Livro Calculo 1 - swokowski 12º parte

7/29/2019 Livro Calculo 1 - swokowski 12 parte

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A PE N O I C E

o metoda de prova conheeido como i ndurriio matematica podeser usado para mostrar que certas afmna~6es au formulas SaD

verdadeiras para todos os nfuneros i nteiros positivos. Por exemplo,

se n e urn numero intciro positivo, dcnotcmos por Po a afirmat;jio

onde x ey SaDn6mcros reais. Assim, PI representa a afirmat;jio

(xy)I_X Iy', P2 denota (xy)2 =rr'P3 e (xy)3 =x3y3 etc. 1 3 faeilmostrar que PI' P

2eP

3sao afirmaljies verdadeiras. Mas, como 0

conjunto de numeros inteiros positivos e infinito, toma-se impassivel .

verificar a validade dePo para todos os numeros inteiros positivos.

A prova de que P o e verdadeira requer 0principio seguinte.

Principia da induyao

matematica

Para compreender rnelhor este principia, consideremos

uma cole~ao de afirma~6es .

que satisfazern as condi~6es (i) e.(ii). Por (i), PI e verdadeira.

Por (ii), sempre que uma afirma~ao Pk e verdadeira, a proxima

afirma~ao Ph 1 tambern e verdadeira. Como PI e verdadeira,

P2

tambern 0e, por (ii). Mas, seP2 e verdadeira, enlao, par (ii),

vemos que tambem a sera a proxima afirrnaao P3

Mais uma


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vez, se P3

e verdadeira, entao P4

tambem a e. Continuando destamaneira; pode-se argiiir que se n e urn inteiro particular, entaoP

ne verdadeira, pais podemos usar a condi


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I \1111/ 0 do prlncipio daImlll 10lIlatematica para

I 'A , k J

Mostramos que Pi; 1 e verdadeira, e assim a prova par indu


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21 4 e urn fator de 5" - l.

22 9 e urnfator de 10" + 1 + 3 . 10" + 5.

31 Prove que se a e urn inteiro real maior doque 1,enlao d' >1para todo i nteiro positivo fl.

32 Prove que

a +ar +ar2 + +ar" -I=aO - -.C 2... 1-r

para IOdointeiro positivo fI e lodos os reais a er comr" 1.

Exercs. 23-30: Ache0menor inteiro positivoj para0

qual aafirmaaoe verdadeirn.Useaextensaodoprincipioda indu,.ao matematica para provar que a f6rmula Cverdadeirnparatodo inteiro maior doquej.

33 Prove que a - b e urn fator de d' - boo para todointeiro positivo fl.

(SlIgestiio:

ak+ 1 _ bk+ l =ak(a- b) + (ak _ bk)b.)

34 Prove que a + b e urn fator dea 2n-1 + b2" - I para

todo inteiro positivofl.

Ste apendice contern as demonstra 6es de alguns teoremas

'- enunciados no texto. 0sistema de numera ao corresponde ao"90S capitulos previos.

