𝐹 הנלווית לחזקה המטריצת יעקובסון ל-𝑟 של𝑞 ומהצורה:

0 ⋯ 0 −a0 0

1 ⋱ ⋮ ⋮⋱ 0

0 1 −ak−1

1 0 ⋯ 0 −a0

1 ⋱ ⋮ ⋮⋱ 0

0 1 −ak−1

1⋱ 0 ⋯ 0 −a0

1⋱

0 0 1 −ak−1

= 𝑓 𝑥שדה ויהי Fיהי (:הגדרה)ורדן'גוש ז 𝑥 − 𝜆 ∈ 𝐹 𝑋 מסדר אז מטריצת יעקובסון שלהr מסדר ורדן 'נקראת גוש ז rהיא ו

:מהצורה

J𝑟 𝜆 =

𝜆 01 𝜆

1 𝜆⋱ ⋱

0 1 𝜆

∈ 𝑀𝑟 𝐹

𝐶𝑟 𝑞 דומה ל-𝐶 𝑞𝑟 . בפרט𝑚𝐶𝑟 𝑞 = 𝑓𝐶𝑟 𝑞 = 𝑞𝑟

Page 9: Linear Algebra 2

9

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

צורות קנוניות

𝑇:𝑉מרחב וקטורי ותהי 𝑉יהי :משפט → 𝑉 ריקים מתוקנים אזי קיימים פולינומים אי פ. העתקה לינארית 𝑞𝑖 𝑖=1𝑠 יחידים עד כדי

1ולכל , הסדר ≤ 𝑖 ≤ 𝑠 מספרים שלמים יימת סדרה יחידה שלק

(1) 𝑟𝑖 = 𝑛𝑖1 ≥ 𝑛𝑖2 ≥ ⋯ ≥ 𝑛𝑖𝑡𝑖 ≥ 1

𝑇 𝐵 המקיים 𝐵כך שקיים בסיס (2)𝐵 = 𝐶 =

𝐶1 0

⋱0 𝐶𝑠

𝐶𝑖כאשר =

𝐶𝑛𝑖1 (𝑞𝑖) 0

⋱0 𝐶𝑛 𝑖𝑡 𝑖

𝑞𝑖

(3) 𝑚𝑇 = 𝑞1𝑟1 ∙ … ∙ 𝑞𝑠

𝑟𝑠 וגם𝑓𝑇 = 𝑞1

𝑛1𝑗𝑡1𝑗=1

∙ … ∙ 𝑞𝑠 𝑛𝑠𝑗𝑡𝑠𝑗=1

השלמים לכל תת המספריםורדן וסדרות 'מפירוק רציונאלי מקבלים את גושי זאז מפירוק פרימרי מקבלים את הפולינומים ו :הערה

.מרחב שקיבלנו מפירוק פרימרי

תצורת יעקובסון רציונאלינקראת 𝐶טריצה מ

מ הן שוות"דומות אמ תרציונאליומטריצות בצורת יעקובסון

לכל𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 קיימת מטריצת יעקובסון יחידה𝐶 עד כדי סדר הגושים והיא דומה ל-𝐴.

𝑟𝑖כמו במשפט קודם עם תרת יעקובסון רציונאליעבור מטריצה מצו (:הגדרה)ורדן 'צורת ז = מתפרק לגורמים 𝑚𝑇כלומר , 𝑖לכל 1

.ורדן'קוראים צורת ז, ממעלה ראשונה

( מרוכבים למשל)תמיד קיימת בשדה סגור אלגברית

𝐽תהי :ורדן'העלאה בחזקה של מטריצת ז ∈ 𝑀𝑛 𝐹 גוש כל כאשר מטריצת גושים באלכסון, כלומר. ורדן'מטריצת ז𝑖 הוא

𝐽𝑟𝑖 𝜆𝑖מהצורה

𝐽 =

𝐽𝑟1 𝜆1 0

⋱0 𝐽𝑟𝑠 𝜆𝑠

𝐽𝑘 , אז =

𝐽𝑟1𝑘 𝜆1 0

⋱0 𝐽𝑟𝑠

𝑘 𝜆𝑠 𝐽𝑟𝑖כאשר

𝑛 𝜆𝑖 = 𝜆𝑘−𝑖 𝑘𝑖 𝐽𝑛𝑖 0 ∞

𝑖=0 היא

𝜆𝑘 0

𝑘1 𝜆𝑘−1 𝜆𝑘

⋮ 𝑘1 𝜆𝑘−1 𝜆𝑘

𝑘𝑛−2

𝜆𝑘− 𝑛−2 ⋮ ⋱ ⋱

𝑘𝑛−1

𝜆𝑘− 𝑛−1 𝑘𝑛−1

𝜆𝑘− 𝑛−1 ⋯ 𝑘1 𝜆𝑘−1 𝜆𝑘

∈ 𝑀𝑟𝑖 𝐹

לכל מתקיים𝑘 ≥ 𝑛 מתקיים𝐽𝑛 = 𝐽𝑘 י כ𝐽𝑛𝑘 0 = 0 .

