Upload
roger
View
85
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Linear Programming ( Pemrograman Linier). Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012. Dual Problem. Inverse dari LP (Primal) Bukan lagi masalah optimal bagi peubah keputusan Masalah optimal bagi sumber daya - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Linear Programming(Pemrograman Linier)Program Studi StatistikaSemester Ganjil 2011/2012
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dual ProblemInverse dari LP (Primal)Bukan lagi masalah optimal bagi peubah
keputusan Masalah optimal bagi sumber dayaUntuk mempelajari efek perubahan-
perubahan koefisien dan ketersediaan sumber daya pada hasil optimal
Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’ dan menjadi aset: konsep “shadow price”
Bagaimana memanfaatkan aset tersebut dengan optimal
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Menentukan Dual Problem dari suatu LP (Primal)
LP semula dinamakan Primal ProblemJika Primal kasus max → Dual kasus minJika Primal kasus min → Dual kasus maxDibedakan dari tipe permasalahan
◦Masalah max yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≤
◦Masalah min yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≥
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Secara Umum Primal
◦ Normal Max
),...,1(,0......
...
... .. ...max
2211
22222121
11212111
2211
njxbxaxaxa
bxaxaxabxaxaxats
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
Dual:◦ Normal min◦ Invers dari
Primal◦ Dengan setiap
peubah mewakili setiap kendala ),...,1(,0
......
...
... .. ...min
2211
22222112
11221111
2211
miycyayaya
cyayayacyayayats
ybybybw
i
nmmnnn
mm
mm
mm
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual
Primal: max z(x1≥0) (x2≥0) … (xn≥0)
x1 x2 … xn
a11 a12 … a1n ≤b1a21 a22 … a2n ≤b2… … …
am1 am2 … amn ≤bm
y1
y2
…ym
Dual: min w
(y1≥0)(y2≥0)
…(ym≥0)
≥c1 ≥c2 … ≥cn
Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah primal ke-j
Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh LP Dakota sebagai Primal
0,, carpentry) (jam 85.05.12 finishing) (jam 205.124
kayu) (bahan 48 68 ..203060max
321
321
321
321
321
xxxxxxxxx
xxxtsxxxz
x1: jumlah bangkux2: jumlah mejax3: jumlah kursi
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Konsep Dual untuk Masalah Dakota
Seolah-olah Dakota akan menjual seluruh sumber daya (aset) nya, kepada pihak lain.
Peubah dari dual adalah harga dari setiap sumber daya ◦ Kayu dengan harga y1
◦ Jam finishing dengan harga y2
◦ Jam carpentry dengan harga y3
Fungsi obyektif adalah minimum total biaya yang harus dikeluarkan oleh pihak pembeli aset◦ Total persediaan kayu 48 unit (dengan harga y1)◦ Total persediaan jam finishing 20 jam (dengan harga y2)◦ Total persediaan jam carpentry 8 jam (dengan harga y3)
321 82048min yyyw
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Konsep Dual untuk Masalah Dakota
Kendala pada Dual: ‘konsep opportunity cost’, Nilai aset dengan komposisi sesuai
pembuatan bangku lebih besar daripada harga bangku
Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan meja lebih besar daripada harga meja
Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan kursi lebih besar daripada harga kursi
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
0,, carpentry) (jam 85.05.12 finishing) (jam 205.124
kayu) (bahan 48 68 ..203060max
321
321
321
321
321
xxxxxxxxx
xxxtsxxxz
Produk Nilai Jual Aset Yang dipakai untuk produksi
Harga produk
BangkuMejaKursi
321 248 yyy
Harga setiap aset/sumber daya adalah yi ,i=1, 2, 3
x1: jumlah bangkux2: jumlah mejax3: jumlah kursi
60321 5.126 yyy 30321 5.05.1 yyy 20
205.05.1305.126
60248
321
321
321
yyyyyyyyy
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual Dakota Problem
Primal: max z(x1≥0) (x2≥0) (x3≥0)
x1 x2 x3
8 6 1 ≤484 2 1.5 ≤202 1.5 0.5 ≤8
y1y2
ym
Dual: min w
(y1≥0)(y2≥0)(y3≥0)
≥60 ≥30 ≥20
0,, 205.05.1 305.126
60248..82048min
321
321
321
321
321
yyyyyyyyyyyyts
yyywDual
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh Primal Pada Diet Problem
104422 4321 xxxx
8542 4321 xxxx
0,,, 4321 xxxx
4321 80302050min xxxxz
500500150200400 4321 xxxx
623 21 xx
(Calorie constraint)(Chocolate constraint)(Sugar constraint)
(Fat constraint)
s.t.
