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Cours de Mathématiques Sup MPSI PCSI PTSI TSI En partenariat avec l’association Sésamath http://www.sesamath.net et le site http://www.les-mathematiques.net Document en cours de relecture Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron 23 mars 2011

Livre de mathematique complet

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  1. 1. Cours de Mathmatiques Sup MPSI PCSI PTSI TSI En partenariat avec lassociation Ssamath http://www.sesamath.net et le site http://www.les-mathematiques.net Document en cours de relecture Alain Soyeur - Franois Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron 23 mars 2011
  2. 2. Table des matires 1 Nombres complexes 19 1.1 Le corps C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.2 Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.3 Proprits des oprations sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Parties relle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Partie relle, partie imaginaire dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Reprsentation gomtrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1 Reprsentation dArgand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Interprtation gomtrique de quelques oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Module dun nombre complexe, ingalits triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.1 Groupe U des nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.1 Argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7 Racines n-imes de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.8 quations du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8.1 Racines carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8.2 quations du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.9 Nombres complexes et gomtrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10.1 Translations, homothties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.11.1 Forme algbrique - Forme trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.11.2 Polynmes, quations, racines de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.11.3 Application la trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.11.4 Application des nombres complexes la gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Gomtrie lmentaire du plan 62 2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.2 Produit dun vecteur et dun rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.3 Vecteurs colinaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2 Modes de reprage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.1 Repres Cartsiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.2 Changement de repre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2
  3. 3. quation cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.3 Repres polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 quation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.2 Interprtation en terme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.3 Proprits du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.4 Interprtation en termes de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.2 Interprtation en terme daire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.3 Proprits du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.4 Interprtation en terme de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.4.5 Application du dterminant : rsolution dun systme linaire de Cramer de deux quations deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.1 Prambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.2 Lignes de niveau de M u. AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.3 Lignes de niveau de M det u, AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5.4 Reprsentation paramtrique dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5.5 quation cartsienne dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.5.6 Droite dnie par deux points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5.7 Droite dnie par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5.8 Distance dun point une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5.9 quation normale dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.5.10 quation polaire dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6.2 quation cartsienne dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6.3 Reprsentation paramtrique dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.4 quation polaire dun cercle passant par lorigine dun repre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6.5 Caractrisation dun cercle par lquation MA. MB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6.6 Intersection dun cercle et dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.7.1 Produit scalaire et dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.7.2 Coordonnes cartsiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.7.3 Gomtrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.7.5 Coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3 Gomtrie lmentaire de lespace 113 3.1 Prambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1.1 Combinaisons linaires de vecteurs, droites et plans dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.1.3 Orientation de lespace, base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.2 Mode de reprage dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.2.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Calcul algbrique avec les coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Norme dun vecteur, distance entre deux points dans un repre orthonorm . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.2 Coordonnes cylindriques et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.3.3 Proprits du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.4.1 Dnition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.4.2 Interprtation gomtrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3
  4. 4. 3.4.3 Proprits du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Quelques exemples dapplications linaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 123 3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.5 Dterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5.3 Proprits du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.5.4 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.6 Plans dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.6.1 Reprsentation paramtrique des plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.6.2 Reprsentation cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Interprtation gomtrique de lquation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.6.3 Distance dun point un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Deux mthodes de calcul de la distance dun point un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.7 Droites dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.7.1 Reprsentation paramtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.7.2 Reprsentation cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.7.3 Distance dun point une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7.4 Perpendiculaire commune deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.8 Sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.8.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.8.2 Sphres et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.8.3 Sphres et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.9.2 Coordonnes cartsiennes dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.9.3 Sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4 Fonctions usuelles 151 4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.1.1 Logarithme nprien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.1.2 Exponentielle nprienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.1.4 Exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.2 Fonctions circulaires rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.2.1 Rappels succincts sur les fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.3.1 Dnitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.3.2 Formulaire de trigonomtrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.3.3 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Fonction argument sinus hyperbolique argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Fonction Argument cosinus hyperbolique argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Fonction Argument tangente hyperbolique argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4