לכל מטריצה𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 ורדן 'אם יש לה צורת ז𝐽𝐴 אז מתקיים𝐴𝑘 = 𝑃𝐽𝐴𝑘𝑃.

Page 10: Linear Algebra 2

10

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝑣1ויהיו 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)בלתי תלויים לינארית מודולו ,… , 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 . אם לכל𝛼1 ,… ,𝛼𝑘 ∈ 𝐹 מתקיים

𝛼𝑖𝑣𝑖 שאם 𝑘𝑖=1 ∈ 𝑊 אז∀𝑖 𝛼𝑖 = 𝑣1אז נאמר ש 0 ,… , 𝑣𝑘 מ"בתל-W כאשר𝑊 הוא תת מרחב של𝑉.

𝑊ויהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :למה ⊆ 𝑉 שהסדרה מתקיים. תת מרחב 𝑣1 ,… , 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 מ "בתל𝑊 מ "מקסימלית אמ

𝑣1 ,… , 𝑣𝑘 ,𝑤1 ,… ,𝑤𝑙 מהווים בסיס של 𝑉 עבור 𝑤1 ,… ,𝑤𝑙 ∈ 𝑊. מתקיים ,כלומר𝑉 = 𝑊⊕𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 ,… , 𝑣𝑘 .

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :למה → 𝑉 יהיו . העתקה לינארית 𝜆𝑖 𝑖=1𝑟 ערכים עצמיים של𝑇 ו-𝑚𝑇 =

𝑥 − 𝜆𝑖 𝑚 𝑖𝑟

𝑖=1 פולינומים מזערי של𝑇 .משפט פירוק פרימרי מתקיים לפי𝑉 = 𝑊𝑖𝑟𝑖=1 כאשר𝑊𝑖 = ker 𝑇 − 𝜆𝑖

𝑚 𝑖 אז

מתקיים 𝑖לכל

0 ⊂ ker 𝑇 − 𝜆𝑖 1 ⊂ ⋯ ⊂ ker 𝑇 − 𝜆𝑖

𝑚 𝑖−1 ⊂ ker 𝑇 − 𝜆𝑖 𝑚 𝑖 = 𝑊𝑖 = ker 𝑇 − 𝜆𝑖

𝑚 𝑖+1

𝑇:𝑉ותהי 𝐹י מעל שדה מרחב וקטור 𝑉יהי :משפט → 𝑉 יהיו . העתקה לינארית 𝜆𝑖 𝑖=1𝑟 ערכים עצמיים של𝑇 ו-𝑚𝑇 =

𝑥 − 𝜆𝑖 𝑚 𝑖𝑟

𝑖=1 פולינומים מזערי של𝑇 . תהי𝐽 ורדן של 'צורת ז𝑇 אז

∋ 𝐶 𝜆𝑖אז 𝜆𝑖הוא הריבוי האלגברי של 𝛼𝑖נסמן ,𝑖לכל (1) 𝑀𝛼𝑖 𝐹 ב-𝐽

𝐽𝑛צורה המ ורדן'הז אז כמות הבלוקי 𝜆𝑖הוא הריבוי הגיאומטרי של 𝛾𝑖נסמן 𝑖לכל (2) 𝑖𝑗 𝜆𝑖 ב-𝐶 𝜆𝑖 היא𝛾𝑖.

