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Der unendlich hohe Potentialtopf
x
V∞∞
L <10 nm
e-
ψ(0)=ψ(L)=0Es muss aber auch erfüllt werden:
(0) exp( 0) exp( 0) 0A jk A jk A Aψ + − + −= + − = + =
( ) exp( ) exp( ) 0L A jkL A jkLψ + −= + − =
→ Lineares Gleichungssystem für A+ und A- d
1 10
exp( ) exp( )A
jkL jkL A
+
−
⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠
In Matrixform:
Nichtriviale Lösung, falls Determinante verschwindet:
( )det exp( ) exp( ) 2 sin( ) 0jkL jkL j kL= − − = − = ; n ganze Zahlnk nLπ
⇒ =
A A− +⇒ = −
Wiederholung !
Ende 28.4.2005
Eigenschaften der Lösungen:
-es gibt nur bestimmte diskrete Energien(„Quantelung“)
-es gibt eine Minimalenergie W≠0 !!(„Nullpunktsenergie“)
22
( ) sin ; W2n n n
n x nx BL m Lπ πψ
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lösungen haben die Form: wobei n=1,2,...
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
Wiederholung !
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3-das Elektron ist über den ganzenTopf „verschmiert“ (aber nicht gleichmässig)
-die niedrigste Lösung hat keinen Nulldurchgang(Knoten)
- je höher die Energie, desto mehr Knoten
22
( ) sin ; W2n n n
n x nx BL m Lπ πψ
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lösungen haben die Form: wobei n=1,2,...
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
Eigenschaften der Lösungen:
-abwechselnd symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen W1
W2
W3
W
Wiederholung !
-ebene Wellen, die irgendwie durch den Topf in ihrer Ausbreitung gestört werden(ähnlich dem freien Elektron)
- lokalisierte, gebundene Zustände, die so ähnlich aussehen wie beim Potentialtopfmit unendlich hohen Wänden
Der endliche Potentialtopf: Struktur der Lösungen
0
0 : 2( )
:2
LxV x
LV x
⎧ >⎪⎪= ⎨⎪− ≤⎪⎩
V(x)
- V0-L/2 L/2
Wir vermuten zwei qualitativ unterschiedliche Lösungsarten:
Wiederholung !
Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen
-Stetigkeitsbedingungen werden nur für -diskrete k erfüllt:
→endliche Anzahl von Eigenfunktionen mit diskreten Energieeigenwerten
cos( )2( )
cos( )exp ( )2 2 2
g
LA kx für xu x L LA k x Lfür x
κ
⎧ ≤⎪= ⎨ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎪ >⎝ ⎠⎩
Symmetrische (gerade) Lösungen:
Antisymmetrische (ungerade) Lösungen:
sin( ) für 2
( ) sin( )exp ( ) für 2 2 2
sin( )exp ( ) für 2 2 2
u
LB kx x
L L Lu x B k x x
L L LB k x x
κ
κ
⎧≤⎪
⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= − >⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤− − < −⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
-im Gegensatz zur klassischen Lösungendliche Aufenthaltswahrscheinlichkeitausserhalb des Topfes !!
„Teilchen tunnelt aus dem Topf heraus “
„Quantenmechanischer Tunneleffekt“
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
-L/2 L/2
Wiederholung !
Eigentliche und Uneigentliche Lösungen
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
Seit Anfang der Vorlesung verfolgen uns schon die uneigentlichen Lösungen, z.B. freien Elektron.
In den meisten Fällen gibt es eigentliche und uneigentliche Eigenzustände.
Uneigentliche Zustände sind nicht normierbar:
*'
für k'=k( ) ( ) ( ' )
0 sonstk kx x dx k kψ ψ δ∞
−∞
∞⎧= = −⎨⎩
∫
Eigentliche Zustände sind normierbar:
* 1 für m=n( ) ( )
0 sonstm n mnx x dxψ ψ δ∞
−∞
⎧= =⎨⎩
∫
Wiederholung !
V(x)
-C
-L/2 L/2
V(x)
-C
-L/2 L/2
Kontinuumslösungen beim Potentialtopf
Klassisch für W>0:
Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst)
Quantenmechanik für W>0:
( ) exp( ) exp( )x A jkx A jkxψ + += − −Wieder der Ansatz, der (fast) immer funktioniert:
Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes.