Podemos admitir que L1

~~~

, I :

II

~~rw it

..~l'~

I

DEMONSTRACfAo

limx

_ a g(x) =M.

(i) De acordo coin a Defini ao (2.4), devemos mostrar qll',

para todo E> 0, existe urn /)>0 tal que

(1) Se 0


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Em particular, eles podem lomar-se menores do que E/2.. Assim, existem 1\1>0 e 1\2>0 tais que

Se 0 0 lal que

(11) Se 0< ~l"- al


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.' i-'! : .. j .l'-: I"t.. ,.~.o'" ., .. ,: .. ' . "'.i.'.:':'. " . . .... Sea"> 0 e ,,etim mteiro positivo, ou se a ;,;0 en e urn .

intii:~pq~itiY ~,1 ,w p ar; eiltiib;::>'

Sejarn a >0 e IIurn inteiro positivo. Devernos rnostrar que, paratodo E >0, existe urn Ii > 0 tal que

3Basta provar (1) se E < va , porque, se existe Ii sob esta condi"ao,entao 0rnesrno Ii pode ser usado para qualquer valor maior que

E. Assim, no restante da prova, '!fa - 10e considserado urn numeropositivo menor do que E. Sao equivalentes as desigualdadesabaixo:

(':fa - E)" < X < ('!fa + E)"

("va - E)" - a


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(~

~.I I

J (g(x J ( b)

Se c '" 0, qualqu'er N>0 serve. Se c 0, as quatro desigUa;d~d~~seguintes saG equivalentes para x > 0: ' :f'

. Ilk

\ } - O I ~!'lxlk>~, x > ( ~ )A Ultima desigualdade nos da uma chave para a escolha de N.

Fazendo N =(I C I/E ) IIk, vemos que, sempre que x >N, ~qua~ta(e, assim, a primeira) desigu2ldade e verdadeira, que e 0 'q i lbqueriamos mostrar. Demonstra-se de maneira analoga a segunda

parte do teorema.

A fun!


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. ':~~i~1 A t? ; ;y ~,~ ~~~} .~~tS ~~;~~ 4 ~~J a '~~ ~.eY ; ;~~;.. . .entao afunt;aocompostadefinida por y =j(g(x)) tern'

;i~~k~~t~~~i1:(~\f{~~~x,!;~~~[0;;\f;::DEMONST RAC; A o

Se y ~ f(x) e 6x- 0, entao a diferen~a enIre a derivada f(x) e arazao l1y/6x e pequena numericamenle. Como esta diferen~adepende do tamanho de 6x, represenla-Ia-emos pela notat;ao

1'](6x). Assim, para cada 6x0,

1'](6x) =~ +f'(x)

Note que 11(6x) niio represenla 0produtolte 1']e 6x, mas afirma

que 1'] If uma fum;iio de6x, cujos valores sao dados por (1). AJemdisso, aplicando (3,27), vemos que .

Jim 1'](6x) =J im (~- f ( X ) ~ 0""-0 ",,-0 LM

A fun~ao 1'] foi definida apenas para valores de 6x diferentes de

zero, Convem estender a defini~ao de 11 de modo a incluir

, 6x =0, fazendo 1'](0) ~O.Segue-se enlao de (2) que 11 If COli t1I uaemO.

Multiplicando ambos os membros de (1) por 6x e redis-

pondo os lermos, oblemos

o que e verdade, quer 6x 0, quer 6x~0. Comof'(x) =6x ~ dy, segue-se de (3) que

Consideremos agora a situa~ao mencionada na hip6tese do

teorema,

y =f(~) =f(g(x

isto e, y e uma i:un~ao de x. Se dermos a x urn incremento 6x,haven! um incremenlo l1u de u e, por sua vez, urn incremento

l1y de y ~ f(u). Assim,

"fi~~rI

~I, ~~., ,{~

~;;

: I iI

~I':~&'

Iif~i~'

I'I~.~."'~_"'i

.~{;

:I ~r.li~i~

'c,~

l1u ~ g(x +6x) -g(x)

l1y =feu +l1u) - feu)

Como dy/du existe, podemos ulilizar (3) com u como variaveJiildependente, para escrever

para uma fun~ao 1'] de l1u tal que, por (2},

(6) linl 11(l1u)=0AII-O

AJ em disso, T] e continua em l1u ~ 0 e (5) e verdadeira sel1u =O. Dividindo ambos os membros de (5) por I1x, obtemos

I1v l1u l1u~ ~ f'(x) 6x +T](l1u) . 6x

Tomando agora 0 limile quando 6x lende para zero e considc-

rando que

E 2 '- du, du=f(u) dx + lun T](l1u)' dx

dx ",,-0

Como feu) =dy/du, podemos complelar a prova mostrando queo limite indicado na ultima equa~ao eO. Para tanto, observemos

que, como g e diferenciavel, e continua e enlao

linl [g(x +Ilx) - g(x)] ~ 0",,-0

Em outras palavras, l1u tende para 0 quando 6x lende para O.Considerando este fate, juntamenle com (6), obtemos

lim T](l1u) =Jim 1'](l1u)=0",,-0 hu-O

e 0 leorema esta demonslrado. Pode-se eSlabelccer ql l

linl' 1'](l1u)=0 tambem por meio de urn argumenlo do lipl)-0

E - / ) ulilizando (2.4).


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DEMONSTRA9AO

Se c ~0, 0~esuItado decorre do Teorema (5.21). Suponhamos:

portanto, c O. Como! e integnlvel,!. f(x) dx -1para algum

numero 1. Se P e umaparti


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Denotemos uma partic;ao de [a, c] por PI' de [c, b] por P2

e de

[a, b] por P. Denotaremos por Rp, RIo e R , somas de Riemann, , p

arbitrarias associ adas a PI ' P 2 e P , respectivamente. Devernos

mostrar que para lodo 10 > 0 existe urn Ii> 0 tal que se

I I P I I < iiientao I Rp - (I, +12) 1x" podemos escrever

d- I

(3) R p

=2 : f(w,) t>x, +f(w) t>xd + 2 : few,) t>x",-I k- d+1

Denotemos por PI a partic;ao de [a, c] ,determinada por

{a,xl' .:.,Xd_1,C}, por P2 a partic;ao de [c,b] determinada par

{c, xd' .. " xn_l' b}, e consideremos as somas de Riemann

dOl

Rp1 - 2 : f(Wk) 6.xk+ f(c )(c -X'_I)k-I

Rpz =f(C)(Xd - c) + 2 : f(w,) Akk- d+1

I (Rp +Rp) - (II +12

) I =I (RI' - II) + (Rp - I) II ~ I 2

r . J ;, I.~,~~

W '

I~ltW:'J,~'

'I, f~,

~l

, ' I ., ~~.

' l d ',~,~.,;l~

:~(

'1 ' \, 1 . { \ 'J$~ .~~.

,I~~~.~.'i~,j.~~~!

'I:~i'- . 1 1 ;

". , J f. . " , fti" :, .l~

10 10 10


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Segue-se que Rp

aoJ f(b}

;~,~I. I.

f (a) Y o

As setas de um eixo para 0 outro representarn valores

funcionais. Para provar (l),consideremos urn intervalo arbilrario

(X o - E , X o +E) para E >O. Basta achar urn intervalo

(yo- 5,Yo +5), do tipo esbo~ado na Figura 6, tal que, quando

y esta em (yo- 5, Yo: 5), f-I(y) esla em (xo - E, Xo +E). Podemos

admitir que Xo - E eXu +E estejam em [a , b]. Conforme a Figura

7, sejam 51 =Yo - I( xo - E)e 52 =f(xo H) - Yo' Como I defineuma correspondencia um-a-um entre os numeros nos inte;rvalos

(xo - E; x~ + E) e (yo- fll' Yo + 52)' os valores funcionais de I-I

. que correspondem a numeros em (yo- 51'Yo+52) deven! estar

em (xo - E; Xo +E). Denolemos por 5 0 menor dos numeros

51 e 52' Segue-se que, se y esta ern (yo- 5, Yo+5), entao f- I (y)

esta e~ (xo - E, Xo+ E), que e 0 que queriamos provar.

A continuidade nos pontos exlremos I(a) e I(b) do dominiodef"l pode ser provada de maneira analoga, utilizando-se limiteslaterais.


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Comecemos escolhendo G(x, y) tal que aG/ax =F. Aplicando 0

teorema de Green (18.19) com G =N, obtemos

(1) IIF(x,y) dxdy = I I :x [G(x,y)] dx dy = P G(x, y) dyR R C

Por nossas hipoteses sobre a lransformaao, as equa6es para-

metricas para a curva C no plano - I.y sao

x =f(u, v) =f(


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9 0,157 0,156 0,158 6,314 0,988 1,414 81 0,733 ' 0,669 0,900 1,111 0,743 0,838 480,750 0,682 0,933 1,072 0,731 0,820 4710 0,175 0,174 0,176 5,671 0,985 1,396 80 0,768 0,695 0,966 1,036 0,719 0,803 4611 0,192 0,191 0,194 5,145 0,982 1,379 79

12 0,209 0,208 0,213 4,705 0,978 1,361 78 45 0,785 0,707 1,000 1,000 0,707 0,785 4513 0,227 0,225 0,231 4,331 0,974 1,344 7714 0,244 0,242 0,249 4,011 0,970 1,326 76

~;\~11~(\{~{9.,~~t1~1!~~~t15 - 0,262 0,259 0,268 3,732 0;966 1,309 75

Tab u a B ,Func;6es Exponencials16 0,279 0,276 0,287 3,487 0,961 1,292 7417 , 0,297 0,292 0,306 3,271 ,0,956 1,274

7318 0,314 0,309 0,325 3,078 0,951 1,257 7219 0,332 0,326 0,344 2,904 0,946 1,239 71 0,00 1,0000 1,0000 2,50 12,182 0,0821

0,05 1,0513 0,9512 2,60 13,464 0,074320 0,349 0,342 0,364 2,747 0,940 1,222 70 0,10 1,1052 0,9048 2,70 14,880 0,067221 0,367 0,358 0,384 2,605 0,934 1,204 69 0,15 1,1618 - 0,8607 2,80 16,445 0,060822 0,384 0,375 0,404 2,475 0,927 1,187 68 0,20 1,2214 0,8187 2,90 18,174 0,055023 0,401 0,391 0,424 2,356 0,921 1,169 6724 0,419 0,407 0,445 2,246 0,914 1,152 66 0,25 ' 1,2840 0,7788 3,00 20,086 0,0498