.𝑚𝑖הוא מסדר 𝐶 𝜆𝑖-ב 𝜆𝑖ורדן הגדול ביותר של 'זבלוק 𝑖כל ל (3)

:רדן'תהליך מציאת בסיס מז

Page 11: Linear Algebra 2

11

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

מרחבי מכפלה פנימית

𝐹בפרק זה ∈ ℂ,ℝ

𝑉היא העתקה 𝑉מכפלה פנימית על . 𝐹וקטורי מעל שדה מרחב 𝑉יהי (:הגדרה)מכפלה פנימית × 𝑉 → 𝐹 המקיימת לכל

𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ ∈ 𝑉 ו-𝛼 ∈ 𝐹 סימון)את התכונות הבאות : 𝑢, 𝑣 = 𝛼 )

(1) 𝑢, 𝑣 + 𝑣 ′ = 𝑢, 𝑣 + 𝑢, 𝑣 ′

(2) 𝑢,𝛼𝑣 = 𝛼 𝑢, 𝑣

(3) 𝑣, 𝑢 = 𝑢, 𝑣 (4) 𝑣, 𝑣 > 𝑣לכל 0 ≠ 0.

תכונות בסיסיות: o 𝑢 + 𝑢′ , 𝑣 = 𝑢, 𝑣 + 𝑢′ , 𝑣 o 𝛼𝑢, 𝑣 = 𝛼 𝑢, 𝑣 o 𝑢, 0 = 0, 𝑣 = 0

𝑉יהי (:הגדרה)או סקלרית סטנדרטיתמכפלה = 𝐹𝑛 המכפלה הסטנדרטית היא . מרחב וקטורי 𝑢, 𝑣 𝑠𝑡 = 𝑢 𝑡𝑣 כלומר ,

𝑢1𝑢2⋮𝑢𝑛 ,

𝑣1𝑣2⋮𝑣𝑛

𝑠𝑡

= 𝑎𝑖 𝑏𝑖𝑛𝑖=1 .

= 𝑢 : הנורמה היא 𝐹מעל שדה כפלה פנימיתמ מרחב 𝑉יהי (:הגדרה)נורמה 𝑢,𝑢 .

,𝑢נאמר ש 𝐹מעל שדה מרחב מכפלה פנימית 𝑉יהי (:הגדרה)ניצב 𝑣 ∈ 𝑉 ניצבים זה לזה אם 𝑢, 𝑣 = 𝑣,𝑢 = 𝑢ונסמן 0 ⊥ 𝑣 .

𝑢𝑖 𝑖∈𝐼 תהי ו 𝐹מעל שדה מרחב מכפלה פנימית 𝑉יהי (:הגדרה) תסדרה אורתוגונאלי ⊆ 𝑉 אמר שנ-𝑢𝑖 אם אורתוגונאליתסדרה

,𝑖לכל 𝑗 ∈ 𝐼 כאשר𝑖 ≠ 𝑗 מתקיים 𝑢𝑖 ,𝑢𝑗 = 0

𝑢𝑖 𝑖∈𝐼 תהי ו 𝐹מעל שדה מרחב מכפלה פנימית 𝑉יהי (:הגדרה) סדרה אורתונורמלית ⊆ 𝑉 נאמר ש-𝑢𝑖 נורמלית אם אורתוסדרה

𝑖היא אורתוגונאלית ולכל ∈ 𝐼 מתקיים 𝑢𝑖 ,𝑢𝑖 = 1.

הינו 𝑈 האורתוגונאלי שלהמשלים . תת מרחב שלו 𝑈ויהי 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה) אורתוגונאלימשלים

𝑈⊥ = 𝑣 ∈ 𝑉|∀𝑢∈𝑈 𝑢, 𝑣 = 0

𝑈⊥ גם הוא תת מרחב של𝑉

dim𝑈⊥ = dim𝑉 − dim𝑈 כלומר𝑈⊕𝑈⊥ = 𝑉.

עבור𝑉 ית נוצר סופ 𝑈⊥ ⊥ = 𝑈.

𝐵יהי .תת מרחב שלו 𝑈ויהי 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי :(הדרגה) אורתוגונאלי טלהי = 𝑢𝑖 𝑖=1𝑘 אורתוגונאלי יסבס

𝑣ר וטקו לש ילהאורתוגונא טליהה .𝑈-ל ∈ 𝑉 חבמרה תת לע 𝑈 ר וטקוה אהו𝑣𝑈 = 𝑢 𝑖 ,𝑣

𝑢 𝑖 ,𝑢𝑖 𝑢𝑖

𝑘𝑖=1 .

,𝑢 יןב קמרחה .𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)ורים טקו ןיב חקרמ 𝑣 ∈ 𝑉 א הו 𝑢 − 𝑣

𝑣-ל 𝑈ן ביק חרמה .תת מרחב שלו 𝑈ויהי 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי (:הדרהג) חבמרת לתר טוקו יןב חקרמ ∈ 𝑉 ואה

inf𝑢∈𝑈 𝑢 − 𝑣 .

