Lionel Porcheron Arnaud Bgyn Lionel PorcheronArnaud Bgyn

Le formuLaireBCPST

1e et 2e annesToutes les formulesde chimie, physiqueet mathmatiques

NordCompoPice jointe9782100537914.jpg

LE FORMULAIRE BCPST1re et 2e annes

LE FORMULAIRE BCPST1re et 2e annesToutes les formules de chimie,physique et mathmatiques

Avec la collaboration de :Valry Prvost - Professeur au lyce Hoche Versailles

Lionel PorcheronIngnieur de lENSEEIHT Toulouse

Arnaud BgynProfesseur au lyce Pierre de Fermat Toulouse

Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053791-4

Table des matires

Avant-propos IX

Chapitre 1 : Mathmatiques 11. Algbre 1

1.1 Nombres entiers, nombres rationnels 11.2 Polynmes et fractions rationnelles 21.3 Gnralits sur les applications 51.4 Applications linaires Espaces vectoriels 61.5 Matrices Dterminants Systmes linaires 111.6 Rduction des endomorphismes 16

2. Analyse 182.1 Nombres rels 182.2 Nombres complexes 182.3 Suites 212.4 Fonctions relles de la variable relle 252.5 Drivation 312.6 Intgration 372.7 quations diffrentielles 422.8 Sries 442.9 Fonctions de plusieurs variables 46

3. Gomtrie 503.1 Courbes dans le plan 503.2 Proprits lementaires dans le plan 513.3 Produit scalaire et norme dans le plan 533.4 Droites dans le plan 55

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

VI Table des matires

3.5 Projection orthogonale dans le plan 573.6 Cercles dans le plan 583.7 Mesure dun angle dans le plan 593.8 Proprits lmentaires dans lespace 603.9 Produit scalaire et norme dans lespace 623.10 Plans dans lespace 643.11 Projection orthogonale dans lespace 663.12 Droites dans lespace 673.13 Sphres dans lespace 683.14 Mesure dun angle dans lespace 693.15 Produit vectoriel 70

4. Probabilits 714.1 Thorie des ensembles 714.2 Dnombrement 734.3 Calcul des probabilits 754.4 Variables alatoires discrtes 774.5 Vecteurs alatoires discrets 824.6 Variables alatoires densit 874.7 Vecteurs alatoires densit 904.8 Thormes limites et approximation 96

Chapitre 2 : Chimie 981. Atomistique 98

1.1 Spectroscopie 981.2 Modle ondulatoire 991.3 Atome polylectronique 1001.4 Architecture molculaire 101

2. Cintique 1032.1 Vitesse de raction 1032.2 tude exprimentale 1052.3 Mcanismes ractionnels 1052.4 Catalyse 107

3. Solutions aqueuses 1083.1 Ractions acido-basiques 1083.2 Ractions de complexation 1103.3 Ractions de prcipitation 1113.4 Ractions doxydorduction 1113.5 Diagrammes potentiel-pH 114

4. Thermodynamique 1154.1 Fonctions dtat 1154.2 Potentiel chimique 1164.3 Grandeurs standard de raction 116

Table des matires VII

4.4 quilibres chimiques 1184.5 quilibres liquidevapeur 1204.6 quilibres solide liquide 123

5. Chimie organique 1255.1 Nomenclature 1255.2 Strochimie de conformation 1265.3 Les alcnes 1315.4 Hydrocarbures aromatiques 1335.5 Amines 1345.6 Groupe carbonyle 1355.7 Acides carboxyliques 1385.8 Halognoalcanes 1395.9 Alcools 1405.10 Spectroscopie infrarouge 1435.11 Spectroscopie RMN (Rsonnance Magntique Nuclaire) 144

Chapitre 3 : Physique 145

0. lments de mathmatiques 1450.1 Diffrentielles 1450.2 quations diffrentielles 146

1. lectronique 1471.1 Lois gnrales 1471.2 Rgime transitoire 1481.3 Rgime variable 1491.4 Montages avec amplificateur oprationnel 150

2. Thermodynamique 1512.1 Gaz parfait 1512.2 Premier et second principes de la thermodynamique 1512.3 Changements de phase dun corps pur 1562.4 Machines thermiques 1582.5 nergie libre Enthalpie libre 1592.6 Diffusion de particules 1612.7 Diffusion thermique 161

3. Mcanique du point 1623.1 Cinmatique 1623.2 Lois gnrales de la mcanique 1643.3 Oscillateurs 167

4. Mcanique des fluides 1684.1 Statique des fluides 1684.2 Dynamique des fluides 169

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

VIII Table des matires

4.3 Actions de contact dans un fluide 1694.4 coulements parfaits 1704.5 Bilans sur les coulements 172

5. Optique 1725.1 Gnralits 1725.2 Optique gomtrique 1735.3 Interfrences lumineuses 175

Annexe A : Primitives usuelles 179

Annexe B : Dveloppements limits 181

Annexe C : Formules trigonomtriques 1831. Angles remarquables 183

2. Relations trigonomtriques 184

Annexe D : Units et constantes fondamentales 1871. Units du Systme International 187

1.1 Units principales du systme international 1871.2 Units secondaires du systme international 1881.3 Units courantes du systme international 1881.4 Multiples dcimaux pour les units 188

2. Constantes fondamentales 189

3. Ordres de grandeurs 189

Annexe E : Constantes chimiques 1901. Potentiels standards redox 190

2. Constantes dacidit 191

3. Zone de virage des principaux indicateurscolors 192

Annexe F : Tableau priodique 193

Index 197

Avant-propos

Dans ce formulaire, sont rassembls les principaux rsultats des cours demathmatiques, de physique et de chimie tablis tout au long des deux an-nes de classes prparatoires dans les filires BCPST. Ce formulaire sav-rera fort utile aussi bien pendant votre prpa que lorsque la priodefatidique des concours approchera.

Il a t scind en quatre parties : les parties relatives aux mathmatiques, la physique et la chimie, chacune dentre elles rassemblant les principauxrsultats tablis en cours pour chacune des filires auxquelles sadresse cetouvrage. la fin de louvrage, figurent en annexes les donnes qui ne sontpas ncessairement connatre, mais qui sont nanmoins fort utiles au quo-tidien.

Un effort tout particulier a t fait pour rendre ces formules les plus li-sibles possible en dtaillant la signification de chaque symbole et en pr-cisant bien chaque fois les conditions dapplication de ces formules. Sou-lignons tout de mme que lapprentissage de ces formules ne se substituepas lapprentissage du cours...

Merci tous ceux qui ont accept de collaborer cet ouvrage et en parti-culier tous ceux qui lont consciencieusement relu. Un grand merci gale-ment ric DENGENIRES qui a assur la coordination pas toujours facilemais dans les meilleurs dlais de ce nouveau formulaire de la collection Jintgre .

Un suivi de la partie mathmatiques est disponible ladresse : http ://ar-naud.begyn.free.fr

Lionel PORCHERONLionel.Porcheron@free.frc

Duno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

Chapitre1Mathmatiques

1. Algbre

1.1 Nombres entiers, nombres rationnels

Factorielle Dfinition

n! =n

k=1

kn! : factorielle nPar convention : 0! = 1

Permutations

cardSn = n!Sn : ensemble des permutationsde n lments. Ensemble des bijec-tions de [1, n] [1, n]

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

2 [1] Mathmatiques

Arrangements

Apn =

n!(n p)!

(n, p) N2 avec p nOn note Apn le nombre darrange-ments de p lments partir dunensemble de n lments (cest--dire le nombre de p-uplets com-poss dlments deux deux dis-tincts)

Combinaisons

(np) =n!

p!(n p)!

(n, p) N2 avec p nOn appelle combinaison (note(np)) toute partie de cardinal p dunensemble n lments.Par convention (np) = 0 si n N Z ou si n N et p / [0, n]

Combinaisons Proprits

(np) = (nnp) (n, p) NN

(np) + (np+1) = (

n+1p+1) (n, p) NZ

Binme de Newton

(x + y)n =n

k=0

(nk )xkynk n N

(x, y) C2

Q est dense

x < y = (z Q/x < z < y) (x, y) R2

1.2 Polynmes et fractions rationnelles

1. Algbre 3

PolynmeOn note K[X] lensemble des fonctions polynmes de K dans luimme, avec K = R ou C. Par convention, X dsigne la fonction po-lynme identit X : x K x K. Tout lment P de K[X] estappel plus simplement polynme, et sur la base canonique (Xn)nNil peut scrire P =

nNanX

n, o les an sont lments de K et sont tous

nuls sauf pour un nombre fini de valeurs n.

Degr dun polynme Dfinition

deg P = max {n N/an = 0} deg P : degr du polynme P

Degr dun polynme Proprits

deg(P + Q) max(deg P, degQ)

(P,Q) K[X]Lorsque deg P = degQ, alors :deg(P + Q)=max(deg P, degQ)

deg(PQ) = deg P + degQ

Drivation

P = n 1

nanXn1 P =

nanX

n K[X]P : polynme driv de P

Racine dun polynme

P() = 0 est appele racine du polynmeP K[X] si elle vrifie la propritci-contre.

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

4 [1] Mathmatiques

Soit (i)iI la famille des racines deux deux distinctes du polynmeP. Ce polynme peut alors sexprimer sous la forme P = Q

iI(x

i)mi o mi est la multiplicit de la racine i et Q un polynme nayant

pas de zro dans K.

Multiplicit dune racine dun polynme DfinitionSi P est un polynme (P K[X]) et si a est un lment de K (a K),on dit que a est racine de P de multiplicit m (m N) lorsque (X a)mdivise P et (X a)m+1 ne divise pas P. Par convention, si a nest pasracine de P on dit que a est racine de P de multiplicit 0.

Polynme scindUn polynme P K[X] est dit scind sur K si et seulement si il existe K \ {0} et une famille dlments non ncessairement distincts(xi)i[1,n] tels que :

P = n

i=1

(X xi)

Dcomposition dun polynme dans C[X]Tout polynme P coefficients complexes (P C[X]) non constantest scind. Si on note x1 , . . . , xn ses racines complexes deux deux dis-tinctes ( 1 i n, xi C) alors on peut crire :

P(X) = n

i=1

(X xi)i

o est un complexe non nul ( C) et 1 , . . . ,n sont des entiersnaturels non nuls ( 1 i n, i N). Cette dcomposition estunique lordre des facteurs prs dans le produit.

Dcomposition dun polynme dans R[X]Tout polynme P coefficients rels (P R[X]) non constant se d-compose en un produit de polynmes du premier degr et de po-lynmes du second degr dont le discriminant est strictement nga-tif. Si on note x1 , . . . , xn ses racines relles deux deux distinctes( 1 i n, xi R) alors on peut crire :

P(X) = n

i=1

(X xi)ip

j=1

(X2 + y jX + z j) j

1. Algbre 5

o est un rel non nul ( R), 1 , . . . ,n sont des entiers naturelsnon nuls ( 1 i n, i N), 1 , . . . ,p sont des entiers naturelsnon nuls ( 1 j p, j N), y1 , . . . , yp et z1 , . . . , zp sont desrels 1 j p, (y j , z j) R2 vrifiant la condition : 1 j p, y2j 4z j < 0. Cette dcomposition est unique lordre des facteursprs dans le produit.