Qualitatives Bild der Lösungen:
-grössere kinetische Energien entsprechend kleineren Wellenlängen im Bereich desTopfes
-V0
Wiederholung !
V(x)
- L/2
V(x)
-L/2
Potentialtopf: W>0, Kontinuumslösungen
Klassisch für W>0:
Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst)
Quantenmechanisch für W>0:
Aus ( ) sin( )exp ( )2 2
wird
( ) sin( )sin( '( )) 2 2
gedämpft
Kontinuum
L Lx B k x
L Lx B k x
ψ κ
ψ κ
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
Qualitatives Bild der Lösungen:
wobei 20
2
2= mV kκ −
Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes.
-C-V0
Wiederholung !
Potentialtopf: W>0, Kontinuumslösungen
Ähnliches Verhalten wie beim Durchgang von Licht (=elektromagnetische Welle)durch ein Fabry-Perot-Interferometer:
Wiederholung !
Potentialbarriere
V0
W<V0:
Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit 100%iger Wahrscheinlichkeitreflektiert werden.
Quantenmechanisch „durchtunnelt“ es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere
12 2
00
0 0
sinh ( 2 ( ) / )( ) 1
4( / )(1 / )m V W a
T W VW V W V
−⎛ ⎞−⎜ ⎟< = +⎜ ⎟−⎝ ⎠
Tunneleffekt in Reinkultur
denn:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T
E [eV] (V0=3eV)
Wiederholung !
Quantenmechanische Eigenwertgleichung:
Meßwerte in der Quantenmechanik: Normierung
2 2
2ˆ ( ) ( ) . . ( ) ( )
2n nF x f x z B x W xm x
ψ ψ ψ ψ⎧ ⎫∂
= − =⎨ ⎬∂⎩ ⎭
*
*
( ) ( )<F>=
( ) ( )
dx x F x
dx x x
ψ ψ
ψ ψ∫∫
Erwartungswert:
Normierung einer Wellenfunktion:
*
( )( )=( ) ( )
normxx
dx x x
ψψψ ψ∫
(geht nur bei eigentlichen Zuständen)
*<F>= ( ) ( )norm normdx x F xψ ψ∫Dann gilt:
* ( ) ( ) 1norm normdx x xψ ψ =∫L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
Meßwerte in der Quantenmechanik: Normierung
1 21 ( )2
1 () )2
( x xxψ ψψ +=Bsp.:
Ist normiert,
*1 1
* *1 1 1
L
0
L
0
*2 2
* *2 1
1 0 02
2 2 2
12
1 1( ) ( )2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2
12 2 2 2 2 2
xx x
x x x x
x
x x dx xx
dxψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψψ ψψ ψ
→ →→ →
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
++
∫
∫
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
1 2wenn ( ) und ( ), dax xψ ψ
Was ergibt sich, wenn das Elektron nicht in einem Eigenzustand ist ??
*1
*2 21
L 2 2
20
<W>=2
1 1( ) ( )2 2
1 1( ) ( )2 2
dxm x
x xx xψ ψψ ψ⎧ ⎫∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
∫
* *2
L
021 1 21
1 1( ) ( )2
1 1( ) ( )22 2
= x W W dxx xxψ ψψ ψ⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫
*2 2 2
0
*1 1 1
L 1 1 ( ) ( )2
1 1 ( )2 2
=2
( ) W x xx x dW xψ ψ ψ ψ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫
1 21 22 2
1 12
= W WW W++ =
Erwartungswert bei Messung der Energie:
Meßwerte in der Quantenmechanik: Erwartungswert
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
Meßwerte in der Quantenmechanik: Die Einzelmessung
4. Postulat der Quantenmechanik: (1. Teil)
n
Wenn eine Eigenfunktion zum Operator ist, dann führt die Messung von F stets zum gleichen Ergebni
Wenn keine Eigenfunktion von F ist, dann
s, nämlich
ergibtein
dem Eigenw
e einzelne
er
Me
t f .
ssung
Fψ
ψ
n2
n n
von F ein Ergebnis, das irgendeinem
der Eigenwerte von F entspricht. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Eigenwert f zu messen, ist proportional
zu a , wobei a der zugehörige Entwicklungskoeffizient ist .
