Linier Programming Model Transportasi

Linear Programming ;

Model Transportasi

/ Alex Fiter Of Brian

MODEL TRANSPORTASI

Model transportasi merupakan perluasan dari persoalan LP, dalam model transportasi

dibahas mengenai penentuan rencana biaya minimum (minimum cost) untuk

transportasi (pengangkutan) single commodity dari sejumlah lokasi sumber (sources)

seperti pabrik, lokasi penambangan, pelabuhan, dsb ke sejumlah lokasi tujuan

(destinations) seperti gudang, pusat distribusi, wilayah pemasaran, dsb.

Model transportasi dapat juga digunakan untuk persoalan inventory controll,

employment schedulling, personal assignment, dsb.

Pada dasarnya masalah transportasi merupakan masalah LP yang dapat diselesaikan

dengan metode simpleks. Karena metode simpleks menimbulkan penyelesaian yang

lebih sulit, maka penyelesaian masalah transportasi akan lebih mudah dengan

menggunakan metode Stepping Stone, Vogel’s Approximation Methods (VAM), dan

metode MODI (Modified Distribution).

Agar suatu masalah transportasi dapat dibuat model transportasi dan tabel

transportasinya, maka masalah transportasi tersebut harus memiliki data mengenai

tingkat supply atau kapasitas setiap lokasi sumber, tingkat demand setiap lokasi tujuan,

dan biaya transportasi per unit komoditas dari setiap lokasi sumber ke lokasi tujuan.

Karena hanya terdiri dari satu komoditi (single commodity), maka suatu lokasi tujuan

dapat memenuhi permintaannya dari satu lokasi sumber. Tujuan dari model transportasi

adalah menentukan jumlah yang dapat dikirim dari setiap lokasi sumber ke setiap lokasi

tujuan yang memberikan total biaya transportasi minimum.

Suatu perusahaan memiliki tiga pabrik yang berlokasi di tiga kota yang berbeda dengan

kapasitas produksi per bulan adalah : Pabrik A = 90, Pabrik B = 60, dan Pabrik C = 50.

Perusahaan tersebut juga mempunyai tiga gudang penyimpanan hasil produksinya yang

berlokasi di tiga kota yang berbeda dengan jumlah permintaan per bulan adalah :

Gudang I = 50, Gudang II = 110, dan Gudang III = 40. Diketahui biaya transportasi dari

setiap pabrik ke setiap Gudang adalah sebagai berikut :

Gudang I Gudang II Gudang III

Pabrik A 20 5 8

Pabrik B 15 20 10

Pabrik C 25 10 19


Model Transportasi


Tentukan total biaya transportasi minimum dengan menggunakan (a) metode Stepping

Stone, (b) VAM, dan (c) Metode MODI

JAWAB :

Periksa dulu apakah Total Demand (TD) dengan Total Supply (TS) sama atau tidak.

Jika TD = TS, maka dikatakan Tabel Transportasi seimbang (equilibrium), jadi tidak

perlu ada kolom dummy (tujuan dummy) maupun baris dummy (sumber dummy).

Jika TD > TS, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan baris dummy (sumber

dummy).

Jika TD < TS atau TS > TD, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan kolom

dummy atau tujuan dummy.

Dalam soal ini TD = 200 dan TS = 200, jadi tidak perlu ada kolom maupun baris

dummy.

Tentukan tabel transportasi awal dengan metode NWC (North-West Corner), sehingga

diperoleh :

Lokasi Tujuan (Destination)


TOTAL

SUPPLY

PABRIK A 50 20

40 5

8 90

PABRIK B

15

60 20

10 60

PABRIK C

25

10 10

40 19

50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

TC0 = 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3260

Metode Stepping Stone adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah

transportasi (TC yang minimum), metode ini bersifat trial and error, yaitu dengan

mencoba-coba memindahkan sel yang ada isinya (stone) ke sel yang kosong (water).

Tentu saja pemindahan ini harus mengurangi biaya, untuk itu harus dipilih sedemikian

Loka

si S

umbe

r (s

ourc

es)


Model Transportasi


rupa sel-sel kosong yang biaya transportasinya kecil dan memungkinkan dilakukan

pemindahan.

