Lineare Funktionen (neu) - robert-mades.derobert-mades.de/pdf/klasse8/linfunk.pdf · Seite 2 von 57 Damit ergibt sich folgende Darstellung im Koordinatensystem: Kosten in € MERKE:

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Lineare Funktionen Einleitung: Jan besitzt eine Playstation von der er weiß, dass sie einen Stromverbrauch von 200 Watt hat. Der Strom-versorger seiner Stadt berechnet 0,23 € pro Kilowattstunde (kWh). Jan überlegt nun, wie er die tatsächlichen Stromkosten berechnen kann. Kannst du ihm helfen?

0,2 Kilowatt

0,2 Kilowattstunden (k

200 Watt

Betriebsdauer 1Stunde : 0,2 kW 1h

1kWh elektrische Energie kostet 0,23 €

0,2 kWh kosten dann 0,23

Wh)

€ 0,2 0,046 €

⋅ =

⋅ =

≙

Wenn er also 1 Stunde spielt kostet ihn das 0,046 €. Danach will er sich eine Tabelle anlegen, um einen Überblick der Kosten für mehrere Stunden zu erhalten:

Zeit (h) 1 2 3 4 5 10 20 40 60 80 100 Kosten (€) 0,046 0,092 0,138 0,184 0,23 0,46 0,92 1,84 2,76 3,68 4,60

Diese Zuordnung: Zeit (h) � Kosten (€) ist proportional (Begründung) Man erkennt: Jeder Zeit in Stunden ist genau ein Wert als Kosten zugeordnet. Es kann also nicht sein, dass eine Zeitdau-er zwei oder mehr verschiedene Kosten besitzt.

Eine solche eindeutige Zuordnung nennt man Funktion. Allgemeine Gleichung für die Stromkosten der Playstation:

y (Kosten) ; x (Anzahl der Stunden)

Beispiele

0,46 €

:

k(10) 0,046 10

k(25) 0,046

k(h) 0,

1,15 €

9,20 €

046 h oder : y 0

25

k(20

,046

0) 0,046 200

x

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ = ⋅

Darstellung im Koordinatensystem: Das Koordinatensystem besteht aus einer horizontalen, waagerechten Achse (x-Achse) und einer vertikalen, senkrechten Achse (y-Achse). Da die Wertetabelle aus Wertepaaren mit jeweils zwei Zahlen (Zeit; Kosten) besteht, kann man sie gut in ein Koordinatensystem übertragen. Die Zeitangaben sind dabei die x-Werte, die zugeordneten Kosten die y-Werte. Also erhält man folgende Punkte aus den jeweiligen Kombinationen: P1 (1/0,046) P10 (10/0,46) P20 (20/0,92) P40(40/1,84) P60(60/2,76) P80 (80/3,68) P100 (100/4,6) Damit die Punkte gut sichtbar sind, sollte die Einteilung der Achsen wie folgt aussehen: x-Achse (Anzahl der Stunden): 1 cm � 10 Stunden y-Achse (Kosten in €): 1 cm � 0,50 €

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Damit ergibt sich folgende Darstellung im Koordinatensystem:

MERKE: Bei einer eindeutigen Zuordnung wird jedem Ausgangswert (x) genau ein anderer Wert (y) zugeordnet. Eine solche eindeutige Zuordnung nennt man Funktion. Man kann eine Funktion in einer Wertetabelle und im Koordinatensystem darstellen. Aufgabe: Bestimme jeweils den Umfang eines Quadrates mit den Seitenlängen 0,5 cm, 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm, 3 cm, 3,5 cm. Erstelle eine Wertetabelle, gib die Gleichung der Zuordnung an und zeichne die Zuordnung in ein Koordinatensystem ein. Die Zuordnung (Funktion) lautet: Seitenlänge (a) Umfang (u) Die Gleichung lautet: f(a) 4 a oder : y 4 x= ⋅ = ⋅

Wertetabelle:

Seitenlänge (a) cm 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 x-Werte Umfang (u) cm 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 y-Werte

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

5,00

4,50

4,00

Stunden

Kosten in €

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Koordinatensystem: Zusatzaufgabe: Führe die gleichen Überlegungen für die Zuordnung:

Seitenlänge eines Quadrates � Flächeninhalt eines Quadrates durch. Welche Unterschiede zu vorhergehenden Zuordnungen sind zu erkennen?

Eindeutige Zuordnungen, Definitionsmenge (D), Wertemenge (W) Aufgabe: Lege eine Wertetabelle und ein Pfeildiagramm für folgende Zuordnungen an und vergleiche:

a.) Nachname eines Schülers � Wohnort b.) Jahrgang eines Schülers � Vorname des Schülers c.) Gewicht (g) � Preis (€)

Wertetabellen: zu a.) zu b.) zu c.) Vorname Wohnort Jahrgang Vorname Gewicht (g) Preis (€) Herrlich Fulda 1996 Nadine 200 1,40 Mahr Künzell 1997 Christian 100 0,70 Leitsch Petersberg 1996 Karen 300 2,10 Wildner Künzell 1996 Daniel 500 3,50 Schmitt Eichenzell 1997 Robin 650 4,55 Rössler Fulda 1996 Justus 750 5,25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

O

Umfang

Seitenlänge

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Pfeildiagramme: Herrlich Fulda Nadine 200 g 1,40 € Mahr Künzell 1996 Christian 100 g 0,70 € Leitsch Petersberg Karen 300 g 2,10 € Wildner 1997 Daniel 500 g 3,50 € Schmitt Eichenzell Robin 650 g 4,55 € Rössler Justus 750 g 5,25 € Definitions- Werte- Definitions- Werte- Definitions- Werte- menge (D) menge (W) menge (D) menge (W) menge (D) menge (W) x-Werte y-Werte x-Werte y-Werte x-Werte y-Werte von jedem x-Wert geht von jedem x-Wert gehen von jedem x-Wert geht genau ein Pfeil aus. mehrere Pfeile aus. genau ein Pfeil aus. bei jedem y-Wert endet bei jedem y-Wert endet mindestens ein Pfeil. mindestens ein Pfeil. FUNKTION KEINE FUNKTION FUNKTION MERKE: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem Element aus der Definitionsmenge (x-Werte) ist genau ein Element aus der Wertemenge (y-Werte) zugeordnet. Für die Darstellung einer Funktion mit Hilfe eines Pfeildiagramms gilt also: Von jedem Element der Definitionsmenge (Ausgangsbereich, x) geht genau ein Pfeil aus. Bei jedem Element der Wertemenge (zugeordneter Bereich, y) endet mindestens ein Pfeil Überprüfe, ob es sich bei folgenden Zuordnungen um Funktionen handelt: 1.) Zeitpunkt Lufttemperatur (ja) 2.) Gewicht einer Ware Preis einer Ware (ja) 3.) Wasserstand Zeitpunkt (nein) 4.) Paketgewicht Porto (ja) 5.) Porto Paketgewicht (nein) 6.) Euro-Betrag Dollar-Betrag (ja) 7.) Dollar-Betrag Euro-Betrag (ja)

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Funktionsgleichung und Definitionsbereich (D) Aufgabe: Lege eine Zuordnungstabelle (Wertetabelle) für folgende Zuordnungen an:

a.) Ordne jeder ganzen Zahl von -5 bis 5 ihr Doppeltes zu. b.) Ordne jeder ganzen Zahl von -5 bis 5 ihre Hälfte zu. c.) Ordne jeder rationalen Zahl von -4 bis 4 ihr Dreifaches zu. d.) Ordne jeder rationalen Zahl von -4 bis 4 ihren vierten Teil zu.

Zeichne die Zuordnungen a.) und b.) in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Zeichne die Zuordnungen c.) und d.) in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. zu a.) und b.)

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 a.) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 b.) -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

zu c.) und d.)

x -4 -2,8 -1 -0,4 -1 0 1,6 2 3,2 4 c.) -12 -8,4 -3 -1,2 -3 0 4,8 6 9,6 12 d.) -1 -0,7 -0,25 -0,1 -0,25 0 0,4 0,5 0,8 1

Man erkennt: Alle Zuordnungen sind eindeutig, also Funktionen. Allerdings hat nur bei den rationalen Zahlen jede Zahl einen zugeordneten Wert. Das hat Auswirkungen auf die Darstellung der Zuordnungen im Koordinatensys-tem. Man sieht: Nur wenn man die rationalen Zahlen als Grundlage (Definitionsbereich = Q) nimmt, darf man eine Linie durch alle Punkte ziehen, bei den ganzen Zahlen (Definitionsbereich = Z) besteht die Darstellung im Koordi-natensystem nur aus einzelnen Punkten. MERKE: Die Menge der für x zugelassenen Werte (D) einer Funktion hat Auswirkungen auf ihre Darstellung im Koor-dinatensystem: D = N und D = Z: einzelne Punkte im KS D = Q: durchgehende Linie im KS. Die Funktionsgleichung: Aus der Zuordnungsvorschrift: „Verdopple jede Zahl“ kann man eine Gleichung aufstellen, mit der man für jeden x-Wert den zugehörigen y-Wert berechnen kann. Diese Gleichung lautet:

f von x gleich 2

f(12

f : y 2 x

oder : f(x)

) 2 12 24 f von 12 gleic

m

h

a

4

x l x2

2= ⋅ =

= ⋅

= ⋅

Eine solche Gleichung bezeichnet man als Funktionsgleichung. Die anderen Gleichungen lauten dementsprechend:

b.) y 0,5 x oder : f(x) 0,5 x= ⋅ = ⋅ c.) y 3 x oder : f(x) 3 x= ⋅ = ⋅ d.) 1

y x4

= ⋅

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Die Steigung einer Geraden Auf einem Verkehrsschild findet man die folgende Angabe: Was bedeutet diese Angabe?

