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AGA 0504 - Mecanica Classica - 2015

Lista 1

1. Considere tres blocos de m = 50 kg em repouso como mostra a figura. A tensao na corda 2 e maior,igual o menor do que a tensao na corda 1?

2. Um carro pequeno de massa m esta empurrando um caminhao (de massa M > m) que tem abateria descarregada. Qual das seguintes afirmacoes e verdadeira?

a) O carro exerce uma forca no caminhao, mas o caminhao nao exerce uma forca sobre ocarro.

b) O carro exerce uma forca maior sobre o caminhao do que o caminhao exerce sobre o carro.

c) O carro exerce a mesma forca sobre o caminhao do que o caminhao exerce sobre o carro.

d) O caminhao exerce uma forca maior sobre o carro do que o carro exerce sobre o caminhao.

e) O caminhao exerce uma forca no carro, mas o carro nao exerce uma forca sobre o caminhao.

3. O que sao referenciais inerciais?

4. Um projetil e disparado desde a parte traseira de um trem (com velocidade constante ~v respeitoda terra) para a frente. Um observador A viaja sentado no trem e outro, B, fica em terra. OObservador A diz que o alcance maximo e obtido pela colocacao do canhao num angulo π/4 emrelacao a vertical. O observador B sugere um angulo α diferente.

a) Explique por que os observadores A e B nao estao de acordo.

b) Calcule α.

5. Considere o sistema de massas e polias da figura. Suponha-se que as polias e as cordas nao temmassa e as cordas sao inextensıveis. Suponha tambem que o sistema esta na presenca de umaaceleracao gravitacional g (vertical) e que nao ha atrito entre as cordas e as polias. Encontrar astensoes nas cordas e as aceleracoes das massas. Considerar em particular o caso m1 = m2 +m3.

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6. Dois baldes estao girando no plano horizontal em torno do eixo vertical sem atrito, como mostraa figura. De repente, comeca a chover. Como o resultado:

a) O movimento rotacional fica mais lento porque o momento angular total do sistema bal-des+chuva e conservado.

b) O movimento rotacional continua com a mesma velocidade angular porque a direcao dachuva e vertical, enquanto o movimento do sistema e horizontal.

c) O movimento rotacional continua com a mesma velocidade angular porque a energiamecanica total do sistema baldes+chuva e conservada.

d) O movimento rotacional fica mais rapido porque a energia potencial da chuva e transfor-mada em energia cinetica.

e) Nenhuma resposta anterior e correta.

7. Um corpo de massa m e lancado para cima de uma altura h com uma velocidade inicial v0.Durante a queda experimenta uma forca de atrito proporcional e em sentido a velocidade.

a) Resolver a equacao de movimento para o corpo.

b) Qual sea o valor H da altura maxima?

c) Calcule os intervalos de tempo entre a posicao inicial e a altura maxima; e entre a alturamaxima e quando o corpo atinge o solo.

d) Calcule a energia inicial, a energia quando atinge a altura maxima e quando toca o solo.

e) Compare os pontos b), c) e d) com o caso sem atrito.

8. Uma massa m e liberada a partir do repouso de uma altura h acima do nıvel do solo e desliza sematrito em uma pista que termina em loop de raio r, conforme indicado na figura. Mostre que amassa deve ser liberada de uma altura maior do que 5r/2 para nao perder contato com a pista.

9. Mostre que para uma partıcula de massa constante, a equacao de movimento implica na seguinteequacao para a energia cinetica, T :

dT

dt= ~F · ~v.

10. A figura representa uma mesa horizontal de coeficiente de atito cinetico µ1 sobre a qual se apoiao bloco de massa M2. Sobre ele esta apoiado o objeto de massa m, sendo µ o coeficiente de atritocinetico entre eles. M2 e m estao ligados por cabos horizontais esticados, de massa desprezıvel,que passam por uma roldana de massa desprezıvel. Desprezando-se a resistencia do ar e o atritonas roldanas, podemos afirmar que m se deslocara com velocidade constante em relacao a umobservador fixo na mesa, se M1 for tal que:

a) M1 = µm.

b) M1 = µ1(M2 +m) + 2µm.

c) M1 = µ1M2 + µm.

d) M1 = 2µm+ 2µ1(M2 +m).

e) M1 = µ1(M2 +m).

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11. Seja um sistema binario composto por dois corpos A e B.

a) Escreva a equacao de movimento de A respeito de B. De B respeito de A. De cada umdeles respeito ao baricentro do sistema.

b) Prove que as orbitas resultantes sao conicas de igual excentricidade.

c) Encontre a relacao entre os semi-eixos maiores e prove que sao colineais.

d) Encontre a relacao entre os perıodos.

e) Comparar os momentos angulares ~r× ~v para as orbitas de A respeito de B com as de A eB respeito do baricentro.

f) Faca a parte anterior com a energia total do sistema em lugar do momento angular.

12. Uma partıcula se move em campo de forca µ/r2. Se os valores de velocidade maximo e mınimosao v1 e v2, encontre os valores do semi-eixo maior, perıodo e momento angular em funcao de v1,v2 e µ.

13. Uma partıcula se move em um campo de forca µ/r2 em direcao a origem. Inicialmente e lancadacom velocidade V desde um ponto a distancia R da origem, formando um angulo β com o raiovetor. Prove que:

r = V 2 − 2µR

+2µr− R2V 2 sin2 β

r2.

14. Provar que no caso do movimento elıptico a velocidade radial satisfaz a equacao

r2r2 =µ

a(Q− r)(r − q),

sendo q e Q as distancias pericentrica e apocentrica.

15. Um satelite esta em uma orbita de raio R ao redor da Terra. Se ele recebe uma aceleracaoinstananea,

a) Ele se afasta ou se aproxima da Terra?

b) Seu perıodo orbital aumenta ou diminui?

c) Sua velocidade aumenta ou diminui?

Justique suas respostas. Dados: a energia mecanica do satelite e E−µ/2R, onde µ uma constante(funcao de G e das massas envolvidas).

16. Como pode se relacionar a velocidade linear no afelio com a velocidade linear no perielio. Usar arelacao encontrada para o caso da Terra (e = 0, 017) e para o asteroide Ceres (e = 0, 078)?

17. Se os semieixos maiores da orbitas de Mercurio e Jupiter sao, respectivamente, 0.387 UA e 5.203UA e o perıodo orbital de Jupiter e de 11.862 anos, mostre que o perıodo orbital de Mercurioe de 0.2406 anos.

18. Relacionar as orbitas que descrevem cada massa em torno do centro de massa do sistema, com aconica que descreve uma massa relativa a outra.

19. Se T e o perıodo de um planeta, mostre que um pequeno aumento ∆a no semieixo maior aira produzir um aumento no perıodo

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3T∆a2a

.

20. Queremos estimar a massa escura em torno de nossa galaxia. Para fazer isso assumimos um sistemade dois corpos formada pela Via Lactea e Andromeda. Seja MG a massa observavel da primeira.Assumimos que Andromeda se encontra em uma orbita quase-parabolica em torno de nos e temmassa desprezıvel. Atraves de observacoes, podemos determinar a sua velocidade vA e distanciadA. Calcule a massa gravitacional total e a massa de materia escura.