Kita mulai dari sudut kiri atas (NWC), sel B – I akan kita isi, jika satu unit dipindahkan

dari sel A – I ke sel B – 1 dan supaya tetap jumlahnya seimbang berarti satu unit juga

dipindahkan dari sel B – II ke sel A – II, maka biaya transportasi akan berkurang sebanyak

(20 – 15) + (20 – 5) = 20. Jika dipindahkan sebanyak 50, maka total biaya transportasi

akan berkurang sebanyak 1000.

Selanjutnya diperoleh Tabel Transportasi perbaikan yang pertama, sebagai berikut:

Tabel Transportasi Perbaikan Pertama


Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL

SUPPLY

PABRIK A

20

90

5

8 90

PABRIK B 50

15

10

20

10 60

PABRIK C

25

10

10

40

19 50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

TC1 = 90(5) + 50(15) + 10(20) + 10(10) + 40(19) = 2260

Selanjutnya kita pilih sel dengan biaya transportasi terkecil dan memungkinkan dilakukan

pemindahan. Dalam hal ini kita pindahkan satu unit dari sel C – III ke sel A – III agar

jumlahnya tetap seimbang dipindahkan juga satu unit dari sel A – II ke sel C – II.

Pemindahan ini mengurangi biaya (19 – 8) + ( 5 – 10) = 6. Jika dipindahkan sebanyak 40,

maka total biaya transportasi berkurang sebanyak 240. Selanjutnya diperoleh Tabel

Transportasi perbaikan kedua sebagai berikut:

Tabel Transportasi Perbaikan Kedua



SUPPLY

PABRIK A

20

50

5

40

8 90

Lo

kasi

Su

mb

er (

sou

rces

) L

oka

si S

um

ber

(so

urc

es)


Model Transportasi


PABRIK B 50

15

10

20

10 60

PABRIK C

25

50

10

19 50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

TC2 = 50(5) + 40(8) + 50(15) + 10(20) + 50(10) = 2020

Selanjutnya jika dipindahkan satu unit dari sel B – II ke sel B – III agar jumlahnya tetap

seimbang dipindahkan juga sebanyak satu unit dari sel A – III ke sel A – II. Pemindahan

ini mengurangi biaya (20 – 10) + (8 – 5) = 13. Jika dipindahkan sebanyak 10 unit, maka

total biaya transportasi akan berkurang sebanyak 130.

Tabel Transportasi Perbaikan Ketiga



SUPPLY

PABRIK A

20

60

5

30

8 90

PABRIK B 50

15

20

10

10 60

PABRIK C

25

50

10

19 50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

TC3 = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890

Jadi Total biaya transportasi mínimum (solusi optimal) yang diperoleh dengan metode

Stepping Stone sebesar 1890.

VAM (Vogel’s Approximation Methods) adalah metode untuk mendapatkan solusi

optimal masalah transportasi (TC mínimum). Metode ini bersifat semi eksak dan lebih

eksak dibanding Metode Stepping Stone. Metode ini menerapkan algoritma sebagai

berikut: (1) Tentukan perbedaan dua biaya terkecil untuk masing-masing kolom dan baris,

(2) Tentukan perbedaan terbesar hasil langkah ke – 1, (3) Tentukan sel yang akan diisi

dengan cara memilih sel yang memiliki biaya transportasi terkecil pada kolom atau baris

terpilih pada langkah ke – 2, dan (4) hapuslah baris atau kolom yang salah sel-selnya

telah disisi dengan kapasitas penuh (sama dengan TS atau TD). Ulangi algoritma tersebut

sampai dengan TS dan TD habis disikan ke sel-sel yang telah ditentukan.

