Upload
amalibnu
View
19
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Some source to learn about linear system that needed as a basic in electrical engineering, especially in control systems
Citation preview
Halaman - 1
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Sinyal periodik x(t), dengan memilih himpunan eksponensial kompleks sebagai fungsi basis, maka
dapat dinyatakan sebagai :
= = T
tn2jexpc)t(x nm
dimana cn adalah konstanta kompleks, dan diberikan oleh :
dtTnt2jexp)t(x
T1c
T
0n
=
Tiap-tiap suku dari deret tersebut, mempunyai periode T dan frekwensi (radian) fundamental
2/T=0. Jika deret tersebut konvergen, maka jumlahnya juga periodik dengan periode T. Deret yang demikian disebut deret Fourier eksponensial kompleks, dan cn disebut koefisien Fourier.
Perlu diperhatikan bahwa karena sifat periodik, maka interval integrasi pada persamaan diatas dapat
diganti dengan sembarang interval dengan panjang T, sebagai contoh, digunakan interval
Tttt 00 + , dimana t0 sembarang. Integrasi dengan interval T ini selanjutnya ditulis dengan simbol
T
.
DERET FOURIER Deret Fourier Eksponensial Kompleks
Halaman - 2
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Koefisien Cn mendefinisikan fungsi bernilai kompleks pada frekwensi diskrit n0, dimana n = 0, 1, 2,.... Komponen dc dari x(t) adalah sama dengan c0 dan diperoleh dengan mengambil n=0.
Grafik |cn| lawan n0 disebut spektrum amplitudo dari sinyal periodik x(t), sedangkan Grafik sudut cn , cn lawan n0 disebut sebagai spektrum fase dari x(t). Kedua spektrum diatas terdiri dari garis-garis yang menunjukkan magnitudo dan fase pada frekwensi
=n0, sehingga spektrum tersebut disebut sebagai spektrum garis. Untuk sinyal bernilai riil (tidak komplek), kompleks sekawan dari Cn diberikan oleh :
= T
n dtTt)n(2jexp)t(x
T1c = c-n
sehingga :
|c-n| = |cn| dan c-n= - cn
Yang menunjukkan bahwa spektrum amplitudo merupakan fungsi simetri genap, sedangkan
spektrum fase merupakan fungsi simetri ganjil. Sifat ini memungkinkan deret eksponensial dari
sinyal bernilai riil dinyatakan dalam bentuk pasangan kompleks sekawan, kecuali untuk C0.
DERET FOURIER Spektrum Garis
Halaman - 3
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Sinyal periodik x(t) dapat pula dinyatakan sebagai berikut :
++=Tnt2ins b
Tnt2osc ac)t(x nn0
Persamaan ini dikenal sebagai deret fourier trigonometri untuk sinyal periodik x(t). Koefisien an dan
bn diberikan oleh :
==T
00 dt)t(xT1ca
{ } ==T
nn dtTnt2cos)t(x
T2cRe2a
{ } ==T
nn dtTnt2sin)t(x
T2cIm2b
Dalam bentuk magnitudo dan fase dari Cn, sinyal bernilai riil x(t) dapat dinyatakan sebagai berikut :
x(t) = =
++1n
nn0 Tnt2cosAc
Dimana : An = 2{cn}, dan
= nc
DERET FOURIER Deret Fourier Trigonometri
Halaman - 4
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Dapatkan spektrum garis sinyal periodik berikut :
-2 -1 0 1 2 t
DERET FOURIER Contoh : Mendapatkan Spektrum Garis
x(t)
Representasi analitik untuk sinyal tersebut
adalah sebagai berikut :
1 t 0 k,
0 t k,-1- x(t)
Halaman - 5
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
-5 -4 -3 -2 -1 0 532 41
(a)
2k5n
2kn
2k3n
2kn
2k3n 2k
5n
-5 -4 -3 -2 -1 0
53
2 4
1
(b)
n/2 n/2 n/2
-n/2 -n/2 -n/2
Spektrum Garis dari x(t) (a) Spektrum magnitudo (b) Spektrum fase
2k
2k
32k
32k
52k
52k
2
2
2
2
2
2
DERET FOURIER Contoh : Mendapatkan Spektrum Garis
Halaman - 6
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Agar deret fourier konvergen, sinyal x(t) harus memiliki sifat-sifat berikut :
1. x(t) harus absolutly integrable, yaitu +
Halaman - 7
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Sifat-sifat deret fourier berikut ini dapat memberikan pamahaman yang lebih baik tentang spektrum
frekwensi dari sinyal waktu kontinyu.
g Pendekatan Kuadrat Terkecil Misalkan sinyal x(t) dapat didekati dengan deret eksponensial dalam bentuk
xN(t) = =
NNn
0 )tjnexp(dn
ingin dicari koefisien dn sedemikian sehingga galat (error) (t) = x(t) - xN(t) memiliki nilai kuadrat rata-rata terkecil.
T
2 dt)t(T1
Untuk meminimumkan persamaan di atas, nyatanya harus dipilih : dn = cn ,
sehingga : (MSE)min = >N|n|
2n |c|
hal ini menunjukkan bahwa MSE dapat diminimumkan dentgan mengambil koefisien deret
fourier cn sebagai dn. Atau dengan kata lain, ekspansi deret fourier dari sinyal x(t) merupakan
pendekatan yang memberikan MSE lebih kecil dibandingkan deret eksponensial yang lain.
DERET FOURIER Sifat-sifat Deret Fourier
Halaman - 8
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
g Efek Simetri Jika sinyal periodik x(t) memiliki sifat simetri, maka penentuan koefisien deret fourier, menjadi
lebih sederhana. Beberapa tipe simetri yang penting diantaranya adalah :
1. Simetri genap, x(t) = x(-t) 2. Simetri ganjil, x(t) = -x(-t) 3. Simetri ganjil setengah gelombang, x(t)=-x(t+T/2)
x(t)T=3
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
(a) (b)
t
-3 -2 -1 0 1 2 3
(c)
x(t)
x(t)
t
a. Simetri genap b. Simetri ganjil c. Simetri ganjil setengah gelombang
DERET FOURIER Sifat-sifat Deret Fourier
Halaman - 9
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Akibat dari sifat simetri dapat ditabelkan :
TABEL EFEK DARI SIMETRI
Simetri a0 an bn Keterangan
Genap a0 0 an 0 bn = 0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2 Ganjil a0 = 0 an = 0 bn 0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2
Ganjil 1/2 gel. a0 = 0 a2n 0 b2n+1 0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2
DERET FOURIER Sifat-sifat Deret Fourier
Halaman - 10
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
Contoh berikut ini merupakan sinyal simetri genap dan simetri ganjil setengah gelombang.
Sinyal x(t) = TtT/2 ,A3t
TA4
T/2t0 ,tTA4A
Halaman - 11
TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier
g Linieritas Misalkan x(t) dan y(t) sinyal periodik dengan periode sama dan deret fouriernya diberikan :
t)exp(jny(t)
t)exp(jnx(t)
n0n
n0n
=
=
==
Dan misalkan z(t)=k1x(t)+k2y(t), dimana k1 dan k2 konstanta sembarang. Maka kita peroleh :
=
+=n
0n2n1 )tjnexp()kk()t(z
g Perkalian dua sinyal Perkalian dua sinyal periodik dengan periode yang sama : z(t) = x(t) y (t)
[ ] )tjlexp( )t)mm(jexp(
)tjmexp()tjnexp(
0n m
mml
n m0mn
n0m
m0n
=+=
=
=
=
=
=
=
=
Jadi koefisien Fourier dari z(t) : = >