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by Jessé de Lacerda Paulino

CAPÍTULO 23 – Lei de Gauss


Solução

Seja 𝑆 a superfície plana determinada pelo aro circular. Escrevemos 𝑑𝒂 =

±𝑑𝑎�̂� e 𝑬 = 𝐸�̂�. Ora, 𝑬 ∙ 𝑑𝒂 = ±𝐸𝑑𝑎. Então,

𝛷𝑬 = ∮ 𝑬 ∙ 𝑑𝒂𝑆

= ±𝐸 ∮ 𝑑𝑎𝑆

= ±𝐸(𝜋𝑎2) = ±𝜋𝑎2𝐸 = ±𝜋(11 × 10−2)2(3 × 10−3)

= ±1.14 × 10−4 [Nm2/C]

𝛷𝑬 = ±1.14 × 10−4

Nota. O sinal do fluxo é intrinsecamente indeterminado, dada as duas possibilidades de

orientação do vetor 𝑑𝒂: 𝑑𝒂 = 𝑑𝑎�̂� ou 𝑑𝒂 = −𝑑𝑎�̂�.


Solução

Seja a cadeia 𝑆 = (𝑆1, ⋯ , 𝑆6), onde 𝑆𝑖 é a 𝑖-ésima face do cubo. Então,


= ∑ ∫ 𝑬 ∙ 𝑑𝒂𝑆𝑖

6

𝑖=1

Sejam os vetores 𝒗𝑖, ⋯, 𝒗6, onde 𝒗𝑖 é o vetor elemento superfície de área da 𝑖-

ésima face do cubo. Ora, tomemos 𝒗1 = −𝑑𝑎�̂�, 𝒗2 = 𝑑𝑎�̂�, 𝑣3 = −𝑑𝑎�̂�, 𝑣4 = 𝑑𝑎�̂�, 𝑣5 =

−𝑑𝑎�̂� e 𝑣6 = 𝑑𝑎�̂�. Então,

𝑬 ∙ 𝒗1 = (−3, −4𝑦2, 3) ∙ (−𝑑𝑎, 0,0) = 3𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗1𝑆1

= 3 ∫ 𝑑𝑎𝑆1

= 3(4)

= 12 [Nm2/C]

𝑬 ∙ 𝒗2 = −𝑬 ∙ 𝒗1 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗2𝑆2

= −12 [Nm2/C]

𝑬 ∙ 𝒗3 = (−3, −4𝑦2, 3) ∙ (0, −𝑑𝑎, 0) = 4𝑦2𝑑𝑎 = 4(2)2𝑑𝑎 = 16𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗3𝑆3

= 16 ∫ 𝑑𝑎𝑆3

= 16(4) = 64 [Nm2/C]

𝑬 ∙ 𝒗4 = (−3, −4𝑦2, 3) ∙ (0, 𝑑𝑎, 0) = −4𝑦2𝑑𝑎 = −4(4)2𝑑𝑎 = −64𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗3𝑆3

= −64 ∫ 𝑑𝑎𝑆3

= −64(4) = −256 [Nm2/C]

𝑬 ∙ 𝒗5 = (−3, −4𝑦2, 3) ∙ (0,0, −𝑑𝑎) = −3𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗5𝑆5

= −12 [Nm2/C]


𝑬 ∙ 𝒗6 = (−3, −4𝑦2, 3) ∙ (0,0, 𝑑𝑎) = 3𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗6𝑆6

= 12 [Nm2/C]

Daí,

𝛷𝑬 = 12 − 12 + 64 − 256 − 12 + 12 = −192 [Nm2/C]

Pela lei de Gauss,

𝛷𝑬 =𝑞𝑒𝑛𝑣

𝜀0⇔ 𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0𝛷𝑬 = (8.85 × 10−12)(−192) = −1.7 × 10−9 [C]

𝑞𝑒𝑛𝑣 = −1.7 × 10−9 [C]


Solução

Seja a cadeia 𝑆 = (𝑆1, ⋯ , 𝑆6), onde 𝑆𝑖 é a 𝑖-ésima face do paralelepípedo. Então,


