LNEAS DE INFLUENCIA

1 CONSIDERACIONES GENERALES

Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas, la generalizacin a otros tipos de estructuras es casi inmediata y no requiere de nuevos conceptos a los necesarios en nuestro tratamiento.La posibilidad de cargas mviles implica la necesidad de obtener:a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicacin de la misma.b) El estado ms desfavorable de aplicacin de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una seccin dadaEstas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo menos, en varias secciones caractersticas segn las circunstancias.El trazado de diagramas o Lneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilizacin es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes gra, etc., donde las cargas mviles (p) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes (g).

2 DEFINICIN DE LNEAS DE INFLUENCIADefiniremos como lneas de influencia de una solicitacin (o deformacin), en la seccin A-A, a un diagrama tal, que su ordenada en un punto i mida, en una determinada escala, el valor de la solicitacin en la seccin A-A (o de la deformacin), cuando en el punto i de referencia acta una carga de valor unitario.En el caso de la figura, diremos que Mf(A) es la Lnea de fluencia, del momento flector en A, si se cumple que la ordenada i representa el valor del momento flector en A para una carga P = 1 aplicada en el punto i.Mf (A) = 8i * (escala de L. de I.) para P = 1 aplicada en i. Si P 1 se cumplir:Mf (A) = P * 8i * (escala de L. de I.)Esto mismo puede aplicarse para otros estados de carga y otras solicitaciones, reacciones , deformaciones, etc.

3 LINEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS ISOSTTICOSRecordemos algunos elementos bsicos aplicados en sistemas isostticos simples a fin de apreciar las similitudes y diferencias con el tratamiento que daremos a las vigas hiperestticas. Nada mejor para esto que la aplicacin del Principio de los Trabajos Virtuales, en el mtodo de la Cadena Cinemtica en una viga isosttica de dos tramos para distintos casos de solicitaciones, o Mtodo Analtico.

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1220'6 . 3 . 1 LNEA DE INFLUENCIA DE UNA REACCIN

Deseamos 1a L. de I. de RA que denominamos con RA . Eliminamos el apoyo A, colocamos el esfuerzo correspondiente a1 vncu1o suprimido, y damos un desplazamiento A en el apoyo al mecanismo formado. Por aplicacin de P.T.V.:

Donde vemos que RA es proporcional a la coordenada i o sea que r en una determinada escala puede representar el valor de RA para una carga unitatria aplicada en i, donde se puede incorporar como factor de escala.

3 . 2 LNEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO FLECTOR

Deseamos la L. de I. del MfH en la seccin HH. Para ello eliminamos el vnculo que transmite el momento en dicha seccin introduciendo una articulacin. A la cadena cinemtica formada, doy un desplazamiento virtual y aplico el P.T.V despues de explicitar el MfH en la seccin (+ traccin abajo).

Con las mismas condiciones anteriores podemos decir que el diagrama cinemtico es en una determinada escala la lnea de influencia buscada 3 . 2 LNEA DE INFLUENCIA DEL ESFUERZO DE CORTEpara el esfuerzo de corte QH eliminamos un vnculo al introducir en H-H un mecanismo como el siguiente1Aplicando el P.T.V.:Qh.Ah - 1tn.r|i = 0Q = ni QH = i

Pg 4ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIAPg 3ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIA

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3 . 2 LNEA DE INFLUENCIA DEL ESFUERZO NORMAL

En este caso se introduce un mecanismo que no transmite esfuerzos normales:

Se puedeen hallar los centros de rotacin, y el deplazamiento de H en la direccin de NH por aplicacin del P.T.V. y la teora de Cadena Cinemtica. Analicmoslo aeste caso en forma analtica, que permite una buena visualizacin del problema:

Mtodos anlogos a los problemas isostticos aparecen en los casos hiperestticos, con algunas variantes. Desarrollaremos alguno de estos mtodos en los prximos puntos.4 LNEA DE INFLUENCIA EN SISTEMAS HIPERESTTICOSAnalicemos por distintos mtodos, una viga continua de cuatro tramos (grado 3 de hiperestaticidad)4 . 1 MTODO POR PUNTOSEs un mtodo cuya explicacin es inmediata, basada en la aplicacin de la definicin de L. de I.Supongamos que la L de I del Momento flector en A-A (MfA). Dividamos cada tramo de la viga en partes iguales (cuyo largo depender de la precisin requerida) que en nuestro caso es igual a 6 partes

Coloquemos P = 1tn en el punto 1. Calculamos el MfA para esa carga (ni) y al valor (en una determinada escala) lo dibujamos debajo del punto 1 (1').Corremos P = 1tn al punto 2. Calculamos el MfA para esa carga (2) y al valor lo dibujamos debajodel punto 2 (2'), y as sucesivamente para todos los puntos (3, 4,, 23, 24).Unimos los puntos 0', 1', 2', 23', 24' mediante curvas o poligonales, y por la forma de suconstruccin esta curva o poligonal es la L de I buscada (MfA).El mtodo puede ser largo, segn el nmero de puntos elegidos, pues para cada uno es necesario resolver un hiperesttico.Dichos clculos se pueden facilitar con la utilizacin de computadora, utilizacin de la matriz p para los distintos estados de carga, o la utilizacin de condiciones de simetra, si la estructura fuera simtrica.

4 . 2 MTODO DE MLER-BRESLAU (Aplicacin de Betti - Maxwell) 4 . 2 a Lnea de influencia de deformaciones

Sea la viga de la figura, y queremos calcular np^ (Lnea de Influencia de la rotacin del nudo B). Para ello aplicamos en el nudo B la carga correspondiente con la deformacin cuya L de I se busca, en este caso un momento unitario M = 1.