𝑑 𝑈, 𝑣 = 𝑑 𝑣𝑈 , 𝑣 = 𝑣𝑈 − 𝑣 .

Page 12: Linear Algebra 2

12

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝑣𝑖 𝑖=1 תהי ו 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי :(Gram-Schmidt) שמידט-גרהם תהליך𝑛 ⊆ 𝑉. תהי 𝑢𝑖 𝑖=1

𝑛 ⊆ 𝑉

: המוגדרת באופן הבא

(1) 𝑢1 = 𝑣1

(2) 𝑢𝑘+1 = 𝑣𝑘+1 − 𝑐𝑖𝑢𝑖𝑘𝑖=1 כאשר𝑐𝑖 =

𝑢 𝑖 ,𝑣𝑘+1

𝑢 𝑖 2 , 𝑢𝑖 ≠ 0

0, 𝑢𝑖 = 0

אזי

(1) 𝑢𝑖 𝑖=1𝑛 תאורתוגונאלי

(2) 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑢𝑖 𝑖=1𝑛 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣𝑖 𝑖=1

𝑛

(3) ∀1≤𝑘≤𝑛 𝑣𝑘 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣𝑖 𝑖=1𝑘−1 ⟺ 𝑢𝑘 = 0

𝑣𝑖 𝑖=1 תא קחני תילמורנותרוארה דסל קבלת מנ לע :רההע𝑛 ה סדרה אתר דינגו אורתוגונאלית יאה ,דטשמי-םהגר ךליתהמ

𝑣𝑖

𝑣𝑖 𝑖=1

𝑛 .תלירמנואורתוא יה

,𝑢ויהיו 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉 יהי (:Cauchy-Schwarz)שוורץ -אי שוויון קושי 𝑣 ∈ 𝑉

,𝑢 אז 𝑣 ≤ 𝑢 ∙ 𝑣

מ "מתקיים שוויון אמ :הערה𝑢, 𝑣 תלויים לינארית.

,𝑢ויהיו 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי :אי שוויון המשולש 𝑣 ∈ 𝑉 אז 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣

לה פנימיתהעתקות במרחב מכפ

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)העתקה צמודה → 𝑉. העתקה ה𝑇∗ תיקרא העתקה צמודה היא מקיימת

∀𝑢 ,𝑣∈𝑉 𝑇 𝑢 , 𝑣 = 𝑢,𝑇∗ 𝑣 .

יחידה ולינארית לכל , קיימת𝑇

תהי :תכונות𝑆:𝑉 → 𝑉 העתקה לינארית ויהי𝑎 ∈ 𝐹 אז

o 𝑇 + 𝑆 ∗ = 𝑇∗ + 𝑆∗ o 𝑎𝑇 ∗ = 𝑎 𝑇∗ o 𝑇𝑆 ∗ = 𝑆∗𝑇∗ o 𝑇∗ ∗ = 𝑇.

סוגי צמודות:

o צמודה לעצמה: 𝑇 = 𝑇∗ אם𝐹 = ℂ נאמר ש-𝑇 הרמיטית אם𝐹 = ℝ נאמר ש-𝑇 סימטרית

o אוניטרית: 𝑇∗𝑇 = 1𝑉 העתקת הזהות אם𝐹 = ℝ נאמר ש-𝑇 אורתוגונלית

o נורמלית: 𝑇∗𝑇 = 𝑇𝑇∗

𝐴שדה ותהי 𝐹יהי (:הגדרה)מטריצה צמודה ∈ 𝑀𝑛 𝐹 . המטריצה𝐴∗ תקרא המטריצה הצמודה של𝐴 אם היא מקיימת

∀𝑖,𝑗 𝐴∗ 𝑖𝑗 = 𝐴 𝑗𝑖 , כלומר𝐴∗ = 𝐴𝑡 .

𝑇:𝑉תהי , 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי :משפט → 𝑉 ויהי𝐵 של ורמליאורתונבסיס𝑉 . אז 𝑇∗ 𝐵𝐵 = 𝑇 𝐵

𝐵 ∗

𝑇:𝑉תהי ו ℂמרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי : משפט → 𝑉 אז𝑇 = 𝑇∗ מ "אמ∀𝑣∈𝑉 𝑣,𝑇 𝑣 ∈ ℝ.