1.3 Gnralits sur les applications

Ensembles et applicationsSoit f : E F une application dun ensemble E dans un ensemble F.Soient A une partie de E et B une partie de F.On appelle image directe de A par f la partie de F dfinie par :

f (A) = { f (x) F; x A}On appelle image rciproque de B par f la partie de E dfinie par :

f1(B) = {x E; f (x) B}Application injective

(x, y) E2

( f (x) = f (y) = x = y)

Une application f est dite injec-tive si et seulement si elle vrifiela proprit ci-contre.

Application surjective

y F, x E/ f (x) = yUne application linaire f de Edans F est dite surjective si etseulement si elle vrifie la pro-prit ci-contre.

Thorme de la bijection rciproque

f : E F est bijective si et seulement si il existe g : F E telle queg f = idE et f g = idF.Dans ce cas, si f et g sont bijectives : g f est bijective et (g f )1 =f1 g1.

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

6 [1] Mathmatiques

1.4 Applications linaires Espaces vectoriels

Espace vectoriel Dfinition

Soit E un ensemble muni dune loi interne E E E note + etdune loi externe K E E note . telles que :(i) (x, y, z) E3, (x + y) + z = x + (y + z)(ii) e E ; x E, e + x = x + e = x(iii) x E, x E ; x + x = x + x = e(iv) (x, y) E2, x + y = y + x(v) (x, y) E2, K,.(x + y) = .x + .y(vi) (,) K2, x E, ( + ).x = .x + .x(vii) (,) K2, x E, .(.x) = ().x(viii) x E, 1.x = xDans ce cas llment e du (ii) est unique et est appel vecteur nul deE, not 0E. De mme, llment x du (iii) est aussi unique et est appeloppos de x, not x.

Sous-espace vectoriel

Soit E un K-espace vectoriel et F E. F est dit sous-espace vectorielde E si et seulement si il vrifie les proprits suivantes :(1) OE F(2) (x, y) F2 , K, x + y F

Sous-espace engendr par une partie

Vect(A) est lensemble des combinaisons linaires (finies) dlmentsde A. E : K-espace vectoriel. A E, x Vect(A) si et seulement si xscrit, x =

n

i=1

iai, o ai A et i K.

Somme directe de sous-espaces vectoriels

E = A B si et seulement si x E scrit de faon unique x = a + bavec a A et b B.E = A B E = A + B et A B = {0}.

1. Algbre 7

Gnralisation un nombre quelconque de sous-espaces vectoriels :

E = iI

Ei

(i, j) I2 Ei j=i

E j = {0}

(Ei)iI : famille de sous-espacesvectoriels dun espace vectoriel E.Si la somme des Ei vrifie les deuxproprits ci-contre, elle est ditedirecte.Dans ce cas : x E, il existe uneunique dcomposition x =

iIxi

avec xi Ei.Sous-espaces vectoriels supplmentaires

E =iI

Ei

(Ei)iI : famille de sous-espacesvectoriels dun espace vectoriel E.Ils sont dits supplmentaires si etseulement sils sont en somme di-recte et que leur somme est gale E.

Intersection de deux sous-espaces vectorielsSoient E un espace vectoriel sur K et F,G deux sous-espaces vectorielsde E. Alors F G est un sous-espace vectoriel.En dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet un sous-espacevectoriel supplmentaire.

Dimension des espaces vectoriels usuels

Les ensembles K[X],F (I,R), KN etV(,R) sont des espaces vectorielssur K (respectivement R) de dimension infinie.Les ensembles Kn, Kn[X] et Mnp(K) sont des espaces vectoriels sur Kde dimension finie :

dimKn = n, et dimKn[X] = n + 1, et dimMnp(K) = np.Croissance de la dimension

Soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie et F,G deux sous-espaces vectoriels de E tels que F G. Alors dim F dimG et si lesdeux dimensions sont gales alors F = G.

Juxtaposition de basesSoit (Ei)1in une famille de sous-espaces vectoriels dun espace vec-toriel E. Pour tout i {1, . . . , n}, on note Bi une base de Ei. Alors ona :

B =n

i=1

Bi est une base de E E =n

i=1

Ei .

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

8 [1] Mathmatiques

Rang dune famille finie de vecteursSoit E un espace vectoriel sur K et F = (x1 , . . . , xn) une famille finiede vecteurs de E. Dans ce cas Vect(F ) est un sous-espace vectoriel deE de dimension finie. Sa dimension est appele rang de la famille F ,note rg(F ).

Famille gnratriceSoit (xi)iI une famille finie de vecteurs dun espace vectoriel de E surK.On dit que cette famille est gnratrice si et seulement si tout lmentx de E peut sexprimer comme combinaison linaire des xi, cest--direquil existe une famille (i)iI telle que : x =

iIixi, ou encore E =

Vect((xi)iI).Famille libre

iI

ixi = 0 = i I, i = 0

(xi)iI : famille finie de vecteursde E(i)iI : famille finie de scalairesde KUne famille est libre si elle vrifiela proprit ci-contre.Elle est dit lie dans le cascontraire.

Proprits fondamentales des familles Toute sur-famille dune famille gnratrice est gnratrice. Toute sous famille dune famille libre est une famille libre.

Si (x1 , . . . , xn) libre et (x1 , . . . , xn , xn+1) lie, alors xn+1 =n

i=1

ixi

Une famille comportant le vecteur nul, ou deux vecteurs gaux, ouun vecteur combinaison linaire des autres est lie.

Base dun espace vectoriel DfinitionUne base de E est une famille finie de vecteurs (xi)iI de E libre etgnratrice.

Thorie de la dimensionUn K-espace vectoriel est dit de dimension finie si et seulement si Eadmet au moins une famille gnratrice de dimension finie.Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors :1. E admet au moins une base de dimension finie.

1. Algbre 9

2. Toutes les bases de E sont finies et ont le mme cardinal appel di-mension de E et not dim E.

Proprits des familles libres et des familles gnratrices

Soient E un K-espace vectoriel de dimension n

Toute famille libre de E comporte au plus n lments.

Toute famille gnratrice de E comporte au moins n lments.

Somme directe et dimension

E = A B E = A + B et dimE = dimA + dimB

Application linaire Dfinition

(x, y) E2 , K :

f (x + y) = f (x) + f (y)

On dit que f est une application li-naire de E dans F si et seulementsi elle vrifie la proprit ci-contre.L(E, F) est lensemble des applica-tions linaires de E dans F.

Isomorphisme Endomorphisme Automorphisme

Un isomorphisme despaces vectoriels est une application linairede E dans F bijective.

Un endomorphisme de E est une application linaire de E dans E.

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E)lensemble des automorphismes de E.

Applications linaires et famille de vecteurs f L(E, F), et pour toute famille finie F dlments de E : f (Vect(F )) = Vect( f (F )). si F est lie alors f (F ) est lie. si f (F ) est libre, alors F est libre. La rciproque est vraie si f estinjective. si F est gnratrice de E, alors f (F ) est gnratrice de F et la rci-proque est vraie si f est surjective.cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

10 [1] Mathmatiques

f est bijective si et seulement si il existe une base B de E telle quef (B) est une base de F. Dans ce cas, cest vrai pour toute base B de E.

Image et noyau dune application linaire Dfinition

Im f = {y F/x E, f (x) = y}Im f = f (E)

On appelle image de f , le sous-espace vectoriel de F not Im f d-fini ci-contre.

Ker f = {x E/ f (x) = 0} = f1(0)On appelle noyau de f , le sous-espace vectoriel de E not Ker fdfini ci-contre.

Rang dune application linaire Dfinition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f une application linairede E dans F. Si Im f est de dimension finie, dim Im f sappelle rangde f et se note rg f .

Oprations sur les applications linairesSoient E et F deux espaces vectoriels sur K, f et g deux applicationslinaires de E dans F et un scalaire ( K). On dfinit alors lesoprations suivantes :- Addition : lapplication f + g : x E f (x) + g(x) est linairede E dans F- Multiplication par un scalaire : lapplication . f : x E . f (x) est linaire de E dans F. Lensemble (L(E, F),+, .) est un es-pace vectoriel sur K.- Rciproque : si f est un isomorphisme alors lapplication rci-proque f1 est linaire de F dans E

Composition dapplications linairesSoient E, F et G trois espaces vectoriels sur K, f L(E, F) et g L(F,G). On a alors g f L(E,G).

Application linaire partir de limage dune baseSoient E et F deux espaces vectoriels sur K de dimension finie etf L(E, F). Soit (e1 , . . . , ep) une base de E. Alors f est entirementdtermine par la donne des vecteurs f (e1), . . . , f (ep). On a en ef-fet :

1. Algbre 11

x =p

i=1

iei , = f (x) =p

i=1

i f (ei).

De plus : f est injective, ( f (e1), . . . , f (ep)) est libre, f est sur-jective ( f (e1), . . . , f (ep)) est gnratrice de F, f est un isomor-phisme ( f (e1), . . . , f (ep)) est une base de F

Formule du rang

dim E = rg f + dim(Ker f )

E : espace vectoriel de dimensionfinief : application linairerg f : rang de fKer f : noyau de f

Applications linaires Cas de la dimension finie

(1) f isomorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = n

E et F : deux espaces vectoriels demme dimension n sur Kf L(E, F)Les propositions ci-contre sontdeux deux quivalentes.

(1) f automorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = n

E : espace vectoriel de dimensionn sur Kf L(E)Les propositions ci-contre sontdeux deux quivalentes.

Image et noyau dune application linaire Proprits

f surjective Im f = Ff injective Ker f = {0} f application linaire de E dans F.

Projecteur DfinitionSi E = A B, p : x = a + b E a A est un projecteur sur Aparalllement B.

1.5 Matrices Dterminants Systmes linaires

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

12 [1] Mathmatiques

Matrices DfinitionOn appelle matrice m lignes et n colonnes, toute application de[1, ...n] [1, ...m] K.

Ensemble des matrices

On note Mm,n(K) lensemble des matrices m lignes et n colonnes.Cest un espace vectoriel sur K avec K = R ou C

Matrices et applications linaires

f (e j) =m

i=1

ai j fi

f : application linaire de E dans F,deux espaces vectoriels de dimen-sion finie.M = (ai j)i[1,m] j[1,n] : matrice as-socie lapplication linaire fB = (e j) j[1,n] : base de EB = ( fi)i[1,m] : base de F

Changement de base

A = Q1AP

A : matrice dune application li-naire de E (dans la base base B)vers F (dans la base base C )A : matrice de la mme applicationlinaire de E (dans la base base B)vers F (dans la base base C)P : matrice de passage de B BQ : matrice de passage de C C Dans le cas dun endomorphisme,Q = P (seulement deux bases sontncessaires).

Matrices inversiblesSoit A Mn(K) et f un endomorphisme reprsent par A dans unebase. Les proprits ci-dessous sont deux deux quivalentes :(1) f est bijective.(2) A est inversible.Dans ce cas, Mat( f1) = A1.

1. Algbre 13

Systme linaire Dfinition

a11x1 + + a1pxp = b1

......

...an1x1 + + anpxp = bn

On peut interprter ce systmecomme lquation AX = B avecA = (ai j)i[1,n] j[1,p] par le vecteurX = (xi)i[1,p] (vecteur inconnu).Ce produit est gal au vecteur se-cond membre : B = (bi)i[1,n]

Systme de CramerDans le cas dun systme de Cramer, n = p = rg A. Le systme admetalors une solution unique.