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Konsep Dual untuk Diet Problem Pada primal, peubah adalah jumlah makanan yang harus
dibeli◦ Memenuhi kebutuhan nutrisi◦ Dengan biaya minimum
Pada dual, kita seolah-olah menjadi kolektor nutrisi:◦ Kalori, coklat, gula dan lemak◦ Sejumlah kebutuhan yang harus dipenuhi pada Primal
Nutrisi tersebut adalah aset yang kita jual◦ Keputusan: berapa harga per nutrisi agar keuntungan
maksimum
Kendala dari sudut pandang calon pembeli: ◦ Harga nutrisi sesuai komposisinya jika dibuat makanan harus
lebih murah daripada harga makanan masing-masing
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
104422 4321 xxxx
8542 4321 xxxx
0,,, 4321 xxxx
4321 80302050min xxxxz 500500150200400 4321 xxxx
623 21 xx
(Calorie constraint)(Chocolate constraint)(Sugar constraint)
(Fat constraint)
s.t.
x1: jumlah Browniex2: jumlah Ice Creamx3: jumlah Sodax4: jumlah Cheesecakey1: harga per unit kaloriy2: harga per unit coklaty3: harga per unit gulay4: harga per unit lemak
Makanan Nilai Jual Nutrisi
Harga makanan
BrownieIce creamSodaCheesecake
4321 223400 xyyy 504321 422200 xyyy 20
431 4150 xyy 30431 54500 xyy 80
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
50223400 4321 yyyy
20422200 4321 yyyy
304150 431 yyy
8054500 431 yyy
Kendala dari sudut pandang pembeli koleksi nutrisi kita
Tujuan penjualan nutrisi?Pendapatan maksimum:- Jumlah/persediaan setiap nutrisi kali harga setiap unit nutrisi
4321 8106500max yyyyw
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dalam bentuk Tabel Dual vs Primal Diet Problem
Primal: min z(x1≥0) (x2≥0) (x3≥0) (x4≥0)
X1 x2 x3 x4
400 200 150 500 ≥5003 2 0 0 ≥62 2 4 4 ≥102 4 1 5 ≥8
y1
y2
ym
Dual: max w
(y1≥0)(y2≥0)(y3≥0)
≤50 ≤20 ≤30 ≤80
4321 8106500max yyyyw 50223400 4321 yyyy
20422200 4321 yyyy
304150 431 yyy
8054500 431 yyy
s.t.
0,,, 4321 yyyy
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Teorema Dual (Weak Duality)
),...,1(,0......
...
... .. ...max
2211
22222121
11212111
2211
njxbxaxaxa
bxaxaxabxaxaxats
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
),...,1(,0......
...
... .. ...min
2211
22222112
11221111
2211
miycyayaya
cyayayacyayayats
ybybybw
i
nmmnnn
mm
mm
mm
nx
xx
...2
1
x myyy ...21ySolusi feasibel dari primal:
Solusi feasibel dari dual:
yx untuk untuk wz
ybcx
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh Weak Duality pada Dakota Problem
0,, carpentry) (jam 85.05.12 finishing) (jam 205.124
kayu) (bahan 48 68 ..203060max
321
321
321
321
321
xxxxxxxxx
xxxtsxxxz
111
xSolusi feasibel dari primal.
110120130160 zDengan nilai z:
Tidak ada solusi dual feasibel dengan w<110
Semua solusi dual feasibel mempunyai w≥110
110z
w
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
0,, 205.05.1 305.126
60248..82048min
321
321
321
321
321
yyyyyyyyyyyyts
yyyw 01010y
Solusi feasibel dari Dual.