Page 13: Linear Algebra 2

13

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

יהי :למה𝑉 מרחב מכפלה פנימית מעל שדה𝐹 , תהי𝑇:𝑉 → 𝑉 . לכל נניח כי𝑣 ∈ 𝑉 מתקיים 𝑣,𝑇 𝑣 = 𝐹-ו 0 = ℂ

𝐹-ש או = ℝ אבל𝑇 צמודה לעצמה אז𝑇 = 0.

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי :משפט → 𝑉 הטענות הבאות שקולות:

(1) T אוניטרית (2) 𝑇𝑇∗ = 1𝑉 (3) 𝑇 של אורתונורמלימעתיקה כל בסיס𝑉 של אורתונורמליתלבסיס𝑉 (4) 𝑇 כלומר . משמרת מכפלה פנימית∀𝑢 ,𝑣∈𝑉 𝑇 𝑣 ,𝑇 𝑢 = 𝑣,𝑢

(5) 𝑇 כלומר. משמרת נורמה ,∀𝑢∈𝑉 𝑇 𝑢 = 𝑢 (6) 𝑇 כלומר. משמרת מרחק ,∀𝑢 ,𝑣∈𝑉 𝑇 𝑢 − 𝑇(𝑣) = 𝑢 − 𝑣

תלירמונ איה תירניטאוה תקעהל כ :הקנמס

𝐴 תהי :דוגמה ∈ 𝑀2 ℝ ויהי𝜃 ∈ ℝ .𝐴 מ היא מהצורה"אמ תאורתוגונאלי : cos𝜃 sin𝜃sin𝜃 − cos𝜃

או cos𝜃 − sin𝜃sin𝜃 cos𝜃

.

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי :למה → 𝑉 אז וקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים . נורמלית

.ניצבים זה לזה

𝑇:𝑉ותהי 𝐹מרחב מכפלה פנימית מעל שדה 𝑉יהי :למה → 𝑉 כך ש 𝑓𝑇 הוא מכפלה של גורמים מהצורה𝑥 − 𝜆 כאשר𝜆 ∈ 𝐹 . אז

𝑇 מ קיים בסיס "נורמלית אמ𝐵 אורתונומלי של𝑉 המורכב כולו מוקטורים עצמיים של𝑇 (כלומר ,𝑇 לכסינה ו-𝐵 בסיס מלכסן.)

אם שברור :הערה𝐹 = ℂ אז𝑓𝑇 הוא מהצורה המבוקשת מהמשפט היסודי של האלגברה.

:משפט

יהי :עבור העתקות𝑉 מרחב מכפלה פנימית מעל שדהℂ ותהי𝑇:𝑉 → 𝑉 .𝑇 אורתונורמלימ קיים בסיס "נורמלית אמ 𝐵

𝑇 𝐵 כלומר ) 𝑇המורכב מוקטורים עצמיים של 𝑉של 𝐵 אלכסונית.)

תהי :עבור מטריצות𝐴 ∈ 𝑀𝑛 ℂ .𝐴 מ קיימת "אמ תנורמאלי𝑃 ∈ 𝑀𝑛 ℂ אוניטרית כך ש 𝑃−1𝐴𝑃 = 𝑃∗𝐴𝑃

.אלכסונית

𝐴תהי :משפט ∈ 𝑀𝑛 𝐹 אז . ורמליתנ

(1) 𝐴 מ כל שורשי "ה אממצמודה לעצ𝑓𝐴 𝑥 ב-ℂ הם ממשיים. (2) 𝐴 אוניטרית אם כל שורשי𝑓𝐴(𝑥) ב-ℂ 1הם בעלי ערך מוחלט.

:משפט

יהי :עבור העתקות𝑉 ה מרחב מכפלה פנימית מעל שדℝ ותהי𝑇:𝑉 → 𝑉 .𝑇 אורתונורמלימ קיים בסיס "אמ צמודה לעצמה

𝐵 של𝑉 מוקטורים עצמיים של המורכב𝑇 ( כלומר 𝑇 𝐵𝐵 אלכסונית.)

תהי :עבור מטריצות𝐴 ∈ 𝑀𝑛 ℝ .𝐴 מ קיימת "אמ סימטרית𝑃 ∈ 𝑀𝑛 ℝ כך ש תאורתוגונאלי 𝑃−1𝐴𝑃 = 𝑃∗𝐴𝑃 =𝑃𝑡𝐴𝑃 אלכסונית.

