30
Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Linear Programming ( Pemrograman Linier)

  • Upload
    roger

  • View
    85

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Linear Programming ( Pemrograman Linier). Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012. Dual Problem. Inverse dari LP (Primal) Bukan lagi masalah optimal bagi peubah keputusan Masalah optimal bagi sumber daya - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Linear Programming(Pemrograman Linier)Program Studi StatistikaSemester Ganjil 2011/2012

Page 2: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dual ProblemInverse dari LP (Primal)Bukan lagi masalah optimal bagi peubah

keputusan Masalah optimal bagi sumber dayaUntuk mempelajari efek perubahan-

perubahan koefisien dan ketersediaan sumber daya pada hasil optimal

Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’ dan menjadi aset: konsep “shadow price”

Bagaimana memanfaatkan aset tersebut dengan optimal

Page 3: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Menentukan Dual Problem dari suatu LP (Primal)

LP semula dinamakan Primal ProblemJika Primal kasus max → Dual kasus minJika Primal kasus min → Dual kasus maxDibedakan dari tipe permasalahan

◦Masalah max yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≤

◦Masalah min yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≥

Page 4: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Secara Umum Primal

◦ Normal Max

),...,1(,0......

...

... .. ...max

2211

22222121

11212111

2211

njxbxaxaxa

bxaxaxabxaxaxats

xcxcxcz

j

mnmnmm

nn

nn

nn

Dual:◦ Normal min◦ Invers dari

Primal◦ Dengan setiap

peubah mewakili setiap kendala ),...,1(,0

......

...

... .. ...min

2211

22222112

11221111

2211

miycyayaya

cyayayacyayayats

ybybybw

i

nmmnnn

mm

mm

mm

Page 5: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual

Primal: max z(x1≥0) (x2≥0) … (xn≥0)

x1 x2 … xn

a11 a12 … a1n ≤b1a21 a22 … a2n ≤b2… … …

am1 am2 … amn ≤bm

y1

y2

…ym

Dual: min w

(y1≥0)(y2≥0)

…(ym≥0)

≥c1 ≥c2 … ≥cn

Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah primal ke-j

Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i

Page 6: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh LP Dakota sebagai Primal

0,, carpentry) (jam 85.05.12 finishing) (jam 205.124

kayu) (bahan 48 68 ..203060max

321

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxxtsxxxz

x1: jumlah bangkux2: jumlah mejax3: jumlah kursi

Page 7: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Masalah Dakota

Seolah-olah Dakota akan menjual seluruh sumber daya (aset) nya, kepada pihak lain.

Peubah dari dual adalah harga dari setiap sumber daya ◦ Kayu dengan harga y1

◦ Jam finishing dengan harga y2

◦ Jam carpentry dengan harga y3

Fungsi obyektif adalah minimum total biaya yang harus dikeluarkan oleh pihak pembeli aset◦ Total persediaan kayu 48 unit (dengan harga y1)◦ Total persediaan jam finishing 20 jam (dengan harga y2)◦ Total persediaan jam carpentry 8 jam (dengan harga y3)

321 82048min yyyw

Page 8: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Masalah Dakota

Kendala pada Dual: ‘konsep opportunity cost’, Nilai aset dengan komposisi sesuai

pembuatan bangku lebih besar daripada harga bangku

Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan meja lebih besar daripada harga meja

Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan kursi lebih besar daripada harga kursi

Page 9: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

0,, carpentry) (jam 85.05.12 finishing) (jam 205.124

kayu) (bahan 48 68 ..203060max

321

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxxtsxxxz

Produk Nilai Jual Aset Yang dipakai untuk produksi

Harga produk

BangkuMejaKursi

321 248 yyy

Harga setiap aset/sumber daya adalah yi ,i=1, 2, 3

x1: jumlah bangkux2: jumlah mejax3: jumlah kursi

60321 5.126 yyy 30321 5.05.1 yyy 20

205.05.1305.126

60248

321

321

321

yyyyyyyyy

Page 10: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual Dakota Problem

Primal: max z(x1≥0) (x2≥0) (x3≥0)

x1 x2 x3

8 6 1 ≤484 2 1.5 ≤202 1.5 0.5 ≤8

y1y2

ym

Dual: min w

(y1≥0)(y2≥0)(y3≥0)

≥60 ≥30 ≥20

0,, 205.05.1 305.126

60248..82048min

321

321

321

321

321

yyyyyyyyyyyyts

yyywDual

Page 11: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh Primal Pada Diet Problem

104422 4321 xxxx

8542 4321 xxxx

0,,, 4321 xxxx

4321 80302050min xxxxz

500500150200400 4321 xxxx

623 21 xx

(Calorie constraint)(Chocolate constraint)(Sugar constraint)

(Fat constraint)

s.t.

