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Lista de exercícios matrizes e determinantes.
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1
Álgebra Linear e Geometria Analítica PROF. BENFICA
[email protected] www.marcosbenfica.com
LISTA 1 Matrizes
1) Determine as matrizes (2x2) cujos elementos foram dados abaixo:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
≠=
jiseji
jiseaij
,
,2 b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
≥−=
jiseji
jisejibij
,
,32
2
2) Construa a matriz A = (aij)2x2 tal que aij = ⎩⎨⎧
=⇔+
≠⇔
jijijii
,²,
3) Escreva a matriz A = (aij) em cada caso:
a) A é do tipo 2 x 3 e aij = ⎩⎨⎧
≠⇔−
=⇔+
jijijiji
23
b) A é quadrada de ordem 4 e aij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>⇔
=⇔−
<⇔
jijjiji
jii
2
2
c) A é do tipo 4 x 2 e aij = ⎩⎨⎧
=⇔
≠⇔
jiji
30
d) A é quadrada de ordem 3 e aij = 3i-j+2.
4) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. 5) Construa as seguintes matrizes:
A = (aij)3x3 tal que aij = ⎩⎨⎧
≠
=
ji ,0ji ,1
sese
B = (bij)3x3 tal que bij = ⎩⎨⎧
=
≠+
ji se 3j,-iji se2j, i
6) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = ⎩⎨⎧
≠
=
ji ,ji ,1
2 seise
2
7) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = ⎩⎨⎧
≠−
=+
ji ,22ji ,
jiseji
, então a22 + a34 é igual a:
a) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i. b) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3.
8) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = ⎩⎨⎧
>
≤+
ji ,.ji ,
sejiseji
, determine a soma dos elementos a23
+a34. 9) Seja a matriz A = (aij)5x5
tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz. 10) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.
11) Determine a e b para que a igualdade ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
7 10b 4 3a = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
7 10b 2a
seja verdadeira.
12) Sejam A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
2 01- 43 2
e B = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
5 81- 70 2
, determine (A + B)t.
13) Dadas as matrizes A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2- 41 3
e B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
2- 1y- xyx
, determine x e y para que A = Bt.
14) Resolva a equação matricial: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
2 2 43 5 12 5 3
2- 1- 17 2 05 4 1
= x + ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 5 9 13- 1- 82 7 2
.
15) Determine os valores de x e y na equação matricial: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4 32 1
.25 74- 4
3 x2y
.
16) Se o produto das matrizes ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−1
2 0 11- 1 0
.1 10 1
yx
é a matriz nula, qual o valor de x + y?
17) Se ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
21
.4.3 11- 3
yx
, determine o valor de x + y.
18) Dadas as matrizes A = ,5- 2
3 0⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
1- 04 2
e C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 0 62 4
, calcule:
a) A + B b) A + C c) A + B + C
3
19) Dada a matriz A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2- 1 04 3 20 1- 1
, obtenha a matriz x tal que x = A + At.
20) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.
21) Determine os valores de m, n, p e q de modo que: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
5 18 7
3q- n-n
p 2m
qpm
.
22) Determine os valores de x, y, z e w de modo que: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
5- 80 1
1- 43 2
wy
zx
.
23) Dadas as matrizes A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 4 31 2
, B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
5 21- 0
e C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1 60 3
, calcule:
a) A – B b) A – Bt – C
24) Dadas as matrizes A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
8 2 62- 4 0
, B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
0 6- 129 6 3
e C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2 1- 10 1- 0
, calcule o resultado
das seguintes operações:
a) 2A – B + 3C b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− CBA31
21
25) Efetue:
a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− 23
.4 13- 5
b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− 3 01- 2
.4 12 5
c) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
2 1 22 2 11 2 2
.1 1 00 1 10 0 1
26) Dada a matriz A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1 0 00 0 10 1- 2
, calcule A2.
27) Sendo A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1 52 3
e B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0 21- 3
e C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
41
, calcule:
a) AB b) AC c) BC 28) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. Sabendo que C = A + B, determine C2.
29) Determine x e y tais que:
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+
911
22
yxyx
b) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
1111
²²yxyx
4
30) Determine o valor de x ∈ R na matriz A para que A = At, sendo A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
xxx
21²3
.
31) Sendo A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
231012
e B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 543710
, determine A + B.
32) Determine a, b e c para que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 143502
34113
2023 b
caa
.
33) Dadas as matrizes
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=
534201321
M
, ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100010001
N
e ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
023102110
P
calcule X, de modo que: a) X – M = N – P b) P + X = M – N c) X + (M – P) = N
34) Dadas as matrizes A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
aa00
e B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
11bb
, determine a e b, de modo que A.B = I, onde I
é a matriz identidade.
35) Calcule a e b de modo que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
52239
1231
0321
ba .
36) Considere as seguintes matrizes:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
7602
A,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
8240
B,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−=
237796
C,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
606411046
D
e ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
106401996
E
Se for possível, calcule: a) AB – BA b) 2C – D c) (2Dt – 3Et)t d) D² - DE
37) Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
0110
M então AB =
BA.