Resolvemos la viga y con las solicitaciones hallamos la elstica para ese estado de cargas. Demostraremos que esta elstica es la L de I de la rotacin B (B).Para ello aplicamos P = 1 en un punto genrico hallamos la elstica y la rotacin cpB para este estado de carga.Aplicamos el teorema de Maxwell entre estos dos estados de carga: M . B = P . i ; siendo M = 1 tnm y P = 1tn B =B ni.[Escala de L. de I.] = BEs decir que en una escala determinada, la primer elstica representa pB para cada punto o sea es su Lnea de Influencia. Como un segundo ejemplo analicemos en la siguiente viga la L de I del descenso en el punto D (D). Siguiendo los mismos pasos, aplico en D la carga P*=1, correspondiente con D. Aplicar P =1 en el punto i, hallo la elstica, D y por el teorema de Maxwell: P *D = P. I

Pg 5ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIAD= I[escala de L. de I] = d450'

Pg 6ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIAPg 5ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIA

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4 . 2 b Lnea de influencia de una ReaccinPg 8ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIAPg 5ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIA

85Deseamos la L. de I. de la reaccin RA (RA). Eliminamos el apoyo y aplicamos en ese punto una carga P* = 1. Hallamos las solicitaciones y la elstica, que demostramos es la L. de I. De RA (RA).

Aplicamos ahora un segundo estado de cargas P = 1 en un punto i, junto con el verdadero valor de la reaccin RA para esta carga, por lo cual el descenso A debe ser igual a cero. Aplicando el teorema de Maxwell:

4 . 2 c Lnea de influencia de una Solicitacin

Sea la viga con una seccin A - A en la cual queremos la L. de I. del momento flector en A(MfA)En A eliminamos el vnculo que resiste el momento flector, es decir colocamos una articulacin, y adems aplicamos un par de momentos M = 1. Hallamos las solicitaciones y la elstica, que demostraremos es la L. de I. MfAPara ello aplicamos en un punto genrico i una carga P = 1 y el valor del verdadero MfA que corresponde a la viga original para dicha carga. La viga con la carga P = 1 y MfA se comportar como la original, que por no tener en A una articulacin, no sufrir en dicho punto una rotacin relativa y por lo tanto AA =0.

Veamos ahora en la misma seccin la L. de I. del esfuerzo de corte QA (QA). Aplicamos en A el mecanismo de 6 . 3 . 3, con un par de Q = 1.Hallamos las solicitaciones y la elstica ser la L. de I. buscada (QA). Aplico P =1 en i y en A el verdadero valor de QA con lo cual el desplazamiento relativo normal al eje de la barra en la Pg 6ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIAPg 9ESTABILIDAD III - CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIAseccin A ser nulo (A = 0694 . 2 d Lnea de Influencia por superposicin de efectos (Matriz ):Para aprender este mtodo vamos a trabajar con una viga continua que posee cuatro tramos, o sea con tres incgnitas hiperestticas ; en forma genrica idicamos que esa viga tiene un apoyo fijo y los dems moviles

Por el mtodo de las fuerzas, en funcin del isosttico fundamental adoptado, en una seccin genrica A, el momento viene dado por la expresin:

Si quisiramos conocer MA , deberamos identificar en la expresin que factores dependen del estado de cargas. Ellos son: Sera entonces:

Para obtener las lneas de influencia de las incgnitas hiperestticas utilizamos las propiedades de los coeficientes vistos en el Captulo 2 en el tema de Matriz . Recordemos que:

Analicemos por etapas las distintas L. de I. que pueden aparecer en nuestra estructuraLnea de influencia del trmino j0Definimos el isostticofundamental con las incgnitas X1, X2, X3(momento en los apoyos intermedios) aplicando articulacin en los apoyos 1, 2 y 3. Aparecen los j0, rotaciones relativas en el apoyo j (corrimientos correspondientes con Xj). De acuerdo con 6. 4. 2.a para la L. de I. de 10 (10) debo calcular la elstica para la carga X1= 1. En forma similar se procede para 20 y 30.

Lnea de influencia de una incgnita Xi

Donde los diagramas X1, X2 y X3 son combinaciones lineales de los 10 , 20 , y 30.Lnea de influencia de una solicitacin (Mf)

6 . 5 DIAGRAMAS ENVOLVENTES SOLICITACIONES MXIMAS Y MNIMASComo ya hemos visto, el diagrama de Lneas de Influencia, nos sirve para calcular una Reaccin, Deformacin o Solicitacin para una carga o el estado de cargas dado, pero tambin para aplicar la carga en el lugar que produzca un efecto mximo (o mnimo) y por lo tanto posibilita el estudio de las condiciones ms desfavorables. La ubicacin de las cargas en determinados lugares, nos dar entonces las solicitaciones ms desfavorables, para las cuales debemos dimensionar o verificar las secciones. Con las solicitaciones mximas y mnimas en distintas secciones crticas (o en todas las secciones) obtendremos "diagramas envolventes" con tcnicas que dependern del tipo de estructura y del tipo de carga a aplicar. Daremos una introduccin al tema con vigas sencillas y considerando cargas permanentes (g) y cargas mviles uniformemente repartidas (p). Cargas puntuales P deben ser tratadas en forma especial pero con tcnicas similares, y su tratamiento se encuentra en la amplia bibliografa sobre el tema.5 .1 ESTRUCTURA ISOSTTICA