Page 14: Linear Algebra 2

14

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝑇:𝑉ותהי ℝה מרחב מכפלה פנימית מעל שד 𝑉יהי : משפט → 𝑉 אורתונורמליאזי קיים בסיס . תליאורתוגונאהעתקה B של𝑉 כך

𝑇 𝐵 -ש𝐵 :היא מהצורה

1 0⋱

1−1

⋱−1

cosθ1 − sinθ1

sinθ1 cosθ1

⋱cosθr − sinθr

0 sinθr cosθr

2והמטריצות מסדר ( 1−)-ה( 1)-ללא אמירה על כמות ה × 2.

תבניות בילינאריות

𝑓:𝑉העתקה . 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי : (הגדרה)לפונקציונ → 𝐹1 לפונקציונלינארית תקרא.

𝑓:𝑉תבנית בילינארית היא ההעתקה מהצורה .𝐹מרחבים וקטורים מעל שדה 𝑉,𝑊יהיו (:הגדרה)תבנית בילינארית ×𝑊 → 𝐹

𝛼לכל המקיימת ∈ 𝐹, 𝑣, 𝑣 ′ ∈ 𝑉,𝑤,𝑤 ′ ∈ 𝑊 .

(1) 𝑓 𝑣 + 𝑣 ′ ,𝑤 = 𝑓 𝑣,𝑤 + 𝑓 𝑣 ′ ,𝑤 (2) 𝑓 𝛼𝑣,𝑤 = 𝛼𝑓 𝑣,𝑤 (3) 𝑓 𝑣,𝑤 +𝑤 ′ = 𝑓 𝑣,𝑤 + 𝑓(𝑣,𝑤 ′) (4) 𝑓 𝑣,𝛼𝑤 = 𝛼𝑓 𝑣,𝑤

מכפלה פנימית מעלℝ יליניאריתהיא תבנית ב.

𝑊-ו 𝑉אוסף כל התבניות הבילינאריות מעל . 𝐹מרחבים וקטורים מעל שדה 𝑉,𝑊יהיו (:הגדרה)מרחב התבניות הבילינאריות :מהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות החיבור והכפל בסקלר במוגדרות באופן הבא 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑊-מסומן ב

𝑓∀ :חיבור (1) ,𝑔∈𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑊 𝑓 + 𝑔 𝑣,𝑤 = 𝑓 𝑣,𝑤 + 𝑔 𝑣,𝑤

= 𝑓∈𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑊 𝛼𝑓 𝑣,𝑤∀ :כפל (2) 𝛼𝑓 𝑣,𝑤

′𝐴,𝐴. שדה 𝐹יהי (:הגדרה)מטריצות שקולות ∈ 𝑀𝑚×𝑛 𝐹 נקראות שקולות אם יש𝑃 ∈ 𝑀𝑚 𝐹 ו- 𝑄 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 כך הפיכות

′𝐴-ש = 𝑃𝑡𝐴𝑄.

′𝐴,𝐴. שדה 𝐹יהי (:הגדרה)מטריצות חופפות ∈ 𝑀𝑛 𝐹 אם יש ותפפחונקראות𝑃 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 כך שהפיכה-𝐴′ = 𝑃𝑡𝐴𝑃.

חפיפה הינה יחס שקילות.

𝐵יהיו . 𝐹מרחבים וקטורים מעל שדה 𝑉,𝑊יהיו :משפט = 𝑣𝑖 𝑖=1𝑚 בסיס ל-𝑉 ו-𝐶 = 𝑤𝑖 𝑖=1

𝑛 בסיס של𝑊 .

𝑓תהי ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑊 ומטריצה𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 𝐹 י "המוגדרת ע 𝐴 𝑖𝑗 = 𝜃 𝑓 = 𝑓 𝑣𝑖 ,𝑤𝑗 אזי .

𝑣לכל (1) ∈ 𝑉 ולכל𝑤 ∈ 𝑊 מתקיים𝑓 𝑣,𝑤 = 𝑣 𝐵 𝑡𝐴 𝑤 𝐶.