Page 12: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Diet Problem Pada primal, peubah adalah jumlah makanan yang harus

dibeli◦ Memenuhi kebutuhan nutrisi◦ Dengan biaya minimum

Pada dual, kita seolah-olah menjadi kolektor nutrisi:◦ Kalori, coklat, gula dan lemak◦ Sejumlah kebutuhan yang harus dipenuhi pada Primal

Nutrisi tersebut adalah aset yang kita jual◦ Keputusan: berapa harga per nutrisi agar keuntungan

maksimum

Kendala dari sudut pandang calon pembeli: ◦ Harga nutrisi sesuai komposisinya jika dibuat makanan harus

lebih murah daripada harga makanan masing-masing

Page 13: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

104422 4321 xxxx

8542 4321 xxxx

0,,, 4321 xxxx

4321 80302050min xxxxz 500500150200400 4321 xxxx

623 21 xx

(Calorie constraint)(Chocolate constraint)(Sugar constraint)

(Fat constraint)

s.t.

x1: jumlah Browniex2: jumlah Ice Creamx3: jumlah Sodax4: jumlah Cheesecakey1: harga per unit kaloriy2: harga per unit coklaty3: harga per unit gulay4: harga per unit lemak

Makanan Nilai Jual Nutrisi

Harga makanan

BrownieIce creamSodaCheesecake

4321 223400 xyyy 504321 422200 xyyy 20

431 4150 xyy 30431 54500 xyy 80

Page 14: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

50223400 4321 yyyy

20422200 4321 yyyy

304150 431 yyy

8054500 431 yyy

Kendala dari sudut pandang pembeli koleksi nutrisi kita

Tujuan penjualan nutrisi?Pendapatan maksimum:- Jumlah/persediaan setiap nutrisi kali harga setiap unit nutrisi

4321 8106500max yyyyw

Page 15: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Dual vs Primal Diet Problem

Primal: min z(x1≥0) (x2≥0) (x3≥0) (x4≥0)

X1 x2 x3 x4

400 200 150 500 ≥5003 2 0 0 ≥62 2 4 4 ≥102 4 1 5 ≥8

y1

y2

ym

Dual: max w

(y1≥0)(y2≥0)(y3≥0)

≤50 ≤20 ≤30 ≤80

4321 8106500max yyyyw 50223400 4321 yyyy

20422200 4321 yyyy

304150 431 yyy

8054500 431 yyy

s.t.

0,,, 4321 yyyy

Page 16: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Dual (Weak Duality)

),...,1(,0......

...

... .. ...max

2211

22222121

11212111

2211

njxbxaxaxa

bxaxaxabxaxaxats

xcxcxcz

j

mnmnmm

nn

nn

nn

),...,1(,0......

...

... .. ...min

2211

22222112

11221111

2211

miycyayaya

cyayayacyayayats

ybybybw

i

nmmnnn

mm

mm

mm

nx

xx

...2

1

x myyy ...21ySolusi feasibel dari primal:

Solusi feasibel dari dual:

yx untuk untuk wz

ybcx

Page 17: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh Weak Duality pada Dakota Problem

0,, carpentry) (jam 85.05.12 finishing) (jam 205.124

kayu) (bahan 48 68 ..203060max

321

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxxtsxxxz

111

xSolusi feasibel dari primal.

110120130160 zDengan nilai z:

Tidak ada solusi dual feasibel dengan w<110

Semua solusi dual feasibel mempunyai w≥110

110z

w

Page 18: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

0,, 205.05.1 305.126

60248..82048min

321

321

321

321

321

yyyyyyyyyyyyts

yyyw 01010y

Solusi feasibel dari Dual.

6800810201048 wDengan nilai w:

Semua solusi primal feasibel mempunyai z≤680

Tidak ada solusi primal feasibel dengan z>680

680w

z

Page 19: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Dual (Strong Duality)

nx

xx

...2

1

x myyy ...21ySolusi optimal dari primal:

Solusi optimal dari dual:

Maka akan berlaku: wz min max

byxc

Jika BV adalah basis optimal bagi primal maka solusi optimal dari dual adalah:

1 BBVcy

Page 20: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Solusi Dual Dakota Problem berdasarkan Teorema Dual:

5.15.00420821

1B 60200BVc

1 Bcy BV

131 ,, xxsBV Basis optimal bagi primal

10100

Solusi optimal bagi dual:

10,10,0 321 yyy

2801081020048 w

Harga setiap aset/sumber daya adalah:-Kayu (y1) seharga $0-Jam finishing (y2) seharga $10- Jam carpentry (y3) seharga $10

Dengan harga jual aset: $280

Page 21: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Membaca Solusi Dual dari Optimal Tableau Solusi dual dapat diperoleh dari baris nol tableau optimal

(Primal) Tergantung dari tipe permasalahan primal, max atau min Karena peubah dual mewakili kendala dual:

◦ Tergantung pula dari tanda pada kendala (≤, ≥, =)

