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L'intégrale de chemins selon Richard Feynman Il y a trois sortes d'hommes : les vivants, les morts, et ceux qui vont sur la mer Aristote

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  • L'intgrale de cheminsselon

    Richard Feynman

    Il y a trois sortes d'hommes : les vivants, les morts, et ceux qui vont sur la mer

    Aristote

  • Optique gomtrique : La lumire prend toujours le

    plus court chemin

  • L'optique gomtrique n'explique pas tout

  • Intensit lumineuse = probabilit d'arrive d'un photon

    capteursource

    clic ...... clic..clic ....clic

    La lumire est faite de particules !?

  • La lumire prend les virages

    clic ...... clic .. clic ....

    Probabilit p

  • 1 + 1 = 4

    clic..clic..clic..clic

    probabilit 4p

  • 1 + 1 = 0

    .........

    Intensit 0

  • 1 + 1 = oscillation

    4p0

  • On pense des ondes qui interfrent

    Particule ou onde selon les jours

  • Onde

    Huygens (milieu XVII)

    Maxwell, Faraday... (milieu XIX)

    Onde

    Huygens (milieu XVII)

    Maxwell, Faraday... (milieu XIX)

    Particule

    Atomiste Grec

    Newton (milieu XVII)

    Einstein (dbut XX)

    Particule

    Atomiste Grec

    Newton (milieu XVII)

    Einstein (dbut XX)

    Intgrale de chemin

    Feynman (milieu XX)

    Intgrale de chemin

    Feynman (milieu XX)

  • A chaque trajectoire on associeUne ''flche'' tournante et dcroissante

    ei

    Appele vecteur amplitude

    c..d. un complexe

  • Probabilit =

    (longueur du vecteur amplitude)2

    =

    module(ei )2=2

  • Les vecteurs amplitudes tournent trs vite.ex : 15 000 tours par centimtre

    pour la lumire rouge

    Je ngligerais souvent la diminution de la longueur

  • clic..clic..clic..clic

    2 trajectoires possibles on additionne les vecteurs amplitudes

  • Interaction ngative

    .........

  • Plus court chemin = une simplification

    + +

    +

    +

    =

    n (1)n

    n

  • cran

    Angle d'incidence = angle de rflection

    Un petit miroir diffracte

    miroir

  • Gros trou virages peu probable

    +

    +

    +

    +

    =

  • petit trou

    +

    +

    +

    +

    =

  • Rseau de petit trous

  • On bouge un peu le dtecteur

  • On bouge un peu le dtecteuret on change de couleur

  • Rflexion partielle

  • eiei e i 2...e i 8= ei ei 9

    1ei

    + + + + + + +-=

  • + ++In

    tens

    it r

    flch

    ie

    paisseurNewton 34 000 cyclesaujourd'hui 100 millions de cycles = 50 mtres de verre

  • L'eau savonneuse s'paissiten allant vers le bas

  • - --

    ??

    ?

    1 % 8 %7 %

  • + + + + + + + + + + ... +

    etc.

    +

  • ++ +

  • OU = + +

    ET = *

    * * * * * * *

  • + )* (

  • et =

    Plusieurs photons

    et

    +

    =

    ou

    Effet Hanbury-Brown-Twist. Dtection des toiles doubles

  • Dcomposer chaque trajectoire en trajectoire lmentaire.

    Dcomposer chaque trajectoire en trajectoire lmentaire.Sommer (intgrer) sur toutes les trajectoires possibles.

  • 3

    1

    2

    Discrtisation de l'espace et des trajectoires

    Trajets de 1 3 :

    1 3

    1 1 31 2 31 3 3

    1 1 1 3 1 1 2 3 1 1 3 31 2 1 3 1 2 2 3 1 2 3 3 etc

  • Vecteur amplitude associe

    A(1,3) (amplitude lmentaire)

    A(1,1) A(1,3) +A(1,2) A(2,3) +A(1,3) A(3,3)

    Trajets de 1 3 :

    1 3

    1 1 31 2 31 3 3

    1 1 1 3 1 1 2 3 1 1 3 31 2 1 3 1 2 2 3 1 2 3 3 etc

    y1, y2 A1, y1 A y1, y2 A y2 ,3

  • 12

    9

    10

    11

    8

    5

    6

    7

    4

    1

    2

    3

    Vecteur amplitude pour un trajet de x z en n tapes

    An2 x , z=An x , z An x , z

    y1 ... yn1

    A x , y1 A y1, y2 ... A yn1 , z

    =

    Probabilit que le photon issu de x soit en z en n tapes

    A A ... A x , z =An x , z

    Matrice trs creuse

  • AT=A1Ou encore

    Au bout de n tapes, le photon est forcment quelque part :

    zAn x , z An x , z =A...A AT ... AT x , x= I x , x =1

    zA x , z A x ' , z = I x , x '

    Pour que a marche on prend A qui vrifie :

    A AT=I

    zAn x , z An x , z =1

    On aura alors

    Ou bien

  • Z2

    On prend comme discrtisation :

    { }

  • A( x , y )=a

    A( x , y)=bei

    y

    x

    a cei3b ei

    x y

    x y

    A( x , y)=c ei

    x

    y

    Amplitudes lmentaires :

    Exemple

    A( x , y)=a

  • Thorme :

    acosbcos=0

    A AT=I

    a2b22c2=1

    abcosc2=0

  • ddt t=i t

    t1 y=x t x A x , y

    t x

    Ce qui peut-tre vu comme une discrtisation de

    Si l' tape t, le vecteur amplitude en chaque x est donn par :

    t1= t AOu bien :

    A l' tape t+1, le vecteur amplitude est donc :

    Autre criture

    t1 t= t A I

  • x

    y

    P x , y= 14

    Parallle avec la marche alatoire :

    x

    y

    P x , y= 14

    xy

    P x , y= 14

    x y

    P x , y= 14

  • ddt t= t

    t1 y=x t xP x , y

    t x

    Ce qui peut-tre vu comme une discrtisation de

    Si l' tape t, la probabilit en chaque x est donn par :

    t1= t POu bien :

    A l' tape t+1, la proba est donc :

    Autre criture

    t1 t= t PI

  • Avec

    ddt t= t

    Intgrale de chemin

    yP x , y =1

    t=0Pt

    Equation de la chaleur

    DISCRTISATION

    ddt t=i t t=0 A

    t

    Equation de Schroninger

    A AT=I

    Avec

    Marche alatoire

  • Bibliographie

    Discrete quantum mechanics, Stanley P. Gudder, J. Math. Phys. 27 (7), July 1986

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