-
089303 - Calculo 3 - Turma A
Quarta lista de exerccios
Profa. Vera Lucia Carbone 22 de marco de 2012
1. Suponha que f e g sejam funcoes integraveis em um conjunto
limitado B R3.
(a) Mostre que a funcao f + g e integravel em B e
B
(f + g)(x, y, z)dV =
B
f(x, y, z)dV +
B
g(x, y, z)dV .
(b) Mostre que para todo R, a funcao f e integravel em B eB
(f)(x, y, z)dV =
B
f(x, y, z)dV .
(c) Mostre que se f(x, y, z) > 0 em B, entaoB
f(x, y, z)dV > 0. Conclua que se f(x, y, z) > g(x, y, z)
em B, entaoB
f(x, y, z)dV >B
g(x, y, z)dV .
2. Mostre, usando a definicao de integral tripla, que se f(x, y,
z) k, com k constante, entao f e integravel no par-aleleppedo B =
[a, b] [c, d] [r, s] e
B
f(x, y, z)dV = k(b a)(d c)(s r).
3. Calcule as integrais abaixo.
(a)
B
xyz dx dy dz, onde B e o paraleleppedo 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1 e 1
6 z 6 2.(
Resp:3
2
)
(b)
B
1 z2 dx dy dz, onde B e o conjunto 0 6 x 6 1, 0 6 z 6 1 e 0 6 y
6 z.
(Resp:
1
3
)
(c)
B
1 z2 dx dy dz, onde B e o conjunto 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e 0 6 z
6 1.
(Resp:
pi
4
)
(d)
B
(x2 + z2) dx dy dz, onde B e o cilindro x2 + y2 6 1, 0 6 z 6
1.(
Resp:7pi
12
)
(e)
B
dx dy dz, onde B e o conjunto x2 + y2 6 z 6 2x+ 2y 1.(
Resp:pi
2
)(f)
B
y dx dy dz, onde B e o conjunto x2 + 4y2 6 1 e 0 6 z 6 1. (Resp:
0)
(g)
B
x dx dy dz, onde B e o conjunto x2 + y2 6 4, x > 0 e x+ y 6 z
6 x+ y + 1.(
Resp:16
3
)
(h)
B
ex2
dx dy dz, onde B e o conjunto 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x e 0 6 z 6
1.(
Resp:1
2(e 1)
)
(i)
B
2z dx dy dz, onde B e o conjunto x2 + y2 + z2 6 4, z > 0.
(Resp: 8pi)
(j)
B
cos z dx dy dz, onde B e o conjunto 0 6 x 6 pi2, 0 6 y 6 pi
2e x y 6 z 6 x+ y. (Resp: 2)
1
-
4. Calcule, usando integrais triplas, o volume de cada um dos
conjuntos dados abaixo.
(a) 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e 0 6 z 6 5 x2 3y2.(
Resp:11
3
)(b) 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x2 e 0 6 z 6 x+ y2.
(Resp:
25
84
)(c) x2 + y2 6 z 6 4. (Resp: 8pi)
(d) x2 + 4y2 + 9z2 6 1.(
Resp:2pi
9
)(e)
x2
a2+y2
b2+z2
c26 1 (a > 0, b > 0, e c > 0)
(Resp:
4
3piabc
)(f) x2 + y2 6 z 6 4x+ 2y.
(Resp:
25pi
2
)(g) (x a)2 + y2 6 a2, x2 + y2 + z2 6 4a2 e z > 0 (a >
0).
(Resp:
16a3
3
[pi
2 2
3
])(h) x2 + y2 + z2 6 a2 e z > a
2(a > 0).
(Resp:
5a3pi
24
)1. Calcule as seguintes integrais:
(a)
B
xyz dxdydz onde B e o paraleleppedo 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1 e 1 6 z
6 2. R.(3/2)
(b)
B
x dxdydz onde B e o paraleleppedo 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e x+ y 6
z 6 x+ y + 1.R.(1/2)
(c)
B
(x2 + z2) dxdydz onde B e o cilindro x2 + y2 6 1, 0 6 z 6
1.R.(7pi/12)
(d)
B
y dxdydz onde B e o conjunto x2 + 4y2 6 1, 0 6 z 6 1.R.(0)
(e)
B
2z dxdydz onde B e o cojunto x2 + y2 6 1, x2 + y2 + z2 6 4 e z
> 0.R.(7pi/2)
(f)
B
2z dxdydz onde B e o conjunto 4x2 + 9y2 + z2 6 4, z >
0.R.(43pi)
2. Calcule o volume do conjunto dado. Faca um esboco do
conjunto.
(a)
0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e 0 6 z 6 5 x2 3y2.R.(11/3)
(b)
x2 + y2 6 4 e x2 + y2 + z2 6 9.R.(43pi[5
5+ 27])
(c)
x2
a2+y2
b2+z2
c26 1 (a > 0, b > 0, c > 0).R.(4
3piabc)
(d)
x2 + y2 + z2 6 a2 e z > a2, (a > 0).R.(
5
24pia3)
3. Calcule a massa do cubo 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e 0 6 z 6 1,
cuja densidade no ponto (x, y, z) e a soma de suas
coordenadas. R.(3/2)
4. Calcule as seguintes integrais:
(a)
B
x dxdydz onde B e o conjunto x > 0, x2 + y2 + z2 6
4.R.(4pi)
2
-
(b)
B
z dxdydz onde B e o conjunto 1 6 x2 + y2 + z2 6 4, z >
0.R.(15pi/4)
(c)
B
x dxdydz, onde B e o conjuntox2
4+y2
9+z2
16 1, x > 0.R.(3pi)
(d)
B
x2 + y2 + z2 dxdydz onde B e a interseccao da semi-esfera x2 +
y2 + z2 6 4, z > 0, com o cilindro
x2 + y2 6 1.R.(pi4 [32 143+ ln(2+
3)])
5. Considere o cubo 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e 0 6 z 6 1 e suponha
que a densidade no ponto (x, y, z) seja x.
(a) calcule o momento de inercia com relacao ai eixo
OZ.R.(5/12)
(b) calcule o centro de massa.R.(23 ,12 ,
12 )
6. Considere o cilindro homogeneo
(x a)2 + y2 6 a2, 0 6 z 6 h.
(a) Calcule o momento de inercia em relacao a` reta x = a e y =
0.R.(Ma2
2 ),M = massadocilindro
(b) Calcule o momento de inercia em relacao ao eixo
OZ.R.(3Ma2
2 )
M = Kpia2h
3
