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MAKRON· Books Capitulo 9 TECNICAS DE INTEGRAQAo Em capitulos anleriores obtivemos formulas para 0 calculo de varios tipos de integra is. Muitas constam da conlracapa deste livro. Discutimos tambCm 0 metodo desubstitui- fao, usado para transformar uma integral complicada em outra que possa ser facilmente calculada. Neste capituloconsideraremos ou- tras maneiras desimplificar integrais, entre elas a integrar;iio por partes. Este poderoso dispositivo permite-nos obter integrais inde- finidas de In x, arctg x e outras expressoes transcendentes importanles. Em se<;5es pos- leriores desenvolveremos tecnicas para sim- plificar integrais que contem potencias de func<oes trigonometricas, radicais e expres- soes racionais. Na Sec<3o9.7explica-se a utilizlic<ao de uma tabua deintegrais. Tais tabu as sao sem- pre incomplelas, sendo, por vezes, necessario usarda babilidade obtidaem sec<oes anterio- res. 0 mesmo se diz de program as de com- putadores para calcular varias (mas nao todas) integrais indefinidas. Para aplicac<oesque envolvem integrais definidas, pode serdesnecessario achar uma antiderivada eaplicar 0 leorema fundamental do calculo, porque a regra do trapezio oua regra de Simpson perrnite-nos obter aproxi- mac<oes numericas. Emtais casoseinesti- mavel urneomputador ou uma calculadora programavel, os quais podemchegar a urna aproximac<aoem questao de segundos.

Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

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Capitulo 9TECNICAS DE INTEGRAQAo

Em capitulos anleriores obtivemos formulaspara 0 calculo de varios tipos de integra is.Muitas constam da conlracapa deste livro.Discutimos tambCm 0 metodo de substitui-fao, usado para transformar uma integralcomplicada em outra que possa ser facilmentecalculada. Neste capitulo consideraremos ou-tras maneiras de simplificar integrais, entreelas a integrar;iio por partes. Este poderosodispositivo permite-nos obter integrais inde-finidas de In x, arctg x e outras expressoestranscendentes importanles. Em se<;5es pos-leriores desenvolveremos tecnicas para sim-plificar integrais que contem potencias defunc<oes trigonometricas, radicais e expres-soes racionais.

Na Sec<3o9.7 explica-se a utilizlic<ao deuma tabua de integrais. Tais tabu as sao sem-pre incomplelas, sendo, por vezes, necessariousar da babilidade obtida em sec<oes anterio-res. 0 mesmo se diz de program as de com-putadores para calcular varias (mas nao todas)integrais indefinidas.

Para aplicac<oes que envolvem integraisdefinidas, pode ser desnecessario achar umaantiderivada e aplicar 0 leorema fundamentaldo calculo, porque a regra do trapezio ou aregra de Simpson perrnite-nos obter aproxi-mac<oes numericas. Em tais casos e inesti-mavel urn eomputador ou uma calculadoraprogramavel, os quais podem chegar a urnaaproximac<ao em questao de segundos.

Page 2: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

, c~,/lwl0 de Integrayao por111111 (9.1) j'

.•.. !. > ", 'f'''' \~;'\~):;~a.J,':

Ate esteporit6:nao)emos condi~es de calcular integrais 'Como~ .' ..' .,. <'~;, -:.

0"', ,'"' '1·"r.' ,;''1~' ·1 ,:-,:-:;..,-~j~';: to,,, '."~.. , '~:"~'~;:::'

, "Jlnx'dx',fx<:dx,Jx2"serixdx,f arctgxdx".~

A proxima formula possibilita-nos calcular nao somente" estescomo muitos outros tipos de integniis, '

DEMONSTRAC;;AbI

Pelo Teorema (5.5)(i), a primeira integral a direita e igual af(x)g(x) + C. Como se obtem outra constante de integrallao nasegunda integral, podemos omitir C ria formula, isto e,

Como dv = ii'(x) dx e du = rex) dx, podemos escrever a formulaprecedente como em (9.1).

Ao aplicar a Formula (9.1) a uma integral, 0 primeiro passoe fazer uma parte do integrando corresponder a dv. A expressaoque escolhermos para dv deve incluir a diferencial dx. Apos aescolha de dv, denotamos a parte restante do integrando por u,e calculamos duo Como este processo implica em separar o'integrando em duas parte~, referimo-nos ao uso de (9.1) comointegra"iio por partes. E importante a escolha adequada dedv. Em geral, fazemos dv representar a parte mais complicadado integrando que possa ser prontamente integrada. 0 exemploa seguir ilustra este metoda de integrallao.

A lista seguinte con tern lodas as escolhas possiveis de (Iv:~.~":P'<.~",,,\.,,,;. "

dX, x dx, e 2r dx, xe 2r dx.", ,,[ ",J " ~•••..: • -, ::< ...(_;....-~,..';:".

A mais 'complexa destas expressiies que pode ser integrada'rapidainente e e 2r th. Assim, fazemos

'--'dv = e2r dx

A parte restante do integrando e u - isto e, u = x, Para achar II,

integramoSdv, obtendo v = ~e2r• Note que, nesleeslagio da

resolul$iio, nao se acrescenla nenhUIPa conslanle arbitraria. (NoExercicio 51 voce podera provar que, acrescenlando-se uma

;'constante ay; chega-se ao mesmo resultado final.) Se u eX, enmo, du = dx. Para facilidade de referencia, disponhamos estas expres-

s6es como seghe:

, Levando esias'expre~siies na Formula (9.1) - is to e, integrandopor partes, -'obtemos

fxe2rdx=x(~e2r)- f~e2rdx

Podemos calcular a integral it direita como na SellaO 7.4, obtendo

fxe 2r dx = !xe 2r - !e 2., + C2 •... 4

E necessario consideravel pralica para fazer uma escolhaadequilda de dv. Para ilustrar, se livessemos escolhido dv = x dx noExemplo 1, teriasido necessario fazer u = e2', donde

Como 0 expoente associ ado a.x aumentou, a integral a direilatomou·se mais complexa que a integral original. Isto indica uma'escolha incorrela de dv.

Page 3: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

nJ3

(b) I xsec2xdxo

SOLUl;Ao(a) As· escolhas possiveis de dv saD

dx, x dx, secx dx, x secx dx, sec2 x dx. x sec 2x dx

A mais complexa destas express6es que pode ser prontamenteintegrada e sec 2x dx. Fazemos, pois,

Integrando por partes, obtemos

f x sec 2x dx ~ x tg x - f tg x dx

~ x tg x + In Icos x I+ C

(b). A integral indefinida obtida na parte (a) e uma 'antiderivadade x sec 2x. Aplicando 0 teorema fundamental do caIculo(e omitindo a conslante de iniegra«;ao C), obtemos

nJ3 nJ3fo x sec 2x dx ~ [x 19 x + In 1cos x I] 0

~ ( ~ 19 ~ + In I cos ~ I ) - (0 + In 1)

~ ( ~ V3 + In ~ ) - (0 + 0)

~ 7!:.. V3 - In 2 ~ 1 123' ,

Se, no Exemplo 2, tivessemos escolhido dv = x dx e::-::::::-::-:::-==-"7'"-:- ...!:u~sec2x, a integra«;ao por partes pela Formula (9.1) teria3IBLIOTECA :Gn DIVIE/UFre uzido a uma integral mais complexa. (Verifique!)

