Linguagens Livre de Contexto

Linguagens Livres de Contexto

Prof. Marcus Vincius Midena Ramos

Universidade Federal do Vale do So Francisco

4 de junho de 2012

[email protected]/~marcus.ramos

Marcus Ramos (UNIVASF) LFA 2010-1 4 de junho de 2012 1 / 295

Bibliografia

1 Linguagens Formais: Teoria, Modelagem e ImplementaoM.V.M. Ramos, J.J. Neto e I.S. VegaBookman, 2009


Roteiro1 Gramticas Livres de Contexto2 BNF Estendida3 rvores de Derivao4 Ambigidade

5 Simplificao de Gramticas Livres de Contexto

6 Formas Normais para Gramticas Livres de Contexto

7 Autmatos de Pilha8 Gramticas Livres de Contexto e Autmatos de Pilha9 Linguagens Livres de Contexto e Linguagens Regulares

10 Linguagens que no so Livres de Contexto

11 Linguagens Livres de Contexto Determinsticas

12 Propriedades de Fechamento

13 Questes Decidveis e No-Decidveis


Gramticas Livres de Contexto

Linguagens de programao

I A maior aplicao das gramticas livres de contexto ocorre naformalizao sinttica das linguagens de programao de altonvel;

I Rigorosamente, no se pode dizer que tais linguagens sejampropriamente livres de contexto;

I Na verdade, a formalizao completa de sua sintaxe exigiriadispositivos mais complexos, como o caso das gramticas dotipo 1, uma vez que a grande maioria de tais linguagensapresenta dependncias de contexto que no podem serrepresentadas por gramticas do tipo 2, ou livres de contexto.



Aninhamento

I A caracterstica que torna as gramticas livres de contextoespecialmente adequadas formalizao sinttica daslinguagens de programao a sua capacidade derepresentao de construes aninhadas, que sofreqentemente encontradas em linguagens dessa categoria;

I Construes aninhadas costumam ocorrer em linguagens deprogramao, por exemplo, na construo de expressesaritmticas, em que subexpresses so delimitadas, atravs douso de parnteses; na estruturao do fluxo de controle, em quecomandos internos so inseridos como parte integrante de outrosexternos; na estruturao do programa, em que blocos, mdulos,procedimentos e funes so empregados para criar diferentesescopos, etc.



Definio

Uma gramtica livre de contexto uma qudrupla (V, , P, S) com osseguintes componentes:

I V: conjunto (finito e no-vazio) dos smbolos terminais eno-terminais;

I : conjunto (finito e no-vazio) dos smbolos terminais;corresponde ao alfabeto da linguagem definida pela gramtica;

I P: conjunto (finito e no-vazio) das regras de produo, todas noformato , com (V) e V;

I S: raiz da gramtica, S (V).



Exemplo

Exemplo 1.1Seja P o conjunto de regras abaixo e considerem-se , V e S subentendidos.

{E T + E, (1)E T, (2)T F T, (3)T F, (4)F (E), (5)F a} (6)



Exemplo

Considere-se a sentena a (a+a). Ela pode ser obtida atravs da seguinte seqnciade derivaes:E T F T a T a F a (E) a (T + E) a (F + E) a (a + E) a (a + T) a (a + F) a (a + a)

correspondente aplicao das produes4.2,4.3,4.6,4.4,4.5,4.1,4.4,4.6,4.2,4.4,4.6, nesta ordem.



Exemplo

Observe-se que a linguagem gerada pela gramtica deste exemplo compreende assentenas que representam expresses aritmticas corretamente formadas sobre ooperando a com os operadores e +. Subexpresses delimitadas atravs deparnteses tambm so admitidas, e podem ser compostas com base nas mesmasregras utilizadas para construir a expresso inicial. No fazem parte da linguagemdefinida por esta gramtica, por exemplo, cadeias em que no haja plenacorrespondncia do smbolo ( com seu par ). Em outras palavras, trata-se de umalinguagem que admite o aninhamento de expresses atravs do uso de parntesescomo delimitadores.



Linguagens estritamente livres de contexto

I O aninhamento de construes a caracterstica que distingue aslinguagens estritamente do tipo 2 das linguagens do tipo 3:pertencem a uma linguagem estritamente do tipo 2 apenas e tosomente as sentenas em que, para cada ocorrncia de um dadodelimitador (no caso, o abre-parnteses), haja emcorrespondncia a ocorrncia de um outro, atravs do qual seforma o par (no caso, o fecha-parnteses);

I Alm disso, a subcadeia situada entre esse par de delimitadorespode ser gerada atravs das mesmas regras de formao vlidaspara a sentena completa, caracterizando dessa maneira oaninhamento de suas construes.



Aninhamentos sintticos

I Atravs de regras de produo livres de contexto, possvelespecificar construes mais restritas do que as obtenveismediante o uso de produes de gramticas lineares;

I Com regras livres de contexto possvel caracterizaraninhamentos sintticos, os quais no podem ser descritosapenas com produes lineares direita ou esquerda (ouqualquer combinao delas);



Aninhamentos sintticos

I Gramticas livres de contexto permitem impor restriesadicionais quelas que se podem construir em gramticasregulares, podendo assim caracterizar subconjuntos daslinguagens regulares que gozem da propriedade determinadapelos aninhamentos sintticos;

I Gramticas livres de contexto tornam-se muito teis para aespecificao de linguagens de programao, a maioria das quaisexibe aninhamentos sintticos.



No-terminal auto-recursivo central

Um no-terminal Y dito self-embedded, ou auto-recursivo central,se, a partir dele, for possvel derivar alguma forma sentencial em queo no-terminal Y ressurja, delimitado por cadeias no-vazias determinais sua esquerda e sua direita:

Y Y , com , +



Gramtica auto-embutida

Um no-terminal Z dito simplesmente auto-recursivo se, a partirdele, for possvel derivar alguma forma sentencial em que Z ressurja,acompanhado de pelo menos uma cadeia no-vazia de terminais sua esquerda ou sua direita:

Z Z , com , , 6= Se uma gramtica livre de contexto G possui pelo menos umno-terminal auto-recursivo central, diz-se que G auto-embutida (doingls self-embedded).



No-terminal auto-recursivo central essencial

Um smbolo no-terminal essencial aquele que no pode serremovido da gramtica (ou substitudo) sob pena de provocarmodificaes na linguagem sendo definida. Uma linguagem L ditaestritamente livre de contexto, ou livre de contexto no-regular, se eapenas se todas as gramticas que geram L forem auto-embutidas, ouseja, se todas elas possurem pelo menos um no-terminalauto-recursivo central essencial.



No-terminal auto-recursivo central essencial

O simples fato de uma gramtica ser auto-embutida no garante ano-regularidade da linguagem definida: possvel identificarlinguagens regulares geradas por gramticas com no-terminaisauto-recursivos centrais que, nesses casos, no so essenciais. OExemplo 1.2 ilustra essa situao.



Exemplo

Exemplo 1.2A gramtica cujas regras constituem o conjunto abaixo do tipo 2 e possui um

no-terminal auto-recursivo central (S, em decorrncia da produo S aSa),podendo portanto ser caracterizada como uma gramtica auto-embutida:

{S aS,S bS,S a,S b,S aSa}



Exemplo

No entanto, a linguagem gerada por essa gramtica {a,b}, ou seja, a linguagem regular. Na verdade, fcil observar que essa linguagem tambm pode ser gerada porum conjunto de regras equivalente, em que a ltima produo da gramtica acima removida:

{S aS,S bS,S a,S b}

Tal fato ocorre, neste caso particular, porque a produo S aSa no-essencial gramtica, ou seja, a sua incluso no conjunto P de produes em nada contribui paramodificar a linguagem definida pelas demais produes.



Linguagem estritamente livre de contexto

I Quando todas as alternativas de substituio para um smbolono-terminal so no-essenciais, diz-se que o smbolo emquesto no-essencial;

I Se ele for um no-terminal auto-recursivo central, diz-se que ono-terminal auto-recursivo central no-essencial;

I No-terminais auto-recursivos centrais que caracterizamgramticas auto-embutidas podem ou no ser essenciais;

I Se houver pelo menos um no-terminal auto-recursivo centralessencial em alguma gramtica, a correspondente linguagem dita estritamente livre de contexto;

I Se todos os no-terminais auto-recursivos centrais de umagramtica forem no-essenciais, a linguagem por ela definida regular.



Propriedade do auto-embutimento

I A Self-embedding Property exprime a capacidade que tm asgramticas livres de contexto para representarem aninhamentossintticos;

I Se Y Y , ento, da aplicao sucessiva dessa seqncia dederivaes, resulta que Y , Y etc. so formassentenciais que geram sentenas pertencentes a L(G);

I A cada subcadeia possvel impor a existncia de uma outrasubcadeia que estabelea a correspondncia com ;

I Gramticas regulares no exibem a Self-embedding Property,sendo esta uma propriedade caracterstica das gramticas livresde contexto no-regulares.



Exemplo

Exemplo 1.3Considere-se a linguagem das expresses aritmticas definida no Exemplo 1.1.

Observe-se que E T F (E), ou seja, E (E).Logo, E um no-terminal auto-recursivo central, e a gramtica a que ele pertence auto-embutida. possvel demonstrar que todas as gramticas que geram essalinguagem so auto-embutidas, o que caracteriza a linguagem como no-regular.Note-se que, como E (E), a cada abre-parnteses que antecede a subexpresso Ecorresponde sempre um fecha-parnteses logo aps E. Note-se tambm que todas assentenas derivadas das formas sentenciais (iE)i, i > 1, tambm pertencem linguagem definida, sendo obtidas pela aplicao repetida da seqncia de derivaesapresentada.