0,30 1,3499 0,7408 3,10 22,198 0,045025 0,436 0,423 0,466 2,144 0,906 1,134 65 0,35 1,4191 0,7047 3,20 24,533 0,040826 0,454 0,438 0,488 2,050 0,899 1,117 64 0,40 1,4918 0,6703 3,30 27,113 0,036927 0,471 0,454 0,510 1,963 0,891 1,100 63 0,45 1,5683 0,6376 3,40 29,964 0,033428 0,489 0,469 0,532 1,881 0,883 1,082 6229 0,506 0,485 0,554 1,804 0,875 1,065 61 0,50 1,6487 0,6065 3,50 33,115 0,0302

0,55 1,7333 0,5769 3,60 36,598 0,027330 0,524 0,500 0,577 1,732 0,866 1,047 60 0,60 1,8221 0,5488 3,70 40,447 0,024731 0,541 0,515 0,601 1,664 0,857 1,030 59 0,65 1,9155 0,5220 3,80 44,701 0,022432 0,559 0,530 0,625 1,600 0,848 1,012 58 0,70 2,0138 0,49663,90 49,402 0,020233 0,576 0,545 0,649 1,540 0,839 0,995 57

34 0,593 0,559 0,675 1,483 0,829 0,977 56 0,75 2,1170 0,4724 4,00 54,598 0,01830,80 2,2255 0,4493 4,10 60,340 0,016635 0,611 0,574 0,700 1,428 0,819 0,960 55 0,85 2,3396 0,4274 4,20 66,686 0,015036 0,628 0,588 0,727 1,376 0,809 0,942 54 0,90 2,4596 0,4066 4,30 73,700 0,013637 0,646 0,602 0,754 1,327 0,799 0,925 53 0,95 2,5857 0,3867 4,40 81,451 0,012338 0,663 0,616 0,781 1,280 0,788 0,908 52

39 0,681 0,629 0,810 1,235 0,777 0,890 51 1,00 2,7183 0,3679 4,50 90,017 0,01111,10 3,0042 0,3329 4,60 99,484 0,010140 0,698 0,643 0,839 1,192 0,766 0,873 50 1,20 3,3201 0,3012 4,70 109,95 0,009141 0,716 0,656 0,869 1,150 0,755 0,855 49 1,30 3,6693 0,2725 4,80 121,51 0,0082


14/45

1,40 4,0552 0,2466 4,90 134,29 0,0074

1,50 4,4817 0,2231 5,00 148,41 0,0067

1,60 4,9530 0,2019 6,00 403,43 0,00251,70 5,4739 0,1827 7,00 1096,6 0,0009

1,80 6,0496 0,1653 8,00 2981,0 0,00~31,90 6,6859 0,1496 9,00 8103,1 0,0001

2,00 7,3891 0,1353 10,00 22026,0 0,00005

2,10 8,1662 0,1225

2,20 9,0250 0,1108

2,30 9,9742 0,1003

2,40 11,0232 0,0907

Tabua C Logaritmos Naturais

- ;',

:'~,iJ(o ,~;KF(j,~ ?_0,'5'~-';-".-:.:-,"

i C O ,7 ;_"l

n:)_ :' 0,0 ' ' ,O;,L;~, ;,O ,~, ;, ;0,8 :,0,9';'O' 7,697 8,391 8,796 9,084 9,307 9,489 9,643 9,777 9,8951 0,000 0,095 0,182 0,262 0,336 0,405 0,470 0,531 0,588 0,6422 0,693 0,742 0,788 0,833 0,875 0,916 0,956 0,993 1,030 1,0653 1,099 1,131 1,163 1,194 1,224 1,253 1,281 1,308 1,335 1,3614 1,386 1,411 1,435 1,459 1,482 1,504 1,526 1,548 1,569 1,589

5 1,609 1,629 1,649 1,668 1,686 1,705 1,723 1,740 1,758 1,7756 1,792 1,808 1,825 1,841 1,856 1,872 1,887 1,902 1,917 1,9327 1,946 1,960 1,974 1,988 2,001 2,015 2,028 2,041 2,054 2,0678 2,079 2,092 2,104 2,116 2,128 2,140 2,152 2,163 2,175 2,1869 2,197 2,208 2,219 2,230 2,241 2,251 2,262 2,272 2,282 2,293

10 2,303 2,313 2,322 2,332 2,342 2,351 2,361 2,370 2,380 2,389

2'J "d 11'+1II II ";:;:r I +C,

Apendice 679

3 J dll-=Inlul+c 13 J cot II dll = In Isen II I+CII

4 J eudu=eu+C 14 J see II dll = In I see 11+tg u I +C

5 J u 1 u 15 J ese II dll - In I cse II - cot u I+Ca du=-a +Clna

6 Jsen u du=-CDS U+C 16 J du IIU7=arcsen - +C... .. -#. a - u a

7 J CDS Udu =senII +C 17 f dll 1 u22= - aretg - +Ca +u a a

8 Jsee2

udll= tgu +C18

J du 1 u~ =-aresee- +Cuu- a a

9 J ese2

II du =- cot II +C 19 J du 1 III +al----In -- +Ca2_1/2a U-a

10 Jsee u tg IIdu = see II +C 20 Jb=Jnlll+~I+CII -a

Formas que envolvem .. . r ; ; r ; - ; ; z

----""': . .;: :: - " . - , ---------------.

J 2_rr--T U 2 2.rr--T a4 _rr--T

22 u va- +II' dll = '8 (a +2u ) va- +II' - gln I u +Ya- +Ir 1+C

J U+i7 _rr-T I a + ~ 123 ---dll=Ya-+II- -aln ---- +Cu ' IIJ

v; ; r : ; : ; ; r ~ . r-r----T24 --2-dll=----+lnlll+va-+II-I+C

u II

25 r~=lnlll+~I+CVa- + u-

27 J du =-lln I ~ + a I + CII~ a II

28 Jdu ~

----+CII~ a2u


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2III I";J -::--;1"du~~~ +Iarcsen~+C

2 u 2 2 a4 uJ II ..(;17 du ~"8( Zu - a )~ +S arcsen -;;-+C

J;T:7d .rr-T in l a + ~ I C-- u=va--u--a ---- +u u

Iq::-;;r 1.r-r--r u

du=- - va- - u- - arcsen- +C,, 2 u a

,, 2 du u i uf---=- - VQl"7 +- arcsen- +Cvr-;;z 2 2 a

I-d,-, -=-.!Io

l a + ~ I+C

llU7 a u

I du 1.rr-T2.rr-T-?va--u- +CII va- - u- tru

2

.\'/ IU7du=~U7-IlollI +q::;rI+C

? U? 2 a4.rr-T'W I"-~ dll="8(2u--a )YrT:"7 -SIn II I+Vlr-a-I+C

I~rr-T aI II --- dll =V u- - iF - aarccos - +CII U

I~ ~.rr-T

--2-dll~----+lnlu+ VU-iF I+Cu u

Ii dll 1I.r7--r i .rr-T

.r-r--T= - Vir-iF +-2 in Iu+vu--a-I +Cvlr-a- 2

Iudu 1

--b- =-2(a+bu- aln la + buI) + Ca+ u b

u2

du 1 2 2I--=-3[(a+bll) -4a(a+bu)+2a inl a+bull+C

a+bu 2b ,

I~=.!lnl-u I + cu(a+bu) a a+bllI~=-1...+.!!..ln la+bu I +C

II (a+bu) all'; u

I udu a 1--- =---'-+2 In Ia+ bu I+C(a+bu)2 b2(a+bll) b

I dll I' 11Ia+bu/ ClI(a+bll)2=a(a+bll) -; n -u- +

I"2

dU 1 ( i I )---2=-3 a+bu---b

--2aIn!a+bll +C(a+bll) b a+u .,

I.~ 2 30-uva+budu=--2(3bll-2a)(a+bll) +C15b

Iudu 2 .~

55 ..; b '=2(bu-2a)va+bll +Ca + u 3b

u2

du 2 2 2 2f.~ =--3 (8a +3b II - 4abll)Vci+iiii +Cva+bu 15b

I~ = . . . !. . In I v a + F iU - v a I + C se a >0IJ ' I a +7 iU va v a + bll +va '=~arctgya+l +C, se a


16/45

7S ItgDUdu=_I_tg"-III-ItgO-2UdU1l-1

I co!" udu - ~ cot" - 1II ~I co!" - 2u du .--.2.-- - ' r}.'~!'1'1 Il-l ~'I

I ri 1 "-2 n-2I0-2

sec udu- Il_1 tg usee u +; ;-= ]" sec u du

Formas trigonometricas

63 I sen2

udu - ~u- ~sen 2u +C

6S Itg2

udu - tg u- u +C

66 Icot2udu--cotll-II.+C

67 I sen3

udu- -1(2 + sen2 u) eos u + C

68 I cos3

udu=1(2 +cos2u) sen II +C

69 I Ig3

udu=~tl u +In Icos u I+C

70 I cot3

udu - - icot2 u - In Isen u I+C

71 I sec3

udu- t sec u tg u + ~ In Isec u + tg u I+ C

72 I csc3

udu - - icsc u cot u +~In Icsc u - cot u I+C

73 fsenD udu__ !senD - 1u eos u +n - 1 IsenD - 2u duIl n

I-\~ 1" -1 Il-l -274 cos udu=- cos u sen u +-- Icosn u duIl n

I csc" udu= -11 cot u csc" - 2 u +n - 2 Iesc" - 2 u dun- n- l

I -sen (a -l!E sen (a +b)usenllllsenbudu_ 2(a-b) - 2(a+b) +C

I_sen(a-b)u sen(a+b)u

cosaucosbudu_ 2(a-b) + 2(a+b) +C

I sen mICOS budu = _~a_-~)u CO;(~ll++~)U+C

Iu sen udu - sen u - II eos u +C

I ucas I I du- cos u +u sen II +C

'7

'L ./ :;Y .'\ /~)I

0

}\/,-V

'\(]

~1'w ''';,

I i

IIf. f

.~

II

I~;

Iit

.~.,~'tti'4{7

!fl~~'j

} ~ 'ti'"- i:~

~.~~

In s e n D - 1 u co s m + 1 u n - 1 n _ 2 In

IsenD u cas u du = - -- ------ +-- Isen u cos II du

n+m n+m

D+I m-I 1sen u cos u +!!!.:::..- Isen" u cosm.- 2 Udll

n+m n+m

Formas lrigonomelricas inversas

87" Iarcsen uau- u arcsen u +~ +C

88 Iarcasu du- u arccosu -~ + C

89. 2

Iarctg udu=II arclg u - iIn (1 + u ) + C

. 2i-l u~90 I arcsen uau- --4-u arcsen u + --4--+ C

2u2_1 u~91 I u arccos udu=--4-arccos II- --4--+ C

'-.

i+1 u92 fu arctgII du - -2-arclgu -2+ c

93 1 ["+1 Ir1dU] n;


17/45

1 .J- - du -InI i n u 1 +cu In II .

10,1 J scnh udu - cosh u +C

Ill " Jcosh udu = senh u +C

IO S f1gh udu = In cosh u +C

IUI, f colh u du = InIsenh III+C

W7 f ~ch udu- arclgh senh u +C

IIlIl f csch u du= In11gb ~III+C

W'/ fSCCh2

udu =Ighu +C

1111 fCSCh2 udu =- coth u +C

III Jscch u Ighudu- -sech u +C

I I J csch u coth u du = - csch u+C

u - a a2

(a _U )J ";2nu- u2 du - -2-"200 - ,,1+"2 arccos -a- +C

Z,,z- au- 3; . a3 (a - u )J ,,";Zau- u2 dll = 6 "21111 - ., l "2 arccos -a- +C

J ";21111 - , , 1 _ r;::----r (a-u)--,-, - du=vZall-rr ~aarccos -a- +C

J ";2nu-u2

d 2~ (a-u) C--- II- - arccos -- +

,/ u a

J d1l ( a - " )---- =arccos -- +C";21111 - u2 a

J II d1l _ r;:;---r (a-u).r.:---r =- v2nu - u- +a arccos -- +CVZI UI - u- a

2 . 2

J II d1l (II +3al.r;:;---r 3a (a- II ).r.:---r =- v 2nu - 1/- +- arccos -- +CV2n1l-U- 2 2 a

J dll ~1/ {2lUl _ u2 =- lUl +C


18/45

RESPOSTAS DOS

EXERCICIOS DE

NUMEROIMPAR

MAKRON

Books

(d) T odos pOnlOsdos quadrantes I e ill.

(e) T odos os ponlos abaixo do eixo-x.

(I) Todos os ponlos inleriores ao relangulo-2s xs 2e-ls ys 1.

Nao sao dadasasrespostasdeexercfeios que exigemdemoilstrac;iiesloogas.

41 (a) V29 (b)( s , - ~ )

43 d(A, C)2- d(A, B/ +d(B, C)2;area =28

EXERCiclOS 1.1

(a) -IS 45 471 (b)-3 (e) 11y

3 (a) 4 - I t (b) 4-1t (e) 1,5-V2

5 -x-3 7 2-x 9 _,~5 3

x x11 _2.,1

13 -2V2 151 !.v'4f2 4 4 4

17 (12,00) 19 [9,19) 21 (-2,3)

23 (- 00,-2) U (4, 00) 25 ( - 00,- % ] U [1,00)49 51