12% Steigung bedeuten: 12

100 Steigung � auf einer Länge von 100 m steigt die

Straße um 12 m an. Zeichnung im Maßstab 1:1000 aus 100 m = 10.000 cm werden 10 cm (eine Verkleinerung um das 1000-fache) Die Steigung einer Geraden wird also gebildet, indem man die Höhe eines Steigungsdreieck (12 m) durch die Grundseite dieses Steigungsdreiecks (100 m) dividiert.

Höhe des SteigungsdreiecksSteigung (m)

Grundseite des Steigungsdreiecks=

Dabei besitzt das Steigungsdreieck immer einen 90°-Winkel, ist also rechtwinklig. Weitere Beispiele: Zeichne im Maßstab 1:1000 Steigungsdreiecke, die folgende Steigungen wiedergeben: 5% 20% 50% 100%

12 m (Höhe)

100 m (Grundseite)

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Die Steigung einer Geraden 1.) Wähle das passende Straßenschild aus: (Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu!) a.) b.) c.) 2.) Zeichne in dein Heft maßstabsgetreue Steigungen von:

a.) 40% b.) 16% c.) 24% d.) 9% Dabei soll die Länge der waagerechten Strecke: a.) 5 cm b.) 10 cm c.) 12,5 cm d.) 10 cm betragen

3.) Welche Steigung (ausgedrückt in %) überwindest du beim Hochlaufen dieser Treppe? 4.) Es soll eine Treppe mit nebenstehendem Stufenmaß gebaut werden, um eine Höhe von 2,10 m zu

überwinden. (Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu!)

a.) Wie viele Treppenstufen werden benötigt? b.) Wie weit vor dem Ziel muss mit dem Bau der Treppe begonnen werden? c.) Wie groß ist die Steigung der Treppe in Prozent?

5.) Zeichne in ein Koordinatensystem mit Rahmen (x-Achse 14 cm; y-Achse 14 cm) Geraden durch den

Punkt (0/0) (Koordinatenursprung) ein, die folgende Steigungen besitzen:

Benutze unterschiedliche Farben!

a.) 25% b.) 10% c.) 40% d.) 100%

50 m 25 m 10 m

3 m 2 m 8 m

4% 8% 16% 4% 8% 10% 10% 20% 30%

15 cm

22,5 cm

x cm

210 cm

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6.) Bestimme die Steigung (in %) der Geraden f(x) bis j(x), die im folgenden Koordinatensystem dargestellt sind:

Zeichne dazu entsprechende Steigungsdreiecke ein!

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

f(x) g(x) h(x) i(x)

j(x)

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Die Steigung einer Geraden (Lösungen) zu 1.) a.) b.) c.)

8 16

50 16

001 %= =

2 8

25 18

00%= =

3 30

10 10

003 %= =

zu 2.)

a.) 40% / b.) 16% /

c.

5 cm 10 cm

12,

2 cm 1,6 cm

3) 24% / d.) 9%5 cm 10 cmcm / 0,9 cm

≙ ≙

≙ ≙

zu 3.)

60%1,5 15 60 1,5

m oder : m 0,62,5 25 100 2

60%,5

= = = = = = =

zu 4.) a.) 14 Tre210 cm ppens: 1 t n5 cm ufe=

b.) 3114 5 c22,5 m mc m 3,15=⋅ =

c.)

0210

m ,6 ,7%315

66≈= =

zu 6.) f(x) m g(x) m h(x) m i(x)250% 200% 150% 100% 2m j(x) 5%m= = = = =≙ ≙ ≙ ≙ ≙

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Die Steigung 1.) Welche dieser Seilbahnen überwindet die größte Steigung? (a) (b) (c) 2.) Gib die Steigung der folgenden Seilbahnen als Bruch, als Dezimalzahl (gerundet auf Zehntel) und als

Prozentsatz (gerundet auf Zehntel) an:

(a) (b) (c) 3.) Ergänze jeweils die zwei Linien mit roter Farbe zu einem Dreieck. Nummeriere die entstandenen Drei-

ecke von 1 bis 16 durch. Gib dann die Steigung der roten Linien als Bruch, als Dezimalzahl (gerundet auf Zehntel) und als Prozentsatz (gerundet auf Zehntel) an: (2 Kästchenlängen entsprechen 1 cm)

80

70

60

50

90

80

85

65

45

30

120

90

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Die Steigung (Lösung) zu 1.) a.) b.) c.)

70

m80

87,5%= = 50

m60

83,3%= = 80

m90

88,8%= =

zu 2.) a.) b.) c.)

13

0,8 76,5%17

65

85m = = ==

20,7 66,7%

3m

30

45= = ==

30,8 75%

4

90

120m = = ==

zu 3.) (1) (2)

1,5 1

m 0,53 2

50%= = = = 2 1

m 0,54 2

50%= = = =

(3) (4)

1

m 0, 05

22 %= = = 1

m 1, %1

00 1 0= = =

(5) (6)

2,5 5

m 0,46 12

41,7%= = = = 0,5 1

m 0,15,5 1

%1

9,1= = = =

(7) (8)

2,5 5

m 0,73,5 7

71,4%= = = = 2 4

m 0,63,5 7

57,1%= = = =

(9) (10)

1

m 0, 54

23 %= = = 3

m 1, %2

55 1 0= = =

(11) (12)

2 4

m 0,44,5 9

44,4%= = = = 2,5 5

m 1,71,5 3

166,7%= = = =

(13) (14)

2,5

m 1,02,5

100%= = = 2,5 5

m 2,51 2

250%= = = =

(15) (16)

2,5

m 5,00,5

500%= = = 2,5 1

m 0,37,5 3

33,3%= = = =

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Die allgemeine Funktion y = mx Aufgabe: Zeichne folgende proportionale Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein und benutze dazu unterschiedliche Farben:

1 2 3 4 5

1 1y 2x y x y 4x y x y x

m 2 m 0,2 45 m 4 m 0,25 m 1= = = =

= = = =

=

=

Überprüfe die Geraden auf steilen oder flachen Verlauf (� auf ihre Steigung) y3 y1 y5 y2 y4 Information: Die Steigung einer Geraden gibt an, um wie viel Einheiten sie bezogen auf eine Einheit nach oben ansteigt. Beispiel die Gerade y3: Diese Gerade steigt um 4 Einheiten bezogen auf 1 Einheit an. Würde man 2 Einhei-ten zu Grunde legen, würde sie um 8 Einheiten ansteigen. In diesem Steigungsdreieck erhält man die Steigung m, indem man den senkrechten Wert durch den waage-rechten Wert dividiert:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

1

1 1

1

1

4

2 1

0,5

0,25

m=4 m=2 m=1

m=0,5

m=0,25

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senkrechter Wert des Steigungsdreiecksm

waagerechter Wert des Steigungsdreiecks=

Bildlich gesprochen: Man stelle sich vor, dass man von links nach rechts auf einem Fahrrad die Geraden befährt. Dann hätte man für y3 die größte Steigung (m = 4) und für y4 (m = 0,25) die kleinste Steigung zu bewältigen. Anhand der Steigung m kann man folgendes festhalten: MERKE: Der Faktor m in der Funktionsgleichung y = mx gibt die Steigung der Geraden an. 1.) Ist m 1> , dann steigt die Gerade steil an. (� y = 4x ; y = 2x ; y = 5x usw.) 2.) Ist 0 m 1< < , dann steigt die Gerade flach an. (� y = 0,5x ; y = 0,25x ; y = 0,1x usw.) 3.) Ist m 0= , dann verläuft die Gerade waagerecht, sie besitzt keine Steigung. Dieser Sonderfall gibt die

Gleichung der x-Achse an: y 0 x= ⋅ oder y 0= .

4.) Alle Geraden für die m 0> steigen vom 3. Bereich des Koordinatensystems in den 1. Bereich des Koor-

dinatensystems (gesehen von links nach rechts). Aufgabe: Zeichne folgende proportionale Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein und benutze dazu unterschiedliche Farben:

1 2 3 4 5

m 2 m 0,5 m 4 m

1 1y

0,25 m 1

2x y x y 4x y x y x2 4

= − = − = − = − =

= − = − = − = − = −

−

Überprüfe die Geraden auf steilen oder flachen Verlauf (� auf ihr Gefälle) Information: Die Gefälle einer Geraden gibt an, um wie viel Einheiten sie bezogen auf eine Einheit nach unten abfällt. Beispiel die Gerade y3: Diese Gerade fällt um 4 Einheiten bezogen auf 1 Einheit ab. Würde man 2 Einheiten zu Grunde legen, würde sie um 8 Einheiten abfallen. In diesem Steigungsdreieck erhält man die Gefälle m, indem man den senkrechten Wert durch den waage-rechten Wert dividiert:

senkrechter Wert des Steigungsdreiecksm

waagerechter Wert des Steigungsdreiecks=

Bildlich gesprochen: Man stelle sich vor, dass man von links nach rechts auf einem Fahrrad die Geraden befährt. Dann hätte man für y3 das größte Gefälle (m = -4) und für y4 (m = -0,25) das kleinste Gefälle zu be-wältigen.