= ∑ ∫ 𝑬 ∙ 𝑑𝒂𝑆𝑖

6

𝑖=1

Sejam os vetores 𝒗𝑖, ⋯, 𝒗6, onde 𝒗𝑖 é o vetor elemento superfície de área da 𝑖-

ésima face do paralelepípedo. Ora, tomemos 𝒗1 = −𝑑𝑎�̂�, 𝒗2 = 𝑑𝑎�̂�, 𝑣3 = −𝑑𝑎�̂�, 𝑣4 =

𝑑𝑎�̂�, 𝑣5 = −𝑑𝑎�̂� e 𝑣6 = 𝑑𝑎�̂�. Temos que:

𝑬 ∙ 𝒗1 = (10 + 2𝑥, −3, 𝑏𝑧) ∙ (−𝑑𝑎, 0,0) = −(10 + 2𝑥)𝑑𝑎 = −[10 + 2(1)]𝑑𝑎

= −12𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗1𝑆1

= −12 ∫ 𝑑𝑎𝑆1

= −12(2) = −24 [Nm2/C]

𝑬 ∙ 𝒗2 = (10 + 2𝑥, −3, 𝑏𝑧) ∙ (𝑑𝑎, 0,0) = (10 + 2𝑥)𝑑𝑎 = [10 + 2(4)]𝑑𝑎 = 18𝑑𝑎

⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗2𝑆2

= 18 ∫ 𝑑𝑎𝑆2

= 18(2) = 36 [Nm2/C]

𝑬 ∙ 𝒗3 = (10 + 2𝑥, −3, 𝑏𝑧) ∙ (0, −𝑑𝑎, 0) = 3𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗3𝑆3

= 3 ∫ 𝑑𝑎𝑆3

= 3(6)

= 18 [Nm2/C2]

𝑬 ∙ 𝒗4 = −𝑬 ∙ 𝒗3 = −18 [Nm2/C2]


𝑬 ∙ 𝒗5 = (10 + 2𝑥, −3, 𝑏𝑧) ∙ (0,0, −𝑑𝑎) = −𝑏𝑧𝑑𝑎 = −𝑏(1)𝑑𝑎 = −𝑏𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗5𝑆5

= −𝑏 ∫ 𝑑𝑎𝑆3

= −𝑏(3) = −3𝑏 [Nm2/C2]

𝑬 ∙ 𝒗5 = (10 + 2𝑥, −3, 𝑏𝑧) ∙ (0,0, 𝑑𝑎) = 𝑏𝑧𝑑𝑎 = 𝑏(3)𝑑𝑎 = 3𝑏𝑑𝑎 ⇒ ∫ 𝑬 ∙ 𝒗6𝑆6

= 3𝑏 ∫ 𝑑𝑎𝑆3

= 3𝑏(3) = 9𝑏 [Nm2/C2]

Dessa forma,

𝛷𝑬 = −24 + 36 + 18 − 18 − 3𝑏 + 9𝑏 = 12 + 6𝑏

Pela lei de Gauss,


𝜀0⇔ 12 + 6𝑏 =

24𝜀0

𝜀0= 24 ⇔ 𝑏 = 2 [N/Cm]

𝑏 = 2 [N/Cm]


Solução

Sejam 𝑞 a carga da partícula e 𝑞𝐴 e 𝑞𝐵 as cargas totais das cascas esféricas 𝐴 e

𝐵, nesta ordem. Sejam 𝑟𝐴𝑖 e 𝑟𝐵

𝑖 os raios internos e 𝑟𝐴𝑒 e 𝑟𝐵

𝑒 os raios externos das cascas

esféricas A e B, respectivamente. Outrossim, seja 𝑟 o raio da superfície gaussiana.

a) Consideramos 0 < 𝑟 < 𝑟𝐴𝑖. No gráfico, vemos que, nesse caso, 𝛷𝑬 = −

9

5 𝛷𝑠 =

−9

5(5 × 105) = −9 × 105 [Nm2/C²]. Então, pela lei de Gauss, 𝑞 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 =

𝜀0𝛷𝑬 = (8.85 × 10−12)(−9 × 105) = −7.965 × 10−6 [C].

