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Linear Algebraic Equations4장선형방정식시스템
예 4.3
831
730
653
421BA
224
311
863513
743201BA
2493
2190
8*33*31*3
7*33*30*33B
1482
1151
863513
743201BA
64
52
31TA
예 4.3
03
23
12
224
102
131
BA
280
042
213
2*21*21*42*20*23*44*22*21*4
2*11*01*22*10*03*24*12*01*2
2*11*31*12*10*33*14*12*31*12 AAAAA
84
21
710
0*22*21*43*23*22*4
0*22*01*23*13*02*2
0*12*31*13*13*32*1
ABAB
200
630
121
U
상삼각행렬
261
032
001
U
하삼각행렬
200
030
001
U
대각행렬
100
010
001
U
단위행렬
Matlab
>> ones(2)>> zeros(2,4)>>rand(2,4)>>eyes(3)>>v=[3 2 5]>>D=diag(v)>>C=[2 -4 7; 3 1 8; -1 5 6]>>u=diag(C)>>v=inv(C )>>C’
Matlab
>>A =[2 5; 0 6]>>B = [1 3; 4 2]>>A*B>>A^2>>A/B>>A.*B
6
Noncomputer Methods for Solving
Systems of Equations
• 방정식의 갯수 (n ≤ 3) 선형 방정식들은 “소거의 방법." 같은 간단한 방법으로 쉽게 해결할 수 있다.
• 선형 대수학은 선형 방정식의 이러한 시스템을 해결하는도구를 제공하고있다.
• 요즘 컴퓨터에 쉽게 접근할 수 선형 대수 방정식이 가능하고 실용적인 대규모 세트의 해결책을 제공한다.
7
Gauss Elimination
가우스소거법
Solving Small Numbers of Equations
• There are many ways to solve a system of
linear equations:
– Graphical method
– Cramer’s rule
– Method of elimination
– Computer methods
For n ≤ 3
8
Graphical Method
• For two equations:
• Solve both equations for x2:
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
22
21
22
212
12
12
11
12
112 intercept(slope)
a
bx
a
ax
xxa
bx
a
ax
9
10
특이(Singular) 불량조건 (ill-conditioned)
Part 3 11
12
Determinants and Cramer’s Rule
• Determinant can be illustrated for a set of three
equations:
• Where [A] is the coefficient matrix:
BxA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Part 3 13
• 모든 행렬이 정사각형 행렬이라는 가정하에, 정사각형 행렬 [A]와 관련된오더(order)로 결정되는 [A]의행렬식(determinant). D
만약 [A]의 order가 1라고하며, [A] 는하나의요소를갖는다. [A]=[a11] D=a11
• 정사각형오더가 3이라면요소의소행렬식(minor)는행렬 [A] 행 i 및열 j을삭제하여 order 2의행렬식를결정하면된다.
22313221
3231
2221
13
23313321
3331
2321
12
23323322
3332
2322
11
333231
232221
131211
aaaaaa
aaD
aaaaaa
aaD
aaaaaa
aaD
aaa
aaa
aaa
D
Part 3 14
15
• Cramer’s rule 은방정식의 계수들의 배열의 determinants의 비율 측면에서 선형방정식의 시스템의 해를 표현하는 방법이다.
• 예를들어 x1 은아래와같이계산가능:
D
aab
aab
aab
x33323
23222
13121
1
16
17
4.2 Method of Elimination
• 기본 전략은 연속적으로 미지수의 집합의 방정식 중 하나를 해결하기 위해 대체방법을 이용하여 나머지 방정식에서 해당 변수를 제거하는 것임.
• 미지수의제거는 2, 3개 방정식인 시스템을 확장할 수 있지만, 이 방법은 수동으로 할 경우 매우 지루하다.
18
Naive Gauss Elimination
• 미지수를 소거한다거나 후진대입을 하는 체계적 도식이나 알고리즘을 개발하므로 일련의 대형형태의 방정식에적용할 수 있음
• 2개의 방정식의 해를 구하는 형식대로, n의 방정식은 두가지 관점에서 기술을 적용할 수 있다.– Forward elimination of unknowns
– Back substitution
Part 3 19
x1 = c1”/a11
x2 = (c’2 – a’21x1)/a’22
x3 = (c3 –a23x2-a31x3)/a33
Backward elimination
FrontSubstitution
Pivot equation
Pivot coefficient
Part 3 20
Normalization
a11가 0인 경우에는 어떻게? overflow error
21
삼각행렬만드는 것
후진대입법
Part 3 24
Part 3 25
Pitfalls of Elimination Methods• Division by zero.
– 소거와후진대입시 0으로나누어질가능성이있다.
• Round-off errors.
a11가 0인 경우에는 어떻게? overflow error Pivot method
상대오차 -0.00043%
유효자리수 증가
Part 3 26
Pitfalls of Elimination Methods
• Ill-conditioned systems. – 계수차이가 적은 변화일 경우 해에 큰 변화를 줄 수 있다.
– 2개 또는 여러 개의 방정식이 거의 같을때, 방정식을거의 만족시키는 넓은 범위의 해를 구할 수 있다.
– 라운드 오프오차가 계수에있어 작은 변화를 일으킬 수있으므로 이러한 변화는 큰오차를 초래할 경우가 있다.
27
Scaling Effect
28
29
4.3 Techniques for Improving Solutions
• Use of more significant figures.
• Pivoting. – 피봇계수가 0이라면 정규화단계는 0으로나누어진다.
– 피봇계수가 0에가까운경우동일한문제가발생될수있다. 이러한문제는피해야한다.
– Partial pivoting.가장큰요소가첫번째행으로오더러바꾸는방법
– Complete pivoting.
모든행중에서가장큰요소가첫번째행으로바꾸는방법
Partial pivoting
Part 3 30
15
9
6
11
4
3
2
1
2613
2471
1332
4231
x
x
x
x
6734c
ijac max
3/2max6
3,7
1,3
2,4
1
r
43,1.2d
순서를 변경
Partial 알고리즘
ijac max
6734c
3/2max6
3,7
1,3
2,4
1
r
43,1.2d
