089303 - Calculo 3 - Turma A

Quinta lista de exerccios

Profa. Vera Lucia Carbone 22 de marco de 2012

1. Resolva o 4o exerccio da Lista 4 usando mudancas de variaveis convenientes.

2. Calcule

(a)

B

x dx dy dz, onde B e o conjunto x > 0 e x2 + y2 + z2 6 4. (Resp: 4pi)

(b)

B

z dx dy dz, onde B e o conjunto 1 6 x2 + y2 + z2 6 4 e z > 0.(

Resp:15pi

4

)(c)

B

x dx dy dz, onde B e o conjuntox2

4+y2

9+ z2 6 1 e x > 0. (Resp: 3pi)

(d)

B

z dx dy dz, onde B e o conjunto z >x2 + y2 e x2 + y2 + z2 6 1.

(Resp:

pi

8

)(e)

B

(y x) dx dy dz, onde B e o conjunto 4 6 x+ y 6 8, 1x6 y 6 2

x, y > x e 0 6 z 6

3xyx+ y

.

(f) o volume do conjunto z >x2 + y2 e x2 + y2 + z2 6 2az (a > 0).

(Resp:pia3

)(g) o volume do solido S interno ao cilindro x2 + y2 = 4 e ao elipsoide 4x2 + 4y2 + z2 = 64.

(h) o volume do solido interno ao cilindro x2 + y2 = 9 , 0 6 z 6 6, e externo ao cone x2 + y2 = z2

9, z > 0.

(i) o volume do conjunto de todos os (x, y, z) tais que 1 6 x + y + z 6 3, x + y 6 z 6 x + y + 2, x > 0, e y > 0.(Resp:

25

24

)3. Use coordenadas esfericas para calcular o volume do solido que esta dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4, acima do plano

xy e abaixo do cone z =x2 + y2.

4. Calcule o volume do solido constitudo pelo cilindro x2 + y2 6 4, 0 6 z 6 2, e pelo cone x2 + y2 6 z2, 2 6 z 6 5.

5. Seja R a regiao limitada pelo paraboloide z = 2x2 + y2 + 1, pelo plano x+ y = 1 e pelos planos coordenados. Calcule

o volume de R.

6. Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em R3) que voce achar mais conveniente:

(a)

40

30

9x20

x2 + y2 dy dx dz

(b)

10

1x20

1x2y20

z2 dz dy dx

7. Determine a massa M de uma coroa esferica limitada pelas esferas de raios a e b, com 0 < a < b, cuja densidade em

qualquer ponto e inversamente proporcional a` distancia do ponto ao centro.

8. Calcule a massa do cubo [0, 1] [0, 1] [0, 1], cuja densidade no ponto (x, y, z) e a soma das coordenadas.(

Resp:3

2

)9. Calcule a massa do cilindro x2 + y2 6 4 e 0 6 z 6 2, sabendo que a densidade no ponto (x, y, z) e o dobro da distancia

do ponto ao plano z = 0. (Resp: 16pi)

1

10. Calcule a massa do conex2 + y2 6 z 6 1, sendo a densidade no ponto (x, y, z) proporcional ao quadrado da distancia

do ponto ao eixo z.

(Resp:

kpi

10

)11. Determine as coordenadas do centro de massa do solido S abaixo com a densidade de massa (x, y, z) dada:

(a) S e o solido limitado por x = 0, y = 0, x+ z = a, y = z, com (x, y) = kx, k constante.

(b) S e limitado porx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1, z = 0, z =

c

2, com (x, y) = 1.

(c) S e o hemisferio x2 + y2 + z2 6 1, z > 0, (x, y) = k, k constante.

(d) S e o solido limitado pelo cilindro x2 + y2 = a2, pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z = 0, com (x, y) = k,

k constante.

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