Somme de deux matrices

i j = i j + i j

M = (i j) Mmn(K)N = (i j) Mmn(K)M + N = (i j) Mmn(K)

Produit dune matrice par un scalaire

M = N

i j = i j

KM = (i j) Mmn(K)N = (i j) Mmn(K)

Produit de matrices

1 j2 j...

k j...

p j

i1i2 ik ip

i j

M = (ik) Mmp(K)N = (k j) Mpn(K)MN = (i j) Mmn(K)i j =

p

k=1

ik k j

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

14 [1] Mathmatiques

Proprits des oprations sur les matrices

(M + N)P = MP + NP (M, N) (Mmp(K))2 , P Mpn(K)

(M)(N) = (MN)M Mmp(K)N Mpn(K)(,)2 K2

(MN)P = M(NP)M Mmp(K)N Mpn(K)N Mnq(K)

Attention : En gnral, MN = NM

Formule du binme pour les matrices

(A + B)n =n

k=0

(nk )AkBnk n N(A, B) Mp(K) tel que AB = BA

Rgles de calcul de la matrice dune application linaireSoient f et g deux applications linaires et un scalaire ( K). Alorson a, dans des bases fixes :Mat( f + g) = Mat( f ) + Mat(g)Mat (g f ) = Mat (g)Mat ( f )f isomorphisme Mat ( f ) inversibleMat f1 = (Mat ( f ))1 si f est un isomorphisme

Transpose dune matrice - Rgles de calcult(A + B) = tA + tBt(AB) = tBtAt tA = At A1 = tA 1si n = p et A inversible

(A, B) Mnp(K)2 K

Matrices symtriquesUne matrice M carre dordre n (M Mn(K)) est dite symtriquelorsque M = tM. On note Sn(K) lensemble des matrices symtriquesdordre n.

1. Algbre 15

Rang dune matriceSoit M une matrice n lignes et p colonnes (M Mnp(K)). On notef lendomorphisme associ M par rapport la base canonique Bcanode Kn : M = Mat( f ,Bcano). Par dfinition le rang de M, not rg M, estgal au rang de f .

Rang de la transposeSi M est une matrice n lignes et p colonnes (M Mnp(K)), alorsrg M = rg tM.

Matrices semblables

Soit A et B deux matrices carres dordre n (A, B) Mn(K)2 . Ondit que A et B sont semblables lorsquil existe une matrice inversible Pcarre dordre n telle que : A = PBP1.Dans ce cas si E est un espace vectoriel sur K de dimension n alors ilexiste B1 et B2 bases de E et f L(E) tels que : A = Mat( f ,B1) etB = Mat( f ,B2).

Rang dun systme linaireSi (S) est un systme linaire et A sa matrice associe (M Mnp(K)),alors par dfinition le rang de (S), not rg (S), est gal au rang de A.

Oprations lmentaires sur les lignes DfinitionSoit (S) une systme linaire. On appelle oprations lmentaires surles lignes les oprations suivantes :

Li L jLi Li si = 0Li Li + L j

o et sont des scalaires((,) K2) et (i, j) des numrosde ligne.

Oprations lmentaires sur les lignes PropritLes oprations lmentaires sur les lignes ne changent ni le rang dunsystme, ni son ensemble de solutions.

Forme rduite de Gauss dun systme linaireSoit (S) un systme linaire de n quations p inconnues. Les opra-tions lmentaires sur les lignes dun systme linaire, effectues dansle cadre de lalgorithme du pivot de Gauss, permettent daboutir unsystme linaire (S), quivalent (S), de la forme :

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

16 [1] Mathmatiques

a11x1+ +a1p = b1. . .

...arrxr+ +arpxp = br

0 = br+1...

0 = bno r = rg (S). Lalgorithme du pivot de Gauss permet donc de calculerle rang dun systme, et donc celui dune matrice ou dune applicationlinaire.

Ensemble des solutions dun systme linaireSoit (S) un systme linaire de n quations p inconnues. Alors :- lensemble S de ses solutions est soit vide, soit un singleton, soit in-fini.- la solution gnrale du systme (S) scrit comme la somme dunesolution particulire et de la solution gnrale du systme homogneassoci.- lensemble des solutions du systme homogne associ est un sous-espace vectoriel de Kp de dimension p rg (S)

1.6 Rduction des endomorphismes

Valeur propre Dfinition

x E, x = 0 tel que :

f (x) = x

f L(E) K : valeur propre de fAutre formulation : f IdE estnon injectif.

Spectre dun endomorphismeSoit f L(E), on appelle spectre de f not Sp( f ) lensemble :

Sp( f ) = { K, x E \ {0}/ f (x) = x}Sp( f ) correspond lensemble des valeurs propres de f .

1. Algbre 17

Vecteur propre Dfinition

x = 0 et K

f (x) = x

x E : vecteur propre de ff L(E)(alors Sp( f ))

Sous-espace propre Dfinition

E( f ) = Ker( f IdE)

E( f ) : sous-espace propre asso-ci f L(E) Sp( f )E( f ) est lensemble des vecteurspropres de f associs la valeurpropre .

Diagonalisabilit DfinitionSoient E un espace vectoriel sur K de dimension finie et n N.On dit que f L(E) est diagonalisable si et seulement si il existe unebase de E forme de vecteurs propres de f .On dit que M Mn(K) est diagonalisable si et seulement si il existeune matrice diagonale D semblable M.

Diagonalisabilit PropritSoient E un espace vectoriel sur K de dimension finie et f L(E). Ona alors quivalence des propositions :(i) f est digonalisable(ii) il existe une matrice associe f qui est diagonalisable(iii) toutes les matrices associes f sont diagonalisables

Existence de valeurs propres complexesToute matrice carre coefficients complexes possde au moins unevaleur propre.

Libert dune famille de vecteurs propresSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f L(E). On a alors :1) une famille finie de vecteurs propres associes des valeurs propresdeux deux distinctes est librecDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

18 [1] Mathmatiques

2) une famille obtenue par juxtaposition de bases de sous-espacespropres associs des valeurs propres deux deux distinctes est libre

Condition suffisante de diagonalisabilitSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et f L(E). Si f ad-met n valeurs propres deux deux distinctes alors f est diagonalisable.

Diagonalisation des matrices symtriques rellesToute matrice carre symtrique relle est diagonalisable. En particu-liers les valeurs propres dans C dune matrice symtrique relle sontrelles.

2. Analyse

2.1 Nombres rels

Prsentation

(a, b, c) R3 ,

a b = a + c b + ca b0 c = ac bc

Toute partie non vide majore de R admet une borne suprieure dansR.

Partie entire Dfinition

x R :

E(x) x < E(x) + 1

x RE(x) : partie entire de xE(x) est lunique entier relatif v-rifiant la proprit ci-contre.

2.2 Nombres complexes

2. Analyse 19

Forme cartsienne / Forme polaire dun nombre complexe

z = a + ib

Siz = 0, z = ei

z : nombre complexe (z C)a : partie relle de z (a R), on lanote aussi Re(z)b : partie imaginaire de z (b R),on la note aussi Im(z) : module de z, ( R+) : argument de z, ( R)

Nombre complexe conjugu Dfinition

z = a + ib

z = a ib

z C : nombre complexez C : nombre complexe conju-gu de za : partie relle de z et de zb : partie imaginaire de z

Nombre complexe conjugu Proprits

z + z = 2Re(z)

z z = 2i Im(z)z : nombre complexez : nombre complexe conjugu dez

z = z si z est rel

z = z si z est imaginaire purModule dun nombre complexe

|z|2 = z z |z| : module de z

Module dun produit Module dun quotient

|zz| = |z| |z|

z = 0 zz =

|z||z|

z C : nombre complexez C : nombre complexe

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

20 [1] Mathmatiques

Ingalit triangulaire

|z + z| |z|+ |z| z C : nombre complexez C : nombre complexe

Identit remarquable pour le module

Pour z et z deux nombres complexes (z, z) C2 on a : |z + z|2 =|z|2 + |z|2 + 2Re zz .Exponentielle dun nombre complexe imaginaire pur DfinitionPour nombre rel ( R), on dfinit lexponentielle complexe de ipar la formule : ei = cos() + i sin()

Exponentielle dun nombre complexe imaginaire pur Proprit

Pour et nombres rels ((,) R2), on a :(i) ei = ei

= [2 ].(ii) ei = 1 = 0 [2 ].

Exponentielle dun nombre complexe DfinitionPour z C, on dfinit lexponentielle complexe de z par la formule :ez = eRe(z)eiIm(z) .

Exponentielle dun nombre complexe - Proprit

Pour (z, z) C2 et (,) R2 on a :(i) |ez| = eRe(z)(ii) Arg (ez) = Im(z) [2 ](iii) ez+z

= ezez

(iv) ez = ez z = z [2i ]

(v) ez = 1 z = 0 [2i ]Rsolution des quations du second degr coefficients rels

On considre lquation dinconnue z nombre complexe (z C) : az2 +bz + c = 0 o a, b et c sont des nombres rels (a, b, c) R3 tels quea = 0.On calcule le discriminant de lquation : = b2 4ac. On a trois cas :- > 0 : deux solutions relles z = b

2a- = 0 : une solution relle z = b2a (appele racine double)- > 0 : deux solutions complexes pures conjugues z = bi

2a

2. Analyse 21

Caractrisation des solutions de az2 + bz + c = 0z1 et z2 sont les deux solutions de lquation (avec la convention z1 =z2 si = 0) si et seulement elles sont solution du systme dquations

x + y = baxy = ca

Factorisation de a cos() + b sin()

Soit (a, b) R2. Il existe (r,) R2 tel que, pour tout R :a cos() + b sin() = r cos( +)On peut prendre : r =

a2 + b2, cos() = a

a2+b2et sin() = b

a2+b2

Formule de Moivre

(cos + i sin )n = cos n + i sin n = ein (ei)n avec R, n Z

Formule dEuler

cos x =eix + eix

2

sin x =eix eix

2i

x R

Racines nimes dun complexe

zk =n

r ei+2k

n

Les zk sont les solutions de lqua-tion zn = rei.(k, n) N2 avec 0 k n 1z Cr R+En particulier, les racines nimes

de lunit : zk = ei 2kn

2.3 Suites

Convergence DfinitionOn dit quune suite numrique (un)nN converge vers une limite l Kavec K = R ou C si et seulement si :

> 0, N N, n N, n N = |un l|

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

22 [1] Mathmatiques

On dit quune suite numrique (un)nN converge si et seulement si :l K, > 0, N N, n N, n N = |un l|

Divergence DfinitionOn dit quune suite numrique (un)nN diverge vers + si et seule-ment si :

A R, N N, n N, n N = un A.On dit quune suite numrique (un)nN diverge vers si et seule-ment si :

A R, N N, n N, n N = un ADans les deux cas ci-dessus, on dit que (un)nN est divergente de pre-mire espce. On dit quune suite numrique (un)nN est divergentede seconde espce lorsquelle nest ni convergente, ni divergente depremire espce.

Suite majore, minore ou borneSoit (un)nN une suite numrique. On dit quelle est majore (resp.minore) lorsquil existe un rel M (M R) tel que : n N, un M(resp. un M). On dit quelle est borne lorsquelle est la fois majoreet minore, ou encore, de faon quivalente, lorsquil existe un rel Mpositif (M R+) tel que : n N, |un| M.