6800810201048 wDengan nilai w:
Semua solusi primal feasibel mempunyai z≤680
Tidak ada solusi primal feasibel dengan z>680
680w
z
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Teorema Dual (Strong Duality)
nx
xx
...2
1
x myyy ...21ySolusi optimal dari primal:
Solusi optimal dari dual:
Maka akan berlaku: wz min max
byxc
Jika BV adalah basis optimal bagi primal maka solusi optimal dari dual adalah:
1 BBVcy
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Solusi Dual Dakota Problem berdasarkan Teorema Dual:
5.15.00420821
1B 60200BVc
1 Bcy BV
131 ,, xxsBV Basis optimal bagi primal
10100
Solusi optimal bagi dual:
10,10,0 321 yyy
2801081020048 w
Harga setiap aset/sumber daya adalah:-Kayu (y1) seharga $0-Jam finishing (y2) seharga $10- Jam carpentry (y3) seharga $10
Dengan harga jual aset: $280
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Membaca Solusi Dual dari Optimal Tableau Solusi dual dapat diperoleh dari baris nol tableau optimal
(Primal) Tergantung dari tipe permasalahan primal, max atau min Karena peubah dual mewakili kendala dual:
◦ Tergantung pula dari tanda pada kendala (≤, ≥, =)
Tanda pada kendala
Solusi Dual ke-i dari baris nol tableau optimal
≤ Koefisien si ≥ (-) Koefisien ei = Koefisien ai - M
PRIMAL kasus MAX
PRIMAL kasus MINTanda
pada kendala
Solusi Dual dari baris nol tableau optimal
≤ Koefisien si ≥ (-) Koefisien ei = Koefisien ai + M
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Tableau Optimal Dakota’s Problem
Semua kendala pada Dakota’s Problem Primal adalah ≤ Solusi dual (yi, i=1, 2, 3), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah
koefisien si, i=1, 2, 3
Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV
Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2
10100321 yyy 280maxmin zwHarga setiap aset/sumber daya adalah:-Kayu (y1) seharga $0-Jam finishing (y2) seharga $10- Jam carpentry (y3) seharga $10
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Tableau Optimal Diet’s Problem
BVz=90x3=1e4=5
e1=432x2=3
z x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 a4 rhs1 -2,75 0 0 -50 0 -2,5 -7,5 0 02,5-M 7,5-M 7,5-M 90
Baris 1 0 -0,25 0 1 1 0 0,25 -0,25 0 0 -0,25 0,25 0 1Baris 2 0 3,75 0 0 -4 0 -1,75 -0,25 1 0 1,75 0,25 -1 5Baris 3 0 -1 0 0 -495,6 1 -126,2 -46,6 36,4 -1 126,2 46,6 -36,4 432Baris 4 0 1,5 1 0 0 0 -0,5 0 0 0 0,5 0 0 3
Semua kendala pada Diet’s Problem Primal adalah ≥ Solusi dual (yi, i=1, 2, 3, 4), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah (-)
koefisien ei, i=1, 2, 3, 4
05.75.204321 yyyy
Harga setiap aset nutrisi adalah:-Kalori (y1) seharga $0-Coklat (y2) seharga $2.5- Gula (y3) seharga $7.5-Lemak (y4) seharga $0
90minmax zw
Dengan harga jual maksimum $90
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Konsep Shadow Prices (Harga Bayangan)Shadow Price kendala ke-i suatu LP:
◦ Ukuran seberapa banyak perbaikan nilai optimal z jika jumlah sumber daya (koefisien rhs) bertambah satu unit
Dapat dianalisis dari konsep dual
iΔbzz i -ke kendalabayangan hargalama maxbaru max
iΔbzz i -ke kendalabayangan hargalama minbaru min
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Konsep Shadow Price dari Dakota’s ProblemNilai optimal keuntungan
280max zDiperoleh pada ketersediaan:
48 unit kayu20 jam finishing8 jam carpentry
Dari dual: Setiap unit kayu berharga $0Setiap jam finishing berharga $10Setiap jam carpentry berharga $10
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Nilai optimal z dapat dinyatakan dalam peubah dual:
321 82048max yyyz 2801081020048
Harga bayangan finishing hour adalah:Perbaikan (penambahan) nilai z ketika
persediaan finishing hour bertambah 1 jam
2120 12 bb
321 82148'max yyyz 321 82048max yyyz
Perbaikan z sebesar y2 = $10: Shadow Price
2901081021048
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Solusi optimal peubah dual ke-i adalah shadow price dari kendala ke-i masalah Primal
ii yΔbzz lama maxbaru max
1iΔb iyzz baru max-lama maxHarga bayangan kayu adalah:
Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan kayu bertambah 1 unit
0$1 y
Harga bayangan carpentry hour adalah:Perbaikan (penambahan) nilai z ketika
persediaan carpentry hour bertambah 1 jam 10$3 y
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Konsep Complementary SlacknessDengan logika:Sumber daya yang habis terpakai (si atau ei =0),
pasti sangat berhargaPenambahan satu unit dari sumber daya tsb akan
menaikkan nilai z (harga bayangan yi>0)Sumber daya yang tidak habis terpakai (si atau ei
>0), dianggap tidak berharga (harga bayangan yi=0)◦ Tidak perlu melakukan penambahan, tidak akan menaikkan
nilai z
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Teorema Complementary Slackness
x akan primal optimal dan y akan dual optimal jika dan hanya jika:
111
x myyy ...21yPeubah primal
Peubah Dual
),...,1(0 miys ii
),...,1(0 njxe jj
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Dari Dakota’s Problem
Kayu bersisa 24 unit Finishing hour habis terpakai → penambahan akan
meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi Carpentry hour habis terpakai → penambahan akan
meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi
280,0,24,8,0,2: 321321 zsssxxxBFS
Perbaikan nilai z berdasarkan konsep shadow price Tambahan kayu, $0 Tambahan finishing hour $10 Tambahan carpentry hour $10
si
yi
),...,1(0 miys ii