→ 𝜃:𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑊ההעתקה (2) 𝑀𝑚×𝑛 𝐹 (.של מרחבים וקטורים)בתנאי המשפט הינה איזומורפיזם לפי ההגדרה

= dim𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑊אז . 𝐹מרחבים וקטורים מעל שדה 𝑉,𝑊יהיו :משפט dim𝑉 ∙ dim𝑊

Page 15: Linear Algebra 2

15

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

′𝐵יהיו . 𝐹מרחבים וקטורים מעל שדה 𝑉,𝑊יהיו :משפט ,𝐵 בסיסים של𝑉 ויהיו𝐶′ ,𝐶 בסיסים של𝑊 . תהי𝑓 ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑊

𝐴ויהיו = 𝑓 𝐵,𝐶𝐵,𝐶

′𝐴-ו = 𝑓 𝐵′ , 𝐶 ′𝐵′ , 𝐶 ′

′𝐴אזי . 𝑓מטריצות של העתקה = 𝑃𝑡𝐴𝑄 כאשר𝑃 היא מטריצת המעבר מ-𝐵 ל-𝐵′ ו-𝑄 היא

.′𝐶-ל 𝐶-מטריצת המעבר מ

′𝐴,𝐴שדה ויהיו 𝐹יהי :משפט ∈ 𝑀𝑚×𝑛 𝐹 .

(1) 𝐴,𝐴′ מ "שקולות אמ𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴′ (2) 𝐴,𝐴′ מ הן מייצגות את אותה תבנית בילינארית"ת אמשקולו. (3) 𝐴,𝐴′ מ הן מייצגות את אותה תבנית בילינארית "חופפות אמ𝑓 ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑉 .

סימטריות ותבניות ריבועיות בילינאריותתבניות

𝑓תבנית . 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)תבנית בילינארית סימטרית ∈ 𝐵 𝑉,𝑉 קראית סימטרית אם לכל נ𝑣,𝑤 ∈ 𝑉

= 𝑓 𝑣,𝑤מתקיים 𝑓 𝑤, 𝑣 .

𝑓תהי .𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)תבנית ריבועית ∈ 𝐵 𝑉,𝑉 הפונקציה . תבנית סימטרית𝑞:𝑉 → 𝐹 המוגדרת

= 𝑞 𝑣 י"ע 𝑓 𝑣, 𝑣 ת תבנית ריבועיתנקרא.

𝑓תהי . 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)דרגה של העתקה תבנית סימטרית ∈ 𝐵 𝑉,𝑉 הדרגה של . תבנית סימטרית𝑓 . 𝑓היא הדרגה של המטריצה המייצגת את 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓י "מסומנת ע

אין תלות בבחירת הבסיס.

𝑓ותהי ℝמרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)תבנית סימטרית חיובית ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑉 סימטרית .𝑓 לכל חיובית אם𝑣 ∈ 𝑉

,𝑓 𝑣מתקיים 𝑣 ≥ 0.

𝑓ותהי ℝמרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי (:הגדרה)תבנית סימטרית חיובית גמורה ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑉 סימטרית .𝑓 חיובית אם לכל

𝑣 ∈ 𝑉 מתקיים𝑓 𝑣, 𝑣 > 0.

𝐴תהי (:הגדרה)מינורים ראשיים = 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑀𝑛 ℝ . לכל𝑘 נסמן 𝐴𝑘 =

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑘

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑘1 ⋯ 𝑎𝑘𝑘

∈ 𝑀𝑘 ℝ א המינור יה

(.או הדטרמיננטה שלה) 𝐴הראשי של

𝑉. 𝑓-בסיס ל 𝐵ויהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :למה ∈ 𝐵 𝑉,𝑉 מ המטריצה "סימטרית אמ בילינאריתתבנית𝐴 = 𝑓 𝐵𝐵

.סימטרית

𝑓ותהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :למה ∈ 𝐵 𝑉,𝑉 אזי. סימטרית,

𝑣,𝑤לכל :למת הקיטוב (1) ∈ 𝑉 2מתקיים𝑓 𝑣,𝑤 = 𝑓 𝑣 +𝑤, 𝑣 +𝑤 − 𝑓 𝑣, 𝑣 − 𝑓 𝑤,𝑤 𝑐𝑕𝑎𝑟 𝐹אם (2) ≠ 𝑓-ו 2 ≠ 𝑢אז יש , 0 ∈ 𝑉 כך ש-𝑓 𝑢,𝑢 ≠ 0.

𝑓ותהי 𝐹מרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :משפט ∈ 𝐵 𝑉,𝑉 אם .סימטרית𝑐𝑕𝑎𝑟 𝐹 ≠ 𝐵סיס קיים ב, 2 = 𝑢1 ,… ,𝑢𝑛 של𝑉

𝑖כך שלכל ≠ 𝑗 מתקיים𝑓 𝑢𝑖 ,𝑢𝑗 = ,בפרט. 0

(1) 𝑓 𝐵𝐵 נית וסאלכ𝐷𝑖𝑎𝑔 𝑐1 ,… , 𝑐𝑛 , כאשר𝑐𝑖 = 𝑓 𝑢𝑖 ,𝑢𝑖 .

