LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES · Présentation du livret de révision : ... S'assurer que l'on maîtrise le rappel de cours avant de faire les exercices ... cours de 3 ième

NOM, Prénom :

…………………………………………….

LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES destiné aux élèves entrant en Seconde

au Lycée BASCAN élaboré par les professeurs de mathématiques

des collèges : � Catherine de Vivonne de Rambouillet � Les Molières des Essarts � Le Rondeau de Rambouillet � Le Racinay de Rambouillet � Les Trois Moulins de Bonnelles � Georges Brassens de Saint Arnoult

À rendre complété

le jour de la rentrée en septembre

au professeur de mathématiques.

Livret de révisions en Mathématiques pour l'entrée en Seconde au Lycée BASCAN Page 2 sur 17

2nde ……..NOM, Prénom : ………………………………………………………………….

Edito

Présentation des mathématiques au lycée : En septembre, vous entrez au lycée en 2nde de détermination : vous aurez cinq heures de mathématiques par semaine, le programme reprend toutes les notions vues au collège et les approfondit. C'est au lycée que le rôle des mathématiques en physique, chimie, science de l'ingénieur, économie et gestion apparaît comme fondamental. Cette discipline est présente au baccalauréat dans toutes les séries. En S ou ES, des bases solides seront indispensables pour réussir son entrée dans l'Enseignement Supérieur ; deux heures supplémentaires en maths en spécialité en Tale S et Tale ES y sont d'ailleurs proposées pour ceux qui veulent apporter un atout supplémentaire à leur formation. Et sachez qu'en série L, l'épreuve de mathématiques au baccalauréat est anticipée, en fin de 1ère, et qu'il est possible de choisir les maths en enseignement de spécialité, ce qui mène à une épreuve en fin de Tale et apporte des acquis souvent précieux pour certaines filières dans le Supérieur. Dès la rentrée en septembre, votre professeur de mathématiques vous aidera à faire évoluer vos méthodes de travail pour acquérir plus d'autonomie et d'efficacité. Les exercices seront plus abstraits et moins répétitifs ; savoir s'imposer régulièrement de les apprendre, de les refaire chez soi après avoir assimilé le cours est une des clés de la réussite, à condition que la concentration en classe soit sans faille. Vous devrez faire preuve de plus de maturité dans toutes les disciplines : faire un projet d'orientation, même provisoire, aide à se motiver et à comprendre que le travail personnel fourni chaque jour dans toutes les matières jouera un rôle primordial dans votre réussite, vos voeux d'orientation et dans les décisions du Conseil de Classe. Vos professeurs vous soutiendront dans cette démarche. Vous devrez vous procurer, dès le premier trimestre de seconde, une calculatrice graphique qui vous accompagnera pendant toutes vos années-lycée, quelle que soit la série choisie. Il vous sera demandé au baccalauréat de savoir l'utiliser intelligemment sans en devenir totalement dépendant : calcul mental et ordres de grandeur restent de mise. Le fait d'être curieux et d'oser se mesurer à des situations insolites vous aidera à avoir davantage confiance en vous. C'est pourquoi tous les ans le département mathématique du lycée propose entre autres à tous les élèves de participer à deux concours, Kangourou (http://www.mathkang.org) et Intégra λ (http://www.concours-integral.org/). En 1ère, pour toutes les séries, les élèves peuvent participer à Bascan aux Olympiades Académiques de Mathématiques (http://euler.ac-versailles.fr) : notez bien ce site, vous y trouverez beaucoup d'informations sur la discipline et des propositions d'exercices selon votre niveau, avec conseils et corrigés.

Bienvenue au lycée BASCAN


2nde ……..NOM, Prénom : ………………………………………………………………….

Présentation du livret de révision : Il a été réalisé par les professeurs de mathématiques du lycée Bascan et des collèges Catherine de Vivonne, Les Molières, Le Racinay, Le Rondeau, Georges Brassens et les Trois Moulins. � Il s'agit de fiches reprenant le cours vu en 3ième et proposant des exercices

d'entraînement, à traiter avec sérieux pendant les vacances, pour aborder l'année de 2nde en mathématiques dans les meilleures conditions.

� C'est aussi un outil à conserver et consulter régulièrement car vous y retrouverez les

acquis indispensables pour assimiler le programme de 2nde. Ce n'est donc pas un banal cahier de vacances.

� Ce travail personnel est à rendre à la rentrée en septembre à son professeur de

mathématiques ; il ne sera pas noté mais mesurera déjà un peu le sérieux que vous aurez décidé d'engager dans votre formation.

Quelques conseils d'organisation : � Ne pas faire toutes les fiches d'un coup et ne pas commencer une semaine avant la

rentrée. � S'assurer que l'on maîtrise le rappel de cours avant de faire les exercices en

s'interrogeant au brouillon sur ce que l'on sait sur le sujet abordé. � Faire attention au soin et à la rédaction, ce travail va être rendu.