Z E L r::. 0 S L.(VH 0 S No proximo ~xe~plo aplicamos a integra«ao por partes

E\ .~u.:"',... !'.'. r.· '., •.... ,..• '" par achar uma anl1denvada da fun«;ao logaritmica natural.,:,Jggt: ~~i~l:i~_f;J~~

=NTREGANDf>OS EM DIT-« MPLO 3

Calcular Jlnxdx

IiAs vezespode ser necessario aplicar a integral;lio por partes

mais de uma vez no mesmo problema, confonne se ilustra a seguir.

~

e integramos por partes:

f x2e2zipx ~ X2(~ e2x) f (~i") 2x dx

Para calcular a integral no membro direito da ultima equat;fio,devemos novamente integrar par partes. Procedendo exatamcn·

, te como no Exemplo 1, temos:

o exemplo que segue iIustra outra maneira dccalcular 1111111

integral aplicando duas vezes a f~rmula de integra«;ao par pari's.: . ",~f, j '; ;...-..

EXEMPLO 5:~-'.;~•.'i -;r~(i ";< ,'':.' i;:,

Page 4: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Podemos fazer tanto dv = cos x dx, como dv = eX dx, pois qualquerUIDadessas duas express6es e facilmente integravel. Escolhamos

dv=cosxdx u..!ex

e integre:uos por partes como segue:

J eX cosx dx = eX sen x - J (sen x)ex dx

Aplicamos em seguida a integra<;ao por partes a integral nomembro direito de (1). Como escolhemos uma forma trigono-metrica para dv na primeira integra<;ao po~ partes, escolheremostambem uma forma trigonometrica na segunda. Fazendo

e integrando por partes, temos

J e' sen x dx = eX(-cos x) - J (-cos x)eX dx

J eX senxdx = -eX cosx + J eX cosx dx

Utilizando a equa<;ao (2) para fazer a substitui<;ao no membrodireito da equa<;ao (1), obtemos

J eX cosxdx = e'senx- [ -ex cosx+ J eX cosx dx ]

ou, Jexcosxdx=exsenx+excosx- Jexcosxdx

Somando J eX cos x dx a ambos os ryembros da ultima equa<;ao,obtemos:

Finalmente, dividindo ambos os membros por 2 e adicionandoa constante de integra<;ao, obtemos

Poderiamos tambem ter calculado a integral utilizandodv = eX dx para a primeira e para a segunda aplica<;ao da fun<;aointegra<;ao por partes.

Dev'emos esclilher cuidadosamente as substitui<;iies aoc~lcular uma integral do tipo dado no Exemplo 5. Suponhamosque, no calculo da integral a direita da equa<;ao (1) da solu<;ao,tivessemos escolhido

·t

A inieira.<;.a.opor partes entao conduziria a

,"'JeXsenxdx=(senx)eX- Jexcosxdx i

Se substituimos em (1), obtemos

Je~eOsxdx~exsenx- [exsenx- Jexcosxc4]que, se reduz a

Embora se trate de umll afirma<;ilP verdadeira, nao e evidente-mente urn eel/culo da integral dad~.

As escolhas posslveis de dv saG

dt, sec x dt, sec 2 x dt, sec) x dx

A expressao mais complexa que pode ser integrada facilrnente'e se2 x dx. Fazemos entao

e inlegramos por partes:

J sec) x dx = sec x tg x - J sec x tg 2 X dx

Em lugar de aplicar outra integra<;ao por partes,' mudemos aforma da integral a direita valendo-nos da identidade1 + tg 2 X = see 2 x, 0 que nos d<i

J see) xdx = seex tgx - J secx (see 2 x -1) dx,

Page 5: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

ou I see3 xdx = seex tgx - I see3 xdx + I see'xdx

Adicionando J see 3 x dx a ambos os membros da ultima equattiio,obtemos

2 I see 3 x dx = see x tg x + I see x dx

Calculando agora J seex dx e dividindo ambos os membros da

equattiio resultante por 2 (e aerescentando entiio a eonstante deintegrattiio), obteinos

I see 3 x dx = ~see x tg x + pn I see x + tg x I+ C

A integrattiio por partes pode as vezes ser usada para obterformulas de redu~iio para integrais. Utilizamos tais formulaspara escrever uilia integral que eDvolve poteneias de urnaexpressiio, em termos de integrais que envolvem poteneiasinferiores da mesma expressiio.

I seDx x dx ,= -cos x sen n -1 X + (/l - 1) I seD n'- 2X eos 2x dx

Como cas 2x = 1 - sen 2x, podemos eserever

o membro esquerdo da equa~iio se reduz a /lIsen x dx. Divi-

diDdo ambos os membros por /l, obtemos

I 1. n -IIsenn xdx = - - cas x senn-1 x + -- senn~2 xdx. n n

Aplique a formula de redu<siio do Exemplo 7 para ealcular

I sen4 xdx.

Aplicando a formula de redu~iio, com /l = 2, para a integral adireita, temos

Isen2xdx=-~cosxsenx~I dx

E evidente que, mediante apliea~oes reiteradas da formulado Exemplo 7, podemos calcular J sen n X dx para qualquer inteiro

positivo /l, porque essas redu~oes sueessivas teiminam emJ sen x dx ou J dx, ambas imediatamente integraveis.

i·Ji"f arctg x dx '

~

(;~f Vi In X,dx

15 f x csc2X dx

17 f~-xsen~dx

f9 fsenxlnrosxdx

i3\Jx2 e3x dx\J

@:{x cos 5x dxDfI I\'L x secx tgx dx

I In\r 2\ \~ x rosxdx

14 f i Inxdx

16J x arctg x d:r

18 f e3x ros 2x dx

20 i x3 e-x' dxo

Page 6: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

1/, •• ',,, .•. 22 I seeS xdx

J 1

24 I sen III x dx1\ / V _,/x" \ J ., 1

nIl

26 Ix secZ 5x dxI 'Nell 2t dx

"1./ \(111''3)9') dx

28I ..•/S

3dx

I-x

'I J H~\ R'II 5xdx 30 I x3 cos (xZ) dx

II .r (III )Z ,/x 32 Ix 2' dx

, I f \ I "cnh X dx 34 I(x+ 4) cosh 4x dx

, .r CIl. x ,/x 36 I arctg 3x dx

II II" '"\JS x ,/x 38 I (x + 1)IO(x ~ 2) dx

11:~11l'·S. 39-42: Use a integra~ao por partes para"Illhol 'cer n f6rmula de redu¢o.

\II II·"t!,/x-Xmi'-mIxn·1i'dx

f m secm-2xtgx m-2I m-Z.Il seC X ,/x ~ ----+ -- sec x dx

m-l m-l

II,' Use 0 Exerdcio 41 para ealeular I (In x)4 dx.

'I~ Se f(x) - sen Vi, ache a area da regiao sob 0

p,rnfico de f de x ~ 0 a x = Itz.

11(, A regiao delimitada pelo gnifico de y = x >lsen x e" eixo-x de x - 0 a x = 1t/2 gira em tomo do eum-x.Detemune 0 volume do sOlido resultante.

1\7 A regiao delimitada pelos graficos de y = In x,y = 0 e x = e gira em lomo do eixo-y. Ache 0,

volume do s6lido resultante.

,'48 Suponba que a for~a f(x) atuando sobr: 0 pontode coordenada-x em uma reta coordeDada I sejadada' por f(x) = x5 VX3+1. Determine 0 trabalhorealiza~1I ao mover urn objeto de x ~ 0 a x = 1.