𝑣אם (2) = 𝑎𝑖𝑣𝑖𝑛𝑖=1 ו- 𝑤 = 𝑏𝑖𝑣𝑖

𝑛𝑖=1 אז𝑓 𝑣,𝑤 = 𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐𝑖

𝑛𝑖=1

𝑐𝑕𝑎𝑟 𝐹שדה כך ש 𝐹יהי :משפט ≠ 𝐴ותהי 2 ∈ 𝑀𝑛 𝐹 סימטרית אז𝐴 חופפת למטריצה אלכסונית .

Page 16: Linear Algebra 2

16

www.barvinograd.com/university וינוגרד בר : סיכום

[email protected]דן הרן' פרופ: מרצה

'סמסטר ב -2009 –אוניברסיטת תל אביב

𝑓ותהי ℂמרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :משפט ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑉 אז יש בסיס .סימטרית𝐵 ל-𝑉 כך שהמטריצה של 𝑓 לפי𝐵 היא

𝐷𝑟אלכסונית = 𝐷𝑖𝑎𝑔 1,… ,1 𝑟

, 0,… 𝑟כאשר 0, = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓.

כל מטריצה סימטרית מעל :מסקנהℂ חופפת למטריצה יחידה מהצורה𝐷𝑟

יהיו :מסקנה𝐴,𝐵 ∈ 𝑀𝑛 ℂ סימטריות אז𝐴,𝐵 מ "חופפות אמ𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐵

𝑓ותהי ℝמרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :משפט ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑉 ז יש בסיס לא .סימטרית-𝑉 כך שהמטריצה של𝑓 לפיו היא מהצורה

𝐷𝑝 ,𝑞 = 𝐷𝑖𝑎𝑔 1,… ,1 𝑝

,−1,… ,−1 𝑞

, 0,… ,0

𝑓ותהי ℝמעל שדה 𝑛מרחב וקטורי ממימד 𝑉יהי :(Sylvester) סילבסטר משפט ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑉 סימטרית.

𝐵יהיו = 𝑣1 ,… , 𝑣𝑛 ו- 𝐵′ = 𝑢1,… ,𝑢𝑛 בסיסים ל-𝑉 ותהיינה𝐷𝑝 ,𝑞 ו-𝐷𝑠,𝑡לפי הבסיסים 𝑓את המייצגות אלכסוניות מטריצות ′

𝑝אז מתקיים .בהתאמה = 𝑠, 𝑞 = 𝑡.

תהי : מסקנה𝐴 ∈ 𝑀𝑛 ℝ אז , סימטרית (1) 𝐴 חופפת למטריצה יחידה מהצורה𝐷𝑝 ,𝑞

𝐴תהי (:הגדרה)סיגנטורה ∈ 𝑀𝑛 ℝ אם . סימטרית𝐴 ופפת לח-𝐷𝑝 ,𝑞 אז𝜎 𝐴 = 𝑝 − 𝑞 היא הסיגנטורה של𝐴

𝐴,𝐵 ∈ 𝑀𝑛 ℝ מ יש להן את אותה הדרגה ואותה הסיגנטורה"סימטריות אמ.

𝑓ותהי 𝑉-בסיס ל 𝐵יהי , 𝑛ממימד ℝמרחב וקטורי מעל שדה 𝑉יהי :משפט ∈ 𝐵𝑖𝑙 𝑉,𝑉 נסמן .סימטרית𝐴 = 𝑓 𝐵𝐵. התנאים

: םהבאים שקולי

(1) 𝑓 חיובית גמורה (2) 𝐴 חופפת ל-𝐷 = 𝐷𝑖𝑎𝑔 𝑐1 ,… , 𝑐𝑛 כאשר∀𝑖 𝑐𝑖 > 0. (3) 𝐴 חופפת ל-𝐼𝑛

(4) σ 𝐴 = 𝑛 (5) 𝑓 מכפלה פנימית על𝑉 בייםממשיים וחיו 𝑓𝐴כל שורשי (6)

𝐴תהי :משפט ∈ 𝑀𝑛 ℝ סימטרית כך ש det𝐴1 ,… , det𝐴𝑛 ≠ 𝐷𝑝-חופפת ל 𝐴אזי . 0 ,𝑞 כאשר𝑞 הינו מספר החלפות הסימן

.רה זודהחלפות הסימן בס-הינו מספר אי 𝑝-בסדרת הדטרמיננטות ו