Somme des n premiers entiers

Soit n un entier naturel (n N). On a :n

k=0

k =n

k=1

k =n(n + 1)

2

Suites extraites des rangs pairs et impairsSoit (u2n)nN une suite numrique. Si les suites extraites (u2n+1)nN et(un)nN ont la mme limite l (finie ou infinie) alors la suite (un)nN apour limite l.

Oprations sur les limitesSoient (un)nN et (vn)nN deux suites numriques admettant une li-mite, et un nombre rel ( R). On peut faire les oprations sui-vantes sur les limites :- somme : lim(un + vn) = lim un + lim vn sauf forme indtermine - produit : lim unvn = lim un lim vn sauf forme indtermine 0 - multiplication par un rel : limun = lim un sauf forme indter-mine 0 - quotient : lim unvn =

lim unlim vn

sauf formes indtermines 00 et

2. Analyse 23

Signe dune suite de limite non nulleSoit (un)nN une suite numrique ayant une limite non nulle (ven-tuellement infinie). Si cette limite est strictement positive, alors un > 0 partir dun certain rang ; si cette limite est strictement ngative, alorsvn < 0 partir dun certain rang.

Passage aux limites dans une ingalitSoient (un)nN et (vn)nN deux suites numriques admettant une li-mite. On suppose qu partir dun certain rang : un vn. On a alors :lim un lim vn.

Thorme des gendarmes (limites finies)Soient (un)nN, (vn)nN et (wn)nN des suites numriques. On sup-pose qu partir dun certain rang : un vn wn et que les suites(un)nN et (wn)nN convergent vers un mme limite finie l. Dans cecas la suite (vn)nN converge aussi vers l.

Thorme des gendarmes (limites infinies)Soient (un)nN et (vn)nN deux suites numriques. On suppose qupartir dun certain rang : un vn. Dans ce cas :- si lim un = + alors lim vn = +,- si lim vn = alors lim un =

Thorme de la limite monotoneSoit (un)nN une suite numrique.- Si elle est croissante alors soit elle est majore et convergente, soit elleest non majore et divergente vers +.- Si elle est dcroissante alors soit elle est minore et convergente, soitelle est non minore et divergente vers .En particulier une suite monotone admet toujours une limite (ven-tuellement infinie).

Suites quivalentes DfinitionSoient (un)nN et (vn)nN deux suites numriques. On dit quelles sontquivalentes lorsquil existe une suite (n)nN telle que, partir duncertain rang, un = (1 +n)vn et limn = 0. On le note un vn.

Suites quivalentes CritreSoient (un)nN et (vn)nN deux suites numriques. On suppose qupartir dun certain rang vn ne sannule pas. On a alors un vn si etseulement si lim unvn = 1.

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

24 [1] Mathmatiques

Suites quivalentes PropritsSoient (un)nN, (vn)nN, et (wn)nN des suites numriques.- rflxivit : on a un un.- symtrie : si un vn alors vn un.- transitivit : si un vn et vn wn alors un wn.

Suites quivalentes Rgles de calculSoient (un)nN, (vn)nN, (n)nN et (n)nN des suites numriques.On suppose que un vn etn n.- produit : on a alorsnun nvn.- quotient : si n et n ne sannulent pas partir dun certain rang,alors unn vnn .- puissances entires : pour tout Z, un vn (pour < 0, il fautque un et vn ne sannulent pas partir dun certain rang).- puissances relles : pour tout R, |un| |vn| (pour < 0, ilfaut que un et vn ne sannulent pas partir dun certain rang).Par contre on ne peut ni additionner les quivalents, ni les composerpar une fonction.

Suites quivalentes et limitesSoient (un)nN et (vn)nN deux suites numriques.1) On suppose que un vn et que lim vn existe. Dans ce cas lim unexiste et lim un = lim vn.2) On suppose que (un)nN a une limite finie l non nulle. Dans ce casun l.

Equivalents usuelsSoient (xn)nN une suite numrique telle que lim xn = 0 et R.On a : ln(1 + xn) xn exn 1 xn (1 + xn) 1 xn et :sin xn xn cos xn 1 x

2n2 tan xn xn.

Suite arithmtique

un = un1 + r

un = up + (n p)r

Sn =(u1 + un)n

2

un : ne terme de la suiter : raisonu1 : premier terme de la suiteSn : somme des n premiers termesde la suite un

2. Analyse 25

Suite gomtrique

un = q un1un = q

npup

Sn =u1(q

n 1)q 1 q = 1

un : ne terme de la suiteq : raison de la suiteu1 : premier terme de la suiteSn : somme des n premiers termesde la suite un

Suites relles monotonesOn dit que (un)nN est croissante si et seulement si :

n N, un un+1On dit que (un)nN est dcroissante si et seulement si :

n N, un un+1On dit que (un)nN est strictement croissante si et seulement si :

n N, un < un+1On dit que (un)nN est strictement dcroissante si et seulement si :

n N, un > un+1On dit que (un)nN est (strictement) monotone si et seulement si(un)nN est (strictement) croissante ou (strictement) dcroissante.

Suites adjacentes

(un)nN est croissante(vn)nN est dcroissante(vn un)

n+ 0

Si deux suites relles vrifient lesproprits ci-contre, ces suites sontdites adjacentes.Si deux suites sont adjacentes,elles convergent vers la mme li-mite finie.

2.4 Fonctions relles de la variable relle

Application en escalierOn dit quune fonction f : [a; b] R est en escalier si et seulementsil existe une famille (ai)i[0,n] telle que (a0 , . . . , an) [a; b]n+1 avecn N et une famille (0 , . . . , n1) Rn tels que :

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

26 [1] Mathmatiques

a = a0 < a1 < < an1 < an = bi {0, . . . , n 1}, x ]ai ; ai+1[, f (x) = iApplication majore minore borne

Une fonction f : X R est dite :

majore si et seulement sil existe A R tel que x X, f (x) A.

minore si et seulement sil existe B R tel que x X, f (x) B.

borne si et seulement sil existe (A, B) R2 tel que x X,B f (x) A.

LimitesSoit f : I R une application.On dit que f admet une limite l en a I si et seulement si :

> 0, > 0, x I, |x a| = | f (x) l| On dit que f admet une limite l en + si et seulement si :

> 0, A R, x I, x A = | f (x) l| On dit que f admet comme limite + en a I si et seulement si :

A > 0, > 0, x I, |x a| = f (x) AOn dit que f admet comme limite + en + si et seulement si :

A > 0, B > 0, x I, x B = f (x) AOn dit que f admet comme limite en si et seulement si :

A < 0, B < 0, x I, x B = f (x) A

Limite droite ou gauche en un pointSoit f : I R une application. On dit que f a une limite l droite ena I si et seulement si :

> 0, > 0, x I, 0 < x a < = | f (x) l| On dit que f a une limite l gauche en a I si et seulement si :

> 0, > 0, x I, < x a < 0 = | f (x) l| On dit que f admet comme limite + droite en a I si et seulementsi :

A > 0, > 0, x I, 0 < x a < = f (x) AOn dit que f admet comme limite gauche en a I si et seulementsi :

A < 0, > 0, x I, < x a < 0 = f (x) A

2. Analyse 27

Composition suite-fonctionSoient (un)nN une suite numrique et f : I R une application. Onsuppose que (un)nN a pour limite a I et que f a pour limite b en a.Dans ce cas la suite ( f (un))nN a pour limite b.

Oprations sur les limitesSoient f : I R et g : I R deux applications admettant unelimite en a I. Soit un nombre rel ( R). On peut faire les opra-tions suivantes sur les limites :- somme : lima( f + g) = lima f + lima g sauf forme indtermine

- produit : lima f g = lima f lima g sauf forme indtermine 0 -multiplication par un rel : lima f = lima f sauf forme indtermi-ne 0 - quotient : lima

fg =

lima flima g

sauf formes indtermines 00 et

Composition de limitesSoient f : I R et g : J R deux applications. On suppose que fa une limite b J en a I et que g a pour limite l en b. Dans ce cas lafonction g f a pour limite l en a.

Voisinages DefinitionVoisinage dun point : soit a R. On appelle voisinage de a tout inter-valle du type [a , a + ] o > 0Voisinage de + : on appelle voisinage de + tout intervalle du type[A,+[ o A > 0Voisinage de : on appelle voisinage de tout intervalle du type] , A] o A > 0

Signe local dune fonction de limite non nulleSoit f : I R une application ayant une limite l non nulle (ventuel-lement infinie) en a I. Si cette limite est strictement positive, alorsf (x) > 0 pour x au voisinage de a ; si cette limite est strictement nga-tive, alors f (x) < 0 au voisinage de a.

Passage aux limites dans une ingalitSoient f : I R et g : I R deux applications admettant unelimite en a I. On suppose quau voisinage de a : f (x) g(x). On aalors : lima f lima g.c D

uno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

28 [1] Mathmatiques

Thorme des gendarmes (limites finies)Soient f : I R, g : I R et h : I R des applications.On suppose quau voisinage de a : f (x) g(x) h(x) et que lesapplications f et g admettent une mme limite finie l en a I. Dans cecas lapplication h admet aussi l pour limite en a I.

Thorme des gendarmes (limites infinies)

Soient f : I R et g : I R deux applications. Soit a I. Onsuppose quau voisinage de a : f (x) g(x). Dans ce cas :- si lima f = + alors lima g = +,- si lima g = alors lima f = .

Thorme de la limite monotoneSoit f : I R une application monotone sur I. Elle admet alors unelimite (finie ou infinie) en tout point a I.

Fonctions ngligeables DfinitionSoient f : I R et g : I R deux applications. On dit que f estngligeable devant g au voisinage de a I lorsquil existe une aplica-tion telle que, au voisinage de a, f = g et lima = 0. On le notef =a o(g).

Fonctions quivalentes DfinitionSoient f : I R et g : I R deux applications. On dit quelles sontquivalentes au voisinage de a I lorsque f =a g + o(g). On le notef a g.

Fonctions ngligeables ou quivalentes CritreSoient f : I R et g : I R deux applications. On supposeque dans un voisinage de a I lapplication g ne sannule pas (saufventuellement en a). On a alors f =a o(g) si et seulement si lima

fg =

0, et f a g si et seulement si lima fg = 1.Fonctions quivalentes - Proprits

Soient f : I R, g : I R et h : I R des applications et a I.- rflxivit : on a f a f .- symtrie : si f a g alors g a f .- transitivit : si f a g et g a h alors f a h.

2. Analyse 29

Fonctions quivalentes Rgles de calculSoient f : I R, g : I R, u : I R et v : I R desapplications. On suppose que f a g et u a v.- produit : on a alors u f a vg.- quotient : si u et v ne sannule pas au voisinage de a, alors fu a gv .- puissances entires : pour tout Z, f a g (pour < 0, il fautque f et g ne sannulent pas au voisinage de a).- puissances relles : pour tout R, | f | a |g| (pour < 0, il fautque f et g ne sannulent pas au voisinage de a).- Composition par une suite : si f a g et (un)nN est une suite num-rique de limite a, alors f (un) g(un).Par contre on ne peut ni additionner les quivalents, ni les composerpar une fonction.

Fonctions quivalentes et limites

Soient f : I R et g : I R deux applications et a I.1) On suppose que f a g et que lima g existe. Dans ce cas lima f existeet lima f = lima g.2) On suppose que f a une limite finie l non nulle en a. Dans ce casf a l.

quivalents usuels

Soit R. On a : ln(1 + x) 0 x ex 1 0 x (1 + x) 1 0x et : sin x 0 x cos x 1 0 x22 tan x 0 x.