49 Determine II centr6ide da regiao delimitada pelos'graficos das equa~6es y = e, y ~ 0, x - 0 ex = In 3.

50 A velocidade (no instante t) de urn poDto que semove ao longo de uma reta coordenada et le1J m/s. Se 0 ponto esta na origem quandot - 0, ache sua posi~ao no instante t.

51 Ao aplicar a f6rmula de integra¢o por partes(9.1), mostre que se, ap6s a escolha de dv,escrevermos v + C em lugar de v, chegaremos aomesmo resultado.

52 Na Se~ao 6.3, a discussao da determina~ao devolumes por ~eio de cascas cillndricas ficouincompleta, porque nao mostramos que 0 metododos discos conduz ao mesmo result ado. Utilize aintegra~ao por partes para mostrar que, se f ediferenci<ivel e I'(x) > 0 em [a, b] ouI'(x) < 0 em [a, b], e se Ve 0 volume do s6lidoobtido pela rota~ao em tomo do eixo-x da regiaodelimitada pelos graficos de f,x = aex = b, entaoobtemos 0 inesmo volume V, quer usemos 0

metodo dos discos, quer 0 metodo das ciscas.(SlIgestiio: Sejag a fuo~iio inversa de f, e use a

•inlegra~ao por partes em f. 1t[f(x)j2 dt.)

53 Discuta a seguinte aplica~ao da F6rmula (9.1):

Dada I (llx) dx, seja dv = dt e u = Ilx, de modo

que v =X e dll = (-11 xZ)dt. EDtaO./

I~dt = U )x - Ix( - ~ ) dt

54 Se u = f(x) e v = g(x), prove que a analoga daF6rmula (9.1) para integrais definidas e

b []b bfa U dv = uv a - fa V du

No Exemplo 7 da Se<;ao 9.1 obtivemos uma f6rmula de redu<;iiopara f ~en " x dx. In tegrais desse tipo pod~m tambCm ser ealeu-

!ad~s sem reeorrer a integra<;ao por partes. Se II e UID inteiropositivo impar, eome<;amos por eserever

Jsen " x dx =f sen ~- 1 X sen x dx

Como 0 inteiro n - 1 e par, podemos utilizar a iclentidadetrigonomeirica sen 2 x'; 1 - eos 2 x para ehegar a Uljl~ f6rmulafiicil de integrar, eonforme exemp!o seguinte. '

EXEMPLO 1~<. ,

Caleu!ar f sen 5 x dx

=f (1- 2 CDS 2 X + CDS 4 x) sen x dx

Page 7: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Se 0 integrando e sen n X ou cos" x e n e par, entaopodemos aplicar a formula de angulo-tnetade

2 1- cos 2xsen x= 2

2 l+cos2xou cos x = 2

Integrais que envolvem apenas produtos de sen x e cos xpodem ser calculadas mediante as seguintes diretrizes.

Diretrizes para calcularf sen m x CDS n x dx (9.2)

Para integrandos da forma. tgm x sec" x, valem dirclrlz·

anaJogas as (9.2).

Page 8: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

1'1" 11//,08 para calcular1111 /II, OC n x dx (9.3)

Sao calculadas de maneira analoga integra is da forma

f catm x csc" x dx.

Finalmente, se urn integrando tern uma das formascos mx cas nx, sen mx sen nx ou sen m~ COS llX, utiliza-se umaforma produto-soma para facilitar 0 calculo da integral, conformeexemplo a seguir.

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1 J eos3 x dx 2 J sen2 2xdx

3 J sen2x eos2x dx 4J cos? xdx

5 J sen 3 x eos2x dx 6 J sens x cos3 x dx

7 J sen6x dx 8 J sen4 x cos2x dx

9 Jtg,3xsee4xdx 10 J see6 xdx

11 JIg3 x see2 x dx 12 JIgS xseexdx

13 Jtg6xdx 14 J cot4 xdx

315 J vsen x eos3 x dx 16J~dx

Vsenx

17 J(tgx+eolx)2dx 18 J cot3 x ese3 x dx

. n/419 f. sen3x dx 20 i tg2 (1m) x dx

0 o 4

21 J sen 5x sen 3x dx. "'4

22 J eosx eos 5x dx0

nf223 f. sen 3x cos 2x dx

0

24 J sen 4x eos 3x dx

25 J ese4 x COl4x dx 26 J(l + veosx)2seDxdx

27J~dt2

28J~dx2 - senx sec2 x

230 J seex 'dx29J~dx

(1 + tgx)2 . cotS x

31 A regiao delimitada pelo eixo-x e pelo griifieo dey = eos2 x de x = 0 a x = 2n gira em torno doeixo-x. Determine 0 volume do s6lido resultante.

32 A regiao entre os graficos de y = tg2 X e y = 0 dex = 0 a x = rr/4 gira em torno do eixo-x. Determi-ne 0 volume do solido resultante.

33 A velocidade (no instante I) de um ponlo emmovimento sobre uma reta eoordenada eco ~nl m/s. Qual a distaneia pereorrida peloponto em 5 segundos?

34 A acelera~ao (no instante I) de urn ponto emmovimento sobre uma rela eoordenada esen2t cos 1IIIIS'. Em 1= 0, 0 ponto esta na origeme sua velocidade e 10 mls. Determine sua posi~iiono instanle I.

(b) Obtenha f6rmulas amilogas as da parte (a)para provar que

36 (a) Use a parte (a) do Exercicio 35 para provarque

f sen Int seD/IX dx = {O-n 1t

(i) r sen = eos /IX dx-n

(ii)r cos =eos IIX dx-n

Substituir;6estrigonometricas (9.4)

9.3 SUBSTITUI<;OES TRIGONOMETRICAS

No Exemplo 1 da Se<;ao 1.3 mostramos como transformar aexpressao var:::xr, com a > 0, em lima expressao lrigonome-triea sem radieais, utiliz<J,ndo a substi/lli~iio lrigollomerricax = a sen B. Podemos adotar proeesso analogo para ~ e~. Esta teeniea e uti! para eliminar radieais de certos tiposde integrando. Veja as sllbstitui<;6es:

Ao fazer lima substitui<;iio trigonometriea, admitimos queB esteja no eontradom!nio da fun<;ao trigonometriea inversaeorresponilente. Assim, para a substituic;ao x = a sen e, temos-n/2 s B s n/2. Neste easo, eos B ;" 0 e

~ =Va2_azsenzB

Se y;;r::xr apareee em urn denominador, acreseentalUos arestri<;iio Ix I,.a ou, equivalentemente -n/2 < B < n/2.

I 1 dxX2~

o integrando con tern v'I6'=?, que e da forma Va 2 - X r COlli

a = 4. Logo, por (9.4), fazernos

x = 4 sen e para -rt/2" 0 < rtI2.

Segue-se que

V16-x' =V16-16sen'e =4V1-sen'e =4Veos'e =4eosO

Page 10: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Como x = 4 sen e,temosID: •• 4 cos ede. Substituindo na inte-~gral dad~, obiemo;··::·,.:~~·.::.:'.,.:,;;::,· " .' .. , ,,,

." ; 1'>'"'''' 00'" 1' I x2.ff6=7d.x,=I (~6 sen 2 e)4 cos 8 4 cos 8 d8

': 1 '=iJ scn28 d8

'= XI' cse2 8 d8.. 16

= -.Lcot 8 +C" 16, . '

Devemos agora voltar 11 varia vel de integra~o original, x.Como 8 = arcsen (xI4), poderiamos escrever - 10 cot 8 como

- 10 cot arcsen (xI4), mas esta expressao e de manus~io dificil.