Wahrscheinlichkeit für die Messung von W1:
21
12
a =
Wahrscheinlichkeit für die Messung von W2:
22
12
a =
Meßwerte in der Quantenmechanik
aber: es kommt bei der Messung immer
W1 oder W2 heraus, niemals ein Zwischenwert !!
4. Postulat der Quantenmechanik: (2. Teil)
n
n
Misst man bei Messung der Observablen den Eigenwert F , dann wird das quantenmechanische System so präpariert, dass es unmittelbar nach der Messung im zugehörigen Eigenzustand is t.
F
ψ
1 21 ( )2
1 () )2
( x xxψ ψψ +=
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
Meßwerte in der Quantenmechanik: Kryptografie
Quelle: G. Bastian
Meßwerte in der Quantenmechanik: Kryptografie
Quelle: G. Bastian
Gliederung der Vorlesung Festkörperelektronik
1. Grundlagen der Quantenphysik2. Aufbau der Materie3. Elektronen in Kristallen4. Halbleiter5. Quantenstatistik6. Dotierte Halbleiter7. Der pn-Übergang
Quantenmechanische Probleme in 3D
2 2
2 ( ) ( ) ( ) ( )2
x V x x W xm x
ψ ψ ψ∂− + =
∂
zu lösen ist dann die dreidimensionale S.-Glg:
2
2 2 2 2
2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )2
r V r r W rm x y z
ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∇
x
y
z
Nehmen wir den dreidimensionalen harm. Oszi.:3
2
1( )
2 i ii
mV r xω=
= ∑
Das Potential ist somit additiv
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )V r f x f y f z= + +
Quantenmechanische Probleme in 3D
Bei einem additiven Potential kann die S-Glg. durch einen Produktansatz separiert werden:
31 2( , , ) ) )( (( )xx z zyy ψψψ ψ=Produktansatz:
2
3
2
1 1 12
2
22 23
2
2 32 (( ) ( ) () (( ) ( ) ( )) ) )2
(f yf x x xx
Wm
f z z zyz
yy
ψ ψψ ψ ψψ⎡ ⎤⎛ ⎞− + + + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∂∂
∂∂∂ ∂
Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt:
1 1 1
1
2 2 2
2 2 21 1
2
3 3 3
3 3 3
( ) ( ) '''( ) ( ) ( )
( )
( ) ''( ) ( )
( ) ( )
' (
( )
)
((
( )
( ) ( ) ) ( )2
( ) )
y y y
f y
xm
z z z
f z z z
x x
Wyf x x x y
ψ ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ
ψψ ψ
⇒ − + + +
+ + =
1 32( ) (( ) )) (ffV r yx f z= + +
( )11
1
13
1
12
1
2 ''( )( )
(( ) (
''( )( )
''( )( )
( ) )) ()
2 zx yz
f z Wz
yf W
mW W
yx
xy
xf
ψψψ ψ ψ
ψ− + + + + + = = + +
Quantenmechanische Probleme in 3D
D.h. die Funktionen müssen die eindimensionalen S.-Glg. erfüllen. Die dreidimensionale Lösung ergibt sich dann als Produkt der 1D-Lösungen.
Gleichung muss gelten für alle x,y,z. Daher muss auch einzeln gelten:
2 21
1 1 1 1 112 2''( )
( ) ''( ) ( ) ( ) ( )( ) x x
xf x W x f x x W x
xm mψ
ψ ψ ψψ
− + = ⇔ − + =
etc. etc.
Für die Energieeigenwerte gilt in diesem Fall:
, ,nx ny n nz nznx yW WW W= + +
Zustände:
( , , ( )( )) ( ) nnx n zyxz zyx y ψψψψ =
Sprechweise: Zustand wird beschrieben durch die drei Quantenzahlen nx,ny,nz
Abb: Elektronenmikroskopische Aufnahme sogenannter Quantenpunkte (Quelle: Infineon).
Elektronische Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)
x
y
z
Wachstum von Quantenpunkten
Quelle: J. Reithmaier, Uni Würzburg
In nullter Näherung handelt es sich um einen unendlich hohen dreidimensionalen Potentialtopf.