27 (~'~) 29 (- 00,-1) U (2,t]y y

31 (-3,01; -2,99) 33 (- 00,-2,001) U [-1,999; 00) x

35 (-~'-t) 37 [ ~'~] x39 (a) A paraJ elaaoeixo-y que intereepla 0 eixo-x

;' em (-2,0).(b) A paralela ao eixo-x que inlereepta 0eixo-y

em (0, 3).

(e) Todos os ponlos sobre 0 eixo-y e 11 direitadele.


19/45

53 55

Y Y

57 (x - 2)2+(y +3)2=25

59 (x +4)2 +(y - 4)2 =16

61 4x +y = 17 63 3x - 4y=12

65 Sx- 2y=18 67Sx - 7y- -IS

73x-0,4I; y-O,J S

. Ult 3 It 375 (a) 1em (b)Capsula: %em ; lablete: "8 em

77 4" P < 6 79 0" v < 30

1(b) 273 (e) I63,S'C

1 -12; -22; -36

3 (a) Sa - 2

(d) Sa +Sh - 2 (e) Sa +S/z - 4 (0 S

5 (a) a2

- a +3 (b) a2 +a +3

(e) _a2

+a - 3 (d) a2+2ah +I? - a - h +3

9[~'4)U(4,00)

U (a) Impar (b) Par (e) Nem par oem impar

17 19

Y Y

y29

(a) y (b) y

~0-0

.-0X 0-00-0

0-00-0 . .

0-0X 0-0 X0-0 0-0

0-0 e-o0-0 0-0

0-0 0-0

Y

(c) y , (d) y0-0

0-0

0-0

X 0-00-0

~X X

0-0

0-0

v31 (a) 2vx +S;0;x +S;1 (b) [-S, 00); (-S, 00)

2 233 (a) 3x + 6x ; - x + I4x ;

(x- 4)(x + S) (x- 4)(u S)

2x2 .2x+IO

(x-4)(x+S)' ~

(b) Todos as reais exeeto -S e 4; lodos as "Id'iexeelo -S, 0 e 4.

35 (a)x+2-3Vx+2"; [-2,00)

(b)Yx2

- 3x+ 2; (- 00,1)U [2,00)

37 (a) Y ..;x:;s - 2; [-1,00)

(b)Yvx-2 +S; [-2,00)


20/45

\1/ (n v S-=X ; [3,28] (b)YV 25-x2-3; [-4,4]

,II (n) ..L.; lodos as reais exceto _3 e 0x,.3

(lo) l~;'''; lados as reais exceto - ~ e 0

.':XI'ITS, 43-50: As resposlas nao sao unicas.

"-1\ II - 2 + 3x, y ~u1/3 45 u =x - 3 Y ~1-.../' ' 4

u

I'~2 S',~ u-2

- II-X -2x +5, y-u 421u=vx+4,y=--'--' 'u+2

~1(n)y ..fi1+2h; (b) 1.280,6 mi

') f - V~O,400+x2

bh1.1 (II)Y - Il-b

(II) V~_ l t3h(a2 +ab+b2) (c) 200 m

7lt

1 (n) 5 2 (,

(b) 2lt

3(c) 5lt (d)_~

2 3

s ,OJ( Y

1':xI'l'('S.9-16: As respostas estao na ordern seD,cas,Ig, \.'01, see, csc.

') :1 i, l , i,2-, 2-554 343

.11 ~ IZ 5 12 13 131:1' 13' 12' 5' 12' 5

J ,1 3 4 5 55 ' 5 ' - 4 ' - 3 ' 4 ' - ' 3

"I 272 &&JIT'-&'"2.'7'-2'7

17 (8) cot a =v I seD2a,... sen a

(b) sec a = 1;/1 -sea2 a

(b) a"sec2a -1

sen ~seca

21 4 cas a 23 seDa 25 seDa

27 (8) V3 (b) V22 2

V3(b)-V329 (a)-3'

31 (0)-22

(b)V3

'. It41 u=x-4, y=secu

43 I(x +h) - I(x) =cos(...h) - cas xh ,.

cosx cosh -' sen x sen h .:.cas x

h

cosxcosh-cosx senxscnh

h h

=cosx(COS~ - 1) _senx (se~11)

Exercs. 45-54: Diio-se verifica~6es lipicas.

45 (1- seD2t)(l +Ig2t)) =(cos2t)(sec2 1 )

=(cos2 l)(lIcos2 I)) =1

2 2 247 ~ =csc 8 ~ lIsen a _

1+1l8 scc28 1/cola-

cos2

a (C.OSH) 2a=seD28 ~ ;-;;e ~cot

41+cscll . 1 cscll

9 - colli = -- + - COllisec II sec II sec II

=cas II +cas II - colli =cas IIsen II

51 seD3u "scD(211+II)=seD211cas II +cos2u seDII

=(2seDUCDSu)cos II+(1 - 2 . ,eD2 u)seDII

. ~2 seDu.cos2U +seDII - 2 se~3 II

. I.

=2 seDII(1- seD2u) +sen II - 2 sen3 II I

=2 seDU - 2 seD3u +sen u - 2 sen3 II

3 seDU - 4 sen3II =sen u(3 - 4seD3u)

2 2

53 cos4 % = ( c o l i ) = C +~os8)

1+2cos8+cos2a

4

=1 +1 cas a +1 (1 +cas 28 )4 2 4 2

1 1 1 1= 4 +2 CDS8+" 8 +" 8 cos 2a

.1+1 cos a +Icos 288 2 8

I t lIlt .55 12 +1lJl ,12+Itll, onde 11denola urn inteiro.

59 ~, 51t4 4

63 0, It 65214'20',325'40'

67 70'20', 25 0'ZO '

69 153'40',206'20'

71 - 07, 0,4

CAPITULO 2

EXERciclOS 2,1

NE denola "Nao Existen,

1 -7 34 57 71t 9 -3

112 134 15 1 17 32 192x2 9

21 12 23 NE 25 (a) -1 (b) 1 (e) NE

27 (8) NE (b)-6 (e) NE

29 (a) NE (b)NE (e) NE

31 (~) 3 (b) 1 (e) NE (d) 2 (e) 2 (I) 2

33 (0) 1 (b) 1 (e) 1 (d) 3 (e) 3 (I) 3

35 (a) 1 (b) 0 (e) NE (d) 1 (e) 0 (I) NE

37 (a) NE (b)NE (c) NE (d)NE

(e) 0 (I) NE


21/45

39(a)-l

(d)NE

(c) -1

(0 NE

(a) 0 (b) 3 (c) NE

{

0,1 5X47 (a) T(x) c O,2Ox _ 1000

(b) $3:000; $3.000

sex" 20.000sex> 20.000

49 (a) 2g's, a forc;a-g na deeolagem.

(b) Limite a esquerda de 8-a forc;a-g imediata-mente antes do Janc;amentodo segundo fo-guete; limite a direita de I-a forc;a-gimediatamente ap6s 0lanc;amentodosegun-do foguete.

(c) Limite a esquerda de 3-a forc;a-gimediata-mente antes de os rnotores serem cortados;limite a direita deo-a forc;ag irnedialarnenteap6s os rnotores serem cortados.

Exercs. 51-56: Uma ealculadora nao podeprovarresultados. Pode apenas sugerir que certos lirnitesexistem.

57 (a) Valores aproximados: 1,000, 1,0000, 1,0000;-1,2802,0,6290, -0,8913.

existe urnIi >0que se 0 < I I-c I < Ii,en-tao I V (I) -KI < E.

(b) limv(1) =K signifiea que para todo E >0I-C

existe urnIi >0 tal quese1esta no intervalo

aberto (c -Ii, c + Ii)e 1 '" c, enlao \/(1) estanointervalo aberto (K - E,K + E).

3 (a) J i mg(x) =C signifiea que para todo E>0,x-p-

existe urn Ii >0 tal que sep -Ii < x < p,entao Ig(x) - C I < E.

(b) limg(x) =C signifiea que para todo E>0,x-p- .

existe urn 1)>0 tal que sex estano intervalo

aberto (p - 1),p), entao g(x) esta no intervaloaberto (C - E,C +E).

5 (a) lim f(z) =N signifiea que para todo E>0z-f

exisle urn 1)> 0 tal que se I< z < 1.+ Ii,entao I f(z) - NI < E.

(b) Jimf(z) =N signifiea que para todo E>0,I-'+

existe urn1) >0 tal quesez esta noi ntervalo

aberto (t, 1+ 1), entao j(z) esta no intervaloaberto (N- E,N + E).

7 0,005 (9) v' i6 ,i" - 4

11 1(3,9)2- 161=0,79

13"Dado E arbitrario, escolher 1)" ~!5.

15 Dado E arbitrario, escolher 1)" E /2.

17 Dado E arbitrario, eseolher 1)~ E/9.

19 Dado Earbitrario, escolher 1)" 2E.

21 Dado E arbitrario, seja 1)urn numero positivoarbilrario.

23 Dado E arbitrario, seja 1)urn numero positivoarbitrario.

31 Todo intervaJo (3-1), 3 + 1) contern numeros

para os quais 0 quociente e igual ale outrosnumcros para os quais 0quocienle e igual a -1.

33 Todo intervalo (-I -Ii, -1 +1) eontem numeros

para os quais 0quociente e igual a 3, e outrosnumeros para os quais 0quoeiente e igual a -3.

35 Podemos fazer l/.t2 taogrande quanto quisermos,

_" escolhendo x suficientemente pr6ximo de O..- . . .. .

37 Podemos fazer lI(x + 5) arbitrariamenle grande(positiva ou negativamente) escolhendo x sufi-cientemente pr6ximo de-5. '

39 Ha mnitos exempJos; urn deJese

f(x) = (x2

- l)/(x - I) se x '" I e f(l) = 3.41 Todo intervalo (a -Ii, a + 1) conternnumeros lais

que f(x) =0 e outros numeros taisque f(x) = 1.

\115 3 -2 58, 2

9815

110 13-13 155/2 - 20

17 n:-3,1416 19 -23 21'-7

23 NE 25 _1 27 _1 2928 4

31 72 33 -2 35 -2 37_1 39 17 8 5

/'

47141 -810 43 3 45 18

49 (a) 0 (b)NE (c) NE

51 (a) 0 (b)0 (c) 0

53 (_1)"-1; (-1)"

65 SlIgesliio: Fac;ag(x) - ci.

67 Porque 0Teorema (2.8) s6 e aplicavel qU


22/45

j I (II) V(t) ~ 50+51;A(I) =0.51

(to) e(l) ~ 1/(101+ 100)

(e) e(l) lende para 0,1

1L l 11,11 f(x) ~ 19- .M=f(-2)

, -2 v2

.17See >0, limf(x)=-\~f(e) 39{X:X"-I,~}x-c c

41 [ ~,o o )45 {x: X " -9}47 {x:x=O, I}

5~{x: u ~+ ~n }55e=~w-l

59 f(O) =- 9 100. Como f econtinua em [0, 10], existe ao menos urn numero

a em [0, 10] tal quef(a) ~ 100.

61 g(35)-9,79745 < 9,8eg(40)-9,80180 >9,8.

Como g e continua em [35", 40], existe aomenos

uma latitude e entre 35" e 40 tal que g(8) =9,8.

113 3 -4-V14 5 I 7 328 3

900 113 13 -1 15 4a3 17.!3

19 ~ 210 23-00 25 - 002

27 (a) 6 (b) 4 (c) NE

1(a) 11 (b) -1 (e) NE

41 [-3, -2) U (-2, 2)'U (2,3]

43 linJf(x) =7 =f(8)x~8

1 (a) lOa - 4

3 (a) 3az

(b) y =16x- 20

(b)y= 12x-16

5 (a) 3 (b)y = 3x+2

17 (a) 'l;{;; (e)

(b)y=.!x+ 14

19(a) 2

a

1(b)y=- 4x +1

13 In emls (a) 11,8; 11,4; 11,04 (b) 11

15 In m/s (a) - 32 (b) - 32 v'IO

30021 (a)pv=--z

1)

(a) -1

(b) - 0,9703; - 0,9713


23/45

1 (3) -IQx+8 (b)1R

(e)y=18x+7 (d) (i 26)5' 5

3 (3) 3i+ 1 (b)1R

(e) y c4x- 2 (d) Nenhum

5 (a) 9 (b)1R

(e) y = 9x- 2 (d) Nenhum

7 (a) 0 (b)1R

(e) y = 37 (d) Nenhum

9 (3)-3

(b) (-


24/45

II , 3 5 ese >{1- v col v)

7 6cos6-sen6

.02

IIfillII'

15 -cse x(1 + 2 COl2x)(I II o . ,)1

If \ I.' I\ 'se3x + eolx- esex eOL2x

'II\21 see

2x +x

2see2x - 2x 19x

(1 +x2)2

IJ I ' 25 -eos x - sen x

I' V -v: ( x - ~ }Y - V 2 = - h ( X - ~ )\I ( :;, V I )( ~l .,- 1 2 ) 33 (~, 2 1 2 )I tll ) J L, 1111. 5

