Elektronische Bandstruktur

Literatur: C. Kittel “Einführung in die Festkörperphysik” Kapitel 7,8Ashcroft & Mermin, Kapitel 7,8Ziman “Principles of the Theory of solids”, Kapitel 3

Dispersionsrelation für freie und fast freie Elektronen

1dimensionales Gitter: Dispersion E(k) für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen

Reduziertes ZonenschemaErweitertes Zonenschema

ÜBERGANG ATOM-MOLEKÜL-CLUSTER-FESTKÖRPER

Lineare Kette:

HN-Kette:

offene Enden!

N=4 N=8 N=12

kkk

E E E

Erlaubte ki- und Ei-Werte rücken näher zusammen:

∆k~1/N ∆E~W/N

Ej=α+2βcos(jπ/(N+1))

N → ∞:

offene Enden!

E(k)=α+2βcos(ka)

Tight Binding Elektronische Struktur von Festkörpern mit s-Orbitalen

Hückel Nähering zu LCAO, Tight Binding:

Lineare Kette: Ej=α+2βcos(jπ/(N+1))N → ∞ E(k)=α+2βcos(ka) α …. Coulombintegralβ …. Transferintegral

Verallgemeinert 3D: E(k)= α+βΣΝΝeik(R-R´)

“Bandbreite” : W= 2Ncβ, Nc… KoordinationszahlLokalisierung von Elektronen: ωe >> ωh

Hoppingfrequenz: ωh=2β/h~WEigenfrequenz: ωe=α/h

Metall Isolator ÜbergangBeispiel: Hg [Xe]4f145d106s2

van der Waals:N<10

Kovalent:30<N<80

Metall:N>200

ÜBERGANG ATOM-MOLEKÜL-CLUSTER-FESTKÖRPER

2 dimensionales Gitter: Fermiflächen für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen

Erweitertes Zonenschema

Beispiele zu elektronischenBandstrukturen von Festkörpern:

1) Metalle: Akalimetalle, Cu, Au, Multivalente Metalle: Al2) Halbleiter/Halbmetalle: Bsp. Si,Ge, GaAs3) Molekulare Festkörper: Graphene, Fullerene, Nanoröhren

Alkalimetalle: Natrium Atomkonfiguration 1s22s22p63s, bcc Gitter

Energiedispersion für fast freie Elektronen bcc Brillouinzone mit Hochsymmetriepunkten

E(k) Dispersion für bcc Kristalle in Näherung des Leeren Gitters (freie Elektronenparabeln)

E(k) Dispersion für Natrium:

Im Vergleich zur Näherung des leeren Gitters, kleine Aufspaltung an den Hochsymmetriepunkten

Bandstruktur von fcc Metallen, Beispiel Kupfer

Fcc Brillouinzone mitHochsymmetriepunkten

Dispersionsrelation in Kupfer: 3d104sAm L Punkt (1/2,1/2,1/2) starke d-s Übergänge ca 2eV

Fermioberfläche von Kupfer:

Multivalente Metalle Beispiel Aluminium: 3 Valenzelektronen, fcc Gitter

Dispersionsrelation: s-p Interband-Übergänge am W-Punkt

Valenzelektronen besetzen3 Brillouinzonen

3s

3p

2 BZ 3BZ 1 BZ 3BZ

Klassische Typ IV und III-V Halbleiter: Diamant und Zinkblende Struktur: Ausgewählte wichtige Hochsymmetriepunkte:

Beispiel PbTe: Energielücke ~ 300 meV bei kleiner Dotierung schon metallisch

Zustandsdichte

Vergleich verschiedener Halbleiter mit Diamant(Zinkblende)struktur:

Schematische Darstellung der Energielücken für Halbleiter:

Direkte Lücke Indirekte Lücke Stark dotierter Halbleiter

Schematische Darstellung derPhononenunterstützten Anregungim indirekten Halbleiter

Beispiel Germanium: Energielücke ~ 0.8 eV

Bandstruktur ohne Spin-Bahn Kopplung

Spin-Bahn Aufspaltungberücksichtigt

Silizium Bandstruktur und Zustandsdichte, Energielücke 1.2 eV

Zero gap semiconductor

Grauer Zinn

Graphene2D

Dimensionality of sp2 bonded carbon allotropes

Graphite,Mittelalter

3D

Fullerene0D

R. Curl, H. Kroto, R. Smalley, 1985Nobel prize chemistry, 1996

Carbon nanotubesIijima, 1991

1D

A. Geim, K. Novoselov, 2004Nobel prize physics, 2010

Graphene

Γ

M K

Zero gap semiconductor

ELECTRONIC STRUCTURE OF GRAPHENE

Γ MK

1a

2aA B

ELaser

EFermi

)(ΨV k'

)(ΨC k

K

K’

ΓΓΓΓ

M

2D BZ

K

Graphene is a zero gap semiconductor.Bands at Fermi energy (K point) are linear in k.

Wallace (1947), Painter and Ellis PRB 1, 4747 (1970)

SWCNTs Hamada vector

(n,n) armchair

(n,0) zigzag

(n,m) chiral

(n,0)

(n,n)

a2

Φ

Formation of single-wall carbon nanotubes

Φ=0Φ=0Φ=0Φ=0

Φ=30Φ=30Φ=30Φ=30°°°°

0<Φ<300<Φ<300<Φ<300<Φ<30°°°°dn,m=|C|/ππππ=a(n2+m2+mn)1/2/ππππ

The diameter of SWCNT (n,m):

a=|a1|=|a2|=2.49 Å

graphene sheet

e.g. (10,10) d=1.37nm

o

A

O(A)

����

),(21 mnamanC =+= rrr

����C

����C

����a1

(n,m)

d

0.0 0.5 1.0-9

-6

-3

0

3

6

9

0.0 0.5 1.0-9

-6

-3

0

3

6

9

EF

E(K

) (e

V)

ka/π ka/π

0

-3 -2 -1 0 1 2 30

D

ensi

ty o

f sta

tes

E(k) (eV)

Electronic properties of SWCNTs

semiconductor

2πd·kn=2π·n

1/d

1/d

Eg~1/d

(10,10)

(17,0)

K KK

(kn-quantization)

Electronic properties are determined by the structure of SWCNT

periodic

boundaries

k

metal

(10,10)

(17,0)

EF

KM

K

K ΓΓΓΓ

EF

Theory: tight binding approximation (TBA)

SWCNT: semiconducting or metallic?

Armchair

Φ = 30°metallic

Zigzag+Chiral:

Φ< 30°metallic orsemiconducting

Metallic for m-n= 3jj = integer

-2 -1 0 1 20.0

0.1

-2 -1 0 1 20.0

0.1

EF

(10,10)

DO

S (

eV-1C

-1)

Energy (eV)(11,9)

DO

S (

eV-1C

-1)

Energy (eV)semiconductingmetallic

Eg~1/d

Elektronische Zustände in SWCNT

Parallel zur Achse der SWCNT:ähnlich Graphit unendliche Anzahl von k-Zuständen

Normal zur Achse der SWCNT:Quantisierung des Wellenvektors der Elektronen auf dem Umfang c

λ = c/j j = integerk = 2π/λ = 2πj/c = j/R

j=1 j=2j=0

Eigenschaften von C60

Fußballform hat Ih Symmetrie:

Elektronische Zustände: Hückelnäherung

Γπ =ag+t1g+t2g+2gg+3hg+2t1u+2t2u+2gu+2hu

Schwingungen: 174 Freiheitsgrade, entartet zu 46 Moden

Γπ =2Ag+3T1g+4T2g+6Gg+8Hg+4T1u+5T2u+6Gu+7Hu

Bindungslängen: as= 0.146 nm, ad=0.14 nm, φ=108°Durchmesser: D=0.7 nm, van der Waals r =0.5 nmElektronenaffinität = 2.65 eV, Ionisierungspotential = 7.6 eV

C60 ist leichter zu Reduzieren als Oxidieren

Elektronische Struktur: C60

W=0.3 eV

W=0.4 eV

Halbleiter, schmale Bänder