Anlise sinttica

I Quando se consideram linguagens especificadas atravs degramticas livres de contexto, deve-se tambm considerar de queforma feita a aceitao sinttica de suas sentenas para fins decompilao e/ou interpretao;

I Quando se trata de efetuar o reconhecimento de sentenas, oque se busca, na verdade, localizar uma seqncia deprodues que, quando aplicada raiz da gramtica, forneacomo resultado, atravs da srie correspondente de derivaes, asentena fornecida para anlise;

I Sendo possvel completar a derivao, diz-se que a sentenapertence linguagem; caso contrrio, que ela no pertence linguagem.



Anlise sinttica

I No entanto, para cada sentena pertencente linguagem definidaatravs de uma gramtica livre de contexto, geralmente possvelidentificar uma grande quantidade de seqncias distintas dederivao, resultado de escolhas arbitrrias do particular smbolono-terminal a ser substitudo em cada passo da derivao, todaselas resultando na mesma sentena analisada;

I Na prtica, no entanto, costuma-se fixar alguns critrios dederivao de sentenas, para permitir a construo e a operaosistemticas dos reconhecedores sintticos.



Derivaes mais esquerda e mais direita

I Diz-se que a derivao de uma forma sentencial em umagramtica livre de contexto uma derivao mais esquerda,quando a substituio de um no-terminal pelo lado direito deuma produo que o define feita substituindo-se sempre ono-terminal que ocorre mais esquerda na cadeia querepresenta a forma sentencial em questo;

I De maneira anloga, uma derivao mais direita aquela emque sempre o no-terminal mais direita, na forma sentencial,que substitudo pela sua definio.



Exemplo

Exemplo 1.4Considere-se a gramtica do Exemplo 1.3. A seguir so apresentadas duas seqnciasde derivao para a sentena a + a. Na primeira, todas as derivaes so mais esquerda, e na segunda, mais direita. Note-se que as seqncias de produesutilizadas em cada caso so distintas, e tambm que diversas outras seqnciaspoderiam ser obtidas combinando-se arbitrariamente os no-terminais a seremsubstitudos em cada forma sentencial.



Exemplo

1 Derivaes com substituies mais esquerda apenas:E T + E F + E a + E a + T a + F a + aProdues aplicadas: 4.1,4.4,4.6,4.2,4.4,4.6

2 Derivaes com substituies mais direita apenas:E T + E T + T T + F T + a F + a a + aProdues aplicadas: 4.1,4.2,4.4,4.6,4.4,4.6

3 Derivaes com substituies de diversos tipos:E T + E F + E F + T a + T a + F a + aProdues aplicadas: 4.1,4.4,4.2,4.6,4.4,4.6



Metalinguagens

I Como conseqncia do elevado interesse prtico despertadopelas gramticas livres de contexto, inmeras notaes foramdesenvolvidas para facilitar a formalizao sinttica daslinguagens artificiais, permitindo criar definies formais maislegveis e concisas do que as obtidas usualmente com a notaoalgbrica.

I Tais notaes, denominadas metalinguagens, permitem arepresentao de linguagens livres de contexto, sendoequipotentes, portanto, notao algbrica introduzidaanteriormente. A primeira e talvez mais importante delas a BNF,abreviatura de Backus-Naur Form.



BNF

Na notao BNF, os no-terminais so representados por textosdelimitados pelos metassmbolos ; para distingui-los dossmbolos terminais, o metassmbolo substitudo por ::= e,finalmente, todas as alternativas de substituio para um mesmono-terminal so agrupadas, separando-se umas das outras com ometassmbolo |. Os terminais so denotados sem delimitadores.



Exemplo

Exemplo 1.5Em BNF, a gramtica que representa expresses aritmticas aninhveis, sobreoperandos a, com os operadores adio e multiplicao, anteriormente apresentadano Exemplo 1.1, torna-se:

::= + | ::= | ::= a | ()



BNF

Empregada pela primeira vez no incio da dcada de 1960, napublicao que definiu formalmente a linguagem de programaoAlgol 60, a notao BNF se tornou extremamente popular justamentepor ter demonstrado na prtica, pela primeira vez, a viabilidade de usode uma notao formal para a representao da sintaxe de umalinguagem de programao, representando um dos primeirosresultados prticos advindos do interesse dos profissionais decomputao pelas ento recm descobertas gramticas livres decontexto.



Metalinguagens

Embora largamente utilizada ainda hoje, a notao BNF enfrentaatualmente a concorrncia de outras metalinguagens igualmenteimportantes, como o caso de vrios de seus dialetos, da Notao deWirth, dos Diagramas de Sintaxe, das Expresses RegularesEstendidas e de inmeras outras. Apesar disso, a notao algbricacontinuar sendo empregada preferencialmente neste texto por ser amais adequada ao estudo terico e conceitual das linguagens formais.Eventualmente, poder ser empregada a BNF, em exemplos delinguagens de programao.


BNF Estendida

Conceito

I Expresses regulares foram definidas como uma notaobastante concisa e adequada para a representao de linguagensregulares;

I Uma importante extenso das expresses regulares so asexpresses regulares estendidas, que, em combinao com aBNF, disponibilizam as vantagens do uso de expressesregulares para a classe das linguagens livres de contexto,constituindo assim uma metalinguagem alternativa para arepresentao das mesmas;

I Essa metalinguagem, denominada BNF estendida (ou EBNF),resulta da fuso das definies da BNF e da expresso regular.


BNF Estendida

Expresso regular estendida e BNF estendida

I Uma expresso regular estendida , por definio, umaexpresso regular que admite como operandos os smbolosno-terminais da gramtica, em adio aos terminais;

I Um conjunto de regras gramaticais representado atravs danotao BNF estendida um conjunto de expresses regularesestendidas, cada uma delas associada a um smbolono-terminal distinto.


BNF Estendida

Exemplo

Exemplo 2.1Considere-se a gramtica livre de contexto:

G = ({S,X,Y,Z,a,b,c,d,e, f ,g},{a,b,c,d,e, f ,g},P,S)com P apresentado a seguir, que gera uma linguagem L estritamente livre de contexto.

P = {S XYZ | gX aX | aY SbZ cdZ | eZ | f}


BNF Estendida

Exemplo

Transcrito para a BNF, este conjunto de produes resulta: ::= | g ::= a | a ::= b ::= cd | e | f


BNF Estendida

Exemplo

No difcil perceber que gera cadeias compostas por um ou mais smbolos a.Ento, a regra ::= a | pode ser substituda pela regra ::= aa. Demaneira anloga, a regra ::= cd | e | f pode ser substituda por ::= (cd | e)f . Note-se, em ambos os casos, a substituio do uso de smbolono-terminal no lado direito das regras, pelo uso do operador fechamento reflexivo etransitivo () para representar a repetio de termos.


BNF Estendida

Exemplo

O novo conjunto de regras torna-se, portanto: ::= | g ::= aa

::= b ::= (cd | e)f


BNF Estendida

Exemplo

A substituio das definies dos smbolos , e na regra do smbolo resulta em:

::= aab(cd | e)f | g

I O lado direito da regra acima (aab(cd | e)f | g) , como se pode perceber,uma expresso regular estendida, pois possui a forma de uma expresso regular,acrescida da referncia ao smbolo no-terminal . O lado esquerdo e o ladodireito, juntamente, constituem uma regra gramatical representada na notaoBNF estendida;

I A regra acima explicita a presena de um smbolo no-terminal auto-recursivoessencial em G (no caso, o smbolo ), suficiente para caracterizar L comosendo livre de contexto e no-regular. Em termos informais, L pode tambm serrepresentada como (aa)ng(b(cd | e)f )n, com n > 0.


BNF Estendida

Vantagens

I A principal vantagem decorrente uso da BNF estendida, emcomparao com a notao algbrica, ou mesmo com a BNF,resulta da possibilidade de representar a repetio de formassintticas sem a necessidade de definies gramaticaisrecursivas (aquelas em que o smbolo no-terminal que estiversendo definido ressurge, direta ou indiretamente, em formassentenciais derivadas do mesmo), substituindo-as pela definiode iteraes explcitas (atravs do uso do operador fechamentoreflexivo e transitivo);

I Isso proporciona um entendimento mais fcil da linguagem porela definida, sendo ainda til em determinados mtodos deconstruo de reconhecedores sintticos a partir de gramticaslivres de contexto.


BNF Estendida

No-terminais auto-recursivas centrais essenciais

I Nem sempre uma gramtica livre de contexto poder ser reduzidaa uma nica regra em BNF estendida, ainda que esta representeuma definio recursiva;

I A quantidade mnima de regras a que se pode chegar igual quantidade de smbolos no-terminais auto-recursivos centraisessenciais que a gramtica possui, uma vez que cada um destes responsvel pela incorporao de uma caracterstica distinta deaninhamento sinttico linguagem definida pela gramtica, nopodendo ser removidos da gramtica sem prejuzo da linguagempor ela definida.


BNF Estendida

Gramticas com uma nica regra

I Gramticas livres de contexto que representam linguagensregulares podero sempre ser manipuladas at a eliminao detodos os smbolos no-terminais da gramtica, exceto,naturalmente, a raiz, resultando em uma nica expresso regular(no-estendida) que gera a linguagem definida pela gramtica;

I Dessa maneira, a BNF estendida um formalismo que une asvantagens das expresses regulares s da BNF, constituindoimportante alternativa tanto para a representao de linguagensregulares quanto para a de linguagens livres de contexto.


rvores de Derivao

Conceito

A representao da estrutura de sentenas ou formas sentenciais delinguagens livres de contexto, na forma de rvores bidimensionais, um recurso muito utilizado, tanto na teoria quanto na prtica daimplementao de linguagens, uma vez que:

1 Proporciona meios para uma melhor visualizao da estruturadas sentenas da linguagem, facilitando a anlise das mesmas.

2 Auxilia na demonstrao formal de teoremas, na interpretao decertos resultados tericos e na assimilao de vrios conceitos.