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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

y5 y1 y3 y2 y4 Information: In der Mathematik spricht man nicht von Gefälle, sondern von einer Steigung m, die negativ ist. Anhand der negativen Steigung m kann man folgendes festhalten: MERKE: Der Faktor m in der Funktionsgleichung y = mx gibt die Steigung der Geraden an. 1.) Ist m 1< − , dann fällt die Gerade steil ab. (� y = -4x ; y = -2x ; y = -5x usw.) 2.) Ist 0 m 1> > − , dann fällt die Gerade flach ab. (� y = -0,5x ; y = -0,25x ; y = -0,1x usw.) 3.) Ist m 0= , dann verläuft die Gerade waagerecht, sie besitzt keine Steigung. Dieser Sonderfall gibt die

Gleichung der x-Achse an: y 0 x= ⋅ oder y 0= .

4.) Alle Geraden für die m 0< fallen vom 2. Bereich des Koordinatensystems in den 4. Bereich des Koordi-

natensystems (gesehen von links nach rechts).

1 1

1

1

1

-4

-2

-1

-0,5

-0,25

m=-4 m=-2 m=-1

m=-0,5

m=-0,25

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Proportionale Funktionen 1.) Ein Radfahrer bewältigt in 3 Stunden eine Strecke von 75 Kilometern.

a.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. b.) Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? c.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. d.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung:

I. Wie lange (Stunden und Minuten) braucht er durchschnittlich für 10 km, 60 km, 85 km? II. Wie viel Kilometer fährt er durchschnittlich in 2h 30min, 4h 15min, 1h 10min? III. Wie hoch ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit (km/h)?

2.) 5 Kilogramm Äpfel kosten 4,50 €.

a.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. b.) Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? c.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. d.) Berechne Hilfe der Funktionsgleichung:

I.) Wie teuer sind 3 kg, 5½ kg, 1¼ kg, 8¾ kg dieser Apfelsorte? II.) Wie viel Kilogramm Äpfel erhält man für 6,30 €, 8,55 €?

3.) In ein Bassin fließen in 6 Stunden 9000 Liter Wasser ein.


I. Wie viel Liter Wasser fließen in 3½ Stunden, 7¼ Stunden, 2¾ Stunden in das Bassin? II. Nach wie vielen Stunden befinden sich 7000 Liter, 10500 Liter, 13500 Liter im Bassin? III. Das Bassin fasst 15000 Liter Wasser. Nach wie vielen Stunden ist das Bassin voll? Be-

rechne und lies aus der Zeichnung ab.

Proportionale Funktionen 1.) Ein Radfahrer bewältigt in 3 Stunden eine Strecke von 75 Kilometern.


I. Wie lange (Stunden und Minuten) braucht er durchschnittlich für 10 km, 60 km, 85 km? II. Wie viel Kilometer fährt er durchschnittlich in 2h 30min, 4h 15min, 1h 10min? III. Wie hoch ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit (km/h)?

2.) 5 Kilogramm Äpfel kosten 4,50 €.

a.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. b.) Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? c.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. d.) Berechne:

I. Wie teuer sind 3 kg, 5½ kg, 1¼ kg, 8¾ kg dieser Apfelsorte? II. Wie viel Kilogramm Äpfel erhält man für 6,30 €, 8,55 €?

3.) In ein Bassin fließen in 6 Stunden 9000 Liter Wasser ein.


I. Wie viel Liter Wasser fließen in 3½ Stunden, 7¼ Stunden, 2¾ Stunden in das Bassin? II. Nach wie vielen Stunden befinden sich 7000 Liter, 10500 Liter, 13500 Liter im Bassin? III. Das Bassin fasst 15000 Liter Wasser. Nach wie vielen Stunden ist das Bassin voll? Berechne

und lies aus der Zeichnung ab.

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Proportionale Funktionen (Lösungen) zu 1.) a.) y 25 x= ⋅

b.) D = Q+ c.) Koordinatensystem: x-Achse (Zeit): 1 cm entspricht 30 min y-Achse (km): 1 cm entspricht 10 km d.) I.

75 km 180 min

1801km min

75

12 1010 km min

512 60

12 2min 2 min

24 min

144 min 2 h 24 min

204 min

2 min24 s

60

3

1

km

h 2

min5

12 8585 km mi

44 s5

nn m5

5

4 i

→

→ =

⋅→ =

⋅→ =

= = =

=

→ = =⋅

II.

62,5 km

180 min 75 km

751min km

180

5 1502 h 30 min 150 min km

125 255

4 h 15 min 255 min km12

106,25 k

5km (0

5 701h 10 mi

,416

n 70 min km1

m

29,17 k

1

m2

km)2

→

→ =

⋅= → =

⋅= → =

⋅= → ≈

=

III.

3 h 75 km

1h 25 k also : 25 /hm km

→

→

zu 2.) a.) y 0,9 x= ⋅

b.) D = Q+ c.) Koordinatensystem: x-Achse (Gewicht): 1 cm entspricht 1 kg y-Achse (Preis): 1 cm entspricht 1 € d.) I.

5 kg 4,50 €

3 kg

5,5 kg

1

2,70 €

4,95 €

1,125 € 1,13 €,25 kg

8,75 kg

1kg 0,90

7,875 € 7,

€

88 €

→

→

→

≈→

→

→ ≈

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d.) II.

4,50 € 5 kg

51 € kg

4,5

10 6,36,30 € 7 kgkg

910 8,55

8,55

1

€ kg 9,

0kg (1,1km)

9

5 g9

k

→

→ =

⋅→ =

⋅→ =

=

zu 3.) a.) y 1500 x= ⋅

b.) D = Q+ c.) Koordinatensystem: x-Achse (Zeit): 1 cm entspricht 30 min y-Achse (Füllmenge): 1 cm entspricht 1000 l d.) I.

5250 Li

6 h 900

ter

0 Liter

13 h 210 min

21

7 h 435 mi 10

1h 1500 Liter

1min 25 Li

.875 Litern43

2 h 165 min4

4125 L

t

i

e

ter

r

→

→

→

= →

= →

= →

II.

25 Liter 1min

1Liter

60 70007000 Liter s

2560 10500

105

16.800 s 280 min 4 h 40 min

25.200 s 420 min 7 h00 Liter s25

60 1350013500 Lite

60 2s 2 s 2,

32.400 s 540 min 9 h

4 s25

s25

5

r

→

→

⋅=→ =

⋅=→ =

⋅=

= =

= =

==

=

=→

=

III.

1000 Liter 4

600 min 10 h

9000 Liter 6 h

9000 Liter 360 min

15.000 Liter 40 min 15

0 min→

⋅ = =

→

→

→

Seite 18 von 57

Geraden vom Typ y = mx 1.) Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu Steigungs-

dreiecke oder berechne mindestens 3 Punkte, die auf der jeweiligen Geraden liegen.

1 5f(x) 2 x g(x) x h(x) 0,6 x k(x) 1,5 x t(x) x

2 6= ⋅ = − ⋅ = ⋅ = − ⋅ = ⋅

2.) Ergänze die fehlenden Felder in der folgenden Tabelle ohne die Funktionen zu zeichnen: Funktion (alle verlau-fen durch (0/0))

Bereiche im KS die sie durchläuft

Steigung oder Gefälle

steil, flach oder normal

Steigung oder Gefälle in Prozent

Ergänze die richtige Koordinate


f(x) 3 x= − ⋅ ( 2 / ) ( / - 9 )

II und IV 50 % ( -4 / ) ( / 10 )

( 10 / 2,5 ) ( -8 / )

2f(x) x

3= ⋅ ( -6 / ) ( / -12 )

Gefälle 20 % ( 15 / ) ( / 2 )

( -4 / -6 ) ( / -3 )

3.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der auf der Rückseite abgebildeten Geraden?

f(x) =

g(x) =

h(x) =

k(x) =

t(x) =

s(x) =

Seite 19 von 57

Geraden vom Typ y = mx

g(x)

f(x)

h(x) k(x)

t(x)

s(x)

Seite 20 von 57

Geraden vom Typ y = mx (Lösungen) zu 1.)

zu 2.) Funktion (alle verlau-fen durch (0/0))

Bereiche im KS die sie durchläuft


steil, flach oder normal

Steigung oder Gefälle in Prozent



f(x) 3 x= − ⋅ II und IV Gefälle steil 300 % ( 2 /-6) ( 3 / - 9 )

f(x)= -0,5x II und IV Gefälle flach 50 % ( -4 /2) (-20 / 10 )

f(x)= 0,25x I und III Steigung flach 25% ( 10 / 2,5 ) ( -8 / -2 )

2f(x) x

3= ⋅ I und III Steigung flach 66,7% ( -6 / -4 ) ( -18 / -12 )

f(x)= -0,2x II und IV Gefälle flach 20 % ( 15 / -3 ) ( -10 / 2 )

f(x)= 1,5x I und III Steigung steil 150% ( -4 / -6 ) ( -2 / -3 ) zu 3.) f(x) 0,5 x g(x) 3 x h(x) 4 x k(x) 2,5 x t(x) 0,4 x s(x) 0,25 x= − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ = ⋅

g(x)

k(x) f(x)

t(x)

h(x)