611 +2Jtn (b) y =x +2

I,

II 711 ( 11)II (11)'1121111. 7+21111 (b)y-4=vJ x-6

III , ~ 0,"; 2,'1; 3,7 y

II 5Jl

II (,' ),(11.'G +mil

(eosX ).11)/I ,'or x -D -- =

x s e n x

(sen x){- sen x) - (eosx)(cosx)=. sen2 x

51 Dxsen2x=Dx(2senxeosx)

=2[sen x(-sen x) +cosx eosx]

=2(cos2x - sen2x) =2cos 2x

1 (a) (4x - 4)~ + 2(6x)2; (4x - 4)dr

(b) - 0,72; - 0,8

3 (a) - (2x +6x) ~ ;_1. dxx2x + 6x)2 x3

7 1(b) - 363 - - 0,01928; - 45 =- 0,02

5 (a) -9 6x (b) -9 dx (c)0

7 (a) (6x + 5)~ + 3(6x)2

(b) (6x + 5) dx (e) -3(6x)2

-~ 1. ~9 (a) x(x + 6x) (b) - x2 dx (e) x2(x +6x)

11 -3,94 13 0,92 15 1,80 17 2,12

19 (a) Com

II =0,001, y ~ - 0,98451 - 0,27315(x - 2,5)

(b) -1,011825 (e) -1,011825

(d) Sao iguais porque a aproxima~ao pela tan-genie equivale a usar (3.31).

21 O,02; 2%

27 45%

23 O,04;4%

29 O,06

33 1000 em3; 1.030,30 em3

35 35,82 m2; 0,00419; O,419%

137 511em~0,00637 em 39 -1 em

41 40% aumenlo 43 1,228N

49 Sugestiio: Moslre que vdp =- . dv. .v

3 -32(3x _ 2)312

7 3(x2 - 3x +8)2(2x - 3)

. 2

11- ~(. . . z _1) 5

13 5(axJ - zi +x - 7)\24...z - 4x + 1)

15 17.000(l7v _ 5)999

17 2(6x -7)2(8i +9)(168x2 -112x +81)

19 1 2 ( i -~nz -~) 21 8r2(8r3 +27r2/32

23 _5v4(v5 _ 32r6/5 25 w + 4w - 9

2w512

27 6(3- Zx)

(4x2 + 9)3/2

31 -15 cos436 sen 36

.33 4(2z + 1)see(2z+ 1)21g(2z + 1)2

35 (2 - 3s2) ese2 (s3 - 15)

37 -6x sen (3x2) - 6cas 3x sen 3x

39 -4 cse2

24>eOI24> 41 2z eOl52- 5i ese2 5z

43 2Ig0see5 6 + 3 II6 see36

45 25(sen 5x - cas 5x)4(eos5x +sen 5x)

47 - 9coL2(3w + 1) cse2(3w + 1)49\ i' . 4 .'I - sen 4w

51 6 Ig2x see22x (Ig 2x- see 2x)

53 eos Vi + eosx2 Vi 2Ysenx

.55 8eosY3 - 80 sen>"3- 80

>"3 - 80

2.rr-: xtgVT;T57 x see YX-+ 1 + _~. _. . vx- +1

592 seeY 4x+1 IgY4x+1

Y 4x+161 3cse

23x cot3x

v'4 +esez 3x

163 (a) y - 81 =864(x - 2);y - 81 =- 864 (x - 2)

(b)'!>l 12 ' 2

65 (a) y =32; x= 1

167 (a)y-6x; y--6x

69 3 ;_ 9

2(32 + 1)112 4(3z +1)3/2

71 20(4r + 7)4; 320(4r + 7)3

2 2 2373 3sen x cas x; 6 sen x eos x - 3 sen x

175 4 48

79 - 0,1819 Ibis

83 -~5

77 dK =mv~dt dt

87 (a) Sugestiio: Difereneiar ambos osmembros defe-x) =f(x) usando a regra daeadeia.

(b) Sugestiio: Difereneiar ambos as membros defe-x) =-f(x) usando a regra da eadeja.

89 (a) d~1::=(1 644 x 10-4) 1,74dLdr' dt

(b) 7,876 emlmes

91 (a) 601t em2; 1,508 rm2


25/45

- 8x1-

Y

5 lOx-y

x+8y

-Ii7- VLX

9-4xvxy - Yx

11 1 = 16 seD 3y cas 3y - 1 3 sen 6y - 1

13 -y eOl (xy) esc (xy)

1 +x cot (xy) csc (xy)

17 4x VseiiY 19 _ V24y Vseny - cosy 5

15 cos Y

x seny +2y

'25 -36 27-723 _It

29 _2-, 4y3

31 _ 2xy5

33 sen y 35 Infinitos 37 Nenhurn(1 +cosy)3

. {I X seO,;x,;c '39 SeJ af,(x)= -IX sex>c parae>O

41 0,09 43 (a) 1,28 (b) c - 1,25

431"5

7 _ 24

17

13 2,18 m/s 15 0,564 m/s; 1,764 rnls

17 90.572,3 cm3/h 19 1,112 m/s

21 82,4 em/min (aument) 23 23,6 em/min

25 - - f k - 0,2149 em/min 27 It m/s11

29 1.600 0,006875 ohm/s 31 0,009 m/min

33 19,6 m/s

37 0,8733 em/h

41 6,82 em2/min

45 1130,4 km/h

. 175 dB47 VeJOCIdade no soJa: 88di m/s

3S 569,65 kmIh

3969,8 rnl s

43 113,38 kmIh

dv dB49 (a) 2v dt =g' (1 + sec2 B)di

dv d,(b) 2vdt =g 19B (1 +sec2 B) dI

51 30,97 Icm/h

-24x1(3x2 +2)2

7 2(7z - 2)

3(7z2 - 4z + 3)213

11_ 4(,+ ,-3)(~_ ,-2)3

5_3_V6t+5

144x9 - (3x2 -1)5

12

13 5(3x + 2)1/5

15 1024s(z.,2 - 1)3(18s3 - 27s +4)

(1 - 9s3)5

17 3(x6 + 1)4(3x +2)2(33x6 ~ 20x5 +3)

19 ( 9s - 1)3(108s2 -139s + 39)

2112x+2- __ 4_x2 3x513

23 -53U2w + 5)(7w - 9)3

25 _ sen 2,

VI +cas 2,

295 seex (see x +tgx)S

3 3 3 335 _ (cos Y X - sen Y 'Xf2(cas Y X + sen Y X l

y;i

37 cscu(l-cotu+cscu)

(cot u +1)2

43 4xy2 - 15x2

12y2 - 4x2y45 1

IX(3vy +2)

47 cos (x + 2y) - y2

2xy - 2 cas (x +2y)

9 4 7049 y='4x-3; Y=-:gx+g

7lt lIlt51 12+ rrll, 12+M

-----,------------!!!!!!I!!I!!!!~!!!!!!!!!!!!';anJ 'lI

53 15x2 +~; 30x -;.,.; 30 + _~vx vx' 2vx'

S5 5(y2_4xy_x2) =_~(y - 2xj3 (y - 2xp

S7 (a) 6x III + 3(1ll)2 (b) 6x dx (e) -3(1ll)2

59 0,693 em2; :!:1,5% 61 - 0,57

63 (a) 2 (b)-7 (e) -14-.(d) 21 (e) _10 (0 _19

9 27

65 (a) Tangenle vertical em (-1, - 4)

(b) Ponlo de reversao em (8, -1)

73 ~=_I!.dv v

1 Max. de 4 em 2; min. de 0 em 4; max, local em

x=2, 6,; x s 8; min. local em x-4,6


26/45

I , -" llliciro, cntao fin) nao eicisle. Caso111111. 1II,f'(x)-Oparatodox n..

1(,) - Itr 2..bx ..c e a'" 0, entao f'(x)-11" I I,. I."go, -b/(2a) I ', 0unico n6mero critico

III I

III IIIIII.}'( )-Il,,,-I, 0unico numero crftico pos-_ I v i l - 0 c f(O) - O. Se 11 e par, entao1(' ) (I s. x ,.,0 c, assim, 0 I', minimo l ocal. Se1/ 111'1'111,elllao 0 nao 'I ', extremo, pois fIx) < 0

" 0 ') fIx) >0 se x > o.

",,\l~x

Mil.: f(0,48) - 0,36;

"' K.: f(-1) " f(l) " 2

7 ~,3n4 4

23 0numero c tal que ~osc - 2/lt ( e , . . 0,88).

25 f(-1);' f(I ) - 1.f'(x) -1 sex >0, f'(x) - ~1 s~

x < 0, e f(O) nao existc. Isto nao contradiz 0teorcmade Roll eporquef nao edifcrcnciavel e~todo 0intervalo aberto (-1, 1). . '0'.,.,

27 Sugestiio: Mostre que c2 =- 4.

29 Sugestiio: Fa~a fIx) =px ..q.

31 Sugestiio: Se f I', de grau 3, entao f'(x) e. urnpolin6mio de grau 2.

33 Sejax urnnumero em(a, b]. Aplicandoo teoremado valor medio ao intervalo [a, x] obtemos

fIx) - f(a) - f'(c)(x - a) - O(x - a) =O.. Assim,fIx) = f(a) e dal f e uma fun~ao conSlante.' "

35 Sugestiio: Use 0metodo do Exemplo 4.

,37 Sugestiio: Mostre que dW/dt


27/45

15 Niio M extremos; crescente em (- 00, -3] e

[3,00); crescente em

17 M ax.: f (~)=V2; min.: f C : ) = -V2;crescente

[1t] [ 5 1 t ] [1t 5 1 t]em 0'"4 e -4' 2 rc ; decrescente em "4'"4

; ( 5 1 t ) 51t V3 ( 1 t) 1t V319 M ax.: f 3" =6+2; mm.: f " 3 ="6-2;

crescente em [j,5 ;} decrescente em [0,j] e

[ 5 ;,2 rc ]

. ( I t) 3V3 . ( 5 1 t) 3V321 M ax' f - =-_. mm' f - =--_. cres-.. 6 2' .. 6 2 '

[0, ~1 e [ 5 :, 2 l t) ; dccrescente em

23 M ax.: f( -V3} = V 6v3 - 2,18;

min.: f(V3) =- V 6v3

25 Mix.: fH} =0;

(5) 9

312

4

min.: f " 7 =-"77--18,36

27 M ax.: f(4) =116

29 Mi n.: f(O) =1

31 M ax.: f (~) =1 33ll1t 71t!! 51t

-6'-6'6'6

Y (a) Max.: f(-1,31) -10,13

(b) Crescente em [-2, -1,31];

decrescente em [-1,31,2]

43 Max. em x - -0,51; y'

min. em x - 0,49

1 Como f" ( t) =-2


28/45

, IIIIII oxlrCmos locais; concavo para cima em

( "',0); cllncllvo para baixo em (0,00);

II ('''III '' J" (- ~ ) < 0, I( - ~ ) - 7,27 e maximo;''''II'' !,,(O) ~0, use 0teste da derivada primeira

1 1111 IIIIluSlrar que 1(0) =0 e minimo; concavo para

11111 elll (j, 00); concavo para baixo em

2

.'Il,,"lenada-x de PI: "3'

13 C omo f"(O) < 0, f(O) =0 e maximo; como

f" C 70) >0, I(17

0) ~-1:82 e minimo. Fa~a

a =20 - 5V 2 _ 0 92 e b_ 20 +5 V2-.. 1 9314' 14' .

COncavo para cima em ( a ,~ ) e (b, 00); concavo

para baixo em (- 00,a) e (~, b ) ;

5 'coordenada-,x de PI : a'"3' e b.

15 C omo f"(-2) >0, f( -2) - -7,55 e minimo; con-cavo para cima em (- 00,0) e(4, 00); concavo para

baixo em (0,4); coordenadas-x de PI: 0 e 4.

17 Como f"(V6) < 0, f(V6) - 10,4 sao maximos;

como f"(O) >0, f(O) - 0 e minimo. Fa~a

a=- ~Y27- 3ill - - 1.56 e b - -a.

Concavo para cima em (a, b); c6ncavo para baixo

em (-3, a) e (b, 3); coordenadas-x de PI: a e b.

19 C omo f " ( ~ ) =- V2 < 0, I(~)=V2 e maximo;

comof" C41t

) =V2 > O,f C41t

) - - V2 em3xirno.

C " ('51t) V3 (51t) 51t V3.21 omo f - =- - < 0 f - =- +- e3 2 ' 3 6 2

maximo;

f" (I t) V3 0 (It) It V3como - =- > f - _- - -3 2 ' 3 6 2

23 Como f" (~) =-3V3 < O ,f (~) =3';; e maxi-

m~;. como J'f61t

) = 3V3 >0. I(56

1t)= - 3';; emlnlmo.

25 C omo f"(O) =i>0, 1(0) =1 e minimo.

27 C omo f" (~) = -8 < 0,I(~)= 1 e maximo.

C f" ( lIlt) I" (It) V329 omo -6 - 6 " =-"2


29/45

43 (3) Concavo para cima em (0, 3).

(b) Nenhum ponlo deinflexao em (0, 3).

/1I

I-----1--

I

3 M ax.: f(5 +2V6) -1,05;

min.: f(5 - 2V6) - 5,95

5 Max.: f(12 - 2V30) - 0,25;