3 Facilita a representao interna, nos compiladores einterpretadores, da estrutura das sentenas analisadas,registrando importantes informaes estruturais sobre asmesmas, a serem utilizadas em outros estgios doprocessamento da linguagem.


rvores de Derivao

Definio

Formalmente, uma rvore de derivao um sistema derepresentao de seqncias de derivaes em uma gramtica livrede contexto G = (V,,P,S), consistindo em um grafo orientado eordenado, acclico, com as seguintes propriedades:

1 Todo vrtice rotulado com um elemento de V {};2 O rtulo da raiz S;3 Os rtulos de vrtices internos so elementos de N = V;4 Se um vrtice tem o rtulo A, e X1,X2, . . .Xn so descendentes

diretos de A, ordenados da esquerda para a direita, entoA X1,X2, ...Xn deve pertencer ao conjunto P de regras;

5 Se um vrtice possui o rtulo , ento este vrtice deve sersimultaneamente uma folha e descendente nico de seuancestral direto.


rvores de Derivao

Fronteira de uma rvore

I Define-se como fronteira de uma rvore a cadeia formada pelaconcatenao dos smbolos correspondentes aos rtulos dosvrtices que so folhas, considerados no sentido da esquerdapara a direita, e de cima para baixo;

I Essa cadeia de smbolos (terminais e/ou no-terminais)corresponde forma sentencial cuja estrutura est sendorepresentada pela rvore.


rvores de Derivao

Exemplo

Exemplo 3.1Considere-se a gramtica das expresses aritmticas anteriormente apresentada noExemplo 1.1. A estrutura da sentena a (a+a), de acordo com essa gramtica, podeser representada pela rvore de derivao da Figura 1.


rvores de Derivao

Exemplo

a

F *

(

a

F

T +

a

F

T

E

E )

F

T

T

E

Figura 1: rvore de derivao para E a (a + a)


rvores de Derivao

rvores e derivaes

Naturalmente, nem toda rvore necessita ter como raiz S, nemtampouco possuir como fronteira , S . comum que seconsiderem subrvores cuja raiz seja um elemento X qualquer, X N,e a fronteira, uma cadeia V, tal que X .


rvores de Derivao

Exemplo

Exemplo 3.2A derivao no-trivial T a(E), segundo a gramtica do Exemplo 1.1, pode serrepresentada atravs da subrvore da Figura 2.

a

F *

( E )

F

T

T

Figura 2: rvore de derivao para T a(E)


rvores de Derivao

rvores e derivaes

I A seguir, ser apresentado o teorema fundamental das rvoresde derivao;

I Ele estabelece a existncia de pelo menos uma rvore dederivao para toda e qualquer cadeia derivvel a partir da raiz dagramtica, e tambm que toda e qualquer fronteira de uma rvorecorretamente construda sobre uma gramtica livre de contexto Gcorresponde a uma cadeia derivvel a partir da raiz de G.


rvores de Derivao

rvores e derivaes

Teorema 3.1 Seja G = (V,,P,S) uma gramtica livre de contexto.Ento S se e apenas se existir uma rvore de derivao sobre Gcom fronteira .

Por se tratar de um teorema bastante intuitivo, no ser apresentada asua prova formal, que no entanto pode ser encontrada em livros darea. A importncia deste teorema se deve ao fato de que elecredencia as rvores de derivao como uma representao vlidada estrutura das formas sentenciais geradas por uma gramtica.


rvores de Derivao

Informaes que as rvores no representam

I rvores de derivao no contm informao sobre a particularseqncia em que foram aplicadas as produes para a obtenode uma dada forma sentencial: elas informam apenas quaisforam as produes aplicadas, mas no em que ordem;

I Assim, para cada rvore de derivao, possvel identificardiversas seqncias distintas de derivao que resultem namesma forma sentencial: basta alterar a ordem em que osno-terminais so substitudos em cada passo da derivao.


Ambigidade

Gramtica no-ambgua

Diz-se que uma gramtica livre de contexto no-ambgua se, paratoda e qualquer cadeia pertencente linguagem por ela gerada, existiruma nica seqncia de derivaes mais esquerda e uma nicaseqncia de derivaes mais direita que a geram.


Ambigidade

Gramtica ambgua

Diz-se que uma gramtica livre de contexto ambgua quando existirpelo menos uma cadeia, pertencente linguagem por ela gerada, quepossua mais de uma seqncia distinta de derivaes, feitasexclusivamente atravs de substituies de no-terminais mais esquerda ou mais direita. Se houver mais de uma seqncia comsubstituies mais esquerda, ento haver tambm mais de umacom substituies mais direita, conforme demonstrado no Teorema4.1.


Ambigidade

Mltiplas derivaes esquerda e direita

Teorema 4.1 Se w L(G), com G sendo uma gramtica livre decontexto, e existindo duas (ou mais) derivaes mais esquerda paraw em G, ento existem tambm, correspondentemente, duas (oumais) derivaes mais direita para w em G.


Ambigidade


As gramticas livres de contexto possuem a propriedade de que asderivaes de cada um dos smbolos no-terminais presentes emuma mesma forma sentencial podem ser feitas de forma independenteumas das outras. Se S X , ento a derivao X independe de e .


Ambigidade


Considere-se uma gramtica livre de contexto G e a seqncia dederivaes mais esquerda S 1X , com 1 ,X N, e V.Considere-se que X 2, com 2 e 3, com 3 .Ento, S 1X 123 e 123 L(G).


Ambigidade


Sejam X 1 e X 2 duas produes distintas de G. Ento, existemduas derivaes esquerda distintas para a cadeia 123:

I S 1X 11 12 123I S 1X 12 12 123


Ambigidade


Se 123 L(G) e X 2, ento existe uma seqncia dederivaes mais direita S X3, com V e, alm disso, 1. Portanto, S X3 23 123.


Ambigidade


Como, por hiptese, X 1 2 e X 2 2, ento existemduas seqncias de derivaes mais direita para a cadeia 123:

I S X3 13 23 123I S X3 23 23 123


Ambigidade


De maneira anloga, possvel demonstrar que, para cada seqnciadistinta de derivaes mais esquerda que geram uma mesmacadeia da linguagem, existe uma seqncia distinta de derivaesmais direita correspondente, que gera a mesma cadeia.


Ambigidade

Exemplo

Exemplo 4.1A gramtica cujo conjunto de regras est abaixo apresentado equivalente gramtica anteriormente utilizada na definio da linguagem das expressesaritmticas sobre {a,+,,(,)} do Exemplo 1.1. Diferentemente daquela, no entanto,apenas um smbolo no-terminal (E) utilizado:

{E E + E,E E E,E a,E (E)}


Ambigidade

Exemplo

Adotando-se o critrio das derivaes mais esquerda, pode-se perceber que asentena a + a a pode ser derivada ao menos de duas formas distintas:

1 Aplicando-se inicialmente a produo E E + E:E E + E a + E a + E E a + a E a + a a

2 Aplicando-se inicialmente a produo E E E:E E E E + E E a + E E a + a E a + a a


Ambigidade

Exemplo

Como conseqncia, a gramtica anterior ambgua. possvel provar, no entanto,que a gramtica do Exemplo 1.1 (com os no-terminais E, T e F) admite uma nicaseqncia de derivao para cada sentena pertencente linguagem. Note-se, emparticular, que isso ocorre com a sentena acima considerada. Como concluso, estalinguagem pode ser indistintamente definida atravs de uma gramtica ambgua ou deuma gramtica no-ambgua.


Ambigidade

Exemplo

Exemplo 4.2

Considere-se o fragmento de gramtica abaixo apresentado, que ilustra um problematpico de determinadas linguagens de programao de alto nvel a ambigidade naconstruo de comandos condicionais aninhados.

. . . . . .

if then if then else

. . .


Ambigidade

Exemplo

Passa-se a analisar a estrutura da seguinte forma sentencial:


Para se determinar uma eventual ambigidade nessa forma sentencial, escolhe-seinicialmente e fixa-se um critrio de substituio de no-terminais por exemplo, assubstituies dos no-terminais mais esquerda. Neste caso, fcil verificar que aforma sentencial acima admite duas seqncias distintas de derivao.


Ambigidade

Exemplo

1. Primeira alternativa:

. . . . . . . . . . . . . . . if then else . . . . . . if then else . . . . . . if then if then

else . . .


Ambigidade

Exemplo

2. Segunda alternativa:

. . . . . . . . . . . . . . . if then . . . . . . if then . . . . . . if then if then

else . . .


Ambigidade

Exemplo

No primeiro caso, o ramo do else considerado como parte integrante docomando condicional mais externo e, no segundo, este mesmo ramo consideradocomo parte do comando condicional mais interno:

if then if then

else


Assim, a forma sentencial apresentada ambgua, o que tambm torna ambgua agramtica. Como se pode verificar facilmente, as mesmas concluses poderiamtambm ter sido obtidas caso fossem consideradas apenas substituies mais direita.


Ambigidade

Eliminao de ambigidades

Normalmente, ambigidades costumam ser eliminadas atravs dautilizao de construes gramaticais que impeam a existncia demais de uma seqncia de derivaes mais esquerda (e, portantotambm mais direita) para cada sentena pertencente linguagem,desde que fixado e observado a priori, naturalmente, um critrio nicopara a substituio dos no-terminais nas formas sentenciais.