Lo

kasi

Su

mb

er (

sou

rces

)


Model Transportasi


Perhatikan Tabel Biaya Transportasi sebagai berikut:

Tabel 1

Gudang I Gudang II Gudang III Total

Supply

(TS)

Beda

Baris

(BB)

Pabrik A 20 5 8 90 3

Pabrik B 15 20 10 60 5

Pabrik C 25 10 19 50 9

Total Demand (TD) 50 110 40 200

Beda Kolom (BK) 5 5 2

Perhatikan Tabel 1 tersebut BB dan BK terbesar adalah 9, jadi terpilih baris C. Pada baris

C biaya terkecil adalag 10, berarti sel C – II diisi sebanyak 50. Jadi TD Gudang II bersisa

60 dan TS Pabrik C habis, sehingga baris C dihapus. Tabelnya menjadi:

Tabel 2

Gudang I Gudang II Gudang III Total

Supply

(TS)

Beda

Baris

(BB)

Pabrik A 20 5 8 90 3

Pabrik B 15 20 10 60 5

Total Demand (TD) 50 60 40 150

Beda Kolom (BK) 5 15 2

Perhatikan Tabel 2 tersebut BB dan BK terbesar adalah 15, jadi terpilih kolom II. Pada

Kolom II biaya terkecil adalah 5, berarti sel A – II diisi sebanyak 60. Jadi TS Pabrik A

bersisa 30 dan TD Gudang II habis, sehingga Kolom II dihapus. Tabelnya menjadi:

Tabel 3

Gudang I Gudang III Total

Supply

(TS)

Beda

Baris

(BB)

Pabrik A 20 8 30 12

Pabrik B 15 10 60 5

Total Demand (TD) 50 40 90

Beda Kolom (BK) 5 2

Perhatikan Tabel 3 tersebut BB dan BK terbesar adalah 12, jadi terpilih baris A. Pada baris

A biaya terkecil adalah 8, berarti sel A – III diisi sebanyak 30. Jadi TD Gudang III bersisa

10 dan TS Pabrik A habis, sehingga baris A dihapus. Tabelnya menjadi:

Tabel 4


Model Transportasi


Gudang I Gudang III Total

Supply

(TS)

Beda

Baris

(BB)

Pabrik B 15 10 60 5

Total Demand (TD) 50 10 60

Beda Kolom (BK) - -

Perhatikan Tabel 4, karena tersisa satu baris saja, maka sel B – I diisi sebanyak 50 dan sel

B – III diisi sebanyak 10. Dalam hal ini TD dan TS telah habis dipindahkan ke sel-sel

terpilih, yaitu:

Sel C – II diisi sebanyak 50

Sel A – II diisi sebanyak 60

Sel A – III diisi sebanyak 30

Sel B – I diisi sebanyak 50

Sel B – III diisi sebanyak 10

Tabel Transportasi optimal dengan VAM diperoleh sebagai berikut:



SUPPLY

PABRIK A

20

60

5

30

8 90

PABRIK B 50

15

20

10

10 60

PABRIK C

25

50

10

19 50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

TC3 = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890

Metode MODI (Modified Distribution) adalah metode untuk mendapatkan solusi

optimal masalah transportasi (total biaya transportasi mínimum). Metode ini bersifat eksak

dan juga disebut sebagai metode multiplier, karena dalam penghitungannya menggunakan

multiplier, yaitu multiplier baris (ui) dan multiplier kolom (vj). Metode MODI

menggunakan algoritma: (1) Menentukan ui dan vj dengan memperhatikan basic variable,

yaitu sel (kotak) yang ada isinya dan menggunakan rumus ui + vj = cij, (2) Menentukan

indeks perbaikan, yaitu dengan memperhatikan sel (kotak) yang kosong dan dengan

menggunakan rumus Indeks Perbaikan = cij – ui – vj, (3) Isilah sel kosong yang

mempunyai Indeks Perbaikan negatif yang dimulai dari sel kosong dengan indeks

perbaikan negatif terbesar, (4) Ulangi langkah (1) s/d (3), jika Indeks Perbaikan telah

Lo

kasi

Su

mb

er (

sou

rces

)


Model Transportasi


positif semua berarti solusi optimal telah tercapai dan tidak ada sel kosong yang harus

diisi.