Continuit DfinitionsSoient f : I R et a I. On dit que f est continue gauche en alorsque lima f = f (a). On dit que f est continue droite en a lorsquelima+ f = f (a). On dit que f est continue en a lorsque lima f = f (a).On dit que f est continue sur I lorsquelle est continue en tout point deI.

Continuit CritreSoient f : I R et a I. f est continue en a si et seulement si f estcontinue droite et gauche en a.

Oprations sur les fonctions continuesSoient f : I R et g : I R deux fonctions continues sur I. Soit R. Les fonctions f + g, f g et f sont aussi continues sur I.

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

30 [1] Mathmatiques

De plus, si la fonction g ne sannule pas sur I alors les fonctions 1g etfg

sont continues sur I.

Composition et continuitSoient f : I R et g : J R deux applications o I et J sontdeux intervalles de R tels que f (I) J. Si f et g sont respectivementcontinues en a et f (a), alors g f est continue en a. Par consquent, sif est continue sur I et g est continue sur J, avec f (I) J, alors g f estcontinue sur I.

Thorme des valeurs intermdiaires

Soient (a, b) R2 tel que a < b et f : [a, b] R une fonction continuesur [a, b]. Dans ce cas f prend toute valeur comprise entre f (a) et f (b),cest--dire :

y [ f (a), f (b)], c [a, b]; y = f (c).

Par consquent, si I est un intervalle de R et si f est continue sur I alorsf (I) est un intervalle.

Thorme de continuit sur un segment

Soient (a, b) R2 tel que a < b et f : [a, b] R une fonction continuesur [a, b]. Dans ce cas f est borne sur [a, b] et atteint ses bornes, cest--dire :

(c, d) [a, b]2 ; x [a, b], f (c) f (x) f (d).

Le thorme des valeurs intermdiaires permet alors de dire quelimage dun segment par une fonction continue est un segment :

f ([a, b]) = [ f (c), f (d)].

Thorme de la bijectionUne fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle I estune bijection de I sur lintervalle f (I). Lapplication rciproque f1 estcontinue et a mme monotonie que f ; son graphe se dduit de celui def par symtrie orthogonale par rapport la droite dquation y = x ; sif est impaire alors f1 lest aussi.

2. Analyse 31

Fonctions trigonomtriques circulaires rciproques

Arcsin : [1, 1] 2,

2x ] 1, 1[ :Arcsin(x) = 1

1 x2Arccos : [1, 1] [0,]x ] 1, 1[ :Arccos(x) = 1

1 x2Arctan : R

2;

2x R :Arctan(x) = 1

1 + x2

-1 1

2

2

Arcsin

Arccos

Arctan

2.5 Drivation

Drivabilit en un point DfinitionsSoit f : I R une application o I est un intervalle de R.On dit que f a une drive droite en a I si et seulement silimxa+

f (x) f (a)xa existe et est finie ; dans ce cas cette limite est appele

drive droite de f en a, note f d(a).On dit que f a une drive gauche en a I si et seulement silimxa

f (x) f (a)xa existe et est finie ; dans ce cas cette limite est appele

drive gauche de f en a, note f g(a).On dit que f est drivable en a I si et seulement si limxa f (x) f (a)xaexiste et est finie ; dans ce cas cette limite est appele drive droitede f en a, note f (a).

Drivabilit en un point CritreSoient f : I R une application o I est un intervalle ouvert de R eta I. f est drivable en a si et seulement si elle est drivable droite et gauche en a avec f g(a) = f d(a). Dans ce cas : f

(a) = f g(a) = f d(a).Drivabilit en un point Interprtation graphique

Soient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.On note C f la courbe reprsentative de f .

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

32 [1] Mathmatiques

1) Si f drivable droite en a alors C f admet une demi-tangente droite au point dabscisse a, dquation y = f d(a)(x a) + f (a).2) Si f drivable gauche en a alors C f admet une demi-tangente gauche au point dabscisse a, dquation y = f g(a)(x a) + f (a).3) Si f drivable en a alors C f admet une tangente au point dabscissea, dquation y = f (a)(x a) + f (a).4) Si limxa f (x) f (a)xa (respectivement limite droite ou gauche)existe et est infinie alors C f admet une tangente (respectivement demi-tangente) verticale au point dabscisse a.

Drivabilit dune application rciproqueSoit f : I J une application o I et J sont des intervalles de R. Onsuppose que f est une bijection de I sur J = f (I) et quelle est drivablesur I. Dans ce cas f1 est drivable en tout point y0 = f (x0) J telque f (x0) = 0 et on a :

df1dy

(y0) =1

f f1(y0)=

1f (x0)

.

Drivation et continuit

Soient un point a I et une fonction f : I K, si f est drivable en a,alors f est continue en a.

Proprits des drivesSoient f et g deux fonctions de I dans K drivables en a, alors :( f + g)(a) = f (a) + g(a)

( f )(a) = f (a)

( f g)(a) = f (a)g(a) + f (a)g(a)

g(a) = 0,1g

(a) = g

(a)g2(a)

g(a) = 0,f

g

(a) =

f (a)g(a) f (a)g(a)g2(a)

(g f )(a) = g( f (a)) f (a)

2. Analyse 33

Drivabilit dune fonction sur un intervalle

f : I K, o I est un intervalle, est dite drivable sur un intervalleJ I si et seulement si : a J, f est drivable en a.

Formule de Leibniz

f : I K et g : I E on suppose que et f sont drivables sur I :Alors f g est n fois drivable sur I et ( f g)(n) =

n

k=0

(nk ) f(k) g(nk)

Classe dune fonction

Soient f : I K et k N, on dit que f est de classe Ck sur I si etseulement si f est k fois drivable sur I et f (k) est continue sur I.

Thorme de Rollef : [a, b] R continue sur [a, b] et drivable sur ]a, b[, f (a) = f (b) ;alors il existe c ]a, b[ tel que :

f (c) = 0

Thorme des accroissements finis

f : [a, b] R, avec (a, b) R2 et a < b, continue sur [a, b] et drivablesur ]a, b[. Il existe c ]a, b[ :

f (b) f (a) = (b a) f (c)

Ingalit de Taylor-Lagrangef : [a, b] R et f de classe Cn sur [a, b], (n + 1) fois drivable sur ]a, b[et telle que t ]a, b[, f (n+1)(t) M alors :

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

34 [1] Mathmatiques

f (b) n

k=0

f (k)(a)

k!(b a)k M (b a)

n+1

(n + 1)!

Reste intgral

f : [a, b] R de classe Cn+1 sur [a, b] alors :f (b) =

n

k=0

f (k)(a)

k!(b a)k + 1

n!

b

a(b t)n f (n+1)(t) dt

Reste de Laplace

Formule de Taylor-Youngf : I E, I un intervalle de R, si f est Cn au voisinage de a(a I) :

f (x) =n

k=0

f (k)(a)

k!(x a)k + o

xa ((x a)n)

Diffomorphisme DfinitionSoient f : I J avec I, J deux intervalles de R, n N {+}, on ditque f est un Ck-diffomorphisme de I sur J si et seulement si : f est de classe Ck sur I f est bijective f1 est de classe Ck sur J

Drive et monotonieSoit f : I R une application o I est un intervalle de R. On a alors :f est croissante (respectivement dcroissante) sur I si et seulement sipour tout x I, f (x) 0 (respectivement f (x) 0).De plus, si pour tout x I, f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0) alorsf est strictement croissante (respectivement dcroissante) sur I.

Thorme sur la limite de la driveSoient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.On suppose que f est continue sur I, drivable sur I\{a}.- si limxa f (x) (ventuellement limite droite ou gauche si a estune borne de I) existe et est finie alors f est drivable au point a (ven-tuellement droite ou gauche) et f (a) = limxa f (x).

2. Analyse 35

- si limxa f (x) (ventuellement limite droite ou gauche) existeet est infinie alors f nest pas drivable au point a (ventuellement droite ou gauche) et sa courbe reprsentative admet une tangente(ventuellement demi-tangente) verticale en ce point.

Thorme de prolongement des fonctions de classe C1

Soient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.On suppose que f est continue sur I, et C1 sur I\{a}. Si limxa f (x)(ventuellement limite droite ou gauche si a est une borne de I)existe et est finie alors f est C1 sur I et f (a) = lim

xa f(x).

Extremum local ou global DfinitionsSoient f : I R une application o I est un intervalle de R et a I.1) On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) localau point a lorsquil existe un voisinage de a sur lequel f est majore(respectivement minore) par f (a). Dans les deux cas on dit que f ad-met un extremum local au point a.2) On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) globalsur I au point a lorsque f est majore (respectivement minore) sur Ipar f (a). Dans les deux cas on dit que f admet un extremum global surI au point a.

Extremum local et driveSoient f : I R une application o I est un intervalle de R et a unpoint intrieur lintervalle I. Si f est drivable et admet un extremumlocal au point a alors f (a) = 0 ; la rciproque est fausse en gnral.

Convexit DfinitionSoit f : I R une application o I est un intervalle de R. On supposeque f est drivable sur I. On dit que f est convexe sur I si et seulementsi f est croissante sur I. La courbe reprsentative de f est alors au-dessus de ses tangentes.

Dveloppement limit DfinitionSoient a R, n N et f une fonction dfinie (au moins) sur un voisi-nage de a. On dit que f admet un dveloppement limit dordre n aupoint a, en abrg DLn(a) lorsquil existe n + 1 rels a0 , a1 , . . . , an telsque : f (x) =a a0 + a1(x a) + + an(x a)n + o ((x a)n) .Le polynme Pn(x) =

n

k=0

ak(x a)k est la partie rgulire du DLn(a)de f .

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

36 [1] Mathmatiques

Dveloppement limit en DfinitionSoit f une fonction dfinie (au moins) sur un voisinage de + (respec-tivement ). On dit que f admet un dveloppement limit dordren en + (respectivement ), en abrg DLn(+) (respectivementDLn()), lorsque la fonction g, dfinie par g(h) = f (1/h) admet unDLn(0+) (respectivement DLn(0)) :

g(h) =0+n

k=0

akhk + o(hn).

Dans ce cas :

f (x) =+n

k=0

ak1xk

+ o1xn

(respectivement =)

Unicit de la partie rgulireSoit f une fonction admettant un DLn(a) de partie rgulire Pn(x),avec n N et a R ou a = . Dans ce cas le choix de la partiergulire est unique.

Oprateur de troncature DfinitionSoit p N. On appelle oprateur de troncature dordre p lapplicationTp : R[X] Rp[X] qui tout polynme P R[X] associe le poly-nme form des termes de P de degr infrieur ou gal p.

Dveloppement limit TroncatureSoit f une fonction admettant un DLn(a) de partie rgulire Pn(x), oa R et n N. Pour tout p entier naturel tel que 0 p n, f admetun DLp(a) de partie rgulire Tp(Pn(x)).

Dveloppement limit et rgularitSoient a R et f une fonction dfinie (au moins) sur un voisinage dea. On a alors :- f est continue en a f admet un DL0(a).- f est drivable en a f admet un DL1(a). Dans ce cas, si on noteP1(x) la partie rgulire, alors la tangente la courbe reprsentative def au point a a pour quation y = P1(x). On peut positionner la courbelocalement par rapport sa tangente en utilisant un dveloppementlimit de f un ordre suprieur ou gal 2.Ces quivalences sont fausses pour les autres ordres de drivation.