Como' 0 lntegrando contem V16=?, e preferivel que a formacalculada tambem contenha este radical. Ha urn metodo geometricoque garante a ocorrencia Wsso. Se 0 < e < nl2 e sen'8 = x14,podemos interpretar e como um lingulo agudo de urn trilinguloretlingulo ,com comprimentos x e 4, os quais correspondem,~espectivamente, ao lado oPosto do lingulo e 11 pr6pria hipotcnusa(veja a Figura 9.1). Pelo teorema de Pitagoras, 0 comprimento dolado adjaccnte e v'16 _x2• Considerando 0 triangulo, obtemos

6-..fI6=XT

cot ---x

Pode-se mostrar que a ultima forma tambem e verdadeira se-n12 < e < O. Assirn, a Figura 9.1 pode ser us ada, quer 6 sejapositivo quer ncgativo. •

Substituindo cot 8 por v16 _x2 Ix em 00550 c3.Iculo, obtemos

Se um integrando eontem ..r;;r:;xr para a > 0, entao,'por(9.4), aplicamos a substitui~ox = a tg e para e1iminar 0 radical.Ao usar esta substitui~ao, admilimos que 6 esteja no conlrado-minio da fun~ao inversa da tangentc, isto e, -n12 < 6 < n12.Neste caso, sec 6 > 0 e

~ =v'a2+a2tg26=v'a2(I+tg28)= v'a2 see2 8

= a see 8

Ap6s substituir e ealcular a integral trigonometrica resultante, enecessario voltar 11 variavel x. Pode-se fazer isto aplicando a formulatg 8 = xla e considerando 0 trilingulo retlingulo da Figura 9.2 .

I 1 dx"';4 +x2

o denominador do integrando tern a forma ...;ar+Xi coma = 2. Logo, por (9.4), fazemos a substitui<;ao

x = 2 tg 8, ·dx= 2 sec 2 e d8

;I.~dx=I-2 1 82see2ed8, y4+x' sec

= In I sec 8 + tg 81 + C

Como tg e =xI2, esbo<;amos 0 triangulo da Figura 9.3, dondeobtemos .

v'4+x~see 8=--2-

I-1-dx I \V4+X1 ~IC-f4+XT =n 2 +2+

\y;;:;xr +x I I'~ IIn 2 +C=ln y4+x- +x -ln2+C

Como y;;:;xr + x > 0 para todo x, toma-se desneeessario 0

sirnbolo de valor absoluto. Fazendo tambem D = -In 2 + C,obtemos

r~ dx= In ("4 +x2 +x) +Dv4+x-

Page 11: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

:2jece=~x

..Jx2 - a2

B

a

:2jece=J,"x ,

..J x2-9

e3 '

Se urn integrando contem ~, entao, de acordo com(9.4), fazemos a substituic;ao x = a sec 0, on de 0 e escolhido nocontradomfnio da funC;ao secante inversa; isto e, ouo s 0 s nl2 ou 1t S 0 < 31t/2. Neste casq, tg 0 « 0 e

= Va 2(sec2 0 - 1)

=~

=a tgO

xsec 0 =-a

podemos recorrer ao triangulo da Figura 9.4 ao passar da variavelo para a variavel x.

Calcular fv'x ~- 9 dx

o integrand6 con tern v'x2_ 9, que e da forma ~ coina = 3. De acordo com (9.4), fazemos a substituiC;aQ

x = 3 sec 0, dx = 3 see 0 tg 0 dO

f~ f~'---dx= 3 03secOtgOdOx ' see "-.= 3 f (sec 20 - I)dO = 3 f see 20 dO - 3 f dO

= 3 tg 0 -30 + C

Como sec 0 = x13, podemos reeorrer aotriangulo retangulo daFigura 9.5. Considerando que tg 0 = ~/3 e 0 = arcsee (i),obtemos

n'-./1 - x'

Figura 9.6

fVX~-9 dx=3"';x23-9 -3arCSeC(~)+C

= "';x2 - 9 - 3 aresec ( ~ ) + C

Como veremos no proximo exemplo, podemos usar subs-titui<;6es trigonometricas para ealcular cerlas integrais que en-volvem (a 2 - x2)n ,(a 2 +x2) n, ou (X2 - a 2)n, nos easos em quen =~.

EXEMPLO 4

(I_X2)312Calcular f x6 dx

SOLu<;Aoo integrando contem a expressao 1- x2, que e da formaa 2 - X 2 com a = 1. Aplicando (9.4), substituimos

x = sen 0, dx = cos 0 dO

Assim, 1- x 2 = 1- sen 2 0 = cos 2 0, e

( 2)312 ( 20)312f 1- x dx =f cos cos OdOx6 sell 6 0

=ICOS40 do=Icos40 ._I_dOsen 6, 0 sen 4 0 sen 2 0

=Icot40csC20pO

= _~cot5 0 + C

Para voltar 11 variavel x, observamos que sen 0 = x = xII <;

recorremos ao triangulo retangulo da Figura 9.6, oblendocot 0 = ~/x. Logo,

5

f(I-X2~dx=_.!.("';1-X2) +Cx6 5 X

(1-x2~=- 5 +C

5x

Apesar de dispormos agora de tecnicas adieionais d.e intcgl'1l-C;ao, e conveniente relembrar' sempre os metodos antenores. PQrexemplo, a integral f (x~) dx poderia ser calculada I ·In

, ,

Page 12: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

substituis:ao trigQnometrica oX = 3 tg 6. Todavia, e mais simplesutilizar asubstitUis:ao algebrica u = 9 + X 2 e du = 2x dx, pois,neste caso, ~ integraltoma a forma Hu -lfl, que e imediatamente

integravel pel a regra da pcilencia. Os exercicios a seguir induemintegrais que podem ser calculadas por meio de tecnicas maissimples do que as substituis:oes trigonometricas.

I I r -tI(( 2\ 4-x

r I-dx

()+)1

J' I--dxl-ry---, Vx'-25

dx2

.l

I) I '--dx.• (, _ 1)312.

/' I-

II 2"2dx, (1/".')

J' ,It ./~tlx

V'i -4x

31"1' ~dx. Vy 2+49

/" III) --dx, ," 1;2_3

fV4-~2 --dxx2

)4f 1 dx

\ ..~V~+9'--------

6f 1 dxx3V~_25

8Jxth•.~

IOfd=xdx4x -25

12f 1 dx(16 _ x2)512

14f-l_zd(49+x

18 f 1 dxxV25)1 + 16

f~dxVl-x2

1'1\ r"g,ao delirnitada pelos gr3ficos dey - x (x 2 + 25) -lfl, Y = 0 e x = 5 gira em tomoII•• "ixo-y. Ache 0 volume do solido resultante.

24 Ache a area da regiiio delimitada pelo grmco dey = x3(10 - x2)-II2, pelo eixo-x e pela reta x = 1.

Exercs. 25·26: Resolva a equa<;iiodifererlcial sujeita'. 11 condi<;iioinicial dada.

2Sxdy =Vx2 -16 dx;

26 Vl_x2 dy =x3 dx;

Exercs, 27-32: Use urna substitui<;iiotrigonometricapara estabelecer a formula. (Veja as Formulas 21,27,31,36,41 e 44 no Apendice IV.)