Seite 21 von 57

Geraden vom Typ y = mx 1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der rechts abgebildeten Geraden?

y1 = x y2 = x y3 = x y4 = x 2.) Gib zu jeder der Geraden drei Punkte an, durch die die Gerade verläuft. 3.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt: A(-3/ ) auf y4 B(-2,5/ ) auf y2 C(6,8/ ) auf y1 D(4,5/ ) auf y3 2.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der rechts abgebildeten Geraden?

y1 = x y2 = x y3 = x y4 = x 2.) Gib zu jeder der Geraden drei Punkte an, durch die die Gerade verläuft. 3.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt: A(-8/ ) auf y1 B(-10/ ) auf y2 C(9/ ) auf y4 D(50/ ) auf y3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

O

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

O

y1

y2 y3

y4

y1

y2

y3

y4

Seite 22 von 57

Die lineare Funktion f(x) = mx + n Aufgabe: Bei der Fahrt mit einem Taxi ist pro km ein Fahrpreis von 2 € und außerdem eine Grundgebühr von 3 € zu zahlen.

a.) Lege eine Tabelle an für die Zuordnung Strecke � Fahrpreis ohne und mit Grundgebühr für eine Entfernung von 0 bis 10 km an.

b.) Wie heißt der Definitionsbereich (D) dieser Funktion? c.) Wie lautet die Funktionsgleichung ohne Beachtung der Grundgebühr? d.) Wie lautet die Funktionsgleichung mit Beachtung der Grundgebühr? e.) Zeichne beide Zuordnungen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.

a.) Strecke (km) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fahrpreis ohne Grundgebühr (€)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y=2x prop.

Fahrpreis mit Grundgebühr (€)

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 y=2x+3 nicht p.

b.) D = Q+ c.) y = 2x d.) y = 2x + 3 Man erkennt: Die beiden Geraden verlaufen parallel. Das liegt daran, dass ihre Steigung (m = 2) gleich ist.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

O

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MERKE: 1.) Eine Funktion y = mx + n heißt lineare Funktion (linear � geradlinig � Gerade). 2.) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung m. 3.) Der Wert n in der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Beispiel:

Funktionsgleichung: 1

f(x) x 32

= − +

m n

Steigung (m): 1

m2

= − � Gerade fällt flach ab. (Steigungsdreiecke beachten)

Abschnitt (n): n 3= + � Gerade schneidet die y-Achse bei (0/3). Punkte: (0/3) ; (2/2) ; (4/1) ; (-2/4) ; (-4/5)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

2

1

2

4

Seite 24 von 57

Die Funktionsgleichung f(x) = mx + n Aufgabe: Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) 2 x 2= ⋅ −

Mit Hilfe einer Funktionsgleichung kann man folgende Sachverhalte berechnen: 1.) Bestimmen von Wertepaaren, die zu einer Funktion gehören:

Beispiel: Bestimme 3 Wertepaare, die zur Funktion f(x) 2 x 2= ⋅ − gehören. Dazu setzt man für x be-

liebige Zahlen ein und berechnet danach mit Hilfe der Funktionsgleichung die dazugehörigen Funkti-onswerte:

1 2

1.) f(2) 2 2 2 2.) f( 4) 2 ( 4) 2

f(2) 4

f(2)

P (2 / 2) P ( 4 /

2 f

10

(

2 f( 4)

4) 10

8

)

2

= ⋅ − − = ⋅ − −

= − −

= =

−

− −

−

= − −

2.) Überprüfen, ob ein Punkt (Wertepaar) zur Funktion gehört oder nicht:

Beispiel: Überprüfe, ob der Punkt S(-30/94) zur Funktion f(x) 3x 4= − + gehört oder nicht. Dazu setzt

man den Wert für x in die Funktionsgleichung ein und überprüft das Ergebnis. f(x) 3x 4

f( 30) 3 ( 30) 4

f( 30

f( 30) 94 S( 30 / 94

)

) w

9

!

0 4

ahr− =

= − +

− = − ⋅ − +

− = +

→ −

Der Punkt S gehört zur Funktion! 3.) Fehlende Werte der Zuordnung berechnen:

Beispiel: Ergänze die fehlenden Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zur Funktion 1

g(x) x 52

= − + gehören.

R1 (20/?) R2 (-5/?) R3 (?/-4) R4 (?/25) Dazu setzt man den gegebenen Wert in die Funktionsgleichung ein und berechnet dann den fehlen-den Wert.

1 2 3 4

1 2

R (20 /?) R ( 5 /?) R (?/ 4) R (?/ 25)

1 1 1 1g(20) 20 5 g( 5) ( 5) 5 4 x 5 25 x 5

2 2 2 21 1

g

1 1 1 1g(x) x 5 g(x) x 5 g(

(

x) x 5 g

20)

g(20) 5 g

(x) x 5

10 5 g

( 5) 7,5 18 x 40 x

( 5) 2,5 5 9 x 20 x2 2

R (20 / ) R ( 5

2 2 2 2

5

− −

= − ⋅ + − = − ⋅ − + − = − + = − +

= − + −

= − + = − + = − +

= + − = − = −

= − − = = − =

−

− +

−

=

3 4/ ) R ( / 4) R (7,5 18 5)40 / 2−−

Seite 25 von 57

Geraden vom Typ y = mx + n 1.) Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu Steigungs-

dreiecke oder berechne mindestens 3 Punkte, die auf der jeweiligen Geraden liegen.

1 5f(x) 2 x 1 g(x) x 3 h(x) 0,6 x 2 k(x) 1,5 x 4 t(x) x 3

2 6= ⋅ − = − ⋅ + = ⋅ + = − ⋅ − = ⋅ −

Weitere Fragen zur Aufgabe 1.)

a.) Überprüfe mit Hilfe der Funktionsgleichung, ob folgende Punkte auf der angegebenen Geraden liegen:

P (46/-20) auf g(x) ; Q (-80/-46) auf h(x) ; R (-20/-26) auf k(x) ; S (90/72) auf t(x)

b.) Ergänze mit Hilfe der Funktionsgleichung die Koordinaten der angegebenen Punkte so, dass sie auf der jeweiligen Geraden liegen:

P (50/ ? ) auf g(x) R (-20/ ? ) auf h(x) T (-30/ ? ) auf k(x) W (-42/ ? ) auf t(x) Q ( ? /-35) auf g(x) S ( ? /-13) auf h(x) V ( ? /-46) auf k(x) Z ( ? /-28) auf t(x)

2.) Ergänze die fehlenden Felder in der folgenden Tabelle ohne die Funktionen zu zeichnen: Funktions- gleichung


(m)

y-Achsen- Abschnitt

(n)


steil, flach oder nor-mal



f(x) 3 x 1= ⋅ + ( 2 / ) ( / - 8 )

0,5− 4 ( -4 / ) ( / 10 )

f(x) 2 x 5= − ⋅ + ( 10 / ) ( -7 / )

3

4 4− ( -6 / ) ( / -13 )

2f(x) x 1

3= − ⋅ − ( 15 / ) ( / 2 )

-1 2 ( -5 / ) ( / 10 )


f(x) =

g(x) =

h(x) =

k(x) =

t(x) =

s(x) =

Seite 26 von 57

Geraden vom Typ y = mx + n

g(x)

f(x)

h(x)

k(x)

t(x)

s(x)

Seite 27 von 57

Geraden vom Typ y = mx + n (Lösungen) 1.) Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu Steigungs-

dreiecke oder berechne mindestens 3 Punkte, die auf der jeweiligen Geraden liegen. 1 5

f(x) 2 x 1 g(x) x 3 h(x) 0,6 x 2 k(x) 1,5 x 4 t(x) x 32 6

= ⋅ − = − ⋅ + = ⋅ + = − ⋅ − = ⋅ −

a.) Überprüfe mit Hilfe der Funktionsgleichung, ob folgende Punkte auf der angegebenen Geraden

liegen:

P (46/-20) auf g(x) (w) Q (-80/-46) auf h(x) (w) R (-20/-26) auf k(x) (f) S (90/72) auf t(x) (w)

b.) Ergänze mit Hilfe der Funktionsgleichung die Koordinaten der angegebenen Punkte so, dass sie auf der jeweiligen Geraden liegen:

P (50/-22) auf g(x) R (-20/-10) auf h(x) T (-30/41) auf k(x) W (-42/-38) auf t(x) Q (64/-35) auf g(x) S (-25/-13) auf h(x) V (28/-46) auf k(x) Z (-30/-28) auf t(x)

2.) Ergänze die fehlenden Felder in der folgenden Tabelle ohne die Funktionen zu zeichnen: Funktions- gleichung

Steigung oder Gefäl-le

(m)

y-Achsen- Abschnitt

(n)

Steigung oder Gefäl-le

steil, flach oder nor-mal



f(x) 3 x 1= ⋅ + 3 1 Steigung steil ( 2 / 7 ) ( -3 / - 8 )

f(x) 0,5 x 4= − ⋅ + 0,5− 4 Gefälle flach ( -4 / 6 ) ( -12 / 10 )

f(x) 2 x 5= − ⋅ + -2 5 Gefälle steil ( 10 / -15 ) ( -7 / 6 )

3f(x) x 4

4= ⋅ − 3

4 4− Steigung flach ( -6 / -8,5 ) ( -12/ -13 )