mfn.: f(12 + 2V30) - 2,93

)1YjLI I01 I

2 : xI

15 M ax.: f(-2) = - 4;mfn.: f(O) =0

y=x-l )'

~

19 Max.: f(8) =;2 ;

ponlos de infJexao: (16, 112

) y 29 31

'\2 x

. .x

21 M ax.: f(l) - ~; mfn.: f(-l) =- ~;

pontos de infJexao: ( V 3 ' ~ V 3 ) (0,0) 33 35y y

y

x . . . . . . . ~ItX

17 M ax.: f(-3 +V5) -1,53; Vimin.: f( -3 - V5) -10,47 "" !

, I, I

""I'I ',I,

23 Nao M extrema.

Ponto de infJexao: ( 3, 6)

Respos lQS d o s exercfc ios de mlmero (mp ar 707

25

~i YI

------,

I

37

)!I

----,---

I


30/45

(." ( II,'IIVI) pllra cima em (- 0,43, 2);

,ll'IIV(l [111m baixo (-2, - 0,43}.

III) 1i;1.l

1'1'

'I"'f"-'-~

3 131111111till buse - V 2ri1; altura -"2 V2 m

1I Itll II 1111ollse - altura - 3r-

. V re

\ - 'Iii ,,,; y - 37,5 m

I "I"lIxirllllulllllente 2;22 :48

II ('I\'"l'dlllenIO =4,31 m; largura =3,23 m;

n'III"'. 2,15 m

II I\nII - ~ m;eomprimento do eilindro - 2 m

1'1 ('''"'1" illlClito da base - V 2a; altura - ~V2il

J I \1 Jill 1III

2 2V2I I "'11"111-

- I 3a;altura -

-13 a27 500

I') (II) IJsc ; ~ Y J s- 16,71ein para 0 reHingulo

4II IIIIIi'"'1I - 6_ -13 - 0,937 m;

G - 2V f1111'"" - G _ -13 - 0,594 m

35 37 37 0,417 m; 0,417 m; 0,833 m

39 _ _ 4_ _ 2,17

_4fTl+y 2 :

43 (e) 35,24 kmlh

45 60' 47 2rt ( 1- ~(6)radianos - 66,06'49 tg e - ~ ; e - 35,3'

}1453 Ige- V '3 ; e -47,74;

4 3L - sen e +eos,e - 8,10m

55 (b) cos e- ~;e- 48,2'

1 V(I) = 6(t - 2); a(l) = 6;esquerda em [0, 2);

dire ita em (2, 5)

1- 5

1-2~)

'---+-- 1-0I I I I r I I ,

-lO 0 lO I

3 v(t) =3(l- 3); a(l) - 61;direita em [-3, - -1 3);esquerda em (- -13, -13);direita em (V3, 3)

1=0, 3(

1-0~-V3I- )

1=- 3~I I I I I , I I t I I

-S-4048

5 v(t) ':':-6(1':"1)(1"'::4);a(l) 7-:6(2t :.:5);

esquerda em [0, 1); direita em (1, 4);

esquerda em (4, 5)

t-5

c! !? -251=41-1 .1-0

I I I , I I I 'I'

-20 -10 0 lO

7 v(t) - 41(21- 3); a(t) - 12(2l =1);

esquetda em [- 2 , - V T I ; direita em (- 4,0);

esquerda em ( 0 , ~ ; direita em (4,2 ]

9 (a) 9,14 m/s (b) 2,8 s

11 (a) v(t) =16(9 - 21);a(l) - -32

(b) 98,75 ill (e) 9 s

135' 8' .!, '8 15 6' 3' .!, '3

= 4,5 sen (~I_5;) +7,5(b) 1,178 ftlhr

21 (a) In cmls 0,-re, 0, re,0

.~ild

1 2 -3 4 5;::. .~,;;:

?~~:~0 4,21 1,82 0,14 --{),45 --{),37I " 10 -1,51 -2,29 -1,07 --{),18 0,25

I " d '! - 5,40 1,11 1,12 0,66 0,20

29 (a) 806

(b) e(x) - 800 + 0,04 + 0,0002x;x

C'(x) - 0,04 +O,0004x;e(100) =8,06; C' (100) =0,08

31 (a) 11.250

250(b) e(x) =~ +100 +O,OOlx2;

C'(x) -100 +O,003x2;

e(100) =112,50; C' (100) =130

33 C'(5) =$46; C(6) - C(5) - $46,67

35 (a) -0,1 (b) 50x - 0,lx2 (e) 48x - 0,1x2 - 10

(d) 48- 0,2x (e) 5.750 (I ) 2

37 (a) 1.8oox - 2x2 (b) 1.799x - 2,Olx2 - 1.000

(e) 100 (d) $158,800

39 (a) 3.990 moinhos (b) $15.420,10

1 1,2599

5 -1,7321

90,56

13 3,34

3 1,3315

7 4,6458

11 1,50

15 -1; 1,35


31/45

17 -1,88; 0,35; 1,53

19 2,71 21 -1,16; 1,45

25 (a) 3;3,1425465; 3,141927;

3,1415926; 3,1415926

(b) Tendem para 2rr

27 (a) f(~)=0 e assim a expressao de Xz seriaindefinida.

(b) A tangente ao gnifico de f em (0,4;frO, 4)) inlercepla 0eixo-x negativo. Logo, a

tangente em (x.'f(x. para n >1 tambem

intercepta 0eixo-x negativo.

29 (a) f: xI=

1,1; x2=

1,0664~5,

x3 =1,044237, x4 =1,029451

g: XI =1,1; x2 =0,998347,

x3 = 0,9999995, x4 = 1,000000

(b) Porque f(l) =O.

31x6

=0,525

13-2,-1'3

5 Max.: f(2) = 28; min.:f (_ ~) = _ ~ ;

crescente em [- ~ , 2];

decrescente em (- 00, - ~] e [2, 00)

crescente em (- 00,1];

decrescente em [1,00)

9 C omo f"(0) =0 e f"(2) nao e definida, use ntesteda derivada prirneira para mostrar que nao h3

extremos. Concavo para cima em (- 00, 0) e(2, 00). Concava para baixo em (0, 2). As coorde-nadas-x dos ponlos de inflexao sao 0 e 2.

vo para cirna em (- 00, - ~ >/3) e (~, >/3, 00):

c6ncava para baixo em (- ~ >/3, ~ >/3): ascoor-

denadas-x de PI sao '" ~>/3.

13 Max.: f ( ~ ) - 3 e f ( 3 ; ) _ _ I;, ( 7 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) 3

mID.: f 6 - f 6--"2

.-

23V61-13

29 Raio do semicirculo: 1... mi811 '

. t d 0_ I 1 .compnmen 0 0reta.ugu 0:8 " m,

31 (a) Use todo 0ararne para 0circulo.

511: ,(b) Use 4 +rr para 0 clrculo e 0TcSIO po. II II

quadrado.

(/) 3(1- il) 6t(il - 3)33 v - (/2+IiaCt) - (t2 +1)3; csquortlll ill

[-2, -1); direita em (-1,.1); esqllcrdll "" (I, ~J ,

35 C'(I00) - 116; C(lOI) - C(IOO) -JIll.'ll


32/45

37 (0) 1&

(e) 300

39 4,493

(b) -o,oll +12x- 500

(d) $1300

I 2.1:2+3x +C 3 3t3 - 212 +31+C

5 _...L+~+C 72u31Z+2u\J2+C2z2 Z

8 249 - v9/4+- vS /4 - v-3 +C9 5

225 3rJ1Z+seD1+C

27 tgl+C

:11 see w + C

29 - cot v +C

33 -cscz+C

37 seD~ + C

41 cotx3 43 Qlx +C

.15 VX Z+4 +C

.19x3~

1-15 "20/2 +bl +C 47 (0 + b)u +C

55 y Q-3 seDx +4 cos x +5x +3

57 /2_ /3 - 5/ + 4

59 (n) sell - -1612 +5001

(II (II) S(I) Q-1612- 16/ +96

(II) I Q2s (e) -80 fl/see

63 Resolva a equa~iio diferencial S"(I)'- - : g para- 's e l ) . : - , ;;,>-r ,- ; , '" ,. - -- "" . ",'." I

653 m/s2 : ,67 19,62

69 C(x) - 2 a x - O,0075x2 +5,0075;C(50) - $986.2~ ,

1 ..!..(2x2+3)11+C 3 ..!..(3x3 +7)4f3 +C44 12

1 25 '2 (1+Vi)4 +C 7 3senYxT +C

9 l(3x - 2)312+C 11 .l..(81_5)4f3 +C

9 32

13 1~(3Z + 1)5+C 15 l(v3 - 1)312+C9

17 - ~(1- 2.l:2)2f3+C 1 2195'sS+3s3+s+C

2 121 5'(Yx'+3)5+C23 - 4(12_ 4/ +3)2+C

3 125 -4cos4x+C 27 4 ' seD(4x - 3) +C

131 l(sen 3x)4f3+C29 - "2cos(v2) +C

4

133 x-"2cos2.l:+C

37 _1_3

- +C 39 __ 1_ +C3 cos x 1- seD1

1 ( ) C 43 l sec23x+C41 3 tg 3x - 4 + 6

145 -5'cot5x+C

149 f(x) =4(3x +2)4f3+5

51 [ (x) - 3 sen x - 4cos2~+x +2

153 (a) 'j'(x +4)3 +Ct

(b) lx31Z +6x +1&112+C . C =C +183 2' 2 J

59 474,592 ft3

61 (a) ~ =0,6 sen (Z ; I ) (b) ~=0,95 L63 Sugesliio: (i) Fazer II=sen x (jj) Fazer II=cosx.

(iii) Usar a formula do angulo duplo para0seno.As tres respostas diferem por conslantes.

1 193(,,2 +6/1+20) 11 12,,(3//3 +14//2+9//+46)

5

13 2: (4k-3)k_1

4

152: 3 / - 1k-t

~ XU17 1+L. (-I)k 2k 19 (a) 10

tot

21 (a) 35 (b) 2! 23 (a) 1,04 (b) 1,194 4

1 (a) 1,1; 1,5; 1,1; 0,4; 0,9; " p " = 1,5113 0,3,1,7, 1,4,0,5,0,1; 1 / P 1 / =1,7

5 (a) 42 (b)30 (e) 36

7 49 9 79 11 0,284

13j (3x2 - 2.1: +'5) dx-I

4

15 fa 2m(1 +x3) dx

21 _ 143

25! V9- (x - 2)1dt-I .

17 _ 14 19 143 3

23 f : (- ~x+ 5 ) dx27 36 29 25

33 9lt 35 12 +2:rt4

130

9 _ 2912

I

17f f(x)dx-3

19/ f(x)dx.23 (a) V 3.

f+h

21 f(x) dxh

(b)9 25 (a) -1 (b) 2

(b) 6 29 (a) - 0 J (b) 1433 Use (5.22) e (5.23)(i).

EXERCiclOS 5.6

1 -18 3 265 55 7 312 32

9 20 11 352 1313

15 _23 5 3 2

170 19 10 21 53 23 143 2 3

271. 52503 29 36

31 ~(V3 -1) 331-Y2 350

37 (a) V3 (b) 1. 544 (b) 382 39 (a) 225 15


33/45

43_1_x+1

47 (a) . cd 1/67

51 SlIgestiio: Use a Parte 1do Teorcma (5.30) c aregra da eadeia.

21 (a) 10,75 (b) 10"3- 10,67

3 (a) 0,96 (b) 0,96 S (a) 1,41 (b) 1,39i

7 (a) 0,88 (b) 0,88 9 (a) 0,39 (b) 0,39

11 (a) 2,24 (b)2,34

3 ( 2.625 (b) 3.125 -1 021 a) 256. - 10,253.072 '

1 115 (a) '2 =0,5 (b) 6 " - . 0,17

17 (a) 6.416 (b)54 19 (a) 41

21 (a) 6,5 (b)6 23 (a) 8,65

29 (a) 127,5 (b) 131,7 31 0,174 m/s

33 0,28 3S 1,48

(b) 8

(b) 8,59

1

5 16(2x +1)8+C

29-

1+u+C

13l.-(4x2 +2x - 7)3+ C16

7 - ..!.(1 - 2x2)4 + C16

19 .!6

25 _ 376

129Seos(3-5x)+C

131 15 sen5 3x +C

33 l_+C6 sen2 3x

3S fs(16v'2 - 3v'3)

4 9 1 . f(x)dx51 (a) -16t2 - 30t +900 (b)-190 m/s

15(e) 16(-1+65)-6,6s

53 (a) 341,36 (b) 334,42

1 / [(x2 +1) - (x - 2)] dx-2

I

3 f [(_3y2 + 4),.. y3J dy-2

Respostas deexercfcios de numero l mpar 7J 5

,;r

132J [(2-i)-(y2_4)]dY=8v'3o

15 2i[ (4 y - y 3) - 0]dy =8o


34/45

19! [(y3+21- 3y) - 0]dy +-3

~ [0 - (y3+21- 3y)) dy ~761

123 "2(21t +3- 13) - 5,74

25 (a)j (3x-x)dx+! [(4-x)-x)dxo 1

4

27 (a) f [yx- (-x)) dxI

-1

(b)f [4-(-y))dy+-4

j (4-1) dy +!(4- y2) dy-1 1

29 (8){[(x+3)-(-V3-X)dx+2! v3-x dx-6 -1

(b)f [(3 - y2) - (y- 3)) dy-3

319 3312 354V2

37j (x2- 6x +5) dH! - (x2- 6x +5) dx +o I