Perhatikan tabel transportasi awal seperti contoh sebelumnya, yaitu:


v1 = 20 v2 = 5 v3 = 14


TOTAL

SUPPLY

PABRIK A 50 20

40 5

8 90

PABRIK B

15

60 20

10 60

PABRIK C

25

10 10

40 19

50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

Untuk menentukan multiplier ui dan vj, perhatikan sel yang ada isinya (basic var):

Sel 1 – 1: u1 + v1 = c11 → 0 + v1 = 20 → v1 = 20

Sel 1 – 2: u1 + v2 = c12 → 0 + v2 = 5 → v2 = 5

Sel 2 – 2: u2 + v2 = c22 → u2 + 5 = 20 → u2 = 15

Sel 3 – 2: u3 + v2 = c32 → u3 + 5 = 10 → u3 = 5

Sel 3 – 3: u3 + v3 = c33 → 5 + v3 = 19 → v3 = 14

Untuk menentukan indeks perbaikan, perhatikan sel-sel kosong dan diperoleh tabel sebagai

berikut:

Sel Kosong Indeks Perbaikan

Sel 1 – 3 8 – 0 – 14 = – 6

Sel 2 – 1 15 – 15 – 20 = – 20

Sel 2 – 3 10 – 15 – 14 = – 19

Sel 1 – 3 25 – 5 – 20 = 0

Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai dari sel

dengan negatif terbesar. Isi sel 2 – 1 dan diperoleh tabel transportasi berikut:



SUPPLY

PABRIK A

20

90

5

8 90

Loka

si S

umbe

r (s

ourc

es)

u1 = 0

u2 = 15

u3 = 5

Lo

kasi

Su

mb

er (

sou

rces

)


Model Transportasi


PABRIK B 50

15

10

20

10 60

PABRIK C

25

10

10

40

19 50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

Berikutnya isi sel 2 – 3 dan diperoleh tabel berikut:



SUPPLY

PABRIK A

20

90

5

8 90

PABRIK B 50

15

20

10

10 60

PABRIK C

25

20

10

30

19 50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

Berikutnya isi sel 1 – 3 dan diperoleh tabel berikut, kemudian dihitung multiplier ui dan vj:


v1 = 13 v2 = 5 v3 = 8


TOTAL

SUPPLY

PABRIK A 20

60 5

30

8 90

PABRIK B 50

15

20

10

10 60

PABRIK C

25

50 10

19

50

TOTAL

DEMAND 50 110 40 200

Menghitung multiplier ui dan vj:

Sel 1 – 2: u1 + v2 = c12 → 0 + v2 = 5 → v2 = 5

Sel 1 – 3: u1 + v3 = c13 → 0 + v3 = 8 → v3 = 8

Lo

kasi

Su

mb

er (

sou

rces

)

Loka

si S

umbe

r (s

ourc

es)

u1 = 0

u2 = 2

u3 = 5


Model Transportasi


Sel 2 – 3: u2 + v3 = c23 → u2 + 8 = 10 → u2 = 2

Sel 2 – 1: u2 + v1 = c21 → 2 + v1 = 15 → v1 = 13

Sel 3 – 2: u3 + v2 = c32 → u3 + 5 = 10 → u3 = 5

Tabel Indeks Perbaikan:

Sel Kosong Indeks Perbaikan

Sel 1 – 1 20 – 0 – 13 = 7

Sel 2 – 2 20 – 2 – 5 = 13

Sel 3 – 1 25 – 5 – 13 = 7

Sel 3 – 3 19 – 5 – 8 = 6

Dalam tabel tersebut tampak indeks perbaikan untuk semua sel kosong sudah positif

semua, ini berarti bahwa solusi optimal telah tercapai. Jadi total biaya transportasi

mínimum sesuai dengan tabel transportasi di atas adalah :

TCmin = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890

Catatan: Dalam metode MODI, jumlah basic variable adalah m + n – 1 dengan m

banyaknya baris dan n banyaknya kolom. Jika basic variable < (m + n – 1), maka masalah

transportasi menghadapi masalah degeneracy. Untuk mengatasinya dilakukan dengan

mengisikan angka nol pada sel (kotak) tertentu.

Soal-Soal Latihan:

1. Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit barang X dari Pabrik A, B, dan C ke

Gudang I, II, dan III.