27 fVa2 + 112 dll=

28 f 1 dll= -lln IV;;Z;;; + a I+ CII Va2+112 a II

II 2 Z _~ a4 II8" (211 - a ) V a~ - II' + 8 arcsen -;;+ C

f 1 1 -~ .~30 ----dll=--Va~-II'+c

112 VaZ_ IIZ aZIi

vi_az -~ a31f--- dll= VII~ - a' - a arccos - + C

II II

Recorde que, se q e 'uma funs:ao racional, entao q(x) == f(x)/g(x), onde f(x)" e g(x) sao polinomios. Nesta ses:aoestabeleceremos regras para 0 calculo de Iq(x) dx.

Consideremos 0 caso especifico q(x) = 2/(x 2 - 1). E filcilverificar que

1 -1 2--+--=-2-x-I x+l x-I

A expressao 11 esquerda da equas:ao e chamada decomposiriioem fraroes parciais de 2/(x2 - 1). Para achar Iq(x) dx, integra-

mos cada uma das fra<;oes que constituem a decomposi<;ao,oblendo

J 2 J 1 J -1--dx= --dx+ --dxx2_1 x-I x + 1

IX-l/=.In -- +C. x+l

Teoricamenle e possivel escrever qualquer expressaof(x)/g(x) como uma soma de expressoes racionais cujos deno-minadores envolvem polencias de polinomios de grau naosuperior a 2. Especificamente, se f(x) e g(x) sao polinomios ese 0 grau de f(x) e inferior ao grau de g(x), entao pode-se provarque

Ax+Bou (ax2+bx+c)"

para reais A e Ben inteiro nao-negativo, onde ax 2 + bx + c eirredutivel no senti do de que este polinornio quadriitico nao ternzeros (is to e, b 2 - 4ac < 0). Neste caso, ax 2 + bx + c nao podeexpressar-se como 0 produto de dais polinomios do primeirograu com coeficientes reais.

A soma F + F +, .. F, e a decomposi<;iio em fra~oesI 2 r

parciais de f(x)/g(x) , e cada Fk e uma fra<;iio parcial. Nao

provaremos este resullado algebrico, mas estabelecerep10s dire-trizes para obter a decomposi<;ao.

Page 13: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Diretrizes para a decompo-sigiio de f(x)/g(x) em frag6esparciais (9.5)

As diretrizes para achar a decomposic;ao em frac;6es parciaisde f(x)/g(x) devem ser ap!icadas somenle s~Of(x) liver grau inferiorao de g(x). Se isto nao ocorrer, teremos de recorrer a divisao parachegar a forma adequada. Por exemplo, dada

Xl - 6x2 + 5x - 3x2 -1

Xl + 2x2 - 3x =x(x2 + 2x - 3) =x(x + 3)(x - 1)

Cada fator lem a forma indicada na Regra a de (9.5), comIn = 1.Assim, ao falor x corresponde uma frac;ao parcial da formaA/x. Analogamente, aos fatores x +3 e x,-1 correspond emfrac;6esparciais B/(x + 3) e C/(x - 1), respectivamente. Porlanto,a decomposic;iio em frac;oes parciais lem a forma

4x2+13x-9 ABCx(x + 3)(x -1) - ~ + x + 3 + 'x - 1

Passamos entao a decomposic;ao de (6x - 9)/(x2- 1) em frac;oes

parciais.--------

Multiplicando pelo minimo denominador com urn, oblemos

(*) 4x2+ 13x-9=A(x+3)(x-l) +Bx(x-1) +Cx(x+ 3)

Em casos como esle, em que os falores sac todos !ineares e naorepetidos, os valores de A, B e C pod em ser oblidos pelaSubslilUic;aode x por val ores que anulem os varios fatores.

Fazendo x = 0 em (*), lemos

Fazendo x = 1 em (*), obtemos

8 =4C, ou C= 2

4x2+13x-93 -1 2-----=- - +-- +--X(X + 3)(x - 1) x x + 3 x-I

Integrando e denolando por K a soma das conslantes de inlegra-c;ao,lemos

I4x2+13x-9 dx I3 dx J -1 dx J 2 dxx(x+3)(x-l) = ~ + x+3 + x-I

=31n lxi-in Ix+31 + 2inlx-11+K

= in Ix31-ln Ix + 31 + In Ix _112 +K

I X3(X _1)21=In x+3 +K

"'=."" ' ..

Dutra tecruca para deterrninar A, B e C e desenvolver 0

..'membra direilo de (*) e agrupar os lerrnos de mesma polencia..de x, como segue>, ,:"".

Page 14: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

4x2 + 13x";';~9;;;':(A+B + C)x2+ (2A- B + 3C)x- 3A -

Valemo-nos agorad~ de fato que, se dois polino~i~s sap iguais:-enlao os coeficientes de iguaispotencias de x sap os mesmos. Econveniente disp6r nosso trabalbo da seguinte mane ira, a qualcbamamos~ompara~iio de coeficientes de x.

.c~eficientesdex2: A +B+C=4

; coefic!enies de x: 2A - B + 3C~ 13,; ,." " 1"-

Pode-se verificar que a solm;ao deste sistema de equal10es eA = 3, B = -1 e C = 2. .

f3X3_18x2+29X-4Ca1cular . (x+ 1)(x-2)3 dx

Pela Regra a de (9.5), ha uma fral1ao parcial da formaA/(x + 1) que corresponde ao fator x + 1 no denominador deintegrando. Para 0 fator (x - 2) l aplicamos a Regra a (comm = 3), obtendo uma soma de tres frac;oes parciais B/(x - 2),C/(x - 2)2 e D/(x - 2)3. Conseqiientemente, a decomposic;ao emfral10es parciais tern a forma

3xl-18x2 + 29x - 4(x + 1)(x - 2) 3

ABC D--+--+---+---x+ 1 x-2 (X_2)2 (X-2)3

(*) 3x3 -18x2 + 29x- 4 =A(x - 2)3 + B(x + 1)(x - 2)2

+ C(x + 1)(x - 2) +D(x + 1)

Duas das constantes incognitas podern ser determinadas facil-mente. Fazendo x = 2 em (*), obtemos -- ...-

Da mesma forma, fazendo x = -1 em (*), temos

-54=-27A ou A =2

As demais constantes podem ser obtidas por comparac;ao doscoeficientes. Atenlando para 0 membro direito de (*), vemos queo coeficiente de x3 e A + B. Este coeficiente deve ser igual aocoeficiente de x3 a esquerda. Assim, por comparac;ao,

coeficientfs de Xl: 3 =A +B

Como A = 2, segue-se que B = l.

Finalmente, compimimos os termos constante& de (*)fazendo x = 0, 0 que nos dii:

termoscollstanles: -4 = -SA + 4B - 2C + D

Levando os valores jii achados para A, BeD na equac;aoprecedente, temos

que tern a soluc;ao C = -3. A decomposic;ao em fra¢es parciaise, portanto,

3x3-18x2+29x-4 I 2 1 -3 2--+--+---+---(x+1)(x-2)3 x+1 x-2 (X-2)2 (X-2)3

Para obter a integral dada, integramos cada urni! das frac;oesparciais do membro direito da ultima equac;ao, obtendo

·3121nIx + 11+ In Ix - 21 + x _ 2 - (x _ 2) 2 + K

com K igual a soma das quatro constantes de integral1ao. Esleresultado pode ser escrito na forma

3 1In[(x+1)2Ix-2Il+ x-2 - (X_2)2+K

f X2 -x- 21Ca1cular 2x3 _ x2 + 8x _ 4 dx

Aplicando a Regra b de (9.5) ao fator quadriitico irredutivelx 2 + 4, vemos que uma das frac;oes parciais tern a forma(Ax + B)/(x 2 + 4). Pela Regra a, hii tambem uma frac;ao parcialq(2x - 1) correspondente ao falor 2x - 1. Conseqiientemente,

x2-x-21 Ax+B C2x3-x2+8x-4== x2+4 +2x-l

Page 15: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Pode-se achar facilmente uma constante. Fazendo x = ~em (*),obtemos

AS demais constantes podem ser achadas por compara"ao decoeficientes de x em (*); .

coeficiell1es de x 2: 1 = 2A + C

coeficientes de x: -1 = -A + 2B

termos constantes: -21 = -B + 4C

Como C = -5, segue-se de 1 = 2A + C que A = 3. Da mesmaforma, utilizando os coeficientes de x com A = 3, temos-1 = -3 + 2B ou B = 1. Assim, a decomposi~o do integrandoem fra"oes parciais e

x2-x-212x3-x2+8x_4

3x + 1 -5--+--x2+4 2x-1

3x 1 5=--+-----x2+4 x2+4 2x-1

Pode-se agora calcular a integral dada integrando 0 membrodireito da Ultima equa"ao, 0 quc nos d<l

Aplicando a Regra b de (9.5), com Il = 2, tcmos

5x3-3x2+7x-3 Ax+B Cx+D(x2+1)2 =x2+1 +(x2+1)2

Multiplic~do pelo m~nor divisor comum (x2 ~ 1) 2 temos

5x3 - 3x2 + 7x - 3= (Ax +B)(x2 + 1) + Cx+D

5x3 - 3x2 + 7x- 3 =Ax3 +Bx2+ (A + C)x+ (B +D)

---~~-~----I_-------_3•.•....... ---............. _.- _ .... -----_.

coeficientes de x 3: 5 = A

coeficienles de x 2; -3 = B

coeficientes de x: 7 = A + C

lermos cOllslanles: .-3 = B + D

Temos assim A=5, B=-3, C=7-A=2 e D=-3-B=O.Port an to,

5x3-3x2+7x-3 = 5x-3 +~(x 2 + 1) 2 X 2 + 1 (x 2 + 1) 2

5x 3 2x= X 2 + 1 - X 2 + 1 + (x 2 + I) 2

Integrand.o, vem

I5x3 _3X2 + 7x- 3 dx= lln (x2+ 1) _ 3 arctgx--/- +K(x2+1)2 2 x +1

Exercs. 1-32: Calcular a integral.

1 f5x-12 dxx(x - 4)

2 f x+34 dx(x- 6)(x+ 2)

3 37-1lx dxf(X+1)(x-2)(x-3)

4 .f 4x2 + 54x + 134 dx(x-l)(x+ 5)(x+ 3)

5 f6x-lldx(x _ 1)2

26 f-19x2 + 50x - 25 dx

x (3x- 5)

7 f x+ 16 dx 8 f llx+2 11:{~+2x-8 2x2_ 5x-3-·

f 2x2 - 25x - 3311 -----dx(x + 1)2(x - 5)

12 f 2x2

- 12x+ 4 dxx3_42

14 f5x2 + 30x + 43 dx. (x + 3)3

lsfx3+62+3X+16dxx3+4x

16f 12+7; dx~+6x+9

f 5~+llx+17 dx17 ~+52+4x+20

Page 16: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

20J~dx -.,'"(~+1)3 '

22JX4

+ U+ 4x + 1 dx(x2 + 1)3 ",

4 224 JX + 2x + 3 dx

x3 :"4x '

J I Jh I - 5i + 4& + 98 dx '(i+x _12)2

" 3 2J/I r 1\ -Jx -3x +3x+1 dx· i(x+ 1)3

/,'111 +9x+l

III I -2--dx· ~< ,·3x +x

II r\\'13i+3X+63dx• (i_9)2

\

!AI' x" - 2\3 + 4x2 - 15x + 5 dx(.l + 1)2(x2 + 4)

I"~"I .'~. 33-36: Use fra,Des parciais para calcular a'""WIlI (vcja as F6rmulas 19, 49, 50 e 52 da tabuaII. "'l'grni~no Apendice TV).

/' I

". I '2duII - U

34J_l_duu(a +bu)

J. I.\ ? - du

U (II +/JII)36 J 1 2 du

u(a +bu)

1'1.'.~ J( d - x/(x2 - 2x - 3). ache a area da regiao'oil u griifico de f de x ~ a a x - 2.

III A Icgiao delimitada pelos ,graficos dey - I/(x - 1)(4 - x), Y ~ O. x ~ 2 e x - 3 gira em"" "" do cixo-y. Determine 0 volume do solido1t~~\Iltantc.

39 Se a regiiiodescrita no Exercicio 38 gira em tomodo eL'to-x,ache 0 volume do solido gerado.

40 Na lei logfstica de crescimento admite-se que, noinstante I, a taxa de crcscirnento f(l) de umaquantidade f(l) seja dada porf(1) ~Af(t)[B - f(I)], com A e B constantes. Sef(O) ~ C, mostre que

f(I)- BCC + (B - C)e-AB/

41 Como altemativa ao metodo das fra,Des parciais,mostre que uma integral da forma

f 1 dxax2 + bx

f-..illiL dx0+ (blx)

f_l_dxaxn + bx

43 Suponha que g(x) - (x - c.)(x - c2) ••• (x - cn)

para urn inteiro posilivo n e reais distintoscl' c2 •••• , cn' Se f(x) e urn polin6mio de grauinferior a II, mostre que

f(x) =~+~+ ... ;~g(x) x - C1 x - C2 x - Cn

com At c f(ct)/g'(c.) para k = 1,2, ... , II. (Trata-se, na realidade, de urn metodo para obter adecomposi,ao em fra,oes parciais quando 0 de-nominador pode ser favorito em fatores line,aresdistintos.)

44 Use 0 Exercicio 43 para achar a decomposi,aoem fra,Des parciais de

2\4 _ x3 - 3'; + 5x + 7

x5_5x3+4x

A'decomposi,ao em fra,6es parciais pode conduzir a integran-dos que. con tern uma expressao quadnitica irredutiyel comoax2 + bx+ c. Se' b ¢ 0, e necessario as vezes complctllr 0 qua-drado como s~g'ue:

A substitui,ao u = x + b/(2a) pode eolao conduzir a uma formainlegravel.

EXEMPL01

I 2x-1Calcularx 2 _ 6x + 13 dx

SOLu<;AoNot~ que a expressao quadratica x 2 - 6x + 13 e irredutivcl, po isb2 - 4ac = -16 < O. Complctamos 0 quadrado como segue:

x2_ 6x + 13= (x2-6x)+ 13

- (x2 - 6x + 9) + 13 - 9 = (x - 3)2 + 4

Page 17: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

5 x-3= In (x2 - fix + 13) +:2 arctg -2- + C

Podemos lambem empregar a teenica de eompletar 0

quadrado quando uma expressao quadnitica apareee sob 0 sinaldo radical. '

Calcular f../ 1 2 dx8+2x-x

SOLUl;Ao

Completamos 0 quadrado da expressao 8 + 2x _x2 eom~ segue:

8+2x-x2= 8 -(x2_2x) =8+ 1- (x2-2x+ 1)

=9-(x-l)2

f 1 dx -f 1 dx../8+2x-x2 - ";9-(x-l)2

f 1 dx-f 1 dx../8+2x-x2 - ../9-(x-1)2

=f_l_du~

= arcsen !!+ C3

x-I= arcsen -3- + C

No pr6ximo exemplo faremos uma substituic;ao trigonome-triea ap6s eompletar 0 quadrado.

f 1 dx";x2+8x+25

x+4tane =_._-3

SOLuGAoCompletamos 0 quadrado da expressao quadratica como segue:

x 2 + 8x + 25 = (x 2 + 8x) + 25

=(x2+ 8x+ 16)+25 -16

=(X+4)2+9

f 1 dxf 1 dx";x'+8x+25 = ../(X+4)2+9

Fazendo a substituic;ao trigonometrica

x + 4 = 3 tg G, dx = 3 sec 2 G dG.

../(X+4)2+9 =Y9tg2G+9 =3~ =3secG

-f 1 dx=f-l- 3 see2 G de";x' + 8x + 25 3 see e

=f see G dG

= In Isee e + tg G I+ C

Para vol tar a variavel original x, utilizamos 0 triangulo daFigura 9.7, obtendo

I' \ ../x2+8x+25 x+4 \ Cf dx In -----+-- +";x"+8x+25 = 3 3

=1n1";x2+8x+25 +x+41-lnI31+C

= In '../x2 + 8x+ 25 +x + 41 +K

Page 18: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Excrcs. 1-18: Calcule a integral.

5--1-dx 2 5 1 dx

(x+l)2+4 "';16 - (x - 3)2

3 5 1 dx 4 5 1 dxJ-4x+8 x2-h+2

5 5-1-dx 6 5 1 dx

Y4x-J .. Y7+6x-x2

7 5 h+3 dx 8 5 x+5 dxY9-8x_x2 . 9x2+6x+17

<) 5 1 dx 105 1 dx(J+4x+ 5)2 (x2 _ 6x + 34)312

9.6 SUBSTITUlc;OES DIVERSAS

Nesta sec;ao estudaremos substituic;oes uteis para 0 calculo decertos tipos de integrais. 0 primeiro exemplo mostra que, se uma

integral contem uma expressao da forma ~, entao uma das

substituic;oes u = ':,fJ(x) ou u = f{x) pode simplificar 0 calculo.

14 5--h-- dxJt.+ h+5)2

155 eX dxe2x+3e"+2

17/J-4X+6 dx2 J-4x+5

18fl~dxo J+x+ 1

19 Ache a area da regiiio delimitada pelos graficosde y = 1/(x2 + 4x + 29), y - 0, x = -2 ex = 3.

20 A regiiin delimitada pelo graficn. dey = 1/(x2 + h + 10), ns eixos coordenados e arela x = 2 gira em lomo do eixo-x. Ache 0 volumedo solido resultanle.

EXEMPLO 1

fX3

Calcular -3-- dx\1?+4

3A substituic;ao II= "x2 + 4 conduz as seguintes equac;6es equi-valentes:

Usando a diferencial de cad a membro da ultima equac;ao,obtemos

......" .; _Sup~tl1Unos .~gora ,como segue: __

. ~.... \: :,.>. ~'-'~':J::'\:;'~:" .~>:~t .::' 2 - ." '.. -.

f ~dx= f-3-X-.xdx

V?+4 ,;/, 1vxr.t4 .

'. 1,-,

'Substitiindo por II a expressao sob a radical, entao

lI=x2+4 au x2=u-4

'T.~e~t~ c~;s~! ~~qemo~ esqreverI J'n; .' " 3. J •• , •• ,." 2 . ',.'.oJ~dx';' f -?--.Xdx

V?+4 \1?+4

fU-4 1 If- -113' - du = - (11113- 4u -113)duII 2 2

= ~(tu SI3- 6u 213) + C = foU 213{U- 10) + C

= ~(X2 + 4)2I3{x2 - 6) + C

Calcular _.f __l- dx" 'VX +?x

Para obter uma substituic;ao que elimine as dais radicais

vx =X1fl e ?x = x1l3, fazemos II = xll., onde n e a minimadenominador comum de ie }. Fazemos assim

LOgo,

dt=6I1sdu, X1fl={U6)lfl=1I3, XI13_(1I6)II3=U2

Page 19: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

1 1 u3

J_e )e dx =J-3--26u 5 du = 6J--1 duvx+vx u +u u+

Se 0 integrando e uma expressao racional em sen x ecas x, entao a substitui<;ao

xu = tg 2: para -Jt < x < Jt

transfonnanlo integrando em uma expressao raeional (algebrica)em 11_Para prova-Io, notemos primeiro que

x 1 1 1cas-=---= =---2 see (x/2) VI + tg 2 (x/2) ~

x x x 1sen-=tg-eos- = u---2 2 2 v'I+U"T

sen x = 2 sen :: cas :: = ~2 2 1+112

2X 2u21_112eos X = 1 - 2 sen -2 = 1 - --2 = --2l+u 1+11

dx=_2_du1+ u2

1 dx4 sen - 3 cas x

1 J 1 2J4senx-3eosxdx= 4( 2u -)_3(I_U2)01+1I2dll

1+112 1+112

=J 2 du8u-3(1-1I2)

= 2f 1 du3112+ 8u - 3

f 1 dx-! J(_3- _1_)dll4 sen x - 3 cas x - 5 3u: 1 - 11+ 3

1= 5" (In 1311- 1 1- In III + 3 I ) ~

=! I 1311

+ 1 I c'. 5n 11+3 +,

= 1. In Ill& (x/2) - 1_\ +5 tg(xl2)+3

o Teorema (906) p'ode ser usado para qualqucr inlcnrlllltioque seja uma expressao racional em sen x e cos x; lollllVIIi,

importante tambem cansiderar substitui<;6cs mais simploN. (;1\/1

forme exemplo a seguiro.o:

Page 20: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Jx x+9dt 2 J x2,f2x+ 1 dt

J _x-dt 4 J 5x dtV:1x + 2 (x+ 3)213

.'1 1 f25 IJ -dt 6 --dt'1 IX +4 o~

7 JIX dt 8 h--1-}dt

I+~ vx+vx

'I J 1 dt 10 l 2<+ 3 dt(x+ 1),fx-2 0..11+ 2x

III '~dt xll3+112J-1I3--dt(x+ 4)113 x -1

I.lJI::\'~d>: e2x

14J--dth+ex

7-<16J sen 2x d>:l. f C_dt

" + 4 ..II +senx

.;. ~'" - ~I cosx 'dx'

1 + sen2 x

I-~dx=I-l_du1 + sen 2 X 1 + U 2

220J_x--dt

(3x + 4)10

21J senx dt22f cosx dtcosx(cosx -1) sen2 x - sen x - 2

23J! dte -1

24J_l_dti' + e-x

25 J 2 seD 2x dtsen x-2senx-8

26J senx dt5 cosx + cos2 x

Exercs. 27-32: Usar 0 Teorema (9.6) para calculara integral.

1 '27J--d>:

2 + senx28 f 1 dx

3+2cosx

29 J 1 dtl+senx+cosx

30 f 1 dttgx+ sen x

31J~dt4 -- 3tgx ~3Js~c'~dx=1n 111+tg~X \ +C

-tg;:x

J 1 (I-COSX\'34 cscxdt=Zln 1+cosx )+C

32 J 1 dt, sen x v'3 cos x

Exercs.33-34: Use 0 Teorema (9.6) para estabelecera formula.

9.7 TAsUAS DE INTEGRAlS

Matematicos e cientistas que utilizam integrais em seu trabalhocostumam recorrer a tabuas de integrais. Muitas formulas con-tidas nessas tabu as podem ser obtidas mediante aplica~oes demetodos ja estudados. Em geral, as tabuas de integrais devemser usadas somente apos adquirir experiencia com os metod ospadroes de integrac;ao. Para integrais cOOlplexas e freqUentemen-te ,necessario fazer substituic;oes ou utilizar frac;oes parciais,integrac;ao por partes, ou outras tecnicas para obter integrandosaos quais se possa aplicar a tabua.

as exeOlplos a seguir ilustram a utilizac;ao de vanasf6rmulas constantes da pequena tabua de integrais do ApendiceIV. Como precauc;ao contra passive is erros no manuseio dastabu as, convem verificar sempre as resultados par diferenciac;ao.

Em primeiro lugar utilizamos a F6rmula de reduc;ao 85 da tabuade integrais, com n = 3 e u = x, obtendo

Em seguida aplicamos a Formula 84 com n = 2, e a Formula 83,obtendo '

Page 21: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

Calcular f 2 _~ dx para x > 0x v3+Sr

o integrando sugere utilizarmos a parte da tabua referente 11forma ~. Especificamente, a Formula 28 afirma que

f tlu ~ CU2~= a2u +

(Nas tiibuas, a diferencial e colocada no numerador, e nao 11 direitado integrando.) Para utilizM esta formula, devemos ajustar a integraldada de modo a faze-Ia coincidir exatamente com a formula. Fazendo

entao a expressao sob 0 radical esta sendo tratada; entretanto,tambem necessitamos de

(ii) du no numerador

Podemos obter (i) escrevendo a integral como

sf 1 dxSx2v'3+5X2

S If 1 JF. V5 Sx 2 ..f3+5X'X v S dx

A ultima integral coincide exatamente com a da Formula 28 e,portanto, .

f 1 dx = V5 [_ Y3 + S~: ] + Cx2Y3+Sx2 3(fu)

=_ Y3+Sx2 +C3x

Conforme 0 exemplo seguinte, pode ser preciso fazer umasubstitui~ao de algum tipo antes de utilizar a tabua para 0 calculode uma integral.

f sen 2xCalcular v3 S dx- cosx

fsen 2x dx _f2 sen x cos x dx

v3 - S cos x - v3 - S cos x

Como nenhuma formula da tabua tem esta forma, tentarernos asubstitui~ao u = cos x. Entao till = -sen x dx e a integral pode screscrita

?f senxcosx dx 2f cosx ( )- -Y:::3=-=S=co=s=x== - -Y:::3=-=S=c=0=s=x-sen x dx

fu du 2

va+bu =3b2(bu-2a)Va+bu

-2f V3~SU dU=-2( ~S )(-SU-6)V3-S11 +C

f sen 2x 4 .V3 _ S cos x dx = 75 (S cos x + 6)V3 - S cos x + C

Estudamos varios metodos de ciilculo de integrais illd·Jlnidas; todavia, os tipos de integrais considerados constlill '111

apenas uma pcquena parcela dos que ocorrem nas aplicll~ 'II,

Seguem-se cxemplos de inlegrais indefinidas para as C[UUlll ()

inlegrando nao pode ser expresso em term os de urn numero fill 10

de fun<;6esalgebricas ou transcendentes:

. f~x2+4X-I dx, f Y3cos2 x+ 1 dx, f e~x' (L~

, I 1 . . .jNo Capllu 0 1estudaremos melodos que envolVCll1SOIIlIlIinfinitas uleis no calculo de tais integra is.

Page 22: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

I •• 0' _ I 1111 Use a tabua de integrais do ApendiceIV 1""" ,"it'"I"r a integral.

IV.I, 'hI.2 f 1 dxlix, x";2 + 3xl

, I(If, ,J.) \/2ax 4 fx1V42-16 dx

I \ v ~\ lix 6 fxlV5 + 2x dx

I_11th h tlx 8 f x cos5 (xl) dx

I ·1 10 f sen 5.1cos 3.1dx\", \ tlr

I I I, ail's n X dx 12 f 2 arctgx dx

I\ I ,f II rica 2x fix 14 fx51nxdx

V~, 7J.,16 f 1 dxI \ fix

xV3x-2x2

I \ 'lie nxdx 2 f sec3 (3.1)dx

J!/xdxI In (I ~x) ,h 4

'II 0

r 1 2 6 fcos4xd~", III 7.r sen 2x dx

r s 8 ftgx sec6 x dxIII \ /I'" xdx

'I r t dx 10 f 1 dx, (,1..,25)3/2 x2V16_x2

r VII_x212f_x-dxII -,L~

x (.12+ 1)2

II r .1"~dt 14f~dt• 1(' _ 1)3 .1+.1

17f+dx 18 f cosxVsen2x-~ dx5.1 - 3

19 fell: arccos ,f dx 20 f sen2 x cos3 x dx

321Jx3V2+xdx 22f~dx

V2-x

23 f sen 2x dx 24f~-dx4+9senx V4+3secx

25 fV9

:2x

dt 26 fVS; - 32 dx

27 f-I-3-dx 128f 3/2 2dx

x{4+ vx) 2x +5.1

30 f cot x dxV4-csc2x

15r3- 21h: - 63.1-198 dx

x - 81

319 f'lx;8 d~

21 fell: sen 3.1dt

23 J sen3x cos3 x dx

25r~d~Y4-2

22 f cos (In x) dx

24 f cot2 3.1 dx

26 f 1 dxxV92+4

129 f 312112 dxx +.1

31 J,f sec,f dx\

33 f .12sen 5.1dx

35 J sen3 x cos1/2x dx

239 f x dx, Y4i+25

43 J x cot x csc x dt

45 f .12(8 - .13)113 dx

47 f..;x sen ..;x dx

3x49 J-e-d~

1+,f

f2-4X+3 d51 ..;x ~

'.13

53fV 2dx

16 -x

55 f 1- 2x dt.12+ 12x+35

61 f V 1 2 dx7+5.<

f2x+1

30 ------wo dx(x + 5)

32 f x tgx2 dx

34 f sen 2x cosx dx

36 f sen 3.1cot 3.1dx

40 J 3.1+2 , dx.12+ 8x +25

42 J sen2 x cos5 x dx

44 J (1+ CSC 2x)2 dx

46 f x (In .1)2 dx

48 Jx V5 - 3.1 dx

352 J cos x dx

vI + senx

54 J--x-2dx25 - 9.1

56 f 7 dx.12_ 6<+ 18

62 f~+ 3 dxx +4

Cap, 9 Tecnicas de integra~iio 617

63 f cot6 x dx 64 f co~ x cscx dx

65 J} Vxl - 25 dx 66 f (sen x)lOcoSX d~

67 f (2 - sech2 4.1)dx 68 f x cosh x dx

71J 3 dxVll-1Ox _.12

f 4.1-12~-10 dx75(x - 2)(.12- 4.1+ 3)

76 f 1 dxx4V16-2

JV9-4? dx79 ---2

f4t3 -IS? - 6<+ 81 dx80 -.---,-------.14 - 18.12 + 81

81 J (5 - cot3x)2 d~//

f_4x_2_-_fu-_'_+_4_dx86 (x2 + 4)(.1 _ 2)

2

87f~dt(25 +x-t

70 J; Vx3 + 1 dx

fl~+7X dx72 ---.14

84f_x-dxcol4x

Page 23: Livro Calculo 1 - swokowski 10º parte

90J--X -dxV4+9i

92 J senx dx(1+cosx)3

2

97J~dx'!2x+ 3

98 J 1 - se"2 dxcalx