𝑞 ≈ −8 [μC]

b) Para determinar a carga 𝑞𝐴, consideramos 𝑟𝐴𝑒 < 𝑟 < 𝑟𝐵

𝑖 . Nesse caso, 𝛷𝑬 =4

5𝛷𝑠 =

4

5(5 × 105) = 4 × 105 [Nm2/C²]. Portanto, pela lei de Gauss,

𝑞 + 𝑞𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0𝛷𝑬 = (8.85 × 10−12)(4 × 105) = 3.54 × 10−6 ⇔ 𝑞𝐴

= 3.54 × 10−6 − 𝑞 = 3.54 × 10−6 − (−7.965 × 10−6)

= 1.15 × 10−5 [C]

𝑞𝐴 ≈ 12 [μC]

Analogamente, para determinarmos 𝑞𝐵, consideramos 𝑟𝐴𝑒 < 𝑟 < 𝑟𝐵

𝑖 . Vemos que,

nesse caso, 𝛷𝑬 = −2

5𝛷𝑠 = −

2

5(5 × 105) = −2 × 105 [Nm2/C²]. Pela lei de

Gauss, 𝑞𝐵 + 𝑞𝐴 + 𝑞 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0𝛷𝑬 = (8.85 × 10−12)(−2 × 105) = −1.77 ×


10−6 ⇔ 𝑞𝐵 = −1.77 × 10−6 − (𝑞𝐴 + 𝑞) = −1.77 × 10−6 − 3.54 × 10−6 =

−5.31 × 10−6 [C].

𝑞𝐵 ≈ −5 [μC]


Solução

Denotemos por 𝑆(𝑟) a superfície gaussiana cilíndrica à distância 𝑟 do eixo da

haste.

a) Para 𝑟 = 2𝑅2, observamos que a carga 𝑞𝑒𝑛𝑣 envolvida pela gaussiana é 𝑞𝑒𝑛𝑣 =

𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄1 − 2𝑄1 = −𝑄1 = −3.4 × 10−12 [C]. Seja 𝑬(𝑟) o campo elétrico

sobre a superfície gaussiana. Se �̂� é um versor na direção radial, então, como

𝑞𝑒𝑛𝑣 < 0, podemos expressar 𝑬(𝑟) = −𝑬�̂�. Por simetria, 𝑬(𝑟) tem módulo

constante sobre a superfície. Então, 𝑬 ∙ 𝑑𝒂 = −𝐸𝑑𝑎, de modo que


= −𝐸 ∮ 𝑑𝑎𝑆

= −𝐸(2𝜋𝑟𝐿)

Ora, pela lei de Gauss,


𝜀0⇔ −𝐸(2𝜋𝑟𝐿) =

𝑞𝑒𝑛𝑣

𝜀0 ⇔ 𝐸 = −

𝑞𝑒𝑛𝑣

2𝜋𝜀0𝑟𝐿

= −−3.4 × 10−12

2𝜋(8.85 × 10−12)(20 × 1.3 × 10−3)(11)= 0.214 [N/C]

𝐸 = 0.214 [N/C]

b) Como 𝑬(𝑟) = −𝑬�̂� o campo elétrico é ortogonal a 𝑆(𝑟) e aponta para dentro.

c) Para 𝑟 = 5𝑅1, a carga envolvida por 𝑆(𝑟) é 𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝑄1 = 3.4 × 10−12 [C]. Como

𝑞𝑒𝑛𝑣 > 0, podemos escrever 𝑬(𝑟) = 𝐸�̂�. Daí, 𝑬 ∙ 𝑑𝒂 = 𝐸𝑑𝑎, sobremaneira que



= −𝐸 ∮ 𝑑𝑎𝑆

= 𝐸(2𝜋𝑟𝐿)

Segue-se da lei de Gauss que


𝜀0⇔ 𝐸(2𝜋𝑟𝐿) =

𝑞𝑒𝑛𝑣

𝜀0 ⇔ 𝐸 =

𝑞𝑒𝑛𝑣

2𝜋𝜀0𝑟𝐿

= −3.4 × 10−12

2𝜋(8.85 × 10−12)(5 × 1.3 × 10−3)(11)= 0.855 [N/C]

𝐸 = 0.855 [N/C]

d) Como 𝑬(𝑟) = 𝑬�̂� o campo elétrico é ortogonal a 𝑆(𝑟) e aponta para fora.

e) Seja 𝑄2𝑖 a carga da superfície interna da casca cilíndrica. Como se trata a casca

de um condutor, o campo elétrico em seu interior é nulo, donde 𝑄2𝑖 = −𝑄1 =

−3.4 × 10−12 [C].