Pabrik A 11 7 8

Pabrik B 9 12 6

Pabrik C 5 10 9

Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 100, Pabrik B = 150, dan Pabrik C = 200,

sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 125, Gudang II = 100,

dan Gudang III = 175. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas

dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2)

dengan MODI.

2. Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit barang Y dari Pabrik A, B, dan C ke

Gudang I, II, dan III.


Pabrik A 10 3 7

Pabrik B 5 8 2


Model Transportasi


Pabrik C 12 11 4



dan Gudang III = 250. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas

dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2)

dengan MODI.

3. Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit per km untuk barang Z dari Pabrik A,

B, dan C ke Gudang I, II, III, IV, dan V.

Gudang I Gudang II Gudang III Gudang IV Gudang V

Pabrik A 5 8 6 6 3

Pabrik B 4 7 7 6 5

Pabrik C 8 4 6 6 4



Gudang III = 500, Gudang IV = 400, dan Gudang V = 800. Tentukanlah solusi optimal

untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3)

Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI.

Jawaban Nomor 1:

(1) Dengan metode Stepping Stone

Tabel Transportasi awal:



Gudang

Dummy TS

PABRIK A 100 11

7

8

0 100

PABRIK B 25 9

100 12

25 6 0

150

PABRIK C

5

10

150 9

50

0 200

TD 125 100 175 50 450

TCo = 100(11) + 25(9) + 100(12) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 4025

Tabel Transportasi Perbaikan Pertama:


Loka

si S

umbe

r (s

ourc

es)


Model Transportasi



Gudang

Dummy TS

PABRIK A 11

100 7

8

0 100

PABRIK B 125 9

12

25 6 0

150

PABRIK C

5

10

150 9

50

0 200

TD 125 100 175 50 450

TC1 = 100(7) + 125(9) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 3325

Tabel Transportasi Perbaikan Kedua:



Gudang

Dummy TS

PABRIK A 11

100 7

8

0 100

PABRIK B 9

12

150 6 0

150

PABRIK C 125

5

10

25 9

50

0 200

TD 125 100 175 50 450

TC2 = 100(7) + 150(6) + 125(5) + 25(9) + 50(0) = 2450

(2) Dengan menggunakan VAM

GI GII GIII GD TS1 TS2 TS3 TS4 TS5 BB1 BB2 BB3 BB4 BB5

PA 11 7 8 0 100 50 50 50 0 7 1 1 1 -

PB 9 12 6 0 150 150 150 0 0 6 3 6 - -

PC 5 10 9 0 200 200 75 75 75 5 4 3 1 1

TD1 125 100 175 50 450

TD2 125 100 175 0 400

TD3 0 100 175 0 275

TD4 0 100 25 0 125

TD5 0 50 25 0 75

BK1 4 3 2 0

BK2 4 3 2 -

BK3 - 3 2 -

BK4 - 3 1 -

Loka

si S

umbe

r (s

ourc

es)

Loka

si S

umbe

r (s

ourc

es)


Model Transportasi


Sel PA – GD diisi sebanyak 50, TS PA bersisa 50 dan TD GD habis, kolom GD dihapus.

Sel PC – GI diisi sebanyak 125, TS PC bersisa 75 dan TD GI habis, kolom GI dihapus.

Sel PB – GIII diisi sebanyak 150, TD GIII bersisa 25 dan TS PB habis, baris PB dihapus.

Sel PA – GII diisi sebanyak 50, TD GII bersisa 50 dan TS PA habis, baris PA dihapus.

Sel PC – GII diisi sebanyak 50 dan sel PC – GIII diisi sebanyak 25

Tabel Transportasi akhir berdasarkan VAM:



Gudang

Dummy TS

PABRIK A 11

50 7

8 50

0 100

PABRIK B 9

12

150 6 0

150

PABRIK C 125

5

50 10

25 9

0 200

TD 125 100 175 50 450

TC = 50(7) + 50(0) + 150(6) + 125(5) + 50(10) + 25(9) = 2600

Sumber ; Rina Sugiarti

Loka

si S

umbe

r (s

ourc

es)

Documents

Linier Programming Model Transportasi