-11

41J ' _(x3 - 0,7x2 - 0,8x +1,3) dr +-1,5

1,5

f (x3-O,7x2-O,8x+l,3)dx-1,1

I n (( ~x 2 +2 f d t4

3 2 on f [(V25 - y2j2 - 32) dyo

4 5121t7nf (x2-4xj2dx=-

o 15

9 n/. (vy)2 dy ~ 21to

4 5121tllnf (4y_y2j2dy=_

o 15

y

x= 4y- y2

l 64n17 nJJ (2y)2_(y2)2]dy=-

o 15

f 721t19 n [(y + 2)2 - (y2)2J dy ~--I 5

n 121 nJ, (sen2x)2dr =-n2

o 2


35/45

(4 rc

23 rc 0 [(COSx)2_(senx)2]dx=Z

Exercicio 25

y

2 512rt(a)2-n:f (4-X2)2dx=-

o 15

(b) 2 - n:f. [(5_x2)2": (5_ 4)2] dx =832rto _ 15

4 . 128n:(e) n:Jo {[2- (-vy)F - [2 - vyf} dy =-3-

4

(d) 11 J o {[3- (- vyW - [3- vy]2} dy=64rc

2 .

27 (a) 11 J : { [ ( - tx +2 ) - (-2)] - [0- (-2)]2} dt2

(b)~J :{(5-W-[5-(-tX+2)] }dx

(e) 1 l f. {(7 - 0)2 - [7 - (-2y +4)j2} dyo

(d) 11 f. {[(~2y + 4) - (-4)]2 - [0-(-4)j2) dyo

o29n:J [(8-4x?-(8_x3)2dx+

-2

11f. [(8- f)2 - (8 - 4x)2] dxo

Y

(~,8)

y= x

31n:!. {[2-(3-y)]2-[2-V3-Yf}dy2 .

/

\ x

x- Vl-yx--'v"l7

35n:~r2dy=n:r2h 37n:~ (*x)2dx=i"r2h

39 11 ~ (R; r X + r )

2

dx t rth(R2+ Rr +~2)

iI

.I.

I :' ..".

i'

--------:-~""=.....-_-.---- .....----~-- !!!!!'I!!!!!!!!!!!'lII!!!!!!'!!!!!!!'!!!!!!!'!!!!II!!I.= -

41 631 1

2

43 Y

II1 2rtf x Vx- 2 dx

2

l-.fir 24rc7 2rtJ"x(v8x -x2)dx=-

o 5

32rtJi(-tY+3)dY

y

y=vx(4,2)

J7 [ ( 1 3 ) ] 1 3 5 n :9 2rt 4 X 2 " x - 2 " - (2x - 12) dx = -2-

2 161t112n:fx[0-(2x-4)]dx=-

o 3

4 512rt13 2- 2rtf y-14y dy =-

o 5

(b) 2rtf. [x - (-I)j(x2 + 1)dxo

4

(b) 2 -2rtf (5- y) vy dyo


36/45

1< ') 211/ (2-x)(4-x2)dx-2

('I) lie/ [x - (-3)](4 - x2) dx-2

,J I It}" (2 -x)(3 _x2)]_ (3 -x)J dx

o

''h e! (5-x~dx-I

112 1

J7 (1I)21eJ y(4-1)dy:t-2nf Y[(lIy2)-I]dyII . 112

(h)lC/ ( J x fdx1J .'I (II) )CJ X(X2 +2) dxII

(h)" f (1)2 dy +"f ({1)2 - (Vy - 2)2] dyo 2

\,\ (II) O,G !:!; 1,44

,J.H 4 3 2(h) 2J'), xl-x +2,21x - 3,2lx +4,42x - 2)


37/45

5 .!;l... ).~ (i,l )4 14 5 5 7

9 4 . 4 . 3 2 . (8 1 )3'3' 15' 5'

112.. 27. 2..(.! 1 )2'-10'-4'-2'-5

13 9 . 9 . 36 . (8 1)2'4'5' 5'2

l'23 27)14; -27; -46; -7 '147 32. 256 . 0 . (0 ~)

3 ' 15' , 'S

15 (4a , 4a)3lt 3lt

17 Com 0centro do circulo na origem, 0centr6ide

6 (O'-3(~~lt))

19 M ostre que 0centr6ide e ( ~ a ,~(b +C ) )21 (2lt 3)(V2v'I8) ~36lt 23 (4a , 4a)

3lt 3lt

0,89

(a) pf (V fCOsX T - x2) dxcO,89

1 (a) SOO kg

3 (a) 848 N

5 l. (60)N3

13Em min: (a) 18 (b) 66

(b) l,S00 kg

(b) 106 N

15 (a) 9[(601)213- 1]- 632 min

(b) 2 9[(301)1/3-1] -790 mill

17 666 19 11 21 (a) e (b) ISOJ

S Y ' s23 9 - -3- - 5,27 gal 25 '1,45 coulombs

1/30

27 (a)fo

12,450lt sen (30m) de = 830 cm3

(b) Nao e seguro, pois sac inalados aproximada-mente 0,026 joules.

J b 5Y's 13 [(l-y)-y2]dY=-6,ondea--(-I-{5)e 2

1b =2(-1+Y 's)

n ( 1 ) 15 f sen x - cos - x dx = -nI3 2 2

1

9 2lt f x[2 - (x3 +1)] dx ~ 3:n:o 5

1

13 (a) ItJ [(-4x +8)2 _ (4x2)2] dx =l.IS2J ,!-2 5

1

(b) 2lt J (l-x)[(-4x +8) - 4x2] dx * 411-2

I

(e) It t{(l6 - 4x2J2 - (16- (-4x + 8)]2J

15(V l+[~(X +3 >-~r1

dx =27 (37312- 10312) - 7,1 II I

4

17Jo(5-y)(62,5)lt(6)2dY-432lt(62,)1'I Iii


38/45

~ o ..,d' (6-y)2(V8 -y)dy+pJ (6':"'y)2(y+V8)

o -,f8

dy ~96(62,5) Ib

2tx- V S-y

. I " I I ,2 ( ~ X 3 +~ X - I ) V I+ ( X 2 _ ~ r2 ) 2tit c515n _ 25 3

64 '

1. I)UO11/

17 (II) A area sob 0 grafico dey - 2m"

(II) (i) 0 volume obtido pela revolu~ao dey ~ -., ff x2 em tomo do eixo-x

(ii) 0 volume oblido pela revolu~ao dey - x3 em tomo do eixo-y

(r) () lrabalho realizado por uma for~a de mag-nilude y ~ 2m" ao mover-se de x =0 ax- I .

x- 53

3 2x+13x

5 5x+22x - 3

7 _1 . \"6- 3x 9 3- x2, x>: 0 11 (x_ 1)33

13 (a) 0gratico de f e uma reta de coeficienteangular a" 0 e, assim, e um-a-um.

x- bf-l(x)~-a-

Y y~~/

(2,4)//

f /(4,2)//'1-1

1 x(2' - 1)

17 (a) y y_~/

(2,3)/r/(3,2)

,1 f,..- x

(-3, -2) /1 r'///'(-2, -3)

(b) [-1, 2J; [1 ' 4]

(c) [1 ,4} [-1,2J

(b) [-3,3]; [-2, 2]

(c) [-2,2]; [-3,3]

(a) [-0,27; 1,22]

(b) [-0,20; 3,31];

[-0,27; 1,22]

21 (a) f e crescente em (-~, 0 0 ) logo, fum-a-um

(b) [0,00) (c) x

1(b) (-00,4] (e) -2\"4 -x

25 (a) f e decrescenle em (-00,0) e (0,00), logo eum-a-um

(b)Todos os numeros reais exceto zero (e) _.;x

27 (a) f e decrescente, pois f'(x) > 0 para todox

1(b) 16

29 (a) f edecrescente, pois f'(x) 0para todox.

1(b) 16

1_9_ 32(3x - I)

9x+4 3x2-2x+1

715

93x2

3x -2 2x3-7

25 2x-3

1 3 . . . !. . ( 1 + _ 1 _ )2< vTriX

17~+_6_5x-72O. '

51 (a) s'(O ) =0 m/s; s"(O) - ~ m/s21/11 +m

2

, ( m2)

( mJ +m

2) "

( m2)

b e(b)s- =cln ---;s - =_b /II, b /II} ./ ..53 Osgraficos coincidem sex > 0; mas 0gratico de

y - In(x2) contern pontos com coordenadas xnegativas.

eJ lr15 ---e-X

x2

19 C 2 x ( ~- 2 Inx) 21 5es, cos e5' 23 e-' tge-X

25 e3x

c e;~+ 3 Ig v ' X )

27 -8e--4x sec2 (e-4x) tg (e--'\')

29 e"""(l - x csc2 x)

31 3x2 - ye'Yxe'}' +6y

eT coty _e2y33? ?

2xe'Y +e' csc- y


39/45

37 MI n.: f( 'I e) = _e-1 ~ -0,368; crescente em[-I, (0); decrescente em (-00,-1]; concava para

cima em (-2, (0); concava para baixo em

(- 00,-2); ponlos de inflexao:

(-2,_2e-2) ~ (-2, -0,271)

39 Decrescente em (-00,0) e (0, (0); concava para

cima em (-~, 0) e (0, (0); c6ncava para baixo em

(_00, ~); ponlos de inflexao: (_~, e-2)

L41 Min.: f(e-I) = -e-I; crescente em [e-I, (0); decres-

cente em (0, e-I];concava para cima em (0, (0);

nao h:i pontos de inflexao

43 q'(I) = -Cq(I) 45 (a) I: ~a/:) (b)tl~~C(I) _ 0

49 (a) f (~)

51 D

(b)Emx - ~a

155 Max.: f( l - I) = aI2ii; crescente em (-00,1-1]; de-

crescenle em [1-1,(0); concava para cima em

(-00, J.1- a) e (J.1+a, (0); concava para baixo em

(:~a,:+~); PI: (I-Ia.~} ambos os

!tmltes Iguals a zero.

EXERCICIOS 7.4

1(b) In 131(a) zln 12x+71+C

3 (a) 2 In 1x2- 91+ C (b) In 2564

5 (a) _1. e--4x+C (b) _1. (e-12_ e--4)4 4

1(b)iIn27 (a) -z In lcos 2x1+ C

9 (a) 2 In I c~c ~ x - cot ~ x I +C(b)21n(2+13)

111 Z In 1x 2 - 4x+ 9 1 + C

113 Z x2 +4x +4 In ~I + C

3_.,19 -"2 In 11+2cosxl+C 21 e'+2x-e-x+C

23 In (e' +e-x)+ C 25 3 In I sen ~ + C

127 zln Isec 2x +tg 2~1+ C

129 -3In Isee e -3 . {)',

Assim, InA -lim[lnP+l 1l n (l +11)'11'111-0

=In P +11In e - In (1'(:")e A =Pe"

55 Seja h =x/no Enlao

lim (1 +;)" =Hm(l +h11h =Jim [(I +")'''1' ..., .n_co h-O' h-(J'

1,32

(b)nf [(2-xJ2-(I(JHl.~)~I"\I

X (c) 0,145


40/45

I q(t) =5.000(3)'/10; 45.000; 10~n310_ 20,96h

5

J 30(;~) - 25.32in.

In(40/4,5) .5 0,02 -109,24 anos apos 1.1.1980

(Mar


41/45

-~--~~::--:=----_ ...__.__.._...-

33 9x2 _ 30x +26

5 ~- e -Xarcse c e-XVe-2x - 1\-.-- .

2x3

7 1 +x4 +2x a~ctg (x2)_

x9 (x2 _ 1)rxr:2

9(1 +CQS-l 3IT

13 Y l-9x2

1

11 V1-x2(sen-1 x)2

2x

15--------(l +x4) arctg (x2)

17 (~)sen(;)+secxtgX- V1~X2

J ~19 3,,=n ) .v I _ x6

21 1 - 2x arclg x 23 _1_ (-1- +arcsec I X )(x2 + 1)2 21X V x - 1

25 (tgx)""gx (arCIgX cot x see2 x + I ; ~ 8 j - )2 7 )'eX - 2x - aresen y 29 (a) 1 . arelg ( ! . ) +C

x 4 4

V1- y2 - e X

29 (b) ~ 31 (a) ~ arcsen (x2) + C (b) ~

. 33 -arelg (cos x) +C 35 2 arelg IX +C

37 arcsen (~) + C 39 ~ arcsee (~) +C

41 ~ln(x2+9)+C 43 tarcsec(f)+c

7 47 - ~ rad/s 49 21,12 m45 3.576 rad 1.044

(a) 27,2899

(d) 1,0000

(b) .2,1250

(e) 0,2658

(c) -0,9951

(I) -0,8509

7 .1_(IX sech21X +tgh IX)21X

9 (~ ) eseh (; ) coth (; )

-2~ seeh (x2)[1 +(x2 + 1) 19h(x2)]

11 (x2+1)2"

13 -12 cseh2 6x eoth 6x 15 2 colh 2x

17 4x senh v;Ix2+3V4x2 +3

19 -seeh2

x 21 ~(tghx + 1)2 1-x2

27 1 . senh (x3) +C3

(31 " 3 tgh 3x +C

35 _1 seeh 3x +C3

39 In Isenh x l +C

41 .!senh2 x + C ou 1 . cosh~ x + C2 2

43 1(eosh 3 - 1) - 3,0233

45 (In (2 V3), V3)

47 Mostre que

1 J COSh'_~A Q"': (eosh I)(senh I) - vr-1 dx

2 I

/fA 1equedi Q2 :

49 (a) 26.623 012 (b) 455 m

51 (a) Jim v2 =sf. (b) Sugesliio: Seja f(h) _ v.2h-= 2Jt

e X + e-X. e X _ (;x 55 cosh x+senhx Q-2-+2--eX

19 ~argsenh(~x ) + c

23 argcosh (~) +C

57 senh (-x) =

_ e-X

- e~-x) =e-X - e X =- ( e X - e-X) _ -senh x

222