� Si vous ne réussissez pas à faire un exercice, n'abandonnez pas, allez rouvrir votre

cours de 3ième pour y retrouver un exercice du même type.

Bon courage et bonnes vacances

Signature des parents :

Sommaire

1. Vecteurs……………………………………………………......................... Page 4 2. Repérage dans le plan…………………………………… Page 5 3. Calcul 1re partie : opérations sur les nombres en écriture fractionnaire Page 6 4. Calcul 2e partie : développement & factorisation….…………................ Pages 7 & 8 5. Puissances ………………………………………………........................... Page 9 6. Racines carrées …………………………………..................................... Page 10 7. Équations et inéquations ………………………………........................... Pages 11 & 12 8. Fonctions (linéaires, affines, etc …)……………………......................... Page 13 9. Quadrilatères ……………………………………………........................... Page 14 10. Droites remarquables dans le triangle…………..……........................... Page 15 11. Triangle rectangle (Pythagore, trigonométrie)…………......................... Page 16 12. Théorème de Thalès et sa réciproque………...……….......................... Page 17


2nde ……..NOM, Prénom : ………………………………………………………………….

1. VECTEURS A. Rappels de cours.

Définitions : Un vecteur non nul est défini par une direction, un sens et une longueur.

L’égalité vectorielle AB CD=uuur uuur

signifie que les vecteurs ABuuur

et CDuuur

ont même direction, même sens et même longueur lorsqu’ils sont non nuls.

AA = BB =uuur uuur

… est appelé le vecteur nul et est noté 0r

.

Soient A, B et M des points du plan, l’image du point M par la translation de vecteur ABuuur

est le point N tel que :

MN AB=uuuur uuur

. Propriétés : Relation de Chasles :

Soient A, B et C des points du plan, on a la relation AB BC AC+ =uuur uuur uuur

, appelée « relation de Chasles ».

Application : une construction de la somme de deux vecteurs : w= u+vur r r

.

Si ABu =r uuur

et BCv =r uuur

alors AB BC ACw u+v= = + =ur r r uuur uuur uuur

. (relation de Chasles)

Soient A, B, C et D des points du plan.

•Si AB BC=uuur uuur

, alors B est le milieu du segment [AC].

•Si B est le milieu du segment [AC], alors AB BC=uuur uuur

.

•Si AB CD=uuur uuur

, alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

•Si ABDC est un parallélogramme, alors AB CD=uuur uuur

et AC BD=uuur uuur

.

Application : une autre construction de la somme de deux vecteurs : w= u+vur r r

.

Si OMu =r uuuur

et ONv =r uuur

alors OM ON ORw u+v= = + =ur r r uuuur uuur uuur

tel que OMRN soit un parallélogramme.

B. Exercices. Exercice n°1 : Soient A, B et C trois points du plan. On considère le point M tel que CM = BA+CA

uuuur uuur uuur.

Compléter la figure ci-contre au fur et à mesure.

1. a. Démontrer que AM = BAuuuur uuur

. (Indication : on pourra introduire le point C dans le vecteur AMuur

)

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ b. Que peut on en déduire pour le point A ?

______________________________________________________________________ c. Construire le point M.

2. a. Construire le point D image de C par la translation de vecteur BAuuur

. b. Démontrer que AMDC est un parallélogramme.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Exercice n°2 : Soient A, B et C trois points du plan. Compléter la figure ci-contre.

1. Construire le point M image de A par la translation de vecteur BCuuur

.

2. Donner un vecteur égal au vecteur MAuuuur

.

______________________________________________________________________

3. Construire K tel que : CA+CB = CKuuur uuur uuur

et démontrer que : CB = AKuuur uuur

.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

4. Démontrer que : MA = AKuuuur uuur

. Que peut-on en déduire pour le point A ?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

A

B C

ur v

r

wur

O

M

N

R

ur

wur

vr


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2. REPÉRAGE DANS LE PLAN

On se place dans le plan muni d’un repère (O, I, J). Soient le point A de coordonnées (xA ; yA) et le point B de coordonnées (xB ; yB).

Le vecteur AB a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA). On note AB (xB – xA ; yB – yA) ou AB

−−

AB

AByyxx

Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées

++2

;2

BABA yyxx

Si (O, I, J) est un repère orthonormé, la longueur du segment [AB] est : ( ) ( )2AB

2ABAB yyxx −+−= .

Exemple traité : Soient les points E(5 ; –2) et F(1 ; 4) dans un repère orthonormé (O, I, J).

( )( )( )6;4EF

24;4EF

)2(4;51EF

−

+−

−−−

On peut vérifier sur la figure les

coordonnées du vecteur EF (voir les )

Soit M le milieu de [EF]

( )1;3M

2

2;

2

6M

2

42;

2

15M

+−+

( ) ( )( )

132EF

52EF

3616EF

64EF

2451EF

22

22

=

=

+=

+−=

++−=

Exercice traité : Placer les points R (–2 ; 4), S (4 ; 3), U (–1 ; 0). Placer le point T sachant que RSTU est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point T.

