Lista de Exercícios

ÁLGEBRA VETORIAL

1. Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o

ponto (2,4,4) ao ponto (-3,2,2).

2. Se → A = 5âx + 3ây + 2âz ,

→ B = ­âx + 4ây + 6âz

→ e C = 8âx + 2ây , determine os

→ → → valores de � e β, tais que � A+ β B+ C seja paralelo ao eixo y.

3. Dados os vetores → T = 2âx ­ 6ây + 3âz

→ e S = âx + 2ây + âz , determine:

a. A projeção escalar de → → T sobre S .

b. O vetor projeção de → → S sobre T .

→ → c. O menor ângulo entre T e S .

4. Calcule os ângulos que o vetor

eixos x, y e z.

→ H = 3âx + 5ây ­ 8âz

faz com os

5. Os pontos P, Q e R estão localizados em (-1,4,8), (2,-1,3) e

(-1,2,3), respectivamente. Determine:

a. A distância entre P e Q.

b. O vetor distância de P até R.

c. O ângulo entre QP e QR.

d. A área do triângulo PQR. e. O perímetro do triângulo PQR.

2

6. Dado → A = x 2 yâx ­ yzây + yz

âz , determine:

a. A magnitude de → A no ponto T(2,-1,3).

b. O vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6

unidades de distância afastado de T e com a mesma

orientação de → A em T.

c. O vetor posição de S.

2

SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

1. Se

a.

b.

V = xz ­ xy + yz , expresse V em coordenadas cilíndricas.

U = x 2 + 2 y

2 + 3z 2 , expresse U em coordenadas esféricas.

2. Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e

esférico →

a. F = 1

x 2 + y

2 + z 2

(xâx + yây + 4âz ). →

b. G = x

2 + y 2

x 2 + y

2 + z 2

(xâx + yây + zâz ).

3. Seja → A = ρ cosθâρ + ρz senφâz ,

a. Transforme → A para coordenadas retangulares e

determine sua magnitude no ponto (3,-4,0).

b. Transforme → A para coordenadas esféricas e determine

sua magnitude no ponto (3,-4,0).

4. Dados os vetores

determine:

→ A = 2âx + 4ây + 10âz

→ e B = ­5âρ + âφ ­ 3âz ,

→ → a. A+ B em P(0,2,-5).

→2

b. O ângulo entre → → A e B em P.

c. A componente escalar de → A ao longo de

→ B em P.

5. Seja A = ρ( z 2

­1)âρ ­ ρz cosφâφ + ��

z âz e → B = r

2

cosφâr + 2rsenθâφ ,

calcule em T(-3,4,-1): → →

a. A e B .

b. A componente vetorial de

coordenadas cilíndricas.

→ A ao longo de

→ B em T, em

c. O vetor unitário perpendicular tanto a

em T, em coordenadas esféricas.

→ → A quanto a B

6. Um campo vetorial em um “misto” de variáveis coordenadas é dado por

�� � �. �� � � � 2���� � � � �1 �

������ �

Expresse �� de maneira completa em um sistema esférico

→

2 2

2 2

1

2 2

CÁLCULO VETORIAL → → → 1. Dado que H = x âx + y ây , calcule ∫ H ⋅ d l , considere L ao longo

da curva

L

y = x 2 , de (0,0) a (1,1).

2. A temperatura em um auditório é dada por T = x 2 + y 2

­ z . Um

mosquito localizado em (1,1,2), dentro do auditório, deseja

voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais

rápido possível. Em qual orientação ele deve voar? → →

3. Se U = xz ­ x

2 y

2 + y 2 z

2 , calcule ∇⋅ ∇U .

→ → → 4. Se F = x

2 âx + y ây + (z ­1)âz , encontre ∫ F ⋅ d S , onde S é definido

Por 0 ≤ � ≤ 1,0 ≤ � ≤ 10 ≤ � ≤ 2

5. Encontre o fluxo do rotacional do campo

→ T = cosθâ + rsenθ cosφâ + cosθâ

r 2 r θ φ

através do hemisfério r = 4 e

z ≤ 0 .

6. Se o campo vetorial T = (αxy + βz 3 )âx + (3x ­ γz )ây + (3xz ­ y )âz é → →

irrotacional, determine α, β e γ. Encontre ∇⋅T em (2,-1,0).

+ z

z

RESPOSTAS

• ÁLGEBRA VETORIAL

1. ± (-0,87; -0,35; -0,35).

2. α=-3/2 e β=1/2.

3. -2,86; (-0,29; 0,86; -0,43); 114,09o.

4. 72,36 o; 59,66o; 143,91o.

5. 7,68; (0, -2, -5); 42,57 o; 11,03; 17,30.

6. 10,30; (-2,17; 1,63; -4,89); (-0,17; 0,63; -1,89). • SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

1. V = ρz cosφ − ρ 2 senφ cosφ + ρzsenφ ; U = r

2 [sen 2θ (cos

2 φ + 2sen 2φ )+ 3 cos

2 θ ].

2 4 4 2.

ρ 2 + z

2

,0, ρ 2 2

;

sen θ + cosθ

, senθ cosθ − senθ r

,0 ; r

3 2

,0,

; (r

2 sen

2θ ,0,0). ρ

2 + z

2

ρ 2 + z

2

3.

xz

x 2

+ y 2

,

+ z 2

yz

x 2

+ y 2

, yz

+ z 2

2 ; 0;

[rsenθ cosθ (senθ + r 2

cos 2 θsenφ ), rsenθ cosθ (cosθ − r

2 senθ cosθsenφ ),0]; 0.

4. (1, -1, 7); 143,36o; -8,79.

5. (0, 3, 25); (15,61; 0; -10); (5,58; -3,65; 2,46); ± (-0,53; 0,21; -0,82).

senθ cos3 φ + cosθ (1 + sen

2φ − cos 2 φ ), cosθ cos

3 φ +

6.

2 cos 2 θsen

2φ

senθ

− senθ (1 − cos 2 φ ),

−

senφ cos 2 φ +

2 cosφsenφ cosθ

senθ

• CÁLCULO VETORIAL

1. 0,67.

2. (0,67; 0,67; -0,33).

3. − 2(x 2

− z 2 ).

4. 8.

5. 0.

6. 6; 1; 1; -6.