2. Analyse 37

Lien entre DLn(a) et DLn(0)Soient f une fonction dfinie au voisinage de a (a R ou a = ) etn N.On dfinit une fonction g par g(h) = f (a+ h) si a R et g(h) = f (1/h)si a = .Alors f admet un DLn(a) de partie rgulire Pn(x) si et seulement si lafonction g admet un DLn(0) de partie rgulire Qn(x).Dans ce cas on a Pn(x) = Qn(x a) si a R et Pn(x) = Qn(1/x) sia = + .

Oprations sur les dveloppements limitsSoient f et g deux fonctions admettant un DLn(a) de partie rgulirerespective Pn(x) et Qn(x), o a R et n N.On a alors :- f + g admet un DLn(a) de partie rgulire Pn(x) + Qn(x) ;- f g admet un DLn(a) de partie rgulire Tn Pn(x)Qn(x) ;- si R, f admet un DLn(a) de partie rgulire Pn(x).

Composition de dveloppements limitsSoit f une fonction admettant un DLn(a) de partie rgulire Pn(x), oa R et n N. Soit g une fonction admettant un DLn f (a) de partiergulire Qn(x).Dans ce cas g f admet un DLn(a) de partie rgulire Tn Qn Pn(x) .

Dveloppement limit de f partir de celui de sa drive

Soient a R et f une fonction C1 sur un voisinage de a. On supposeque f admet un DLn(a) de la forme :

f (x) =an

k=0

ak(x a)k + o ((x a)n)

Dans ce cas f admet un DLn+1(a) de la forme :

f (x) =a f (a) +n

k=0

akk + 1

(x a)k+1 + o (x a)n+1

2.6 Intgration

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

38 [1] Mathmatiques

Primitives dune fonction continue sur un intervalleSoit f : I R une application continue sur un intervalle de I de R.Dans ce cas f admet sur I une infinit de primitives. De plus, si F et Gsont deux primitives de f sur I, alors il existe C R tel que : x I,F(x) = G(x) + C.

Intgrale dune fonction continue DfinitionSoit f : [a, b] R une application continue sur un segment [a, b].Si F est une primitive de f sur [a, b] alors le nombre F(b) F(a) nedpend pas du choix de F, et est appel intgrale de f entre a et b, not

b

af (t) dt.

Intgrale dune fonction continue InterprtationSi f : [a, b] R est une application continue et positive sur un seg-ment [a, b], alors

b

af (t) dt est laire sous la courbe de f entre a et

b. Dans le cas gnral o f est de signe non constant,b

af (t) dt est

laire du domaine dlimit par la courbe de f , laxe des abscisses et lesdroites dquation x = a et x = b.

Proprits lmentaires de lintgraleSoient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b] et c [a, b].On a alors :

1) Antisymtrie :a

bf (t) dt =

b

af (t) dt

2) Relation de Chasles :b

af (t) dt =

c

af (t) dt +

b

cf (t) dt

3) Positivit : si a b et f 0 sur [a, b] alorsb

af (t) dt 0. De plus si

c [a, b] ; f (c) = 0 alorsb

af (t) dt > 0.

4) Linarit : si (,) R2 alorsb

a f (t) + g(t) dt =

b

af (t) dt +

b

ag(t) dt.

5) Croissance : si a b et f g sur [a, b] alorsb

af (t) dt

b

ag(t) dt

2. Analyse 39

6) Majoration en valeur absolue : si a b alorsb

af (t) dt

b

a| f (t)| dt

Primitives et intgrales dune fonction continueSoit f : I R une application continue sur un intervalle I de R.Alors pour tout a I, lapplication x I

x

af (t) dt est lunique

primitive de f sur I qui sannule en a.

Thorme de la valeur moyenneSoit f : [a, b] R une application continue sur un segment [a, b]. Ona alors :

1b a

b

af (t) dt = lim

n+1n

n1k=0

f a + kb a

n.

Intgrale dune fonction continue par morceaux DfinitionSoit f : [a, b] R une application dfinie sur un segment [a, b]. Ondit que f est continue par morceaux sur [a, b] lorsquil existe des relsa = x0 < x1 < < xn1 < xn = b tels que :1) i {0, . . . , n 1}, f est continue sur ]xi , xi+1[,2) i {0, . . . , n 1}, limxx+i f (x) existe et est finie,3) i {1, . . . , n}, limxxi f (x) existe et est finie.Dans ce cas, pour tout i {0, . . . , n 1}, on note i le prolongementcontinue de f au segment [xi , xi+1]. On dfinit alors lintgrale de fentre a et b par la formule :

b

af (t) dt =

n1i=0

xi+1

xii(t) dt.

Intgrale dune fonction continue par morceauxSoient f et g deux fonctions continues par morceaux sur un segment[a, b]. On suppose que f = g sur [a, b] sauf ventuellement dunnombre fini de points.

On a alors :b

af (t) dt =

b

ag(t) dt.

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

40 [1] Mathmatiques

Intgrale dune fonction valeurs complexes DfinitionSoit f : [a, b] C une application dfinie sur un segment [a, b]. Onpose : f1 = Re f et f2 = Img, et on suppose que ces deux applicationssont continues par morceaux sur [a, b]. On dfinit alors lintgrale de fentre a et b par la formule :

b

af (t) dt =

b

aRe f (t) dt + i

b

aIm f (t) dt.

Intgration par parties

Soit u et v deux applications de classe C1 sur un segment [a, b]. On aalors :

b

au(t)v(t) dt = u(t)v(t)

b

a

b

au(t)v(t) dt.

Intgration par changement de variable

Soient : [,] R une application C1 sur un segment [,] etf : I R une application continue sur un intervalle I vrifiant[(),()] I. On a alors :

f (x) (x) dx =

()

()f (t) dt.

Intgration des fonctions du type x ax+bx2+px+q

Soit (a, b, p, q) R4. On note : = p2 4q le discriminant du poly-nme X2 + pX + q. Alors :1) si > 0, alors X2 + pX + q = (X c)(X d) et (,) R2 telque :

ax + b

x2 + px + q=

x c +

x d .

2) si = 0, alors X2 + pX + q = (X c)2 et (,) R2 tel que :ax + b

x2 + px + q=

x c +

(x c)2 .

3) si < 0, alors on crit :

2. Analyse 41

ax + b

x2 + px + q=

a

22x + p

x2 + px + q+ b ap

21

x2 + px + q,

le premier sintgre en ln et le second en arctan.

Coefficients de f (x) = c + nk=1 ak cos(kx) + bk sin(kx)

On dfinit une fonction f par f (x) = c +n

k=1

ak cos(kx) +

bk sin(kx) . On a alors :

c =

2

2

0f (t) dt, ak =

2

0f (t) cos(kt) dt, bk

c =

2

0f (t) sin(kt) dt.

Intgrales gnralises DfinitionSoit f : [a, b[ C une application continue par morceaux sur un in-tervalle [a, b[. On dit que

b

af (t) dt converge lorsque lim

xbx

af (t) dt

existe et est finie, et on pose alors :b

af (t) dt = lim

xbx

af (t) dt. Dans

le cas contraire, on dit queb

af (t) dt diverge.

Intgrales gnralises PropritSoient f et g deux fonctions continues par morceaux sur un intervalle[a, b[. On a alors :

1) Relation de Chasles : sib

af (t) dt converge, alors

c

af (t) dt et

b

cf (t) dt convergent et

b

af (t) dt =

c

af (t) dt +

b

cf (t) dt

2) Positivit : si a b, f 0 sur [a, b[ etb

af (t) dt converge alors

b

af (t) dt 0c

Duno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

42 [1] Mathmatiques

3) Linarit : si (,) R2 et sib

af (t) dt et

b

ag(t) dt convergent

alorsb

a f (t) + g(t) dt converge et

b

a f (t) + g(t) dt =

b

af (t) dt +

b

ag(t) dt.

4) Croissance : si a b, f g sur [a, b[,b

af (t) dt et

b

ag(t) dt

convergent alorsb

af (t) dt

b

ag(t) dt

Intgrale absolument convergente DfinitionSoit f : [a, b[ C une application continue par morceaux sur unintervalle [a, b[. On dit que ba f (t) dt converge absolument lorsque

b

a| f (t)| dt converge.

Intgrale absolument convergente PropritSoit f : [a, b[ C une application continue parmorceaux sur un inter-valle [a, b[. Si ba f (t) dt converge absolument alors

b

af (t) dt converge.

Critre de comparaisonSoient f et g deux applications continues par morceaux sur un inter-valle [a, b[.1) si x [a, b[, 0 f (t) g(t), alors ba g(t) dt converge = ba f (t) dtconverge et ba f (t) dt diverge = ba g(t) dt diverge.2) si x [a, b[, 0 | f (t)| g(t), alors ba g(t) dt converge =

ba f (t) dt converge absolument.

2.7 quations diffrentielles

quations diffrentielles linaires du premier ordre

y + y = (E)

,, : I K des applicationscontinues avec K = R ou C.y est une solution de cette qua-tion sur J I si et seulement si yest drivable sur J et si x J, yvrifie (E).

2. Analyse 43

quation rsolueUne quation diffrentielle linaire du premier ordre est dite normali-se ou rsolue en y si et seulement si = 1.Solution dune quation diffrentielle linaire du premier ordre

S = {eA + BeA , K}

La solution ci-contre est la solutionde lquation rsolue avec = 1A : primitive de B : primitive de eA

La solution de (E) est la somme dela solution gnrale de lquationhomogne associe (E) et dunesolution particulire de (E).

Mthode de rsolution de E1. Rsolution de lquation homogne associe, solution de la formey0(x) ou R.2. Rinjecter la solution trouve dans lquation complte avec la m-thode de variation de la constante qui permet de trouver la fonctionqui vrifie lquation complte.

quation diffrentielle du second ordre coefficients constants

y + y + y = 0

(Ec) : r2 + r + = 0

(,) R2 : coefficients delquation diffrentielle

Soit (Ec) lquation caractristiqueassocie lquation diffrentielle.Si cette quation caractristiqueadmet : deux racines distinctes r1 et r2,les solutions de lquation sont dela forme 1er1x + 2er2x une racine double r, les solutionssont de la forme (x + )erx deux racines complexes conju-gues r = a ib, les solutions sontde la forme :( cos bx + sin bx)eaxc

Duno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

44 [1] Mathmatiques

quation du second ordre avec second membre exR(x)

y + y + y = emxP(x)

(,,m) K3 : coefficientsconstants de lquation diffren-tielleP K[X]Lquation diffrentielle admetune solution de la forme emxS(x)avec S K[X] : deg S = deg P si m nest pas ra-cine de (Ec) deg S = 1+ deg P si m est racinesimple de (Ec) deg S = 2+ deg P si m est racinedouble de (Ec)

2.8 Sries

Sries numriques - DfinitionSoit (un)nN une suite relle. Pour tout n N, on dfinit la sommepartielle dordre n par Sn = nk=0 uk. On appelle srie numrique lasuite (un , Sn)nN valeurs dans R2 ; on la note un. On dit quelleconverge lorsque la suite (Sn)nN converge, et sinon on dit quelle di-verge. En cas de convergence, on appelle somme de la srie un le relnot +n=0 un et dfini par :

+n=0 un = limn+ Sn.