5nm
Elektronische Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
WZustände im unendlich hohen 1 D Potentialtopf
22
W2
xnx
nm L
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) sin xnx n
n xx A
Lπ
ψ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Für den unendlich hohen Potentialtopf in 3 D ergibt sich also:
( )22
2 2 2nzW=W +W +W
2
0
nx ny x y zn n nm LW
π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
, ,( ) sin sin sinyx znx nx ny nz
n yn x n zx A
L L Lππ π
ψ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )2 2 20 0 x y z1 +1 +1 W 3 (n =n =n =1)W=
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0
x y z x y z x y z
2 +1 +1 1 +2 +1 1 +1 +2 6(n =2; n =n =1);(n =1; n =2; n =1);(n =1; n =1; n =2) (dreifach entartet)
W W= = =
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
x y z x y z x y z
2 +2 +1 2 +1 +2 1 +2 +2 9 (n =n =2;n =1);(n =2; n =1; n =2);(n =1; n =2; n =2) (dreifach entartet)
W W W W= = =
( )2 2 20 0
x y z
2 +2 +2 12 (n =n =n =2) (nicht entartet)
W W=
Energieschema der Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)
Zustände werden klassifiziert durch die 3 Quantenzahlen nx,ny,nzUnterschiedlicher Entartungsgrad für unterschiedliche Energieniveaus
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
x y z x y z x y z
3 +1 +1 1 +3 +1 1 +1 +3 11 (n =3; n =n =1 n =1; n =3; n =1 n =1; n =1; n =3) (dreifach entartet)
W W W W= = =
W (W0)
12
9
6
3
11
Die Sache mit dem Spin
Experimenteller Nachweis: Stern und Gerlach (1922)
- Elektronenstrahl spaltet auf beim Durchgang durch ein inhomogenes Magnetfeld
e - Elektronen tragen ein magnetisches Moment- “ sind komplizierter als eine punktförmige Masse- haben einen Eigendrehimpuls (Spin)
-dieser Freiheitsgrad muss bei der Beschreibung des Zustandes mit berücksichtigt werden
- der Spin kann beim Elektron zwei Werte einnehmen: s=-1/2;+1/2 (Fermion)
-Erweiterung der Quantenzahlen:z.B. für den Quantenpunkt
( , , ) ( , , , )x y z x y zn n n n n n s→
-Erweiterung der Wellenfunktion:
12
12
( , )( , )
( , )
r tr t
r t
ψψ
ψ−
⎡ ⎤⎢ ⎥
→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
„Spinor“
- von fundamentaler Bedeutung für den Aufbau der Materie:
Pauli‘schesAusschliessungsprinzip:
Zwei Fermionen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl !
, , ,x y zn n n s d.h. maximal zwei Elektronen sind in einem Zustand mit den Quantenzahlen nx,ny,nz
.. der Spin ergibt sich als Konsequenz einer relativistischen Formulierung derQuantenmechanik.
.. das Pauli-Prinzip muss bei einer saubereren Vorgehensweise als Postulatformuliert werden.
Die Sache mit dem Spin
Mehrelektronensysteme
Konsequenzen für den Aufbau von Mehrelektronensystemen:
-minimale Energie des Mehrelektronenproblems ergibt sich, wenn alle Zustände „von unten nach oben“ mit jeweils zwei Elektronen aufgefüllt werden.
1-fach entartet (maximal 2 Elektronen)
3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)
3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)
1-fach entartet (maximal 2 Elektronen)W (W0)
12
9
6
3
11
W (W0)
12
9
6
3
11 3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)
Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom
Warum ist schon das Wasserstoffatom ein verdammt schwieriges System ?
1. Problem: Es handelt sich um ein Zweiteilchenproblem !?
1 Elektron
1 Protoner
KR
KMem
...das führt zunächst mal auf zwei gekoppelte Schrödinger-Gleichungen für Proton und Elektron.
aber: MasseProton=1.672*10-27kg Masse (Elektron)=9.1*10-31kg>>
Born-Oppenheimer-Näherung: Gegenüber der schnellen Elektronenbewegung kann die Kernbewegung zunächst vernachlässigt werden. Kernkoordinaten gehen dann als Parameter ein.
Elektron bewegt sich also im Potential des (festgehaltenen) Protons.