  5. 5. 5 Equations diffrentielles linaires 198 5.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 Deux caractrisations de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2.1 Caractrisation par une quation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2.2 Caractrisation par une quation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3 quation diffrentielle linaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.2 Rsolution de lquation diffrentielle homogne normalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.3.3 Rsolution de lquation diffrentielle normalise avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.3.4 Dtermination de solutions particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Mthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.3.5 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.3.6 Mthode dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4 quations diffrentielles linaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4.2 Rsolution de lquation diffrentielle homogne du second ordre dans C . . . . . . . . . . . . . . 210 5.4.3 Rsolution de lquation diffrentielle homogne du second ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . 212 5.4.4 quation diffrentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5.5.1 quations diffrentielles linaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5.5.2 quations diffrentielles linaires du second ordre coefcients constants . . . . . . . . . . . . . . 221 5.5.3 Rsolution par changement de fonction inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.5.4 Rsolution dquations diffrentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 5.5.5 Application aux quations diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de raccord des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6 tude des courbes planes 230 6.1 Fonctions valeurs dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.1.2 Drivation du produit scalaire et du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2 Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.2.2 tude locale dun arc paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 tude dun point stationnaire avec des outils de terminale, premire priode . . . . . . . . . . . . 234 tude dun point stationnaire avec les dveloppements limits, seconde priode . . . . . . . . . . 234 Branches innies des courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.2.3 tude complte et trac dune courbe paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.3 Etude dune courbe polaire = f (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.3.2 Etude dune courbe = f (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.3.3 La cardiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.3.4 La strophode droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.4.2 Courbes en coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7 Coniques 271 7.1 Dnitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.1.1 Dnition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.1.2 quation cartsienne dune conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.1.3 quation polaire dune conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.2 tude de la parabole : e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.3 tude de lellipse : 0 < e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.4 tude de lhyperbole : 1 < e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7.5 Dnition bifocale de lellipse et de lhyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.6 Courbes algbriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5
  6. 6. 7.7.1 En gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.7.2 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.7.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 7.7.4 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.7.5 Coniques et coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 7.7.6 Courbes du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8 Nombres entiers naturels, ensembles nis, dnombrements 304 8.1 Ensemble des entiers naturels - Rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.1.2 Principe de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.1.3 Suite dnie par rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.1.4 Notations et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.1.5 Suites arithmtiques et gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.2 Ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 8.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 8.2.2 Proprits des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 8.2.3 Applications entre ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.3 Oprations sur les ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.4 Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.4.1 Nombre de p-listes dun ensemble ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.4.2 Nombre dapplications dun ensemble ni dans un ensemble ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.4.3 Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.4.4 Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.5.1 Principe de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.5.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 8.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 8.5.4 Factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 8.5.5 Coefcients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 8.5.6 Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 9 Corps R des nombres rels 339 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.2 Le corps des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 9.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.4 Majorant, minorant, borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 9.5 Droite numrique acheve R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.6 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 9.7 Proprit dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 9.8 Partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 9.9 Densit de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 9.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.10.1 Ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.10.2 Borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 9.10.3 Rationnels, irrationnels, densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 9.10.4 Partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 10 Suites de nombres rels 354 10.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.1.2 Oprations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.2 Convergence dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 10.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 10.3 Oprations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.3.1 Oprations algbriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.3.2 Limites et relations dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.3.3 Limites innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 10.4 Suite extraite dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 10.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 10.5.1 Thorme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 6
  7. 7. 10.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 10.5.3 Approximation dcimale des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 10.5.4 Segments emboits et thorme de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 10.6 Suites gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 10.7 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.7.2 Suite domine par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.7.3 Suite ngligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 10.7.4 Suites quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 10.8 Comparaison des suites de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 10.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 10.9.1 Avec les dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 10.9.2 Convergence, divergence de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 10.9.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 10.9.4 Suites monotones et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 10.9.5 Sommes gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 10.9.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 10.9.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 10.9.8 Suites quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 10.9.9 tude de suites donnes par une relation de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 10.9.10 tude de suites dnies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11 Fonctions dune variable relle valeurs relles 414 11.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11.1.1 Lensemble F (I,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11.1.2 Fonctions bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11.1.4 Parit priodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11.1.5 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 11.2 Limite et continuit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 11.2.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 11.2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 11.2.3 Oprations algbriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.2.4 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 11.2.5 Limite gauche, droite, continuit gauche, droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 11.2.6 Limites et relation dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 11.2.7 Thorme de composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 11.2.8 Image dune suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 11.2.9 Thorme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 11.3 tude locale dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 11.3.1 Domination, prpondrance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 Oprations sur les relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 11.3.2 Fonctions quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 11.4 Proprits globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 11.4.1 Dnitions et proprits de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Oprations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 11.4.2 Les thormes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Le thorme des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 Fonctions uniformment continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 Thorme de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 11.5.1 Avec les dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 11.5.2 Limites dune fonction valeurs relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 11.5.3 Comparaison des fonctions numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 7