2f(x) x 1

3= − ⋅ − 2

3− -1 Gefälle flach ( 15 / -11 ) ( -4,5 / 2 )

f(x) 1x 2= − + -1 2 Gefälle normal ( -5 / 7 ) ( -8 / 10 )


1f x) 4( x

4= +

x(x) 5g1

2− +=

1h x) 2( x

2= +

1k(x) 2x= +

xt(x) 4= − −

1s x) 3( x

4= −

Seite 28 von 57

f(x)

g(x)

h(x) k(x) s(x)

Die lineare Funktion f(x) = mx + n 1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der unten abgebildeten Geraden? Bestimme dazu aus der Zeich-

nung die Steigung (m) der Geraden (Steigungsdreieck) und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse (n).

f(x) = g(x) = h(x) = k(x) =

s(x) =

2.) Berechne zu jeder Geraden drei Punkte, durch die die Gerade verläuft. 3.) Ergänze die Koordinaten der Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt:

A (-3/ ) auf f(x) E ( /-2) auf f(x) K (-8/ ) auf s(x) B (-20/ ) auf g(x) F ( /3) auf g(x) L ( /2) auf s(x) C (6,8/ ) auf h(x) G ( /-1) auf h(x) D (48/ ) auf k(x) H ( /3) auf k(x)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

Seite 29 von 57

f(x)

g(x)

k(x) h(x) s(x)

Die lineare Funktion y = mx + n (Lösungen) 1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der unten abgebildeten Geraden? Bestimme dazu aus der Zeich-

nung die Steigung (m) der Geraden (Steigungsdreieck) und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse (n).

f(x) = - 2 x + 1 g(x) = - 0,25 x + 4 h(x) = 3 x - 4 k(x) = 2 x - 3

s(x) = 0,5 x + 3

2.) Berechne zu jeder Geraden drei Punkte, durch die die Gerade verläuft. 3.) Ergänze die Koordinaten der Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt:

A (-3/ 7 ) auf f(x) E (1,5/-2) auf f(x) K (-8/-1) auf s(x) B (-20/ 9) auf g(x) F (4/3) auf g(x) L (-2/2) auf s(x) C (6,8/16,6)auf h(x) G (1/-1) auf h(x) D (48/93) auf k(x) H (0/3) auf k(x)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

O

Seite 30 von 57

Die Nullstelle einer linearen Funktion Aufgabe: Der Schaufelbagger eines Kieswerks verbraucht pro Betriebsstunde 24 Liter Dieselkraftstoff. Sein Tankinhalt beträgt 180 Liter Diesel. Behandelt werden soll die Zuordnung Zeit (h) � Tankinhalt (l)

a.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem. b.) Wie lautet die Funktionsgleichung? c.) Lies aus der Zeichnung ab: Nach wie vielen Stunden ist der Tank leer? d.) Wie könnte man mit Hilfe der Funktionsgleichung berechnen, wann der Tank leer ist?

zu a.)

zu b.) f(x) 180 24 x= − ⋅

zu c.) Der Tank ist nach 7,5 Stunden leer (Schnittpunkt mit der x-Achse!) zu d.) Man muss in der Funktionsgleichung f(x) = 0 setzen, da jeder Punkt auf der x-Achse die Bedingung

f(x) = 0 erfüllt.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

20

40

60

80

100

120

140

200

280

180

240

260

160

220

Betriebszeit (h)

Volumen (l)

Seite 31 von 57

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

O

N

0 180 2

f(

4 x

180 2

x) 180 24 x

7,5

4 x

x

= − ⋅

− = − ⋅

= ⋅

=

−

Die Gerade schneidet bei (7,5/0) die x-Achse. Diese Stelle bezeichnet man als die Nullstelle

der Funktion Aufgabe:

Gegeben ist die lineare Funktion 1

g(x) x 22

= − + . Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein und lies

die Koordinaten der Nullstelle (N) ab. Die Nullstelle besitzt die Koordinaten N (4/0) Berechnung der Nullstelle N: Jeder Punkt auf der x-Achse besitzt die Koordinate (x/0), das heißt der y-Wert ist immer 0. Man ersetzt jetzt in der Funktionsgleichung f(x) = y durch 0 und berechnet den x-Wert:

Seite 32 von 57

4

10 x 2

21

2 x

x N(4 / 0

1f(x) x

2

2

2

)

⇒ = − +

=

− = −

= − +

MERKE: Man berechnet die Nullstelle einer Funktion, indem man in der Funktionsgleichung f(x) = y = 0 setzt und dann den x-Wert berechnet. Aufgabe: Bestimme durch Rechnung die Nullstellen (N) der folgenden linearen Funktionen:

1f(x) x 3 g(x) 2x 1 h(x) x 1 k(x) x 2 s(x) 2x 2

2= − = − + = − = − + = − −

Lösungen:

N(6 / 0) N

1 1f(x) x 3 0 x 3 g(x) 2x 1 0 2x

(0,5

12 2

13 x 1 2x

26 x 0,5

/ 0)

x

= − ⇒ = − = − + ⇒ = − +

= − = −

= =

h(x) x 1 0 x 1 k(x) x 2 0 x 2

1 x 2

N(1/ 0) N(2 /

x

1 x 2

)

x

0

= − ⇒ = − = − + ⇒ = − +

= − = −

= =

s(x) 2x 2 0 2x 2

2 2x

1

N( 1/

x

0)

= − −

−

⇒ = − −

= −

− =

Das waren die Funktionen, die in der vorherigen Stunde in das Koordinatensystem eingezeichnet worden waren. Die Schüler können dadurch ihre berechneten Ergebnisse an der Zeichnung kontrollieren und nach-prüfen.

Seite 33 von 57

Bestimmen der Funktionsgleichung Aufgabe: Im Koordinatensystem hat ein Punkt A die Koordinaten (2/1) und ein Punkt B die Koordinaten (5/7).

a.) Zeichne die beiden Punkte in ein komplettes Koordinatensystem mit Rahmen ein und verbinde die beiden Punkte durch eine lineare Funktion.

b.) Bestimme die Funktionsgleichung (Steigungsdreieck; Schnittpunkt mit der y-Achse). c.) Kann man diese Funktionsgleichung nur mit Hilfe der gegebenen Koordinaten bestimmen?

zu a.)

zu b.) Steigungsdreieck ergibt: y-Achsenabschnitt ergibt: Gleichung:

Höhe des Dreiecksm

Grundseite des Dreiecks

22

1= = = n = -3 f(x) = 2x – 3

Seite 34 von 57

zu c.) A( 2/ 1) und B( 5/ 7) A(x1/y1) und B(x2/y2)

Nun setzt man den errechneten Wert für die Steigung (m = 2) und die Koordinaten eines gegebenen Punk-tes A(2/1) oder B(5/7) in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + n ein:

Einsetzen der berechneten Steigung m 2

f(x) 2x n Einsetzen der Koordinaten von f(x) 2x n

f(x) mx n

A(2 / 1) B

3 n 3 n

f(x) 2x 3

Einsetzen der Koordinaten von

1 2 2 n 7 5 2 n

1 4 n 7 10 n

Funktionsgleichun

5 )

g

( 7

:

/

⇒ =

= + ⇒ = + ⇒

= ⋅ + = ⋅ +

− = − =

=

= + = +

=

−

+

2 1 1 6y y 7= − =−

2 1 2 3x x 5= − =−

2 1

2 1

y ym

x x

6

22

3

7 1

5

−= =

−

−

−==

Seite 35 von 57

Weiteres Beispiel zur Berechnung der Funktionsgleichung: Im Koordinatensystem hat ein Punkt P die Koordinaten (-1/7) und ein Punkt R die Koordinaten (3/-5). (x1/y1) (x2/y2)

a.) Zeichne die beiden Punkte in ein komplettes Koordinatensystem mit Rahmen ein und verbinde die beiden Punkte durch eine lineare Funktion.

b.) Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung. zu a.)

Einsetzen der berechneten Steigung m 3

f(x) 3x n Einsetzen der Koordinaten von

7 3 ( 1

4 n

f(x)

f(x) mx n

) n

7 3 n

3xF

P( 1/ 7)

unktionsgleich 4ung :

⇒ = −

= − + ⇒

= − ⋅ −

=

= −

+

= +

=

−

+

+

2 1 5 12y 7y = − − −=−

2 1 3 (x x 3 1 41)= − − = + =−

2 1

2 1

y ym

x x

5 123

( 4

7

3 1)

− −−=

−−

= =−

= −−

Seite 36 von 57

Weitere Beispiele ohne Zeichnung: Berechne die Funktionsgleichung der linearen Funktion, die durch folgende Punkte verläuft:

a.) A(4/-6) und B(10/-3) b.) C(9/3) und D(-12/10) c.) E(1/6) und F(-2/-18) d.) G(10/-9) und H(-5/-7,5)

Berechne anschließend die Nullstellen der Funktionen. zu a.)

2 1

2 1

y y 3 ( 6) 3 6 3m f(x) 0,5x 8

x x 10 4 6 6

0 0,5x 8

Einsetzen der berechnete

Berechnen der Steigung m : Nullstelle :

f(x) mx n mn Steigung 8 0,5x

f(x) 0,5x n Einsetzen der Koordinaten vo

1

2

N

n

6 0,5 4 n

0,5

A(4 / 6) 16 x

− − − − − += = = = = = −

− −

= −

⇒ =

= + ⇒

− = ⋅

=

− =

+

= +

6 2 n

Funktionsgleichung

(16 / 0)

8 n

f(x) ,: 0 5x 8

− =

=

− =

−

+

zu b.)

