LINEAS DE TRANSMISION LARGAS(SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES)La solucin exacta de cualquier lnea de transmisin y la nica que proporciona gran precisin en el clculo de la lnea a 60 Hz, de ms de 50 millas de longitud, exige considerar que los parmetros de las lneas no estn concentradas, si no distribuidos uniformemente a todo lo largo de ella.La siguiente figura representa una fase a neutro de una lnea trifsica: No se utilizan los parmetros concentrados porque se trata de calcular la lnea con la impedancia y la admitancia uniformemente repartidas (por unidad de longitud)Consideremos un elemento muy pequeo de la lnea y calculemos las diferencias de tensin y corriente entre los dos extremos de la lnea ( antes y despus del elemento diferencial ) .SeaXladistanciadel elementoconsiderado( segmento), apartir del extremo receptor y dx la longitud del elemento diferencial ( segmento ).La impedancia del elemento diferencial de la lnea ser Z dx e Y dx su admitancia.Sea V la tensin respecto al neutro, del extremo del elemento diferencial de la lnea ms prximo al extremo receptor; siendo esta V la expresin compleja de la tensin eficaz, cuya amplitud y fase vara con la distancia a lo largo de la lnea ( VR= V 00solo en VR ) .Latensinenel extremo del elementodelalnea ms prximo al generador ( saliendo del elemento diferencial ) serV + dv.CARGdvI IRIgdIV Vg VRdxpunto de referenciaxEl aumento de la tensin a lo largo del elemento diferencial de la lnea, en sentido de las Xcrecientes, es dvque es la diferencia de las tensiones en los extremos del elemento.El aumento de la tensin en sentido de las X crecientes ( a lo largo de toda la lnea) es tambin el producto de la corriente que fluye del elemento, en sentido de las X crecientes por la impedancia de aquel. O sea: ( I ) ( Z dx )as tenemos: IZdxdv( 5.17 )Anlogamente, la corriente que sale del elemento hacia la carga es I .La amplitud y la fase de la corriente I, varan con la distancia a lo largo de la lnea, a causa de la admitancia repartida en toda su longitud.Lacorrientequeentraal elementoprocedentedel generadoresI+dI. Estase diferencia de la corriente que sale en direccin de la carga en la cantidad dI. Esta diferenciaeslacorriente dI=(V)(Ydx)quecirculaporlaadmitanciadel elemento.Por tanto:d I = ( V ) ( Y dx ) de donde ( dividiendo entre dx ambos lados ) nos queda:

VYdxdI( 5.18 )Derivando ahora las ecuaciones 5.17 y 5.18 respecto a X tenemos:( 5.17 )IZdxdv

dxI dZdxv d ) (22( 5.19 )( 5.18 )VYdxdI

dxv dYdxI d ) (22 ( 5.20 )Si sustituimos ahora los valores de dxdI y dxdv originales en las ltimas dos ecuaciones obtenidas ( 5.19 ) y ( 5.20 ) respectivamente, llegamos a:) (22VY Zdxv d ( 5.21 )) (22V YZdxv d) (22IZ YdxI d( 5.22 )) (22IZ YdxI dDe esta manera tenemos dos ecuaciones:La primera ( 5.21 ) en la cual las nicas variables son V y X y la otra ( 5.22 ) con las variables I e X solamente.Las soluciones de estas ltimas ecuaciones diferenciales sern expresiones cuyas segundasderivadasrespectoaXsonigualesalascorrespondientesexpresiones originales ( 5.21 y 5.22 ) multiplicadas por la constante YZ.Por ejemplo:La solucin de V ( variable dependiente ) derivada dos veces, respecto a X, tiene que ser igual a ( YZ ) V .Esto requiere o sugiere una solucin del tipo exponencial.Anlogamente la solucin de I derivada dos veces respecto a X tiene que ser igual a I ( ZY ).Supongamos que la solucin de la ecuacin 5.21 es:x m x me A e A V2 12 1+ ecuacin de solucin 5.23Entonces( 5.21 )ZYVdxv d22igualando a cero:022 ZYVdxv dUtilizando operador:( D2 ZY ) V = 0Las races de esta ecuacin son:ZY m1 ;ZY m 2ASi se sustituye estas races en la ecuacin A[ ( ZY)2 ZY ]ZY ZY = 0Ahora derivando dos veces esta solucin respecto a X ( paracomprobar s esta solucin es la correcta ).( ) ( )dxe A e A ddxdvX YZ X YZ +2 1(( ) ( )dxe dAdxe dAdxdvX YZ X YZ) ( ) (2 1+ ( ) ( )) )( ( ) )( (2 1YZ e A YZ e AdxdvX YZ X YZ + derivando de nuevo:22dxv d = ( )( )( )( )dxe dYZ Adxe dYZ AX YZ X YZ ) (2) (122dxv d = [ ] ( )[ ] ) )( ( ) )( () (2) (1YZ e YZ A YZ e YZ AX YZ X YZ 22dxv d= ) (2) (1X YZ X YZYZe A YZe A+Factorizando a YZ :22dxv d = YZ( )) (2 1X YZe A X YZ e A+Por lo tanto:22dxv d = YZ VSe comprueba entonces que la ecuacin 5.23 es la solucin de la 5.21Ahora sustituyamos en la ecuacin 5.17 la solucin propuesta por la ecuacin 5.23, esto es:( 5.17 )( 5.23 )IZdxdv

) (2) (1X YZ X YZe A e A V+ sustituyendo( )IZdxe A e A dX YX X YZ+ ) (2) (1V( )( ) ( )( ) IZ YZ e A YZ e AX YZ X YZ + ) (2) (1despejando a I :( )( ) ( )( ) [ ]ZYZ e A YZ e AIX YZ X YZ + ) (2) (1Factorizando a YZ:( )]]]]

Ze A e A YZIX YZ X YZ ) (2) (1( )( )]]]]

1 2 / 1) (2) (1Z YZe A e AIX YZ X YZ=2 / 2 2 / 1 2 / 1) (2) (1Z Z Ye A e AX YZ X YZ ( )]]]]

2 / 1 2 / 1) (2) (1Z Ye A e AIX YZ X YZ=2 / 12 / 12) (1YZe A e AYZ X YZ Por lo tanto:( )]]]]]]

YZe A e AIX YZ X YZ ) (2) (1 YZe AYZe AX YZ X YZ ) (2) (1 ( 5.25 )donde I est en funcin de X.Las constantes A1y A2pueden hallarse teniendo en cuenta las condiciones en el extremo receptor ( iniciales ) de la lnea, en donde X = 0 ( distancia = 0 ):V = VRe I = IRPor lo tanto sustituimos estos valores en las ecuaciones 5.23 y 5.25 :) (2) (1X YZ X YZe A e A V+ ( 5.23 )sustituyendo V = VR y X = 0 en la ecuacin 5.23) 0 (2) 0 (1YZ YZe A e A V+ entonces la nueva ecuacin ser:

VR = A1 + A21 Haciendo lo mismo con la ecuacin 5.25 tenemos:( )]]]]]]

YZe A e AIX YZ X YZ ) (2) (1 ( 5.25 )( )]]]]]]

YZe A e AIYZ YZR) 0 (2) 0 (1YZA AIR2 1 = YZAYZA2 15.25 BHaciendo YZ= ZCentonces la ecuacin 5.25 quedar:

CRZA AI2 1 Despejando a A1 de la ecuacin1 :VR = A1 + A2por lo tantoA1 = VR A22Por otro lado, de la ecuacin 5.25 B despejamos a A2CRZA AI2 1 ZC IR = A1 - A2 por lo tantoA2 = A1 - IRZCSustituyendo este valor en la ecuacin2tenemos:A1 = VR A2A1 = VR (A1 - IRZC )A1 = VR A1 + IRZC A1 + A1 = VR + IRZC 2 A1 = VR + IRZC A1 = 2C R RZ I V +ASustituyendo este valor de A1 en la ecuacin 1 se procede a encontrar en forma anloga, para encontrar el valor de A2 . Es decir:Despejando a A2 de la ecuacin1. ( VR = A1 + A2 )A2 = VR A12BDespejando ahora a A1 de la ecuacin 5.25 B( 5.25 B )CRZA AI2 1 A1 A2 = IRZCA1 =IRZC + A2Sustituyendo ahora este ltimo valor de A1en la ecuacin 2BA2 = VR A1A2 = VR ( IRZC + A2 )A2 = VR IRZC- A2 A2 + A2 = VR IRZC2 A2 = VR IRZCA2 = 2C R RZ I V BFinalmente se debern sustituir estos valores de A1y A2en las ecuaciones 5.23 y 5.25. Esto es:) (2) (1X YZ X YZe A e A V+

( ) ( )) ( ) (2 2X YZ C R R X YZ C R ReZ I VeZ I VV++Haciendo = YZ tenemos:VOLTAJE EN CUALQUIER PUNTO DE LA LNEA( ) ( )) ( ) (2 2X C R R X C R ReZ I VeZ I VV ++(5.26 )Tambin para la ecuacin de la corriente:CX YZCX YZZe AZe AI) (2) (1 ( 5.25 )

CX YZ C RCX YZ C RZeZ IZeZ II) ( R ) ( R2V2V ++( ) ( )XCC R R XCC R ReZZ I VeZZ I VI +2 2Separando y multiplicando:]]]]

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.| CXC RCXRCXC RCXRZe Z IZe VZe Z IZe VI2 2 2 2]]]

]]]]]]

+ XXRXRCXRee Ve IZe VI2 2)1(A1

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.|+ XRCRXRCReIZVeIZVI2 2 ( 5.27 )ZCes la impedancia caracterstica de la lnea Y = YZ es la constante de propagacin.Las ecuaciones 5.26 y 5.27 dan los valores de V e I, as como sus ngulos de fase en cualquier punto de la lnea en funcin de la distancia X desde el extremo receptor, conocidos. VR , IR y los parmetros de la lnea.ANALISIS DE LAS ECUACIONES OBTENIDASTanto como ZC son expresiones complejas. La parte real de la constante se llama constante de amortiguacin y se mide en neper por unidad de longitud.El coeficiente de la parte imaginaria de es la llamada constante de fase Midindose en radianes por unidad de longitud ( millas ).O sea.= + cte. de fasecte. de amortiguacincte. de propagacindonde:

[ neper/mts] [ rad / mts ]entonces:( ) X j X X je e e + . y ( ) X j X je e e e + .Por lo que las ecuaciones 5.26 y 5.27 se convierten en:

X j X C R R X j X C R Re eZ I Ve eZ I VV ++ .2.2( 5.29 ) y para la corriente tenemos: X j XRCRX j XRCRe eIZVe eIZVI + .2.2 ( 5.30 )Las propiedades deXeyX jeayudan a explicar las variaciones de tensin y corriente, en cualquierinstante,enfuncin delpunto considerado a lo largo de la lnea.El trminoXecambiadevalorcuandolohaceX(siXcreceXetambincrece), mientras que X jees igual a:

X je= cos X + sen X Siempre vale 1, produciendo una fase de radianes por unidad de longitud de la lnea.El primer trmino de la ecuacin 5.29 X j X C R Re eZ I V +.2 aumenta su valor y adelanta en fase, a medida que aumenta la distancia X ( desde el extremo receptor X receptor ) Por el contrario cuando se avanza a lo largo de la lnea desde el extremo transmisor, el trmino considerado disminuye en valor absoluto y, a la vez vretrasndose en fase.Esta es la caracterstica de una onda progresiva y es anloga al comportamiento de una onda en el agua respecto a su amplitud con el tiempo, a la vez que se retrasa en fase y su valor mximo disminuye con la distancia al origen. La variacin del valor instantneo no est expresada en el tiempo, pero se comprende, puesto que VRe IR son vectores.incremento de distanciaEl primer trmino de la ecuacin 5.29 se denomina TENSION INCIDENTE.El segundo trmino de la misma ecuacin X j X C R Re eZ I V .2disminuye en magnitud y se retrasa en fase desde el extremo receptor al extremo generador y se le llama TENSION REFLEJADA.En cualquier punto de la lnea, la tensin es la suma de los componentes incidentes, y reflejada de la tensin en aquel punto.Como la frmula de la corriente es anloga a la tensin, tambin podemos considerarla compuesta por las corrientes incidentes y reflejadas.Sise termina la lnea en su impedancia caracterstica ZC,la tensin en elextremo receptor VR es igual a IRZC y no existe onda reflejada de tensin, ni de corriente, como puede verse, sustituyendo IRZC por VR en las ecuaciones 5.29 y 5.30.( 5.29 )X j X C R Re eZ I V .2

02C R C RZ I Z I( 5.30 )X j XRCRe eIZV .2

X j XRCC Re e IZZ I .EJEMPLO:Unalneaterminadaensuimpedanciacaracterstica, sellamaLNEAPLANAO LINEAINFINITA. Esteltimonombrederivadel hechoqueunalneadelongitud infinita no puede tener onda reflejada.Normalmente las lneas de distribucin de fuerza no se terminan en su impedancia caractersticapero, encambiolaslneasdecomunicacionesseterminanenesa forma para eliminar la onda reflejada.Un valor tpico de ZC es 400 para una lnea de un solo circuito y 200 para una de dos circuitos en paralelo.El ngulo de fase de ZC normalmente est comprendido entre 0 150.LaslneasdeconductoresagrupadostienenvaloresinferioresaZCpuestoque dichas lneas tienen una Linferior y una Csuperior a la de las lneas de un solo conductor por fase.Una longitud de onda es la distancia a lo largo de la lnea entre dos puntos de una onda que difieren en fase 3600 2 radianes.Si es el desfase en radianes por milla, la longitud de onda en millas es: = 2A la frecuencia de 60 Hz, una longitud de onda es, aproximadamente 3000 millas.La velocidad de propagacin, en millas por segundo, es el producto de la longitud de onda en millas, por la frecuencia en Hz.Esto es: Velocidad = ( F ) ()Si no existe carga en la lnea, IR es cero y, como indican las ecuaciones 5.29 y 5.30, las tensiones incidentes y reflejadas son iguales en amplitud y fase, en el extremo receptor.Por el contrario, en el mismo punto, las corrientes incidentes y reflejadas son iguales, pero desfasadasunade otra1800. Deesta forma, enelextremo receptorde una lnea abierta, se anulan entre s las corrientes incidentes y reflejadas.Noocurriendoestoenningnotropuntodelalnea, amenosqueestacarezca completamente de prdidas, de tal forma que la constante de amortiguacin sea cero.EJEMPLO:Unalneadetransportea60Hz, deunsolocircuitotiene225millasde longitud.La carga es de 125,000 Kw a 200 Kv con un F.P = 100%Calcular:a) Las tensiones incidentes y reflejadas en los extremos receptor y transmisor de la lneab) Determinar la tensin de la lnea en el extremo distribuidor (generador) a partir de las tensiones incidentes y reflejadas.c) Calcular la longitud de onda y la velocidad de propagacin.Los parmetros de la lnea son:R = 0.172 / miC = 0.0136 F/ miL= 2.18 mH/miG = 0SOLUCION:Aqu la impedancia estar dada por:Z = R + ( 2 )( F )( L )Z = R + XL XL = 2 F L= ( 2 )( 3.1416 )( 60 )( 2.18X10-3 H/mi) =0.821ohmsZ = 0.172 + 0.821 = 0.8388 78.160REACTANCIA CAPACITIVAXC = FC 21XC = 610 0136 . 0 )( 60 )( 1416 . 3 )( 2 (1x= 195,042.822 /mi.SUSCEPTANCIA CAPACITIVA ( INVERSO DE LA REACTANCIA CAPACITIVA)YC = 2FCYC=(2)(3.1416)(60)(0.0136x10-6)=5.127x10-6 /mi = 0 + 5.127x10-6 = 5.127x10-6 900 / mi Sabemos que: XL = YZ L = ( )( ) 8388 . 0 10 127 . 56 x= 290 2 . 780 0+( 225 mi ) = (2.0737x10-3 )( 225 mi ) 84.10= 0.466 84.10

= 0.047 + 0.463

Entonces:YZZC = 610 127 . 58388 . 0x 290 2 . 780 0CZ 404.480 -5.90VF-N = 3LV = 00 05 . 470 , 1153000 , 200 V[ V ]IR = ( ) ( ) 33LVW = ( ) ( ) 3 000 , 200000 , 000 , 125VW = 360.843 00 [ A ]l + lF.P = 100 % O tambien:IR = N FVW 1= 05 . 470 , 11567 . 666 , 666 , 41 = 360.843 00 [ A ]Representandolatensinincidentepor V+ylareflejadapor V- enel extremo receptor donde X=0, tenemos:VR+ = 2C R RZ I V += 2) 9 . 5 480 . 404 )( 0 843 . 360 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 0 + VR+ = 2) 9 . 5 7766 . 953 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 + VR+ = 2) 9589 . 002 , 15 6328 . 180 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0j j + + VR+ = 2) 9589 . 002 , 15 6828 . 650 , 260 ( j VR+ = 2) 29 . 3 1082 . 082 , 261 (0 VR+ = 130,325.3414 -3.290 VR+ = 130,110.5455- 7,479VR - = 2C R RZ I V = 2) 9 . 5 480 . 404 )( 0 843 . 360 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 0 VR - =2) 9 . 5 7766 . 953 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 VR - =2) 9589 . 002 , 15 6328 . 180 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0j j +VR - =2) 9589 . 002 , 15 5828 . 710 , 29 ( j + VR - = 2) 7423 . 283 , 33 ( 153.200VR - = 16,641.87 153.200VR - = -14,854.297 + 7,503.445Ahora calculando para el extremo generador en el cual X=L= 225 millas = YZ L

= 0.466 84.10

=0.047 + 0.463VR = VR(+) + VR(-) = ( 130,110.5455- 7,479 ) + ( - 14,854.297 + 7,503.445 ) = 115,256.2,685 + 24.445= 115,256.2711 0.0120Vg estar dado por:Vg ( + ) = l j l C R Re eZ I V +.2 = 2) 9 . 5 480 . 404 )( 0 843 . 360 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 0 + VR+ = 2) 9 . 5 7766 . 953 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 + VR+ = 2) 9589 . 002 , 15 6328 . 180 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0j j + + VR+ = 2) 9589 . 002 , 15 6828 . 650 , 260 ( j VR+ = 2) 29 . 3 1082 . 082 , 261 (0 VR+ = 130,325.3414 -3.290

=0.047 + 0.463= 130,325.3414 -3.29 463 . 0 047 . 0.je e=( 130,325.3414 -3.29 ) ( 1.048 ) ( e0.463 )=( 130,325.3414 -3.29 ) ( 1.048 26.520 )= 136,580.9578 23.230Vg ( - ) = l j l C R Re eZ I V .2= 2) 9 . 5 480 . 404 )( 0 843 . 360 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 0 VR - =2) 9 . 5 7766 . 953 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0 0 VR - =2) 9589 . 002 , 15 6328 . 180 , 145 ( ) 0 05 . 470 , 115 (0j j +VR - =2) 9589 . 002 , 15 5828 . 710 , 29 ( j + Valor en radianes, pasarlo a gradosVR - = 2) 7423 . 283 , 33 ( 153.200VR - = 16,641.87 153.200= 16,641.87 153.200 e-0.047. e- 0.463= (16,641.87 153.200 ) ( 0.9540 ) (e- 0.463 )= (16,641.87 153.200 ) (0.9540 - 26.520 )= 15,879.3439 126.680Por lo tanto la tensin entre lnea y neutro en el extremo generador es:Vg = Vg( + ) + Vg( - ) = (136,580.9578 23.230 ) + (15,879.3439 126.680 ) = ( 125,508.1956 + 53,870.6866 ) + ( - 9,483.6584 + 12,732.5770 ) = 116,024.5372 + 66,603.2636 = 133,782.2408 29.850El voltaje entre lneas en el extremo generador es:VL = 3VF-N ;VL = 3 VgF-N= 3 ( 133,782.2408 V ) = 231,717.6382 Volts = 231.71 KvLa longitud de onda y la velocidad de propagacin, se calcula de la siguiente manera:CTE, DE FASEl = 0.466 84.10no se ocupa el ngulol = millas 225466 . 0= 2.071x10-3 rad/millaLONGITUD DE ONDA 2 2= ( ) ( ) [ ]milla rad xrad/ 10 071 . 21416 . 3 23 = 3,033.88 millasVELOCIDAD DE PROPAGACION : ( F ) ( )( F ) ( ) = ( 60 ) ( 3,033.88 millas ) = 182,033.3744 millas/seg FORMAS HIPERBOLICAS DE LAS ECUACIONESLas ondas de tensin, incidente y reflejadas, se determinan muy rara vez cuando se calcula la tensin de una lnea de transporte.La razn de haberlas visto es que este anlisis es muy til para comprender algunos fenmenos que se presentan en las lneas de transmisin.Unaformamasconvenientedeestasecuaciones, paracalcular lacorrienteyla tensin de una lnea elctrica es la determinada. Empleando las funciones Hiperblicas.Estas vienen definidas en forma exponencial por las siguientes relaciones: senh() = 2 e e cosh= 2 + e ePara pasar la expresin del voltaje de la lnea en cualquier punto, partiremos de la ecuacin 5.26 esto es: ( ) ( )) ( ) (2 2X C R R X C R ReZ I VeZ I VV ++Multiplicando el exponencial en ambos miembros:( ) ( ) ( ) ( )2 2) ( ) ( ) ( ) ( XC RXRXC RXRe Z I e V e Z I e VV ++Separando por denominadores:( )2 2 2 2) ( XC RXRXC RXRe Z I e V e Z I e VV + + Agrupando trminos semejantes:( )2 2 2 2) ( XC RXC RXRXRe Z I e Z I e V e VV + + Sumando ahora los trminos semejantes:( )2 2) ( XC RXC RXRXRe Z I e Z I e V e VV ++Factorizando a VR y a IRZCen la expresin:)2( )2() (X XC RXRe eZ Ie eV VX ++Haciendo = x = l entonces:)2( )2( ++e eZ Ie eV VC R RAplicando la identidad de senos y cosenos hiperblicos:V = VR cosh + IRZC senhFinalmente valiendo = x V = VR coshx + I RZC senhx ( 5.36 )Para cualquier punto de la lneaProcederemos anlogamente para encontrar el valor de la I partiendo de la ecuacin 5.27:

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.|+ XRCRXRCReIZVeIZVI2 2Multiplicando el exponencial:

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.|+ 2 2XRXCR XRXCRe I eZVe I eZVISeparando al denominador para sumar posteriormente trminos semejantes:2 2 2 2XRXCRXRXCRe IeZVe IeZVI + Agrupando trminos semejantes:2 2X XRX XCRe eIe eZVI ++Haciendo = x 2 2 ++e eIe eZVIRCRAplicando identidad de senos hiperblicosI = CRZVsenh + IR coshFinalmente volviendo a = x I = CRZVsenhx + IR coshx ( 5.37 )Para encontrar la tensin y la corriente en el extremo generador ponemos X = l con las ecuaciones 5.36 y 5.37 quedan de la siguiente manera:VS = VRcoshTl + I RZC senTl ( 5.38 )IS = IR coshl +CRZVsenhl ( 5.39 )Ahora bien por analoga podemos encontrar VR o IR en funcin de Vg e Ig apartir de las ecuaciones 5.38 y 5.39, quedando de la siguiente forma:VR = VScoshl - ISZCsenhl ( 5.41 )IR = IScoshl - CSZVsenhl ( 5.42 ) En lneas trifsicas equilibradas, la corriente es la lnea y la tensin.Es la existente entre lnea y neutro, esto es la tensin de lnea dividida por 3.Pararesolverlasecuaciones5.41y 5.42,espreciso,previamente,determinarlos valores de las funciones hiperblicas.Comonormalmente,l esunvalorcomplejo(nmerocomplejo), lasfunciones hiperblicas son tambin complejas y no se pueden encontrar directamente con las tablas correspondientes ni con calculadoras cientficas.Entonces si nosedisponedegrficos especiales ocomputadoras, sepueden calcular las funciones hiperblicas de variables complejas por varios mtodos.PRIMER METODO:Este consiste en desarrollar los senos y cosenos hiperblicos de variable compleja en funcin de los senos y cosenos circulares e hiperblicos de variable real. cosh(l + l ) = coshl cosl + senhl senl ( 5.43 ) senh((l + l )=senhl cosl + coshl senl ( 5.44 ) Estas ecuaciones permiten el clculo de las funciones hiperblicas con argumentos complejos.Lacorrectaunidaddel esel radin, queeslaunidadencontradaparal al calcular la parte compleja de l .Ejemplo de aplicacin:Encontrar la tensin VR, la corriente y la potencia en el extremo distribuidor ( generador ) de la lnea del ejemplo anterior .DATOS:ZC = 404.480 - 5.90[ ]VR1 = 115,470.05 00[ V ]l = 0.047 + 0.463I R = 360.843 00Utilizando las ecuaciones 5.43 y 5.44 tenemos:cosh(l + l ) = coshl cosl + senhl senl

= cosh(0.047) cos(0.463) + senh(0.047) sen(0.463)= cosh(0.047) cos26.520 + senh(0.047) sen26.520= (1.001)( 0.8947 ) + ( 0.0470 )( 0.4465 )= 0.8955 + 0.0209= 0.8955 1.330

senh((l + l )=senhl cosl + coshl senl =senh0.047cos0.463+ cosh0.047sen0.463= ( 0.047 )(0.8947) + (1.001)(0.4466)= 0.0420 + 0.4470= 0.448 84.6320Entonces de la ecuacin 5.38 encontramos a VS:VS = VRcoshTl + I RZC senTl

VS = ( 115,470.05 00 )( 0.895 1.330 ) + ( 145,953.7766 -5.9 )( 0.44884.630) VS = ( 103,345.69 1.330 ) + ( 65,387.291 78.730 )VS = ( 103,317.848 + 2,398.735 ) + ( 12,778.812 + 64,126.4358 )VS = ( 116,096.66 + 66,525.1708 )VS = 133,805.95 29.810De la ecuacin 5.39 encontramos a IS:IS = IR coshl +CRZVsenhl IS = ( 360.843 00 )( 0.895 1.330 ) +009 . 5 480 . 4040 05 . 470 , 115 ( 0.44884.6320 )IS = ( 360.843 00 )( 0.895 1.330 ) +( 285.4775.90 ) ( 0.44884.6320 )IS = ( 322.95 1.330 ) + ( 127.89 90.5320 )IS = ( 322.862 + 7.495 ) + ( - 1.187 + 127.884 )IS = 321.675 + 135.379IS = 349.00 22.820