  8. 8. 11.5.4 Continuit des fonctions numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 11.5.5 Thorme des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 11.5.6 Continuit sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 11.5.7 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 11.5.8 Continuit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11.5.9 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 11.5.10 Bijection continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 12 Drivation des fonctions valeurs relles 469 12.1 Drive en un point, fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 12.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 12.1.2 Interprtations de la drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Interprtation cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 Interprtation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 12.1.3 Drivabilit et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 12.1.4 Fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 12.2 Oprations sur les drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 12.3 tude globale des fonctions drivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12.3.1 Extremum dune fonction drivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12.3.2 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Interprtation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 Interprtation cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 12.3.3 galit des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 12.3.4 Ingalit des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 12.3.5 Application : Variations dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 12.3.6 Condition sufsante de drivabilit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 12.4 Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 12.4.1 Drive seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 12.4.2 Drive dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 12.4.3 Fonctions de classe C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 12.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 12.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 12.6.1 Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 12.6.2 Drives dordre n, formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 12.6.3 Applications de la drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 12.6.4 Recherche dextrmums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 12.6.5 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 12.6.6 Thorme des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 12.6.7 Application aux quations diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de raccord des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 12.6.8 tudes de suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 12.6.9 Convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 12.6.10 quations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 13 Intgration sur un segment des fonctions valeurs relles 517 13.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 13.1.1 Subdivision dun segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 13.1.2 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 13.1.3 Intgrale dune fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 13.1.4 Proprits de lintgrale dune fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 13.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 13.2.1 Dnition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 13.2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier . . . . . . . . . 522 13.2.3 Intgrale dune fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 13.2.4 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 13.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 13.2.6 Nullit de lintgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 13.2.7 Majorations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 13.2.8 Valeur moyenne dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 13.2.9 Invariance de lintgrale par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 8
  9. 9. 13.3 Primitive et intgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 13.4 Calcul de primitives et dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 13.4.1 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 13.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 13.4.3 Changement de variable afne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 13.4.4 tude dune fonction dnie par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 13.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 13.5.1 Formule de Taylor avec reste intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 13.5.2 Ingalit de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 13.5.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 13.5.4 Utilisation des trois formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 13.6 Mthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 13.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 13.7.1 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 13.7.2 Calcul dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 13.7.3 Linarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 13.7.4 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 13.7.5 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 13.7.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 13.7.7 Calcul de primitives et dintgrales - Techniques mlanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 13.7.8 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 13.7.9 Majorations dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 13.7.10 Limite de fonctions dnies par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 13.7.11 Thorme fondamental, tude de fonctions dnies par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 13.7.12 Suites dont le terme gnral est dni par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 13.7.13 Algbre linaire et intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 13.7.14 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 13.7.15 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 14 Dveloppements limits 596 14.1 Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 14.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 14.1.2 DL fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 14.1.3 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 14.1.4 DL et rgularit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 14.2 Dveloppement limit des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 14.2.1 Utilisation de la formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 14.3 Oprations sur les dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 14.3.1 Combinaison linaire et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 14.3.2 Compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 14.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 14.3.4 Dveloppement limit dune primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 14.4.1 Calcul de dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 14.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 14.4.3 Applications ltude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 14.4.4 Branches innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 14.4.5 Dveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 14.4.6 Applications ltude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 14.4.7 Applications ltude locale des courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 14.4.8 Application aux quations diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de raccord des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 15 Proprits mtriques des arcs 639 15.0.9 Diffomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 15.0.10 Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 15.1 Proprits mtriques des courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 15.1.1 Longueur, abscisse curviligne dun arc paramtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 15.1.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 15.1.3 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 15.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 9
  10. 10. 15.2.1 Calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 15.2.2 Calcul de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 15.2.3 Dveloppe, dveloppante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 15.2.4 Exercices divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 16 Suites et fonctions valeurs complexes 655 16.1 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 16.2 Continuit des fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 16.3 Drivabilit des fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 16.4 Intgration des fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 16.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 16.5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 16.5.2 Drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 16.5.3 Intgrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 17 Notions sur les fonctions de deux variables relles 664 17.1 Continuit des fonctions deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 17.2 Drives partielles, fonctions C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 17.3 Diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 17.4 Extremum dune fonction deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 17.5 Drives partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 17.6 Exemples dquations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 17.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 17.7.1 Limite et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 17.7.2 Drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 17.7.3 Fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 17.7.4 Drives de fonctions composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 17.7.5 Fonctions de classe C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 17.7.6 Extremum de fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 17.7.7 quations aux drives partielles dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 17.7.8 quations aux drives partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 17.7.9 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 18 Intgrales multiples 699 18.1 Intgrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 18.1.1 Le thorme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 18.