Solution : RSTU est un parallélogramme donc UTRS=

)1;5T(1

5dire-à-estc'

1

16dire-à-estc'

1

61 ainsi

coodonnées mêmes lesont ursdeux vecte les donc UTRS

);1(UT)0;1(UT)1;6(RS)43;24(RS

T

T

T

T

T

T

TTTT

−

−==

−=−=

−==+

=

+−+−−+

y

x

y

x

y

x

yxyx

Exercice : Ci-contre, dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J), placer les points : A (–1 ; 1), B (3 ; 3), C (5 ; –1), D (1 ; –3).

1°) a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC . b) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ? 2°) Calculer les distances AB, BC, AC. AB =

BC = AC =

3°) Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle. 4°) a) Quelle est la nature précise du quadrilatère ABCD ? Justifier. b) Calculer les coordonnées de son centre E.

J O I

R S

T U

J

O I

F

E

M

3 5

4

–2 – 4

+ 6

EF

J

O I


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3. CALCUL 1re PARTIE : OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE

Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire. Pour calculer une somme ou une différence de deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur, puis on fait la somme ou la différence des numérateurs, et on garde le dénominateur commun. Attention ! Il faut penser à simplifier la fraction obtenue.

Quels que soient les nombres a , b et c avec c non nul, c

ba

c

b

c

a +=+ et c

ba

c

b

c

a −=−

Exemple : – 57 +

421

– 32 = –

3042

+ 842

– 6342

= – 30 + 8 – 63

42 =

42

85−

Produit de deux nombres en écriture fractionnaire. Pour calculer le produit de deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux, et on multiplie les dénominateurs entre eux. Attention ! Il vaut mieux simplifier la fraction avant d’effectuer les multiplications.

Quels que soient les nombres a, b, c, et d, avec b et d non nuls, bd

ac

d

c

b

a =× .

Exemple : 18 – 7

× – 5635

× 154

= 18 × 56 × 157 × 35 × 4

= 9 ×2 × 4 × 2 × 7 × 5 × 3

7 × 5 × 7 × 4 =

9 × 2 × 2 × 37

= 7

108

Quotient de deux nombres en écriture fractionnaire. Pour calculer le quotient de deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la deuxième.

Quels que soient les nombres a, b, c et d avec b, c et d non nuls, c

d

b

a

d

c

b

a

d

cb

a

×== :

Exemple : – 825

: 40

– 35 =

825

× 3540

= 8 × 7 × 525 × 8 × 5

= 25

7

I-2- EXERCICES. Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

A = 458

+ 1445

× 6356

B = ( 15 –

16 ) : (

35 +

12 )

C = 23 ×

18

56 –

34


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4. CALCUL 2e PARTIE : DÉVELOPPEMENT & FACTORISATION

I- DEVELOPPER UNE EXPRESSION Développer un produit signifie le transformer en une somme. Réduire une somme ou une différence signifie diminuer le nombre de termes de celle-ci.

1. Distributivité de la multiplication sur l'add ition et la soustraction Quels que soient les nombres a, b, c, d et k.

( ) bkakbak ×+×=+× ( ) bkakbak ×−×=−× ( )( ) dbcbdacadcba ×+×+×+×=++ Exemples :

A = 7 (2x – 3y) A= 14x – 21y

B = (3x + 2) (5x + 6) B = 15x² + 18x + 10x + 12 B = 15x² + 28x + 12

C = (2x – 1) (5 x – 6) C = 10x² – 12x –5x + 6 C = 10 x² –17 x +6

Attention au signe – D = 4 (x + 7) – (2x + 4)(3x – 1) D = 4x + 28 – (6x² – 2x + 12x – 4) D = 4x + 28 – 6x² + 2x – 12x + 4 D = – 6x² – 6x + 32

Exercice 1 : Développer et réduire les produits suivants A= 2x(5x–3)

B= (2x–3)(5x–4)

C= –3x (x–1) – (x+7)(2x+3)

2. À l’aide d’identités remarquables Quels que soient les deux nombres a et b.

Carré d'une somme Carré d'une différence Produit d'une somme de deux nombres par leur différence

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² (a + b) (a – b) = a² – b²

Exemples:

A = (x + 9)² A = x² + 2 × x × 9 + 9² A = x² + 18x + 81

B = (2x – 3)² B = (2x)² – 2 × 2x × 3 + 3² B = 4x² – 12x +9

C = (3x – 5) (3x + 5) C = (3x)² – 5² C = 9x² – 25

Exercice 2 : Développer les expressions suivantes : A= (5x+3)2 B= (6+7x)(6 –7x)