Ambigidade

Exemplo

Exemplo 4.3

Seja a seguinte gramtica, inspirada na do Exemplo 4.2: . . . . . .

if then fi if then else fi

. . .


Ambigidade

Exemplo

A associao do else ao comando condicional mais externo ou mais interno feita, de acordo com esta nova gramtica, respectivamente:

if then if then fi

else fi

ou

if then if then else fi

fi


Ambigidade

Linguagem livre de contexto ambgua

Diz-se que uma linguagem livre de contexto ambgua se ela puderser gerada por uma gramtica livre de contexto ambgua, eno-ambgua se ela puder ser gerada por uma gramtica livre decontexto no-ambgua. No entanto, raramente se costuma dizer queuma linguagem ambgua, uma vez que uma mesma linguagem podeser gerada por inmeras gramticas distintas (ambguas eno-ambguas).


Ambigidade

Linguagem livre de contexto inerentemente ambgua

H, no entanto, casos em que se pode provar, apesar de isso ser, emgeral, uma tarefa consideravelmente complexa, que determinadaslinguagens so inerentemente ambguas, indicando com isso quetoda e qualquer gramtica que gera a linguagem em questo deve sernecessariamente ambgua. Em casos como esse, o conceito deambigidade pode ser estendido tambm para caracterizar mais umatributo da linguagem.


Ambigidade

Exemplo

Exemplo 4.4A linguagem {anbncmdm | n > 1,m > 1}{anbmcmdn | n > 1,m > 1}

inerentemente ambgua. A demonstrao pode ser encontrada em Hopcroft79.


Ambigidade

Exemplo

Exemplo 4.5A linguagem {aibjck | i = j ou j = k} inerentemente ambgua. A demonstrao

pode ser encontrada em Aho72.


Ambigidade

rvores e derivaes cannicas

Teorema 4.2 Seja G uma gramtica livre de contexto. Para todacadeia w L(G), o nmero de seqncias distintas de derivaesmais esquerda (e portanto mais direita) igual ao nmero dervores de derivao distintas que representam w.


Ambigidade


Prova:Pode ser encontrada em Hopcroft79. No difcil, no entanto, intuirque, para cada forma sentencial obtida atravs de derivaes mais esquerda, a substituio do no-terminal mais esquerda porprodues distintas, sejam elas quantas forem, d origem a umaquantidade idntica de rvores distintas, as quais so diferenciadaspelos ns que representam os filhos do n que representa esseno-terminal. De forma anloga, o raciocnio inverso tambm seaplica.


Ambigidade


Quando se consideram gramticas livres de contexto no-ambguas, aordem em que so feitas as substituies dos smbolos no-terminaisnas formas sentenciais irrelevante do ponto de vista das cadeiasque podem ser geradas e das respectivas rvores de derivao.Como mostra o Teorema 4.3, qualquer que seja a ordem desubstituio dos no-terminais escolhida na gerao de uma mesmacadeia, a rvore de derivao ser sempre a mesma.


Ambigidade


Teorema 4.3 Seja G uma gramtica livre de contexto no-ambgua.Para toda cadeia w L(G), toda e qualquer seqncia de derivaesque produz w representada atravs da mesma e nica rvore dederivao.


Ambigidade


Se G uma gramtica livre de contexto no-ambgua, ento, conformea definio, toda e qualquer cadeia w L(G) possui uma nicaseqncia de derivaes mais esquerda ou mais direita, mesmoque existam outras seqncias no-cannicas de derivao para essamesma cadeia. Conforme o Teorema 4.2, existe uma nica rvore dederivao para w. Logo, todas as derivaes de w em G sorepresentadas por uma mesma rvore de derivao.


Ambigidade


Conforme a definio, uma gramtica livre de contexto no-ambgua aquela para a qual cada cadeia pertencente linguagem gerada portal gramtica gerada por uma nica seqncia de derivaes mais esquerda e por uma nica seqncia de derivaes mais direita. OTeorema 4.3 estende esse resultado, e estabelece que taisseqncias de derivaes correspondem a uma mesma rvore dederivao.


Ambigidade


Em resumo: cada uma das cadeias pertencentes a uma linguagemgerada por uma gramtica livre de contexto no-ambgua possui umanica seqncia de derivaes mais esquerda, uma nica seqnciade derivaes mais direita e uma nica rvore de derivao.


Ambigidade


Esta importante propriedade das linguagens livres de contexto (eportanto tambm das linguagens regulares) permite que se adote umaordem arbitrria para a aplicao das regras gramaticais na derivaode uma sentena. Tecnologicamente, isso pode ser aproveitadoescolhendo-se uma ordem que seja econmica do ponto de vistaalgortmico.


Ambigidade


A existncia de uma nica seqncia cannica de derivaes (umamais esquerda e outra mais direita) para cada sentena de umalinguagem gerada por uma gramtica no-ambgua explorada nosalgoritmos de construo de reconhecedores sintticosdeterminsticos para linguagens livres de contexto, cuja operaoconsiste exatamente na busca sistemtica de tal seqncia (e,conseqentemente, da correspondente rvore de derivao), se essaseqncia existir, para cada cadeia de entrada que lhe sejasubmetida. Do ponto de vista tecnolgico, esse resultado permite abusca da soluo de implementao mais barata, conforme alinguagem considerada.


Ambigidade

Gramtica livre de contexto ambgua

Por outro lado, o Teorema 4.2 permite estender o conceito degramtica livre de contexto ambgua, que passa a ser caracterizadode trs formas distintas, porm equivalentes entre si. Diz-se que umagramtica livre de contexto ambgua se for possvel identificar, nalinguagem por ela gerada, pelo menos uma cadeia que:

I possa ser derivada por duas ou mais seqncias distintas dederivaes mais esquerda, ou

I possa ser derivada por duas ou mais seqncias distintas dederivaes mais direita, ou

I possa ser representada por duas ou mais rvores de derivaodistintas.


Ambigidade

Exemplo

Exemplo 4.6Considere-se o fragmento de gramtica utilizado para ilustrar o problema daambigidade em comandos condicionais (Exemplo 4.2). De acordo com essagramtica, a forma sentencial:


pode ser derivada segundo duas seqncias distintas de derivaes mais esquerda.Como conseqncia, existem tambm duas rvores de derivao distintas quepossuem como fronteira essa mesma forma sentencial, conforme mostram as Figuras3 e 4.


Ambigidade

Exemplo

if then

if then

else

Figura 3: Ambigidade no comando IF: associao interna


Ambigidade

Exemplo

if then

if then else

Figura 4: Ambigidade no comando IF: associao externa


Simplificao de Gramticas Livres de Contexto

Etapas

Por uma questo de convenincia no estudo das gramticas livres decontexto, muitas vezes necessrio submet-las a simplificaes quevisam torn-las mais apropriadas para a demonstrao de teoremas,para a verificao de propriedades, ou simplesmente para facilitar asua anlise.Tais simplificaes consistem em manipulaes gramaticais que noafetam a linguagem definida pela gramtica original, e so de trstipos (os novos termos sero definidos mais adiante):

1 Eliminao de smbolos inacessveis e inteis;2 Eliminao de produes em vazio;3 Eliminao de produes unitrias.



Smbolo inacessvel

I Diz-se que um smbolo Y V terminal ou no-terminal inacessvel, se no for possvel derivar qualquer forma sentencialem que se registre alguma ocorrncia de Y. Caso contrrio, osmbolo dito acessvel. Formalmente, smbolos acessveis Yso aqueles para os quais existem derivaes da formaS Y , com , V. Smbolos inacessveis, portanto, soaqueles para os quais inexistem derivaes com taiscaractersticas.



Smbolo intil

I Diz-se que um smbolo Y no-terminal intil, se no forpossvel derivar pelo menos uma cadeia formada exclusivamentepor terminais (ou a cadeia vazia) a partir de Y. Caso contrrio, osmbolo dito til. Formalmente, smbolos teis Y so aquelespara os quais existem derivaes da forma Y , com .Smbolos inteis, portanto, so aqueles para os quais inexistemderivaes com tais caractersticas. Cumpre notar que smbolosterminais so, por definio, sempre teis.



Smbolo acessvel e til

Um smbolo Y que seja simultaneamente acessvel e til , portanto,aquele que satisfaz condio:

S Y , com , V,

Em outras palavras, um smbolo Y acessvel e til se e somente se:1 Y est presente em pelo menos uma forma sentencial derivada a

partir da raiz da gramtica, e2 Y deriva pelo menos uma cadeia pertencente ao conjunto

(condio verificada trivialmente pelos smbolos terminais).



Eliminao de smbolos inacessveis e inteis

A transformao de uma gramtica em outra equivalente, isenta desmbolos inacessveis e inteis, pode ser feita em dois passos, atravsde dois algoritmos distintos: o primeiro algoritmo encarrega-se deeliminar da gramtica original os smbolos inteis; o segundoalgoritmo elimina todos os smbolos inacessveis.



Eliminao de smbolos inacessveis e inteis

Teorema 5.1 Toda linguagem livre de contexto pode ser gerada poruma gramtica livre de contexto em que no h smbolos inacessveisou inteis.

A demonstrao deste teorema pode ser realizada tomando-se comobase os dois algoritmos apresentados a seguir. O Algoritmo 5.1mostra como eliminar os no-terminais que no geram cadeias determinais, bem como as produes em que os mesmos comparecem,preservando em N apenas os smbolos do conjuntoN = {Y N | Y , com }.