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701 18.1.3 Aire dun domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 18.2 Champs de vecteurs dans le plan et dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 18.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 18.3.1 Calculs lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 18.3.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 18.3.3 Intgration en coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 18.3.4 Application du thorme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 18.3.5 Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 18.3.6 Centres de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 19 Structures algbriques 717 19.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 19.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 19.1.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 19.1.3 Morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 19.2 Anneau, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 19.2.1 Structure danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 19.2.2 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 19.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 19.3.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 19.3.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 19.3.3 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 19.3.4 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 19.3.5 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 10
  11. 11. 19.3.6 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 20 Arithmtique 748 20.1 Relation de divisibilit, division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 20.1.1 Relation de divisibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 20.1.2 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 20.1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 20.2 PGCD, thormes dEuclide et de Bzout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 20.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 20.3.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 20.3.2 Dcomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757 20.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 20.4.1 Divisibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 20.4.2 Bezout, PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 20.4.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 20.4.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 21 Polynmes 767 21.1 Polynmes une indtermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 21.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 21.1.2 Degr dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769 21.1.3 Valuation dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770 21.1.4 Composition de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 21.1.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 21.1.6 Division selon les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 21.2 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 21.2.1 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 21.2.2 Racines dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 21.2.3 Schma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 21.2.4 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 21.3 Polynmes drivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 21.3.1 Dnitions et proprits de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 21.3.2 Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 21.4 Polynmes scinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 21.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 21.4.2 Factorisation dans C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 21.4.3 Interlude : polynmes conjugus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 21.4.4 Factorisation dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 21.4.5 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 21.4.6 Relations coefcients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 21.5 Arithmtique dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 21.5.1 Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 21.5.2 PGCD, thormes dEuclide et de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 21.5.3 Polynmes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783 21.5.4 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 21.5.5 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 21.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 21.6.1 Lanneau des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 21.6.2 Drivation, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 21.6.3 Arithmtique des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790 21.6.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 21.6.5 Racines dun polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 21.6.6 Factorisations de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 21.6.7 Relations entre coefcients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809 11
  12. 12. 22 Fractions rationnelles 812 22.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 22.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 22.1.2 galit de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 22.1.3 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 22.1.4 Oprations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 22.1.5 Degr dune fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 22.2 Dcomposition en lments simples dune fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 22.2.1 Dcomposition en lments simples dans C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815 Recherche des coefcients associs aux ples multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816 22.2.2 Dcomposition en lments simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 22.2.3 Moralit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820 22.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 22.3.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 Dcomposition sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 Dcomposition sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 Drive logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834 Sicelides Musae, Paulo Majora Canamus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 23 Espaces vectoriels 844 23.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 23.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 23.1.2 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 23.1.3 Espaces de suites et de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846 23.1.4 Rgles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847 23.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 23.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 23.2.2 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851 23.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 23.3.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 23.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854 23.3.3 Sous-espaces supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 23.4 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857 23.4.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857 23.4.2 Noyau, image dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 23.4.3 tude de L (E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 23.4.4 tude de L (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 23.4.5 tude de GL(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 23.5 quations linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 23.5.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 23.5.2 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 23.6 Projecteurs et symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 23.6.1 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 23.6.2 Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863 23.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 23.7.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 23.7.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 23.7.3 Oprations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869 23.7.4 Sous-espace vectoriel engendr par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871 23.7.5 Sous-espaces vectoriels supplmentaires - Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874 23.7.6 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878 23.7.7 Image et noyau dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 23.7.8 Endomorphismes inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 23.7.9 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891 23.7.10 Formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 12
  13. 13. 24 Dimension des espaces vectoriels 897 24.1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 24.1.1 Combinaisons linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 24.1.2 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 24.1.3 Familles gnratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 24.1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 24.2 Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 24.2.1 Espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 24.2.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902 24.3 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 24.3.1 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 24.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 24.4 Applications linaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 24.4.1 Bases et applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 24.4.2 Dimension et isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 24.4.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 24.5 Rcurrences linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 24.5.1 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 24.5.2 Suites gomtriques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 24.6 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 24.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916 24.7.1 Famille libre, Famille lie, Famille gnratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916 24.7.2 Sous-espace vectoriel engendr par une famille nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920 24.7.3 Bases et dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921 24.7.4 Sous-espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924 24.7.5 Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 24.7.6 Sous-espaces supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 24.7.7 Rang dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 24.7.8 Applications linaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 24.7.9 Rang dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 24.7.10 Formes linaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941 24.7.11 Rcurrences linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942 24.7.12 Lespace vectoriel des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943 24.7.13 Endomorphismes oprant sur les polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945 25 Calcul matriciel 949 25.1 Matrice coefcients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950 25.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950 25.1.2 Lespace vectoriel Mq,p (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951 25.1.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952 25.1.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953 25.1.5 Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954 25.2 Matrices dune famille de vecteurs, dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 25.2.1 Matrice dune famille de vecteurs relativement une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 25.2.2 Matrice dune application linaire relativement deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 25.3 Matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958 25.3.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958 25.3.2 lments inversibles dans Mn (K), groupe GLn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959 25.3.3 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 25.3.4 Matrices carres remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963 Matrices scalaires, diagonales, triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963 Matrices symtriques, antisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Matrices de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 Matrices de transvection et de dilatation, oprations lmentaires sur les lignes et les colonnes dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966 25.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 25.4.1 Pour un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 25.4.2 Pour une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 25.4.3 Pour un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 25.4.4 Pour une forme linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 25.4.5 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 13
  14. 14. 25.5 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 25.5.1 Dnition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 25.5.2 Calcul pratique du rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970 25.6 Dterminant dune matrice carre de taille 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972 25.6.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 25.6.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 25.7 Dterminants dordre 2 ou 3 dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 25.7.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 25.7.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974 25.7.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975 25.8 Dterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.8.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.8.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.9 Mthodes de calcul du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.9.1 Opration sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.9.2 Dveloppement dun dterminant suivant une range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977 25.10Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979 25.10.1 Colinarit de deux vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979 25.10.2 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979 25.10.3 Orientation du plan et de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 25.11Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 25.11.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 25.11.2 Interprtations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 Interprtation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 Interprtation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 Interprtation en termes de formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 Interprtation en termes dapplications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 25.11.3 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 25.11.4 Cas Particulier : Les systmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982 25.11.5 Mthode du Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982 25.12Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 25.12.1 Oprations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 25.12.2 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988 25.12.3 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989 25.12.4 Calcul de dterminants de taille 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 25.12.5 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996 25.12.6 Calcul des puissances dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003 25.12.7 Reprsentation matricielle dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008 25.12.8 Structure forme de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 25.12.9 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019 25.12.10Matrices semblables, quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026 25.12.11Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028 26 Groupe symtrique, dterminant 1033 26.1 Le groupe symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033 26.1.1 Signature dune permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 26.2 Construction du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 26.2.1 Formes n-linaires alternes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 26.2.2 Dterminant de n vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040 26.2.3 Dterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 26.2.4 Dterminant dune matrice carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043 26.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051 26.3.1 Groupe symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051 26.3.2 Dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 26.3.3 Exercices thoriques sur les dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060 14
  15. 15. 27 Produit scalaire, groupe orthogonal 1062 27.1 Dnitions et rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062 27.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062 27.1.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063 27.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065 27.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066 27.3.1 Bases orthogonales, orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066 27.3.2 Procd dorthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 27.3.3 Consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069 27.4 Projecteurs et symtries orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070 27.4.1 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070 27.4.2 Symtries orthogonales, rexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 27.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072 27.5.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072 27.5.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 27.6 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074 27.6.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075 27.6.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079 Isomtries directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080 27.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084 27.7.1 Espaces prhilbertiens rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084 27.7.2 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 27.7.3 Symtrie orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092 27.7.4 Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 27.7.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 27.7.6 tude dendomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094 28 Gomtrie afne 1098 28.1 Sous-espaces afnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098 28.1.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098 28.1.2 Sous espaces afnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099 28.1.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 28.1.4 Repre cartsien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103 28.2 Applications afnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104 28.2.1 Dnitions et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104 28.2.2 Translations afnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 28.2.3 Homothties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 28.2.4 Projections et symtries afnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 28.2.5 Points xes dune homothtie afne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107 28.3 Isomtries afnes . . . . . . . . . .