Condition ncessaire de convergenceSoit un une srie numrique. On a alors :

un converge = limn+ un = 0;

la rciproque est fausse en gnral.

Condition ncessaire et suffisante de convergenceSoit un une srie numrique. On note (Sn)nN la suite de ses sommespartielles. On a alors :

un converge (Sn)nN estmajore.

2. Analyse 45

Reste dune srie numriqueSoit un une srie numrique. Pour tout n N, on dfinit le restedordre n par Rn = nk=0 uk. On a alors :

un converge limn+ Rn = 0.

Sries numriques Linarit

Soient un et vn deux sries numriques convergentes et , R2.Dans ce cas (un + vn) est convergente et :

+

n=0

(un + vn) = +

n=0

un + +

n=0

vn .

Srie absolument convergente DfinitionSoit un une srie numrique. On dit que un converge absolumentlorsque |un| converge.

Srie absolument convergente PropritSoit un une srie numrique. Si un converge absolument alors unconverge.

Critre de comparaisonSoient un et vn deux sries numriques.1) si n0 N ; n n0, 0 un vn, alors vn converge = unconverge et un diverge = vn diverge.2) si n0 N ; n n0, 0 |un| vn, alors vn converge = unconverge absolument.

Sries gomtriques1) Srie gomtrique : qn converge |q| < 1. Dans ce cas :+n=0 q

n = 11q .2) Drive premire de la srie gomtrique : si |q| < 1 alors nqnconverge absolument et : +n=0 nq

n =q

(1q)2 .3) Drive seconde de la srie gomtrique : si |q| < 1 alors n2qnconverge absolument et : +n=0 n

2qn =q2+q

(1q)2 .

Srie exponentielle

Pour tout x R, xnn! converge et : +n=0 xn

n! = ex.

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

46 [1] Mathmatiques

2.9 Fonctions de plusieurs variables

Pav ouvert DfinitionOn apelle pav ouvert de Rn tout sous-ensemble de Rn de la formeI1 I2 In o les Ii , i {1, . . . , n}, sont des intervalles ouvertsde R.

Limite, continuit dune fonction de n variablesSoient f : P R une application dfinie sur un pav ouvert P de Rnet a P.On dit que f a pour limite l R au point a lorsque :

> 0, > 0; x P, x a < = | f (x) l| ,

o y dsigne la norme euclidienne de y : y = nk=1 y2k . On note

alors : limxa f (x) = l. On dit que f est continue au point a lorsque :limxa f (x) = f (a).

Applications partiellesSoient f : P R une application dfinie sur un pav ouvert Pde Rn et a P. Pour tout i {1, . . . , n}, on apelle ime appli-cation partielle de f au point a lapplication fi : x fi(x) =f (a1 , . . . , ai1 , x, ai+1 , . . . , an).

Drives partielles premiresSoit f : P R une application dfinie sur un pav ouvert P de Rn.Soient a P et i {1, . . . , n}. On note fi lapplication partielle de f aupoint a. On dit que f admet une drive partielle en a par rapport xilorsque fi est drivable en ai. f i (ai) est alors appele drive partiellede f par rapport xi au point a, note

fxi

(a). Si f admet une drivepartielle par rapport xi en tout point a de P, on dfinit alors lappli-cation drive partielle :

fxi

: a P fxi

(a)

2. Analyse 47

Fonctions de classe C1

Soit f : P R une application continue sur un pav ouvert P deRn. On dit que f est de classe C1 sur P lorsque f admet des drivespartielles par rapport chacune des variables, continues sur P.

Drives partielles secondes

Soit f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert P deRn.Soient a P et (i, j) {1, . . . , n}2. On dit que f admet une drive par-tielle seconde en a par rapport x j et xi lorsque

fxi

admet une drive

partielle par rapport xi au point a, note2 f

x jxi(a).

Fonctions de classe C2

Soit f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert P deRn. On dit que f est de classe C2 sur P lorsque f admet des drivespartielles secondes par rapport chacune des variables, continues surP.

Thorme de Schwartz : interversion de lordre de drivation

Soient f : P R une application de classe C2 sur un pav ouvert Pde Rn et (i, j) {1, . . . , n}2. Alors 2 fx jxi et

2 fxix j

sont continues sur P

et : a P, 2 f

x jxi(a) =

2 fxix j

(a).

Extremum local DfinitionSoit f : D R une application dfinie sur une partie D de Rn.Si y Rn, on pose : y = nk=1 y2k .1) On dit que f admet un maximum local au point a D si et seule-ment si : > 0 ; x D, x a < = f (x) f (a).2) On dit que f admet unminimum local au point a D si et seulementsi : > 0 ; x D, x a < = f (x) f (a).3) Dans les deux cas suivants, on dit que f admet un extremum localau point a D.

Condition ncessaire dexistence dextremum local

Soit f : Rn R une application de classe C1 sur Rn. Si f admet unextremum local en a Rn, alors :

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

48 [1] Mathmatiques

i {1, . . . , n}, fxi

(a) = 0;

la rciproque est fausse en gnral.

Diffrentielle dune fonction de classe C1

Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde Rn et a P. On appelle diffrentielle de f au point a lapplication :

dfa : h Rn dfa(h) =n

i=1

fxi

(a)hi .

Diffrentielle et approximation locale

Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde Rn et a P. On a alors, lorsque h 0 :

f (a + h) = f (a) +n

i=1

fxi

(a)hi + o h

Notations diffrentielles

Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvertP de Rn et a P. Pour tout i {1, . . . , n}, on note dxi lapplicationdxi : h Rn hi. On a alors :

dfa =n

i=1

fxi

(a)dxi .

Gradient - Dfinition

Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde Rn et a P. On appelle gradient de f en a le vecteur not f (a) :

f (a) = fx1

(a), . . . , fxn

(a) .

2. Analyse 49

Drives partielles dune compose en dimension 2 Version 1

Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde R2 et x : Q R, y : Q R deux applications de classe C1 surun pav ouvert Q de R2 telles que : (u, v) Q, x(u, v), y(u, v) P2.Dans ce cas, lapplication F : (u, v) Q f x(u, v), y(u, v) est declasse C1 sur Q et, pour tout (u, v) Q :

Fu

(u, v) = fx

x(u, v), y(u, v)xu

(u, v)+ fy

x(u, v), y(u, v)yu

(u, v)

Fv

(u, v) = fx

x(u, v), y(u, v)xv

(u, v)+ fy

x(u, v), y(u, v)yv

(u, v)

Drives partielles dune compose en dimension 2 Version 2

Soient f : P R une application de classe C1 sur un pav ouvert Pde R2 et x : I R, y : I R deux applications de classe C1 surun intervalle ouvert I de R telles que : t I, x(t), y(t) I2. Dansce cas, lapplication F : t I f x(t), y(t) est de classe C1 sur I et,pour tout t I :

F(t) = x(t) fx

x(t), y(t) + y(t) fy

x(t), y(t) .

Forme diffrentielle en dimension 3 Dfinition

On appelle forme diffrentielle toute application : P L R3 ,Rdfinie sur un pav ouvert P de R3 telle que :

(x, y, z) R3 , (x, y, z) = p(x, y, z)dx + q(x, y, z)dy + r(x, y, z)dz,

o p : P R, q : P R et r : P R sont trois applicationscontinues sur P.

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

50 [1] Mathmatiques

Forme diffrentielle exacte en dimension 3 DfinitionSoit = pdx + qdy + rdz une forme diffrentielle dfinie sur un pavouvert P de R3 telle que p, q et r sont de classe C1 sur P. On dit que est une forme diffrentielle exacte sur P lorsquil existe une applicationf : P R telle que :

(x, y, z) P, (x, y, z) = df(x,y,z) .

Forme diffrentielle exacte en dimension 3 CaractrisationSoit = pdx + qdy + rdz une forme diffrentielle dfinie sur un pavouvert P de R3 telle que p, q et r sont de classe C1 sur P. On a alorsquivalence des propositions :(i) est une forme diffrentielle exacte sur P(ii) En tout point de P :

Py

=Qx

,Qz

=Ry

,Pz

=Rx

.

Intgrales doubles

I et J deux intervalles, f est C0 sur I J. Sous rserve dabsolue conver-gence :

I Jf (x, y)dydx =

J If (x, y)dxdy

Intgrales doubles en coordonnes polaires

Si D est un domaine de R2, alors :

Df (x, y)dxdy =

f (r cos , r sin )rdrd

o est dterminer partir de D.

3. Gomtrie

3.1 Courbes dans le plan

3. Gomtrie 51

Asymptote une courbe y = f (x)Soit a R ou a = . Soient f et g deux fonctions dfinies au voisi-nage de a telles que lim

xa f (x) g(x) = 0 (ventuellement limite droiteou gauche). On dit alors que la courbe reprsentative de g est asymp-tote celle de f .

Asymptote verticale une courbe y = f (x)Si f est une fonction vrifiant lim

xa+f (x) = ou lim

xaf (x) =

alors la courbe reprsentative de f admet la droite dquation x = apour asymptote verticale.

Asymptote horizontale une courbe y = f (x)Soit b R. Si f est une fonction vrifiant lim

x+ f (x) = b oulim

x f (x) = b alors la courbe reprsentative de f admet la droitedquation y = b pour asymptote horizontale.

Asymptote oblique une courbe y = f (x)

Soit (a, b) R2 avec a = 0. Si f est une fonction vrifiant limx+ f (x) =

et limx+

f (x)

x= a et lim

x+ f (x) ax = b alors la courbe repr-sentative de f admet la droite dquation y = ax + b pour asymptotehorizontale. On a le mme rsultat avec des limites en . Un dve-loppement limit en + ou en permet de dterminer les asymp-totes obliques et de positionner localement la courbe par rapport sonasymptote.

3.2 Proprits lementaires dans le plan

Proprits fondamentales du plan affine PLe plan affine P vrifie les deux proprits fondamentales suivantes :(1) pour tout point O du plan affine (O P) et tout vecteur u du plan(u R2), il existe un unique point M du plan affine (M P) tel queOM = u.(2) pour tout triplet (A, B,C) du plan affine (A, B,C) P3 , on a larelation de Chasles :cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

52 [1] Mathmatiques

AB +

BC =

AC.

Repres cartsiens et coordonnes

Un repre cartsien R est un triplet R = (O; i, j) o O est un pointquelconque du plan affine (O P), appel origine du repre, et (i, j)est une base de R2. Si M est un point du plan affine (M P), onappelle coordonnes de M dans le repre R lunique couple (x, y) derels (x, y) R2 tel que :

OM = xi + y j.

Calcul des coordonnes dun vecteurSoient A(xAyA) et B(

xByB

) deux points du plan affine P muni dun reprecartsienR = (O; i, j). Alors le vecteurAB a pour coordonnes (xBxAyByA)dans la base B = (i, j) de R2.

Colinarit de deux vecteurs Dfinition

Soient u et v deux vecteurs du plan (u, v) R2 R2 . On dit que u etv sont colinaires lorsque la famille (u, v) est lie, cest--dire lorsqueu = 0 ou lorsquil existe un rel tel que v = u.

Colinarit de deux vecteurs Critre

Soient u(xy) et v(xy) deux vecteurs du plan muni dune base B = (i, j).

u et v sont colinaires si et seulement si xy xy = 0.Milieu dun segment Dfinition

Soient A et B deux points du plan affine P (A, B) P2 . On appellemilieu du segment [AB] lunique point I du plan affine P vrifiantAI =

IB.

