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u
1 I 2 <P( -u) = - q,(u) <I>(u) = - exp(-t /2)dt,
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u 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08
0,0 0,00000 0,00798 0,01595 0,02392 0,03188 0,1 0,03983 0,04776 0,05567 0,06356 0,07142 0,2 0,07926 0,08706 0,09483 0,10257 0,11026 0,3 0,11791 0,12552 0,13307 0,14058 0,14803 0,4 0,15542 0,16276 0,17003 0,17724 0,18439 0,5 0,19146 0,19847 0,20540 0,21226 0,22904 0,6 0,22575 0,23237 0,23891 0,24537 0,25275 0,7 0,25804 0,26424 0,27035 0,27637 0,28230 0,8 0,28814 0,29389 0,29955 0,30511 0,31057 0,9 0,31594 0,32121 0,32639 0,33147 0,33646
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,83
94
1,
1
+0
,21
79
-0
,23
96
+
0,0
45
7
+0
,42
90
-0
,60
91
-1
,04
58
+
4,1
95
8
+1
,65
94
1
,2
+0
,19
42
-0
,23
30
+
0,0
85
4
+0
,36
35
-0
,69
25
-0
,62
30
+
4,2
10
3
-1,3
14
3
1,3
+
0,1
71
4
-0,2
22
8
+0
,11
82
+
0,2
91
8
-0,7
34
1
-0,2
13
0
+3
,94
75
-3
,85
38
1
,4
+0
,14
97
-0
,20
96
+
0,1
43
7
+0
,21
80
-0
,73
64
+
0,1
59
0
+3
,45
95
-5
,79
72
1
,5
+0
,12
95
-0
,19
43
+
0,1
61
9
+0
,14
57
-0
,70
43
+
0,4
73
5
+2
,81
09
-7
,05
77
1
,6
+0
,11
09
-0
,17
75
+
0,1
73
0
+0
,07
81
-0
,64
41
+
0,7
18
1
+2
,07
12
-7
,62
28
1
,7
+0
,09
40
-0
,15
99
+
0,1
77
8
+0
,01
76
-0
,56
32
+
0,8
87
0
+1
,30
79
-7
,54
54
1
,8
+0
,07
90
-0
,14
21
+
0,1
76
8
-0,0
34
1
-0,4
69
2
+0
,98
09
+
0,5
80
1
-6,9
29
7
1,9
+
0,0
65
6
-0,1
24
7
+0
,17
13
-0
,07
60
-0
,36
93
+
1,0
05
8
-0,0
64
7
-5,9
12
1
2,0
+
0,0
54
0
-0,1
08
0
+0
,16
20
-0
,10
80
-0
,27
00
+
0,9
71
8
-0,5
93
9
-4,6
43
2
2,1
+
0,0
44
0
-0,0
92
4
+0
,15
00
-0
,13
02
-0
,17
65
+
0,8
91
5
-0,9
89
9
-3,2
70
3
2,2
+
0,0
35
5
-0,0
78
0
+0
,13
62
-0
,14
36
-0
,09
27
+
0,7
78
4
-1,2
48
9
-1,9
23
2
2,3
+
0,0
28
3
-0,0
65
2
+0
,12
15
-0
,14
92
-0
,02
14
+
0,6
46
0
-1,3
78
8
-0,7
04
9
2,4
+
0,0
22
4
-0,0
53
7
+0
,10
66
-0
,14
83
+
0,0
36
2
+0
,50
64
-1
,39
65
+
0,3
13
2
Fo
rtse
tzu
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der
Tab
elle
B.
u q
,'(u
) q
,"(u
) q
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U)
q,(I
V)
(U)
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V)(
U)
q,( v
I) (
U)
q,( V
II)
(u)
q,( V
III)
(u
)
2,5
+
0,0
17
5
-0,0
43
8
+0
,09
20
-0
,14
24
+
0,0
80
0
+0
,36
97
-1
,32
42
+
1,0
92
1
2,6
+
0,0
13
6
-0,0
35
3
+0
,07
82
-0
,13
28
+
0,1
10
5
+0
,24
38
-1
,18
64
+
1,6
22
2
2,7
+
0,0
10
4
-0,0
28
1
+0
,06
55
-0
,12
07
+
0,1
29
3
+0
,13
38
-1
,00
76
+
1,9
17
7
2,8
+
0,0
07
9
-0,0
22
2
+0
,05
41
-0
,10
73
+
0,1
37
9
+0
,04
29
-0
,80
97
+
2,0
09
9
2,9
+
0,0
06
0
-0,0
17
3
+0
,04
41
-0
,09
34
+
0,1
38
5
-0,0
28
1
-0,6
11
0
+1
,94
06
3,0
+
0,0
04
4
-0,0
13
3
+0
,03
55
-0
,07
98
+
0,1
33
0
-0,0
79
8
-0,4
25
5
+ 1
,75
50
3
,1
+0
,00
33
-0
,01
01
+
0,0
28
1
-0,0
66
9
+0
,12
31
-0
,11
40
-0
,26
24
+
1,4
97
2
3,2
+
0,0
02
4
-0,0
07
6
+0
,02
20
-0
,05
52
+
0,1
10
7
-0,1
33
2
-0,1
27
1
+1
,20
59
3
,3
+0
,00
17
-0
,00
57
+
0,0
17
0
-0,0
44
9
+0
,09
69
-0
,14
04
-0
,02
13
+
0,9
12
4
3,4
+
0,0
01
2
-0,0
04
2
+0
,01
30
-0
,03
59
+
0,0
82
9
-0,1
38
4
+0
,05
61
+
0,6
39
7
3,5
+
0,0
00
9
-0,0
03
1
+0
,00
98
-0
,02
83
+
0,0
69
4
-0,1
30
0
+0
,10
78
+
0,4
02
6
3,6
+
0,0
00
6
-0,0
02
2
+0
,00
73
-0
,02
19
+
0,0
57
0
-0,1
17
5
+0
,13
80
+
0,2
08
4
3,7
+
0,0
00
4
-0,0
01
6
+0
,00
54
-0
,01
68
+
0,0
46
0
-0,1
03
0
+0
,15
10
+
0,0
59
0
3,8
+
0,0
00
3
-0,0
01
1
+0
,00
39
-0
,01
27
+
0,0
36
5
-0,0
87
8
+0
,15
12
-0
,04
81
3
,9
+0
,00
02
-0
,00
08
+
0,0
02
8
-0,0