Von Elektron gesehenes Potential(Proton ist bei r = 0):
( )r
erV0
2
4πε−=
( ) ( )2 2
2 2 20 0
, , , ,2 4
e x y z W x y zm x y zπε
⎡ ⎤⎢ ⎥− ∆ − Ψ = Ψ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
2. Problem: Das Coulombpotential separiert nicht in sowas wie
rr
1 Proton
erKM
em
Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom
( ) ( )2
0
( ) , , , ,2
V r x y z W x y zm
⎡ ⎤− ∆ + Ψ = Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 Elektron
1 32( ) (( ) )) (ffV r yx f z= + +
Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom
Übergang zu Kugelkoordinaten: ( ) ( ) ( )1 2 3, , bzw. , , , ,x y z x x x r θ ϕΨ Ψ →Ψ
1
2
3
sin cossin sincos
x rx rx r
θ ϕθ ϕθ
=
=
=
2 2 21 2 3r x x x= + +
23
2
22
2
21
2
xxx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆
22
2 2
2 2 2 2
1
2 1 1 1(sin )sin sin
I
r r r rθ
θ θ θ θ ϕ
−
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
wobei "Drehimpulsoperator"I r xp=
H-Atom: Eigenfunktionen
- mehrere mögliche Eigenfunktionen ΨWn(r,θ,φ) für einen Eigenwert Wn. entartete Zustände
- Nomenklatur:n = 1, 2, 3, … (Hauptquantenzahl)
oder K, L, M, …
l = 0, 1, 2, 3, … n - 1 (Nebenquantenzahl,Drehimpulsquantenzahl)oder s, p, d, f, …
m = - l, - l + 1, … l (Magnetquantenzahl)
- z.B. für n = 2 vier verschiedene Eigenfunktionen und damit vierverschiedene räumliche Elektronenverteilungen
Konzeptionell genau wie beim Quantenpunkt aber diesmal mathematisch komplizierterergeben sich wieder Eigenfunktionen und Eigenwerte:
http://www.falstad.com/qmatom/
H-Atom: Eigenwerte
Wie beim Potentialtopf sind auch die Eigenwerte des H-Atoms diskret.
eV13.6Ry1,2,3nnRyW 2n −==−= …
W1=-13.6 eV
W2=- 3.4 eVW3=-1.5 eV
1 nm 2 nm
optische Übergänge beim Wasserstoff
Aufbau der Materie: Vom H-Atom zum Periodensystem- in anderen Atomen ähnliche Wellenfunktionen (Orbitale)
- das Potential für die äußeren Elektronen wird durch die inneren abgeschirmt
- Beschreibung ebenfalls durch die „Quantenzahlen“ n,l,m
- wird u. U. sehr kompliziert, da die Elektronen miteinander wechselwirken
1s2s 2p
3s 3p 3d4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
4 e 12 e
20 e38 e
56 e88 e 118 e
Besetzung erfolgt(fast) nach dem folgenden Schema:
Beschreibung der Elektronen erfolgt durchdie Elektronenkonfigurationen:
H (1e): 1s1
He (2e): 1s2
..
Si (14e): 1s22s22p63s23p2
C (6e): 1s22s22p2
1s2s 2p
3s 3p 3d4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
4 e 12 e
20 e38 e
56 e88 e 118 e
1s2s 2p
3s 3p 3d4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
4 e 12 e
20 e38 e
56 e88 e 118 e
Aufbau der Materie: Vom H-Atom zum Periodensystem
Aufbau des Periodensystems
Vom Atom zum Material
Verschiedene Arten der chemischen Bindung:
Ionenbindung kovalente Bindung metallischeBindung
van-derWaalsBindung
Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung
Na: 1s22s22p63s1
Cl: 1s22s22p63s23p5
Energetische Betrachtung:
Ionisierungsenergie: Na+5.1eV=Na++e
Elektronenaffiniät: Cl+e=Cl-+3.6eV
Nettoaufwand: 1.5 eV
Potentielle Energie eines Ionenpaares als Funktion des Abstandes:
2
04 n
e Br r
ϕπε
= − +
Coulombanziehung Pauli-Abstossung
Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung
Potentielle Energie eines Ionenpaares als Funktion des Abstandes:
Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung
Netto-Energiegewinn pro NaCl-Paar
7.95 eV
Das allereinfachste Molekül: Das Wasserstoffmolekülion H2+
M M