Eliminao de smbolos inteis

Algoritmo 5.1 Eliminao de smbolos inteis em gramticas livres decontexto.

I Entrada: uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S), tal queL(G) 6= /0.

I Sada: uma gramtica livre de contexto G = (V ,,P,S), tal queL(G) = L(G) e Y N se e apenas se L(Y) 6= /0.



Eliminao de smbolos inteis

Mtodo:1 N0 /0;2 i 1;3 Ni Ni1{Y | Y P e (Ni1)};4 Se Ni 6= Ni1, ento:

1 i i+ 1;2 Desviar para (3);

Caso contrrio:1 N Ni;2 P{A X1X2 . . .Xn P | A,X1,X2, . . . ,Xn (Ni)}.



Eliminao de smbolos inacessveis

Algoritmo 5.2 Eliminao de smbolos inacessveis em gramticas livres decontexto.

I Entrada: uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S).I Sada: uma gramtica livre de contexto G = (V ,,P,S), tal que

L(G) = L(G) e Y V se e apenas se S Y , com , V.



Eliminao de smbolos inacessveis

Mtodo:1 V0{S};2 i 1;3 Vi Vi1{Xj V,1 6 j 6 n | A X1X2 . . .Xn P e A Vi1};4 Se Vi 6= Vi1, ento:


Caso contrrio:1 N ViN;2 Vi;3 P{A X1X2 . . .Xn P | A,X1,X2 . . .Xn Vi}.



Ordem de aplicao dos algoritmos

Teorema 5.2 A obteno de uma gramtica livre de contexto G3,isenta de smbolos inacessveis ou inteis, a partir de uma gramticalivre de contexto G1 qualquer, pode ser feita pela aplicao dosAlgoritmos 5.1 e 5.2 uma nica vez cada, em qualquer seqncia.

Seja G1 = (V1,1,P1,S1). Os smbolos do conjunto V1 podem ser,individualmente, classificados em uma das seguintes categorias:

i) Acessvel e til;ii) Acessvel e intil;iii) Inacessvel e til;iv) Inacessvel e intil.




Alm disso, os Algoritmos 5.1 e 5.2 no criam novos smbolos,tampouco alteram as caractersticas de acessibilidade ou de utilidadedos smbolos da gramtica de entrada que foram preservados nagramtica de sada. Em funo dessas observaes, considerem-seas duas seguintes seqncias possveis para a aplicao dosAlgoritmos 5.1 e 5.2.




1. Inicialmente o Algoritmo 5.1, e depois o Algoritmo 5.2:A aplicao do Algoritmo 5.1 (eliminao de smbolos inteis) gramtica G1 resulta na gramtica G2 = (V2,2,P2,S2), em que ossmbolos de V2 so apenas dos tipos (i) e (iii). Em seguida, aaplicao do Algoritmo 5.2 (eliminao de smbolos inacessveis) gramtica G2 resulta na gramtica G3 = (V3,3,P3,S3), em queos smbolos de V3 so apenas do tipo (i).




2. Inicialmente o Algoritmo 5.2, e depois o Algoritmo 5.1:A aplicao do Algoritmo 5.2 (eliminao de smbolosinacessveis) gramtica G1 resulta na gramticaG2 = (V2,2,P2,S2), em que os smbolos de V2 so apenas dostipos (i) e (ii). Em seguida, a aplicao do Algoritmo 5.1(eliminao de smbolos inteis) gramtica G2 resulta nagramtica G3 = (V3,3,P3,S3), em que os smbolos de V3 soapenas do tipo (i).




Logo, a ordem de aplicao dos algoritmos de eliminao de smbolosinacessveis e inteis irrelevante, e a obteno de uma gramticalivre de contexto, isenta de tais smbolos, pode ser feita pela aplicaode cada um dos correspondentes algoritmos uma nica vez, emqualquer ordem.



Exemplo

Exemplo 5.1Considere-se G = (V,,P,S), com:

V = {S,A,B,C,a,b} = {a,b}P = {S A | B,A aB | bS | b,B AB | Ba,C AS | b}

Aplicando-se o algoritmo de eliminao de no-terminais que no geram cadeias determinais, obtm-se:

N0 = /0N1 = {A,C}N2 = {A,C,S}N3 = {A,C,S}



ExemploContinuao

Logo, G = {V ,,P,S}, com:

V = {S,A,C,a,b}P = {S A,A bS | b,C AS | b}

Note-se que o no-terminal B foi eliminado de N uma vez que no possvel derivarqualquer cadeia de terminais a partir dele. Aplicando-se a G o Algoritmo 5.2, para aeliminao de smbolos inacessveis, obtm-se:

V0 = {S}V1 = {S,A}V2 = {S,A,b}V3 = {S,A,b}



ExemploContinuao

e G = {V ,,P,S}, com:

V = {S,A,b} = {b}P = {S A,A bS | b}

Observe-se a eliminao dos smbolos C e a de V , uma vez que eles nocomparecem em qualquer forma sentencial derivvel a partir de S. G corresponde,assim, a uma gramtica equivalente a G, isenta de smbolos inacessveis e inteis, eL(G) = L(G) = b+.



Produes em vazio

Produes em vazio so produes da forma A , e a totaleliminao de produes desse tipo de uma gramtica G naturalmentes possvel se / L(G).



Produes em vazio

Teorema 5.3 Toda linguagem livre de contexto que no contm acadeia vazia pode ser gerada por uma gramtica livre de contexto emque no h produes em vazio.

O Algoritmo 5.3 mostra como transformar uma gramtica G em outraequivalente G, isenta de produes em vazio. Se L(G), ento seradmitida uma nica produo em vazio, cujo lado esquerdocorresponde raiz da gramtica, de modo que L(G) = L(G).



Produes em vazio

Algoritmo 5.3 Eliminao de produes em vazio em gramticas livres decontexto.

I Entrada: uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S).I Sada: uma gramtica livre de contexto G = (N,,P,S), tal que

L(G) = L(G) ei) Se / L(G), ento no h produes em vazio em G, ouii) Se L(G), ento a nica produo em vazio em G S , onde S a

raiz de G e S no aparece no lado direito de nenhuma produo.



Produes em vazio

Mtodo:

1. E0{A | A P};2. i 1;3. Ei Ei1{A | A X1X2 . . .Xn P e X1,X2 . . .Xn Ei1};4. Se Ei 6= Ei1, ento:


Caso contrrio:1 E Ei1;

5. P /0;6. P{A P | 6= };



Produes em vazio

7. Considerem-se as produes de P no formato:A 0B11B22 . . .Bkk, com i (VE)+ e Bi EA verso final do conjunto P obtida acrescentando-se sua versoanterior o conjunto das produes obtidas pela substituio dossmbolos Bi, 0 6 i 6 k por , considerando-se todas as combinaespossveis, sem no entanto gerar a produo A .

8. Se S E, ento:1 P P{S S | };2 N N {S};

Caso contrrio:1 N N;2 S S.



Produes em vazio

Este algoritmo implementa um mapeamento do conjunto P noconjunto P, em que as seguintes condies so obedecidas:

1 Produes em vazio A P so eliminadas;2 As produes A P, = 12 . . .n, i V, em que contm

smbolos no-terminais que eventualmente derivam , isto ,i , 1 6 i 6 n, so expandidas para contemplar todos ospossveis casos de eliminao desses no-terminais,compensando assim a eliminao das produes em vazio.



Produes em vazio

Os passos (1), (2), (3) e (4) do algoritmo buscam identificar osubconjunto E dos elementos A de N, E N, tais que A , e emmuito se assemelham aos Algoritmos 5.1 e 5.2 anteriormenteapresentados. Os passos (5), (6) e (7) realizam o mapeamento acimadescrito, eliminando as produes em vazio e eventualmenteexpandindo as demais produes.



Produes em vazio

Observe-se que o fato de cada produo de P ser considerada noformato genrico:

A 0B11B22 . . .Bkk

visa isolar exatamente os no-terminais Bi, tais que Bi . A seguirso geradas, a partir de cada produo deste tipo, 2k (no mximo)novas produes distintas, cada qual correspondente a uma particularcombinao de no-terminais Bi substitudos por .Por fim, note-se que se S E, isso indica que L(G). Assim, paraque L(G) = L(G), um novo smbolo no-terminal S e a produoS so introduzidos em G no passo (8).



Exemplo

Exemplo 5.2Seja uma gramtica G = (V,,P,S), com:

V = {S,A,B,C} = {a,b}P = {S ABC,A BB | ,B CC | a,C AA | b}

Como se pode perceber, E = {A,C,B,S}. Em conseqncia, obtm-se o seguinteconjunto de produes P:

{C AA | A | b,B CC | C | a,A BB | B,S ABC | A | B | C | AB | AC | BC}

Pelo fato de S E, a produo S S | deve ainda ser incorporada a P, resultandoassim G = (V {S},,P,S).



Exemplo

Exemplo 5.3Considere-se a gramtica G = (V,,P,S), com

V = {S,B,C} = {a,b,c,d}P = {S aBC,B bB | ,C cCc | d | }

Neste caso, E = {B,C}. Portanto, P se torna:

{B bB | b,C cCc | cc | d,S aBC | aB | aC | a}

Como / L(G), ento G = (V,,P,S).



Produes unitrias

Produes unitrias so produes da forma A B, em que A e Bso no-terminais, e costumam ser descartadas das gramticas livresde contexto porque nada acrescentam s formas sentenciais s quaisso aplicadas, constituindo mera renomeao de smbolos (no caso,de A para B).



Produes unitrias

Teorema 5.4 Toda linguagem livre de contexto pode ser gerada poruma gramtica livre de contexto isenta de produes unitrias.