2 1

2 1

y y 10 3 7 1m f(x) x 6

x x 12 9 21 3

10 x 6

31

Einsetzen der berechneten Steigung 6


1f(x) mx n m x

31

f(x) x n Einsetzen der Koordinaten von3

13 9 n

1

3

N(18

3

C(9 / 3) 18 x

/ 03

)

− −= = = = = − +

− − − −

= − +

⇒ − = −

= − + ⇒

=

= + = −

+

=

−

− ⋅

3 3 n

Funktionsgleichung

6 n

1f(x

3: ) x 6

=

= −

= −

+

+

zu c.)

2 1

2 1

y y 18 6 24m f(x) 8x 2

x x 2 1 3

0 8x 2

Einsetzen der berechneten

Berechnen der Steigung m : Nullstel

Steigung 2 8x

f(x) 8

le :

f(x) mx n m 8

E(1/ 6) 0,25 xx n Einsetzen der Koordinaten von

6 8 1

8

N(0,25n

6 8 n

F

/ 0)

2 n

= + =

− − − −= = = = = −

− − − −

= −

⇒ =

= + ⇒

=

= +

−

+

=

=

⋅

unktionsgleich f(x 2ung ): 8x= −

Seite 37 von 57

zu d.)

2 1

2 1

y y 7,5 ( 9) 7,5 9 1,5m f(x) 0,1x 8

x x 5 10 15 15

0 0,1x 8

Einsetzen der berechn


f(x) mx n m 0eten Steigung 8 0,1x

f(x) 0,1x n Einsetzen der Koordinaten vo

,1

G(10

0

n

,1− − − − − +

= = = = = = − −− − − − −

= − −

⇒ = −= + = −

= ⇒

−

− +

9 0,1 10 n

9 1 n

Fu

N( 80 / 0)

8 n

fnktionsgleichun (x

/ 9

)

) 80

0,1x 8:

x

g

− = −

− =

=

− ⋅ +

− = − +

− −

− −

=

Seite 38 von 57

Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen Der Airbus A310 ist mit sehr genauen Messinstrumenten ausgestattet. So können die Piloten im Cockpit ständig die geflogene Strecke oder die noch vorhandene Treibstoffmenge abrufen. Die computergesteuerte Messung der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge ergab die folgende Wertetabelle:

geflogene Strecke in km 200 300 400 500 600 Treibstoffmenge in Tonnen 32,0 31,5 31,0 30,5 30,0

a.) Erkläre mit eigenen Worten: Warum handelt es sich bei der

Zuordnung geflogene Strecke � vorhandeneTreibstoffmenge um eine Funktion?

b.) Begründe schriftlich: Ist diese Zuordnung proportional? c.) Mit welcher Treibstoffmenge ist der Airbus gestartet? d.) Übertrage die Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem.

(x-Achse: 1 cm � 100 km; y-Achse: 1cm � 5 Tonnen) e.) Bestimme die Funktionsgleichung der Zuordnung. f.) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktion mit der y-Achse. Welche Bedeutung hat

dieser Punkt für die Zuordnung? g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Treibstoffmenge in Tonnen nach einer Strecke von

750 km (825 km, 1100 km) h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Strecke in km, nach der die Treibstoffmenge 5,25

Tonnen (15,5 Tonnen, 22,25 Tonnen) beträgt. i.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung nach welcher Strecke der Tank leer sein wird.

Klebe diesen Zettel in dein Merkheft ein!

Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen Der Airbus A310 ist mit sehr genauen Messinstrumenten ausgestattet. So können die Piloten im Cockpit ständig die geflogene Strecke oder die noch vorhandene Treibstoffmenge abrufen. Die computergesteuerte Messung der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge ergab die folgende Wertetabelle:

geflogene Strecke in km 200 300 400 500 600 Treibstoffmenge in Tonnen 32,0 31,5 31,0 30,5 30,0

a.) Erkläre mit eigenen Worten: Warum handelt es sich bei der

Zuordnung geflogene Strecke � vorhandeneTreibstoffmenge um eine Funktion?

b.) Begründe schriftlich: Ist diese Zuordnung proportional? c.) Mit welcher Treibstoffmenge ist der Airbus gestartet? d.) Übertrage die Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem.

(x-Achse: 1 cm � 100 km; y-Achse: 1cm � 5 Tonnen) e.) Bestimme die Funktionsgleichung der Zuordnung. f.) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktion mit der y-Achse. Welche Bedeutung hat

dieser Punkt für die Zuordnung? g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Treibstoffmenge in Tonnen nach einer Strecke von

750 km (825 km, 1100 km) h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Strecke in km, nach der die Treibstoffmenge 5,25

Tonnen (15,5 Tonnen, 22,25 Tonnen) beträgt. i.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung nach welcher Strecke der Tank leer sein wird.

Klebe diesen Zettel in dein Merkheft ein!

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Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen (Lösungen) zu a.) Die Zuordnung ist deshalb eine Funktion, weil sie eindeutig ist. Für eine bestimmte geflogene Strecke kann es nur eine zugehörige Treibstoffmenge geben. zu b.) Die Zuordnung ist nicht proportional. Das kann man sehr gut an den Tabellenwerten sehen. Verdoppelt man zum Beispiel die geflogene Strecke, so verdoppelt sich nicht die vorhandene Treibstoffmenge. Diese Zuord-nung ist aber auch nicht antiproportional. zu c.) Auf Grund der Regelmäßigkeit der Tabelle (pro 100 km geflogene Strecke sinkt die Treibstoffmenge immer um 0,5 Tonnen) kann man einfach 2 Schritte zurückrechnen. 200 km � 32,0 Tonnen 100 km � 32,5 Tonnen 0 km � 33 Tonnen zu d.)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

5

10

15

20

25

30

35

50

70

45

60

65

40

55

Strecke (km)

Treibstoff (t)

Seite 40 von 57

Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen (Lösungen) zu e.)

ff ((x x)) 33 0,00 0,005x 335 x= −− ⋅= +⋅ ⇒

zu f.)

y

f(0) 0,

f

0

(x) 0,005

05 0 3

x 33

S (0

f(

/ 3

3

3

0) 3

)

3

= − ⋅

=

+

= − ⋅ +

zu g.)

f(750) 0,005 750 33 f(825) 0,005 825 33 f(110

f(

f(x) 0,005 x 33 f(x) 0,005 x 33 f(x) 0

750) 29,25 f(825) 28,875 f(11

,0

00

05 x 33

S (750 / 29,25) S (825 / 28,875

) 27,5

)

0) 0,005 1100

S (1100 / 27, )

33

5

= − ⋅ + = − ⋅ + = −

= − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅

= =

+

=

⋅ +

Nach 750 km (825 km, 1100 km) befinden sich noch 29,25 t (28,875 t, 27,5 t) Treibstoff im Tank. zu h.)

5,25 0,005 x 33 15,5 0,005 x 33 22,25 0,005 x 33

27,75 0,005

f(x) 0,005 x 33 f(x) 0,005 x 33 f(x) 0,005 x 33

S (5550 / 5,25) S (3500 /15,5) S (2150 / 22

x 17,5 0,005 x 10,75 0,00

5550 x 3500 x

,2

21

5)

x

5 x

50

= − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ +

− = − ⋅ − =

= − ⋅ +

− ⋅ − = − ⋅

= − ⋅

= = =

+ = − ⋅ +

Es verbleiben noch 5,25 t (15,5 t, 22,25 t) Treibstoff bei einer geflogenen Strecke von 5550 km (3500 km, 2150 km). zu i.)

0 0,005 x 33

f(x) 0,005 x 33

S (

33 0,005

6600 / 0

66 0 x

x

0

)

= − ⋅ +

− =

=

− ⋅

= − ⋅ +

Nach 6600 km Flugstrecke ist der Tank leer.

Seite 41 von 57

Anwendungsaufgaben Lineare Funktionen 1.) Ein Energieversorgungsunternehmen bietet den Tarif „Öko“ für einen Ar-

beitspreis von 25 Cent pro Kilowattstunde und einen Grundpreis von 9,50 € pro Monat an.

a.) Lege eine Tabelle an, die Auskunft über die Kosten von 0 Kilowattstun-

den (Kwh) bis 500 Kwh in 50 Kilowattstundenschritten gibt. b.) Übertrage die Tabelle in ein geeignetes Koordinatensystem. c.) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Zuordnung für die monatlichen

Gesamtkosten. d.) Berechne die mit Hilfe der Funktionsgleichung die monatlichen Ge-

samtkosten für einen Verbrauch von 320 Kwh, 410 Kwh und 680 Kwh. e.) Familie Wolf erhält im Oktober eine Stromrechnung über 64,50 €. Be-

rechne mit Hilfe der Funktionsgleichung ihren Verbrauch für diesen Monat.

2.) Für den Urlaub wollen Marcos Eltern ein Wohnmobil mieten.