Proton A Proton B
Elektronm
RAB
rA rB
..und wieder mal die S-Glg:
22
0
( ) ( ) ( )2
⎛ ⎞−∇ + Ψ = Ψ⎜ ⎟
⎝ ⎠V r r E r
m
... und wieder mal verdammt kompliziert, da 3 Teilchen und ein kompliziertes Potential
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
(…hier wird die Energie als E statt W bezeichnet)
Wieder Born-Oppenheimer Näherung: „Kerne an einer Position festhalten“
2 2 22
0 0 02 4 4a b
e eHm r rπε πε−
= ∇ − −
Gesamt-Coulombpotential
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
M M
proton a proton b
electronm
Rab
ra rb
M M
proton a proton b
electronm
Rab
ra rb
Allgemeines Verfahren zur Lösung der S-Glg. bei komplizierten Potentialen:
1. Schritt: Annahme einer Schätzfunktion Ψα
*0( ) ( )α α αψ ψ= ≥∫∫∫W dV r H r EFür den Energieerwartungswert
gilt dann
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
Bestimmung einer Näherungslösung durch das Rayleigh-Ritz-Verfahren:
E0Eα
2. Schritt: Variiere Ψα so, dass Wα minimal wird
beste Näherungslösung für Ψ
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
1 2
Ansatz für die Ratefunktion: ,
wobei und die Eigenzuständeeines Wasserstoffatoms bei a bzw. b sind
b
b
c cα
α
ψ ϕ ϕϕ ϕ
= +
Linearkombination von Atomorbitalenengl.: linear combination of atomic orbitals, LCAO
( ) ( )2 2 2
* * 21 2 1 2
0 0 0
2 4 4α αϕ ϕ ϕ ϕ
πε πε⎛ ⎞−
= + ∇ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫∫∫ b ba b
e eW dV c c c cm r r
Für den Energieerwartungswert gilt dann:
E soll minimal werden 1 2
, 0E Ec c∂ ∂
=∂ ∂
Es ergeben sich zwei Lösungen:
E
E1S
anti-bindend
1S
anti-
bindend1 1
±= +
±SC DE E
S
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
2*
04αϕ ϕπε
= −∫∫∫ ba
eD dVr
Aufspaltung wird durch das Resonanz/Austauschintegral bestimmt
( )
αψ ϕ ϕ= +bindend bA
( )
αψ ϕ ϕ= −antibindend bB
bindender Zustand
anti-bindender Zustand
Es ergibt sich für den bindenden Zustand eine Absenkung der Energie, da das Elektron stärker delokalisiert ist.
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
Variation des Kernabstandes:
Gebundener Zustand beim Energieminimum
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
Energiegewinn pro Atom bei Si: 4.64 eV
http://falstad.com/qm1d/
Zwei unendlich entfernte Potentialtöpfe2 unendlich voneinander entfernte Potentialtöpfe haben dieselben
Energiezustände (ihre Energien sind entartet).
x0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
EineV
x in nm
|Ψ2 |2
|Ψ1 |2
|Ψ2 |2
|Ψ1 |2
eV
eV
E1 0.229=
E2 0.887=
Zwei 0,5 nm entfernte PotentialtöpfeWerden die Potentialtöpfe einander näher gebracht,
wechselwirken sie und die Energieentartung wird aufgehoben.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
E1 0.226=
E2 0.232=
E3 0.87=
E4 0.905=
W
x
eV
eV
eV
eV
Zwei 0,3 nm entfernte Potentialtöpfe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
E1 0.216=
E2 0.24=
E3 0.836=
E4 0.942=
W
x
eV
eV
eV
eV
Die Eigenfunktionen verändern sich ebenfalls.
Zwei 0,15 nm entfernte PotentialtöpfeJe näher sich die Potentialtöpfe kommen, desto weiter spalten sich die
Energieniveaus.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
E1 0.19=
E2 0.257=
E3 0.774=
E4 1.007=
W
x
eV
eV
eV
eV
Aufspalten der EnergiezuständeTrägt man die Energiezustände als Funktion des Abstandes zwischen
den zwei Potentialtöpfen auf, erhält man den folgenen Graphen:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Abstandin nm
Ene
rgie
(eV
)
Quelle: Martina Gerken