C= (4x–1)2

Exercice 3 : Effectuer astucieusement les calculs suivants : D = 98 ×102

E = 9992 F = 1012


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II- FACTORISER UNE EXPRESSION Factoriser une somme de termes c'est la transformer en un produit de facteurs. 1. On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme. A = 4x + 12 4 est un facteur commun à 4x et à 12 A = 4 × x + 4 × 3 On fait apparaître le facteur commun. A = 4 × (x + 3) On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation) B = 5a 3 – 25 a C = 12x 5 + 4 x ² – 2 x B = 5a × a ² – 5 a × 5 C = 2 x × 6 x 4+ 2 x × 2 x – 2x × 1 B = 5 a (a ² – 5) C = 2x × 6 x 4+ 2 x × 2 x – 2 x × 1 C = 2 x (6 x 4 + 2 x – 1) D = (2 x + 1)(7 x – 3) + (2 x + 1)( x + 2) E = (5 x – 1)(3 x – 7) – (5 x – 1)(5 x – 2) D = (2 x + 1)[(7 x – 3) + (x + 2)] E = (5 x – 1) [(3 x – 7) – (5 x – 2)] D = (2 x + 1)(7 x – 3 + x + 2) E = (5 x – 1) (3 x – 7 – 5 x + 2) D = (2 x + 1)(8 x – 1) E = (5 x – 1) (−2 x – 5)

2. On reconnaît une identité remarquable. F = x² + 10 x + 25 Cette expression ressemble à a² + 2ab + b² qui vaut (a + b)² F = x ² + 10 x + 5² a vaudrait x et b vaudrait 5. Vérifions si 10x est le double produit 2ab. F = x ² + 2 × x × 5 + 5² 10x est bien le double produit donc ... F = (x + 5)² G = 9 x ² – 24 x + 16 Cette expression ressemble à a² – 2ab + b² qui vaut (a – b)² G = (3 x)² – 24 x + 4² a vaudrait 3x et b vaudrait 4. Vérifions si 24x est le double produit 2ab. G = x ² – 2 × 3 x × 4 + 4² 24x est bien le double produit donc ... G = (3 x – 4)² H = 9 x ² – 16 Cette expression ressemble à a² – b² qui vaut (a + b) (a – b) H = (3 x)² – 4² a vaut 3x et b vaut 4 donc .... H = (3 x + 4)(3 x – 4) Exercice 4 : Factoriser les expressions suivantes : A = 4 x 2 + 20x + 25 B = 81− 64 x 2 C = 49 x 2 − 42x + 9 D = (4 x−5)2 –16

Exercice 5 : On considère l’expression E où x désigne un nombre quelconque : E = (3x–1)(4x + 1) – (3x–1)(4x–3) 1/ Développer, réduire puis ordonner E. 2/ Factoriser E. 3/ Développer, réduire et ordonner l’expression de E obtenue au 2/ Que constate-t-on ?

4/ Calculer E lorsque x = 0, x = –2 et x = – 3

4.


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5. PUISSANCES A. Rappels de cours.

• Soit a un nombre et n un nombre entier strictement positif, na est la puissance de a à l'exposant n et est égal au produit de n facteurs égaux à a.

...n

n facteurs a

a a a a= × × ×14243

� Pour a ≠ 0, -na est l'inverse de na , 1n

na

a− = � Pour a ≠ 0, 0 1a = .

Exemples: 6444443 =××= ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8133333 4 =−×−×−×−=− ; 33

1 17

3437− = = ; 05,4 1=

Ecritures particulières : aa =1 ; a

a11 =− ; {

zérosnfacteursn

n 0011010101010

...... =×××= 44 344 21 ;1

10 0,0.......0110

nn

n zéros

− = =14243

� Pour a ≠ 0, b ≠ 0 et m et n deux entiers :

mnmn aaa +=× ; mnm

n

aa

a −= ; ( ) mnmn aa ×= ; n

nn

b

a

b

a =

; ( ) nnn baab ×=

Exemples: 743 222A =×= ; 2

268

3

1333B ==×= −− ; 5

2

3

22

2C −

−

== ;

( )( ) ( ) 151553 333D −=−=−= ; 25

9

5

3E

2

=

= ; ( ) 3333 102525F =×=×= .

� L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est l'écriture sous la forme : c × 10p où 1 ≤ c < 10 et p est un entier relatif.

Exemple : 7104100000014 ×= , ; 810870780000000 −×= ,, ; 53 108591109185 ×=× ,,

B. Exercices. 1. Applications directes du cours :

a. Donner l’écriture décimale de :310

1 ; 25− ; ( )171− ; ( )32− ; 510857 ×− , :_________________________

________________________________________________________________________________________________

b. Écrire les nombres suivants sous la forme d'une puissance de trois : 31 1; 9 ; 27 ;

9 81;

33

32

5

× ; 3 _______

________________________________________________________________________________________________

c. Exprimer sous la forme d'une seule puissance : 452 666 −×× ; 66 52 × ; 1 ; 3255× : __________________ __________________________________________________________________________________________________________

d. Écrire 3 789 000 et 5108123 −×− , en écriture scientifique.

__________________________________________________________________________________________________________ 2. Exercices d'exploitation :

a. Calculer B et l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible: ( )

23

222

501,0

5102,0B

×××=

−

.

________________________________________________________________________________________________

b. Donner l’écriture scientifique de 1

3

10

102,0²102,3A −

×+×= et de ( ) 223 65210B −×+−= .

________________________________________________________________________________________________

c. La vitesse de la lumière est d'environ 18103 −× sm. et 1Gm = 1 Giga mètre = 910 m. Calculer le temps en heures mis par la lumière pour aller du Soleil à Pluton. La distance Terre-Pluton est de Gm5900 :

________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________

d. Soit un triangle ABC tel que 52AB = ; 52AC = et 112 2BC = . ABC est-il rectangle ?

________________________________________________________________________________________________ e. L'inflation est calculée sur les prix de l'année précédente. Si l'inflation est de 2% par an entre 2006 et

2009, quel sera le prix en 2009 d’un article coûtant 10 € en 2006 ?

________________________________________________________________________________________________


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6. RACINES CARRÉES A. Rappels de cours.

1) Définition 2) Propriétés Soit a un nombre POSITIF La racine carrée de a, notée a est le seul nombre POSITIF dont le carré est a.

Autrement dit, si a est positif, a ≥ 0 et ( )2

a a=

Exemples : 0 0= ; 1 1= ;

749 = car 7 est le seul nombre positif tel que 4972 =

Conséquence : si a positif, aa =2

Pour tous les nombres a et b positifs (b non nul)

a b a b× = × et a a

bb=

Cas particulier : baba =2

Exemples : 636182 ==× ; 353575 2 =×=

56 7 8 7 7 7

8 9 9 372 9

×= = = =×

ATTENTION : Il n’y a aucune propriété pour l’addition !

Exemple : 16 9 25 5+ = = et 16 9 4 3 7+ = + = d’où : 916916 +≠+

3) Équation du type : x2 = a a < 0 a = 0 a > 0

L’équation x2 = a

n’a aucune solution.

L’équation x2 = a admet

une seule solution : 0.

L’équation x2 = a admet deux solutions opposées

a et a− .

B. Exercices.

1) Dans cette liste de nombres, trois sont égaux, lesquels ? :300

3 3 ; 2 3 3 ; ; 3 3 ; 125

+ × +

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________ 2) Quelques calculs pour s’amuser. On se propose de découvrir le mot caché derrière ces dessins.

� � � � � �

Chacun des symboles utilisés correspond toujours à la même lettre de l’alphabet.

Chaque lettre est définie par la racine carrée de son numéro d’ordre dans l’alphabet ( A → 1 , B → 2 etc…).

Effectuer les calculs suivants ; les résultats donneront la solution de l’énigme.

�=760

700372 × �= ( )( )33723372 +− �=

44

4981

+−

___________________________ ______________________________ ______________________________

___________________________ ______________________________ ______________________________

___________________________ ______________________________ ______________________________

�= ( ) ( )2572107472 −−− �= 48327752 −+ =3

122

3

2 +

___________________________ ______________________________ ______________________________

___________________________ ______________________________ ______________________________

___________________________ ______________________________ ______________________________

3) Résoudre l’équation 2132 =+x . Admet-elle une solution rationnelle ?_______________________________

___________________________________________________________________________________________

4) Soit ABC un triangle tel que 63AB = ; 25BC −= et 25AC += . Quelle est la plus grande longueur ? ABC est-il rectangle ?


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7. ÉQUATIONS & INÉQUATIONS Résoudre une équation (respectivement une inéquation) d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs possibles que l’on peut donner à x pour que l’égalité (respectivement l’inégalité) soit vérifiée.

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRE

Exemple 1 5x + 2 = 3x – 4 5x + 2 – 2 = 3x – 4 – 2 5x = 3x – 6 5x – 3x = 3x – 6 – 3x 2x = – 6 2x2

= – 62

x = – 3

Exemple 2 4x – (x – 2) = 5(1 + 2x) on développe 4x – x + 2 = 5 + 10x on réduit 3x + 2 = 5 + 10x 3x + 2 – 2 = 5 + 10x – 2 3x = 10x + 3 3x – 10x = 10x + 3 – 10x – 7x = 3 – 7x– 7

= 3

– 7

x = – 37

Exemple3 x3 –

16 =

32 – x

on réduit au même dénominateur 2x6

– 16 =

96 –

6x6

on multiplie chaque membre par 6 2x – 1 = 9 – 6x 2x – 1 + 1 = 9 – 6x + 1 2x = 10 – 6x 2x + 6x = 10 – 6x + 6x 8x = 10 8x8

= 108

x = 108

= 54

Exemple 4 Un grossiste livre 88 plantes à un fleuriste. Il y a des cyclamens et des azalées. Il y a trois fois plus d’azalées que de cyclamens. Combien y a-t-il de cyclamens ? Choix de l’inconnue : Soit x, le nombre de cyclamens.

mise en équation 3x + x = 88 résolution de l’équation 4x = 88 4x4

= 884

x = 22 Conclusion

Il y a 22 cyclamens. ÉQUATIONS – PRODUITS Un produit de facteurs est nul si l’un, au moins, des facteurs est nul.

Exemple 1 (3x – 2) (– x + 7) = 0 or un produit de facteurs est nul si l’un, au moins, des facteurs est nul, donc 3x – 2 = 0 ou – x + 7 = 0 3x = 2 ou – x = – 7

x = 23 ou x = 7

L’équation a deux solutions :

23 et 7.

Exemple 2 (2 – 3x)(x – 4) –(x – 4)(5 + 2x) = 0 on factorise (x – 4)[(2 – 3x) – (5 + 2x)] = 0 (x – 4)(2 – 3x – 5 – 2x) = 0 (x – 4)( – 7 – 5x) = 0 or un produit de facteurs est nul si l’un, au moins, des facteurs est nul, donc x – 4 = 0 ou – 7 – 5x = 0

x = 4 ou x = – 75

L’équation a deux solutions :

4 et – 75

Exemple 3 x² = 3 x² – 3 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 or un produit de facteurs est nul si l’un, au moins, des facteurs est nul donc x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 x = 3 ou x = – 3

L’équation a deux solutions : 3 et– 3.

INÉQUATIONS

• En ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

• En multipliant (ou divisant) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

• En multipliant (ou divisant) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.


2nde ……..NOM, Prénom : ………………………………………………………………….

Exemple 1 : Résoudre – 4 x − 9 ≥ − 2 x − 7 – 4 x – 9 + 9 ≥ – 2x – 7 + 9 – 4x + 2x ≥ – 2x + 2 + 2x – 2x ≥ 2 –2x – 2

≤ 2

– 2 (on change le sens

car – 2 est négatif) x ≤ – 1 solutions – 1

Exemple 2 : Résoudre

31

21 −− x

< 46

−x

36 –

2x – 26

< x6 –

246

3 – (2x – 2) < x – 24 on réduit 5 – 2x < x – 24 5 – 2x + 2x < x – 24 + 2x 5 + 24< 3x – 24 + 24 293

< 3x3

293

< x

293

solutions

Exemple 3 : Une salle de sport propose 2 tarifs : Tarif A : Abonnement annuel de 220 € et 4 euros la séance. Tarif B : Abonnement annuel de 172 € et 8 € la séance. A partir de combien de séances le tarif A est-il moins cher que le tarif B ?

1) Soit x le nombre de séances 2) On met le problème en équation 220 + 4x < 172 + 8x 3) On résout 220 + 4x – 8x < 172 + 8x – 8x 220 – 4x– 220 < 172 – 220

– 4x – 4

> – 48 – 4

on divise par un nombre négatif

x > 12 4) A partir de 12 séances, le tarif A est plus avantageux.

EXERCICES

I) Résoudre les équations suivantes : (A) : 9x – 7x + 5 – 9x = 6 – 4x + 8x (B) : – (18 – x ) + 7(3x + 5) = – (2 – 4x)

(C) : 3x – 4

6 –

4x + 79

= 1 – 3x

II) Xavier pose une énigme à son voisin : « Dans 20 ans, j’aurai 3 fois l’âge que j’avais il y a 4 ans ». Quel est l’âge de Xavier ?

III) Au semi-marathon de Courson, les organisateurs décident de donner une somme d’argent aux trois premiers. Ils

se mettent d’accord pour attribuer 35 de

la somme totale au vainqueur, 13 au

second et 200 € au troisième. Quelle est la somme totale qu’ils décident de distribuer ? IV) Soit A = (3x + 6) (5x – 3) – (2x + 1) (x + 2) a) Développer A b) Factoriser A c) Résoudre l’équation : A = 0

V) Résoudre les équations suivantes : (A) : (3x – 12) (3x + 2) = 0 (B) : (3x – 5) (2x + 1) – (3x – 5)2 = 0 (C) : (x – 3)2 – (2x + 5)2 = 0 VI) Résoudre les inéquations suivantes : (A) : – 2 x < 0 (B) : 8 x – 4 ≥ 13 x – 8 (C) : 7 – (3 x – 2) ≤ 3(2x – 4) – 5x


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8. FONCTIONS A/ Rappels de cours :

1) Définition et vocabulaire : Soient a et b des nombres quelconques. Définir la fonction affine f, c’est associer à tout nombre x le nombre ax b+ . On note :f x ax b+a .

L’image de x par la fonction f est )(xf qui vaut bax+ .

Un nombre qui a pour image y par f, est un nombre x tel que ( )f x y= , c’est à dire tel que ax b y+ = .

Cas particuliers : • si 0a = , alors f est une fonction constante. • si 0b = , alors f est une fonction linéaire. Toute situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire. Exemples : : 4 2f x x+a

L’image de –3 par f est ( ) ( )3 4 3 2 10f − = × − + = − .

Un nombre qui a pour image 4 par f est un nombre x tel que :

( ) 4f x = soit 4 2 4x + = c’est-à-dire 4 2x = soit 0,5x = .

2) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f dans un repère est

l’ensemble des points de coordonnées ( )( ) ;x f x dans ce repère.

La représentation de la fonction affine :f x ax b+a est la droite (d) d’équation y ax b= + .

Cette droite passe par le point de coordonnées ( )0 ; b .

a est le coefficient directeur de (d), b est l’ordonnée à l’origine de (d).

Cas particuliers :

• La représentation graphique de la fonction constante :f x ba est la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par le point de coordonnées ( )0 ; b .

• La représentation graphique de la fonction linéaire :f x axa est la droite qui passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées

( )1 ; a .

B/ Exercices :

1.Soit la fonction : 3 1g x x− +a ,

Quelle est l’image de –2 par g ?

Existe-t-il un nombre qui a pour image 5 par g ?

2. Sur le graphique ci-contre, on a tracé la droite représentant la fonction : 2 3f x x− +a . Déterminer graphiquement l’image de 2 par f puis le nombre x qui a pour image 7 par f.

3. Dans le repère ci-contre, représenter les fonctions suivantes :

1 : 4f x x−a 2

4:

3f x xa 3 : 2f xa


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9. QUADRILATÈRES � Parallélogrammes Définition : Les parallélogrammes sont les quadrilatères qui ont leurs côtés opposés parallèles deux à deux. Propriétés : • Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur. • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. • Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

� Rectangles Définition : Les rectangles sont les quadrilatères qui ont quatre angles droits. Propriétés : • Les rectangles sont les parallélogrammes qui ont un angle droit. • Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leurs milieux. • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux et ont même longueur, alors c’est un

rectangle.

� Losanges Définition : Les losanges sont les quadrilatères qui ont leurs quatre côtés de même longueur. Propriétés : • Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. • Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. • Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales se coupent en leurs milieux et sont perpendiculaires. • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux et sont perpendiculaires, alors c’est un

losange.

� Carrés Définition : Les carrés sont les quadrilatères qui ont leurs quatre côtés de même longueur et leurs quatre angles

droits. Propriétés : • Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Et réciproquement. • Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales se coupent en leurs milieux, sont perpendiculaires et ont

même longueur. Et réciproquement.

Exercice 1 : Vrai ou faux ? 1. Tout carré est un rectangle. 2. Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et deux côtés de même longueur est un parallélogramme. 3. Un quadrilatère dont les diagonales ont même longueur et sont perpendiculaires est un carré. 4. Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle.

Exercice 2 : Soit un quadrilatère quelconque ABCD ; I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle est la nature de IJKL ? Etudier les cas particuliers. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Pour les exercices 3 et 4, les figures seront faites sur une feuille à part. Exercice 3 : Tracer un triangle ART tel que AR = 4,5 cm, RT = 5,3 cm et AT = 2,8 cm. Placer le point L, symétrique de T par rapport à A ; puis le point M, symétrique de R par rapport à A. Quelle est la nature du quadrilatère LMTR ? Justifier la réponse. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. Exercice 4 : On considère un parallélogramme ABCD et E, F, G et H les centres de gravité respectifs des triangles ABC, ADB, ADC et BDC. Démontrer que EFGH est un parallélogramme. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


2nde ……..NOM, Prénom : ………………………………………………………………….

10. DROITES REMARQUABLES DANS LE TRIANGLE �Médiatrice :

Définition : Soient A et B deux points distincts, la médiatrice du segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à la droite (AB) et qui passe par le milieu du segment [AB]. Propriété: Si un point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors il est équidistant des extrémités de ce segment, c’est-à-dire MA=MB. Réciproquement : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment Propriété : Les médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes. Définition : Le point d’intersection des médiatrices d’un triangle est le centre du centre circonscrit à ce triangle.

�Hauteur : Définition : Soit ABC un triangle, la hauteur issue de A du triangle ABC est la droite qui passe par le sommet A et qui est perpendiculaire au côté opposé (BC). Propriété : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. Définition : le point de concours des trois hauteurs s’appelle l’orthocentre du triangle.

�Médiane : Définition : Soit un triangle ABC, la médiane issue de A du triangle ABC est la droite qui passe par A et par le milieu du côté opposé [BC]. Propriété : les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Définition : Le point de concours des trois médianes est appelé le centre de gravité du triangle.

Le centre de gravité se situe au 32 de la médiane à partir du sommet.

�Bissectrice :

Définition : Soit ABC un triangle, la bissectrice de l’angle CAB est la droite qui passe par A et qui

partage l’angle CAB en deux angles adjacents de même mesure.

Propriété : Si un point M est sur la bissectrice de l’angle CAB , alors il est équidistant des côtés de cet angle, c’est-à-dire d(M,(AB))=d(M,(AC)). Réciproquement : Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle. Propriété: les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes. Définition : Le point de concours des bissectrices d’un triangle est le centre du cercle inscrit.

Exercice 1 : ABC est un triangle isocèle en A. A’, B’ et C’ sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Compléter par le nom du point qui convient.

Exercice 2 : Construire un parallélogramme ABCD de centre O. Placer le point E symétrique du point A par rapport au point C. Quel est le centre de gravité du triangle BDE ?

…………………………………………………………………….... ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

Exercice 3 : Sur un demi cercle de diamètre [AB], placer les points E et F. les droites (AF) et (BE) se coupent en K, les droites (AE) et (BF) se coupent en L. Démontrer que les droites (AB) et (KL) sont perpendiculaires. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 4 : Dans le triangle ABC, les bissectrices issues de B et C se coupent en I. Dans le triangle ADE, les bissectrices issues de D et E se coupent en K . Montrer que les points A, I, K sont alignés. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….

centre du cercle inscrit :

orthocentre : centre de gravité :

centre du cercle circonscrit :

…………………………… ……………………………


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11.TRIANGLE RECTANGLE Théorème de Pythagore : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors : BC2 = AB2 + AC2.

Réciproque du théorème de Pythagore : Si IJK est un triangle tel que IJ2 = KI2 + KJ2, alors le triangle IJK est rectangle en K.

Trigonométrie : Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a :

hypoténuse

B àadjacent côtéCBAcos = ;

hypoténuse

B à opposé côtéCBAsin = ;

B àadjacent côté

B à opposé côtéCBAtan =

BC

ABCBAcos =

BC

ACCBAsin =

AB

ACCBAtan =

Triangle rectangle et cercle : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors le cercle circonscrit à ce triangle a pour diamètre l’hypoténuse [BC]. Si I, J, K sont trois points d’un même cercle tels que [IJ] soit un diamètre de ce cercle, alors le triangle IJK est rectangle en K.

Exercices résolus :

1. DEF est un triangle rectangle en E, tel que DE = 5 m et EF = 7 m. Calculer la valeur exacte de DF.

DEF est un triangle rectangle en E, donc d’après le théorème de Pythagore : DF2 = ED2 + EF2 DF2 = 25 + 49 DF2 = 74

m74DF =

2. RST est un triangle vérifiant RS = 8 cm, RT = 10 cm et ST = 6 cm. Montrer que le triangle RST est rectangle.

Si le triangle est rectangle, il l’est en S, on compare : SR2 + ST2 et RT2

SR2 + ST2 = 64 +36 SR2 + ST2 = 100

RT2 = 100

Donc SR2 + ST2 = RT2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S

3. EFG est un triangle rectangle en E tel que FG = 7cm

et FGE = 50°. Calculer EF.

Dans le triangle EFG, rectangle en E, on a :

sin FGE =GF

EF

sin 50° = 7

EF

°= 50sin7EF valeur exacte EF ≈ 5,4 cm valeur arrondie au dixième

4. RST est un triangle rectangle en T, tel que ST = 6 cm et RT = 4 cm.

Donner une valeur arrondie à l’unité deSRT .

Dans le triangle RTS rectangle en T,

on a : tan SRT = RT

ST

tan SRT = 2

3

4

6 =

Avec la calculatrice, on trouve : °≈ 56SRT

Exercice IJK est un triangle vérifiant IJ = 6,6 cm, IK = 13 cm et JK = 11,2 cm.

1. Montrer que le triangle IJK est rectangle.

2. Calculer la valeur arrondie au degré près de l’angle IKJ .

3. IMK est un triangle rectangle en M tel que : KIM = 35°. Calculer IM, on donnera la valeur exacte puis arrondie au mm.

4. Montrer que les points M, I, J et K sont cocycliques (c’est-à-dire appartiennent à un même cercle).

B A C

F 7 m E 5 m D

S 6 cm T 4 cm R

M I K J

G 7 cm E F

50°


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12. THÉORÈME DE THALÈS & SA RÉCIPROQUE A/ Rappels de cours :

1) Configurations de Thalès

Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d) distincts de A.

Soient C et N deux points de (d’) distincts de A.

2) Énoncé du théorème de Thalès : (permet de calculer des distances)

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors BC

MN

AC

AN

AB

AM == .

Autrement dit, les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle ABC. Soit k la valeur commune des trois rapports. Si 0 1k< < , alors le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Si 1k > , alors le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.

3) Énoncé de la réciproque du théorème de Thalès : (permet de démontrer que deux droites sont parallèles)

Si AC

AN

AB

AM = et si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et

(MN) sont parallèles.

4) Cas particulier : Théorème des milieux Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et si J est le milieu de [AC],

alors les droites (IJ) et (BC) sont parallèles et BC2

1IJ = .

B/ Exercices : Exercice n°1:

Soit ABC un triangle.

La droite (D) parallèle à (BC) coupe (AB) en M et (AC) en N.

On sait que : AB=8 ; AC=6 ; AM=2. Calculer AN.

Exercice n°2:

Soient O, U, P, L quatre points disposés comme l’indique la figure ci-contre. a) Démontrer que les droites (OL) et (UP) sont parallèles. b) Calculer DB.

Exercice n°3:

On donne la figure ci-contre. Les droites (US) et (AR) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

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LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES · Présentation du livret de révision : ... S'assurer que l'on maîtrise le rappel de cours avant de faire les exercices ... cours de 3 ième