𝑄2𝑖 = −3.4 × 10−12 [C]

f) Seja 𝑄2𝑒 a carga da superfície externa da casca cilíndrica. Devemos ter 𝑄2 =

𝑄2𝑖 + 𝑄2

𝑒 ⇔ 𝑄2𝑒 = 𝑄2 − 𝑄2

𝑖 = −𝑄1 = −3.4 × 10−12 [𝐶].

𝑄2𝑒 = −3.4 × 10−12 [C]


Solução

Seja 𝑆(𝑟) a superfície de Gauss esférica, à distância 𝑟 do centro da concha.

Outrossim, seja 𝑬(𝑟) o campo elétrico sobre a superfície 𝑆(𝑟). Observamos, a priori,

que, se 𝑟 ≤ 𝑎, a carga envolvida por 𝑆(𝑟) é nula e, pela lei de Gauss, 𝑬(𝑟) = 𝟎.

a)

𝑬(𝑟) = 𝟎

b)

𝑬(𝑟) = 𝟎

c)

𝑬(𝑟) = 𝟎

Se 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏, então a carga envolvida por 𝑆(𝑟) será dada pela integral:

𝑞𝑒𝑛𝑣 = ∫ 𝜌𝑑𝑉𝑟

𝑎

= 4𝜋𝜌 ∫ 𝑢2𝑑𝑢𝑟

𝑎

= 4𝜋𝜌𝑢3

3|

𝑢=𝑎

𝑢=𝑟

=4𝜋𝜌

3(𝑟3 − 𝑎3)

Ora, como 𝜌 > 0, podemos expressar 𝑬(𝑟) = 𝐸�̂� sobre 𝑆(𝑟), de modo que 𝑬 ∙

𝑑𝒂 = 𝐸𝑑𝑎 e, portanto,

𝛷𝑬 = ∮ 𝑬𝑆

∙ 𝑑𝒂 = 𝐸 ∮ 𝑑𝑎𝑆

= 𝐸(4𝜋𝑟2) = 4𝜋𝑟2𝐸

Pela lei de Gauss, segue-se que


𝜀0⇔ 4𝜋𝑟2𝐸 =

4𝜋𝜌

3𝜀0

(𝑟3 − 𝑎3) ⇔ 𝐸 =𝜌

3𝜀0

𝑟3 − 𝑎3

𝑟2

d)


𝐸(𝑟 = 1.5𝑎) =𝜌

3𝜀0

(1.5𝑎)3 − 𝑎3

(1.5𝑎)2=

𝜌

3𝜀0

3.375𝑎3 − 𝑎3

2.25𝑎2=

𝜌

3𝜀0

(1.1)(𝑎)

=1.84 × 10−9

3(8.85 × 10−12)(1.1)(10 × 10−2) = 7.62 [N/C]

𝐸(𝑟 = 1.5𝑎) = 7.62 [N/C]

e)

𝐸(𝑟 = 2𝑎) =𝜌

3𝜀0

(2𝑎)3 − 𝑎3

(2𝑎)2=

𝜌

3𝜀0

(1.75)(𝑎) =1.84 × 10−9

3(8.85 × 10−12)(1.75)(10 × 10−2)

= 12.13 [N/C]

𝐸(𝑟 = 2𝑎) = 12.13 [N/C]

f)

𝐸(𝑟 = 6𝑎) =𝜌

3𝜀0

(2𝑎)3 − 𝑎3

(6𝑎)2=

𝜌

3𝜀0(0.19)(𝑎) =

1.84 × 10−9

3 (8.85 × 10−12)

(0.19) (10 × 10−2)

= 1.32 [N/C]

𝐸(𝑟 = 6𝑎) = 1.32 [N/C]

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