59 senh x cosh y +cosh x senh y(e X - e-x)(eY + e-Y) (e X + e-x)(eY - e-Y)

- 4 . + 4

(e'e, +e--'-e-~"-e"'l-')+(e-"' +ez-'_e-z., -e-" -" 2- 4

2e' +Y - 2e-x -Y eX +Y _ e~Z+ y)Q=----"-'--- - -senh (x +y)

4 2

61 seoh (x - y) - senh (x +(-y

~senhx cosh (-y) +cosh x senh (-y) (Exere. 59)

Q

senh x eosh y - cosh x senh y (Exercs. 57 e 58)

631gb (x + ) Qseoh (x +y) _y eosh(x+y)

senh x cosh y + cosh x senh y

eoshx coshy + senhx senhy

divida 0numerador e 0denominador pelo produto

tghx +Ighyeosh x cosh y para obler 1 + Ighx 19by

65 Fac;a y - x no Exerelcio 59

67 Pelo Exerelcio 66

cosh 2y - eosh2 y + senh2 y

- (1 + seoh2 y) + seim2 y= 1+2 senh2 y,

e eotao

h2 cosh 2y -1seo Y - 2

Fac;a }' = ~ para obler a ideotidade

69 Fac;a y =x no Exercfcio 63

eu + e-nz enx _ e-nz71 eosh nx +senb nx- --2-- +--2--

=en' =(eX)" =(cosh x +senhx)n

1 (a) 0,8818

(e) -0,5493

3 __ 5_

V25x2 + 1

47 16x2 _ 1

(b) 1,3170

(d) 1,3170

5 12VX~

9 2_

/ xV1 =? "

11 - _1_x_1 - +argsenh ( 1 . )xVf+X'Z" x

13 4 15__1_~ argcosh 4x x2 + 2x

117-

2xv1_

x

21 1~argtgh ( ~ x ) + C1 ( x 2 )2S - 6 "argsech 3 " +C

29 y

33 Fa"a UQx no Teorema (8.15) e diferCllciargcosh u.

35 Fa"a u= x no Teorema (8.15) e dif er'lI '/argseoh u.

37 Diferencie 0membra direito.

39 Use processo analogo ao do lexta plOli.argsenhx.

41 Use processo analogo ao do texla 1'1"11argsenhx.

1__1_

2~vx:I

5 2.c tg 2 x ( 21n2 )1+4x2

3 ~ +2x "rcsec (x2)~

7 2x(1 +x4) "rClg ( 2)

9 -xVx2 (I-xl)

11 4(lg x +arelgxj3 (see2 x +1;x2

)

13 .1 15-5c..5x s "" " ,~(1 +x2)[1 +arclg x)2]


42/45

17_e-x (e-' cosh eo' +senh e-')

I~ (coshx - senhx)-2, ou e'lx 21 v'x;:' 1-

2S iarctg(~ x ) +C' ,. 1

29 2 " senh (x2) +C

'I ( 2 ) 1 ( 2 I ).15 2:1rcsen 3x +C 37 -3argsech 31x +C.19 I v25x1 + 36 + C

'11 ( 1~, aresen ( ~) )

.\ S 'jn e =arctgi Min: I(e) D515; crescente em[e , ~ } decrescente em(0, e)

I I t,15 (Il) 2 arclg 4+Z n para /I =0, I, 2, 3

(II) 0,66, 2,23, 3,80, 5,38

,17 1_..d/s_ 0 22/s(,U ' ,

R O D _ -0,31 rad/s2.581

I 1~ .sen 5x 25 cos5x+ C

7, seex-lnlsecx+tgxl+C

13 ~ xlf2 (3Inx, - 2)+ C..9.. ". .

15 -xcotx+lnlse~xl+C

17_!e-X (sen x +cos'x) +C2

19 casx(I-l ncosx)+C'

21 - !cscx cotx-i-! In Icscx- cot x I+C_ . . 2_.. .._.2_..... . .

23 !(2- V2) - 0,20 25 !!3 4

27 _1_ (2x +3)IOO(20Ox- 3)+C40.400

29 1.. e4' (4 sen 5x - 5 cas 5x) +C41

31 x(lnx)2- 2~lox +2x+C

33 x3 cosh x~ 3x2 senh x +6x cosh x- 6seohx +C

3S 2 i seD i + 2 cas"IX + C

37 x arccos x - vr=? +C

39 Seja II=xm 41 SejaII=(Inxjm

43 e'T(x5 - 5x4 +20x3 - 6Ox2+120x - 120) +C

47 !!(e 2 +1)D13,182

5 _!cas3x +!cos5x+C3 5

7 i( % x - 2 scn2~+~sen 4x' +i sen3 2x) +C1 1

94ttx+6tg6x+C

11 !sec5x-!sec3x+C5 3

13 !tg5X-!tg3x+tgx-x+C5 3

2 5193- 6VZ-O,08

1 ( 1 1 )21 2 " Z sen2x- 8 ' sen 8x +C

23 1 25_!cotS x - !cot' x + C557

29-_1_. +C1+ tgx

33 ~2

35 (a) Use as f6rmulas trigonometricas produto-soma

(b)fsen mx cas mdx

Icos(m +n)1I cos(m- /I)x C

_ - 2(m+n) - 2(m-n) + sem;o!n

- -~+C sem-/14171

Isen(m +"k sen(m - 11k C

- 2(171+ n) - 2(171_ n) + se m '" n

= !+~+C24m sem=n

1!In I ~_ v'4-X2/ +C2 x x

3 !In I1x2+9 _11

+C3 x x

v'x2 - 255---+C

25x

._11 4;2 [arctg (~) +x2 ~ 36J +C

13 arcsen ( ~ 3 X ) +C 15 _(_1__, +C. 216-x-)

17 ...L (9x2 +49):>2_ 49 19x2 +49 +C243 . 81

19 (3+2x2),;xq C27x3 +

25 Y =v'x2 - 16 - 4 arcsec ~

27 Sejall=atge .

31 Seja 1I=.a se~e.

Respostas expressas como somas que correspondem

11decomposic;lio em fra


43/45

13; ~ (InI a +u 1- InI a - u i) +C a

=-lln I ' ! . : ! :. .! !. I +C2a a-u

bIb35 - di In Iu 1-;; +di In Ia +bu 1+C =

a_-l+~ln la+bu I +Cau a2 u

1 Jt37 2 In 3- 0,55 39 27 (41n 2+3) - 0,67

5 sen-I x - 2 +C2

1 [ x+2 ]9 '2 tg-I(x +2) +x2 +4x +5 +C11 x+3 +C

4vx2 + 6x + 13

15 In(e" +1) +Ce" +2

3 271 '7(x +9)113 - 4 (x +9)413+C

3 2.- (3x + 2)9/5 _ 2.- (3x +2)4/S +C81 18,

65 2 +81n'7 - 0,767

6 67 '7 x1/6- S xS/6 +lxl12- 6x1l6 +6 arctg (x1l6) +C

9 .2 - - Ig-1 ,p- 2 + C..f3 3

3 911 S (x +4)S I3 - 2:(x +4)213+C

13 ~(1+e")112- i(l +e")512+~(1 +e")l12+C7 5 3

15 e"-4In(e"+4)+C

17 2 sen"x +4 -2 "x +4 cos "x +4 +C 19 137

320

21 InIcoox I-In (1- cosx) +C

1 123 "21nle"-II-2:ln(e"+I)+C

4 225 "3ln(4-senx)+"3In(senx+2)+C

272 2 19(x/2) + 1 C

..f3 arctg ..f3 +

29 In I tg ~ +1 I +C

31 - iIn 12tg ~ ..;1 I +iIn I tg~+21 +C

1 V4+9x2 -21n !2+V;x+9X21+c

x .~ x3 - '8 (lx2 - 80) v16- x2 +96 arcsen '4+C

25 - 135 (9x +4)(2 - 3x)3f2 +C

1 57 - 18 sens3x cos 3x - 72 sen33x cos 3x -

5 .5'48 sen 3x cos 3x +16x +C

lx2-1 xV1=?11 -4- arcsen x +--4-- +C

11313e-Jr (-3 sen lx - 2 coslx) +C

.~ 5 5-1&15 v5x - 9x2 +'6 arccos -5- +C

1 I V 5 X 2- .. f 3 \17 4v'IT In V5x2 +..f3 + C

1 1~9 '4(2e2' -1) arccose" -'4e"~ +C

221 315 (35x3 - 6Ox2 +96x - 128)(2 +x)312+C

223 8i (4+9 senx- 41n4 +9sen x I ) +C

1

V9+2i - 3 125 2"9 +lx +3I n ";9+lx +3 +C

3 I V i ' I27 '4 In ~ +C29 Vl6-sec2x -41n 14+VI6-sec2x I +C

secx

1 .!x2 arcsen x - .!arcsen x +.!x vr : : :x r +C2 4 4

3 2 In 2- 1_ 0,39 5! sen3lx - -l sens lx +C6 10

17 Ssec5x +C 9 x +C

25Vx2 +25

1

2 -...[4::X'l I - r;--->;1121n x +v4-x"+C

x13 21n Ix - I I-In Ix 1- (x _1)2 +C

15 -5 In Ix - 31+ 21nIx+ 31+

1 x+2 In(x2 +9) +"3arctg "3+c

~-~~ x-217 - v'4+4x-x2 +2arcsen V B +C

19 3(x +8)113+In [(x +8)113- 2]2-

In I (x +8)213+2(x +8)113+41-

6 (x +8)113+1..f3 arctg ..f3 +.c

12113e2'(2sen3x-3cos3x)+C

23 ! sen4 x - ! sen6 x +C4 6

1 1 1 2327 "3x3 - x2 +3x - '4In 1x 1- 2x - 41n 1x +21+C

29 2arctgv'i +C 31 InIsee e" +tg e" I+C

133 125(lOx sen 5x - (25x2 - 2) cos 5x) +C

35 ~cos112x - ~cos312x +C7 3

37 ~(1+ ",)312+ C3

139 16 [lx V4x2 +25 - 25I n(v4x2 +25 +lx)) +

43 -x cscx +In1cscx - cot x I +C

45_!(8 - X3)413 + C4

149 2 e2' - e" +In(1+e") + C

51 ~xSl2_~ x3f2 + 6x112+C5 3

53 ! (16- x2)312- 16(16 - x2)lf2+C3

11 1555 2' In 1x +5 1- 2' In Ix +7 1 +C

157x arctg5x -10 In(l +25x2)+ C S9 e'" I

161 V5InI"7 +5x' +ili I +C

1 163 - S cotSx +"3cot3x - COl., - X'"

65 ! (x2_ 25)512+25 (x2 _ 25))/2.,.5 3


44/45

('J I Xl e--Ix- .!xe-'\< _..!. e-4< +C' - 1 8 32.

" 71 311fCSCII ~.:!:J. +c 6

Y 9 - 4x2 ( 2 )',')---x--2 aresen 3 "x+C

10 1HI 21x - 31n I sen 3x 1 - 3 " cot3x + C

4 411.1-In x - ~ + 4ln ( v . :< + 1) +C

H5 -2 vT +cosx +CH7 - __ x__ +..!. arclg ~ +C

2(25 +x2) 10 5

'II J 3 ' arctg ( : s ) - ~ arctg ( i)+In (xl +4)+ CI

').1 1 4 - 2x2 + 4 In I x 1 + c

'I~ 2 t5/2 In ~_ .i-x512 +C . . 25

1 9 27'17 . (2r+3)!lI3 __ (2~+3)513+_(2x+3):?I3+C

M - 20 16

')'1 I el,l)(xl_ 1) + C2

I3

15

32 40 13

91

1117 0

2 2

I15 17

11.1 0036

19 00 21 23 . 0

25 C X l 27 2 29 005

31 0 33 00 35 2

NE 393

41 -3375

43 0 45 00 47 00

49 2 51

53 0,9129; 0,9901; 0,9990; 0,9999;limite previs[vel: 1

155 gt 57 2 A Old sen Olat

159 (a) 1 (b) - 18

61 (a) 0,2499; 0,4969; 0,7266; 0,9045

(b) y

45 (a) Max.: fIe) Qelle -1,44; lim xlix = 0x-o"

49 gt

~

EXERCiclOS 10.3x

C indica que a integral, converge; 0 indica queEXERCICIOS 10.2 diverge.

0 3 0 5 0 C;3 3 0 5 0 7C,.!1

, 27 0 9 11 0

9 C_.!, 2 11 0 13 0 15 C;O13 e5 15 17,;.

23 217 0

19 0 21 C;1t 23 C;ln219 C X l 21

27 29I

25 C 27 0 29 (a) Impossivel (b) It25 0 -00

I 31 (a) 1 It.! 33 35 (b) 32 33 It31 e2j

39 el13 41 I 35 (b) Nao 37 k37 00

j SeF(x) =;Z' entao W= k.

11

(b) Nao, a integral impropria diverge.39 (a) k

1

"

A~i';lb~t

Resposlos de exercicios de mimero fmpar 737

4 ( ) 3 / 241(b)c=- .!!!...... . ; x 2kT

s45 s1+ 1 ,s>O 47_1_.s>O

s- a

49 (a) 1; 1; 2

(b) SlIgestao: Fa,a II=x" e integre por partes.

51 0,49

1 C;6 3D 50 7 D

9 C;3~ 110 13 C-!! 15 0, 2

17 C,_,!190 21 D 23 0' 4

25 C;O 270 290 31 C

33 D 35 n >-1

37 (a) 2

39 (a) Impossivel

(b)I mpossivel

(b) Impossivel

15.!!1 21n 2 300

703

9 -00 11 e8 Be 15 1

17 D 19 0 21 c_2 23 0 2

25 C-!! 27 D 29 0,14 310' 2


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Documents

Livro Calculo 1 - swokowski 12º parte