Milieu dun segment Calcul des coordonnesSoient A(xAyA) et B(

xByB

) deux points du plan affine P muni dun reprecartsien R = (O; i, j). Dans le repre R, le milieu I du segment [AB]a pour coordonnes (xIyI) avec :

3. Gomtrie 53

xI =xA + xB

2et yI =

yA + yB2

3.3 Produit scalaire et norme dans le plan

Produit scalaire et norme euclidienne dans la base canonique

Soient u(xy) et v(xy) deux vecteurs du plan muni de sa base canonique.

On appelle produit scalaire de u et v le rel, not u.v :

u.v = xx + yy

On appelle norme eulidienne de u, note u le rel positif

u.u = x2 + y2

Bases et repres orthonormaux

Une base B = (i, j) de R2 est dite orthonormale lorsque i = j = 1et i. j = 0. Un repre orthonormalR est un tripletR = (O; i, j) o O estun point quelconque du plan affine (O P), appel origine du repre,et (i, j) est une base orthonormale de R2.

Produit scalaire et norme euclidienne dans une base orthonormale

Soient u(xy) et v(xy) deux vecteurs du plan muni dune base orthonor-

male (i, j). On a alors : u.v = xx + yy et u =

u.u = x2 + y2.Si on pose U = (xy) M21(R) et V = (x

y) M21(R) on a donc

u.v = tUV et u =

tUU.

Rgles de calcul pour le produit scalaire et la norme euclidienne

Soient u, v et w des vecteurs du plan (u, v,w) R2 R2 R2 et un rel ( R). On a les rgles de calcul suivantes :

u.(v + w) = u.v + u.w

(u + v).w = u.w + v.wcDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

54 [1] Mathmatiques

u.(v) = (u.v)

.u = || u

u.v = v.u

u 0 et u = 0 u = 0

et les identits remarquables :

u + v 2 = u 2 + 2u.v + v 2

u v 2 = u 2 2u.v + v 2

(u + v).(u v) = u 2 v 2

Ingalit de Cauchy-Schwartz

Pour tous vecteurs u et v du plan (u, v) R2 R2 , on a :|u.v| u v

avec galit si et seulement si les deux vecteurs sont colinaires.

Ingalit triangulaire

Pour tous vecteurs u et v du plan (u, v) R2 R2 , on a :u + v u + v

avec galit si et seulement si les deux vecteurs sont colinaires demme sens.

Orthogonalit de deux vecteurs

Soient u et v deux vecteurs du plan (u, v) R2 R2 . On dit que u etv sont orthogonaux lorsque u.v = 0. Dans ce cas on le note : u v.

3. Gomtrie 55

Thorme de Pythagore

Pour tous vecteurs u et v du plan (u, v) R2 R2 tels que u v, ona :

u + v 2 = u 2 + v 2

3.4 Droites dans le plan

Droite dans le plan DfinitionSoient A un point du plan affine P (A P) et u un vecteur non nul duplan (u R2 et u = 0). On appelle droite passant par A et dirige paru la partie de P suivante :

D = M P ; AM et u sont colineaires

D = M P ; AM Vect u

Droite dans le plan quation cartsienne

On munit le plan affine P dun repre cartsien (O; i, j). Soient a, b etc trois rels (a, b, c) R3 tels que (a, b) = (0, 0). Lensemble D despoints M(xy) du plan affine P tels que : ax + by + c = 0, est une droitedont un vecteur directeur est u(ba ). On dit quon dfinit D par unequation cartsienne.

Coefficient directeur dune droite

On munit le plan affine P dun repre cartsien R = (O; i, j). Soit Dune droite dquation cartsienne ax + by + c = 0. On suppose queb = 0, cest--dire que D nest pas dirige par j. Dans ce cas D admetune quation cartsienne de la forme y = mx + p o (m, p) R2. m estappel coefficient directeur de la droite D dans le repreR. Si A(xAyA) etB(xByB) sont deux points distincts de D alors :

m =yB yAxB xA

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

56 [1] Mathmatiques

Droite dans le plan Equations paramtriques

On munit le plan affine P dun repre cartsien (O; i, j). Soient A(xAyA)un point de P et, deux rels (,) R2 tels que (,) = (0, 0).Lensemble D des points M(xy) du plan affine P vrifiant :

x = xA + ty = yA + t

o t dcrit R, est une droite passant par A dont un vecteur directeur

est u

. On dit quon dfinit D par un systme dquations param-

triques.

Paralllisme de deux droites DfinitionSoient D1 et D2 deux droites. On dit que D1 et D2 sont parallles lors-quun vecteur directeur de D1 est colinaires un vecteur directeurde D2. Dans ce cas tout vecteur directeur de D1 est orthogonal toutvecteur directeur de D2.

Paralllisme de deux droites PropritSoient D1 et D2 deux droites dquation cartsienne respective : ax +by + c = 0 et x + y + = 0. Les droites D1 et D2 sont parallles siet seulement si a b = 0.

Vecteur normal une droite Dfinition

Soient D une droite et N un vecteur du plan (N R2). On dit que Nest normal D lorsque N est orthogonal un vecteur directeur de D.Dans ce cas N est orthogonal tous les vecteurs directeurs de D. On lenote N D.

Vecteur normal une droite Proprit

On munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O; i, j). SoitN(ab) un vecteur non nul du plan (N R2 et (a, b) = (0, 0)). Il existeune infinit de droites admettant N comme vecteur normal ; elles sonttoutes parallles entre elles et admettent une quation cartsienne sousla forme ax + by + c = 0 o c est quelconque dans R. Rciproquement,si D est une droite dquation cartsienne ax + by + c = 0, alors D

admet Na

bcomme vecteur normal.

3. Gomtrie 57

Orthogonalit de deux droites DfinitionSoient D1 et D2 deux droites. On dit que D1 et D2 sont orthogonales, eton le note D1 D2, lorsquun vecteur directeur (respectivement nor-mal) de D1 est orthogonal un vecteur directeur (respectivement nor-mal) de D2. Dans ce cas tout vecteur directeur (respectivement normal)de D1 est orthogonal tout vecteur directeur (respectivement normal)de D2.

Orthogonalit de deux droites Proprit

On munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O; i, j).Soient D1 et D2 deux droites dquation cartsienne respective ax +by + c = 0 etx + y + = 0. Les droites D1 et D2 sont orthogonalessi et seulement si a + b = 0.

Intersection de deux droitesLintersection de deux droites est soit lensemble vide, soit un point,soit une droite.

3.5 Projection orthogonale dans le plan

Projection orthogonale DfinitionSoient M un point du plan affine P (M P) et D une droite de vecteurdirecteur u (u R2). Le projet orthogonal de M sur D est luniquepoint H du plan affine P vrifiant :(1) H D(2)

MH u

Lapplication qui M associe son projet orthogonal H est appele pro-jection orthogonale sur la droite D.

Projection orthogonale PropritSoient M un point du plan affine P (M P) et D une droite de vecteurnormal N (N R2). Le projet orthogonal de M sur D est luniquepoint H du plan affine P vrifiant :(1) H D(2)

MH et N sont colineaires

Projet orthogonal et produit scalaire

Soient A, B et C trois points du plan affine P (A, B,C) P3 tel queA = C. Si H est le projet orthogonal de B sur la droite (AC) alors ona :

cDuno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

58 [1] Mathmatiques

AB.

AC =

AH.

AC

Distance dun point une droite DfinitionSoient A un point du plan affineP (A P) et D une droite. On appelledistance de A D le rel not d(A,D) :

d(A,D) = infMD

AM

Distance dun point une droite PropritSoient A un point du plan affine P (A P) et D une droite. Si H est leprojet orthogonal de A sur D on a :

d(A,D) =AH = min

MDAM

(la borne infrieure est atteint en H, cest donc un minimum).

Distance dun point une droite Calcul

On munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O; i, j).Soient A

xAyA

un point du plan affine P (A P) et D une droitedquation cartsienne ax + by + c = 0. On a :

d(A,D) =|axA + byA + c|

a2 + b2

3.6 Cercles dans le plan

Cercle dans le plan DfinitionSoient un point du plan affine P ( P) et R un rel positif(R R+). On appelle cercle de centre et de rayon R la partie deP suivante :

C(, R) = {M P ; M = R}

3. Gomtrie 59

Cercle dans le plan Equation cartsienne

On munit le plan affine P dun repre orthonormal (O; i, j). Soient a, bet R trois rels (a, b, R) R3 tels que R 0. Lensemble des pointsM(xy) du plan affine P tels que : (x a)2 + (y b)2 = R2, est le cercleC(, R) o est tel que O = ai + b j. On dit quon dfinit C(, R)par une quation cartsienne.

Cercle dans le plan Equations paramtriques

On munit le plan affine P dun repre orthonormal (O; i, j). Soient(xy) un point de P et R un rel positif (R R+). Lensemble despoints M(xy) du plan affine P vrifiant

x = x + R cosy = y + R sin

o dcrit R, est le cercle C(, R). On dit quon dfinit C(, R) par unsystme dquations paramtriques.

3.7 Mesure dun angle dans le plan

Orientation du plan affine

On munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O; i, j) oi = (x1 , y1) et j = (x2 , y2). On a alors : x1y2 x2y1 = 1. Dans lecas o x1y2 x2y1 = 1 on dit que le repre R est direct (cest le senstrigonomtrique), et dans le cas o x1y2 x2y1 = 1 on dit que lerepre R est indirect (cest le sens des aiguilles dune montre).

Angle orient de deux vecteurs du plan Dfinition

Onmunit le plan affine P dun repre orthonormal directR = (O; i, j).Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan (u, v) R2 R2 et u =0 et v = 0 . Par dfinition langle orient entre les vecteurs u et v, not

(u, v), est gal la mesure algbrique de larc orient AB, o A et B

sont dfinis par les relationsOA =

u

uet

OB =

v

v.c

Duno

d.L

apho

tocopie

nonau

toriseestu

ndlit.

60 [1] Mathmatiques

Angle orient de deux vecteurs du plan Proprits

Onmunit le plan affine P dun repre orthonormal directR = (O; i, j).Soient u, v et w trois vecteurs non nuls du plan (u, v,w) R2 R2 R2 et u = 0 et v = 0 et w = 0 . On a :(1) (u,w) = (u, v) + (v,w) [2 ](2) (u, u) = 0 [2 ](3) (u,u) = [2 ](4) (u, v) = (v, u) [2 ]

Angle gomtrique de deux vecteurs du plan Dfinition

On munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O; i, j).Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan (u, v) R2 R2 et u =0 et v = 0 .

Par dfinition langle gomtrique entre les vecteurs u et v, not (u, v),est gal lunique rel [0, ] vrifiant :

cos =u.v

u v

Angle de deux droites du plan Dfinition

On munit le plan affine P dun repre orthonormal R = (O; i, j).Soient D1 et D2 deux droites du plan diriges respectivement par lesvecteurs u et v. Par dfinition langle entre les droites D1 et D2 est gal lunique rel 0, 2 vrifiant :

cos =|u.v|u v

3.8 Proprits lmentaires dans lespace

Proprits fondamentales de lespace affine ELespace affine E vrifie les deux proprits fondamentales suivantes :(1) pour tout poi