Tanda pada kendala

Solusi Dual ke-i dari baris nol tableau optimal

≤ Koefisien si ≥ (-) Koefisien ei = Koefisien ai - M

PRIMAL kasus MAX

PRIMAL kasus MINTanda

pada kendala

Solusi Dual dari baris nol tableau optimal

≤ Koefisien si ≥ (-) Koefisien ei = Koefisien ai + M

Page 22: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tableau Optimal Dakota’s Problem

Semua kendala pada Dakota’s Problem Primal adalah ≤ Solusi dual (yi, i=1, 2, 3), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah

koefisien si, i=1, 2, 3

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

10100321 yyy 280maxmin zwHarga setiap aset/sumber daya adalah:-Kayu (y1) seharga $0-Jam finishing (y2) seharga $10- Jam carpentry (y3) seharga $10

Page 23: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tableau Optimal Diet’s Problem

BVz=90x3=1e4=5

e1=432x2=3

z x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 a4 rhs1 -2,75 0 0 -50 0 -2,5 -7,5 0 02,5-M 7,5-M 7,5-M 90

Baris 1 0 -0,25 0 1 1 0 0,25 -0,25 0 0 -0,25 0,25 0 1Baris 2 0 3,75 0 0 -4 0 -1,75 -0,25 1 0 1,75 0,25 -1 5Baris 3 0 -1 0 0 -495,6 1 -126,2 -46,6 36,4 -1 126,2 46,6 -36,4 432Baris 4 0 1,5 1 0 0 0 -0,5 0 0 0 0,5 0 0 3

Semua kendala pada Diet’s Problem Primal adalah ≥ Solusi dual (yi, i=1, 2, 3, 4), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah (-)

koefisien ei, i=1, 2, 3, 4

05.75.204321 yyyy

Harga setiap aset nutrisi adalah:-Kalori (y1) seharga $0-Coklat (y2) seharga $2.5- Gula (y3) seharga $7.5-Lemak (y4) seharga $0

90minmax zw

Dengan harga jual maksimum $90

Page 24: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Shadow Prices (Harga Bayangan)Shadow Price kendala ke-i suatu LP:

◦ Ukuran seberapa banyak perbaikan nilai optimal z jika jumlah sumber daya (koefisien rhs) bertambah satu unit

Dapat dianalisis dari konsep dual

iΔbzz i -ke kendalabayangan hargalama maxbaru max

iΔbzz i -ke kendalabayangan hargalama minbaru min

Page 25: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Shadow Price dari Dakota’s ProblemNilai optimal keuntungan

280max zDiperoleh pada ketersediaan:

48 unit kayu20 jam finishing8 jam carpentry

Dari dual: Setiap unit kayu berharga $0Setiap jam finishing berharga $10Setiap jam carpentry berharga $10

Page 26: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Nilai optimal z dapat dinyatakan dalam peubah dual:

321 82048max yyyz 2801081020048

Harga bayangan finishing hour adalah:Perbaikan (penambahan) nilai z ketika

persediaan finishing hour bertambah 1 jam

2120 12 bb

321 82148'max yyyz 321 82048max yyyz

Perbaikan z sebesar y2 = $10: Shadow Price

2901081021048

Page 27: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Solusi optimal peubah dual ke-i adalah shadow price dari kendala ke-i masalah Primal

ii yΔbzz lama maxbaru max

1iΔb iyzz baru max-lama maxHarga bayangan kayu adalah:

Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan kayu bertambah 1 unit

0$1 y

Harga bayangan carpentry hour adalah:Perbaikan (penambahan) nilai z ketika

persediaan carpentry hour bertambah 1 jam 10$3 y

Page 28: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Complementary SlacknessDengan logika:Sumber daya yang habis terpakai (si atau ei =0),

pasti sangat berhargaPenambahan satu unit dari sumber daya tsb akan

menaikkan nilai z (harga bayangan yi>0)Sumber daya yang tidak habis terpakai (si atau ei

>0), dianggap tidak berharga (harga bayangan yi=0)◦ Tidak perlu melakukan penambahan, tidak akan menaikkan

nilai z

Page 29: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Complementary Slackness

x akan primal optimal dan y akan dual optimal jika dan hanya jika:

111

x myyy ...21yPeubah primal

Peubah Dual

),...,1(0 miys ii

),...,1(0 njxe jj

Page 30: Linear Programming ( Pemrograman  Linier)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dari Dakota’s Problem

Kayu bersisa 24 unit Finishing hour habis terpakai → penambahan akan

meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi Carpentry hour habis terpakai → penambahan akan

meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi

280,0,24,8,0,2: 321321 zsssxxxBFS

Perbaikan nilai z berdasarkan konsep shadow price Tambahan kayu, $0 Tambahan finishing hour $10 Tambahan carpentry hour $10

si

yi

),...,1(0 miys ii