Typ Servicepauschale (€) Tagespreis (€) Adria 560 130 80 Camp 480 100 95 Van 500 120 90

a.) Bestimme die Funktionsgleichungen der Mietkosten für jedes Wohnmobil. b.) Zeichne alle drei Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem ein. c.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichungen die Gesamtkosten für jedes Wohnmobil für eine Miet-

dauer von 7 Tagen. d.) Familie Fuchs zahlt für 5 Tage einen Gesamtpreis von 575 €. Berechne mit Hilfe der Funktionsglei-

chungen, welches Wohnmobil sie gemietet haben. 3.) In einer Klinik wird ein Patient „an den Tropf gelegt“, das heißt ihm wird aus

einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung sehr langsam in die Blutbahn eingeträufelt. Die computergesteuerte Messung des Flascheninhalts zu verschiedenen Zeitpunkten ergab die folgende Wertetabelle:

Zeit t in min 30 60 90 120 150 Flascheninhalt l in cm3 950 750 550 350 150

a.) Übertrage die Werte in ein geeignetes Koordinatensystem. b.) Begründe mit Hilfe der Werte aus der Tabelle, dass der Zusammenhang zwischen der Zeit und dem

Flascheninhalt durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. c.) Bestimme den Steigungsfaktor dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für

den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. d.) Bestimme den Schnittpunkt dieser linearen Funktion mit der y-Achse. Erläutere die Bedeutung die-

ses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. e.) Gib die Funktionsgleichung dieser linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare

diese Gleichung erfüllen. f.) Berechne die Nullstelle dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zu-

sammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung den Flascheninhalt nach einer Zeit von 75 Minuten.

Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen. h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der der Flascheninhalt 320 cm3 beträgt.

Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen.

Seite 42 von 57

4.) Ein quaderförmiger Tankbehälter wird mit Öl befüllt. Zu Beginn der Füllung

befinden sich 250 Liter im Tank. Pro Minute laufen 450 Liter Öl dazu. Der Tank besitzt ein Volumen von 10.000 Liter.

a.) Wie lautet die Funktionsgleichung der Zuordnung? b.) Erläutere die Bedeutung des Steigungsfaktors m für den Zusammen-

hang zwischen der Zeit und dem Ölstand in Tank. c.) Erläutere die Bedeutung des Wertes n für den Zusammenhang zwi-

schen der Zeit und dem Ölstand im Tank. d.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung den Ölstand im Tank nach einer Zeit von 12 Minuten. e.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der der Ölstand im Tank 3625 Liter beträgt. f.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der der Tank vollständig gefüllt ist.

5.) Ein Fallschirmspringer öffnet seinen Fallschirm und misst mit Hilfe eines

Höhenmeters zu verschiedenen Zeitpunkten nach dem Öffnen des Schir-mes seine Höhe über dem Erdboden. Die Messung ergab die folgende Wertetabelle:

Fallzeit t in s 5 10 15 20 25 Höhe h in m 232,5 210 187,5 165 142,5

a.) Übertrage die Werte in ein geeignetes Koordinatensystem. b.) Begründe mit Hilfe der Werte aus der Tabelle, dass der Zusammen-

hang zwischen der Zeit und der Höhe durch eine lineare Funktion be-schrieben werden kann.

c.) Bestimme den Steigungsfaktor dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe.

d.) Bestimme den Schnittpunkt dieser linearen Funktion mit der y-Achse. Erläutere die Bedeutung die-ses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe.

e.) Gib die Funktionsgleichung dieser linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare diese Gleichung erfüllen.

f.) Berechne die Nullstelle dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zu-sammenhang zwischen der Zeit und der Höhe.

g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Höhe nach einer Zeit von 33 Sekunden. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen.

h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der die Höhe des Springers 100 m beträgt. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen.

Seite 43 von 57

Anwendungsaufgaben Lineare Funktionen (Lösungen) zu 1.) a.)

Kilowattstunden (Kwh) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Kosten (€) 9,50 22 34,5 47 59,5 72 84,5 97 109,5 122 134,5

b.)

c.) f(Kwh) 0,25 x 9,50= ⋅ +

d.)

f(Kwh) 0,25 320 9,50 f(Kwh) 0,25 410 9,50 f(Kw

f(Kwh

x 320 x 410 x 680

) 89,50 € f(K

h) 0,2

wh) 112,00 € f(Kw

5 680 9

h) 17

,50

9,50 €= =

=

= ⋅ + = ⋅ ⋅ +

=

=

+

=

=

e.)

64,50 0,25 xf(Kwh) 64, 9,5050 x 220 Kwh=== ⋅ +

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

10

20

30

40

50

60

70

100

140

90

120

130

80

110

Kwh

Kosten (€)

Seite 44 von 57

zu 2.) a.) Adria Camp Vany 80x 130 y 95x 100 y 90x 120= + = + = +

b.)

c.)

Adria Camp Van

Adria Camp V

Adria Camp n

an

Va

y 80 7 130 y 95 7 100 y 90 7 1

y 80x 130 y 95x 1

y 690 €

00

y

y 90x 120

20

765 € y 750 €

= + =

= ⋅ + = ⋅ +

= = =

= ⋅

+ +

+

=

d.)

Adria Camp Van

575 80 5 130 57

y 80x 130 y 95x

5 95 5 1

100 y 90x 120

00 575 90

575 530 575 5

5 120

75 575 570

= ⋅ + = ⋅

= + =

+ = ⋅ +

≠ = ≠

+ = +

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

100

200

300

400

500

600

700

1000

1400

900

1200

1300

800

1100

Tage

Kosten (€)

Seite 45 von 57

zu 3.) a.)

b.) Pro 30 Minuten Zeit sinkt der Wert regelmäßig um 200 cm3. c.)

750

Ste

9

igun

50m

60

gsfaktor m

3

pro Minute :

200 20 2m

3 306

30

−=

−

−= = − = −

Bedeutung von m: Pro Minute nimmt der Flascheninhalt um 326 cm

3 ab.

d.)

yn 30 S (0 /1

Schn

30

ittpunkt n mi

150 950 200

t der y Achse

1150 0)

:

= − = + =

−

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390

100

200

300

400

500

600

700

1000

1400

900

1200

1300

800

1100

Zeit (min)

Inhalt (cm3)

Seite 46 von 57

e.)

2y 6 x 1150

3

2 2 2y 6 30 1150 y 6 60 1150 y 6 90 1

F

1503 3 3

unktionsgleic

y 950 y 750 y 550

y 3

hung :

x 30 x 60

2 2y 6 120 1150 y 6 150 1150

x 90

x 120 x 1

3 3

0

50 y 1 0

5

5

= =

= − +

= − ⋅ + = − ⋅ +

= = =

= =

= − ⋅ +

= − ⋅ +

=

=

+

=

= − ⋅

f.)

2y 6 x 1150

32

0 6 x 11503

21150 6

x 172,5 Minuten

x 2 h 52

Nul

min 3

lstelle y

x3

0 s

0 :⇒ =

=

= − +

=

=

= − +

− −

Bedeutung: Nach 172,5 Minuten ist die Infusionsflasche leer.

g.)

3

2y 6 x 1150

32

y

y 650 cm

x 75

6 75 1153

:

0

= − +

= −

=

⋅ +

=

Nach 75 Minuten sind noch 650 cm3 in der Infusionsflasche.

h.)

2320 6 x 1150

32

x 124,5

y 32

Min

830

ute

6 x

n

x

3

2 h 4 min s

:

0

0

3

= −

=

− = −

=

=

+

Nach 2 h 4 min 30 s beträgt der Flascheninhalt noch 320 cm3.

Seite 47 von 57

zu 4.) a.) y 450x 250= +

b.) Bedeutung von m: Pro Minute laufen 450 Liter Öl dazu. c.) Bedeutung von n: Zu Beginn befinden sich 250 Liter Öl im Tank. d.)

y 450x 250

y 450

x 12 Min

12

y 5650 Lite

t

250

r

u en

= +

=

=

⋅ +

=

Nach 12 Minuten befinden sich 5650 Liter im Tank.

e.)

y 450x 250

3625 450x 250

3375 4

y 36

50x

25 Lit

x 7,

e

5 M en

r

inut

= +

=

=

=

+

=

Nach 7 Minuten 30 Sekunden befinden sich 3625 Liter im Tank.

f.)

y 450x 250

10000 450x 250

9750

2x 21 Minute

y 10000

n3

x 21Minuten 40 Sekunden

Lite

4

r

50x

=

=

=

=

= +

= + Nach 21 Minuten 40 Sekunden ist der Tank voll.

Seite 48 von 57

zu 5.) a.)

b.) Pro 5 Sekunden Fallzeit sinkt der Springer regelmäßig um 22,5 m ab. c.)

210 232,5m

22,5m 4,5

Steigungsfaktor m pro Seku

1 5

:

0 5

nde

− −= = −=

−

Bedeutung von m: Pro Sekunde fällt der Springer um 4,5 Meter. d.)

y

Schnittpunkt n mit der y Achse

n 5 5 0 232,5 22,5 2 S (0 / 2

:

55 55)= − = + =

−

Bedeutung von n: Beim Öffnen des Fallschirms war der Springer 255 Meter hoch.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

30

60

90

120

150

180

210

300

420

270

360

390

240

330

Fallzeit (s)

Höhe (m)

Seite 49 von 57

e.)

y 4,5x 255

y 4,5 5 255 y 4,5 10 255 y 4,5

y 232,5 y 210 y 187,5

y 165 y 14

Funktionsgle

2

ichung :

x 5 x 10 x

15 255

y 4,5 20 255 y 4,5 25 255

15

5

0 25

,

x 2 x

= − +

= − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅

= = =

= =

= = =

= =

+

= − ⋅ + = − ⋅ +

f.)

y 4,5x 255

0 4,5x 255

255

2x 56 Sekunden

3

x 56,6 s

Nullstelle y

4

0 :

,5x

= − +

= − +

− =

=

=

−

⇒ =

Bedeutung: Nach 56,6 Sekunden ist der Springer am Boden.

g.)

y 4,5x 255

y 4,5

y 106,5

33

x

2

33 :

m

55

= − +

= −

=

⋅ +

=

Nach 33 Sekunden ist der Springer noch 106,5 Meter über dem Boden.

h.)