O Algoritmo 5.4 mostra como transformar gramticas livres decontexto arbitrrias em outras equivalentes sem produes unitrias.



Produes unitrias

Algoritmo 5.4 Eliminao de produes unitrias em gramticas livres decontexto.

I Entrada: uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S).I Sada: uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S), tal que

L(G) = L(G) e G no contm produes unitrias.



Produes unitrias

Mtodo:1 Para cada A N, constri-se NA tal que NA = {B N | A B} da

seguinte forma:1 N0 {A};2 i 1;3 Ni Ni1{C | B C P e B Ni1};4 Se Ni 6= Ni1, ento:

1 i i+1;2 Desviar para (1.c);

Caso contrrio:1 NA Ni1;

2 P{A P | / N};3 Para todo B NA, se B P, e / N, ento P P{A }.



Produes unitrias

I O funcionamento deste algoritmo baseia-se inicialmente naidentificao e na associao de subconjuntos de N a cadano-terminal X da gramtica, sendo que cada elemento Y dessesubconjunto satisfaz condio X Y. Esses subconjuntos soconstrudos no passo (1) do algoritmo.

I Observe-se que a condio X Y refere-se apenas a derivaesefetuadas exclusivamente atravs do emprego de produesunitrias. Em alguns casos, possvel que tal condio sejasatisfeita atravs do emprego de produes no-unitrias, isto ,X Y, | |> 1, como ilustrado no Exemplo 5.4.



Exemplo

Exemplo 5.4Considere-se a gramtica G:

G = ({S,X,Y,a},{a},P,S)P = {S XY,

X a,Y }

A derivao S XY X, ou simplesmente S X, feita sem o uso de regrasunitrias.



Produes unitrias

Para evitar situaes como as do Exemplo 5.4, suficiente garantirque a gramtica em questo no possua regras em vazio, ou,alternativamente, desconsiderar derivaes que faam uso dasmesmas no clculo dos conjuntos NA (passo (1) do Algoritmo 5.4).O conjunto P construdo nos passos (2) e (3). Ele obtido pelaeliminao de todas as produes unitrias de P, preservando-se asdemais e criando novas produes do tipo X , onde Y NX eY P. Isso implica abreviar uma seqncia de derivaes,substituindo cada derivao que utilize produes unitrias peladerivao utilizando as novas produes que produz o efeitofinal pretendido.



Exemplo

Exemplo 5.5Considere-se G = (V,,P,S), com o conjunto de regras P seguinte:

{S A | B | C,A aaAa | B | ,B bBb | b | C,C cC | }

Aplicando-se o Algoritmo 5.4, obtm-se:

NS = {S,A,B,C}NA = {A,B,C}NB = {B,C}NC = {C}



ExemploAssim, G = (V,,P,S), e P torna-se:

{S aaAa | | bBb | b | cC,A aaAa | | bBb | b | cC,B bBb | b | cC | ,C cC | }

A ttulo de ilustrao, considere-se a derivao da sentena aabba. Tomando-se comobase a gramtica G, a seqncia de derivaes desta sentena :

S A aaAa aaBa aabBba aabCba aabba

ao passo que, tomando-se como base a gramtica modificada G, a seqncia dederivao desta sentena se torna:

S aaAa aabBba aabba

(note-se como a eliminao de produes unitrias abrevia a derivao dasentena).



Deteco de ciclos

Diz-se que uma gramtica livre de contexto isenta de produes emvazio acclica se e somente se no existir A N, tal que A A.Caso contrrio, diz-se que a gramtica cclica. O Algoritmo 5.4 podeser facilmente adaptado para detectar ciclos em gramticas livres decontexto isentas de produes em vazio, conforme apresentado noAlgoritmo 5.5.



Deteco de ciclos

Algoritmo 5.5 Deteco de ciclos em gramticas livres de contexto isentasde produes em vazio.

I Entrada: uma gramtica livre de contexto isenta de produes em vazioG = (V,,P,S).

I Sada: SIM, se G for cclica. NO, se G for acclica.



Deteco de ciclos

Mtodo:1 Para cada A N, constri-se NA tal que NA = {B N | A B} da

seguinte forma:1 N0 {B | A B P e B 6= A};2 i 1;3 Ni Ni1{C | B C P e B Ni1};4 Se Ni 6= Ni1, ento:

1 i i+1;2 Desviar para (1.c);

Caso contrrio:1 NA Ni1;

2 Se A N, A / NA, ento NO; caso contrrio, SIM.


Formas Normais para Gramticas Livres de Contexto

Conceito

I Uma gramtica dita normalizada em relao a um certo padroquando todas as suas produes seguem as restries impostaspelo padro em questo;

I comum designar tais padres como formas normais;I Nesta seo sero definidas duas das formas normais mais

importantes para as gramticas livres de contexto: a FormaNormal de Chomsky e a Forma Normal de Greibach;

I Mostrar-se- que toda e qualquer gramtica do tipo 2corresponde a gramticas equivalentes, expressas em ambas asformas normais.



Forma Normal de Chomsky

Diz-se que uma gramtica G = (V,,P,S) do tipo 2 obedece FormaNormal de Chomsky se todas as produes p P forem de uma dasduas formas seguintes:

1 A BC, ou2 A a

com A, B, C N e a .Se L(G), ento admite-se S como nica produo em que comparece do lado direito.




Teorema 6.1 Toda linguagem livre de contexto L pode ser gerada poruma gramtica livre de contexto na Forma Normal de Chomsky.

Seja G uma gramtica livre de contexto qualquer que gera L. Semperda de generalidade, considere-se que G no apresenta produesunitrias, smbolos inteis e nem produes em vazio exceto S ,se L(G). possvel demonstrar formalmente (ver Hopcroft79) queo mapeamento de G em G, a gramtica equivalente na Forma Normalde Chomsky, pode ser efetuado atravs do Algoritmo 6.1.




Algoritmo 6.1 Obteno de uma gramtica livre de contexto na FormaNormal de Chomsky.

I Entrada: uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S) isenta deprodues unitrias, smbolos inteis e produes em vazio.

I Sada: uma gramtica livre de contexto G = (V ,,P,S), na FormaNormal de Chomsky, tal que L(G) = L(G).




Mtodo:1. P /0;2. N N;3. Se A BC P, com A,B,C N, ento A BC P;4. Se A P, com A N, , ento A P;5. Se S P, ento S P;6. Para cada produo p P da forma:

A X1X2, . . . ,Xn, com n > 2se Xi , ento criam-se novos no-terminais Yi e produes Yi Xisubstituindo-se as ocorrncias de Xi por Yi em p. Acrescentam-se osnovos no-terminais Yi a N e as novas produes a P.




7. Para cada produo da forma:A X1X2, . . . ,Xn, com n > 2 e Xi N, 1 6 i 6 ngerada no passo (6), criar um novo conjunto de no-terminais Zi e deprodues da forma:

{A X1Z1,Z1 X2Z2,

. . .

Zn2 Xn1Xn}

acrescentando-os, respectivamente, aos conjuntos N e P.



Exemplo

Exemplo 6.1Considere-se a gramtica G = (V,,P,S) com N = {E,T,F} e o conjunto de

produes P apresentado abaixo:

{E E + T | T,T T F | F,F (E) | a}



ExemploDa aplicao do algoritmo acima resulta G = (V ,,P,S), com:

N = {E,T,F,X0,X1,X2,X3,W0,W1,W2}P = {E EW0|TW1|X2W2|a,

W0 X0T,W1 X1F,W2 EX3,T TW1|X2W2|a,F X2W2|a,X0+,X1,X2 (,X3)}



Forma Normal de Greibach

Diz-se que uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S) obedece Forma Normal de Greibach se todas as suas produes p P foremda forma:

A , , N

Se L(G), ento admite-se S como nica produo em que comparece do lado direito. Como pr-requisito antes deapresentarmos o teorema que mostra como converter gramticaslivres de contexto quaisquer em equivalentes na Forma Normal deGreibach, ser necessrio apresentar um algoritmo que permitaeliminar recurses esquerda em gramticas livres de contextoquaisquer.




Eliminar recurses esquerda de uma gramtica livre de contextoG = (V,,P,S) significa obter G = (V ,,P,S), de modo queL(G) = L(G) e nenhum A N seja recursivo esquerda. A eliminaode recurses esquerda em gramticas livres de contexto pode serfeita atravs de um algoritmo cuja idia bsica consiste emtransformar G, com no-terminais ordenados arbitrariamente, em G,de modo que Xi Xj pertence a P se e apenas se j > i.Sem perda de generalidade, admite-se que a gramtica G de entradaseja isenta de produes unitrias, smbolos inteis e produes emvazio.




Teorema 6.2 Toda linguagem livre de contexto L pode ser gerada poruma gramtica livre de contexto na Forma Normal de Greibach.

Pode ser desenvolvida a partir do Algoritmo 6.2, que permite aconverso de uma gramtica livre de contexto qualquer em outraequivalente na Forma Normal de Greibach.




Algoritmo 6.2 Obteno de uma gramtica livre de contexto na FormaNormal de Greibach.

I Entrada: uma gramtica livre de contexto G = (V,,P,S) isenta deprodues unitrias, smbolos inacessveis, smbolos inteis, produesem vazio e recurses esquerda, tal que L = L(G).

I Sada: uma gramtica livre de contexto G = (V ,,P,S) na FormaNormal de Greibach, tal que L(G) = L(G).


Autmatos de Pilha

Conceito

I Os autmatos de pilha constituem a segunda instncia, em umaescala de complexidade crescente, do modelo genrico dereconhecedor introduzido anteriormente, prestando-se aoreconhecimento de linguagens livres de contexto;

I Diferentemente dos autmatos finitos, que no se utilizam damemria auxiliar prevista no modelo genrico, os autmatos depilha tm o seu poder de reconhecimento estendido, quandocomparado ao dos autmatos finitos, justamente peladisponibilidade e pela utilizao de uma memria auxiliarorganizada na forma de uma pilha.


Autmatos de Pilha

Pilha

A pilha de um autmato de pilha pode ser entendida como umaestrutura de dados, de capacidade ilimitada, na qual a mquina deestados capaz de armazenar, consultar e remover smbolos de umalfabeto prprio, denominado alfabeto de pilha, segundo aconveno usual para estruturas deste tipo (LIFO last-in-first-out).Quanto aos seus demais componentes e caractersticas, o autmatode pilha se assemelha ao autmato finito anteriormente estudado.


Autmatos de Pilha

DefinioFormalmente, um autmato de pilha pode ser definido como umastupla M:

M = (Q,,, ,q0,Z0,F)onde:

Q um conjunto finito de estados; um alfabeto (finito e no-vazio) de entrada; um alfabeto (finito e no-vazio) de pilha; uma funo de transio Q ({}) 2Q ;

q0 o estado inicial de M, q0 Q;Z0 o smbolo inicial da pilha, Z0 ;F o conjunto de estados finais de M, F Q.

Dos sete elementos que compem este sistema formal, apenas trsmerecem explicao adicional , e Z0 , uma vez que os demaisesto em correspondncia direta com o que j foi estudado para ocaso dos autmatos finitos.


Autmatos de Pilha

Smbolo inicial da pilha

Note-se, inicialmente, a presena de um alfabeto de pilha e de umsmbolo inicial de pilha Z0. O alfabeto de pilha especifica os smbolosque podem ser armazenados na pilha. Por conveno, um dessessmbolos, denotado Z0, representa o contedo inicial da pilha toda vezque o autmato de pilha principia o reconhecimento de uma novasentena. Ao longo de sua operao, elementos de soacrescentados e/ou removidos da pilha, e seu contedo total pode serinterpretado, em um dado instante, como sendo um elemento de .Por conveno, cadeias de que representam o contedo da pilha emum determinado instante so interpretadas considerando-se ossmbolos mais esquerda da cadeia no topo da pilha, e os smbolosmais direita da cadeia no fundo da pilha.


Autmatos de Pilha

Funo de transio

Observe-se que, a partir do formato geral apresentado acima para afuno de transio em autmatos de pilha no-determinsticos ecom transies em vazio, possvel extrair os seguintes casosparticulares, equivalentes aos estudados do Captulo 3, para osautmatos finitos:

I Autmato de pilha determinstico sem transies em vazio: : Q Q

I Autmato de pilha determinstico com transies em vazio: : Q ({}) Q

I Autmato de pilha no-determinstico sem transies em vazio:Q 2Q

I Autmato de pilha no-determinstico com transies em vazio:Q ({}) 2Q


Autmatos de Pilha

Exemplo

Exemplo 7.1Considere-se = {1,2,3,4}. A cadeia 2144, por exemplo, representa ocontedo da pilha conforme ilustrado na Figura 5. Note-se que 2 se encontra no topoda pilha e que 4 se encontra no fundo da mesma:

Figura 5: Pilha com ponteiro de topo


Autmatos de Pilha

Stack pushdown

Os dispositivos que fazem uso de pilha costumam definir a forma deoperao da mesma como uma das seguintes possibilidades:

I Pilha Stack: alm das operaes de empilhamento edesempilhamento de elementos no topo da pilha (push e pop),permite que os demais elementos da mesma sejam endereadosdiretamente, somente para consulta;

I Pilha Pushdown: permite o acesso apenas ao elementoarmazenado no topo da pilha, atravs das operaes deempilhamento e desempilhamento (push e pop). No permiteo endereamento dos demais elementos da pilha.

A definio de autmato de pilha neste texto considera que a suamemria auxiliar seja uma pilha pushdown.


Autmatos de Pilha

Configurao e configurao inicial

A configurao de um autmato de pilha definida pelo seu estadocorrente, pela parte da cadeia de entrada ainda no analisada e pelocontedo da pilha. A configurao inicial de um autmato de pilha aquela em que o autmato se encontra no estado inicial q0, o cursorse encontra posicionado sob a clula mais esquerda na fita deentrada e o contedo da pilha Z0. Algebricamente, a configurao deum autmato de pilha pode ser representada como uma tripla(q, ,) Q.A configurao inicial para o reconhecimento de uma cadeia w representada como (q0,w,Z0).


Autmatos de Pilha

Movimentao

I As possibilidades de movimentao de um autmato de pilha emuma dada configurao so determinadas a partir de trsinformaes: o seu estado corrente, o prximo smbolo presentena cadeia de entrada e o smbolo armazenado no topo da pilha;

I Observe-se, pela definio da funo , a possibilidade demovimentaes em vazio, sem consumo de smbolos da fita deentrada, e tambm a possibilidade de serem especificadastransies no-determinsticas;

I Note-se tambm a obrigatoriedade, imposta por essa formulao,de se consultar o smbolo presente no topo da pilha em toda equalquer transio efetuada pelo autmato.


Autmatos de Pilha

Movimentao

I Aps a aplicao de uma transio, o cursor de leitura sofre umdeslocamento de uma posio para a direita, e o smbolopresente no topo da pilha removido, sendo substitudo pelacadeia de smbolos especificada no lado direito da transio;

I No caso de transies em vazio, em que no h consulta desmbolo na fita de entrada, a posio do cursor permaneceinalterada aps a sua aplicao.


Autmatos de Pilha

Movimentao

I Desejando-se efetuar alguma transio de forma independentedo contedo do topo da pilha, torna-se necessrio especificarpara cada elemento do alfabeto de pilha uma transio que efetueo mesmo tratamento do smbolo de entrada, removendo ereinserindo o mesmo smbolo da pilha, simulando assim umatransio independente do contedo da pilha.


Autmatos de Pilha

Autmato determinstico

Para cada tripla (q, ,) pertencente ao domnio da funo , oelemento (q, ,) pode conter zero, um ou mais elementos de Q.Considere-se inicialmente o caso em que 6= . Havendo zeroelementos em (q, ,), isso indica que no h possibilidade demovimentao a partir da configurao considerada. Havendo umnico elemento, isso significa que h apenas uma possibilidade demovimentao e, portanto, a transio determinstica. Quando todasas transies de um autmato de pilha so determinsticas, diz-se queo mesmo determinstico.


Autmatos de Pilha

Autmato no-determinstico

Nos casos em que h mais de um elemento em (q, ,), issosignifica que h mais de uma opo de movimentao a partir destaconfigurao, e ento a transio dita no-determinstica. Havendopelo menos uma transio no-determinstica, diz-se que o autmatode pilha no-determinstico.


Autmatos de Pilha

Autmato no-determinstico

Autmatos de pilha no-determinsticos e com transies em vazioapresentam um comportamento dinmico determinstico quando asduas seguintes condies forem simultaneamente verificadas:

1 q Q, , se |( ,q, ,)| > 1, ento | (q, ,)|= 0, ;2 q Q, , {}, | (q, ,))|6 1.


Autmatos de Pilha

Determinismo no-determinismo

I Diferentemente do que foi visto para o caso dos autmatos finitos,no que se refere equivalncia dos modelos determinstico eno-determinstico quanto classe de linguagens que socapazes de reconhecer, os autmatos de pilha no apresentamcorrespondente equivalncia;

I Conforme ser visto mais adiante, os autmatos de pilhadeterminsticos so capazes de reconhecer apenas umsubconjunto das linguagens livres de contexto;

I Por esse motivo, exceto por ressalvas em sentido contrrio, osautmatos de pilha mencionados daqui em diante serono-determinsticos.


Autmatos de Pilha

Movimentao

A movimentao de um autmato de pilha de uma configurao paraa configurao seguinte denotada pelo smbolo `, que representaa relao:

`: Q Q

Estando o autmato de pilha em uma configurao (qi, ,), comqi Q, , , e , sua movimentao a partir dessaconfigurao para a seguinte, como decorrncia da aplicao de umatransio (qi, ,) = (qj,), com , representada por:

(qi, ,) ` (qj, ,)


Autmatos de Pilha

Movimentao

A aplicao de transies em vazio, em que no h consumo desmbolo, representada de maneira similar atravs de:

(qi, ,) ` (qj, ,)Da mesma forma que no caso dos autmatos finitos, a aplicao dezero ou mais transies entre duas configuraes quaisquer representada atravs do smbolo `, e a aplicao de no mnimo umatransio, por intermdio do smbolo `+.


Autmatos de Pilha

Configurao final

A configurao final de um autmato de pilha costuma sercaracterizada de duas maneiras distintas, porm equivalentes. Naprimeira delas, exige-se o esgotamento da cadeia de entrada etambm que o autmato atinja um estado final. Nesta caracterizao,o contedo final da pilha irrelevante. Na segunda caracterizao,exige-se o esgotamento da cadeia de entrada e tambm que a pilhatenha sido completamente esvaziada, no importando que o estadoatingido seja final ou no-final.Dependendo do tipo de definio adotada para caracterizar aconfigurao final de um autmato de pilha, possvel definir, tambmde duas maneiras distintas, a linguagem aceita pelo dispositivo.


Autmatos de Pilha

Critrio de aceitao estado final

A linguagem aceita por um autmato de pilha M, com base no critriode estado final, denotada L(M), definida como:

L(M) = {w | (q0,w,Z0) ` (q, ,),q F, }


Autmatos de Pilha

Critrio de aceitao pilha vazia

Analogamente, a linguagem aceita por um autmato de pilha M, combase no critrio de pilha vazia, denotada V(M), definida como:

V(M) = {w | (q0,w,Z0) ` (q, ,),q Q}


Autmatos de Pilha

Notao

Com o intuito de facilitar a leitura do texto no restante deste captulo,as transies de um autmato de pilha sero denotadas como:

(qi, ,X) (qj,)

indicando, com isso, o par ordenado ((qi, ,X),(qj,)) pertencente funo , ou, simplesmente, (qi, ,X) = (qj,).


Autmatos de Pilha

Exemplo

Exemplo 7.2Seja M1 o autmato de pilha determinstico abaixo discriminado, cujo critrio deaceitao de sentenas baseado no esvaziamento da pilha.

Q = {q0,q1} = {a,b,c} = {Z0,C} = {(q0,a,Z0) {(q0,CCZ0)},

(q0,a,C) {(q0,CCC)},(q0,b,Z0) {(q1,Z0)},(q0,b,C) {(q1,C)},(q1,c,C) {(q1,)},(q1,,Z0) {(q1,)}}

F = /0


Autmatos de Pilha

ExemploDeve-se notar, em primeiro lugar, que o determinismo deste autmato decorre do fatode que a funo exibe no mximo um elemento para cada combinao possvel deestado, smbolo de entrada e smbolo no topo da pilha, e tambm porque inexistemtransies em vazio que se refiram a pares de estado e smbolo no topo da pilhaconsiderados nas transies no-vazias: note-se que a nica transio em vazio desteautmato ocorre no estado q1, com um smbolo do alfabeto de pilha (Z0) diferente doutilizado na transio no-vazia desse mesmo estado (C).A linguagem definida por M1 :

V1(M1) = {w | (q0,w,Z0) ` (q,,),q Q}

Como conseqncia, o conjunto de sentenas capazes de conduzir este autmato aconfiguraes finais, com base no critrio de pilha vazia, e portanto a linguagem porele definida, o seguinte:

V1(M1) = {aibc2i | i > 0}


Autmatos de Pilha

Exemplo

Considerem-se algumas sentenas desta linguagem e a correspondente seqncia demovimentos executada pelo autmato durante o seu reconhecimento:

1 Sentena: bMovimentos: (q0,b,Z0) ` (q1,,Z0) ` (q1,,)

2 Sentena: abccMovimentos: (q0,abcc,Z0) ` (q0,bcc,CCZ0) ` (q1,cc,CCZ0) ` (q1,c,CZ0) `(q1,,Z0) ` (q1,,)

3 Sentena: aabccccMovimentos: (q0,aabcccc,Z0) ` (q0,abcccc,CCZ0) ` (q0, bcccc, CCCCZ0) `(q1, cccc, CCCCZ0) ` (q1,ccc,CCCZ0) ` (q1,cc,CCZ0) `(q1,c,CZ0) ` (q1,,Z0) ` (q1,,)


Autmatos de Pilha

Exemplo

Tome-se agora como exemplo duas sentenas que no pertencem linguagemdefinida por este autmato, e as correspondentes seqncias de configuraes:

1 Sentena: abcccMovimentos:(q0,abccc,Z0) ` (q0,bccc,CCZ0) ` (q1,ccc,CCZ0) ` (q1,cc,CZ0) `(q1,c,Z0)

2 Sentena: aabcccMovimentos: (q0,aabccc,Z0) ` (q0,abccc,CCZ0) ` (q0, bccc, CCCCZ0) `(q1, ccc, CCCCZ0) ` (q1,cc,CCCZ0) ` (q1,c,CCZ0) ` (q1,,CZ0)


Autmatos de Pilha

Diagramas de estado

Convm, neste ponto, introduzir uma extenso na notao dosDiagramas de Estado estudados para o caso dos autmatos finitos,com o intuito de permitir a representao grfica tambm dosautmatos de pilha. Diferentemente dos Diagramas de Estadodefinidos para os autmatos finitos, os arcos entre dois estados p e qso rotulados com cadeias da forma:

( ,Z)/ , com ,Z e

para cada produo (p, ,Z) = (q,).


Autmatos de Pilha

Exemplo

Exemplo 7.3O autmato M2, ilustrado na Figura 6, com critrio de aceitao baseado no

esvaziamento da pilha, reconhece a linguagem:

V2(M2) = {a2ibci | i > 0}

q0 q1 q2 q3(a,Z0)/X

(a,X)/X

(a,X)/XX

(b,X)/X

(c,X)/(b,Z0)/

Figura 6: Autmato de pilha do Exemplo 7.3


Autmatos de Pilha

ExemploExemplo 7.4Considere-se o autmato de pilha no-determinstico M3 a seguir apresentado, cujo

critrio de aceitao de sentenas baseado em estado final.

Q = {q0,q1,q2,q3,q4} = {a,c} = {Z0,C} = {(q0,a,Z0) {(q1,CCZ0),(q2,CZ0)},

(q1,a,C){(q1,CCC)},(q1,c,C) {(q3,)},(q2,a,C){(q2,CC)},(q2,c,C) {(q3,)},(q3,c,C) {(q3,)},(q3,,Z0){(q4,Z0)}}

F = {q4}


Autmatos de Pilha

Exemplo

q0

q1

q2

q3 q4

(a,C)/CCC

(a,C)/CC

(a,Z0)/CCZ0

(a,Z0)/CZ0

(c,C)/ (,Z0)/Z0

(c,C)/ (c,C)/

Figura 7: Autmato de pilha do Exemplo 7.4


Autmatos de Pilha

Exemplo

A operao deste autmato exemplificada a seguir atravs do reconhecimento dasseguintes sentenas:

1 Sentena: aaccMovimentos: (q0,aacc,Z0) ` (q2,acc,CZ0) ` (q2,cc,CCZ0) ` (q3,c,CZ0) `(q3,,Z0) ` (q4,,Z0)

2 Sentena: aaccccMovimentos: (q0,aacccc,Z0) ` (q1,acccc,CCZ0) ` (q1, cccc, CCCCZ0) ` (q3,ccc, CCCZ0) ` (q3,cc,CCZ0) ` (q3,c,CZ0) ` (q3,,Z0) ` (q4,,Z0)

Note-se que o reconhecimento, em ambos os casos, pde ser bem-sucedido j naprimeira seqncia de movimentos, uma vez que a escolha da transio a ser aplicadana configurao inicial foi corretamente adivinhada nas duas situaes.


Autmatos de Pilha

Exemplo

No entanto, a escolha da transio a ser aplicada na configurao inicial do primeirocaso poderia ter sido diferente da apresentada, e neste caso ocorreria o seguinte:

1 Sentena: aaccMovimentos: (q0,aacc,Z0) ` (q1,acc,CCZ0) ` (q1,cc,CCCCZ0) `(q3,c,CCCZ0) ` (q3,,CCZ0)


Autmatos de Pilha

Exemplo

Figura 8: Aceitao em autmato de pilha no-determinstico do Exemplo7.4


Autmatos de Pilha

ExemploConsidere-se, agora, o caso de uma cadeia aac que no pertena linguagemdefinida por este autmato. Conforme ilustrado na Figura 9, a rejeio desta cadeiaocorre apenas aps o fracasso do reconhecimento em todas as seqncias possveisde movimentao (duas, para este autmato):

Figura 9: Rejeio em autmato de pilha no-determinstico do Exemplo 7.4


Autmatos de Pilha

Exerccios

Obter autmatos de pilha (determinsticos ou no-determinsticos) queaceitem cada uma das seguintes linguagens:

1 {aibi|i > 0}, com aceitao por estado final;2 {aibi|i > 0}, com aceitao por pilha vazia;3 {aibi|i > 1}, com aceitao por estado final;4 {aibi|i > 1}, com aceitao por pilha vazia;5 {ab}, com aceitao por estado final;6 {ab}, com aceitao por pilha vazia;7 {aibci|i > 0}, com aceitao por estado final;8 {aibci|i > 0}, com aceitao por pilha vazia;9 {aibci|i > 1}, com aceitao por estado final;10 {aibci|i > 1}, com aceitao por pilha vazia.


Autmatos de Pilha

Transies em vazio

Para finalizar, cumpre notar que, de acordo com a definio, osautmatos de pilha so capazes de efetuar movimentosindependentemente da existncia de smbolos na fita de entrada,atravs das chamadas transies em vazio, ao passo que oesvaziamento da pilha necessariamente impede qualquerpossibilidade de movimentao futura. Ambos estes fatos seroutilizados em seguida para demonstrar a equivalncia dos critrios deaceitao por estado final e por pilha vazia.


Autmatos de Pilha

Equivalncia dos critrios de aceitao

A classe de linguagens aceita por autmatos de pilhano-determinsticos com critrio de aceitao baseado em estado final idntica classe de linguagens aceita por autmatos de pilhano-determinsticos com critrio de aceitao baseado em pilha vazia.A importncia desse resultado deve-se liberdade de escolha que eleoferece quando se pretende demonstrar algum teorema relativo aosautmatos de pilha e s linguagens livres de contexto, podendo-seoptar indistintamente entre um e outro critrio de aceitao, semprejuzo para a sua generalizao.


Autmatos de Pilha

Estado final pilha vazia

Teorema 7.1 Seja M um autmato de pilha no-determinstico comcritrio de aceitao baseado em estado final. Ento, possveldefinir um autmato de pilha no-determinstico M com critrio deaceitao baseado em pilha vazia, de modo que L(M) = V(M)

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