09
5
+0
,02
84
-0
,07
30
+
0,1
42
6
-0,1
18
2
4,0
+
0,0
00
1
-0,0
00
5
+0
,00
20
-0
,00
70
+
0,0
21
8
-0,0
59
4
+0
,12
86
-0
,15
79
4
,1
+0
,00
01
-0
,00
04
+
0,0
01
4
-0,0
05
1
+0
,01
65
-0
,04
74
+
0,1
11
8
-0,1
74
2
4,2
+
0,0
00
1
-0,0
00
2
+0
,00
10
-0
,00
36
+
0,0
12
3
-0,0
37
1
+0
,09
43
-0
,17
37
4
,3
+0
,00
00
-0
,00
02
+
0,0
00
7
-0,0
02
6
+0
,00
90
-0
,02
85
+
0,0
77
5
-0,1
62
1
4,4
+
0,0
00
0
-0,0
00
1
+0
,00
05
-0
,00
18
+
0,0
06
5
-0,0
21
5
+0
,06
21
-0
,14
41
4
,5
+0
,00
00
-0
,00
01
+
0,0
00
3
-0,0
01
2
+0
,00
47
-0
,01
60
+
0,0
48
7
-0,1
23
3
4,6
+
0,0
00
0
-0,0
00
0
+0
,00
02
-0
,00
08
+
0,0
03
3
-0,0
11
7
+0
,03
75
-0
,10
21
4
,7
+0
,00
00
-0
,00
00
+
0,0
00
1
-0,0
00
6
+0
,00
23
-0
,00
84
+
0,0
28
3
-0,0
82
2
4,8
+
0,0
00
0
-0,0
00
0
+0
,00
01
-0
,00
04
+
0,0
01
6
-0,0
06
0
+0
,02
10
-0
,06
46
[\
)
4,9
+
0,0
00
0
-0,0
00
0
+0
,00
01
-0
,00
03
+
0,0
01
1
-0,0
04
2
+0
,01
53
-0
,04
96
m
,..
262
C Lösungen des Integrals Ik
Es ist
worin
Alle Wurzeln von Hk (jw) liegen in der oberen Halbebene
I = 2
263
a Ob 4 + a Ob 2 (aOa S - a 1a 4 ) + a Ob 3 (-aOa 3 + a 1a 2 ) + ~ x
2 2 x (-aOa 1a 5 + a Oa 3 + a 1a 4 - a 1a 2a 3 );
264
265
Die allgemeine Formel [3.6] lautet
266
worin
d 21 d 22 .•• d 2k Dk = d = a a = 0 (s < 0, S > k ) mr 2m-r' s
und Nk eine Determinante bedeutet, die man aus Dk erhält, indem
deren erste Spalte durch bO' b 1 , ... , bk _1 ersetzt wird.
267
D Beschreibung des SIMULATOR-Programms
Das Programm dient zur Simulation und statistischer Analyse von line
aren oder nichtlinearen zufallserregten Schwingungssystemen in einem
endlichen Zeitintervall T, das in N gleiche Zeitabschnitte Clt aufge
teilt ist. Die statistische Analyse umfaßt die Ermittlung der empirischen
Verteilungsdichten und Korrelationsfunktionen der Ein- und Ausgangs
signale und deren Genauigkeitsgrad sowie die graphische Darstellung der
Ergebnisse.
Das durch sein Differentialgleichungssystem beschriebene Schwingungs
system kann wahl weise durch gemessene Realisierungen von Zufalls
funktionen oder programmäßig erzeugten Pseudo-Zufallsfunktionen er
regt werden. Das Differentialgleichungssystem wird bei vorgegebenem
Genauigkeitsgrad in N Punkten numerisch genähert gelöst.
Parameter und Eingangsdaten des Rahmenprogramms
x, Y, dX, dY, •••
KX, KY, •••
Fx, Fy, ...
N
dt
dgl
gl
mah
prh
eps
eta
Felder der interessierenden Zufallsfunktionen ;
Felder der gesuchten Auto oder Kreuzkorrelations
funktionen
Felder für die analytisch approximierten Ver
teilungsdichtefunktionen
Anzahl der Abtastpunkte
Abtastzeit (ßt)
Anzahl der gewöhnlichen Differentialgleichungen
1. Ordnung
Anzahl der Glättungen vor dem numerischen
Differenzieren
maximale zulässige Schrittweite bei der numeri
schen Lösung des Differentialgleichungssystems
(=mah) Möglichkeit für die äußere Vorgabe der
laufenden Schrittweite
relativer Fehler der genäherten Lösung der ein
zelnen Differentialgleichung
(""eps) Hilfsgröße zur Ermittlung der Genauigkeit
einer Lösung nach (4.112)
268
Beschreibung der einzelnen Prozeduren
Prozedur
Zweck:
GAMMAFKT
Berechnet den Wert der EULER-schen fex) Funktion
für reelles x.
Vereinbarung: GAMMAFKT (x) ;
Beschreibung der fo~alen Veränderlichen:
x Argument, Typ: real
Prozedur FAKT
Zweck: Berechnet die Fakultät: n!
Vereinbarung: FAKT (n)
Beschreibung der fo~alen Veränderlichen:
n ganze Zahl, Typ: integer
Prozedur ABLNORM
Zweck: Berechnet die Funktionswerte der ersten acht Ableitungen
des Gaußschen Fehlerintegrals für gegebenes Argument.
Vereinbarung: ABLNORM (t,n;
Beschreibung der fo~alen Veränderlichen:
aktuelles Argument, Typ: real
Grad der Ableitung [pU) (tD, Typ: integer
Prozedur MAX
Zweck: Ermittelt das größte Element eines Feldes
Vereinbarung: MAX (x, n, max);
Beschreibung der fo~alen Veränderlichen:
x
n
max
Prozedure
Zweck:
Feld mit verschiedenen Elementen, Typ: array
Indizes: [1:n]
Anzahl der Elemente, Typ: integer
Name für das größte Element von x, Typ: real
GLAETTEN
Glätten einer Folge von N empirischen Funktions
werten Xi für äquidistante Abszissen bei g-maliger
Wiederholung des Verfahrens (5-Punkte-Formel)
269
Vereinbarung: GLAETTEN (x, n, g, xg);
Beschreibung der formalen Veränderlichen:
x
n
g
xg
Prozedure
Zweck:
Feld der gegebenen Funktionswerte xi' Typ: array
Indizes: [1:nJ
Anzahl der Beobachtungswerte ; Typ: integer
Anzahl der Durchgänge bei wiederholtem Glätten
(g;;:1) Typ: integer
Feld der geglätteten Funktionswerte ,
DISPKFKT
Typ: array
Indizes: [1: nJ
Berechnung der Dispersion einer empirischen Kor
relationsfunktion nach GI. (5.37)
Vereinbarung: DISPKFKT (x, n, tau);
Beschreibung der formaZen VeränderZichen:
x
n
tau
Prozedur
?;;Jeck:
Beobachtungswerte der Zufallsfunktion, Typ: array
Indi zes: [1: nJ
Anzahl der Beobachtungswerte , Typ: integer
Wert der Zeitverschiebung , an dem die Dispersion
gefragt ist, tau = T / 6t, Typ: integer
KORRELFKT
Berechnung der empirischen Korrelationsfunktion der
Zufallsfunktionen X(t) und Y(t) in N/1O Punkten
für T = T/10. max
Vereinbarung: KORRELFKT (x,y,n,Kemp)
Beschreibung der formalen Veränderlichen:
x
y
n
Kemp
Prozedur
?;;Jeck:
Feld der Beobachtungswerte der Zufallsfunktion X( t),
Typ: array Indizes: [1: nJ
Feld der Beobachtungswerte der Zufallsfunktion Y (t) ,
Typ: array Indizes: [1: nJ
Anzahl der Beobachtungs werte, Typ: integer
Feld der empirischen Korrelationsfunktion für positives T,
Typ: array Indizes: [0: entier (n/ 10) J
DISPMW
Berechnung der Dispersion des Mittel wertes einer Zu
fallsfunktion nach GI. (5.6/a)
270
Vereinbarung: DlSPMW (x, n);
Beschreibung der formalen Parameter:
x Feld der Beobachtungswerte der Zufallsfunktion X( t),
Typ: array Indizes: [1: nJ
n Anzahl der Beobachtungswerte, Typ: integer
Prozedur VERTEILUNGSDICHTE
Zweck: Statistische Analyse der Stichprobe einer Zufallsfunktion
nach dem in Abschnitt 5.1 beschriebenen Verfahren
Vereinbarung: VERTEILUNGSDICHTE (x, n,k, mx, sx, fnx, eps, Dispsx);
Beschreibung der formalen Veränderlichen:
x Feld der Beobachtungswerte (Stichprobe) der Zufalls-
funktion X (t ), Typ: array Indizes: [1: nJ
n Anzahl der Stichprobenelemente , Typ: integer
k Anzahl der Klassen des Histogramms, Typ: integer
mx Name für den empirischen Mittelwert, Typ: real
sx Name für die empirische Streuung, Typ: real
fnx Feld für die approximierte empirische Verteilungsdichte ,
Typ: array Indizes: [1: kJ
eps Vertrauensintervall - Breite des geschätzten Mittel
wertes, Typ: real
Dispsx
Bemerkung:
Prozedur
Zweck:
Dispersion der geschätzten Streuung der Stichprobe,
Typ: real
Die Prozedur stellt die normierte empirische Verteilungs
dichte durch Buchstaben n und ihre nach GI. (5.22)
gebildete Approximation durch Buchstaben 0 graphisch
dar.
RUNGEKUTTA 4
Genäherte Lösung eines Systems gewöhnlicher Differen
tialgleichungen erster Ordnung bei vorgeschriebenem
Relativfehler als Anfangswertaufgabe .
Vereinbarung: RUNGEKUTTA 4 (xO, n, yO, xl, mah, prh, eps, eta, notacc);
Beschreibung der formalen Veränderlichen:
xO Anfangswert der unabhängigen Veränderlichen (der Zeit)
Typ: real
n
yO
xl
271
Anzahl der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster
Ordnung, Typ: integer
Feld für die Funktionswerte der genäherten Lösungen,
Typ: array Indizes: [1: nJ
Vorgegebener Wert der unabhängigen Veränderlichen,
an dem die genäherten Lösungen gefragt sind, Typ: real
mah Maxi mal wert der Schri ttwei te, Typ: real
prh vom Rahmenprogramm steuerbare Schrittweite,
Typ: real
notace
Prozedur
ZWeck:
Marke als Ausgang aus der Prozedur, wenn die Genau
igkeitsforderung bei der letzten aktuellen Schrittweite
nicht erfüllt werden kann
UNIF
Erzeugung gleichverteilter Pseudo-Zufallszahlen im
Intervall [0, 1 J
Vereinbarung: UNIF;
Bemerkung:
Prozedur
ZWeck:
Die Prozedur erfordert die Deklaration der Veränder
lichen glvarx(:=0,12345678901)
glvaralfa (:= 37199)
im Rahmenprogramm
GENNORM
Erzeugung von standard normal verteilten Pseudo
Zufallszahlen mit dem Mittel wert Null und der Streuung
Eins
Vereinbarung: GENNORM (normal 1, normal 2);
Beschreibung der formalen Veränderlichen:
normal 1, normal 2
Namen für zwei Zufallszahlen, Typ: real
Prozedur NORMAL
ZWeck: Berechnung des Wertes des Fehlintegrals nach (1. 65)
im Intervall [0, xJ,
Vereinbarung: NORMAL (x);
Beschreibung der formalen Veränderlichen:
obere Integrationsgrenze , Typ: real
272
Prozedur
ZlUeck:
DIFFQUOT
Numerisches Differenzieren einer durch äquidistante
Stützwerte gegebenen Funktion nach der 5-Punkte
Formel
Vereinharung: DIFFQUOT (n,h,y,dy);
Beschreibung der formaLen VeränderLichen:
n
h
Y
dy
Anzahl der Stützwerte , Typ: integer
Zeitabstand benachbahrter Funktionswerte , Typ: real
Feld der zu differenzierenden Funktionswerte,
Typ: array Indizes: [1 : nJ
Stützwerte der Ableitung, Typ: array Indizes: [1: nJ
begin
comment S I M U L A TOR - EIN PROGRAMM
FUER DIE SIMULATION UND ANALYSE
ZUFALLSERREGTER SCHWINGUNGSSYSTEME;
integer i, N, kl, gl, dgl, kor;
273
real mx, sx, my, sy, dt, zl, z2, mah, prh, eps, eta, tO, C, glvarx,
glvaralfa, Epsmx, Epsmy, Dsx, Dsy;
boolean first;
glvarx := .12345678901;
glvaralfa := 37199;
tO := 0;
read (N, kl, gl, dgl, mah, prh, eps, eta, dt, Cl;
kor := entier (N/10);
begin
array X, dX, YC1:NJ, KX, KY[O:korJ, Fx, Fy[1:klJ, yO[1:dglJ;
real procedure GAMMAFKT(x);
value X;
real X;
begin
integer i;
real y;
arraya[1:8J;
if x< 0
then GAMMAFKT := if x -1 then 0 else GAMMAFKT(x+1)/(x+1)
else
if x< 1
then
begin
aClJ ,-
a[2J ,-
a[3] , -a[4] , -a[5] , -a[6] ,-
-0.11352782;
0.48219939;
-0.75670408;
0.91820686;
-0.89705694;
0.98820589;
274
a[7] := -0.57719165;
a[8]:= 1.0; y := 0.03586834;
.!2.!: i := 1 step 1 .!:!!llli 8 do
y := y * x + a[i];
GAMMAFKT := y
end
else GAMMAFKT := x * GAMMAFKT(x - 1)
end GAMMAFKT;
real procedure FAKT(n);
value n;
integer n;
FAKT := if n = 0 then 1 else n lf FAKT(n - 1);
real procedure ABLNORM(t,i);
value t,i;
real t;
integer i;
begin
array f[1 : 8];
real fu;
fu := 0.3989422804 lf exp(-.5 x t x t);
f[ 1] : = fu;
f [2] : = - t * fu;
f[3] := fu" (-1.0 + t t 2); f[ 4 J • - fu ,f (3 ,f t - t t 3);
f [5 J • - fu lf (3.0 - 6 lf t t 2 + t t 4);
f[6J .- fu " (-15.0 " t + 10.0 " t t 3 - t t 5);
f[7] := fu " (-15.0 + 45 " t t 2 - 15 * t t 4 + t t 6);
f[8] := fu * (105 * t - 105 " t t 3 + 21 * t t 5 - t t 7);
ABLNORM : = f[ i ]
end ABLNORM;
procedure MAX(x,n,max);
value n;
integer n;
real maXi
array x;
begi n
integer i;
real Z;
Z : = -10100;
for i := 1 step 1 until n do
begin
2i xli] < Z
then z := x[i];
max := z end
end MAX;
procedure GLAETTEN(x,n,g,xg);
value n,g;
integer n,g;
array x,xg;
begin
real d4;
integer i ,n1;
if n > 5
then
begin
n1 := 1;
NEU: d4:= xC1J + x[5J - 4 * (x[2J + x[4J) + 6 * x[3J;
xg[lJ := x[lJ - d4/70.0;
xg[2J := x[2J + d4/17.5;
for i := 3 step 1 until n - 2 do
275
xg[iJ := (-3 " (x[i - 2J + xli + 2]) +12 lf (x[i - 1J+ xli + 1])
+ 17 lf x [i ])/35.0;
d4 := x[n - 4J + x[n J - 4 " (x[n - 3J + x[n - 1J) + 6 " x[n - 2J;
xg[n - 1J := x[n - 1J + d4/17.5;
xg [n J : = x[ n J - d4/70. 0;
2i nl '" 9 then
276
begin
n1:=n1+1; for i ,- 1 step 1 until n do
x[i] ,- xg[i];
~ to NEU end;
end
else for i := 1 step 1 until n do
xg [i] : = x [i]
end GLAETTEN;
real procedure DISPKFKT(x,n,tau);
value n,tau;
integer n. tau; array x;
begin
integer r,nmax; real A,B,C,Kl.K2,K3;
~ KF[O:entier(n/lO)];
KORRELFKT(x,x,n,KF); A : = KF[O]; A:=AlfA;
nmax := entier(n/lO); B : = KF[ nmax] ;
B := B lf B;
C := 0;
for r := 1 step 1 ~ nmax - tau - 1 da
begin Kl ,- KF[ r];
Kl ,- Kl lf K 1 ;
K2 , - KF[r + tau];
K3 ,- KF[ abs (r - tau)] ; C , - C + Kl + K2 -:f K3;
X , - C lf (1.0 - r/ (nmax - tau) )
end r;
DISPKFKT := (A + B + 2 * C)/{nmax - tau) end DISPKFKT;
procedure KORRELFKT{x.y.n.Kemp);
~ x.y.n; integer n;
array x.y .Kemp; begin
~ A.B.C.emwx.emwy; integer i.j.nmax; emwx := emwy := 0; for i := 1 step 1 until n ~ begin
emwx .- emwx + xCi]; emwy := emwy + y[i];
~ i;
emwx .- emwx/n;
emwy : = emwy In;
nmax := entier{n/lO);
for j := 0 step 1 until nmax ~ begin
C := 0;
for i : = 1 s tep 1 until n - j ~ begin
A := x[i]-emwx; B := y[i + j]-emwy;
C := C + A * B
end i; Kemp [j] : = CI ( n - j)
end j; end KORRELFKT;
real procedure DISPMW{x.y); value x.n; integer n;
277
278
array x;
begin
integer r,nmax;
real A,Kr;
array KF[O:entier(n/lO)];
KORRELFKT(x,x,n,KF);
nmax .- entier(n/lO);
A := 0; for r := 1 step 1 until nmax do
begin
Kr : = KF[ r];
A:= A + Kr '< (1.0 - r/nmax);
end r;
DISPMW := (KF[O]+ 2 * A)/nmax
end DISPMW;
procedure VERTEILUNGSDICHTE(x,n,k,mx,sx,fnx,eps,Dispsx);
value n,k;
integer n,k;
real mx,sx,eps,Dispsx;
array x, fnx;
begin
in tege r i ,j ,nj ;
real h,kn,mt3,mt4,mt5,mt6,t,Chi2,A,B,C,e,fnj;
array KM,AH,RH[1:k],GL[1:7];
boolean normal;
comment Schaetzwerte fuer mx und sx;
mx : = sx : = 0;
for i . - 1 s tep 1 unti 1 n do
begin
mx . - mx + xl il ;
sx .- sx + x[il -:f xli]
end;
mx .- mx/n;
sx .- sqrt(abs((sx - n * mx * mx)/(n - 1)));
comment Normierung und Haeufigkeitsanalyse;
h := 6.0/k;
for j := 1 step 1 until k do
begin
nj : = 0;
A := -3.0 + (j - 1) * h; B := A + h;
KM[j] := A + .5 " h;
for i : = 1 s tep 1 unti 1 n do
be,2i n
t := (x[i]-mx)/sx; ifA~tAt<B
then nj := nj + 1
end i;
AH [j] : = nj;
RH[j] := AH[j]/n
end j;
comment
Pruefung auf GAUSS-Verteilung mit Chi2-Test
von PEARSON. Freiheitsgrad: k - 3 und
95 010 statistische Sicherheit;
Ch i 2 : = 0;
~ j := 1 step 1 ~ k do
begin
fnj := n ,< (NORMAL(KM[j]+.5 " h)-NORMAL(KM[j]-.5 ,< h));
A : = AH [j ] - fnj ;
A := A " A;
Chi2 .- Chi2 + A/fnj
end;
normal := if ((k:>: 10 A Chi2:>: 2.17)v(k>lOAk:;;;15AChi2~5.23)
279
v( k > 15 J\ k ~ 20 A Chi 2 ~ 8.67) v( k > 20 A k ~ 25 A Chi 2 ~ 12.34) )
An ~200
then true else ~;
i f normal
280
then
begin
comment Erwartungstreue Schaetzung der
Streuung und ihrer Dispersion;
A .- sqrt((n - 1)/2);
B .- GAMMAFKT((n - 1)/2);
C .- GAMMAFKT(n/2);
kn : = A ,f B/ C ;
A := 0;
for i := 1 step 1 until n do
A := A + (x[i]-mx) t 2;
A := sqrt(A/(n - 1));
sx : = kn ,f A;
Dispsx := (kn * kn - 1) * sx * sx end
else Dispsx := DISPKFKT(x,n,O);
comment Konfidenzintervall des Mittelwertes
bei 95 Prozent Sicherheitswahrscheinlich
keit;
eps := if normal then 1.96 ,f sx/sqrt(n) else sqrt(DISPMW(x,n
/0.95);
comment Hoehere Momente der normierten
Zufallsfunktion (mit SHEPPARDschen
Korrekturen) ;
mt3 := mt4 := mt5 := mt6 := 0; h.- h:sx;
for j := 1 step 1 until k do
begin
t .- KM[jJ -:, sx; A : = RH[j 1 ;
mt3 .- mt3 + t t 3 * A - (h * h/4 * t * A)/k;
mt4 . - mt4 + t t 4 ~:- A + (- h -:f h/2 ~~ t -:~ A + 7 -;:- h t 4/240)/k; mt5 . - mt5 + t t 5 -;:- A + (- 5/6 ~:- h -;:- h ~:- t t 3 -;:- A + 7/48 ~l- t
~:- A ~:- h t 4)/ k;
mt6 .- mt6 + t t 6 * A + (- 5/4 * h * h * t t 4 * A + 7/16 * t
t 2 * A * h t 4 - 31/1344 * h t 6)/k
end;
comment Koeffizienten für die Approximation
der empirischen Verteilungsdichte
durch die ersten 5 Glieder der
GRAM-CHARLIER-Reihe;
GL[l] := 1.0;
GL[2] := GL[3] := 0;
GL[4J := mt3/sqrt(6.0);
GL[5] .- (mt4 - 3.0)/sqrt(24.0);
GL[6] := (mt5 - 10.0 lf mt3)/sqrt(120.0);
GL[7] := (mt6 - 15.0 * mt4 + 30.0)/sqrt(720.0);
comment Funktionswerte der normierten
empirischen Verteilungsdichtefunktion;
if normal
then
begin
~ j := 1 step 1 unti 1 k do
fnx[j] := ABLNORM(KM[j] ,1)
end
else
begin
C : = .0;
for j := 1 step 1 until k do
begin
fnx[j] := ABLNORM(KM[j] ,1);
for i := 3,4,5,6,7 do
281
fnx[j] := fnx[j] + (-1) t i/sqrt(FAKT(i)) -:f GL[i + 1J lf ABLNORM
(Kt~[j] ,i + 1);
C := C + h lf fnx[j]
~ j und fnx-Werte;
C : = l/C;
for j := 1 step 1 until k do
fnx[j] := C lf fnx[j]
end nicht normal;
282
comrnent Graphische Darstellung der Ergebnisse;
MAX(fnx,k,e);
if e<0.7 then
begin
e := 1.0 lf e;
C := 1.0;
~ to ZEICHNE end
el se
j!e;;::0.7::;;e 1.4 then
begin e:=0.5,fe;
C := 0.5; go to ZEICHNE
end
el se
begin
e := 0.25 lf e;
C := 0.25;
~ to ZEICHNE end MASSSTAB;
ZEICHNE:
format('-12345.123'); print( ,
MITTELWERT:' ,mx,'
STREUUNG :' ,sx,'
VERTRAUENSGRENZEN DES MITTELWERTES
IN PROZENT: ±' ,100 * eps/mx,'
xj t = (xj - mx)/sx fx(t)');
space(12 + entier(20 * e)); print( 'VERTEILUNGSDICHTE fx(t)');
line(l);
space(23); format(I~~~~~~0.12');
.fE!. i := 0 step 10 until 100 * e + 3 ~ if i/lO-entier(i/IO)< 0.05
then print(i/(100 xC»;
line(l);
space( 30);
.f.2!:. i := 0 step 1 until 100 i~ e + 3 ~ if (i/5-entier( i /5» < 0.1
then begin
outchar(93);
outchar(69)
end
~ outchar(69); format('?-12345.123uu-0.123~~~0.0000~~~I);
for j := 1 step 1 until k ~ begin
~g;
integer k37.k38;
print(mx * Kl4[j) .KM[j]. fnx[j); g := RH[j)/h;
k37 := entier(100 * (C * (g + 0.005»);
k38 := entier(100 * (C * (fnx[j]+ 0.005»); outchar(93);
.!! k38< k37 then
begin
space(k38) ;
outchar(38);
space(k37 - k38 - 1);
outchar(37)
end
else
Es bedeuten:
outchar (93):
outchar (69): +
outchar (38): 0
outchar (37): n
? in String ~ neue Zeile
283
284
i f k38 > k37
then
begin
space( k37) ;
outchar( 37) ;
space(k38 - k37 - 1);
outchar(38)
end
else
begin
space(k38);
outchar(38)
end
~j;
1 ine(2);
space( 100);
~ VERTEILUNGSDICHTE;
procedure RUNGEKUTTA4(xO,n,yO,x1,mah,eps,eta,notacc);
value n,x1,mah,eps,eta;
integer n;
real xO,x1,mah,eps,eta;
arra'y yO;
label notacc;
begin
integer k;
real epsl,h,hh,sh,wl,w2,w3,w4;
boolean goodacc,notlast;
array d,yw,y1.y2,y3[1:n];
procedure RKlstep(x,y,h,yh);
value x,h;
real x,h;
array y ,yh;
begin
wl := w4 := .5 * h;
w2 := x;
far k:= I step I ~ n da begin
yw[kJ := y[kJ;
yh[ kJ := 0
~k;
far w3 := w4,h,h,w4 ~
begin
f(w2,n,yw,d);
i2.!:. k : = I s tep 1 until n da
begin
w2 := d[kJ;
yh[kJ := yh[kJ+ w3 * w2;
yw[kJ := y[kJ+ wl l~ w2
end k;
w2 := x + wl;
wl := w3
~w3;
i2.!:. k := I step 1 until n da
yh[kJ := y[kJ+ .33333333333 * yh[kJ
~ RKIstep;
epsl := .025 * eps;
wl := xl - xO;
sh := sign(wl);
natlast := false;
if fi rst
then
begin
h := prh := wl;
first := false
end first
else
begin
h : = prh;
285
286
cont:
if abs(h) 1! mah
~ h := prh := mah * shi
if (xO + 1.25 * h - xl) * sh ~ 0 thel'l h := w1
else notlast := true
end .!!.21 fi rs t i
goodacc := ~i RK1step(xO.yO.h.y1);
nexth:
hh := .5 * h; RK1step(xO.yO.hh.y2);
RK1step(xO + hh.y2.hh.y3);
w4 := 0;
for k := 1 step 1 until n do begin
w1 := y1[k];
w3 := y3[kJ;
w2 := abs(w1 - w3);
w1 := abs(w1);
w3 := abs(w3); if w1 lt w3
then w1 := w3;
if w1 lt eta
then w1 := eta;
w1 := w2/w1;
if w1 gt w4
then w4 := w1
end k;
if w4 .2! eps then
begin
goodacc := ~;
if abs(hh) 1! mah
~ go to notaCCj
h := prh := hhj
notlast := truej
for k := 1 step 1 until n do
yl[kJ := y2[kJj
go te nexth
end w4 gt epsj
for k := 1 step 1 until n do
begin
w3 := y3[kJ;
yO[kJ := w3 + .066666666667 ,f (w3 - yl[kJ)
end k;
if notlast
then
begin
xO := xO + h;
if w4 l! epsl and goodacc
then h := prh := h + h;
if (xO + 1.25 " h - xl) " sh .2! 0 then
begin
h := xl - xO;
notlast := false
end (xO + 1.25 " h - xl) ,f sh ge 0;
go to cont
end notlast;
xO := xl
end RUNGEKUTTA4;
~ procedure UNIF;
begin
glvarx := glvaralfa " glvarx;
UNIF := glvarx := glvarx - entier(glvarx)
end UNIF;
procedure GENNORM(normall,norma12);
287
288
real normal1,norma12;
begin
real x1,x2;
xl .- -ln(UNIF);
xl := sqrt(x1 + xl);
x2 := 6.2831853 * UNIF;
normal 1 .- xl lf cos(x2);
no rma 12 : = xl lf si n ( x2)
end GENNORM;
real procedure NORMAL(x);
value x;
~x;
begin
boolean up;
up := false;
if x = .0
then NORMAL .- .5
el se
begin
real m,n,p1,p2,q1,q2,s,t,x2,y;
up := up:; x> .0;
x := abs(x);
x2 : = x lf x;
y := .3989422804 " exp(-.5 * x2); n := yjx;
if ,UPfl 1.0 - n = 1.0
then NORMAL .- 1.0
else
i.!.upfln=.O
then NORMAL .- .0
else
begin
i.!. x> (j,! up then 2.32 else 3.5)
then
begin
ql .- x;
p2 : = Y if X;
pI := y;
q2 : = x2 + 1. 0 ;
m : = n;
t .- p2/q2;
if ,up
then
begin
m .- 1.0 - m;
t := 1.0 -tt
end ,up;
for n := 2.0,n + 1.0 while m ~ tAS ~ t do
begin
S : = x " p2 + n if pI;
pI .- p2;
p2 . - S;
S := x " q2 + n " ql;
ql .- q2;
q2 . - S;
S • - m;
m .- t;
t .- if up then p2/q2 else 1.0 - p2/q2
end n;
NORMAL .- t
end
else
begin
S := x := y " x; for n := 3.0,n + 2 while S ~ t do
begin
t .- S;
x .- X if x2/n;
S .- S + x
289
290
end n;
NORMAL : = i.!. up then • 5-5 ~ .5+5
end
end .,(up 1\ n = .0)
end
x"'.O,NORMAL;
end NORMAL;
procedure DIFFQUOT(n,h,y,dy);
value n,h,y;
rea 1 h;
integer n;
array y ,dy;
begin
real n1,n2;
integer i;
nl : = 84 " h;
n2 : = 12 J:- h;
dy[l] := (- 125" y[l] + 136 j, y[2J + 48" y[3J - 88" y[4]
+ 29 " y[5])/nl;
dyl2J := (- 38 J, y[lJ - 2 "y[2] + 241:- y[3J + 26 "y[41
- 10 " y[51)/nl;
for i := 3 5tep 1 ~ n - 2 do
dy[i] .- (y[i - 2J - y[i + 2] - 8 "(y[i - 1] - y[i + 1l))/n2;
dy[n - 11 := (10 " y[n - 4J - 26 " yln - 3J - 24 " yln - 21
+ 2 " yln - 11 + 38" y[nJ)/n1;
dYlnl := (- 29 J:- yln - 4J + 88 " yln - 3J - 48 " yln - 21
- 136 " yln - 11 + 125 " ylnl)/n1
end DIFFQUOT;
procedure GRAPHKOR(Kemp,kor,dt);
value Kemp,kor,dt;
integer kor;
real dt;
array Kemp;
begin
integer i,j;
~ tau,kO,kt;
print('?NORMIERTE AUTOKORRELATIONSFUNKTION?');
format('ANFANGSWERT:~~-0.1234~o+10?');
print(Kemp(O]); format('-O.luuuuuu');
for i := -10 step 2 until 10 da
print(.l * i); print('?uU');
for i := 0 step 1 until 100 do
if (i/5-entier(i/5))<0.1
then
begin
outchar(93) ;
outchar(69)
end
else autchar(69);
kO := Kemp(O];
for i := 0 step 1 until kor do
begin
format('?10.12Us');
tau : = i if d t;
kt := Kemp[i]/kO;
print(tau);
j := 45 + entier((kt + .005) * 50);
space(j);
outchar(38)
~ i;
end GRAPHKOR;
procedure f(x,n,y,d);
~ x,n;
integer n;
~x;
~y,d;
begin
291
292
real ul.u2;
ul := y[l];
u2 := y[2];
d[1] := u2;
d[2] := (90.0 * (dX[i]-u2)+17000.0 * (X[i]-ul))/35.677
end f;
corrnnent
Erezugung oder Einlesen der Erreger-Zufallsfunktion;
~ i := 1 steE 1 unti 1 N ~
i.f. key ( 10)
~ x[i] .- inreal
else
begin
GENNORM(zl,z2);
X [i] : = C {< (z 1 + z2) * .5;
end;
comment Bildung der Ableitung dX[i] nach gl-facher
Glaettung von X[i];
GLAETTEN(X ,N ,gl ,X);
DIFFQUOT(N,dt,X,dX);
comment Statistische Analyse der Erregerfunktion;
VERTEILUNGSDICHTE(X,N,kl,mx,sx,Fx,Epsmx,Dsx);
KORRELFKT(X,X,N,KX);
format('DSXu = uO.1234~o+10?'); print(Dsx);
GRAPHKOR(KX,kor,dt);
comment Loesung des DGL-Systems f fuer
verschwindende Anfangsbedingungen;
yO[l] := yO[21 := Y[l] := 0,0;
first := true;
for i .- 2 step 1 until N do
begin
t~IDERH:
RUNGEKUTTA4( tO ,dgl ,yO. (i - 1) ,f dt ,mah ,eps ,eta ,UNGENAU) ;
y[iJ := yO[1];
.29.. to WE ITER; UNGENAU:
mah := .5 * mah; if mah>:lo-3 ,f dt then go to WI DERH;
print('?GENAUIGKEITSFORDERUNG NICHT ERFUELLBAR?');
.29.. to EN DPR; WEITER:
end i; comment Statistische Analyse der Ausgangssignale; print('
STATISTISCHE CHARAKTERISTIK DER AUSGANGSSIGNALE:?');
VERTEILUNGSDICHTE(Y,N,kl,my,sy,Fy,Epsmy,Dsy);
KORRELFKT(Y,Y,N.KY);
GRAPHKOR(KY,kor,dt); end;
ENDPR:
end
293
294
E Diagramme zur graphischen Auswahl der Approximationsfunktion für empirische Autokorrelationsfunktionen
!<,(-r) K,(-r) = l'-~ITI ~O~---r----r----r---;----+----+----+----t
o 2 J 5 6 7 6 T
Ki-rJ:: l' -al-rl(cos {Jr. ~sin ßlrlJ ~= 0,2
1,0 ~~~::::: -~r---+---+-----y I Pi = illO
° 0
-0,2 f----+--
-0,' 1-----+-----jH __ ""-+ ""-.
-0.6 L--__ ---'-_---'-
()(;=O,3
Pi = illO
a: =0,5
Pi = i/IO
295
296
'" =0,7
Pi = illO
-O,2rtit-t-+-+---+---L---LJ -O'4r-r-i--t--t - -t--t-- +- -!-_L-J
Sachverzeich n is
Abschätzung der Streuung 233
- eines empirischen Mittelwertes 224
- einer Korrelationsfunktion 233
- einer Spektraldichte 250
Abtastperiode 215, 237
Anpassungstest 227
Äquivalente Verstärkung 187, 194
- Übertragungsfunktion 195
Approximation der Korrelations-funktion 69, 122, 240
- der Spektraldichte 247
- der Verteilungsdichtefunktion 37, 168, 230
Autokorrelationsfunktion 57, 67, 193
-, empirische 121, 231
- der Ableitungen einer Zufalls-funktion 75
Autokorrelationsmatrix 59, 152
Berechnung der Autokorrela-tionsfunktion 114, 193, 232
Beobachtungszeit , endliche 232
Bernoulli-Zahlen 230
Breitbandwelle 65
charakteri stische Funktion 22 2 X -Test 227
Dichtefunktion 41
Differentialgleichung 110
- genäherte Lösung von 214
- lineare, mit konstanten Ko-effizienten 118, 154, 170
- lineare, mit veränderlichen Koeffizienten 169
- nichtlineare 174, 217
Differentiation von Zufallsfunk-tionen 70, 238
Differentiationsoperator 71
Diracsche Deltafunktion 84
Dispersion 24, 102
- des Mittelwertes 223
- der Korrelationsfunktion 231, 234
Elementarereignis 2
empirische Korrelationsfunktion 121, 138, 231
- mathematische Erwartung 223
- Spektraldichte 251
- Verteilungsdichtefunktion 171, 218
298
Ereignis 1
Erwartung, mathematische 19
-, empirische mathematische 223
Ergodenhypothese 53
Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen 170, 287
Etalonfunktion 35
Exzeß 38, 168
Fahrzeugmodell , lineares 117, 134, 149
-, nichtlineares 205
Fehlerintegral , Gaußsches 28, 259
Fourier-Transformierte 81, 83
Formung der Verteilungsdichte 42, 44, 119, 168, 171, 218
Funktion, charakteristische 22
Funktionssystem, orthonormiertes 35, 192
Gaußsches Fehlerintegral 28, 259
Gaußverteilung 25
genäherte Lösung von Differen-tialgleichungen 214
Glättung 269
Gleichverteilung 39
Gram-Charlier-Reihe 38, 183
Häufigkeit, relative 2, 226
- der Niveauüberschreitungen 108
Hermitesche Polynome 37, 192
Hubschwingungen 134
instationäre Zufallsfunktion 53, 154
Kol mogoroffscher Wahrscheinlichkeitsbegriff 4
Komplexes Integral, Lösung 101, 262
Korrektur, Sheppardsche 230
Korrelationsfunktion 50
- Approximation der 69, 122, 241
empirische 121, 138, 231
- normierte 69
Korrelationstheorie 51
Kreuzkorrelationsfunktion 50, 57, 77, 137, 139
Kreuzkorrelationsmatrix 61
Kreuzspektraldichte 89, 97
lineare Differentialgleichung 110
- mit konstanten Koeffizienten 118, 154, 170
- mit veränderlichen Koeffizienten 159
linearer Opera tor 71
Linearkombination, Korrelationsfunktion einer 78
-, Spektraldichte einer 94, 98
Linearisierung, statistische 177, 181
MacDonaldsches Integral 45
Markowscher Prozeß 52
mathematische Erwartung 19
-, empirische 223
mehrdimensionale Verteilungs-dichte 29, 190
Meßdauer, notwendige 232
Mittelung über die Realisierungen 48
- über die Zeit 56, 223
Mittelwert des Ensembles 55
empirischer 223
quadratischer 24
mittlere quadratische Abweichung 226
-, Überschreitungsdauer 107, 148
- Zahl der Überschreitungen 106, 148
- Verweilzeit 108, 148
Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilung 21, 166
empirische 230
gewöhnliche 21
zentrale 22, 166, 183
n-dimensionale Normalverteilung 30
nichtdifferenzierbare Zufallsfunktion 73, 238
nichtlineare Differentialgleichung 174, 217
Nichtlinearität, statische 176, 187
-, dynamische 176, 217
Nickschwingung 137
nichtnormale Zufallsfunktion 52, 171, 109, 219
Ni veauüberschreitung 104
normale Zufallsfunktion 52
Normalverteilung 25, 190
normierte Korrelationsfunktion 69
- Spektraldich:e 88
- Verteilungsdichte, 26
Nulldurchgänge, mittlere Anzahl der 108
Operator der Differentiation 71
linearer 71
der Übertragungsfunktion 111
299
Operatormatrix 111
orthonormiertes Funktionensystem 35, 192
Pseudo-Zufallszahlen, Erzeugung von 170
Prozeß, stochastischer 47
Randverteilung 16
Realisierung der Zufallsfunktion 47
Realisierungen, Mittelung über die 48
rel.ative Häufigkeit 2, 226
Runge-Kutta-Verfahren 213
Schätzwerte für Mittelwert und Streuung 225, 226
- für die Korrelationsfunktion 231
Schmalbandwelle 65
Simulation von Schwingungs-systemen 169, 213, 217
Simulator 267
Sheppardsche Korrektur 230
Spektraldichte79, 116,210
- einer Linearkombination 94, 98
empirische 123, 251
normierte 88
Spektraldichtematrix 91, 141, 143, 153
Spektralzerlegung 160
stationäre Zufallsfunktion 53
Stationarität im engeren Sinne 53
- im weiteren Sinne 55
statistische Linearisierung von Nichtlinearitäten 177, 181
- Sicherheit 228
300
Stichprobe 225
Streuung 24, 124, 128, 146, 211, 226
System linearer Differentialgleichungen 112, 136, 150
Theorem Chintschines 80
Tschebyschewsche Ungleichung 229
Überschreitungsdauer , mittlere 107, 148
Überschrei tungswahrscheinli chkeit 105
Übertragungsfunktion eines linearen Systems 99, 118, 124, 151
äquivalente 195, 202
Übertragungsmatrix 111, 142
unabhängige Zufallsgrößen 16
Versuch 1
Verteilungsfunktion 8, 65, 128
-, mehrdimensionale 29
Verteilungsdichte 12
Vertrauensgrenzen 228
Vertrauensintervall 228
Verweilzeit, mittlere 108, 148
Wahrscheinlichkeitsbegriff 2
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 12, 41
Wiener- Chintschine-Theorem 79
Zeit, Mittelung über die 56, 223
zentrale Momente 22, 166, 183
Zufallsfunktion 47
instationäre 53, 154
markowsche 52
nichtdifferenzierbare 73, 238
nichtnormale 52
- normale 52
stationäre 53
Zufallsgröße 7, 11
System von 8
unabhängige 16