100 4,5x 255

155 4,5x

4x 34 Sekunden

9

x 34,4 Seku

y 100

nde

:

n

=

=

=

=

= − +

− − Nach 34,4 Sekunden befindet sich der Springer in 100 Meter Höhe.

Seite 50 von 57

Lineare Funktionen Versuche jeweils mit Hilfe der folgenden Angaben eine Funktionsgleichung aufzustellen. Wenn du die Funk-tionsgleichung ermittelt hast, zeichne sie in das unten eingezeichnete Koordinatensystem ein. Berechne danach ihre Nullstellen (N) und vergleiche sie mit der Zeichnung. 1.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(3/5) und besitzt die Steigung m = -2 2.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(5/1) und schneidet die y-Achse bei (0/-9) 3.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(-1/5) und besitzt die Steigung m = -2 4.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(2/3) und schneidet die y-Achse bei (0/-1)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

f(x) = N ( / )

g(x) = N ( / )

h(x) = N ( / )

k(x) = N ( / )

Seite 51 von 57

Lineare Funktionen (Lösungen) Versuche jeweils mit Hilfe der folgenden Angaben eine Funktionsgleichung aufzustellen. Wenn du die Funk-tionsgleichung ermittelt hast, zeichne sie in das unten eingezeichnete Koordinatensystem ein. Berechne danach ihre Nullstellen (N) und vergleiche sie mit der Zeichnung. 1.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(3/5) und besitzt die Steigung m = -2 2.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(5/1) und schneidet die y-Achse bei (0/-9) 3.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(-1/5) und besitzt die Steigung m = -2 4.) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(2/3) und schneidet die y-Achse bei (0/-1)

f(x) = -2x + 11 N (5,5/0)

g(x) = 2x - 9 N (4,5/0)

h(x) = -2x + 3 N (1,5/0)

k(x) = 2x-1 N (0,5/0)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

Seite 52 von 57

f(x) g(x)

h(x)

k(x)

t(x)

Lineare Funktionen (II) 1.) Zeichne folgende lineare Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu unter-

schiedliche Farben.

1f(x) 2 x 3 g(x) x 2

21

h(x) 3 x 5 k(x) x 43

t(x) 5 s(x) 0,4 x 1

= − ⋅ + = ⋅ −

= ⋅ − = − ⋅ +

= − = ⋅ +

2.) Die Höhe einer brennenden Kerze wird durch die Funktion y = -2x +7 beschrieben, wobei x die Brenn-

dauer in Stunden und y die Höhe der Kerze in Zentimetern angibt.

a.) Zeichne den Graphen der Funktion. b.) Wie hoch ist die Kerze, bevor sie angezündet wird? c.) Eine zweite Kerze wurde zur gleichen Zeit angezündet. Sie ist 8 cm hoch und brennt mit einer

Geschwindigkeit von 2,5 cm pro Stunde ab. Bestimme ihre Funktionsgleichung. d.) Zeichne in das gleiche Koordinatensystem den zu dieser Kerze gehörigen Graphen. e.) Lies aus der Zeichnung ab, nach welcher Zeit die beiden Kerzen gleich hoch sind. f.) Berechne: Nach welcher Zeit ist die erste Kerze abgebrannt? Wann die zweite?

3.) Bestimme die Funktionsgleichungen der unten abgebildeten linearen Funktionen:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

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Lineare Funktionen (II) (Lösungen) zu 1.)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

y1=-2*x+3

y2=0,5*x-2

y3=3*x-5

y4=(-1/3)*x+4

y5=0,4*x+1

Seite 54 von 57

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

y1

y2

S

Lineare Funktionen (II) (Lösungen) zu 2.) a.) und d.) zu b.) 8 cm zu c.) y = -2,5x+8 zu e.) nach 2 Stunden (S) zu f.)

1 2

0 2x 7 0 2,5x

3,5 x 3,2 x

N(

y 2x 7 y 2,5x 8

7 2x 8 2,5

3,5 / 0) N(3,2 / 0)

8

x

= − + = − +

− = −

= − + = − +

=

− = −

=

zu 3.)

1 2 3 4 51 1

y 4x 4 y 2x 1 y 5 y x 3 y x 24 2

= − = − + = = − + = −

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Lineare Funktionen und Wiederholungsaufgaben Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein, und verbinde sie zu dem Dreieck ABC: A(-3/-4) ; B(6/-1) ; C(0/2)

a.) Bestimme die Funktionsgleichung der Seite c des Dreiecks (Strecke AB). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite a des Dreiecks (Strecke BC). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite b des Dreiecks (Strecke AC).

b.) Berechne die Nullstellen der drei Funktionsgleichungen.

c.) Berechne den Flächeninhalt (A) des Dreiecks ABC mit Hilfe des Ergänzungsverfahrens.

d.) Das Dreieck ABC sei die Grundfläche eines Prismas mit einer Höhe von 15 cm. Berechne das Vo-

lumen (V) dieses Prismas.

e.) Messe die Seitenlängen des Dreiecks ABC und berechne dann die Oberfläche (O) des Prismas.

f.) Messe die Größe der Winkel α, β und γ des Dreiecks ABC.

g.) Spiegele den Punkt C an der Strecke AB des Dreiecks und nenne ihn C‘. Gib die Koordinaten von C‘ an.

h.) Die Seite c des Dreiecks schneidet die y-Achse. Nenne diesen Schnittpunkt D und berechne dann

den Flächeninhalt (A) des Dreiecks DBC.

i.) Wie viel Prozent der Fläche des Dreiecks ABC beträgt die Fläche des Dreiecks DBC?

Lineare Funktionen und Wiederholungsaufgaben Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein, und verbinde sie zu dem Dreieck ABC: A(-3/-4) ; B(6/-1) ; C(0/2)

a.) Bestimme die Funktionsgleichung der Seite c des Dreiecks (Strecke AB). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite a des Dreiecks (Strecke BC). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite b des Dreiecks (Strecke AC).

b.) Berechne die Nullstellen der drei Funktionsgleichungen.

c.) Berechne den Flächeninhalt (A) des Dreiecks ABC mit Hilfe des Ergänzungsverfahrens.

d.) Das Dreieck ABC sei die Grundfläche eines Prismas mit einer Höhe von 15 cm. Berechne das Vo-

lumen (V) dieses Prismas.

e.) Messe die Seitenlängen des Dreiecks ABC und berechne dann die Oberfläche (O) des Prismas.

f.) Messe die Größe der Winkel α, β und γ des Dreiecks ABC.

g.) Spiegele den Punkt C an der Strecke AB des Dreiecks und nenne ihn C‘. Gib die Koordinaten von C‘ an.

h.) Die Seite c des Dreiecks schneidet die y-Achse. Nenne diesen Schnittpunkt D und berechne dann

den Flächeninhalt (A) des Dreiecks DBC.

i.) Wie viel Prozent der Fläche des Dreiecks ABC beträgt die Fläche des Dreiecks DBC?

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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

A

B

C

c

a

b

45 °

90 °

45 °

C'

D

Lineare Funktionen und Wiederholungsaufgaben (Lösungen) zu a.)

f(c)

f(a

1x 3

31

x 22

2x 2

)

f(b)

−

−

=

+=

+

=

zu b.)

f(c)

10 x 3

31

3 x3

f(a)

10 x 2

9 x N(9 / 0)

4 x N(4 / 0)

21

2 x2

f(b)

1x 3

3

1x 2

2

2

0 2

x 2

1 x N

x 2

2 2

( 1/ 0)

x

=

= −

=

=

= − +

− = −

=

=

= ⇒

= ⇒

− = ⇒

=

−

−

−

+

+

−

+

zu c.)

Rechteck

Dreiecke

Rechteck Dreieck

2

e

2

2

A 9 6

9 3 6 3 6 3A 13,5 9 9

2 2

22,5 cm

2

A A

54 cm

31,5 cm

54 31,5

= ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅= + + = + + =

− = − =

zu d.)

3V G h 22,5 1 337,5 5 cm= ⋅ = ⋅ =

zu e.)

2

O 2 G M

O 2 2

c 9

O 388,5 cm

2,5 9

,49 cm a 6,71cm b 6,71

,5 15 6,7 15 , 15

m

7

c

6

= ⋅ +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ +

=

⋅

= = =

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Lineare Funktionen und Wiederholungsaufgaben (Lösungen) zu f.)

45 45 90α = ° β = ° γ = °

zu g.) C'(3 / 7)−

zu h.)

Dreieck DBC26 5

A2

15 cm⋅

= =

zu i.)

Pw 100 15 100p

G 22,5

266 %

3

⋅ ⋅= = =

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Lineare Funktionen (neu) - robert-mades.derobert-mades.de/pdf/klasse8/linfunk.pdf · Seite 2 von 57 Damit ergibt sich folgende Darstellung im Koordinatensystem: Kosten in € MERKE: